martedì 9 luglio 2019

LA LUNA, KEPLERO E I DRAGHI

La Luna è l'unico satellite naturale che possiede il nostro pianeta, la Terra.
Il 21 luglio 1969 (circa 50 anni fa) l'uomo (Neil Armstrong) toccò per la prima volta la superficie lunare, grazie alla missione spaziale Apollo 11 (l'allunaggio viene datato però 20 luglio).
In questo post andremo a scoprire alcune curiosità inerenti alla Luna.
Cominciamo innanzitutto a raccontare come apparisse la Luna per un grandissimo astronomo tedesco del passato, Johannes Kepler (1571-1630, italianizzato in Keplero).
Non bisogna infatti compiere l'errore di pensare che alcune cose che oggi appaiono banali riguardanti il nostro satellite lo fossero pure nell'epoca in cui la scienza moderna cominciò a seminare le sue radici.
Ricordiamo che il 12 marzo 1610 Galileo Galilei pubblicò un'importantissima opera intitolata Sidereus nuncius.
Galileo aveva infatti rivolto il proprio telescopio verso il cielo ed era rimasto affascinato da un'ampia serie di nuovi fenomeni.
Questo fu l'atto di nascita dell'astronomia telescopica, una scienza che più progrediva più metteva in evidenza la validità del modello eliocentrico del Sistema Solare, modello di cui proprio Keplero descrisse le leggi fondamentali (le famose 3 leggi di Keplero).

















Una volta pubblicato il Sidereus nuncius, Galileo procedette nell'inviarne una copia al collega tedesco, il quale rispose con una lettera contenenente le proprie osservazioni in merito.
Questa lettera di risposta di Keplero a Galileo diventò un vero e proprio libro, denominato Dissertatio cum nuncio sidereo.
Sebbene i toni di questa risposta fossero cortesi e, a detta di qualcuno, anche lusinghieri nei confronti di Galilei, in realtà Keplero addusse velatamente le proprie critiche, reclamando oltretutto come sue alcune delle idee uscite nel saggio dello scienziato italiano.
Keplero ricordò inoltre a Galileo che il telescopio aveva dei precedenti, tra cui uno studio di Giovanni Battista della Porta dal titolo Magia naturale (1558).
In ogni caso, Keplero pretendeva di competere con il collega italiano non con un telescopio, bensì con un cartone avente un foro ed una lente che proiettava l'immagine della Luna a una distanza pari a 12 piedi.
In tal modo Kepler era in grado di scorgere maggiori dettagli relativi alla superficie lunare rispetto ad una semplice osservazione ad occhio nudo.
Keplero credeva che le parti scure fossero terra e quelle brillanti mare, ma ammise, a seguito dello studio illustrato da Galileo, che si trattava proprio del contrario, giacché il telescopio mostrava svariate irregolarità assomiglianti a montagne nelle parti chiare.
Tuttavia va detto che Galileo non riteneva che la Luna fosse costituita di acqua e di terra.
Altro dettaglio che Keplero scrutò nella sua osservazione è fornito da quelli che oggi chiamiamo semplicemente crateri lunari.

















L'interpretazione dell'astronomo tedesco per tali forme fu degna di un film di fantascienza: a suo perere, questi crateri sarebbero stati abitati dai cosiddetti seleniti, esseri più forti e di stazza più grossa rispetto agli esseri umani.
Essendo così grandi, questi seleniti progettavano grandi opere, come delle barriere circolari enormi per difendersi dal Sole.
Secondo Keplero, l'interno di quelli che oggi chiamiamo crateri veniva utilizzato per la semina.
Essi apparivano alla stregua di buchi, che Keplero pensava fossero pozzi.
Naturalmente la spiegazione attuale sulla formazione di tali crateri, ossia un bombardamento da parte di svariati meteoriti, era fuori dalla portata delle conoscenze astronomiche di quell'epoca.
Keplero riteneva inoltre che la Luna fosse costituita di un materiale poroso simile alla pietra pomice, dunque sosteneva che essa avesse bassa densità.
Ciò gli sembrava coerente con la sua teoria che la rotazione terrestre producesse una forza simile a quella magnetica, forza che metteva in rotazione la Luna.
A causa di questa forza, secondo questa teoria, la Luna ruotava assai velocemente e siccome il movimento risultava inversamente proporzionale alla sua massa, ciò comportava una densità decisamente bassa della propria struttura.
In ogni caso, anche se queste idee di Keplero concernenti le proprietà della Luna posssono apparire un tantino mistiche, questo non toglie nulla ai suoi contributi scientifici di notevole rilevanza.
D'altronde anche Newton, per esempio, se da una parte scopriva le leggi fondamentali del mondo e fondava il linguaggio matematico del calcolo infinitesimale per descriverlo al meglio, dall'altra compiva studi alchemici e mistici, che lo allontanavano dalla scienza rigorosa.
Ma a proposito di particolari mistici, vi starete a questo punto chiedendo cosa c'entrino i draghi con la Luna.
Non c'è alcuna relazione con Game of Thrones, mi spiace! Consoliamoci però con un'epica versione del brano Rains of Castamere, uno dei brani musicali fondamentali della serie tv in questione.



Per capire però questa cosa dei draghi dobbiamo osservare brevemente come funziona il moto della Luna.
La Luna si muove naturalmente su un'orbita ellittica attorno alla Terra, in senso diretto per un osservatore posto nell'emisfero boreale.
L'orbita risulta in particolare inclinata mediamente di 5°9' sul piano dell'eclittica (piano su cui giace l'orbita terrestre).














Dal punto di vista di un ipotetico osservatore posto sul Sole (attenzione che scotta!), la traiettoria descritta dalla Luna non mostra mai alcuna convessità rivolta verso la nostra stella.
In altre parole, è come se la Luna fosse un pianeta ruotante intorno al Sole, il cui moto è però disturbato dall'attrazione terrestre.
L'intersezione tra il piano dell'orbita della luna e quello della Terra è chiamata linea dei nodi.
La suddetta linea ruota in senso retrogrado (cioè orario) intorno alla Terra eseguendo un giro completo in 6793 giorni, ossia 18,6 anni.
Questo fenomeno è detto retrogradazione dei nodi.
Come ben noto, l'illuminazione che la Luna (osservata dalla Terra) riceve da parte del Sole va a determinare il fenomeno delle fasi lunari (o lunazione):
  • novilunio o Luna nuova: la Luna è prossima al Sole e non può essere osservata sia a causa della sua posizione sia per il fatto che rivolge verso la Terra l'emisfero non illuminato;
  • plenilunio o Luna piena: è il caso opposto rispetto al novilunio. La Luna si trova nella posizione opposta e il suo emisfero visibile risulta totalmente illuminato dai raggi del Sole. Inoltre la Luna sorge quando il Sole tramonta.
Queste 2 fasi fondamentali vengono denotate come sizigie, dal greco sysygia, cioè "congiunzione".
Quando poi l'angolo Luna-Terra-Sole diviene retto (la cosiddetta quadratura), il disco della luna ci appare illuminato a metà (primo e ultimo quarto).

















Sul disco lunare la linea che fa da divisorio tra la parte illuminata e quella oscura è chiamata terminatore.
Si definisce poi età della Luna l'intervallo temporale, in giorni, dal momento considerato al novilunio precedente.
La Luna, partendo da un punto fisso della propria traiettoria, impiega precisamente 27,3216 giorni per farvi ritorno.
Tale periodo di tempo è noto come mese siderale.
Mentre la Luna ruota intorno alla Terra, quest'ultima, naturalmente, ruota a sua volta attorno al Sole.
Supponendo che il mese siderale inizi al novilunio (in cui la luna si trova ad una posizione che possiamo chiamare L), terminato questo mese il satellite si sarà spostato in una posizione L'.
È chiaro, tuttavia, che durante il suddetto intervallo temporale pure la Terra si sia spostata da una posizione T ad una posizione T'.
Ne consegue che il Sole giace ora nella direzione T'S.
La Luna, per terminare il ciclo di lunazione, deve però ancora percorrere l'angolo L'T'L'' = TST'.
La determinazione di tale angolo è molto semplice: è sufficiente dividere l'angolo giro per 13, giacché 13 è il numero dei mesi siderali contenuti in un anno.
Si ha dunque che 360° : 13 = 27°, un angolo che viene percorso dalla Luna in circa 2 giorni.
Pertanto il periodo di tempo in cui la Luna compie l'intero ciclo delle fasi lunari, il cosiddetto mese sinodico (da synodos = "riunione"), risulta più lungo del mese siderale.
Nello specifico, la durata del mese sinodico è mediamente di circa 29 giorni e 12 ore.
La seguente immagine ben illustra quanto appena spiegato.

L'orbita apparente della Luna sulla sfera celeste va ad intersecare l'eclittica in 2 punti:

1) nodo ascendente: punto dove la Luna passa dalla latitudine negativa a positiva;
2) nodo discendente: punto dalla parte opposta del nodo ascendente.

Poiché sussiste la retrogradazione dei nodi, i suddetti 2 punti si spostano sull'eclittica andando incontro alla luna ed effettuando un giro completo in 18,6 anni.
Il fatto che il moto dei nodi sia retrogrado, dunque opposto al moto lunare, fa sì che il periodo di tempo che il satellite impiega per passare 2 volte allo stesso nodo sia inferiore al mese siderale.
Questo particolare intervallo temporale viene chiamato mese draconitico (o draconico) e ha un valore di circa 27,2122 giorni.
La denominazione "draconico" deriva proprio dal fatto che alcune antiche leggende medievali narravano che la Luna o il Sole, durante le eclissi, fossero in procinto di essere divorate da un gigantesco drago disteso lungo l'eclittica!
Oltretutto, siccome le eclissi si verificano in prossimità dei nodi, le leggende sostenevano che la bocca del drago dovesse essere vicina a questi punti.

















Concludiamo il post in musica, con un classico jazz interpretato dalla straordinaria Ella Fitzgerald e intitolato How High The Moon:


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Fonti principali:

- Keplero, La matematica del movimento planetario di Eduardo Battaner López
- Introduzione all'astronomia di Giuliano Romano

giovedì 6 giugno 2019

IL SISTEMA ASSIOMATICO DI HILBERT PER LA GEOMETRIA

David Hilbert (1862-1943) è considerato uno dei matematici più influenti di sempre.

Il suo nome appare in svariati ambiti rilevanti della matematica, oltre che in fisica, ove l'introduzione degli spazi di Hilbert è stata fondamentale per lo sviluppo matematico della meccanica quantistica.
Leggendo il libro Hilbert, Alla ricerca di assiomi universali (della collana Geni della Matematica) di Carlos M. Madrid Casado, mi sono imbattuto in un interessantissimo passo relativo al sistema assiomatico introdotto da Hilbert.
Il presente post è un riassunto dei concetti fondamentali illustrati nel libro sopracitato.

martedì 14 maggio 2019

CARNEVALE DELLA MATEMATICA #129: LA MATEMATICA DEL XVIII E XIX SECOLO

"In matematica, le rivoluzioni sono eventi silenziosi. Nessuno scontro, nessun clamore. La notizia viene comunicata in qualche trafiletto ben lontano dalle prime pagine.
Donal O'Shea, autore del libro La congettura di Poincaré.



Benvenuti alla 129ª edizione del Carnevale della Matematica, la terza che ha l'onore di ospitare il blog Scienza e Musica!
Tale edizione ha nome in codice (dovuto al sommo Popinga) "il merlo intrepido" e cellula melodica (grazie a Dioniso Dionisi, che ritroveremo come partecipante):



La tematica scelta come filo conduttore del presente evento è, come tradizione nei carnevali ospitati su questo blog, davvero ad ampio respiro: "La matematica del XVIII e XIX secolo".
Naturalmente, apriremo la kermesse con una ricca introduzione sul tema (va specificato, sì ricca, ma comunque assai sintetica e incompleta rispetto alla colossale vastità della tematica affrontata), oltre alla consueta presentazione del numero della suddetta edizione, ovvero il 129.
Incominciamo dicendo che nelle università del Seicento il termine "matematiche" designava un'ampia varietà di discipline diverse, tra cui l'astrologia, la balistica, l'ottica e la meccanica.
Le università di quel tempo erano in grado di fornire i mezzi di sussistenza soltanto a un'élite ristretta di matematici.
Particolarmente significativo in tal senso è l'esempio della Svizzera di fine Seicento.
Qui era presente una singola università in tutto il paese e dunque anche la cattedra di matematica era una sola, quella di Basilea, ricoperta dal 1687 al 1705 da Jacob Bernoulli e poi, dal 1705 al 1748, da suo fratello Johann (per saperne di più sull'incredibile famiglia Bernoulli, cliccate qui).





Nel corso della seconda metà del XVII secolo si svilupparono tuttavia alcune alternative, per mezzo dell'allestimento di nuovi luoghi di elaborazione e trasmissione del sapere.
Tra questi luoghi spiccavano le accademie, tra cui particolare importanza ebbe l'Académie Royale des Sciences a Parigi per opera di Jean-Baptiste Colbert, il potente ministro di Luigi XIV.
Quale era la sostanziale differenza tra questa Accademia francese e, per esempio, la Royal Society di Londra?
L'originalità del modello di Accademia francese stava nel fatto che questa veniva direttamente finanziata dallo Stato!
Nel XVIII secolo l'istituzione di accademie ispirate al modello francese offriva a qualche matematico la prospettiva di un lavoro remunerato, tuttavia i posti stipendiati rimanevano ancora esclusiva di una piccola cerchia privilegiata.
Per esempio, il tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), uno dei padri dell'analisi matematica assieme a Newton (1642-1727), si impegnò tutta la vita a promuovere la creazione di società scientifiche, attraverso memoranda e programmi da sottoporre ai principi europei e non.
Negli ultimi anni del XVII secolo Leibniz si era sempre più interessato alla Russia e al suo zar, Pietro il Grande (1672-1725), il quale riteneva fondamentale il ruolo delle scienze nel processo di modernizzazione del suo gigantesco impero.
Dopo la morte del grande matematico tedesco, lo zar cercò di mandare avanti, attraverso intermediari, tale processo di collaborazione scientifica con gli intelletuali europei.
L'8 febbraio 1724, il Senato russo approvò poi il progetto di Accademia (a San Pietroburgo) proposto dal medico di corte, Laurentius Blumentrost, che ne divenne il primo presidente.
L'Accademia si sarebbe dovuta basare su 3 elementi costitutivi:

1) l'istituto accademico di ricerca (ispirato al modello delle Accademie di Parigi e Berlino);
2) l'università;
3) il ginnasio.

Gli ultimi 2, però, ebbero un fulmineo declino.
Al suo esordio, l'Accademia russa contava 23 membri, 7 dei quali matematici.
Tra questi era presente Jacob Hermann, allievo di Jacob Bernoulli, pupillo di Leibniz e professore di matematica a Francoforte sull'Oder.
L'invito ad unirsi all'Accademia venne inviato pure a Johann Bernoulli, ma quest'ultimo rifiutò.
Tuttavia, egli convinse 2 dei suoi figli, Daniel e Nicolaus (II), a mettersi al servizio dello zar.
Sfortunatamente Pietro il Grande, morto il 18 gennaio 1725, non poté vedere compiuta l'opera che tanto bramava, la quale fu portata a termine con successo dalla sua vedova, Caterina I.
Al termine dell'estate del 1725 un certo numero di accademici si era già stabilito a San Pietroburgo.
Tra questi c'era nientemeno che Christian Goldbach (noto per la celebre congettura ancora irrisolta che porta il suo nome), il quale fu incaricato di redigere i verbali in latino e di occuparsi delle pubblicazioni e della corrispondenza.
Alla fine, Jacob Hermann ricoprì la cattedra di matematica, Nicolaus Bernoulli quella di meccanica, Daniel Bernoulli fu professore di fisiologia ed anatomia sino a quando, nel 1731, a seguito della partenza di Hermann, ottenne la cattedra di matematica.
La cerimonia di inaugurazione dell'Accademia ebbe luogo il 7 gennaio 1726, in assenza dell'imperatrice.
Una seconda seduta pubblica (questa volta in presenza di Caterina I) si concretizzò il 12 agosto.
In tal occasione, Hermann presentò una dissertazione in latino (pubblicata però nel 1735) concernente l'origine e lo sviluppo della geometria.
La prima parte della presentazione di Hermann riguardò la storia della geometria dall'antichità al XVIII secolo.

Questi distinse 3 epoche fondamentali:

1) l'infanzia della geometria: inizia con Talete e Pitagora, culminando poi con Euclide, Archimede e Apollonio;
2) la fase medium ævum (che seguì uno hiatus, ossia un periodo di ristagno della geometria): si apre con Viète e risulta dominata dalla figura di Descartes;
3) l'epoca della geometria sublimior: inaugurata dalla pubblicazione della Nova methodus (1684) di Leibniz e ancora in corso.

Hermann mise in evidenza il rigore dei metodi degli antichi, tuttavia li reputò goffi se comparati ai potenti e rapidi metodi del calcolo differenziale e integrale, arrivando persino ad asserire che la scrupolositas in demonstrando della geometria greca rappresentò un ostacolo all'innovazione.
Anche il grandissimo Leonhard Euler (1703-1783) [noi italiani spesso lo chiamiamo Eulero], grazie all'invito di Daniel Bernoulli, prese posto all'Accademia di San Pietroburgo, precisamente a partire dal giugno 1727.
Il primo periodo trascorso da questi in Russia fu davvero molto produttivo: si contano infatti una cinquantina di memorie ed opere apparse nel periodo compreso tra il 1727 e il 1741.
In particolare, meritevole di menzione è la sua Mechanica, sive motus scientia analytice exposita in 2 tomi del 1736.
Quest'opera rappresentò un capisaldo nella storia della meccanica, oltre al fatto che permise al giovane matematico di ottenere numerosi riconoscimenti.
Nel 1741, l'incertezza sul destino dell'Accademia russa legato alla situazione politica di quel momento portò Eulero ad accettare l'offerta di Federico II di Prussia.
Quest'ultimo era desideroso di innestare una riorganizzazione dell'Accademia di Berlino.
Non a caso il suddetto sovrano amava circondarsi di persone colte, tra cui brillanti filosofi e abili poeti.
Tuttavia sussisteva un conflitto di opinioni tra il sovrano e il matematico inerente all'utilità delle "matematiche superiori", ovvero l'analisi matematica.

giovedì 9 maggio 2019

CARNEVALE DELLA MATEMATICA N.129 - 3ª (ED ULTIMA) CALL FOR PAPERS

Questa è l'ultima chiamata per coloro che abbiano intenzione di partecipare al Carnevale della Matematica n.129, che sarà dedicato alla matematica del XVIII e XIX secolo.
Ormai mancano pochi giorni alla pubblicazione (14 maggio, se riesco, allo scoccare della mezzanotte) e ancora meno per l'invio dei contributi.
Avete infatti tempo sino alle 23:59 del 12 maggio per segnalarmi i vostri contributi (in tema oppure no) all'indirizzo mail:

leonardo92.universo@gmail.com

Per maggiori informazioni, vi rimando alla prima call for papers.
A prestissimo col Carnevale della Matematica qui su Scienza e Musica!

Leonardo Petrillo

mercoledì 8 maggio 2019

IL FANTASTICO ZOO DELLA GEOMETRIA

Era una mattina d'estate, davvero afosa.
Il Sole risplendeva mostrando tutta la sua imponenza nel sereno cielo. Si trattava della giornata perfetta per la gita in uno zoo.
Bernardo era tutt'altro che contento di parteciparvi, d'altronde aveva già avuto occasione di girare per diversi zoo sin da piccolo e dunque riteneva non potesse esserci più nulla da scoprire e che potesse solleticare la sua curiosità.
"Ma come, non sei curioso di vedere le maestose tigri malesi?" gli domandò un compagno di classe, seduto affianco sull'autubus che li avrebbe condotti nel meraviglioso parco naturale.
"Già viste tante volte, vorrei osservare qualcosa di nuovo ed altrettanto emozionante" rispose celermente Bernardo.
L'orario di arrivo era previsto per le 10; nel mentre il ragazzo ascoltò un po' di musica classica, precisamente si dilettò col meraviglioso Concerto per pianoforte e orchestra n.3 di Rachmaninov.



Giunti allo zoo, l'esplorazione cominciò immediatamente tra elefanti, scimpanzé, leoni, zebre e chi più ne ha più ne metta.
La mente curiosa di Bernardo purtroppo non era abbastanza stimolata da renderlo molto felice, tuttavia, ad un tratto, qualcosa di bizzarro accadde.
Una voce risuonò all'interno del parco naturale: "Salve gentili visitatori; unicamente per oggi estrarremo tra voi un vincitore che potrà accedere alla nostra ala di massima segretezza! Per prenotarvi sarà sufficiente firmare un foglio che il nostro attento staff vi fornirà".
Bernardo non ci pensò neanche un secondo e appose la firma non appena ricevette il foglio.
Non si trattava di un banale documento di iscrizione; ai margini del foglio comparivano infatti strane figure geometriche.
Dopo solo mezz'ora furono raccolti tutti i fogli e si passò all'estrazione del vincitore. "UN MINUTO DI ATTENZIONE" echeggiò la solita voce dell'annunciatore. "IL VINCITORE È BERNARDO R.".
Urla ed applausi scrosciarono nei confronti del ragazzo.
"Prego, mi segua" affermò un membro dello staff dello zoo, il cui compito era condurre Bernardo nell'ala segreta.