martedì 11 novembre 2014

CURVE CUBICHE: LA VERSIERA DI AGNESI E LA CISSOIDE DI DIOCLE

Dopo aver parlato della brachistocrona, incominciamo un'altra interessante avventura nel mondo delle curve matematiche.
Andremo a scoprire 2 particolari curve cubiche, simili fra loro: la versiera di Agnesi e la cissoide di Diocle.
La versiera di Agnesi è una particolare curva cubica piana attribuita alla matematica italiana Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) nell'opera in 2 volumi, datata 1748, Istituzioni Analitiche ad uso della gioventù italiana.
Trattasi del primo manuale completo che prende in esame sia il calcolo differenziale che quello integrale, oltre ad essere il primo libro di matematica a noi pervenuto scritto da una donna e pure uno dei primi contributi concernenti la geometria analitica provenienti dall'Italia.
In una nota, il Consiglio dell'Accademia delle Scienze di Parigi riferisce:

"Fu necessaria molta abilità e furbizia per ridurre, come ha fatto l'autrice, a un metodo quasi uniforme queste scoperte sparse tra le parole dei matematici moderni e spesso presentate con metodi molto differenti tra loro. Ordine, chiarezza e precisione regnano in tutte le parti di quest'opera."
 
Nata a Milano il 16 maggio 1718, terza di 21 fratelli, bambina prodigio, Maria Agnesi a 13 anni parlava almeno 7 lingue (l'italiano, il tedesco, il francese, il latino, il greco, lo spagnolo e l'ebraico), al punto che venne soprannominata Oracolo settelingue.
Nel 1737, per non disubbidire ai voleri del padre (facoltoso commerciante di seta), i suoi studi si spostarono dall'ambito delle lingue a quello filosofico e matematico.
Nel frattempo casa Agnesi era diventata uno dei salotti più gettonati di Milano, ove erano soliti recarsi intellettuali italiani e da mezza europa.
Proprio questi introdussero la giovane agli Elementi di Euclide, alla Logica, alla Metafisica e alla Fisica Generale.
Addirittura, era diventata una tradizione la discussione da parte di Maria di svariate tesi filosofiche nel salotto di casa Agnesi, tutte (ben 191) pubblicate nel 1738 in una raccolta intitolata Propositiones Philosophicae.
Tuttavia, per buona parte della sua vita trascurò i rapporti sociali, scegliendo di dedicarsi completamente allo studio della matematica e della religione, al punto che arrivò a chiedere al padre il permesso di diventare suora!
Pieno di sgomento all'idea che la sua bambina più cara lo volesse abbandonare, egli la pregò di cambiare idea.
La ragazza acconsentì di restare con il padre, a patto di poter vivere in uno stato di relativa clausura e di poter recarsi in chiesa quando lo desiderava.
Nel 1740 incominciò un periodo di collaborazione con padre Ramiro Rampinelli, titolare della cattedra di matematica e fisica all'Università di Pavia e pioniere della matematica analitica.
Grazie al supporto di Rampinelli, l'Agnesi studiò il testo dell'abate Reyneau, Analisi dimostrata (1708) e venne incoraggiata nella preparazione della sua opera più importante, appunto le Istituzioni Analitiche.
La grandiosità di quell'opera spinse addirittura papa Benedetto XIV a proporgli la cattedra di matematica all'Università di Bologna.
Tuttavia, la matematica rifiutò e anzi, dopo la morte del padre (nel 1752), si dedicò completamente ad opere di carità.
Casa Agnesi divenne un rifugio per inferme e lei stessa diventò serva e infermiera.
Successivamente, nel 1771, grazie a una donazione del principe don Antonio Tolomeo Trivulzi venne fondato a Milano il Pio Albergo Trivulzio.
Per merito dell'invito del cardinale Giuseppe Pozzobonelli, nel 1783 Maria Gaetana si trasferì al Pio Albergo in qualità di Visitatrice e Direttrice delle Donne, specialmente inferme.
L'Agnesi era diventata a tutti gli effetti una teologa, al punto che lo stesso Pozzobonelli si rivolse a lei al fine di decidere sull'ortodossia di uno scritto relativo a politica e religione.
Lo stesso non si può dire delle opere scientifiche: era molto remissiva a dare giudizi sulle suddette, infatti quando l'Accademia di Torino le propose di esaminare i lavori di Lagrange inerenti al calcolo delle variazioni, la donna si sottrasse, adducendo le sue serie occupazioni.
Per ben 26 anni rimase al Trivulzio, impegnandosi nell'aiuto delle inferme, fino alla morte, avvenuta il 9 gennaio 1799.
Andiamo ora ad osservare la particolare curva che rese celebre l'Agnesi.
C'è da specificare che, in realtà, la versiera era già stata studiata da Fermat nel 1666 e da Guido Grandi nel 1703 in Quadratura circuli et hyperbolae.
Grandi l'aveva denominata curva con (seno) verso, ovvero contrario, nemico.
Nel 1801 John Colson, Lucasian Professor di Matematica all’Università di Cambridge, in una sua traduzione confuse l’originario significato del nome di derivazione latina della curva con quello di “avversaria" (dal francese aversier), "nemica” (versiera appunto), appellativo attribuito generalmente alle streghe.
Ecco perché ancora oggi la suddetta curva è nota come witch of Agnesi ("strega di Agnesi").
Per costruire la versiera, si parte da un cerchio di raggio a e centro C in un riferimento cartesiano Oxy.

sabato 11 ottobre 2014

IL PROBLEMA DELLA BRACHISTOCRONA

Uno dei problemi più celebri del calcolo delle variazioni è quello di determinare la curva congiungente 2 punti A e B assegnati (con il punto A posto a una quota superiore rispetto a B) e lungo la quale un punto materiale (possiamo anche immaginare un carrello) lasciato cadere (da fermo, sotto l'effetto di un campo gravitazionale e senza presenza di attrito) dal punto A raggiunga B nel minor tempo possibile.


















Questo problema di determinare la suddetta curva (immaginabile come uno scivolo) viene chiamato problema della brachistocrona (dal greco bráchistos, superlativo di brachýs, "breve", e chrónos, "tempo"), letteralmente "curva del tempo più corto".
Abbiamo già introdotto i rudimenti del calcolo delle variazioni qui.
Ricordiamo che trattasi di un campo dell'analisi matematica, il quale si occupa di trovare fra tutte le curve che soddisfano una determinata proprietà quella (o quelle) che minimizzano un certo criterio (ad esempio la lunghezza, il tempo o altre espressioni maggiormente complicate dipendenti dalla curva).
Il calcolo delle variazioni nacque proprio nel 1697 quando Johann Bernoulli (1667-1748) riuscì a risolvere il problema della brachistocrona, su cui si interrogava già Galileo nel 1638 nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e ai moti locali.
Tale branca venne sviluppata nell'arco di pochi decenni tanto che nel 1744 Eulero aveva già pubblicato il trattato Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes.
Successivamente, nel 1755, un giovane diciannovenne gli inviò un'epistola nella quale esponeva un metodo superiore al suo.
Si trattava di Joseph-Louis Lagrange, grande matematico (italiano) a cui abbiamo dedicato un post visualizzabile cliccando qui
Eulero, con un gesto tipico della sua personalità, rinviò la pubblicazione dei propri lavori in materia al fine di lasciare al giovane il primato di questo metodo, che battezzerà "calcolo delle variazioni".
Questi 2 straordinari matematici continuarono negli anni successivi ad occuparsene e a svilupparlo: Lagrange negli articoli pubblicati tra il 1758 e il 1761 negli "Atti" dell'Accademia delle Scienze di Torino, ed Eulero nella memoria datata 1766 dal titolo Elementa calculi variationum.
Ma veniamo al nocciolo della questione: come si risolve il problema?

lunedì 29 settembre 2014

PAULI E JUNG: L'INCONTRO TRA FISICA E PSICHE

Una volta Wolfgang Pauli (1900-1958), grande fisico teorico austriaco, contributore dello sviluppo della Meccanica Quantistica nei primi decenni del XX secolo, asserì che se Dio gli avesse concesso di chiedergli qualsiasi cosa desiderasse, la sua prima domanda sarebbe stata: «Perché 137?».
Un suo collega, Abdus Salam (premio Nobel per la Fisica nel 1979), si divertì a immaginarsi una maliziosa conclusione di questa ipotetica storia.
Immaginò infatti che un giorno Pauli avesse davvero la possibilità di porre la sua domanda a Dio. Per rispondergli, la divinità prese un gessetto e cominciò, alla lavagna, a illustrare il perché la costante di struttura fine dovesse valere proprio 1/137. Dopo qualche istante Pauli scosse la testa, esclamando un profondo "No" e facendo notare a Dio l'errore che aveva compiuto!
Di costante di struttura fine abbiamo parlato qui, ricordiamo tuttavia brevemente che si tratta di una costante adimensionale, introdotta da Arnold Sommerfeld nel 1916, derivante da altre importanti costanti della fisica e che risulta fondamentale per descrivere la velocità con cui si muovono gli elettroni attorno al nucleo di un atomo, sul primo orbitale (ricordiamo che trattasi della regione di spazio attorno al nucleo atomico ove la possibilità di trovare un elettrone è massima).
A detta di Max Born, in "The Mysterious Number 137", articolo pubblicato nei "Proceedings of the Indian Academy of Sciences" nel 1935, la costante «Ha le conseguenze più fondamentali per la struttura della materia in generale».
Tale costante, indicata generalmente mediante la lettera greca α, va quindi a definire la scala degli oggetti naturali: le dimensioni degli atomi e di tutte le cose che sono costituite da atomi, l'intensità e i colori della luce, l'intensità delle forze elettromagnetiche.
In sostanza, controlla e ordina tutto ciò che vediamo.
La costante di struttura fine è di fondamentale importanza anche per quanto concerne il principio antropico (di cui abbiamo parlato approfonditamente in un post visualizzabile cliccando qui).
Infatti, il suddetto parametro adimensionale è determinante nel far sì che l'Universo si presenti così com'è, ossia in grado, tra le altre cose, di ospitare forme di vita.
Una leggera variazione (del 10-20%) dal suo valore noto basterebbe infatti a influenzare in modo rilevante le leggi fisiche che governano l'Universo, in quanto si avrebbero cambiamenti nei rapporti tra le forze attrattive e repulsive tra le particelle elementari, con conseguenze dirette sulla costituzione della materia e sull'attività stellare.
Insomma, questo 137 è un numero che ha affascinato e continua ad affascinare i fisici.
Julian Schwinger, uno dei padri dell'elettrodinamica quantistica (in breve QED), ha addirittura inserito il 137 nella targa personalizzata della sua auto sportiva!
Richard Feynman, nel favoloso libro divulgativo intitolato QED, scrive a proposito della costante:

"Questo numero costituisce un vero rompicapo fin da quando fu scoperto, e tutti i migliori fisici teorici lo tengono incorniciato e appeso al muro e ogni giorno ci meditano su. Vi chiederete subito da dove venga questo valore: è connesso a π, o magari alla base dei logaritmi naturali? Nessuno lo sa. È  uno dei più enigmatici enigmi della fisica, un numero magico che ci viene offerto nel mistero più assoluto. Si potrebbe quasi dire che a scrivere questo numero sia stata la «mano di Dio» e che noi «non sappiamo come Egli abbia mosso la sua matita». Sappiamo perfettamente che cosa fare sperimentalmente per avere una misura accuratissima di questo valore, ma non sappiamo che arzigogolo inventare per farlo venir fuori da un calcolatore, senza avercelo messo dentro di nascosto!"

In un primo momento sembrava che Pauli fosse rimasto indifferente al mistero che avvolgeva il numero 137, tuttavia nel febbraio 1934 scrisse a Heisenberg che il problema chiave era "sistemare [1/137] e l'“atomistica” della carica elettrica".
Infatti, in quel periodo egli stava cercando di pervenire a una versione dell'elettrodinamica quantistica nella quale massa e carica dell'elettrone non assumessero valori infiniti.
Nonostante tutti i suoi sforzi nel manipolare le equazioni, il concetto di carica elettrica vi rientrava comunque.
Ecco perché parlava di "atomistica" (atomo più mistica) della carica elettrica.
Il problema era infatti che l'elettrodinamica quantistica non teneva "conto della natura atomica della carica elettrica quando quest'ultima entrava nella QED come parte della costante di struttura fine.
Secondo Pauli, il concetto di carica elettrica risultava estraneo sia alla fisica prequantistica che alla fisica quantistica.
In effetti, in entrambe risultava necessario introdurre la carica dell'elettrone nelle equazioni; non emergeva dalle equazioni stesse!
Poi nella teoria quantistica il tutto era reso più complesso dalla presenza di quella "mistica" costante dal valore 1/137, la quale metteva in relazione la carica dell'elettrone (e) con altre 2 costanti fondamentali della natura:
  • costante di Planck (h), la più piccola quantità misurabile dell'Universo ed emblema della meccanica quantistica. Dunque una costante riguardante la natura ad un livello atomico o subatomico.
  • velocità della luce (c), simbolo della teoria della relatività, che si occupa dell'Universo nel suo complesso.
Formula che definisce la costante α





Nell'aprile del 1934 Pauli scrisse, sempre ad Heisenberg: "Tutto diverrà magnifico quando si definirà [1/137]".
Quell'anno, durante una conferenza tenuta a Zurigo, Pauli rimarcò l'importanza di eliminare i valori infiniti che persistevano nella QED e analizzò il rapporto della teoria con il modo in cui comprendiamo lo spazio e il tempo.
Risolvere il suddetto problema avrebbe richiesto appunto "un'interpretazione del valore numerico della grandezza priva di dimensione [137]".
Ma, vi starete chiedendo, in tutto questo che diavolo c'entra Jung?
Ebbene, l'ossessione per quel numero che lo perseguitava di giorno e di notte fu uno dei motivi che condusse Pauli a rivolgersi proprio a Carl Gustav Jung (1875-1961), psichiatra e psicoanalistica svizzero che insieme a Freud aveva introdotto il concetto di mente alla stregua di realtà che poteva essere studiata, spiegata e, nel caso, anche curata.

Pauli e Jung












Prima di osservare la collaborazione, a partire dagli anni 30', che ci fu tra questi 2 grandissimi studiosi di ambiti totalmente differenti, effettuiamo un flashback, andando a indagare sulla vita e le scoperte principali di Pauli fino al momento dell'incontro con Jung.

sabato 9 agosto 2014

LA RISONANZA

Perché un bicchiere può rompersi sotto l'effetto di un'onda sonora? Come fanno i suoni prodotti dalle corde di un violino ad essere amplificati?
Alla base di questi singolari fenomeni c'è un concetto chiamato risonanza.
In fisica si definisce risonanza la tendenza di un sistema vibrante ad oscillare più marcatamente a determinate frequenze rispetto che ad altre.
Per capire un po' meglio cosa sia la risonanza, dobbiamo compiere un excursus sugli oscillatori armonici smorzati e forzati.
Si definisce oscillatore armonico smorzato un sistema vibrante costituito da una massa m, soggetto all'azione di una forza elastica e a quella di una forza viscosa (appunto una forza che smorza il moto).

Oscillatore armonico smorzato













Sappiamo (recarsi qui per i dettagli) che se andiamo a considerare un moto armonico semplice, ossia senza alcun tipo di smorzamento, la legge oraria del moto sarebbe di questo tipo:



Con A indicante l'ampiezza del moto, ω la pulsazione e α lo sfasamento.
Ricordiamo che (t), in tal frangente, non va ad indicare una moltiplicazione per il tempo t, bensì specifica una dipendenza della posizione s dal tempo t.
Ora se provassimo a derivare tale legge rispetto al tempo, otterremmo una velocità pari a:



Nessuno ci vieta di derivare ancora una volta, ottenendo pertanto un'accelerazione pari a:



Possiamo notare un particolare: nel secondo membro dell'equazione compare l'espressione che definisce la posizione s della massa in moto armonico semplice.
Ergo, potremmo riscriverla come:



o ancora meglio, conducendo tutti i termini al primo membro:



Questa è l'equazione differenziale del 2° ordine, lineare, a coefficienti costanti ed omogenea (ossia con termine noto pari a 0) che descrive il moto armonico semplice.
Che eleganza, che semplicità!
Nell'ottobre del 1956, mentre era in visita presso l'Università di Mosca, Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984), uno dei massimi protagonisti nello sviluppo della teoria dei quanti, venne invitato dall'amico e collega Dmitri Ivanenko a riassumere in una singola frase la propria idea della fisica.
Dirac si recò allora alla lavagna e vi scrisse una frase memorabile, al punto che Ivanenko chiamò un operaio, incaricandolo di asportare il frammento di lavagna e di sigillarlo!
Su quel pezzo di ardesia vi era (e vi è ancora) riportato il credo scientifico di una delle menti più geniali del XX secolo:
"LE LEGGI DELLA FISICA DEVONO ESSERE DOTATE DI BELLEZZA MATEMATICA".

Fonte dell'immagine








Dopo questa breve ma molto interessante parentesi, aggiungiamo a quanto detto che scopriremo che la legge dell'oscillatore smorzato è molto simile a quella dell'oscillatore armonico semplice.

lunedì 7 luglio 2014

MUSICA E MATEMATICA: NOTE, PUNTI, ARMONIOSITÀ E SIMMETRIA

"La musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza essere conscia di contare" (Gottfried Wilhelm von Leibniz)

"Nonostante tutta l'esperienza che io possa aver acquisito nella musica per il fatto di essermi associato tanto a lungo con essa, devo confessare che solo con l'aiuto della matematica le mie idee si sono chiarite" (Jean-Philippe Rameau)

"La musica non può progredire senza l'ausilio della scienza" (Pierre Boulez)
Tre citazioni che evidenziano in modo perfetto lo stretto rapporto che intercorre tra musica e matematica, una relazione già scoperta in tempi antichi da Pitagora, come racconta ad esempio Giamblico nella sua Vita di Pitagora.
Un giorno Pitagora, mentre passeggiava nella città di Crotone seguito dai suoi discepoli, capitò di fronte alla bottega di un fabbro ferraio e si fermò ad ascoltare i suoni dei martelli che battevano sulle incudini.
Il filosofo si accorse che alcuni di questi suoni stavano bene insieme (ossia erano consonanti), mentre altri no (dissonanti). Abbiamo parlato in maniera approfondita di consonanza e dissonanza in musica nell'articolo "Helmholtz e la dissonanza".
Curioso di comprendere perché avvenisse questo singolare fenomeno, entrò e incominciò a fare esperimenti.
Innanzitutto prese 2 martelli di peso identico, li batté sull'incudine e si rese conto che producevano il medesimo suono.
Poi afferrò altri 2 martelli, questa volta di peso differente: il primo pesava il doppio del secondo.
Battendoli su un'incudine, si rese conto che la nota prodotta era sempre la stessa, tuttavia a 2 altezze differenti (nello specifico, a una distanza che oggi viene chiamata ottava, l'intervallo più armonioso).
Nella successiva prova un martello pesava una volta e mezzo l'altro, dunque si aveva un rapporto dei pesi pari a 3:2.
I suoni furono differenti e in particolare produssero ciò che oggi viene chiamato intervallo di quinta.
I successivi esperimenti produssero ulteriori intervalli musicali.
Quello che Pitagora aveva scoperto era un vero e proprio ponte tra la musica, disciplina che apparteneva al mondo delle arti, e il mondo fisico, un ponte rappresentato dalla matematica!
Risulta necessario specificare che nel 1589 Vincenzo Galilei, padre di Galileo, nell'opera Discorso intorno alle opere di Messer Zarlino da Chioggia, fece notare che le leggi dell'armonia enunciate da Pitagora sono valide solamente per le lunghezze delle corde, ma non per i pesi, che devono invece essere quadrati.
I giusti rapporti numerici tra i suoni sono elencati in questa tabella:







Pitagora avrebbe dovuto accorgersi che per i pesi non valevano le stesse leggi che sussistevano per le corde.
Ciò fa capire che quanto racconta Giamblico potrebbe non essere del tutto veritiero (per maggiori approfondimenti sulla questione si veda qui)!
Vero però è il fatto che alla base della musica ci sia la matematica!
In questo post andremo ad analizzare un po' di relazioni che sussistono tra 2 mondi apparentemente così distaccati quali quello della musica e quello della matematica.