Andiamo avanti con la nostra serie di post dedicati all'analisi complessa.
Prima di cominciare, ecco l'elenco delle puntate precedenti:
- puntata 1:
"Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2:
"Introduzione all'integrazione complessa";
Partiamo considerando 2 funzioni f(z) e g(z) analitiche rispettivamente nei domini Df e Dg.
Assumiamo valida inoltre la condizione
f(
z) =
g(
z) su un sottoinsieme, quantomeno
numerabile, di punti di
Df ∩
Dg.
Allora la funzione
risulta analitica in Df ∪ Dg e viene chiamata continuazione analitica o prolungamento analitico di f(z) in Dg, ovvero di g(z) in Df.
Il prolungamento analitico consente di definire una funzione sull'intero piano complesso, a esclusione dei punti singolari.
In verità, alcune funzioni esibiscono delle "barriere di analiticità", ossia dei domini oltre i quali non possono essere continuate analiticamente, come accade, per esempio, a
Essa non può essere infatti prolungata al di fuori del disco di raggio 1, poiché divergente su un sottoinsieme denso di punti del bordo.
Al fine di ottenere un prolungamento analitico di una funzione si sfruttano varie tecniche.
Tra esse è decisamente meritevole di menzione il prolungamento secondo Weierstrass, che consiste nel procedere per cerchi attraverso successivi sviluppi di Taylor.
Dato infatti uno sviluppo in un cerchio D₀ di centro z₀, si costruisce un nuovo sviluppo centrato intorno a z₁ ∈ D₀, con z₁ ≠ z₀.
Se il nuovo cerchio possiede una porzione esterna al precedente, si ottiene un prolungamento in un dominio più grande di quello iniziale.
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| Prolungamento analitico di una funzione analitica lungo una curva γ(t) del piano |
Il modo più efficace consiste tuttavia nel trovare rappresentazioni di una stessa funzione valide in domini differenti da quello in cui la funzione viene definita.
Ad esempio, si consideri f(z) definita mediante la serie geometrica
Tale funzione è analitica attorno all'origine, visto che la serie di potenze converge per |z| < 1.
Sul disco unitario possiamo pure sommare la serie, ottenendo
Ovviamente la funzione 1/(1-z) coincide con f(z) solo laddove la serie converge.
Tuttavia, essa risulta analitica in tutto il piano complesso, se si esclude il polo semplice z = 1.
Tirando le fila del discorso, la funzione 1/(1-z) è un prolungamento analitico a tutto il piano complesso ℂ (escluso z = 1) di f(z).
Si osservi inoltre che la serie di Taylor intorno all'origine converge SOLTANTO nel cerchio unitario per via del polo semplice nel punto z = 1.
Se, per esempio, andassimo a considerare lo sviluppo intorno al punto z = -2, la serie sarebbe
che risulta convergente per |z+2| < 3.
A seconda della natura della funzione, può accadere che il prolungamento analitico sia:
- unico, oppure
- dia luogo a valori diversi di una funzione in uno stesso punto, qualora si proceda attraverso successioni distinte di domini che circondino regioni di "non analiticità". In tal caso la funzione si dice polidroma o a più valori.
Dunque, continuando alla Weierstrass una funzione analitica
f(
z) (definita originariamente nell'intorno di un punto
z =
z₀) sino ad un punto
z =
zE, può succedere che 2 diverse continuazioni analitiche portino a 2 differenti determinazioni di
f(
zE).
In sostanza, in tal caso abbiamo a che fare con una funzione polidroma.
Questo fatto di aver ottenuto 2 diverse determinazioni della funzione considerata significa che nel processo di prolungamento si è passati intorno ad un punto singolare della funzione, il quale viene chiamato
punto di diramazione (in inglese "branch point") o di polidromia.
Abbiamo già anticipato qualcosa a tal proposito
qui.
Andiamo quindi ad approfondire la questione.
Diciamo innanzitutto che per ogni intorno del punto
z₀, esiste sempre una circonferenza di centro
z₀ e raggio ε > 0 tutta contenuta nell'intorno
Il punto
z₀ è detto di diramazione per una funzione
f(
z) se, per ogni intorno di
z₀ e ogni circonferenza scelta come appena visto, risulta:
I punti di diramazione sono appunto esempi di punti singolari relativi alle funzioni polidrome.
In essi la funzione non è necessariamente infinita, tuttavia cessa di essere analitica!
Prototipi di funzioni polidrome sono
le potenze non intere e il logaritmo.
Consideriamo infatti, per esempio, la funzione
e scriviamola come
Se la curva
γ su cui è fatto l'integrale non gira attorno all'origine (unico punto singolare della funzione integranda), si avrà allora:
La sottolineatura va a designare un'arbitraria, ma ben definita, determinazione del logaritmo, che scegliamo qui come quella per cui vale
ln 1 = 0.
Ma cosa succede invece se la curva su cui integriamo è una curva
γn che gira
n volte intorno all'origine (in verso positivo per
n positivo e in verso negativo per
n negativo)?
Ricordiamo che
allora si constata che
Ora, siccome la funzione
può essere assunta come definizione della funzione ln z, da ciò consegue che la funzione
è a infiniti valori.
In altre parole, l'origine rappresenta un punto di diramazione della funzione ln z.
Da
Wikipedia riprendiamo la seguente splendida illustrazione:
Ponendo ora z = 1/z' (che scambia fra loro l'origine e il punto all'infinito) è facile rendersi conto che pure z = ∞ è un punto di polidromia di ln z e che (a parte i 2 punti di diramazione) la funzione ln z è dappertutto regolare.
La complicazione presentata dai molti valori di una funzione polidroma può essere però superata mettendo i valori che una tale funzione assume non più in corrispondenza con i punti del piano complesso, bensì in corrispondenza biunivoca con i punti di una superficie diversa: la superficie di Riemann, costruita ad hoc per ogni funzione polidroma.
Come diavolo si costruisce una superficie di Riemann?
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