sabato 9 ottobre 2021

MECCANICA QUANTISTICA: NORMALIZZAZIONE ED EQUAZIONE DI CONTINUITÀ

Riprendiamo il nostro viaggio nei rudimenti della meccanica quantistica che avevamo cominciato tempo fa.
Ecco l'elenco delle puntate precedenti:


L'obiettivo del presente post è arrivare a derivare l'importante equazione di continuità.
Per far questo, cominciamo dicendo che, poiché $|\psi(\vec{r},t)|^2 \mathrm{d} \vec{r}$ rappresenta una probabilità, allora se noi andiamo ad integrare questa quantità su tutto lo spazio occorre che questa probabilità sia 1:






Non ha mai senso parlare infatti di una probabilità che superi 1, cioè il 100%.
















Quella appena scritta prende il nome di condizione di normalizzazione.
La condizione ci fa anche capire che le funzioni d’onda devono essere necessariamente funzioni a quadrato sommabile.
Al tempo iniziale possiamo normalizzare all’unità la funzione d’onda, come appena detto.
Rimane un fattore di fase arbitrario che possiamo fissare a piacere perché, se mantenuto coerentemente, non avrà conseguenze fisiche.
Tuttavia, affinché tutto ciò sia coerente, è necessario che l’equazione di Schrödinger garantisca la normalizzazione nel futuro.
Se dovessimo infatti rinormalizzare la funzione d’onda ad ogni istante, l’equazione non sarebbe più soddisfatta!
Occorre pertanto che:






Andiamo a vedere se l’equazione di Schrödinger garantisce tale conservazione della norma. Partiamo dall’equazione di Schrödinger generale






e dalla sua forma complessa coniugata (quella dell'asterisco è un'altra notazione comune per indicarla)




Moltiplichiamo la prima per $\psi^*$ e la seconda per $\psi$, dopodiché sottraiamo. Ne risulta:





giacché





Adesso andiamo ad integrare quanto ottenuto su un volume $V$:





La norma risulta dunque conservata se vale






Se interpretiamo le funzioni $\psi$ come rappresentazioni di uno spazio vettoriale, questa relazione si può riscrivere come:






cioè la conservazione della norma viene assicurata se l’hamiltoniana è un operatore hermitiano.
Scritta così potreste non aver capito molto, quindi cerchiamo di chiarire meglio cosa sia un operatore hermitiano, che è un concetto importantissimo ai fini della meccanica quantistica.

mercoledì 15 settembre 2021

THE UNTAMED E IL POTERE DELLA MUSICA

Come ben sapete, il blog Scienza e Musica è essenzialmente dedicato a post di divulgazione scientifica e/o musicale. 
Qualche mese fa, tuttavia, c'è stata l'occasione di affrontare per la prima volta un post di recensione, in particolare di una serie anime molto intensa, ovvero Banana Fish (cliccate qui per leggerlo).
Quello con le recensioni non sarà un appuntamento frequente, ma nel momento in cui ci sarà un'occasione notevole magari legata a qualcosa di scientifico-matematico o musicale, non faranno mancare la loro presenza.
Il presente post deriva dalla visione di una spettacolare serie televisiva cinese del 2019 di 50 episodi, intitolata The Untamed (o Chen qing ling), vincitrice di numerosi premi.

Essa è un adattamento del romanzo fantasy Mó dào zǔ shī, scritto dall'autrice Mò Xiāng Tóng Xiù nel 2015, ambientato in una Cina antica, da cui è stato tratto pure un manhua/dònghuà, cioè un manga/anime cinese.
Un adattamento quello di The Untamed, aggiungiamo, non esente da censure (dovute alle dure ed assurde leggi cinesi relative alle rappresentazioni aventi tematiche LGBT), dato che il romanzo originale contiene un'esplicita storia d'amore tra i due protagonisti maschili, mentre la serie tv mantiene il tutto su un livello puramente platonico, ma non banale.
Ma sintetizzare The Untamed come la storia d'amore (platonico) tra due protagonisti sarebbe assolutamente ridicolo, al di là della deprecabile censura attuata.
Per comprendere ciò, presentiamo innanzitutto una brevissima sintesi (senza grossi spoiler) degli aspetti peculiari della trama, per poi condurre un'analisi di alcune tematiche rilevanti affrontate nella serie e comprendere il grossissimo ruolo giocato dalla musica!
L'inizio della storia è in medias res, nel senso che ci viene presentata sin dal primo episodio una scena molto intensa riguardante i 2 protagonisti, Wei Wuxian (interpretato dall'attore e cantante Xiao Zhan) e Lan Wangji (interpretato dall'attore e cantante Wang Yibo).
Il primo infatti sembrerebbe morire, per poi "resuscitare" 16 anni dopo, ripresentandosi in mezzo alla gente facendosi chiamare Mo Xuanyu e indossando una maschera per evitare di essere riconosciuto.
Le prime puntate potrebbero sembrare un po' confusionarie alla primissima visione, ma tutto diverrà molto chiaro col proseguire della serie.
Infatti, dopo pochi episodi iniziali, incomincia un lunghissimo e meraviglioso flashback che ci permette di comprendere tutti i dettagli e il perché si arrivi alle scene presentate nelle prime puntate.
Un altro aspetto che inizialmente potrebbe confondere un po' lo spettatore è l'uso frequente di nomi diversi che vengono utilizzati per riferirsi ad un medesimo personaggio.
C'è infatti da sapere che tutti i personaggi fondamentali di The Untamed appartengono ad una società suddivisa in clan, alcuni più importanti, altri meno, e ci si può rivolgere alle persone con i propri nomi più formali o quelli più diretti, oltre a vari appellativi tipici.
Per esempio Wei Wuxian è spesso chiamato Wei Gongzi, dove l'appellativo "Gongzi" significa in cinese "giovane maestro", mentre Lan Wangji (Lan è il nome di uno dei clan principali) viene spesso chiamato Lan Zhan.
Tutti i clan principali sono formati da membri più o meno abili nel combattimento, ma il potere non deriva tanto dalla forza fisica bensì dalla cosiddetta "coltivazione spirituale", che consente di sviluppare delle facoltà sovrannaturali ed è anche il motivo per cui molti personaggi non sembrano invecchiare.
Opere che affrontano un tale tipo di tematica vengono in particolare dette appartenenti al genere Xiānxiá.
Il flashback ci consente di capire pure che il protagonista, Wei Wuxian, ha avuto un'infanzia travagliata dalla morte dei genitori ed è stato accolto come discepolo in uno dei clan più illustri, ossia il clan Jiang.
Il rapporto di Wei Wuxian con la sorella acquisita, Jiang Yanli, sarà strettissimo, commovente, mentre quello con il fratellastro, Jiang Cheng, non sarà sempre così roseo e rappresenterà uno dei nodi centrali di molte disavventure e fraintendimenti.
L'altro legame fondamentale è naturalmente quello con Lan Zhan.
I due si conoscono quando il giovane Wei Wuxian si reca nella dimora del clan Lan per compiere l'addestramento nella coltivazione spirituale.
Inizialmente essi appaiono come due personalità diametralmente opposte, come il giorno e la notte.
Wei Wuxian ha un carattere allegro, solare e tende a non curarsi molto delle regole, mentre Lan Wangji appare freddo, glaciale, impassibile, totalmente rispettoso delle rigide regole (ben 3000) del suo clan.
Le delicate vicende che si susseguiranno nel corso degli episodi, dovute a tematiche quali la sete di potere perseguita senza scrupoli (rappresentata in particolare da un oggetto misterioso chiamato metallo Yin) e la vendetta, porteranno man mano non solo ad un'evoluzione caratteriale dei due protagonisti, ma a tanti colpi di scena, intrighi e momenti che faranno riflettere su tutto ciò che si è visto in precedenza.
Tuttavia il tema che forse più di tutti colpisce in The Untamed è la riflessione sul concetto di bene e male.
La riflessione che tutta la serie porterà a compiere sta nel fatto che non si possano categorizzare il bene e il male come delle caratteristiche nette, ben definite, come il nero e il bianco, senza alcuna sfumatura.
Ci possono infatti essere delle persone (anche nella realtà quotidiana) che all'apparenza dimostrano un atteggiamento di pura bontà e generosità, ma che nascondono dietro esso un fine crudele e spietato; d'altro canto possono esistere delle persone i cui atteggiamenti un po' irruenti, anticonvenzionali, "arroganti", ma con un buon fine, vengono interpretati come azioni inqualificabili o addirittura come il male assoluto a cui dare la caccia.
Il personaggio di Wei Wuxian è quello che più di tutti fornisce l'emblema perfetto dell'ultima considerazione.
Costui si ritroverà ad essere una sorta di sacco da boxe su cui (quasi) tutti quanti scaricheranno colpe da costui non commesse e a dover portare sulle spalle un peso colossale, nonostante molte delle sue scelte di vita siano state compiute per aiutare gli altri, rimettendoci egli stesso.
La serie è dunque colma di momenti assai intensi, intervallati da momenti divertenti e da belle scene di combattimento.
Le ambientazioni e i costumi sono spettacolari, ma c'è un elemento assolutamente notevole su cui, come anticipato, è necessario focalizzarsi: la musica!

mercoledì 8 settembre 2021

L'ABC DEL PATH INTEGRAL E DEL WORLDLINE FORMALISM

Abbiamo già avuto modo in passato di accennare brevissimamente al concetto di path integral (o, se volete, integrale sui cammini) qui.
Dato che in questo periodo sto lavorando ad una tesi (che magari condividerò qui in futuro) assai attinente a tal concetto, volevo provare a fornire ai lettori del blog un'introduzione a tale importante nozione leggermente più ampia di quanto precedentemente fatto, che si focalizzi sugli aspetti che non richiedono immensi prerequisiti per la comprensione ed anche sull'interessante origine storica di tale concetto, oltre che su uno sviluppo relativamente recente come il worldline formalism.
Incominciamo dicendo che l'approccio della meccanica quantistica basato sui path integrals venne sviluppato da Richard Feynman (1918-1988) nella sua tesi di dottorato del 1942, scritta sotto la supervisione nientemeno che di John Archibald Wheeler (1911-2018), noto, tra le altre cose, anche per aver coniato nel 1967 il termine "buco nero".
Alcuni anni dopo, Feynman pubblicò un articolo fondamentale (Space-time approach to non-Relativistic Quantum Mechanics, datato 1948) e pure un celebre libro, assieme ad Albert R. Hibbs (Quantum Mechanics and Path Integrals, datato 1965), circa la suddetta tematica.
Il grande merito di Feynman in tal ambito fu quello di riuscire a dar vita a una formulazione della meccanica quantistica in cui lo "spazio-tempo" giocasse un ruolo essenziale e non solo lo spazio di Hilbert, come nella versione tradizionale della meccanica quantistica.
Il fondamento di tale approccio innovativo si basava su un concetto già ben noto in meccanica classica, ovvero quello di azione, che in termini matematici è un funzionale (abbiamo già parlato qui di tale nozione). 
In simboli possiamo scrivere l'azione $S[x(t)]$ come:






dove $x(t)$ denota una qualsivoglia traiettoria (non necessariamente classica) compresa tra $(x_0, t_0)$ e $(x_1, t_1)$, $\dot{x}(t)$ è la derivata rispetto al tempo di $x(t)$, mentre $\mathcal{L}$ è la Lagrangiana del sistema.
Feynman pervenne nello specifico alla seguente formula fondamentale:





Messa così, alla stregua di un inizio in medias res letterario, il lettore non troppo esperto potrebbe non capire molto dell'ultima rilevante equazione.
Don't worry, procediamo con calma!
L'esponenziale in questione lo avete già visto in forma molto simile nel vecchio post; l'unica differenza qui è che manca totalmente la presenza della costante di Planck $\hbar$.
Perché?  
No, non è che a Feynman stesse antipatico Planck e abbia deciso di trollare tutta la comunità scientifica eliminando la celebre costante universale; semplicemente, in certi ambiti della fisica teorica (come la teoria quantistica dei campi), non è così insolito ricorrere alle cosiddette unità naturali, cioè porre per esempio la semplificazione (senza perdita di generalità) $c = \hbar = 1$, cosa che rende più compatte le formule in cui originariamente compare la velocità della luce $c$ e la costante di Planck $\hbar$.
In altre parole, il vero esponenziale precedente sarebbe $e^{\frac{i}{\hbar}S[x(t)]}$, ma, avendo posto $\hbar = 1$, si riduce semplicemente a ciò che leggete sopra.
Passiamo ora a $\mathcal{D}[x(t)]$. Che diavolo rappresenta?
Innanzitutto, il fatto che sia un'espressione che ha un argomento racchiuso tra parentesi quadre dovrebbe subito farvi intuire che si tratta di un funzionale (se fosse stata una tradizionale funzione avreste letto $\mathcal{D}(x(t))$.
Diciamo che complessivamente l'espressione $\int_{(x_0,t_0)}^{(x_1,t_1)} \mathcal{D[x(t)]}$ indica un'integrazione funzionale corrispondente approssimativamente ad una somma su tutte le traiettorie comprese tra $(x_0,t_0)$ e $(x_1,t_1)$.
Ciò che generalmente si fa con la formula fondamentale fornita in precedenza è inserire una traiettoria in $e^{iS[x(t)]}$, calcolare tale quantità e "sommare" ciò alla medesima espressione con una traiettoria differente e continuare in tal modo per tutte le traiettorie comprese tra $(x_0,t_0)$ e $(x_1,t_1)$.
Questo discorso dovrebbe rendere palese il motivo per cui tale metodo si chiama integrale sui cammini (path integral).
Rimane da capire cosa sia $\mathcal{K}(x_1,t_1; x_0,t_0)$. 
Qui dovrete purtroppo accontentarvi di sapere che il suddetto oggetto matematico si chiama propagatore ed è l'analogo della funzione di Green che troviamo spesso nell'ambito dell'elettrodinamica. 
Si potrebbe infatti dimostrare la relazione strettissima (sono praticamente la stessa cosa) sussistente tra propagatore e funzione di Green, ma ciò andrebbe ben oltre gli scopi divulgativi del presente post.
Chiaramente si potrebbe anche fornire una derivazione rigorosa (per esempio sfruttando la cosiddetta formula di Trotter) della formula fondamentale fornita precedentemente in modo secco, ma anche ciò oltrepassa il livello di trattazione che ci siamo qui prefissati.
Un'interpretazione maggiormente "concreta" e divulgativa del concetto di path integral si deve allo stesso Feynman, che nel libro del 1965 prima citato ha fatto riferimento al famoso esperimento della doppia fenditura e lo ha generalizzato a un sistema di schermi con un numero infinito di fenditure aperte e chiuse.
Se adesso volessimo calcolare l'ampiezza di transizione (in parole semplici, la grandezza che caratterizza il passaggio da un certo stato quantico iniziale ad uno finale) da un certo $x_0$ ad $x_1$, cioè la funzione d'onda $\psi_{x_0,x_1}$, allora dovremmo scrivere

$\psi_{x_0,x_1} = \sum_{(\mathrm{cammini})} \psi_{cammino},$

dove "cammino" serve ad etichettare l'ampiezza associata ad una configurazione di schermi con solo una fenditura aperta attraverso cui il cammino passa.
Naturalmente, alla fine i cammini possibili saranno tutti quelli tra $x_0$ e $x_1$ perché stiamo assumendo che gli schermi abbiano infinite fenditure.
Tutto ciò fornisce pertanto un'interpretazione fisica del perché i cammini, anche se li trattiamo solo come dei simboli o etichette, contribuiscono alle ampiezze di transizione.
Vediamo una splendida illustrazione tratta da Wikipedia:









 


Ora che i rudimenti essenziali della nozione di path integral dovrebbero esservi (spero) abbastanza chiari, è interessante compiere un breve resoconto storico della provenienza del suddetto concetto, che sarebbe assolutamente sbagliato associare soltanto al nome di Feynman, nonostante i suoi indiscussi straordinari meriti.

martedì 8 giugno 2021

L'ESPERIMENTO DI FRANCK-HERTZ

Agli inizi del XX secolo si discuteva sulla validità dei vari modelli atomici esistenti, tra cui quello “a panettone” di Thomson, che prevedeva l’atomo come costituito da una distribuzione di carica positiva all’interno della quale sono inserite le cariche negative, e quello di Rutherford, un “modello planetario” che congetturava un piccolo nucleo positivo centrale attorno a cui ruotavano gli elettroni e che evolveva il “modello saturniano” proposto da Nagaoka (per gli appassionati di anime, fisico citato peraltro nell'episodio n.14 di GTO - Great Teacher Onizuka), il quale supponeva un nucleo molto più massiccio.
Venne mostrato che il modello più prossimo alla realtà era quello proposto da Rutherford, ma esso non era esente da problemi.
Infatti il suddetto modello, che era basato sulla fisica classica, soffriva di una pesante instabilità. L'elettrodinamica classica stabilisce che quando una particella accelera, essa rilascia energia sotto forma di onde elettromagnetiche.
Dunque, siccome l’elettrone, nel suo girare intorno al nucleo positivo, è sottoposto a un’accelerazione, esso irraggia energia elettromagnetica della stessa frequenza del proprio moto di rivoluzione, il che comporta una perdita della sua energia e la sua caduta sul nucleo con un moto a spirale nel suddetto modello atomico.
Per risolvere la questione, Niels Bohr propose nel 1913 un modello atomico basato sulla recente teoria quantistica e, in particolare, ipotizzò che gli atomi avessero una struttura a livelli energetici discreti.
In sostanza, l’emissione di energia veniva spiegata in termini di “salti” degli elettroni da un livello energetico a quello inferiore






Se desiderate approfondire riguardo i vari modelli atomici, vi rimando all'introduzione del Carnevale della Chimica n.34 (cliccate qui).
La conferma sperimentale di tale ipotesi avvenne proprio con l’esperimento che James Franck e Gustav Ludwig Hertz presentarono nel 1914 e per il quale vinsero il Nobel per la fisica nel 1925.

Nello specifico, ciò che i due scienziati si proposero di verificare erano i seguenti punti:

a) che fosse possibile eccitare gli atomi mediante un bombardamento con elettroni a bassa energia;

b) che l’energia trasferita dagli elettroni agli atomi avesse sempre valori discreti;

c) che i valori così ottenuti per i livelli energetici fossero in accordo con i risultati spettroscopici.


La loro idea fu quella inviare una sonda avente una certa energia sull’atomo di mercurio (Hg) e vedere quanta energia questa sonda perdesse nell’interazione con l’oggetto dell’indagine.
Franck e Hertz hanno a tal proposito sparato degli elettroni all’interno di un vapore di mercurio e ipotizzato la presenza di urti anelastici con gli atomi di Hg; supponendo ci siano dei livelli energetici discreti, l’atomo potrà cedere energia solamente nel momento in cui la propria energia sia almeno uguale (o superiore) a quella che separa i due livelli.
Se ciò accade, si può avere uno scambio di energia tra l’elettrone (che la perde) e l’atomo che la acquisisce. Naturalmente l’energia totale del processo si conserva.
L’utilizzo del mercurio si deve al fatto che esso può vantare le buone peculiarità di essere monoatomico (se infatti l’esperimento venisse condotto con un vapore molecolare, sarebbe possibile per gli elettroni trasferire energia ai livelli energetici molecolari che formano quasi un continuo), di presentarsi liquido a temperatura ambiente e di manifestare un equilibrio liquido-vapore con densità del vapore ben modulabile a temperature facilmente ottenibili.
In particolare, l’ultima caratteristica si può ottenere specialmente se si considera un recipiente chiuso con all’interno del mercurio in cui viene fatto il vuoto al fine di minimizzare le interazioni con le molecole gassose presenti nell’aria.
Nell’esperimento gli elettroni vengono emessi da un filamento caldo e vengono accelerati verso un elettrodo griglia G posto ad un potenziale V_G.
Bisogna infatti ricordare che uno dei modi con cui produrre un flusso di elettroni è quello di sfruttare il cosiddetto effetto termoionico (o termoelettronico), cioè il fatto che una temperatura elevata (solitamente dell'ordine di 1000-2000 K) possa provocare il rilascio di elettroni da parte di un materiale.
Questo effetto venne studiato da Owen Willans Richardson (1879-1959) e poi da Enrico Fermi (1901-1954).
In particolare, nel 1901, Richardson pubblicò i risultati dei suoi esperimenti, notando che la corrente elettrica emessa da un filo metallico riscaldato dipende esponenzialmente dalla temperatura del filo in una forma matematica simile all'equazione di Arrhenius, che illustra la dipendenza esponenziale della velocità di reazione chimica dall'inverso della temperatura e di cui abbiamo parlato qui.
Si arrivò perciò a quella che oggi chiamiamo legge di Richardson-Fermi, la quale ci dice come possiamo calcolare la densità di corrente di emissione J da parte di una lamina metallica:





dove A₀ è una costante universale, T denota la temperatura, k la costante di Boltzmann e W è il lavoro di estrazione (per saperne di più cliccate qui).
La più semplice tra le valvole termoioniche (dispositivi che si basano appunto sull'effetto termoionico) è il diodo a vuoto, costituito da 2 elettrodi:

1) un catodo, che emette elettroni;
2) un anodo, che li riceve.

Lo strumento utilizzato nell'esperimento di Franck-Hertz ricorda tuttavia una valvola più complessa, il triodo, il quale oltre ai 2 elettrodi sopracitati è dotato di un ulteriore elettrodo, la griglia, il cui nome deriva proprio dal fatto che esso è costituito da una griglia, cioè da una maglia metallica che va ad imporre un certo potenziale V_G rispetto al catodo.
Trattasi, in particolare, di una maglia "semitrasparente", ossia abbastanza fitta per rappresentare una superficie equipotenziale ma avente abbastanza fori per far sì che gli elettroni possono attraversarla.
Gli elettroni emessi dal catodo possono dunque attraversare la griglia e giungere all'anodo.
Se si pensa al catodo e alla griglia come a delle lastre piane idealmente infinite orientate verticalmente (il che permette di poter, in prima approssimazione, trascurare gli effetti di bordo), il campo elettrico accelerante che si stabilisce tra i due è uniforme.
Ad ogni distanza gli elettroni hanno un’energia cinetica derivante dalla posizione e dal potenziale elettrico a cui sono sottoposti.
Alcuni di essi passano attraverso i fori della griglia e giungono sull'anodo purché la loro energia cinetica sia sufficiente a superare un piccolo potenziale ritardante applicato tra griglia ed anodo. 
Il tutto è posto, nell'esperimento di Franck-Hertz, entro un’ampolla riempita da vapori di mercurio a bassa pressione.








Ciò che viene misurato è il flusso di elettroni che arrivano sull'anodo, ovvero la corrente I che passa nel circuito in funzione del potenziale accelerante V_G.
Inizialmente I cresce al crescere di V_G, ma una volta che quest’ultimo raggiunge i 4.9 V (primo massimo nella curva di Franck-Hertz) si ha una rapida riduzione della corrente.
Riportiamo infatti da Wikipedia il grafico delle curve di Franck-Hertz:
















Quanto detto si interpreta in termini di un’interazione tra gli elettroni e gli atomi di Hg, a seguito della quale una frazione significativa degli elettroni eccita gli atomi di Hg e nel far ciò perde totalmente l’energia cinetica posseduta.
Se V_G è di poco superiore a 4.9 V, il suddetto processo avviene appena prima della griglia G: dopo l’eccitazione gli elettroni non possono acquisire energia cinetica sufficiente a superare il potenziale ritardante e giungere sull'anodo; dunque la corrente va teoricamente a 0, assumendo il modello ideale di avere sezione d’urto infinita, il che significa un’interazione da parte di TUTTI gli elettroni.
Nel caso di sezione d’urto finita (quello consistente con la realtà sperimentale), invece, interagisce soltanto una frazione degli elettroni, con la conseguenza del mantenimento di un valore sempre diverso da 0 della corrente elettronica (infatti nel grafico riportato sopra potete vedere chiaramente che la curva parte da 0 ma non torna mai a 0).
Per valori maggiori di V_G il processo di eccitazione avviene parecchio prima della griglia, il cui potenziale è in grado di accelerare ancora gli elettroni che riescono così a pervenire sull'anodo, e la corrente comincia a risalire. Viene raggiunto un secondo massimo che corrisponde ad un’energia di circa 9.8 eV.
La netta diminuzione prima sottolineata della corrente rende evidente il fatto che elettroni aventi energia minore di 4.9 eV non riescono a trasferire la loro energia ad un atomo di Hg, il che è consistente con l’esistenza in tale atomo di stati con energia discreta.
Assumendo che il primo livello eccitato dell’atomo Hg si trovi 4.9 eV al di sopra dello stato fondamentale, allora si conclude che un atomo di Hg non possa assorbire energia dal fascio elettronico a meno che gli elettroni posseggano appunto 4.9 eV di energia.
Inoltre, se la separazione tra stato fondamentale e primo livello eccitato è 4.9 eV, allora nello spettro di emissione di Hg si deve teoricamente trovare una linea corrispondente a questa energia come conseguenza della transizione dal livello eccitato allo stato fondamentale.
Franck ed Hertz riscontrarono in effetti che bombardando il gas con elettroni aventi meno di 4.9 eV di energia, i vapori di mercurio presenti nell’ampolla non emettevano alcuna linea spettrale, mentre aumentando l’energia del fascio al di sopra di tale soglia, compariva una singola linea con λ = 2536 Å (riga di risonanza), corrispondenti proprio a 4.9 eV.
Tirando le fila del discorso, l’importanza dell’esperimento di Franck e Hertz si deve al fatto che non solo fornì una notevole evidenza sperimentale della quantizzazione dell’energia negli atomi prevista da Bohr, ma costituì pure un metodo per la misura diretta della differenza di energia tra i vari livelli atomici ottenibile dalla semplice lettura di un voltmetro.

domenica 9 maggio 2021

DIRICHLET E IL PRINCIPIO DELLA PICCIONAIA

Il tema portante del prossimo Carnevale della Matematica, l’edizione n.150, che sarà ospitata da Paolo Alessandrini sul blog Mr. Palomar, è “animali”.
Abbiamo già avuto modo di vedere, qui su Scienza e Musica, alcuni collegamenti del mondo animale con la matematica, come per esempio i famosi conigli di Fibonacci (cliccate qui), e sul Tamburo Riparato avevo parlato di “cavallucci marini in geometria”, ovvero degli spidron (cliccate qui).
Oggi parleremo di piccioni e, in particolare, del cosiddetto principio della piccionaia.
Prima di scoprire cosa diavolo sia tal principio, vorrei introdurre l’importante personaggio matematico che, nel 1834, si occupò di questo singolare concetto: Dirichlet.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet nacque il 13 febbraio 1805 a Düren, in Germania, un luogo tranquillo sulle rive del fiume Ruhr, ove il padre dirigeva l’ufficio postale.

La sua famiglia paterna proveniva in particolare dal villaggio di Richelle, presso Liegi, in Belgio, da cui derivò il cognome "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelle" = "il ragazzo di Richelle”).
Quando la famiglia cominciò a crescere di numero divenne infatti necessario distinguere alcune generazioni di Dirichlet dalle altre.
Si incominciarono ad usare appellativi come il sopracitato per indicare i nuovi membri e distinguerli dal nonno, il vecchio Dirichlet.
Nonostante al momento della nascita di Peter Gustav esistesse ancora il vecchio Sacro Romano Impero Germanico, la città di Düren risultava occupata dal 1794 dalle truppe rivoluzionarie francesi, che l’avevano convertita in una delle principali città francesi della zona, sino alla loro espulsione definitiva nel 1814.
Dopo la vittoria degli alleati, durante il Congresso di Vienna (1814-1815), venne stabilito che Düren, come il resto del territorio di lingua tedesca ubicato sulla sponda sinistra del Reno, fosse ceduta al regno di Prussia.
In tal modo gli abitanti di questa città (e quindi anche la famiglia Dirichlet) e di altre importanti città vicine, come Bonn e Colonia, smisero di essere francesi e diventarono prussiani.
La famiglia di Johann Peter Gustav era colta e benestante, aspetto che consentì al giovane di avere accesso ad una formazione di certo non alla portata di tutti in quell’epoca.
La scuola primaria prussiana si mostrò insufficiente per le necessità del bambino, che venne iscritto dai genitori ad una scuola privata ove potette ricevere una certa istruzione anche in latino, che risultava fondamentale come preparazione per la scuola secondaria, il Gymnasium.
Tuttavia il suo rapporto con la lingua latina, all’epoca la lingua fondamentale per le pubblicazioni scientifiche, non era (e non sarà mai) dei migliori e ciò rappresentò la sua più grande debolezza in ambito scientifico. Se il latino gli risultava noioso, lo stesso non si poteva dire della matematica, per la quale Dirichlet sviluppò ben presto una grandissima passione.
Nemmeno 12enne spendeva già le mance ricevute nell’acquisto di testi di matematica.
Questo comportamento risultava così poco diffuso tra i ragazzi della sua età da risultare strano e ritenuto quasi nocivo da qualcuno, al punto che alcune persone tentarono di spiegargli che si trattava di acquisti assurdi e al di fuori della sua portata, in quanto non avrebbe potuto mai comprendere quei libri e sarebbe stato meglio conservare il denaro per altre spese.
Il caparbio bambino rispose che avrebbe letto i libri sino a quando non sarebbe stato capace di comprenderli.
Di fronte ai buoni risultati che Dirichlet otteneva nei suoi studi e al potenziale mostrato dalle sue capacità, i genitori decisero, nel 1817, di iscriverlo al Beethoven Gymnasium di Bonn.
I Dirichlet si trasferirono per un breve periodo col figlio a Bonn, dove contattarono un conoscente di famiglia, il teologo e filosofo Peter Joseph Elvenich (1796-1886), allora un brillante studente di filosofia e lingue antiche, cattolico come loro, al quale affidarono la supervisione del loro figlio minore.
Una volta risolte le questioni di vitto e alloggio, i genitori fecero ritorno alla loro casa, lasciando che il figlio si incamminasse per la sua strada da solo.
È vero, Bonn si trova a poche decine di chilometri da Düren, ma dovete tuttavia pensare al fatto che a quei tempi non vi erano treni che collegassero le 2 città e dunque l’impatto psicologico della separazione dai genitori per un bambino di 12 anni fu enorme in un contesto simile.
Nonostante tutto, il soggiorno a Bonn fu davvero piacevole e proficuo. In tale ambiente il ragazzo poté sviluppare, oltre alla propria cultura, una personalità gentile ed educata, che gli consentì di legare facilmente con le altre persone e guadagnarsi rapidamente il loro favore.
Nel 1820 Dirichlet entrò nel Gymnasium gesuita della vicina città di Colonia, dove coltivò i suoi interessi per la matematica e per la storia, con particolare riferimento al periodo della Rivoluzione Francese.
A Colonia ebbe inoltre la fortuna di incontrare Georg Simon Ohm (1789-1854), all’epoca professore al Gymnasium, ma che sarebbe diventato celebre per le leggi che portano il suo nome inerenti alla corrente elettrica.

Grazie alla spinta intellettuale di Ohm e al suo talento, Dirichlet, nonostante la sua giovane età, arrivò a conseguire un bagaglio di conoscenze matematiche incredibilmente ampio.
Rimase un solo anno nel Gymnasium di Colonia, dopo il quale ottenne il suo diploma e smise di frequentare le lezioni.
Di ritorno a casa a Düren, i genitori cercarono di convincerlo affinché i suoi studi si indirizzassero verso il diritto, studi che gli avrebbero garantito una professione redditizia e una elevata posizione sociale, a differenza della matematica, che lo avrebbe condotto con maggiore probabilità ad attraversare difficoltà economiche e a non avere un lavoro stabile.
Dirichlet comprendeva bene il punto di vista dei suoi genitori, ma non riusciva a separarsi dalla matematica.
Acconsentì dunque di incominciare gli studi di diritto, ma lasciò intendere loro che l’avvocatura sarebbe stata solo un mezzo per guadagnarsi il suo sostentamento e che avrebbe in ogni caso continuato anche i suoi studi di natura matematica.
Va messo in evidenza che studiare matematica in Germania in quel periodo non era affatto semplice.
L’unico matematico tedesco di fama mondiale era il mitico Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ma nel 1807 costui aveva accettato il posto di professore di astronomia nell’Osservatorio di Gottinga, ove rimase tutta la sua vita, dedicandosi fondamentalmente a studi di astronomia, geodesia e matematica applicata.
Per di più a Gauss non piaceva insegnare; in questa fase della sua vita riteneva che il livello dei suoi alunni fosse eccessivamente basso, pensiero critico che non faceva nulla per nascondere.
In Francia l’ambiente matematico risultava di livello assai superiore: all’Università di Parigi tenevano corsi alcuni tra i migliori matematici di sempre: Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy, solo per citarne qualcuno.
Non a caso Parigi era considerata la capitale mondiale della matematica in quel periodo.
Alla fine i genitori di Dirichlet si convinsero a supportare pienamente la passione per la matematica del figlio, ma la Prussia non poteva appunto offrire le condizioni ottimali che servivano al giovane.
Presero pertanto la decisione di mandarlo a Parigi; nel maggio 1822 il matematico si trasferì nella Ville Lumière e portò avanti i suoi studi nel Collège de France e nella Facoltà delle Scienze, ove ebbe la possibilità di assistere alle conferenze di personalità del calibro di Sylvestre-François Lacroix, Jean-Baptiste Biot, Jean Nicolas Pierre Hachette e Louis-Benjamin Francoeur.
Non si conoscono troppi dettagli sul soggiorno di Dirichlet a Parigi, ma è ben noto che oltre ad assistere alle lezioni e a prepararsi sulle materie ordinarie, si focalizzò in uno studio sistematico della famosa opera Disquisitiones arithmeticae (pubblicata nel 1801) di Gauss, grazie alla copia che sua madre gli aveva fatto recapitare a Parigi nel novembre del 1822.

Questo testo rappresentava per Dirichlet quasi un’ossessione, tanto che si dice lo tenesse permanentemente sulla sua scrivania.
Addirittura, secondo il geologo tedesco Wolfgang Sartorius von Waltershausen (1809-1876), Dirichlet portava con sé la sua copia delle Disquisitiones arithmeticae in tutti i suoi viaggi, così come i sacerdoti portavano con loro il libro di preghiere!
Ironia (o forse no!) della sorte è che lui stesso sarebbe diventato il vero successore di Gauss, anche se inizialmente non si poteva immaginare un successo di tal portata.
Infaticabile, Dirichlet lesse e rilesse il libro svariate volte durante la sua vita, sino a quando non riuscì ad assimilarlo totalmente, apprezzandone ogni minima sfumatura, un po’ come una persona “normale” è sovente fare con il proprio libro/film/serie preferita, con la differenza che qui si tratta di un’opera matematica di altissimo livello.
Mettiamola così, Dirichlet arrivò a conoscere quest’opera di Gauss meglio di casa sua!
Scherzi a parte, finalmente nell’estate del 1823 gli venne offerta un’opportunità di lavoro che gli avrebbe permesso di smettere di dipendere dall’appoggio economico dei genitori.
Infatti il noto generale francese Maximilien Sébastien Foy (1775-1825), eroe delle Guerre Napoleoniche, stava cercando un professore in grado di impartire lezioni di lingua e letteratura tedesca ai suoi figli.
Dirichlet fu raccomandato alla famiglia Foy da un amico comune, conoscente dei suoi genitori e vecchio compagno d’armi del generale.
Il nuovo incarico implicava un carico di lavoro piuttosto modesto, che gli liberò del tempo utile da dedicare agli studi.
Dirichlet si sentì presto a suo agio nell’ambiente accademico parigino e cominciò a collaborare con alcuni dei suoi professori.
La sua prima vera opera di natura accademica fu una traduzione in francese di un articolo inerente all’idrodinamica scritto da Johann Albert Eytelwein (1764-1849), un ingegnere specializzato in idraulica, oltre che professore universitario a Berlino.
Anche se si trattava di un’impresa meno rilevante rispetto a pubblicare un proprio lavoro originale, Dirichlet si sentì molto orgoglioso di tale traduzione e questa rappresentò il primo piccolo ma importante passo che lo trasformerà man mano in un gigante della matematica.