Continuiamo la nostra serie di post relativi all'analisi complessa.
Prima di cominciare, vediamo l'elenco delle puntate precedenti:
- puntata 1:
"Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2:
"Introduzione all'integrazione complessa";
Bene, iniziamo subito ricordando che il residuo di una funzione analitica f(z), in un suo punto singolare isolato z = z₀, è il valore dell'integrale di f(z), esteso ad una curva γ contenente il punto z = z₀ (ma non altre singolarità di f(z)) e tutta contenuta nella regione di olomorfismo di f(z), moltiplicato per il fattore 1/2πi.
Tutte queste astruse parolone si traducono semplicemente in simboli come segue:
Esso coincide peraltro con il coefficiente d-1 della potenza (z - z₀)-1 nello sviluppo in serie di Laurent di f(z), valido nell'intorno del punto z = z₀.
Osserviamo che la più semplice funzione che possegga singolarità al finito, cioè f(z) = 1/z, ha, nel suo unico polo situato in z = 0, residuo pari a 1, come si vede immediatamente dal fatto che tale funzione coincide col proprio sviluppo di Laurent e in accordo con la formula
che moltiplicata per 1/2πi porta appunto al risultato 1.
Per chi se lo stesse chiedendo, la formula di prima si ricava semplicemente compiendo la sostituzione z = ei𝜑 nell'integrale iniziale.
Naturalmente sarebbe possibile definire il residuo di una funzione pure in un punto di regolarità, tuttavia esso risulterebbe banalmente nullo, come stabilito dal teorema di Cauchy e sarebbe dunque irrilevante.
Viceversa, la considerazione del residuo di una funzione in un punto singolare è di estrema importanza ed utilità.
Si potrebbe asserire che il valore del residuo di una funzione in un punto singolare determina, in un certo senso, l'importanza di tale singolarità!
Consideriamo ora una funzione f(z), olomorfa in una regione R, tranne che in un certo numero di singolarità isolate.
Sussiste un teorema che consiste in un'affermazione praticamente auto evidente, ma allo stesso tempo importantissima.
Esso prende il nome di teorema dei residui e afferma quanto segue:
"L'integrale esteso ad una curva chiusa γ ⊂ R, semplicemente connessa e non passante per alcuna singolarità di f(z), è uguale alla somma dei residui di f(z) nei punti singolari interni a γ, moltiplicata per il fattore 2πi".
In altre parole, il teorema dei residui ci dice che, se z₁, z₂,..., zn sono i punti singolari di f(z) che cadono all'interno del contorno γ, allora vale l'identità:
Sul suddetto teorema si basa la possibilità di valutare un grandissimo numero di integrali definiti, i quali sarebbero praticamente impossibili da risolvere con i metodi elementari del calcolo integrale.
La valutazione del residuo di una funzione in una singolarità di tipo polare è sostanzialmente immediata.
Se infatti il punto z = z₀ è un polo di ordine n di una funzione f(z), allora, nell'intorno di tale punto, f(z) si può considerare rappresentabile nel seguente modo
ove g(z) è una funzione regolare non nulla in z = z₀.
Dalla definizione di residuo si ha allora:
Ricordando ora la rappresentazione integrale di Cauchy per la derivata kappesima di una funzione analitica g(z), ossia
la formula descrivente il residuo si può riscrivere come
e pertanto, riutilizzando l'espressione
per esprimere g(z) in termini di f(z), si ha in definitiva:
Questo risultato consente quindi la valutazione dei residui, relativi a singolarità polari, tramite semplici operazioni di derivazione e di limite.
Nel caso in cui il punto z₀ sia un polo semplice di f(z), l'ultima formula si riduce poi alla semplice relazione:
Abbiamo già detto che il residuo di f(z), in un suo punto singolare isolato z = z₀, coincide pure con il coefficiente d-1 della potenza (z - z₀)-1 nello sviluppo di Laurent di f(z), valido nell'intorno del punto z = z₀, ossia in simboli
Una volta noto lo sviluppo in serie di Laurent di una funzione, valido nell'intorno di un suo punto singolare isolato, la conoscenza del suo residuo in tale punto è perciò immediata.
Va sottolineato che mentre la formula in rosso fornisce il valore dei residui solamente per singolarità di tipo polare, quella in verde appena riportata può essere sfruttata pure nel caso in cui z = z₀ sia una singolarità essenziale isolata.
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