sabato 9 agosto 2014

LA RISONANZA

Perché un bicchiere può rompersi sotto l'effetto di un'onda sonora? Come fanno i suoni prodotti dalle corde di un violino ad essere amplificati?
Alla base di questi singolari fenomeni c'è un concetto chiamato risonanza.
In fisica si definisce risonanza la tendenza di un sistema vibrante ad oscillare più marcatamente a determinate frequenze rispetto che ad altre.
Per capire un po' meglio cosa sia la risonanza, dobbiamo compiere un excursus sugli oscillatori armonici smorzati e forzati.
Si definisce oscillatore armonico smorzato un sistema vibrante costituito da una massa m, soggetto all'azione di una forza elastica e a quella di una forza viscosa (appunto una forza che smorza il moto).

Oscillatore armonico smorzato













Sappiamo (recarsi qui per i dettagli) che se andiamo a considerare un moto armonico semplice, ossia senza alcun tipo di smorzamento, la legge oraria del moto sarebbe di questo tipo:



Con A indicante l'ampiezza del moto, ω la pulsazione e α lo sfasamento.
Ricordiamo che (t), in tal frangente, non va ad indicare una moltiplicazione per il tempo t, bensì specifica una dipendenza della posizione s dal tempo t.
Ora se provassimo a derivare tale legge rispetto al tempo, otterremmo una velocità pari a:



Nessuno ci vieta di derivare ancora una volta, ottenendo pertanto un'accelerazione pari a:



Possiamo notare un particolare: nel secondo membro dell'equazione compare l'espressione che definisce la posizione s della massa in moto armonico semplice.
Ergo, potremmo riscriverla come:



o ancora meglio, conducendo tutti i termini al primo membro:



Questa è l'equazione differenziale del 2° ordine, lineare, a coefficienti costanti ed omogenea (ossia con termine noto pari a 0) che descrive il moto armonico semplice.
Che eleganza, che semplicità!
Nell'ottobre del 1956, mentre era in visita presso l'Università di Mosca, Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984), uno dei massimi protagonisti nello sviluppo della teoria dei quanti, venne invitato dall'amico e collega Dmitri Ivanenko a riassumere in una singola frase la propria idea della fisica.
Dirac si recò allora alla lavagna e vi scrisse una frase memorabile, al punto che Ivanenko chiamò un operaio, incaricandolo di asportare il frammento di lavagna e di sigillarlo!
Su quel pezzo di ardesia vi era (e vi è ancora) riportato il credo scientifico di una delle menti più geniali del XX secolo:
"LE LEGGI DELLA FISICA DEVONO ESSERE DOTATE DI BELLEZZA MATEMATICA".

Fonte dell'immagine








Dopo questa breve ma molto interessante parentesi, aggiungiamo a quanto detto che scopriremo che la legge dell'oscillatore smorzato è molto simile a quella dell'oscillatore armonico semplice.

lunedì 7 luglio 2014

MUSICA E MATEMATICA: NOTE, PUNTI, ARMONIOSITÀ E SIMMETRIA

"La musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza essere conscia di contare" (Gottfried Wilhelm von Leibniz)

"Nonostante tutta l'esperienza che io possa aver acquisito nella musica per il fatto di essermi associato tanto a lungo con essa, devo confessare che solo con l'aiuto della matematica le mie idee si sono chiarite" (Jean-Philippe Rameau)

"La musica non può progredire senza l'ausilio della scienza" (Pierre Boulez)
Tre citazioni che evidenziano in modo perfetto lo stretto rapporto che intercorre tra musica e matematica, una relazione già scoperta in tempi antichi da Pitagora, come racconta ad esempio Giamblico nella sua Vita di Pitagora.
Un giorno Pitagora, mentre passeggiava nella città di Crotone seguito dai suoi discepoli, capitò di fronte alla bottega di un fabbro ferraio e si fermò ad ascoltare i suoni dei martelli che battevano sulle incudini.
Il filosofo si accorse che alcuni di questi suoni stavano bene insieme (ossia erano consonanti), mentre altri no (dissonanti). Abbiamo parlato in maniera approfondita di consonanza e dissonanza in musica nell'articolo "Helmholtz e la dissonanza".
Curioso di comprendere perché avvenisse questo singolare fenomeno, entrò e incominciò a fare esperimenti.
Innanzitutto prese 2 martelli di peso identico, li batté sull'incudine e si rese conto che producevano il medesimo suono.
Poi afferrò altri 2 martelli, questa volta di peso differente: il primo pesava il doppio del secondo.
Battendoli su un'incudine, si rese conto che la nota prodotta era sempre la stessa, tuttavia a 2 altezze differenti (nello specifico, a una distanza che oggi viene chiamata ottava, l'intervallo più armonioso).
Nella successiva prova un martello pesava una volta e mezzo l'altro, dunque si aveva un rapporto dei pesi pari a 3:2.
I suoni furono differenti e in particolare produssero ciò che oggi viene chiamato intervallo di quinta.
I successivi esperimenti produssero ulteriori intervalli musicali.
Quello che Pitagora aveva scoperto era un vero e proprio ponte tra la musica, disciplina che apparteneva al mondo delle arti, e il mondo fisico, un ponte rappresentato dalla matematica!
Risulta necessario specificare che nel 1589 Vincenzo Galilei, padre di Galileo, nell'opera Discorso intorno alle opere di Messer Zarlino da Chioggia, fece notare che le leggi dell'armonia enunciate da Pitagora sono valide solamente per le lunghezze delle corde, ma non per i pesi, che devono invece essere quadrati.
I giusti rapporti numerici tra i suoni sono elencati in questa tabella:







Pitagora avrebbe dovuto accorgersi che per i pesi non valevano le stesse leggi che sussistevano per le corde.
Ciò fa capire che quanto racconta Giamblico potrebbe non essere del tutto veritiero (per maggiori approfondimenti sulla questione si veda qui)!
Vero però è il fatto che alla base della musica ci sia la matematica!
In questo post andremo ad analizzare un po' di relazioni che sussistono tra 2 mondi apparentemente così distaccati quali quello della musica e quello della matematica.

mercoledì 11 giugno 2014

IL PROF. MERLINO E LE MERAVIGLIE DELLA MATEMATICA (4ª ED ULTIMA PARTE)

Sembrava incredibile che una lezione potesse essere così interessante; il prof. Merlino era riuscito ad "infiammare" la curiosità dei suoi allievi, compito tutt'altro che facile.
I ragazzi per la prima volta avevano osservato la matematica da un punto di vista differente. Tutti quanti, fatta eccezione per Leo, l'avevano sempre considerata una materia arida, inutile e incomprensibile.
Il nuovo insegnante, invece, era riuscito a mostrare che la matematica è straordinaria, ricca di collegamenti multidisciplinari e persino alla base dei videogame.
Quella a cui avevano assistito sembrava una lezione utopica, uscita magari da qualche film, ma si trattava di pura realtà!
Anche le affascinanti vicende storiche avevano colpito nel segno. Fu incredibile scoprire che persino gli uomini dell'epoca neolitica si dilettavano a giocare con dei dadi primitivi e che Blaise Pascal fosse riuscito a conseguire eccezionali risultati in un lasso di tempo così breve.
Persino negli studenti più svogliati si era "accesa" una piccola fiammella di curiosità nei confronti di ciò che stava accadendo in classe.
Il ricordo del prof. Trinciamucche stava pian piano svanendo dai pensieri dei giovani discenti, lasciando spazio al gran desiderio di assistere a una nuova memorabile lezione del prof. Merlino.
Quella notte Leo fece davvero fatica ad entrare nel mondo dei sogni. I suoi pensieri non riuscivano a non indirizzarsi sulla superlativa lezione del professore, facendo alzare l'attesa e il desiderio di poter assistere a quella succesiva.
La mattina seguente il giovane si risvegliò ancora più emozionato rispetto al primo giorno di scuola. Lo attendevano ore di delizia intellettuale.
Ore 9. Nuova lezione del prof. Merlino.
Questi si presentò in aula con la classica pacatezza e dolcezza dei modi che lo contraddistingueva.
Lo spettacolo stava per cominciare!
Era rimasta in sospeso la questione della velocità d'attacco.
"Velocità! Un concetto fondamentale. Lo ritroviamo in ogni cosa, dalle corse di auto alle gare di atletica, dalla prontezza di un computer nel scaricare un file a quella più o meno grande di uno studente nello svolgere i suoi compiti. Ma cos'è la velocità precisamente?" chiese il professore alla classe.
"Il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlo" rispose una studentessa nella prima fila di banchi.
"Sì, in linea generale, non è sbagliata questa definizione, però è molto vaga ed approssimativa! Potrebbe essere vista come definizione di velocità media. Un'auto percorre un certo tratto di strada e ci mette un certo tempo, allora la sua velocità media è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato. Ok! Ma questa definizione non tiene conto del fatto che la velocità di un'automobile, nella vita reale, non rimane costante, ma varia costantemente durante il tragitto. Avete mai sostenuto un viaggio mantenendo sempre la medesima velocità? Non credo proprio! Sarebbe utopico per un essere umano un viaggio del genere! Nella realtà abbiamo dunque a che fare con variazioni di velocità, o meglio, con accelerazioni - si scrive con una sola "l", mi raccomando. E se poi volessi sapere la velocità precisa che la mia auto ha in un certo punto del percorso non potrei fare affidamento su una definizione così banale. Qual è quel potente strumento matematico che permette di andare ad analizzare le variazioni infinitesime di una certa grandezza? Dovrebbe avervelo spiegato il mio collega!" esclamò il prof.
"La derivata" disse Leo.
"Giusto, proprio la derivata! Sarebbe davvero assurdo far vedere che tal importantissimo concetto risulti limitato all'ambito dell'analisi matematica, che si "studia" nel V anno di liceo . Le sue applicazioni in fisica, chimica e in diversi altri campi sono innumerevoli. Se Newton non avesse introdotto la derivata, la fisica non si sarebbe sviluppata così tanto nel corso di pochi secoli. Basti pensare che la meccanica quantistica, branca fondamentale della fisica moderna, si poggia su un'equazione alle derivate parziali, l'equazione di Schrödinger, fisico famoso ai più per il bizzarro paradosso del gatto nella scatola, raccontato anche nella celebre sit-com televisiva The Big Bang Theory. Non desidero distogliere l'attenzione dal concetto di velocità, ma brevissimamente, per chi non lo conosce, spiegherò il paradosso.
Immaginate di mettere in una scatola un gatto. Questa scatola dovrà contenere un atomo radioattivo che potrebbe decadere innescando un meccanismo che va ad attivare il rilascio di un martelletto, che a sua volta va a rompere una fiala di veleno letale, con la conseguente morte del felino.
Ergo, l'atomo può decadere o non decadere e, a seconda dei casi, il gatto vive o muore. Fin qui nulla di strano, a parte la follia di mettere un gatto in una scatola mortale! Secondo l'impostazione classica (detta di "Copenaghen") della meccanica quantistica, tuttavia, fin quando la scatola non viene aperta, mostrando l'evento accaduto, il gatto si trova in una sorta di limbo tra la vita e la morte, un po' come lo sciamano quando usa la passiva "Ricettacolo spirituale". In parole povere, il gatto è vivo e morto simultaneamente! Ecco il paradosso!











Mi raccomando, non provateci a casa! Questo è solo un esperimento mentale; nessun gattino, per fortuna, è stato mai preso come cavia per il suddetto! Rapidamente ritorniamo alla nostra tematica odierna: la velocità. Stavamo dicendo che uno strumento chiave per descrivere la velocità è la derivata. Qualcuno sa dirmi cos'è la derivata?" domandò l'insegnante.
"Geometricamente è il coefficiente angolare - la pendenza - della retta tangente ad una certa curva in un punto. Una definizione più precisa fa invece uso del concetto di limite, altro pilastro dell'analisi matematica. Data una certa funzione, quindi una certa curva, la derivata non è altro che il limite a cui tende il rapporto incrementale della funzione quando l'incremento tende a 0.

Animazione sulla derivata (significato geometrico)




















In parole povere, la derivata ci dice "quanto velocemente" una funzione cresce o decresce eseguendo uno spostamento su di essa piccolissimo, infinitesimale." asserì Leo.
"Proprio così. Bravissimo Leo, potresti benissimo prendere il mio posto! A parte gli scherzi, la matematica non è fatta di discorsi articolati e pomposi; basta una manciata di simboli per esprimere in maniera concisa concetti essenziali come la derivata." furono le parole del professore, che scrisse alla lavagna una "magica" formula:





Questi simboli che ad un occhio inesperto potrebbero apparire incomprensibili, sono in verità cristallini ad un matematico. Analizziamola passo passo questa equazione.
Il primo simbolo che compare, f'(x₀), non fa altro che indicarci in pochi caratteri la derivata della funzione f considerata nel generico punto denominato x₀.
Dall'altra parte dell'uguale ci aspetta ansioso il nostro amico limite. Niente è lasciato al caso: sotto alla scrittura "lim" riusciamo a trovare i dettagli su quell'operazione. Quel piccolo passo sulla curva, chiamato h, deve tendere al valore 0. E poi c'è quella frazione, su cui il limite agisce, che ci mostra una differenza tra la funzione calcolata un passettino avanti e calcolata nel punto di partenza, la quale differenza viene poi divisa per il minuscolo passettino h. Dovete immaginare il limite come un generale che va a dire al suo soldato "Tu ora mi devi far andare h vicino allo 0. Non è una gentile richiesta, è un ordine!".















Detto ciò, possiamo vedere come il concetto di velocità istantanea, ossia la velocità in un preciso istante temporale, sia descritto proprio dalla derivata." Un'ulteriore equazione venne raffigurata sulla lavagna:





"La velocità istantanea è la derivata della posizione rispetto al tempo. Quella notazione, dovuta a Leibniz -altro padre dell'analisi assieme a Newton -, che sfrutta la "d" minuscola altro non è che un modo differente di presentare il concetto di derivata. Quel dr/dt non è appunto una frazione come siamo abituati a vederle; è una derivata.
Se voi conosceste la legge matematica (legge oraria) che descrive il percorso, in funzione del tempo, del supereroe dei fumetti Flash per raggiungere il luogo in cui compiere una certa missione, allora attraverso una derivazione potreste constatare qual è l'incredibile velocità che egli sta tenendo in un preciso istante di tempo."















"E la velocità d'attacco su Diablo?" chiese uno studente.
"Ci stavo arrivando. Su Diablo 3 c'è un valore che si chiama "attacchi al secondo", il quale viene incrementato da delle statistiche, ritrovabili sugli oggetti, di "velocità d'attacco aumentata".
Questo valore "attacchi al secondo" in realtà, più che una velocità vera e propria, dovremmo definirla una frequenza. Immaginiamo di avere un valore pari a 1. Ciò comporterebbe che il nostro personaggio ogni secondo riuscirebbe a scagliare un singolo attacco. Se però incrementassimo la "velocità d'attacco" fino a raggiungere i 2 attacchi al secondo, allora ogni secondo riusciremmo a scagliare ben 2 attacchi. Attaccare in Diablo 3 è dunque un fenomeno periodico, un fenomeno che si ripete appunto con una determinata frequenza, non velocità! Le velocità si misurano infatti in metri al secondo, le frequenze in numero di "azioni" effettuate in un certo intervallo di tempo - rigorosamente in hertz (Hz). Queste azioni potrebbero essere dei giri completi di un vinile sul giradischi, delle pulsazioni di luce, ecc.
Luci pulsanti con frequenze diverse misurate in Hz




















La frequenza è un concetto importantissimo. Compare persino nella celebre legge di Planck che va a definire l'energia non come un qualcosa di continuo, bensì come "pacchetti discreti" noti come quanti.
La legge di Planck, in particolare, ci dice che l'energia E associata a una certa radiazione elettromagnetica è data dal prodotto della frequenza ν della radiazione per una costante h, detta costante di Planck:



Anche quando ascoltate la sirena di un'ambulanza starete constatando un fenomeno dipendente dalla frequenza (delle onde sonore). Questo fenomeno è noto come effetto Doppler. Se l'ambulanza si avvicina a voi, la lunghezza d'onda del suono diventa più piccola, incrementando la frequenza del suono percepito. 
Quando invece si allontana, la lunghezza d'onda del suono diviene più grande, comportando un abbassamento della frequenza del suono.













La legge matematica che descrive ciò è quella che vi scriverò adesso:





La frequenza f da voi percepita dipende dalla frequenza f₀ delle onde sonore emesse dal'ambulanza, dalla velocità v delle onde nel mezzo di trasmissione (l'aria) e dalla velocità vs, r della sorgente (l'ambulanza) rispetto al mezzo." spiegò il prof. Merlino.
La lezione continuò con approfondimenti sui concetti di velocità e frequenza, oltre che con test dal vivo del concetto di velocità d'attacco su Diablo 3.
Gli studenti ne furono entusiasti.
Il prof. Merlino, in soli 2 giorni, aveva reso la scuola un luogo non solo di grande arricchimento culturale, ma anche di divertimento.
Passarono i giorni e le lezioni, oltre ad affrontare i classici argomenti di analisi matematica, prendevamo spesso direzioni molto interessanti e multidisciplinari.
Mesi dopo il lupo cercò di tornare dalle pecore! Il prof. Trinciamucche si era ripreso abbastanza ed era pronto a ritornare al suo posto.
Decise di presentarsi spavaldo nella sua classe durante una lezione di Merlino.
"Senta lei, questo è il mio posto di lavoro. Adesso mi sono ripreso e lei deve andare via. Non mi interessa se ha creato un buon legame con gli studenti, il loro vero professore di matematica sono io!". esclamò Trinciamucche.
Merlino attese 5 secondi e poi gli rispose, mantenendo il suo tipico tono pacato: "Mi permetta, caro collega, di dire che il suo atteggiamento nei confronti dei suoi allievi e di un suo collega è scorretto e ingiustificabile. Lei stava contribuendo a far crescere in questi ragazzi l'odio per la matematica. Questi modi di fare non posso tollerarli. Pagherà le sue conseguenze".
All'improvviso una bacchetta magica comparse nella mano destra del prof., il quale immediatamente esclamò una formula magica in latino.
L'incantesimo investì in pieno Trinciamucche, che in pochi secondi si trasformò in una piccola mucca! Le risate a crepapelle dei giovani allievi non tardarono ad arrivare!
"Professor Trinciamucche, lei resterà un umile bovino fin quando non capirà cosa significa veramente svolgere il mestiere di insegnante, parola di Merlino!".

Non tutti coloro che hanno avuto la fortuna di assistere alle meravigliose lezioni del prof. Merlino sono diventati matematici, ma sicuramente quegli insegnamenti indimenticabili sono stati importanti nel proseguimento del loro percorso di vita! Quegli studenti avevano preso parte a qualcosa di unico e forse irripetibile!

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Questa è la quarta ed ultima parte del racconto dedicato al tema "La matematica che vorreste a scuola". Qui, qui e qui rispettivamente le 3 parti precedenti.

lunedì 9 giugno 2014

IL PROF. MERLINO E LE MERAVIGLIE DELLA MATEMATICA (3ª PARTE)

"Avrete certamente studiato qualcosa riguardo la probabilità. Classicamente viene definita, considerando un certo evento, come il rapporto tra il numero di casi favorevoli e quelli possibili dell'evento in questione. Quando lanciate per esempio un dado per osservare che numero uscirà, c'è un solo caso favorevole su 6 possibili, quindi la probabilità che esca un certo numero è 1/6. Lanciandone 2 simultaneamente, avremo, per il fatto che la probabilità di 2 eventi indipendenti è pari al prodotto delle probabilità dei singoli eventi, 1 caso favorevole su 36 possibili.

I 36 casi possibili














È consuetudine esprimere la probabilità in termini di percentuale: lanciando una moneta non siamo soliti dire che abbiamo 1/2 di probabilità di ottenere testa, ma il 50% di probabilità. La probabilità che un certo evento accada è sempre compresa tra i valori 0 (non accade mai) e 1 (c'è la certezza che esso accada), o, in altri termini, tra lo 0% e il 100%.
La probabilità e la sorte sono inoltre concetti decisamente antici. Sono stati infatti rinvenuti dadi fatti con ossa di animali che risalgono all'epoca neolitica, oltre 6000 anni fa, e appaiono molto simili a quelli moderni. Tali dadi primitivi si chiamavano astragaloi e venivano ricavati da alcune particolari falangi delle pecore che avevano 2 facce arrotondate e 4 facce quadrate quasi uguali. Gli antichi uomini giocavano con questi dadi, scommettendo sugli esiti possibili. Per difendersi dall'imprevedibilità del caso, i Greci avevano inventato addirittura una divinità, la Tiche - dai Romani chiamata poi Fortuna -, alla quale appellarsi per ottenere un minimo di benevolenza. 
Bisognava tuttavia saper cogliere il momento giusto, il cosiddetto kairós, un lampo di luce la cui durata era quella di un battito di ali di una farfalla e che dunque si poteva agguantare solo molto rapidamente.

Kairós



















Anche tal concetto veniva impersonato da un dio, l'ultimo dei figli di Zeus, un giovane che appariva nudo, con la testa rasata ad eccezione di un ciuffio che gli pendeva sulla fronte. Costui era sempre in celere movimento e poteva essere acciuffato solo afferandone la ciocca di capelli che si agitava al vento. Se si mancava la presa, non ci sarebbe stato più nulla da fare: il kairós sarebbe andato via per sempre portandosi con sé la possibile occasione di cambiamento.
Tutto ciò è magnificamente rappresentato in musica dai celebri versi del secondo movimento - Fortunae plango vulnera - dei Carmina Burana di Carl Orff: "Verum est quod legitur, fronte capillata, sed plerumque sequitur occasio calvata", ossia "è vero ciò che si sente dire, la fortuna ha la fronte chiomata ma, quando passa, è calva".



I primi tentativi di analisi maggiormente razionale dei fenomeni aleatori - dal latino alea, "dado" - risalgono a diversi secoli dopo e sono legati appunto al gioco dei dadi.














Mentre le carte comparirono attorno al 1350, i dadi erano diffusi da diverso tempo, come si può constatare dalle numerose restrizioni e dai veti emanati nel corso dei secoli, atti a scoraggiare non tanto i giochi di sorte in sé quanto i vizi che li accompagnavano. Per esempio, nel 1232 Federico II di Svevia promulgò la legge de aleatoribus e una ventina di anni dopo, nel 1255, il re di Francia Luigi IX proibì non solo il gioco, ma persino la costruzione dei dadi. Nel 1423 ritroviamo i medesimi divieti nel sermone Contra aleatorum ludus di san Bernardino da Siena, anche se c'è da dire che dal X al XIII secolo si erano susseguiti una serie di editti che vietava allo stesso clero di partecipare al gioco. Addirittura coloro che partivano per la terza Crociata - non quella dei personaggi di Diablo, ma quella storica avvenuta tra 1189 e 1192 - erano in possesso di una prescrizione che limitava il loro comportamento nei confronti delle scommesse: a nessuno che fosse al di sotto del grado di cavaliere veniva concesso di giocare per denaro e comunque cavalieri e religiosi non potevano perdere più di 20 scellini al giorno. E a proposito di dadi, nel canto VI del Purgatorio, Dante richiama nei suoi endecasillabi il gioco della zara che utilizzava ben 3 dadi. Le regole erano davvero molto semplici: a turno, ciascun giocatore esclamava un numero compreso tra 3 e 18 e gettava i dati. Il vincitore era colui che per primo otteneva il punteggio pari al numero chiamato. Questi sono i versi a cui alludevo:

Quando si parte il gioco de la zara,
colui che perde si riman dolente,
ripetendo le volte, e tristo impara

Fino ad ora però abbiamo solamente osservato il concetto di probabilità nella storia legato ai miti, alla letteratura e al gioco. E la matematica? Ebbene, alla fine del XIV secolo un anonimo abacista presentò una soluzione algebrica del cosiddetto problema della divisione della posta, cioè come dividere la posta tra 2 o più giocatori, tenendo conto del punteggio realizzato quando il gioco viene interrotto e nessuno dei giocatori ha ancora conseguito i punti necessari alla vittoria. Il suddetto problema accompagnò la nascita del calcolo delle probabilità, branca della matematica che fiorirà nel Seicento per opera di grandi matematici come Pierre de Fermat e Blaise Pascal. Di quest'ultimo viene elaborata una splendida e sintetica ricostruzione biografica per opera di F.R. Chateaubriand, che mi piacerebbe leggervi:

"Ci fu un uomo che a 12 anni, con aste e cerchi, creò la matematica; che a 16 compose il più dotto trattato sulle coniche dall'antichità in poi; che a 19 condensò in una macchina una scienza che è dell'intelletto; che a 23 anni dimostrò i fenomeni del peso dell'aria ed eliminò uno dei grandi errori della fisica antica; che nell'età in cui gli altri cominciavano appena a vivere, avendo già percorso tutto l'itinerario delle scienze umane, si accorge della loro vanità e volse la mente alla religione; che da quel momento sino alla morte - avvenuta a 39 anni - sempre malato e sofferente, fissò la forma della lingua in cui dovevano esprimersi Bossuet e Racine, diede il modello tanto del motto di spirito più perfetto quanto del ragionamento più rigoroso; che infine, nei brevi intervalli concessigli dal male, risolse quasi distrattamente uno dei maggiori problemi della geometria e scrisse dei pensieri che hanno sia del divino che dell'umano."

So che il mio collega non si dilettava nel darvi spiegazioni sulla storia della matematica. Io, al contrario, cercherò di fare in modo che i concetti spiegati vengano analizzati a 360°, fermandosi anche quando opportuno sui grandi protagonisti e sulle interessanti vicende ad essi attinenti. La matematica - e penso che questa mia prima lezione già possa iniziare a farlo capire - è meravigliosa, magica e piena di sorprese!" questa fu la brillante e chiara spiegazione del prof. Merlino.
"Che dire prof., sono pienamente d'accordo con le sue affermazioni. Sono stato persino sospeso per aver detto cose simili...Per fortuna, finalmente, c'è qualcuno che ci farà vedere la matematica così come realmente è: una meraviglia!" asserì rincuorato Leo.
"Prof. i miei complimenti per la spiegazione davvero incredibile, però sarei curioso di capire cosa c'entra la probabilità con Diablo 3. Ci ha lasciato sulle spine!" esclamò un alunno che attentamente stava seguendo la bella lezione.
"Avete ragione, dopo questo breve ma doveroso excursus storico, ritorniamo al nocciolo della questione. Che diavolo c'entra la probabilità con Diablo 3?
Ogni personaggio del gioco aumenta man mano il valore dei suoi danni inflitti - oltre attraverso specifiche abilità di potenziamento - raccogliendo oggetti sempre migliori e indossandoli.
Questi oggetti hanno diverse statistiche, sia di carattere offensivo, sia difensivo, che di utilità varia.
Il danno inflitto dipende sostanzialmente da statistiche chiave (oltre ad alcune particolari, come l'aumento del danno elementare, l'aumento del danno ai nemici importanti, i cosiddetti élite, i danni ad area, ecc.) quali il danno dell'arma, la statistica primaria (intelligenza nel caso di sciamano e mago, destrezza per quanto riguarda monaco e cacciatore di demoni, forza per quanto concerne barbaro e crociato), la velocità d'attacco e la probabilità di colpo critico.

Esempio statistiche monaco























Ecco, quest'ultima è il più delle volte la statistica fondamentale su cui basarsi. Che significa probabilità di colpo critico? Semplice, che quando un personaggio attacca, oltre ad infliggere un danno "puro" basato sulle altre statistiche, esso ha una certa probabilità di infliggere un grosso danno aggiuntivo, il danno da colpo critico (valore che si può incrementare sempre attraverso degli oggetti).
La probabilità di colpo critico è un valore ovviamente compreso tra lo 0% e il 100% e, in generale, più è alta, meglio è, dato che le speranze di "crittare" e dunque di fare maggiori danni ai nemici salgono.
Si notano facilmente le differenze in termini di efficienza tra un personaggio con una probabilità di colpo critico che si attesta sul 30% e uno con una probabilità di critico di oltre il 50%.
Vi piacerebbe vedere la probabilità di colpo critico in azione?" domandò il prof. alla classe.
Tutti gli studenti all'unisono intonarono un sì. Il professore tirò fuori il suo pc dalla borsa, si recò su youtube e avviò un video.



"Come potete osservare" spiegò il professore "quando la barbara riesce ad attivare un colpo critico con l'abilità "Maglio degli antichi", sullo schermo compare un numerino giallo; nel caso in cui l'abilità non abbia "crittato", quel numerino non compare.

"Maglio degli Antichi" e le sue rune
























Dato l'alto numero di volte in cui è comparso un numerino giallo, si può facilmente concludere che quella barbara aveva un'elevata probabilità di colpo critico, sicuramente superiore al 50%, anzi decisamente superiore. Giocare con una probabilità di critico oltre il 50% è equivalente a giocare con una moneta truccata in cui testa abbia ad esempio maggiori probabilità di uscire di croce!". Il concetto di probabilità non appare in Diablo solo nelle statistiche del danno, ma pure nei ritrovamenti magici. Ogni oggetto di tipo leggendario ha una specifica probabilità di essere rinvenuto - in gergo "diablesco" si dice "droppato" - rispetto a quelli della stessa categoria. Un esempio eclatante è il caso del pugnale cerimoniale, per sciamano, Kukri astrale, il più importante per quella classe.







































Quando avviene il ritrovamento di un pugnale cerimoniale leggendario, secondo alcune fonti, ci sarebbe solo l'1,64% di probabilità che esso sia il famigerato Kukri. Quindi bisogna avere tanta, tanta fortuna per trovarlo!" disse il prof.
"Prof., ma invece la velocità d'attacco cos'è precisamente?" domandò un allievo.
"Domanda pertinente, ma ne parleremo nella prossima lezione. Il tempo a disposizione è purtroppo finito per oggi. La campanella sta per suonare!".



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Questa è la terza parte del racconto dedicato alla tematica "La matematica che vorreste vedere a scuola". Qui e qui rispettivamente la prima e la seconda parte.

sabato 7 giugno 2014

IL PROF. MERLINO E LE MERAVIGLIE DELLA MATEMATICA (2ª PARTE)

"Bene, direi di focalizzarci su Diablo 3, che può essere un ottimo esempio da analizzare." disse il professore.
"Prof., ma lei conosce il gioco?" fu la domanda di un ragazzo alquanto sorpreso.
"Mai dubitare delle conoscenze di un prof. che si chiama Merlino!" fu la battuta dell'insegnante, che iniziò la sua spiegazione. "Per chi non lo sapesse, trattasi di un videogioco di ruolo ambientato nell'immaginario mondo d'ispirazione medievale chiamato Sanctuary, un mondo che risente dell'eterno scontro tra angeli e demoni, con particolare riferimento ai 7 Grandi Demoni, tra cui i 3 Primi Maligni, ovvero Mephisto, Baal e appunto Diablo. È possibile scegliere tra 6 classi - sciamano, cacciatore di demoni, crociato, monaco, barbaro e mago - con le quali intraprendere un percorso per salvare il mondo dalle grinfie di Diablo e/o altri antagonisti. Il gioco in sé, però, va ben oltre il completare la lineare storia. L'obiettivo di Diablo 3 è ricercare oggetti in grado di influenzare il modo di impostare le abilità di una specifica classe e provare nuove combinazioni, fino a trovare quella/quelle maggiormente efficienti. Ecco appunto si parla di combinazioni, quindi di calcolo combinatorio. In Diablo esistono 2 tipologie di abilità: attive e passive. Si possono impostare per l'uso 6 abilità attive e 4 passive a scelta del giocatore, le quali possono essere sostituite in qualsiasi momento a seconda delle esigenze.

Esempio di configurazione abilità attive e passive
























Prendiamo il caso dello sciamano.



Attualmente lo sciamano può contare su ben 23 abilità attive e 18 passive. Su ogni abilità attiva di una classe, inoltre, è possibile scegliere una determinata runa tra 5, in grado di influenzare notevolmente il tipo di attacco/magia che si effettua. Come si può dunque constatare già ad occhio, il numero di possibili combinazioni di abilità è davvero altissimo, ma se volessimo calcolare qual è il numero esatto, come dovremmo procedere?" domandò il prof. Merlino.
"Direi sfruttando le regole che riguardano le combinazioni" rispose Leo, alzando la mano.
"Esatto, proprio attraverso precise regole matematiche. Proviamo a vederle insieme. Dividiamo il nostro lavoro in 3 step: innanzitutto focalizziamoci sulle abilità attive, poi sulle rune e infine sulle passive. Prima di far ciò, una breve rinfrescata sull'argomento. Dati due numeri interi positivi, che chiamiamo per convenzione n e k, i matematici definiscono combinazione di n elementi presi k volte ogni sottoinsieme di k oggetti estratti da un insieme di n oggetti. Detta così può sembrare arabo, ma il concetto è molto semplice. Pensate all'estrazione del superenalotto. Su 90 numeri ne vengono estratti 6, ovvero la combinazione vincente. In tal caso si ha n = 90 e k = 6, cioè si considerano quanti possibili sottoinsiemi di 6 numeri - senza ripetizioni all'interno della stessa sequenza - si possono formare avendo a disposizione un'urna contenente 90 numeri diversi. Solo uno di questi possibili sottoinsiemi potrebbe rendere una o più persone milionarie. Ma perchè è così tanto difficile beccare la sequenza di 6 numeri vincente? Il numero di combinazioni si calcola in questo modo."
L'insegnante scrisse sulla lavagna un'uguaglianza:





"Mi raccomando, non scambiatemi quel simbolo per il punto esclamativo che usate negli sms! Quello in matematica si chiama fattoriale e indica la moltiplicazione di tutti i numeri interi partendo da un certo numero n fino ad arrivare a 1. 4! ad esempio equivale a dire 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24. Un'altra cosa che vi devo specificare è che i sottoinsiemi vengono considerati indipendenti dall'ordine degli elementi. In pratica estrarre ad esempio 1, 2, 3, 4, 5, 6 è equivalente ad estrarre 3, 1, 2, 5, 6, 4. Trattasi semplicemente di 2 modi diversi di scrivere la medesima combinazione. Si hanno distinte combinazioni quando invece è presente almeno un elemento differente tra le sequenze considerate. Ad esempio, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 1, 2, 3, 4, 5, 7 sono due combinazioni distinte. Ritornando velocissimamente al caso del superenalotto, le combinazioni distinte possibili sono:





Un numero esorbitante vero? Quando una persona gioca una schedina, sta sperando che una delle sue 2 combinazioni sia vincente su un "oceano" di oltre 622 milioni di combinazioni distinte. Follia! Nel caso delle abilità attive dello sciamano, il procedimento è esattamente lo stesso. Abbiamo n = 23 e k = 6. Introduciamo questi numeretti nella nostra magica formula e voilà:




Solo considerando le abilità attive, questa classe di Diablo 3 ha oltre 100 mila combinazioni su cui poter fare affidamento.
Ora spingiamo la nostra attenzione verso le rune. Qui la faccenda si complica un tantino, ma non troppo." precisò il professore.

L'abilità attiva "Tormento" e le sue 5 rune
























"Per quale motivo prof.? Non basta applicare nuovamente la formula relativa alle combinazioni?" fu l'intervento di una studentessa.
"In verità, il discorso delle rune implica un concetto di combinazione leggermente più complesso. Fino a questo momento ci siamo riferiti alle cosiddette combinazioni semplici. Esistono tuttavia le combinazioni con ripetizione e sono proprio quelle a cui dobbiamo riferirci per studiare il caso delle rune. Infatti, indicando le rune di ciascuna abilità - anche se poi ogni runa è diversa da tutte le altre - con i numeri 1, 2, 3, 4, 5, noi potremmo trovare per esempio configurazioni in cui la runa n.3 appaia più volte, generando dunque una ripetizione. Il calcolo combinatorio ci viene in soccorso anche in questo caso. Consideriamo delle generiche combinazioni che abbiano una ripetizione di lunghezza k, ossia ogni elemento può essere ripetuto fino a k volte. Il numero totale di combinazioni con ripetizione viene calcolato attraverso la formula che adesso vi scriverò:





Le rune possibili sono 5, quindi n = 5. Una singola runa - o meglio una runa che occupa una determinata posizione - può ripetersi fino a 6 volte, giacché 6 è il numero di abilità attive.
Ne consegue che k = 6. Con queste considerazioni possiamo arrivare alla conclusione che le combinazioni possibili con le rune risultano essere:





Terminiamo con le abilità passive. Nel suddetto caso abbiamo nuovamente a che fare con combinazioni semplici, visto che le passive non possono ripetersi. Le passive dello sciamano sono in totale 18, tra cui sceglierne 4 per la propria configurazione di gioco. Pertanto abbiamo n = 18 e k = 4. Dovrebbe essere ormai facile per voi arrivare a determinare quante siano le combinazioni di passive possibili:




Bene, ricapitoliamo! Abbiamo scoperto che lo sciamano ha 100.947 combinazioni di abilità attive, 210 combinazioni riguardanti le rune e 3.060 concernenti le passive. Come perveniamo però al numero totale di combinazioni che tenga conto delle 3 tipologie di abilità già analizzate?" domandò il prof. Merlino. 
"Se non ricordo male, nel calcolo combinatorio, data una certa sequenza con tipologie di elementi che variano in modi distinti, il numero totale delle sequenze distinte possibili è dato semplicemente dal prodotto dei modi in cui può variare ciascuna tipologia. Per esempio, immaginiamo di trovarci in una pizzeria e di poter ordinare il tipo di pizza basandoci sia sullo spessore, sia sulla farcitura.














Le pizze in questione possono essere o sottili o spesse e allo stesso tempo possono essere farcite con pomodoro, patate o salsicce. In tal caso avremmo 2 combinazioni possibili riguardanti lo spessore e 3 concernenti il condimento. Il totale delle combinazioni è, per via della regola, 2 × 3 = 6 possibili tipi di pizze ordinabili (sottile con pomodoro, sottile con patate, sottile con salsicce, spessa con pomodoro, spessa con patate e spessa con salsicce). Quindi, per rispondere alla sua domanda prof., relativamente allo sciamano dobbiamo semplicemente effettuare il prodotto dei 3 valori rinvenuti rispettivamente riguardo alle abilità attive (100.947 combinazioni), alle rune (210 combinazioni) e alle passive (3.060 combinazioni); a quel punto avremmo il numero totale di configurazioni possibili che tengano conto contemporaneamente delle 3 tipologie di abilità: 64,8 × 10⁹ combinazioni circa, oltre 64 miliardi in parole povere. Un numero davvero impressionante!" affermò Leo.
"Bravo, ottima spiegazione! C'è da puntualizzare che 64 miliardi sono le combinazioni matematicamente possibili, ma ovviamente quelle efficaci sono decisamente inferiori, dato che una combinazione per essere giocabile ha bisogno di essere composta da abilità con funzioni diverse e in armonia fra loro." fu la precisazione del professore.
"Prof., ma solo il calcolo combinatorio ritroviamo nel videogioco o ci sono altri elementi matematici che lo caratterizzano?" fu l'interrogativo di un allievo che si stava appassionando alla discussione.
"No, le combinazioni sono solo uno dei tanti elementi matematici che si possono riscontrare. Uno fondamentale è sicuramente la probabilità".

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Questa è la seconda parte di un racconto dedicato al tema "La matematica che vorreste vedere a scuola". Cliccate qui se vi siete persi la prima parte!