sabato 8 febbraio 2020

CURVE REGOLARI ED INTEGRALI CURVILINEI (DI PRIMA SPECIE)

Non è la prima volta che ci occupiamo di curve matematiche in questo blog.
Infatti in passato abbiamo per esempio parlato della curva che congiunge 2 punti nel minor tempo possibile (il problema della brachistocrona), della spettacolare elica cilindrica con le sue fondamentali applicazioni nel mondo dell'arte e di curve cubiche come la versiera di Agnesi e la cissoide di Diocle.
In questo post vogliamo però condurre un discorso più generale relativo alle curve (con particolare riferimento a quelle regolari), che ci porterà a illustrare  l'importante concetto di integrale curvilineo (detto pure integrale di linea), almeno nella sua prima forma.
Se avete familiarità con la nozione di integrale definito, osserverete che l'integrale di linea è una semplice estensione del concetto inerente al "magico" mondo delle curve.
Ma procediamo per gradi!
Innanzitutto, partiamo dalle fondamenta: che cos'è una curva?
È facile pensare all'idea di una curva, un insieme di punti nello spazio in cui una particella è libera di muoversi con un singolo grado di libertà; leggermente più difficile è fornire una definizione davvero rigorosa dal punto di vista matematico.
Assumendo di riferirci allo spazio vettoriale ℝn, l'analisi matematica ci definisce una curva come una funzione (vettoriale) continua del tipo




dove I è un generico intervallo.
Di solito quando consideriamo I alla stregua di un intervallo chiuso e limitato (ossia compatto per il teorema di Heine-Borel) [a,b], si parla di arco di curva.
Per chi non ricordasse esattamente cosa significa funzione continua, ne diamo 2 definizioni, una che potrebbe comprendere anche un bambino e l'altra per gli amanti del rigore matematico.
Una funzione è continua (in tutti i punti) quando per tracciarla graficamente su un sistema di riferimento cartesiano non è necessario staccare mai la matita dal foglio!
In termini formali invece una funzione si dice continua in un punto x₀ se vale la seguente uguaglianza:





Se tale uguaglianza risulta valida per qualsiasi punto dell'intervallo [a,b] considerato, allora la funzione è continua in tutto l'intervallo.
Detto ciò, si definisce traccia o sostegno γ* della curva γ l'immagine di γ, ossia, in simboli:




Per farsi un'idea più concreta di cosa sia la traccia è sufficiente pensare alla traiettoria di un moto nello spazio e che racchiude in sé gli aspetti geometrici della curva.
Assumiamo ora che una curva (nello spazio euclideo tridimensionale) venga definita da una generica funzione (vettoriale) continua 



Tale funzione vettoriale r si chiama parametrizzazione della curva e contiene le informazioni sul modo in cui la curva viene percorsa.
In particolare, si avrà che







ove la variabile t ∈ [a,b] viene detta parametro della curva e i,j,k sono i classici versori relativi agli assi cartesiani.
In sostanza, al variare di t, r(t) descrive γ, che è il sostegno della curva (trattasi semplicemente di una notazione diversa per esprimerlo).
Una stessa curva può essere parametrizzata in infiniti modi diversi.
Diciamo ora che una curva (o un arco) è chiamata semplice se la funzione r(t) risulta iniettiva.
Un arco



si dice chiuso se



Un arco di curva è poi detto chiuso semplice se la funzione è iniettiva e vale la condizione appena scritta.
Resta il fatto che spesso, specialmente in ambito fisico, è utile pensare ad r(t) come ad una funzione descrivente la posizione all'istante t di una particella che si muove nello spazio euclideo tridimensionale.
In sostanza, si sta assumendo un'interpretazione cinematica della nozione di curva.
Le innumerevoli parametrizzazioni della medesima curva rappresentano, da questo punto di vista, gli infiniti modi diversi (con velocità diverse) di percorrere tale traiettoria.
Diciamo, in particolare, che la funzione vettoriale r è derivabile se tali sono le sue componenti scalari.
Avremo naturalmente che la sua velocità (o derivata) è data da:




mentre la velocità scalare è la norma di tale vettore, cioè



Se poi anche r' risultasse a sua volta derivabile, l'accelerazione (vettore) sarebbe fornita ovviamente dalla formula:




La velocità e l'accelerazione vanno, tra le altre cose, a fornire una classificazione dei moti.
Si ha infatti un moto uniforme quando il modulo della velocità risulta costante; in caso contrario si parla di moto vario.
In quest'ultimo caso, se l'accelerazione risulta costante si parla di moto uniformemente accelerato quando sussiste un incremento (nel tempo) del valore assoluto della velocità, mentre si parla di moto uniformemente ritardato (o decelerato) quando la velocità decresce nel tempo.

lunedì 9 dicembre 2019

TEOREMA DI EQUIPARTIZIONE DELL'ENERGIA, MOTO BROWNIANO E PROCESSI STOCASTICI

Abbiamo già avuto modo in passato di introdurre alcuni concetti inerenti alla fisica statistica (o meccanica statistica), una teoria termodinamica in cui si tiene conto delle proprietà microscopiche dei singoli atomi o molecole, analizzate in modo statistico (si veda qui e qui).
Andiamo ora ad introdurre uno dei concetti fondamentali della meccanica statistica, il cosiddetto teorema di equipartizione dell'energia, per poi osservare come si applica ad un noto fenomeno, studiato anche da Einstein nel 1905, ovvero il moto browniano.
Sin da subito avvertiamo il lettore che il suddetto teorema fornisce una semplice e chiara teoria dei sistemi termici, ma resta buono solo considerando elevate temperature; in tal caso è infatti possibile  trascurare senza problemi i particolari dei livelli energetici quantizzati.
Non è raro in fisica trovarsi di fronte alla dipendenza dell'energia dal quadrato di una certa variabile.
L'esempio più semplice a cui si può pensare è quello dell'energia cinetica K di una particella di massa m e velocità v:




Un altro bell'esempio è fornito dall'energia potenziale U di una massa sospesa ad una estremità di una molla (avente costante elastica k) e spostata di una distanza x dal suo punto di equilibrio:






Naturalmente l'energia totale E della massa in moto all'estremità della molla è la somma dei 2 termini appena citati:





È poi chiaro che se la massa subisce un moto armonico semplice, l'energia viene scambiata tra K ed U, ma l'energia totale E rimane costante.
Generalizziamo ora il discorso e supponiamo di star considerando un sistema la cui energia presenti una dipendenza quadratica (rispetto a una certa variabile) e che sia in grado di interagire con un serbatoio termico.
Per chi non ricordasse, un serbatoio termico (in inglese detto reservoir o heat bath) è un oggetto che poniamo avere una capacità termica infinita.
Siccome la capacità termica è definita, in generale, come il rapporto tra il calore Q scambiato tra il corpo preso in esame e l'ambiente e la conseguente variazione di temperatura ΔT, una capacità termica infinita significa (assumendo che Q sia finito) che ΔT tende a 0.
Ciò equivale a dire che se anche sottraessimo un'ingente quantità di energia al serbatoio, non si avrebbe praticamente alcuna variazione di temperatura.
Ricordiamo pure, per completezza, che le situazioni in cui abbiamo a che fare con un piccolo sistema che interagisce con un reservoir sono molti comuni nell'ambito della termodinamica e vengono chiamate ensembles canonici.
L'energia E del nostro piccolo sistema sarà descritta dalla facile legge:




ove α denota una qualche costante positiva ed x una qualche variabile.
Supponiamo poi che x possa, in linea di principio, assumere qualsivoglia valore con eguale probabilità.
Ne consegue che la probabilità P(x) del sistema di avere una particolare energia α risulta proporzionale al fattore di Boltzmann e-βα, dove β = 1/kBT, con kB costante di Boltzmann e T temperatura del serbatoio.
Andando a normalizzare (ossia assicurarsi che la somma su tutte le probabilità sia 1) l'espressione, avremmo:







e l'energia media potrà essere data da:













Un risultato sicuramente interessante, dato che è indipendente dalla costante α e pone in evidenza la diretta proporzionalità sussistente tra l'energia media e la temperatura del sistema.
Specifichiamo che ogni dipendenza quadratica del sistema viene chiamata grado di libertà quadratico oppure "modo" del sistema.
La molla dell'esempio di poco fa possiede dunque 2 gradi di libertà quadratici.
Nell'esempio generico appena illustrato abbiamo invece constatato come ogni grado di libertà del sistema vada a contribuire per un ammontare di energia pari a 1/2 kBT all'energia totale media del sistema.
Questo ragionamento sta alla base del teorema di equipartizione dell'energia:

"Se l'energia di un sistema classico è la somma di n gradi di libertà quadratici, e quel sistema è in contatto con un serbatoio termico a temperatura T, allora l'energia media del sistema viene fornita da

"


Il teorema di equipartizione rende palese il fatto che l'energia risulta "suddivisa egualmente" tra tutti i modi separati del sistema, ciascuno avente energia media pari a precisamente 1/2 kBT.
Vediamo un facile esempio di applicazione del teorema.
Consideriamo un gas monoatomico.
Essendo monoatomico, nel moto di ciascun atomo del gas non sussistono componenti rotazionali o vibrazionali, ma solamente traslazionali.
Questo significa che è possibile esprimere l'energia di ciascun atomo come:





dove il vettore



 designa la velocità dell'atomo.
Tale energia è la somma di 3 gradi di libertà quadratici indipendenti, e pertanto il teorema di equipartizione restituisce la seguente energia media:


Senza entrare nei dettagli tecnici, diciamo solo che se avessimo considerato un gas biatomico, in cui è possibile avere dei termini aggiuntivi di energia cinetica rotazione e vibrazionale, il teorema di equipartizione ci avrebbe restituito un'energia media pari a





o addirittura

Ergo, in generale, l'energia media viene fornita dalla relazione:





dove f è il numero dei gradi di libertà quadratici.
Giungiamo ora al nocciolo della questione: il moto browniano.

domenica 6 ottobre 2019

MERAVIGLIE MATEMATICHE: LO SPAZIOTEMPO DI MINKOWSKI

La matematica è spesso fonte di stupore e meraviglia.
Pochi mesi fa abbiamo per esempio osservato (cliccate qui) come singolari forme geometriche quali le pseudosfere possano ispirare spettacolari costruzioni artistiche.
In questo post analizzeremo (nel modo più semplice possibile, ma comunque rigoroso) una meraviglia matematica meno appariscente, ma sicuramente dotata di grande fascino: lo spaziotempo di Minkowski.
I concetti di spazio e tempo sono sempre stati al centro di riflessioni filosofiche e scientifiche.
Se ricordate, ne parlammo un po' nel post intitolato "Spazio e Tempo: Le "forme a priori" della conoscenza".
Abbiamo anche avuto modo di ospitare, proprio qui su Scienza e Musica, un Carnevale della Fisica dedicato allo spazio (cliccate qui) e un Carnevale della Letteratura dedicato al tempo (cliccate qui).
Per introdurre lo spaziotempo per bene dobbiamo compiere una piccola premessa.
Sapete bene che nel 1905 Albert Einstein diede alla luce la sua teoria della relatività ristretta (o speciale).
Qualcuno ricorderà anche che la base matematica della suddetta teoria è fondata sulle cosiddette trasformazioni di Lorentz (chi non ricordasse bene può leggere qui).
Ricordiamo poi che la relatività ristretta assume 2 postulati fondamentali:

1) l'invarianza di forma delle leggi fisiche in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
2) la luce si propaga (nel vuoto) a velocità costante (denotata con c), indipendentemente da quale sia lo stato di moto della sorgente o dell'osservatore.

Le conseguenze fondamentali di tutto ciò sono 3:

1) la relatività della simultaneità;
2) la contrazione delle lunghezze;
3) la dilatazione dei tempi.

Rinfreschiamo brevemente cosa significano tali concetti.
Quando parliamo normalmente di eventi simultanei, pensiamo chiaramente ad eventi che accadono nello stesso istante temporale.
Ciò è palesemente corretto nell'ambito della fisica classica newtoniana.
Il problema sorge quando si considerano velocità abbastanza vicine a quella della luce.
Supponiamo infatti ci sia un osservatore S, fermo, inerziale, che stia osservando due eventi simultanei:






Adesso però supponiamo ci sia un osservatore S' (sempre inerziale) in movimento rispetto ad S lungo l'asse x con velocità costante V.
Per quest'ultimo, sulla base delle trasformazioni di Lorentz, le coordinate dei 2 eventi saranno:
Primo evento













Secondo evento













ove γ è naturalmente il fattore (o termine) di Lorentz, esprimibile esplicitamente attraverso la relazione:






Avrete notato che per l'osservatore S' tra i 2 eventi risulterà una differenza temporale pari a:





Ecco perché si parla di relatività della simultaneità: eventi simultanei per un osservatore (inerziale) non lo sono per un altro!
La simultaneità è dunque relativa per i sistemi di riferimento inerziali.
Se consideriamo il caso in cui V sia davvero molto piccola comparata alla velocità della luce c, avremmo che:







e pertanto ritroveremmo la simultaneità della fisica classica.
Se andassimo invece a considerare la velocità V davvero vicinissima a quella della luce, l'intervallo temporale misurato da S' tenderebbe ad infinito.
È inoltre palese che gli eventi risultano simultanei per entrambi gli osservatori anche nella teoria della relatività quando x₁ = x₂.
L'altra conseguenza fondamentale della relatività ristretta è la contrazione delle lunghezze (o contrazione di Lorentz-Fitzgerald): il risultato della misura della lunghezza L di un corpo da parte di un osservatore mobile S (con velocità V) è inferiore alla lunghezza L0 che S' misura nel sistema di riferimento a riposo del corpo considerato.




















La formula alla base del fenomeno è:





Una roba abbastanza simile accade per quanto concerne il tempo: la dilatazione dei tempi.
In particolare, la misura della separazione temporale (t₂' - t₁') tra 2 eventi da parte di un osservatore mobile fornisce intervalli di tempo più lunghi rispetto ad un osservatore solidale con l'orologio.
La legge matematica che sta alla base del fenomeno è:




La prima diretta evidenza sperimentale della dilatazione dei tempi si è manifestata con gli esperimenti di rilevazione dei muoni prodotti nella fasce esterne dell'atmosfera terrestre, ad opera dei raggi cosmici.
I muoni sono particelle elementari che fanno parte, assieme all'elettrone, al tauone e al neutrino, della famiglia di particelle chiamata dei leptoni.
Inoltre sono particelle dotate di spin semintero (di spin abbiamo parlato un po' qui), dunque sono classificate come fermioni.
La loro peculiarità più interessante in tal contesto è data però dal fatto che sono particelle altamente instabili, che decadono dando vita ad altre particelle, con un tempo di dimezzamento di circa




tempo questo misurato nel sistema di riferimento a riposo dei muoni.
Nel 1941 un rilevatore posto sul monte Washington, nel New Hampshire, a circa 1850 metri rispetto al livello del mare, misurò un flusso di circa 570 muoni all'ora.
Gli scienziati inizialmente pensarono che posizionando il rilevatore ad altitudini inferiori si sarebbe dovuto riscontrare un flusso meno intenso.
Si stimava che a livello del mare si sarebbe dovuto riscontrare un flusso di circa 35 muoni all'ora.
ATTENZIONE: se ne osservarono ben 400 di muoni all'ora!
Perchè tale enorme disparità rispetto a quanto si pensava? Come potevano essere sopravvisuti così tanti muoni in un viaggio decisamente lungo se confrontato alla loro vita media?
La risposta sta nel fatto che nel sistema di riferimento dei muoni il tempo trascorso è assai minore a quello misurato da un osservatore solidale con la Terra.
Abbiamo dunque osservato brevemente le conseguenze fondamentali della teoria della relatività ristretta.
Addentriamoci ora nel nocciolo della questione: lo spaziotempo.

martedì 9 luglio 2019

LA LUNA, KEPLERO E I DRAGHI

La Luna è l'unico satellite naturale che possiede il nostro pianeta, la Terra.
Il 21 luglio 1969 (circa 50 anni fa) l'uomo (Neil Armstrong) toccò per la prima volta la superficie lunare, grazie alla missione spaziale Apollo 11 (l'allunaggio viene datato però 20 luglio).
In questo post andremo a scoprire alcune curiosità inerenti alla Luna.
Cominciamo innanzitutto a raccontare come apparisse la Luna per un grandissimo astronomo tedesco del passato, Johannes Kepler (1571-1630, italianizzato in Keplero).
Non bisogna infatti compiere l'errore di pensare che alcune cose che oggi appaiono banali riguardanti il nostro satellite lo fossero pure nell'epoca in cui la scienza moderna cominciò a seminare le sue radici.
Ricordiamo che il 12 marzo 1610 Galileo Galilei pubblicò un'importantissima opera intitolata Sidereus nuncius.
Galileo aveva infatti rivolto il proprio telescopio verso il cielo ed era rimasto affascinato da un'ampia serie di nuovi fenomeni.
Questo fu l'atto di nascita dell'astronomia telescopica, una scienza che più progrediva più metteva in evidenza la validità del modello eliocentrico del Sistema Solare, modello di cui proprio Keplero descrisse le leggi fondamentali (le famose 3 leggi di Keplero).

















Una volta pubblicato il Sidereus nuncius, Galileo procedette nell'inviarne una copia al collega tedesco, il quale rispose con una lettera contenenente le proprie osservazioni in merito.
Questa lettera di risposta di Keplero a Galileo diventò un vero e proprio libro, denominato Dissertatio cum nuncio sidereo.
Sebbene i toni di questa risposta fossero cortesi e, a detta di qualcuno, anche lusinghieri nei confronti di Galilei, in realtà Keplero addusse velatamente le proprie critiche, reclamando oltretutto come sue alcune delle idee uscite nel saggio dello scienziato italiano.
Keplero ricordò inoltre a Galileo che il telescopio aveva dei precedenti, tra cui uno studio di Giovanni Battista della Porta dal titolo Magia naturale (1558).
In ogni caso, Keplero pretendeva di competere con il collega italiano non con un telescopio, bensì con un cartone avente un foro ed una lente che proiettava l'immagine della Luna a una distanza pari a 12 piedi.
In tal modo Kepler era in grado di scorgere maggiori dettagli relativi alla superficie lunare rispetto ad una semplice osservazione ad occhio nudo.
Keplero credeva che le parti scure fossero terra e quelle brillanti mare, ma ammise, a seguito dello studio illustrato da Galileo, che si trattava proprio del contrario, giacché il telescopio mostrava svariate irregolarità assomiglianti a montagne nelle parti chiare.
Tuttavia va detto che Galileo non riteneva che la Luna fosse costituita di acqua e di terra.
Altro dettaglio che Keplero scrutò nella sua osservazione è fornito da quelli che oggi chiamiamo semplicemente crateri lunari.

















L'interpretazione dell'astronomo tedesco per tali forme fu degna di un film di fantascienza: a suo perere, questi crateri sarebbero stati abitati dai cosiddetti seleniti, esseri più forti e di stazza più grossa rispetto agli esseri umani.
Essendo così grandi, questi seleniti progettavano grandi opere, come delle barriere circolari enormi per difendersi dal Sole.
Secondo Keplero, l'interno di quelli che oggi chiamiamo crateri veniva utilizzato per la semina.
Essi apparivano alla stregua di buchi, che Keplero pensava fossero pozzi.
Naturalmente la spiegazione attuale sulla formazione di tali crateri, ossia un bombardamento da parte di svariati meteoriti, era fuori dalla portata delle conoscenze astronomiche di quell'epoca.
Keplero riteneva inoltre che la Luna fosse costituita di un materiale poroso simile alla pietra pomice, dunque sosteneva che essa avesse bassa densità.
Ciò gli sembrava coerente con la sua teoria che la rotazione terrestre producesse una forza simile a quella magnetica, forza che metteva in rotazione la Luna.
A causa di questa forza, secondo questa teoria, la Luna ruotava assai velocemente e siccome il movimento risultava inversamente proporzionale alla sua massa, ciò comportava una densità decisamente bassa della propria struttura.
In ogni caso, anche se queste idee di Keplero concernenti le proprietà della Luna posssono apparire un tantino mistiche, questo non toglie nulla ai suoi contributi scientifici di notevole rilevanza.
D'altronde anche Newton, per esempio, se da una parte scopriva le leggi fondamentali del mondo e fondava il linguaggio matematico del calcolo infinitesimale per descriverlo al meglio, dall'altra compiva studi alchemici e mistici, che lo allontanavano dalla scienza rigorosa.
Ma a proposito di particolari mistici, vi starete a questo punto chiedendo cosa c'entrino i draghi con la Luna.
Non c'è alcuna relazione con Game of Thrones, mi spiace! Consoliamoci però con un'epica versione del brano Rains of Castamere, uno dei brani musicali fondamentali della serie tv in questione.



Per capire però questa cosa dei draghi dobbiamo osservare brevemente come funziona il moto della Luna.
La Luna si muove naturalmente su un'orbita ellittica attorno alla Terra, in senso diretto per un osservatore posto nell'emisfero boreale.
L'orbita risulta in particolare inclinata mediamente di 5°9' sul piano dell'eclittica (piano su cui giace l'orbita terrestre).














Dal punto di vista di un ipotetico osservatore posto sul Sole (attenzione che scotta!), la traiettoria descritta dalla Luna non mostra mai alcuna convessità rivolta verso la nostra stella.
In altre parole, è come se la Luna fosse un pianeta ruotante intorno al Sole, il cui moto è però disturbato dall'attrazione terrestre.
L'intersezione tra il piano dell'orbita della luna e quello della Terra è chiamata linea dei nodi.
La suddetta linea ruota in senso retrogrado (cioè orario) intorno alla Terra eseguendo un giro completo in 6793 giorni, ossia 18,6 anni.
Questo fenomeno è detto retrogradazione dei nodi.
Come ben noto, l'illuminazione che la Luna (osservata dalla Terra) riceve da parte del Sole va a determinare il fenomeno delle fasi lunari (o lunazione):
  • novilunio o Luna nuova: la Luna è prossima al Sole e non può essere osservata sia a causa della sua posizione sia per il fatto che rivolge verso la Terra l'emisfero non illuminato;
  • plenilunio o Luna piena: è il caso opposto rispetto al novilunio. La Luna si trova nella posizione opposta e il suo emisfero visibile risulta totalmente illuminato dai raggi del Sole. Inoltre la Luna sorge quando il Sole tramonta.
Queste 2 fasi fondamentali vengono denotate come sizigie, dal greco sysygia, cioè "congiunzione".
Quando poi l'angolo Luna-Terra-Sole diviene retto (la cosiddetta quadratura), il disco della luna ci appare illuminato a metà (primo e ultimo quarto).

















Sul disco lunare la linea che fa da divisorio tra la parte illuminata e quella oscura è chiamata terminatore.
Si definisce poi età della Luna l'intervallo temporale, in giorni, dal momento considerato al novilunio precedente.
La Luna, partendo da un punto fisso della propria traiettoria, impiega precisamente 27,3216 giorni per farvi ritorno.
Tale periodo di tempo è noto come mese siderale.
Mentre la Luna ruota intorno alla Terra, quest'ultima, naturalmente, ruota a sua volta attorno al Sole.
Supponendo che il mese siderale inizi al novilunio (in cui la luna si trova ad una posizione che possiamo chiamare L), terminato questo mese il satellite si sarà spostato in una posizione L'.
È chiaro, tuttavia, che durante il suddetto intervallo temporale pure la Terra si sia spostata da una posizione T ad una posizione T'.
Ne consegue che il Sole giace ora nella direzione T'S.
La Luna, per terminare il ciclo di lunazione, deve però ancora percorrere l'angolo L'T'L'' = TST'.
La determinazione di tale angolo è molto semplice: è sufficiente dividere l'angolo giro per 13, giacché 13 è il numero dei mesi siderali contenuti in un anno.
Si ha dunque che 360° : 13 = 27°, un angolo che viene percorso dalla Luna in circa 2 giorni.
Pertanto il periodo di tempo in cui la Luna compie l'intero ciclo delle fasi lunari, il cosiddetto mese sinodico (da synodos = "riunione"), risulta più lungo del mese siderale.
Nello specifico, la durata del mese sinodico è mediamente di circa 29 giorni e 12 ore.
La seguente immagine ben illustra quanto appena spiegato.

L'orbita apparente della Luna sulla sfera celeste va ad intersecare l'eclittica in 2 punti:

1) nodo ascendente: punto dove la Luna passa dalla latitudine negativa a positiva;
2) nodo discendente: punto dalla parte opposta del nodo ascendente.

Poiché sussiste la retrogradazione dei nodi, i suddetti 2 punti si spostano sull'eclittica andando incontro alla luna ed effettuando un giro completo in 18,6 anni.
Il fatto che il moto dei nodi sia retrogrado, dunque opposto al moto lunare, fa sì che il periodo di tempo che il satellite impiega per passare 2 volte allo stesso nodo sia inferiore al mese siderale.
Questo particolare intervallo temporale viene chiamato mese draconitico (o draconico) e ha un valore di circa 27,2122 giorni.
La denominazione "draconico" deriva proprio dal fatto che alcune antiche leggende medievali narravano che la Luna o il Sole, durante le eclissi, fossero in procinto di essere divorate da un gigantesco drago disteso lungo l'eclittica!
Oltretutto, siccome le eclissi si verificano in prossimità dei nodi, le leggende sostenevano che la bocca del drago dovesse essere vicina a questi punti.

















Concludiamo il post in musica, con un classico jazz interpretato dalla straordinaria Ella Fitzgerald e intitolato How High The Moon:


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Fonti principali:

- Keplero, La matematica del movimento planetario di Eduardo Battaner López
- Introduzione all'astronomia di Giuliano Romano

giovedì 6 giugno 2019

IL SISTEMA ASSIOMATICO DI HILBERT PER LA GEOMETRIA

David Hilbert (1862-1943) è considerato uno dei matematici più influenti di sempre.

Il suo nome appare in svariati ambiti rilevanti della matematica, oltre che in fisica, ove l'introduzione degli spazi di Hilbert è stata fondamentale per lo sviluppo matematico della meccanica quantistica.
Leggendo il libro Hilbert, Alla ricerca di assiomi universali (della collana Geni della Matematica) di Carlos M. Madrid Casado, mi sono imbattuto in un interessantissimo passo relativo al sistema assiomatico introdotto da Hilbert.
Il presente post è un riassunto dei concetti fondamentali illustrati nel libro sopracitato.