giovedì 11 gennaio 2018

ORIGINI STORICHE E FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA PROIETTIVA

In geometria il risorger di un’attività creativa significativa venne in ritardo rispetto all’algebra.
A parte la creazione del sistema matematico della prospettiva e le ricerche geometriche incidentali degli artisti rinascimentali, pochissimi risultati degni di nota vennero ottenuti in geometria dai tempi di Pappo (290 d.C. circa - 350 d.C. circa) fino al 1600 circa.

Un certo interesse fu suscitato dalla pubblicazione di numerose edizioni a stampa delle Sezioni coniche di Apollonio, in particolare della notevole traduzione latina dei libri I-IV di Federigo Commandino (1509-1575) apparsa nel 1566.
Quelli che erano necessari, e che in effetti si presentarono, per dirigere le menti dei matematici entro nuovi canali erano dei problemi nuovi.

Uno di questi era già stato sollevato dall’architetto e matematico Leon Battista Alberti (1404-1472): quali proprietà geometriche hanno in comune 2 sezioni dalla stessa proiezione di una figura reale?
Un gran numero di problemi venne dalla scienza e dalle necessità pratiche.
L’uso fatto da Keplero delle sezioni coniche nella sua opera Astronomia nova, datata 1609, diede un enorme impulso al riesame di tali curve e alla ricerca di loro proprietà utili per l’astronomia.
L’ottica, che aveva destato l’interesse dei matematici fin dai tempi dei Greci, ricevette un’attenzione molto più viva dopo l’invenzione del telescopio e del microscopio avvenuta all’inizio del Seicento.
La progettazione delle lenti di questi strumenti divenne un problema fondamentale; esso implicava un aumento d’interesse per le forme delle superfici o, poiché si trattava di superfici di rotazione, per le curve che le generano.
Le esplorazioni geografiche avevano creato un gran bisogno di carte e un interesse per lo studio delle rotte navali quali sono rappresentate sulla sfera e sulla carta. 

L’introduzione del concetto del moto della Terra richiedeva nuovi principî di meccanica che dessero conto delle traiettorie degli oggetti mobili e anche questo implicava lo studio delle curve.
Fra gli oggetti mobili i proiettili diventarono sempre più importanti perché i cannoni potevano ora lanciare le loro palle a centinaia di metri di distanza ed era vitale essere in grado di predirne la traiettoria e la gittata.
Il problema pratico del calcolo delle aree e dei volumi incominciò ad attrarre un’attenzione sempre maggiore.
La
Nova stereometria doliorum vinariorum (1615) di Keplero diede inizio a una nuova esplosione di attività nel suddetto campo.

Un altro tipo di problemi si presentò come conseguenza dell’assimilazione delle opere greche.
I matematici cominciarono a rendersi conto che i metodi di dimostrazione greci mancavano di generalità, in quanto bisognava escogitare un metodo speciale quasi per ogni problema.

Questa osservazione era stata compiuta da Agrippa di Nettersheim (1486-1532) sin dal 1527, e da Maurolico, che aveva tradotto delle opere greche e aveva scritto libri sulle sezioni coniche ed altri argomenti matematici.
Molte delle risposte date ai nuovi problemi si ridussero a variazioni minime su vecchi temi. Infatti, la prima innovazione portatrice di rilevanti conseguenze venne solamente in risposta ai problemi sollevati dai pittori.

L’idea fondamentale nel sistema di prospettiva focale creato dai pittori è il principio di proiezione e sezione.
Una scena reale viene osservata dall’occhio considerato alla stregua di un punto.
I raggi di luce che vanno dai vari punti della scena all’occhio sono detti costituire una
proiezione.

Secondo il sistema, il quadro deve contenere una sezione di quella proiezione, laddove la sezione è definita matematicamente come ciò che risulta contenuto in un piano passante attraverso la proiezione.
Supponiamo ora che l’occhio in O guardi il rettangolo orizzontale ABCD. 




















  Le rette che vanno da O ai 4 lati di questo rettangolo costituiscono una proiezione di cui OA, OB, OC e OD sono rette tipiche.
Se si interpone ora un piano fra l’occhio e il rettangolo, le rette della proiezione taglieranno il piano e tracceranno su di esso il quadrangolo A’B’C’D’.

Dato che la sezione (ovvero A’B’C’D’) crea sull’occhio la stessa impressione del rettangolo originale, è ragionevole chiedersi, come fece Alberti, quali proprietà geometriche hanno in comune la sezione e il rettangolo originale.
È intuitivamente evidente che la figura originale e la sezione non sono né congruenti né simili, e neppure hanno la stessa area.

In effetti la sezione non è necessariamente un rettangolo.
Sussiste un’estensione di tale problema: si supponga di fare 2 sezioni diverse di una stessa proiezione mediante 2 piani distinti che tagliano la proiezione secondo angoli qualsiasi.
Quali proprietà hanno in comune le 2 sezioni?

Il problema può essere ulteriormente esteso.
Supponiamo che un rettangolo ABCD sia guardato da 2 punti diversi O’ e O’’. 


 













Vi saranno allora 2 proiezioni, una determinata da O’ e dal rettangolo, l’altra invece da O’’ e dal rettangolo. 
Se si fa una sezione di ciascuna proiezione, allora, poiché ogni sezione deve avere qualche proprietà geometrica in comune col rettangolo, pure le 2 sezioni devono avere delle proprietà geometriche in comune

martedì 7 novembre 2017

DI ELEMENTI E PONTI DEGLI ASINI

In questo post andremo ad osservare le origini della geometria deduttiva, concentrandoci sulla maestosa opera Elementi di Euclide e, in particolare, su un qualcosa all'interno di quest'opera che viene spesso chiamato pons asinorum, ovvero "ponte degli asini".
Incominciamo il nostro viaggio dicendo che la storia della geometria, ovvero lo sviluppo nel tempo del concetto di spazio, parte all’incirca 4000 anni fa con le antiche civiltà degli Egizi e degli Indiani.
È interessante notare come i concetti geometrici si sviluppano nel bambino e nell’adolescente in maniera incredibilmente differente da quanto è avvenuto nel corso della storia.
Infatti, in tal campo pionieristico risulta il lavoro dello svizzero Jean Piaget, che per 60 anni ha studiato a fondo lo sviluppo della concezione logica, matematica e fisica del mondo, dalla nascita dell’individuo alla sua maturità.
Nel 1948 egli ha “riassunto” i risultati geometrici delle sue ricerche in 2 ponderosi volumi, intitolati rispettivamente La rappresentazione dello spazio nel bambino e La geometria spontanea del bambino.
La sorpresa nella suddetta analisi è stata che l’individuo giunge alle nozioni geometriche seguendo un percorso che procede in direzione esattamente opposta a quella delle scoperte effettuate nel corso della storia.
Più precisamente, agli inizi il bambino piccolo è in grado di distinguere fra loro le forme, e riesce presto a disegnare diversamente oggetti che hanno forme diverse: ad esempio, una persona e una casa.
Ci vogliono però alcuni anni perché egli sviluppi la capacità di disegnare gli oggetti nella corretta relazione spaziale: ad esempio, una persona al livello del terreno, invece che sul tetto o per aria, alla maniera di Chagall.
E devono passare ancora altri anni affinché si acquisti infine l’abilità di disegnare in scala, con le corrette relazioni fra le dimensioni: ad esempio, facendo una persona più piccola di una casa e più grande di un cane.
I 3 stadi corrispondono sostanzialmente a 3 tipi di geometria (topologica ottocentesca, proiettiva rinascimentale e metrica greca), ma appunto in ordine inverso.
Detto ciò, cominciamo ad avventurarci nella storia della geometria in modo da introdurre al meglio l’argomento centrale della nostra analisi, ovvero gli Elementi di Euclide.
Intorno al 600 a.C. Talete di Mileto inaugurò quella che chiamiamo “scienza”.
Prima di costui i filosofi non pensavano in termini astratti: invece di cercare i princìpi celati dietro gli eventi insoliti che la natura poneva loro di fronte, cercavano dei personaggi.
Ecco come nacquero i miti e le leggende, storie di dei e dee, i cui rapporti reciproci e con gli uomini davano origine ai fenomeni naturali, come la primavera, il tuono, le eclissi e così via.
Talete (640 a.C/625 a.C. - 547 a.C circa) riteneva al contrario che la natura, lungi dall’operare per capriccio, o in seguito alle vicende fantastiche degli dei, agisse secondo princìpi intellegibili agli uomini; fu lui a introdurre l’astrazione nello studio della natura.
In particolare, Talete portò l’astrazione nella geometria.
Prima del suo avvento, “geometria” (dal greco geo, “terra”, e metrein, “misurare”) significava “agrimensura”, e le figure geometriche erano oggetti particolari, come recinti o campi.
Il filosofo invece le concepì alla stregua di forme astratte, e analizzando alla luce di tale intuizione tutto il “corpus” di indicazioni geometriche, regole pratiche e formule empiriche, tramandato da Babilonesi ed Egizi, vi scoprì un ordine.
Notò cioè che alcuni fatti geometrici erano deducibili a partire da altri.
Esortò così a fare della geometria, per quanto possibile, un’attività puramente speculativa.
Poco distante da Mileto (situata sulla costa occidentale dell’Asia Minore, attualmente Turchia) vi è l’isola di Samo, in cui nacque nientemeno che Pitagora (all’incirca quando Talete aveva 50 anni).
Pitagora (nato tra il 580 e il 570 a.C. - morto nel 495 a.C.) si nutrì delle teorie scientifiche di Talete e abbracciò in particolare la sua concezione della geometria.
I pitagorici ritenevano che tutta la geometria fosse immanente in natura, in altri termini pensavano che i concetti geometrici dovessero essere dotati di una consistenza effettiva nel mondo materiale.
L’eredità della scuola pitagorica risiede in ciò che i matematici odierni chiamano “rigore”, un modo di pensare caratteristico che mira a separare il più possibile la matematica dalle sue origini concrete e pratiche.
I termini vengono definiti e i princìpi vengono formulati avendo la massima cura di non introdurre surrettiziamente ipotesi non esplicitate, e i teoremi sono dimostrati usando la sola logica.
Nel V secolo a.C., quando ancora la matematica non era una disciplina rigorosa, i matematici avevano già elaborato lunghe serie di teoremi geometrici in cui ogni teorema veniva dedotto, in modo non formale, da quelli precedenti; ogni serie iniziava da generalizzazioni dell’esperienza che naturalmente non erano dimostrate.
Con l’ampliarsi della portata di tali catene deduttive, emerse la proposta di grande audacia che forse sarebbe stato possibile unirle tutte in un unico sistema basato su un ristretto numero di generalizzazioni dell’esperienza, che avrebbe potuto contenere una vasta gamma di conoscenze geometriche elementari.
Verso la fine del suddetto secolo, più o meno all’epoca della dimostrazione della non-razionalità di √2, Ippocrate di Chio stabilì questo risultato in un libro denominato Elementi, ovvero il primissimo tentativo di esposizione sistematica della geometria.
Successivamente, mentre si procedeva a rendere rigorosa la matematica, vennero formulati altri sistemi geometrici completi.
Un libro di Elementi fu scritto da un matematico di nome Leone, di cui non sappiamo nient’altro se non il nome e che fu attivo attorno al 380 a.C.
Un altro Elementi, di poco posteriore, fu opera di Teudio di Magnesia, membro dell’Accademia platonica.
Ergo, ad ognuno di questi sistemi ci si riferiva come agli Elementi e probabilmente ognuno, avendo assiomi più semplici, logica più rigorosa o più teoremi, si presentava come un miglioramento dei precedenti.
La suddetta serie culminò con i celebri Elementi di Euclide, opera ultimata all’incirca nel 300 a.C.
Gli Elementi di Euclide costituiscono un unico sistema deduttivo di 465 teoremi che contiene non solo una enorme quantità di geometria elementare ma pure numerosi elementi di algebra e di teoria dei numeri.
La loro organizzazione e il loro livello ne fecero il testo di riferimento di geometria; in effetti ben presto eclissarono ogni tentativo di sistemazione precedente.
Gli Elementi di Euclide rappresentano il libro di testo di maggior successo mai scritto.
Hanno avuto infatti più di 1000 edizioni e sono stati adottati fino all’avvento dei “textbook” nel XX secolo.
Ancora più significativo è il fatto che, sin da loro primo apparire, siano divenuti per gli scienziati una pietra di paragone: essi costituiscono l’archetipo del trattato scientifico.
Considerando l’importanza di tal opera, è sorprendente quanto poco si sappia del suo autore: gli studiosi hanno persino dubbi nel datare la vita di Euclide, e si sa solo che fiorì attorno al 300 a.C, quando il centro degli studi matematici e filosofici si stava spostando da Atene ad Alessandria d’Egitto, fondata da Alessandro Magno alle foci del Nilo.
In questo luogo Euclide fondò, presso il Museo, “Tempio delle Muse” (centro dello sviluppo umanistico e scientifico della cultura ellenistica), una scuola matematica ma, a parte questo, tutto ciò che si conosce di lui si deve a 2 aneddoti:

1) Il primo racconta di uno studente che iniziando a studiare geometria gli chiede: “Cosa ci guadagno a imparare queste cose?”, al che Euclide, per tutta risposta, chiama un servo e gli ordina: “Dagli una moneta, poiché vuol lucrare dalla conoscenza”.

2) Nel secondo si racconta del re Tolomeo I (un generale di Alessandro Magno) che gli chiede: “Esiste in geometria una strada più breve degli Elementi?” ed Euclide risponde: “Non esiste via regia alla geometria”.