sabato 11 ottobre 2014

IL PROBLEMA DELLA BRACHISTOCRONA

Uno dei problemi più celebri del calcolo delle variazioni è quello di determinare la curva congiungente 2 punti A e B assegnati (con il punto A posto a una quota superiore rispetto a B) e lungo la quale un punto materiale (possiamo anche immaginare un carrello) lasciato cadere (da fermo, sotto l'effetto di un campo gravitazionale e senza presenza di attrito) dal punto A raggiunga B nel minor tempo possibile.


















Questo problema di determinare la suddetta curva (immaginabile come uno scivolo) viene chiamato problema della brachistocrona (dal greco bráchistos, superlativo di brachýs, "breve", e chrónos, "tempo"), letteralmente "curva del tempo più corto".
Abbiamo già introdotto i rudimenti del calcolo delle variazioni qui.
Ricordiamo che trattasi di un campo dell'analisi matematica, il quale si occupa di trovare fra tutte le curve che soddisfano una determinata proprietà quella (o quelle) che minimizzano un certo criterio (ad esempio la lunghezza, il tempo o altre espressioni maggiormente complicate dipendenti dalla curva).
Il calcolo delle variazioni nacque proprio nel 1697 quando Johann Bernoulli (1667-1748) riuscì a risolvere il problema della brachistocrona, su cui si interrogava già Galileo nel 1638 nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e ai moti locali.
Tale branca venne sviluppata nell'arco di pochi decenni tanto che nel 1744 Eulero aveva già pubblicato il trattato Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes.
Successivamente, nel 1755, un giovane diciannovenne gli inviò un'epistola nella quale esponeva un metodo superiore al suo.
Si trattava di Joseph-Louis Lagrange, grande matematico (italiano) a cui abbiamo dedicato un post visualizzabile cliccando qui
Eulero, con un gesto tipico della sua personalità, rinviò la pubblicazione dei propri lavori in materia al fine di lasciare al giovane il primato di questo metodo, che battezzerà "calcolo delle variazioni".
Questi 2 straordinari matematici continuarono negli anni successivi ad occuparsene e a svilupparlo: Lagrange negli articoli pubblicati tra il 1758 e il 1761 negli "Atti" dell'Accademia delle Scienze di Torino, ed Eulero nella memoria datata 1766 dal titolo Elementa calculi variationum.
Ma veniamo al nocciolo della questione: come si risolve il problema?

lunedì 29 settembre 2014

PAULI E JUNG: L'INCONTRO TRA FISICA E PSICHE

Una volta Wolfgang Pauli (1900-1958), grande fisico teorico austriaco, contributore dello sviluppo della Meccanica Quantistica nei primi decenni del XX secolo, asserì che se Dio gli avesse concesso di chiedergli qualsiasi cosa desiderasse, la sua prima domanda sarebbe stata: «Perché 137?».
Un suo collega, Abdus Salam (premio Nobel per la Fisica nel 1979), si divertì a immaginarsi una maliziosa conclusione di questa ipotetica storia.
Immaginò infatti che un giorno Pauli avesse davvero la possibilità di porre la sua domanda a Dio. Per rispondergli, la divinità prese un gessetto e cominciò, alla lavagna, a illustrare il perché la costante di struttura fine dovesse valere proprio 1/137. Dopo qualche istante Pauli scosse la testa, esclamando un profondo "No" e facendo notare a Dio l'errore che aveva compiuto!
Di costante di struttura fine abbiamo parlato qui, ricordiamo tuttavia brevemente che si tratta di una costante adimensionale, introdotta da Arnold Sommerfeld nel 1916, derivante da altre importanti costanti della fisica e che risulta fondamentale per descrivere la velocità con cui si muovono gli elettroni attorno al nucleo di un atomo, sul primo orbitale (ricordiamo che trattasi della regione di spazio attorno al nucleo atomico ove la possibilità di trovare un elettrone è massima).
A detta di Max Born, in "The Mysterious Number 137", articolo pubblicato nei "Proceedings of the Indian Academy of Sciences" nel 1935, la costante «Ha le conseguenze più fondamentali per la struttura della materia in generale».
Tale costante, indicata generalmente mediante la lettera greca α, va quindi a definire la scala degli oggetti naturali: le dimensioni degli atomi e di tutte le cose che sono costituite da atomi, l'intensità e i colori della luce, l'intensità delle forze elettromagnetiche.
In sostanza, controlla e ordina tutto ciò che vediamo.
La costante di struttura fine è di fondamentale importanza anche per quanto concerne il principio antropico (di cui abbiamo parlato approfonditamente in un post visualizzabile cliccando qui).
Infatti, il suddetto parametro adimensionale è determinante nel far sì che l'Universo si presenti così com'è, ossia in grado, tra le altre cose, di ospitare forme di vita.
Una leggera variazione (del 10-20%) dal suo valore noto basterebbe infatti a influenzare in modo rilevante le leggi fisiche che governano l'Universo, in quanto si avrebbero cambiamenti nei rapporti tra le forze attrattive e repulsive tra le particelle elementari, con conseguenze dirette sulla costituzione della materia e sull'attività stellare.
Insomma, questo 137 è un numero che ha affascinato e continua ad affascinare i fisici.
Julian Schwinger, uno dei padri dell'elettrodinamica quantistica (in breve QED), ha addirittura inserito il 137 nella targa personalizzata della sua auto sportiva!
Richard Feynman, nel favoloso libro divulgativo intitolato QED, scrive a proposito della costante:

"Questo numero costituisce un vero rompicapo fin da quando fu scoperto, e tutti i migliori fisici teorici lo tengono incorniciato e appeso al muro e ogni giorno ci meditano su. Vi chiederete subito da dove venga questo valore: è connesso a π, o magari alla base dei logaritmi naturali? Nessuno lo sa. È  uno dei più enigmatici enigmi della fisica, un numero magico che ci viene offerto nel mistero più assoluto. Si potrebbe quasi dire che a scrivere questo numero sia stata la «mano di Dio» e che noi «non sappiamo come Egli abbia mosso la sua matita». Sappiamo perfettamente che cosa fare sperimentalmente per avere una misura accuratissima di questo valore, ma non sappiamo che arzigogolo inventare per farlo venir fuori da un calcolatore, senza avercelo messo dentro di nascosto!"

In un primo momento sembrava che Pauli fosse rimasto indifferente al mistero che avvolgeva il numero 137, tuttavia nel febbraio 1934 scrisse a Heisenberg che il problema chiave era "sistemare [1/137] e l'“atomistica” della carica elettrica".
Infatti, in quel periodo egli stava cercando di pervenire a una versione dell'elettrodinamica quantistica nella quale massa e carica dell'elettrone non assumessero valori infiniti.
Nonostante tutti i suoi sforzi nel manipolare le equazioni, il concetto di carica elettrica vi rientrava comunque.
Ecco perché parlava di "atomistica" (atomo più mistica) della carica elettrica.
Il problema era infatti che l'elettrodinamica quantistica non teneva "conto della natura atomica della carica elettrica quando quest'ultima entrava nella QED come parte della costante di struttura fine.
Secondo Pauli, il concetto di carica elettrica risultava estraneo sia alla fisica prequantistica che alla fisica quantistica.
In effetti, in entrambe risultava necessario introdurre la carica dell'elettrone nelle equazioni; non emergeva dalle equazioni stesse!
Poi nella teoria quantistica il tutto era reso più complesso dalla presenza di quella "mistica" costante dal valore 1/137, la quale metteva in relazione la carica dell'elettrone (e) con altre 2 costanti fondamentali della natura:
  • costante di Planck (h), la più piccola quantità misurabile dell'Universo ed emblema della meccanica quantistica. Dunque una costante riguardante la natura ad un livello atomico o subatomico.
  • velocità della luce (c), simbolo della teoria della relatività, che si occupa dell'Universo nel suo complesso.
Formula che definisce la costante α





Nell'aprile del 1934 Pauli scrisse, sempre ad Heisenberg: "Tutto diverrà magnifico quando si definirà [1/137]".
Quell'anno, durante una conferenza tenuta a Zurigo, Pauli rimarcò l'importanza di eliminare i valori infiniti che persistevano nella QED e analizzò il rapporto della teoria con il modo in cui comprendiamo lo spazio e il tempo.
Risolvere il suddetto problema avrebbe richiesto appunto "un'interpretazione del valore numerico della grandezza priva di dimensione [137]".
Ma, vi starete chiedendo, in tutto questo che diavolo c'entra Jung?
Ebbene, l'ossessione per quel numero che lo perseguitava di giorno e di notte fu uno dei motivi che condusse Pauli a rivolgersi proprio a Carl Gustav Jung (1875-1961), psichiatra e psicoanalistica svizzero che insieme a Freud aveva introdotto il concetto di mente alla stregua di realtà che poteva essere studiata, spiegata e, nel caso, anche curata.

Pauli e Jung












Prima di osservare la collaborazione, a partire dagli anni 30', che ci fu tra questi 2 grandissimi studiosi di ambiti totalmente differenti, effettuiamo un flashback, andando a indagare sulla vita e le scoperte principali di Pauli fino al momento dell'incontro con Jung.

sabato 9 agosto 2014

LA RISONANZA

Perché un bicchiere può rompersi sotto l'effetto di un'onda sonora? Come fanno i suoni prodotti dalle corde di un violino ad essere amplificati?
Alla base di questi singolari fenomeni c'è un concetto chiamato risonanza.
In fisica si definisce risonanza la tendenza di un sistema vibrante ad oscillare più marcatamente a determinate frequenze rispetto che ad altre.
Per capire un po' meglio cosa sia la risonanza, dobbiamo compiere un excursus sugli oscillatori armonici smorzati e forzati.
Si definisce oscillatore armonico smorzato un sistema vibrante costituito da una massa m, soggetto all'azione di una forza elastica e a quella di una forza viscosa (appunto una forza che smorza il moto).

Oscillatore armonico smorzato













Sappiamo (recarsi qui per i dettagli) che se andiamo a considerare un moto armonico semplice, ossia senza alcun tipo di smorzamento, la legge oraria del moto sarebbe di questo tipo:



Con A indicante l'ampiezza del moto, ω la pulsazione e α lo sfasamento.
Ricordiamo che (t), in tal frangente, non va ad indicare una moltiplicazione per il tempo t, bensì specifica una dipendenza della posizione s dal tempo t.
Ora se provassimo a derivare tale legge rispetto al tempo, otterremmo una velocità pari a:



Nessuno ci vieta di derivare ancora una volta, ottenendo pertanto un'accelerazione pari a:



Possiamo notare un particolare: nel secondo membro dell'equazione compare l'espressione che definisce la posizione s della massa in moto armonico semplice.
Ergo, potremmo riscriverla come:



o ancora meglio, conducendo tutti i termini al primo membro:



Questa è l'equazione differenziale del 2° ordine, lineare, a coefficienti costanti ed omogenea (ossia con termine noto pari a 0) che descrive il moto armonico semplice.
Che eleganza, che semplicità!
Nell'ottobre del 1956, mentre era in visita presso l'Università di Mosca, Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984), uno dei massimi protagonisti nello sviluppo della teoria dei quanti, venne invitato dall'amico e collega Dmitri Ivanenko a riassumere in una singola frase la propria idea della fisica.
Dirac si recò allora alla lavagna e vi scrisse una frase memorabile, al punto che Ivanenko chiamò un operaio, incaricandolo di asportare il frammento di lavagna e di sigillarlo!
Su quel pezzo di ardesia vi era (e vi è ancora) riportato il credo scientifico di una delle menti più geniali del XX secolo:
"LE LEGGI DELLA FISICA DEVONO ESSERE DOTATE DI BELLEZZA MATEMATICA".

Fonte dell'immagine








Dopo questa breve ma molto interessante parentesi, aggiungiamo a quanto detto che scopriremo che la legge dell'oscillatore smorzato è molto simile a quella dell'oscillatore armonico semplice.

lunedì 7 luglio 2014

MUSICA E MATEMATICA: NOTE, PUNTI, ARMONIOSITÀ E SIMMETRIA

"La musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza essere conscia di contare" (Gottfried Wilhelm von Leibniz)

"Nonostante tutta l'esperienza che io possa aver acquisito nella musica per il fatto di essermi associato tanto a lungo con essa, devo confessare che solo con l'aiuto della matematica le mie idee si sono chiarite" (Jean-Philippe Rameau)

"La musica non può progredire senza l'ausilio della scienza" (Pierre Boulez)
Tre citazioni che evidenziano in modo perfetto lo stretto rapporto che intercorre tra musica e matematica, una relazione già scoperta in tempi antichi da Pitagora, come racconta ad esempio Giamblico nella sua Vita di Pitagora.
Un giorno Pitagora, mentre passeggiava nella città di Crotone seguito dai suoi discepoli, capitò di fronte alla bottega di un fabbro ferraio e si fermò ad ascoltare i suoni dei martelli che battevano sulle incudini.
Il filosofo si accorse che alcuni di questi suoni stavano bene insieme (ossia erano consonanti), mentre altri no (dissonanti). Abbiamo parlato in maniera approfondita di consonanza e dissonanza in musica nell'articolo "Helmholtz e la dissonanza".
Curioso di comprendere perché avvenisse questo singolare fenomeno, entrò e incominciò a fare esperimenti.
Innanzitutto prese 2 martelli di peso identico, li batté sull'incudine e si rese conto che producevano il medesimo suono.
Poi afferrò altri 2 martelli, questa volta di peso differente: il primo pesava il doppio del secondo.
Battendoli su un'incudine, si rese conto che la nota prodotta era sempre la stessa, tuttavia a 2 altezze differenti (nello specifico, a una distanza che oggi viene chiamata ottava, l'intervallo più armonioso).
Nella successiva prova un martello pesava una volta e mezzo l'altro, dunque si aveva un rapporto dei pesi pari a 3:2.
I suoni furono differenti e in particolare produssero ciò che oggi viene chiamato intervallo di quinta.
I successivi esperimenti produssero ulteriori intervalli musicali.
Quello che Pitagora aveva scoperto era un vero e proprio ponte tra la musica, disciplina che apparteneva al mondo delle arti, e il mondo fisico, un ponte rappresentato dalla matematica!
Risulta necessario specificare che nel 1589 Vincenzo Galilei, padre di Galileo, nell'opera Discorso intorno alle opere di Messer Zarlino da Chioggia, fece notare che le leggi dell'armonia enunciate da Pitagora sono valide solamente per le lunghezze delle corde, ma non per i pesi, che devono invece essere quadrati.
I giusti rapporti numerici tra i suoni sono elencati in questa tabella:







Pitagora avrebbe dovuto accorgersi che per i pesi non valevano le stesse leggi che sussistevano per le corde.
Ciò fa capire che quanto racconta Giamblico potrebbe non essere del tutto veritiero (per maggiori approfondimenti sulla questione si veda qui)!
Vero però è il fatto che alla base della musica ci sia la matematica!
In questo post andremo ad analizzare un po' di relazioni che sussistono tra 2 mondi apparentemente così distaccati quali quello della musica e quello della matematica.

mercoledì 11 giugno 2014

IL PROF. MERLINO E LE MERAVIGLIE DELLA MATEMATICA (4ª ED ULTIMA PARTE)

Sembrava incredibile che una lezione potesse essere così interessante; il prof. Merlino era riuscito ad "infiammare" la curiosità dei suoi allievi, compito tutt'altro che facile.
I ragazzi per la prima volta avevano osservato la matematica da un punto di vista differente. Tutti quanti, fatta eccezione per Leo, l'avevano sempre considerata una materia arida, inutile e incomprensibile.
Il nuovo insegnante, invece, era riuscito a mostrare che la matematica è straordinaria, ricca di collegamenti multidisciplinari e persino alla base dei videogame.
Quella a cui avevano assistito sembrava una lezione utopica, uscita magari da qualche film, ma si trattava di pura realtà!
Anche le affascinanti vicende storiche avevano colpito nel segno. Fu incredibile scoprire che persino gli uomini dell'epoca neolitica si dilettavano a giocare con dei dadi primitivi e che Blaise Pascal fosse riuscito a conseguire eccezionali risultati in un lasso di tempo così breve.
Persino negli studenti più svogliati si era "accesa" una piccola fiammella di curiosità nei confronti di ciò che stava accadendo in classe.
Il ricordo del prof. Trinciamucche stava pian piano svanendo dai pensieri dei giovani discenti, lasciando spazio al gran desiderio di assistere a una nuova memorabile lezione del prof. Merlino.
Quella notte Leo fece davvero fatica ad entrare nel mondo dei sogni. I suoi pensieri non riuscivano a non indirizzarsi sulla superlativa lezione del professore, facendo alzare l'attesa e il desiderio di poter assistere a quella succesiva.
La mattina seguente il giovane si risvegliò ancora più emozionato rispetto al primo giorno di scuola. Lo attendevano ore di delizia intellettuale.
Ore 9. Nuova lezione del prof. Merlino.
Questi si presentò in aula con la classica pacatezza e dolcezza dei modi che lo contraddistingueva.
Lo spettacolo stava per cominciare!
Era rimasta in sospeso la questione della velocità d'attacco.
"Velocità! Un concetto fondamentale. Lo ritroviamo in ogni cosa, dalle corse di auto alle gare di atletica, dalla prontezza di un computer nel scaricare un file a quella più o meno grande di uno studente nello svolgere i suoi compiti. Ma cos'è la velocità precisamente?" chiese il professore alla classe.
"Il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlo" rispose una studentessa nella prima fila di banchi.
"Sì, in linea generale, non è sbagliata questa definizione, però è molto vaga ed approssimativa! Potrebbe essere vista come definizione di velocità media. Un'auto percorre un certo tratto di strada e ci mette un certo tempo, allora la sua velocità media è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato. Ok! Ma questa definizione non tiene conto del fatto che la velocità di un'automobile, nella vita reale, non rimane costante, ma varia costantemente durante il tragitto. Avete mai sostenuto un viaggio mantenendo sempre la medesima velocità? Non credo proprio! Sarebbe utopico per un essere umano un viaggio del genere! Nella realtà abbiamo dunque a che fare con variazioni di velocità, o meglio, con accelerazioni - si scrive con una sola "l", mi raccomando. E se poi volessi sapere la velocità precisa che la mia auto ha in un certo punto del percorso non potrei fare affidamento su una definizione così banale. Qual è quel potente strumento matematico che permette di andare ad analizzare le variazioni infinitesime di una certa grandezza? Dovrebbe avervelo spiegato il mio collega!" esclamò il prof.
"La derivata" disse Leo.
"Giusto, proprio la derivata! Sarebbe davvero assurdo far vedere che tal importantissimo concetto risulti limitato all'ambito dell'analisi matematica, che si "studia" nel V anno di liceo . Le sue applicazioni in fisica, chimica e in diversi altri campi sono innumerevoli. Se Newton non avesse introdotto la derivata, la fisica non si sarebbe sviluppata così tanto nel corso di pochi secoli. Basti pensare che la meccanica quantistica, branca fondamentale della fisica moderna, si poggia su un'equazione alle derivate parziali, l'equazione di Schrödinger, fisico famoso ai più per il bizzarro paradosso del gatto nella scatola, raccontato anche nella celebre sit-com televisiva The Big Bang Theory. Non desidero distogliere l'attenzione dal concetto di velocità, ma brevissimamente, per chi non lo conosce, spiegherò il paradosso.
Immaginate di mettere in una scatola un gatto. Questa scatola dovrà contenere un atomo radioattivo che potrebbe decadere innescando un meccanismo che va ad attivare il rilascio di un martelletto, che a sua volta va a rompere una fiala di veleno letale, con la conseguente morte del felino.
Ergo, l'atomo può decadere o non decadere e, a seconda dei casi, il gatto vive o muore. Fin qui nulla di strano, a parte la follia di mettere un gatto in una scatola mortale! Secondo l'impostazione classica (detta di "Copenaghen") della meccanica quantistica, tuttavia, fin quando la scatola non viene aperta, mostrando l'evento accaduto, il gatto si trova in una sorta di limbo tra la vita e la morte, un po' come lo sciamano quando usa la passiva "Ricettacolo spirituale". In parole povere, il gatto è vivo e morto simultaneamente! Ecco il paradosso!











Mi raccomando, non provateci a casa! Questo è solo un esperimento mentale; nessun gattino, per fortuna, è stato mai preso come cavia per il suddetto! Rapidamente ritorniamo alla nostra tematica odierna: la velocità. Stavamo dicendo che uno strumento chiave per descrivere la velocità è la derivata. Qualcuno sa dirmi cos'è la derivata?" domandò l'insegnante.
"Geometricamente è il coefficiente angolare - la pendenza - della retta tangente ad una certa curva in un punto. Una definizione più precisa fa invece uso del concetto di limite, altro pilastro dell'analisi matematica. Data una certa funzione, quindi una certa curva, la derivata non è altro che il limite a cui tende il rapporto incrementale della funzione quando l'incremento tende a 0.

Animazione sulla derivata (significato geometrico)




















In parole povere, la derivata ci dice "quanto velocemente" una funzione cresce o decresce eseguendo uno spostamento su di essa piccolissimo, infinitesimale." asserì Leo.
"Proprio così. Bravissimo Leo, potresti benissimo prendere il mio posto! A parte gli scherzi, la matematica non è fatta di discorsi articolati e pomposi; basta una manciata di simboli per esprimere in maniera concisa concetti essenziali come la derivata." furono le parole del professore, che scrisse alla lavagna una "magica" formula:





Questi simboli che ad un occhio inesperto potrebbero apparire incomprensibili, sono in verità cristallini ad un matematico. Analizziamola passo passo questa equazione.
Il primo simbolo che compare, f'(x₀), non fa altro che indicarci in pochi caratteri la derivata della funzione f considerata nel generico punto denominato x₀.
Dall'altra parte dell'uguale ci aspetta ansioso il nostro amico limite. Niente è lasciato al caso: sotto alla scrittura "lim" riusciamo a trovare i dettagli su quell'operazione. Quel piccolo passo sulla curva, chiamato h, deve tendere al valore 0. E poi c'è quella frazione, su cui il limite agisce, che ci mostra una differenza tra la funzione calcolata un passettino avanti e calcolata nel punto di partenza, la quale differenza viene poi divisa per il minuscolo passettino h. Dovete immaginare il limite come un generale che va a dire al suo soldato "Tu ora mi devi far andare h vicino allo 0. Non è una gentile richiesta, è un ordine!".















Detto ciò, possiamo vedere come il concetto di velocità istantanea, ossia la velocità in un preciso istante temporale, sia descritto proprio dalla derivata." Un'ulteriore equazione venne raffigurata sulla lavagna:





"La velocità istantanea è la derivata della posizione rispetto al tempo. Quella notazione, dovuta a Leibniz -altro padre dell'analisi assieme a Newton -, che sfrutta la "d" minuscola altro non è che un modo differente di presentare il concetto di derivata. Quel dr/dt non è appunto una frazione come siamo abituati a vederle; è una derivata.
Se voi conosceste la legge matematica (legge oraria) che descrive il percorso, in funzione del tempo, del supereroe dei fumetti Flash per raggiungere il luogo in cui compiere una certa missione, allora attraverso una derivazione potreste constatare qual è l'incredibile velocità che egli sta tenendo in un preciso istante di tempo."















"E la velocità d'attacco su Diablo?" chiese uno studente.
"Ci stavo arrivando. Su Diablo 3 c'è un valore che si chiama "attacchi al secondo", il quale viene incrementato da delle statistiche, ritrovabili sugli oggetti, di "velocità d'attacco aumentata".
Questo valore "attacchi al secondo" in realtà, più che una velocità vera e propria, dovremmo definirla una frequenza. Immaginiamo di avere un valore pari a 1. Ciò comporterebbe che il nostro personaggio ogni secondo riuscirebbe a scagliare un singolo attacco. Se però incrementassimo la "velocità d'attacco" fino a raggiungere i 2 attacchi al secondo, allora ogni secondo riusciremmo a scagliare ben 2 attacchi. Attaccare in Diablo 3 è dunque un fenomeno periodico, un fenomeno che si ripete appunto con una determinata frequenza, non velocità! Le velocità si misurano infatti in metri al secondo, le frequenze in numero di "azioni" effettuate in un certo intervallo di tempo - rigorosamente in hertz (Hz). Queste azioni potrebbero essere dei giri completi di un vinile sul giradischi, delle pulsazioni di luce, ecc.
Luci pulsanti con frequenze diverse misurate in Hz




















La frequenza è un concetto importantissimo. Compare persino nella celebre legge di Planck che va a definire l'energia non come un qualcosa di continuo, bensì come "pacchetti discreti" noti come quanti.
La legge di Planck, in particolare, ci dice che l'energia E associata a una certa radiazione elettromagnetica è data dal prodotto della frequenza ν della radiazione per una costante h, detta costante di Planck:



Anche quando ascoltate la sirena di un'ambulanza starete constatando un fenomeno dipendente dalla frequenza (delle onde sonore). Questo fenomeno è noto come effetto Doppler. Se l'ambulanza si avvicina a voi, la lunghezza d'onda del suono diventa più piccola, incrementando la frequenza del suono percepito. 
Quando invece si allontana, la lunghezza d'onda del suono diviene più grande, comportando un abbassamento della frequenza del suono.













La legge matematica che descrive ciò è quella che vi scriverò adesso:





La frequenza f da voi percepita dipende dalla frequenza f₀ delle onde sonore emesse dal'ambulanza, dalla velocità v delle onde nel mezzo di trasmissione (l'aria) e dalla velocità vs, r della sorgente (l'ambulanza) rispetto al mezzo." spiegò il prof. Merlino.
La lezione continuò con approfondimenti sui concetti di velocità e frequenza, oltre che con test dal vivo del concetto di velocità d'attacco su Diablo 3.
Gli studenti ne furono entusiasti.
Il prof. Merlino, in soli 2 giorni, aveva reso la scuola un luogo non solo di grande arricchimento culturale, ma anche di divertimento.
Passarono i giorni e le lezioni, oltre ad affrontare i classici argomenti di analisi matematica, prendevamo spesso direzioni molto interessanti e multidisciplinari.
Mesi dopo il lupo cercò di tornare dalle pecore! Il prof. Trinciamucche si era ripreso abbastanza ed era pronto a ritornare al suo posto.
Decise di presentarsi spavaldo nella sua classe durante una lezione di Merlino.
"Senta lei, questo è il mio posto di lavoro. Adesso mi sono ripreso e lei deve andare via. Non mi interessa se ha creato un buon legame con gli studenti, il loro vero professore di matematica sono io!". esclamò Trinciamucche.
Merlino attese 5 secondi e poi gli rispose, mantenendo il suo tipico tono pacato: "Mi permetta, caro collega, di dire che il suo atteggiamento nei confronti dei suoi allievi e di un suo collega è scorretto e ingiustificabile. Lei stava contribuendo a far crescere in questi ragazzi l'odio per la matematica. Questi modi di fare non posso tollerarli. Pagherà le sue conseguenze".
All'improvviso una bacchetta magica comparse nella mano destra del prof., il quale immediatamente esclamò una formula magica in latino.
L'incantesimo investì in pieno Trinciamucche, che in pochi secondi si trasformò in una piccola mucca! Le risate a crepapelle dei giovani allievi non tardarono ad arrivare!
"Professor Trinciamucche, lei resterà un umile bovino fin quando non capirà cosa significa veramente svolgere il mestiere di insegnante, parola di Merlino!".

Non tutti coloro che hanno avuto la fortuna di assistere alle meravigliose lezioni del prof. Merlino sono diventati matematici, ma sicuramente quegli insegnamenti indimenticabili sono stati importanti nel proseguimento del loro percorso di vita! Quegli studenti avevano preso parte a qualcosa di unico e forse irripetibile!

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Questa è la quarta ed ultima parte del racconto dedicato al tema "La matematica che vorreste a scuola". Qui, qui e qui rispettivamente le 3 parti precedenti.