martedì 5 giugno 2018

LA RAPPRESENTAZIONE INTEGRALE DI CAUCHY

Eccoci giunti ad un nuovo appuntamento con l'analisi complessa.
Di seguito la lista delle "puntate" precedenti (al lettore non esperto è consigliabile recuperarle, se vuole seguire al meglio la narrazione che avrà qui luogo):

- puntata 0: "Viaggio nell'≪immaginario≫ mondo dei numeri complessi";
- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa".

Bene, diciamo ora che dal teorema di Cauchy è possibile far scaturire una formula integrale assai rilevante per lo sviluppo della teoria delle funzioni analitiche.
Sia f(z) una funzione analitica e regolare in una certa regione R semplicemente connessa.
Sia poi γR una curva chiusa, allora vale per f(z) la seguente rappresentazione






per ogni z interno a γ (in termini rigorosi, zγ), nota come rappresentazione integrale di Cauchy.

Come sempre, il cerchietto presente sul simbolo dell'integrale sta ad indicare che l'integrazione avviene su un percorso chiuso (nel nostro caso la curva γ), ove la sua posizione iniziale e la sua posizione finale coincidono.
Specifichiamo che per ogni z appartenente a R esterno a γ, il 2° membro della suddetta equazione è nullo per via del teorema di Cauchy.
Infatti, la funzione integranda 





è in tal caso una funzione di z' olomorfa in tutta la regione racchiusa da γ.
Ora, siccome f(z) è per ipotesi analitica (e quindi continua nei punti della curva γ), ne segue che la derivata di f(z) può essere ottenuta a partire proprio dalla rappresentazione integrale di Cauchy, compiendo una derivazione del 2° membro (sotto il segno di integrale).
Si ha cioè:






Iterando il procedimento (ovvero compiendo derivazioni successive) si ottiene la rappresentazione integrale di Cauchy per la derivata ennesima di una funzione analitica:





Si vede così che una funzione analitica è infinitamente derivabile e che le sue derivate sono anch'esse note, una volta noti i valori assunti dalla funzione nei punti del contorno γ.
Vediamo un paio di semplici esempi.
Si consideri






ove l'integrazione è in senso antiorario sul cerchio unitario C.
Il fattore






è analitico entro la regione racchiusa dal contorno, quindi trattasi di un caso di formula integrale di Cauchy, con






e z = 0.
Il risultato è immediato:






Vediamo un secondo esempio:






dove l'integrazione è sempre in senso antiorario sul cerchio unitario C.
Il denominatore si può facilmente scomporre come






ed è chiaro che la regione d'integrazione contenga 2 fattori singolari (ove il denominatore si annulla).
Con una certa manipolazione possiamo, però, fare in modo che si possa utilizzare la rappresentazione integrale di Cauchy.
Infatti






da cui integriamo i 2 termini in maniera individuale:






Ciascun integrale è un caso della formula di Cauchy con f(z') = 1 e per entrambi gli integrali il punto z = ± 1/2 risulta entro il contorno, ergo ciascuno vale 2πi, e la loro somma è zero.
In definitiva, I = 0.

martedì 8 maggio 2018

INTRODUZIONE ALL'INTEGRAZIONE COMPLESSA

Continuiamo il nostro viaggio nel mondo dell'analisi complessa, iniziato qui.
L'estensione del concetto di integrale ad un integrale nel piano complesso è praticamente immediata se si pensa alla classica definizione di integrale alla Riemann, ossia definito come un opportuno limite di una sommatoria.




















Sia data una generica funzione (anche non olomorfa) continua f della variabile complessa z e sia data, nel piano z, una curva γ di equazione




con t parametro reale.
Consideriamo la porzione di curva compresa tra 2 punti A e B (eventualmente A ≡ B se la curva è chiusa) e dividiamo l'arco AB in un numero arbitrario n di parti, grazie a n - 1 punti di divisione




ponendo inoltre




All'interno di ciascun segmento di curva (di estremi zk - 1 e zk) fissiamo poi un nuovo punto (che denotiamo con ζk) e definiamo la somma






ove fk = f(ζk).
Se esiste il limite I di In, per n → ∞, in modo tale che per ogni k valga




e se tale limite è indipendente dal modo in cui sono stati scelti i punti zk e ζk, allora diremo che esso è l'integrale di contorno di f(z), fra A e B, lungo la curva γ e scriveremo:





Riprendiamo ora la nostra formula






e separiamo z ed f nelle loro parti reali ed immaginarie:




Abbiamo così:










Il limite |zk - zk - 1| → 0 che porta alla definizione di I implica, per ogni k:
 



Ergo, I si può esprimere tramite ordinari integrali di linea (sempre sottintesa la curva γ) nel campo reale, come






Abbiamo così, per definizione, che:

 



In tal maniera l'integrazione nel campo complesso viene formalmente ricondotta ad integrazioni nel campo reale.

mercoledì 11 aprile 2018

PRIMI ELEMENTI DI ANALISI COMPLESSA: LE CONDIZIONI DI OLOMORFISMO DI CAUCHY-RIEMANN

In questo blog abbiamo già avuto modo di parlare di numeri complessi (in particolare qui) e abbiamo anche incontrato svariate volte gli strumenti fondamentali dell'analisi matematica nel campo dei numeri reali.
Ora è giunto il momento di fare un piccolo balzo in avanti, andando a scoprire gli strumenti basilari dell'analisi complessa.
Tralasceremo nella narrazione di questo articolo (e di quelli che seguiranno sull'argomento) molte dimostrazioni e tecnicismi esagerati; lo scopo primario qui è infatti di rendere accessibili e digeribili ad un lettore, con un minimo bagaglio di conoscenze dell'analisi matematica reale, le interessanti nozioni fondamentali dell'analisi complessa.
Diciamo innanzitutto che la parte dell'analisi matematica che si occupa dello studio delle funzioni di variabili complesse è generalmente chiamata teoria delle funzioni analitiche.
Premesso che una funzione è analitica nelle regioni dove essa è perfettamente definita (continua con tutte le sue derivate), la teoria delle funzioni analitiche è rivolta, in verità, specialmente allo studio dei punti (o delle regioni) di non analiticità delle funzioni stesse, essendo proprio tali punti, i cosiddetti punti singolari, quelli che determinano le caratteristiche fondamentali delle funzioni considerate.
Le uniche "funzioni" ovunque analitiche sono infatti banalmente costanti.
Una variabile complessa



vien detta funzione della variabile complessa




se esiste una corrispondenza prefissata fra i valori di z e quelli di w; se cioè ad ogni valore di z (fissato in modo qualsiasi in un certo insieme) corrispondono uno o più valori di w.
Nel primo caso la funzione sarà detta monodroma (o a un solo valore), nel secondo polidroma.
Ciò equivale a dire, in pratica, che le 2 funzioni u e v sono funzioni reali delle 2 variabili x e y.
Lo studio delle funzioni di una variabile complessa sembra quindi, a prima vista, potersi ricondurre a quello delle funzioni reali di 2 variabili reali.
In verità, le funzioni analitiche soddisfano a particolari condizioni restrittive che fan sì che queste godano di proprietà peculiari e possano essere studiate direttamente come funzioni di una variabile (complessa).
I concetti basilari della teoria delle funzioni di una variabile reale, come limite e continuità, risultano facilmente estendibili ad una generica funzione di variabile complessa




In tal modo, supposto che f(z) sia definita sui punti di un insieme E e che z₀ E sia un punto di accumulazione (limite) di E, diremo che f(z) tende ad un limite l per zz₀ se, fissato un numero positivo ε arbitrario (piccolo quanto si vuole), è possibile trovare un numero positivo δ tale che:




con




Se una funzione f(z) è definita su un insieme continuo C di valori di z, essa risulta continua nel punto z₀C se esiste ed è finito il limite di f(z) per zz₀ e questo limite coincide con f(z₀).
Una sostanziale difficoltà si incontra invece quando si cerca di estendere alle funzioni di variabile complessa (in generale) il concetto di derivata.
La derivata di una funzione di variabile complessa non è infatti definita sempre in modo univoco.
Tuttavia le funzioni di maggiore rilevanza, ossia le funzioni analitiche, sono proprio quelle per cui la derivata è definita in maniera univoca.
Diciamo ora che f(z) è derivabile in senso complesso (o anche che f è olomorfa) in z₀D, con D insieme di definizione di f(z), se esiste, finito, il limite del rapporto incrementale quando zz₀.
Tale limite si indicherà con f'(z₀) e verrà detto derivata di f in z₀.
In simboli:





La definizione è apparentemente "innocua", ma, come anticipato, è molto più restrittiva di quanto possa sembrare a prima vista.
Essa richiede infatti che il limite del rapporto incrementale esista e sia lo stesso quale che sia il modo (la velocità, come grandezza vettoriale) con cui z tende a z₀.
Tutto ciò impone condizioni severe sulle derivate parziali delle funzioni u(x, y) e v(x, y).

sabato 17 febbraio 2018

20 GRANDI BRANI PER DIMENTICARE SANREMO!

É passata una settimana dalla chiusura del Festival di Sanremo 2018.
Questo post non vuole essere una critica al Festival in sé, ma più in generale alla musica contemporanea, specialmente quella italiana.
Una musica ormai dominata in gran parte da mere banalità, da cantanti senza un minimo di talento sia dal punto di vista puramente tecnico che nella capacità di scrittura/composizione.

Vengono osannate robe come "la scimmia nuda balla", "la vecchia che balla", "Gesù Cristo sono io!", "Andiamo a comandare", che forse rappresentano l'apice della bruttezza e della banalità che si possa raggiungere in quella che invece dovrebbe essere un'arte fatta di armonia, capace di suscitare grandi emozioni, quale è la Musica (la M maiuscola non è a caso).
Siamo in un'epoca dove una voce comunissima (e magari anche molto stonata!) viene designata a ruolo di pop star giusto perché l'aspetto fisico manda in follia un'orda di ragazzine in preda agli ormoni!
Siamo in un'epoca in cui il rap è sempre ai vertici delle classifiche discografiche, pur essendo un genere che per il buon 90% della sua rappresentazione non può essere considerato Musica.
Ora, sia chiaro, questa premessa non vuole denigrare tutta la musica che viene composta attualmente, perché qualcosa di buono viene naturalmente fatto, ma gran parte di ciò si deve ad artisti sconosciuti alla massa.
Proviamo dunque a stilare qui 20 canzoni (passate ma anche recenti) che provino a far comprendere cosa è una struttura musicale adeguata, supportata da un vero talento vocale e magari anche da un testo profondo.
Non inserirò brani di musica classica pura, perché il confronto con la musica attuale sarebbe a dir poco impietoso; giocheremo sul medesimo campo di un Festival di Sanremo, ovvero quello della musica moderna.

domenica 11 febbraio 2018

GEOMETRIE NON EUCLIDEE: I MODELLI DI RIEMANN, KLEIN E POINCARÉ

Abbiamo già parlato di geometrie non euclidee in questo blog, in particolare qui.
Nel presente post andremo ad approfondire un po' la questione.
Incominciamo la narrazione con un preambolo storico-filosofico.
Per tutto il XVIII secolo la geometria euclidea, insieme alla teoria della dinamica newtoniana, fu considerata quanto di più saldo vi potesse essere nella conoscenza scientifica.
È emblematico il fatto che
Immanuel Kant (1724-1804), uno dei più influenti filosofi dell’epoca, nel tentativo di fondare su basi certe la nostra conoscenza del mondo fenomenico, avesse individuato proprio in questi 2 pilastri la base per attribuire allo spazio e al tempo il carattere di intuizioni a priori, preliminari ad ogni forma di conoscenza empirica.

Nella sua Critica della ragion pura, pubblicata nel 1781, Kant si esprimava così: "Lo spazio non è un concetto empirico, ricavato da esperienze esterne..., è una rappresentazione necessaria a priori, la quale serve di fondamento a tutte le intuizioni esterne".
E a proposito del ruolo che il suo concetto di spazio gioca nell’ambito della matematica, Kant aggiungeva:
“Se questa rappresentazione dello spazio fosse un concetto raggiunto a posteriori, risultante dalla generale esperienza esterna, i primi princìpi della matematica risulterebbero accidentali, e non sarebbe perciò necessario che fra 2 punti ci sia solo una linea retta, ma dovrebbe insegnarcelo ogni volta di nuovo l’esperienza”.
Tutto lasciava dunque pensare che le nuove idee sulle geometrie non euclidee sarebbero state accolte con scetticismo e diffidenza, se non addirittura con ostilità.
Di ciò era sicuramente consapevole il più grande matematico dell’epoca, il tedesco
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), il quale, pur avendo riconosciuto la possibilità di formulare geometrie alternative, non pubblicò i propri risultati, onde evitare di sentire “le strida dei beoti”.  

Nella prima metà dell’Ottocento toccò a 2 matematici poco noti, operanti al di fuori degli ambienti più accreditati, esplicitare le possibilità di costruire una geometria non euclidea. 
Stiamo parlando di János Bolyai e di Nikolaj IvanoviLobaevskij
Sia Lobaevskij nel suo trattato Nuovi principi della geometria con una teoria completa delle parallele del 1835, sia Bolyai, con l'appendice del Tentamen (grandiosa opera del padre Wolfgang, noto anche come Farkas Bolyai, anch'egli matematico e collega di Gauss), hanno sviluppato, in maniera indipendente, la cosiddetta GEOMETRIA IPERBOLICA
Essa è stata così denominata prendendo spunto da una classificazione introdotta dal matematico tedesco Felix Klein (1849-1925), in cui la geometria euclidea è detta PARABOLICA.
Sia Lobaevskij che Bolyai considerarono la loro geometria come un esercizio della mente, qualcosa che ha un senso solo nell’immaginazione e che non ha necessariamente un riscontro fisico nel mondo osservabile; e questo fu senza dubbio uno dei limiti del loro lavoro.
Dall’altra parte vi era il
problema della coerenza: tutte le ricerche compiute fino ad allora avrebbero potuto rivelarsi prive di senso se si fosse riscontrata una qualche contraddizione nella teoria.
Loba
evskij e Bolyai si erano accorti di tale problema, ma nessuno di essi era stato capace di risolverlo appieno.
Per i matematici del XIX secolo, l’unica geometria coerente era quella euclidea e così, per risolvere il problema, si pensò di costruire dei
modelli di geometrie non euclidee in modo da poterli confrontare con quelli della geometria euclidea.
Tornando a Loba
evskij, egli usò come strumento fondamentale per lo studio della geometria non euclidea la trigonometria immaginaria, che si ottiene da quella solita sostituendo gli angoli reali con angoli immaginari. 

Il primo a svilupparla era stato (simultaneamente e indipendentemente da Vincenzo Riccati) Johann Heinrich Lambert (1728-1777) in una memoria del 1761, ma egli non si era accorto del legame con la propria geometria immaginaria.
Questo legame era stato notato da
Franz Taurinus nel 1826, che però considerava solo come curiosità la geometria e la trigonometria immaginarie.
Loba
evskij vide invece non solo il loro reciproco legame, ma anche il loro comune interesse intrinseco.
Bolyai, dal canto suo, andò ancora un passo oltre e sviluppò una
trigonometria assoluta, indipendente da assunzioni sulle parallele. 

Essa si specializza nella trigonometria solita se si assume il postulato delle parallele, e in quella immaginaria se si assume la sua negazione.
La possibilità di questa formulazione assoluta sta nel fatto che le 2 trigonometrie si ottengono in maniera analoga, da 2 curve che si equivalgono dal punto di vista proiettivo: rispettivamente, il cerchio e l’iperbole equilatera.

Per questo motivo, si parla nel secondo caso di trigonometria iperbolica, e dunque anche di geometria iperbolica.


 







   
Le 2 funzioni trigonometriche iperboliche fondamentali si chiamano, ovviamente, seno e coseno iperbolico, e si indicano rispettivamente con sinh e cosh: le notazioni sono abbreviazioni di sinus e cosinus hyperbolicus, e furono introdotte da Lambert nelle Osservazioni analitiche del 1771.
Gauss, Lobaevskij e Bolyai si erano resi conto che il postulato euclideo delle parallele non poteva essere dimostrato sulla base degli altri postulati e che esso era necessario per fondare la geometria euclidea.
Poiché il postulato delle parallele risultava indipendente, doveva quindi essere possibile, almeno dal punto di vista logico, adottare un enunciato che lo contraddicesse e sviluppare le conseguenze del nuovo insieme di assiomi.
Per studiare il contenuto tecnico delle loro scoperte tanto vale prendere in considerazione l’opera di Loba
evskij, giacché tutti e 3 fecero praticamente le stesse cose (con l’unica differenza che Gauss si limitò a studiare privatamente la geometria non euclidea e non pubblicare opere inerenti ad essa).
Loba
evskij diede numerose versioni che differiscono soltanto nei dettagli.
Come base per la nostra analisi ci serviremo del lavoro del 1835-37.
Poiché, come negli
Elementi di Euclide, si possono dimostrare molti teoremi che non dipendono affatto dall’assioma delle parallele, tali teoremi sono validi anche nella nuova geometria.
Lobaevskij dedica i primi 6 capitoli del suo lavoro alla dimostrazione di questi teoremi fondamentali.
Egli assume all’inizio che lo spazio sia infinito e può poi dimostrare che 2 rette non possono intersecarsi in più di un punto e che 2 perpendicolari alla stessa retta non possono intersecarsi.
Nel settimo capitolo Loba
evskij respinge bravamente il postulato euclideo delle parallele e fa la seguente assunzione: dati una retta AB e un punto C, le rette per C si dividono in 2 classi rispetto ad AB, e cioè:


- la classe delle rette che incontrano AB;
- la classe delle rette che non la incontrano.
   

A quest’ultima appartengono 2 rette p e q che costituiscono il confine fra le 2 classi. Queste 2 rette sono dette parallele
















Più precisamente, se C è un punto a distanza a dalla retta AB, allora esiste un angolo π(a)
[si precisa che la notazione utilizzata non ha alcun riferimento con il numero π ] tale che tutte le rette per C che formano con la perpendicolare CD un angolo minore di π(a) intersecheranno AB, mentre tutte le altre rette per C non intersecheranno AB.
Le 2 rette che formano l’angolo 
π(a) con AB sono parallele e π(a) è chiamato angolo di parallelismo.
Le rette per C diverse dalle parallele e che non incontrano AB sono dette
linee non intersecanti, anche se, nel senso di Euclide, esse sono parallele ad AB, e pertanto in tal senso la geometria di Lobačevskij contiene un numero infinito di parallele passanti per C.
Se 
π(a) = π/2 si ha il V postulato di Euclide.
In caso contrario, ne segue che:

  • π(a) cresce e tende a π/2 quando a tende a 0; 
  • π(a) decresce e tende a 0 quando a diventa infinito.
Inoltre, la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di π , decresce quando l’area del triangolo cresce e tende a π quando l’area tende a 0.
Se 2 triangoli sono simili, allora sono congruenti. 
Lobaevskij affronta poi, come già anticipato, l’aspetto trigonometrico della sua geometria.
Il primo passo è la determinazione di π(a). 
Il risultato, se un angolo giro è uguale a 2π, è:

 


 
da cui segue che:
 



In realtà quella appena fornita è una formulazione particolare.
Infatti, in un lavoro datato 1840, Lobačevskij fornisce la formula che viene solitamente utilizzata nei testi moderni e che è contenuta anche nelle formulazioni di Gauss e Bolyai, ossia:

 



dove k è una costante che viene detta costante spaziale.
Dal punto di vista teorico il valore di k è assolutamente irrilevante.

Comunque sia, la relazione definita è importante, in quanto a ogni lunghezza x associa un angolo definito π(x) .
Se per esempio x = 1, si ha (in base alla prima versione della formula)

 




e quindi π(1) = 40° 24.  
L’unità di lunghezza è perciò quella lunghezza il cui angolo di parallelismo è pari a 40° 24. 
Questa unità di lunghezza non ha un significato fisico diretto.
Dal punto di vista fisico può essere uguale a un centimetro o a un chilometro.
Bisognerà scegliere l’interpretazione fisica che renda applicabile la geometria.
Loba
evskij deduce poi le formule che legano fra loro i lati e gli angoli dei triangoli piani della sua geometria.
In un lavoro del
1834 aveva definito cos x e sin x, per x reale, come le parti reale e immaginaria di eix.

L’obiettivo del matematico russo era quello di dare una fondazione puramente analitica alla trigonometria, in modo da renderla indipendente dalla geometria euclidea.
Le
principali formule trigonometriche della sua geometria sono le seguenti:









 
Queste formule sono valide nella trigonometria sferica ordinaria purché i lati abbiano lunghezze immaginarie.
In altri termini, se si sostituiscono
a, b, c nelle formule usuali della trigonometria sferica con ia, ib, ic, si ottengono le formule di Lobaevskij.

Poiché le funzioni trigonometriche degli angoli immaginari possono essere sostituite dalle funzioni iperboliche, ci si potrebbe aspettare di veder comparire queste ultime funzioni nelle formule di Lobaevskij.
Esse possono essere introdotte servendosi della relazione

 

   
Nel suddetto modo la prima delle formule precedenti diventa:





   
Inoltre, mentre nella geometria sferica usuale l’area di un triangolo di angoli A, B, C è uguale a r2(A + B + C π), nella geometria iperbolica essa è uguale a

r 2[π (A + B + C )], il che equivale a sostituire il raggio r della sfera con ir nella formula usuale.
Servendosi di un triangolo infinitesimo, Lobaevskij aveva derivato nel suo primo lavoro (datato 1829-30) la formula

 






per l’elemento d’arco di una curva di equazione y = f (x) nel punto (x, y)
Sfruttandola, è possibile calcolare la lunghezza della circonferenza di un cerchio di raggio r, che risulta essere uguale a:

 

   
Analogamente, il valore dell’area del cerchio risulta essere uguale a:

 


 
Il matematico fornisce anche dei teoremi sulle aree di regioni piane e curve e sui volumi dei solidi.
Le formule della geometria euclidea seguono da quelle non euclidee quando le grandezze in gioco sono piccole.

Così, se si usa il fatto che

 



   
e si trascurano, per r piccolo, tutti i termini tranne i primi due, si ottiene ad esempio: