mercoledì 24 aprile 2019

LE FUNZIONI GAMMA E BETA DI EULERO

Eccoci arrivati all'ultimo appuntamento con la serie di post dedicati all'analisi complessa.
Vediamo il recap delle puntate precedenti:

- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa";

Questa puntata è dedicata a 2 particolari funzioni introdotte da Eulero (1707-1783) e, al fine di illustrarle, faremo uso di alcuni dei concetti spiegati nei post passati.
Cominciamo dicendo che nel 1727 Eulero venne chiamato da Daniel Bernoulli a ricoprire una cattedra di medicina prima, e matematica poi, presso l'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo.
I 2 divennero stretti collaboratori fino alla dipartita di Bernoulli nel 1733.
L'autodidatta Christian Goldbach era anch'egli, in quegli anni, professore presso la suddetta Accademia.
Pare che fu proprio Goldbach a proporre ad Eulero di trovare una funzione che estendesse il fattoriale ai numeri non interi.
Ne seguì una corrispondenza tra i 2 (che continuò poi su innumerevoli questioni per ben 35 anni) durante la quale, in una celebre lettera di Eulero a Goldbach del 13 ottobre 1729, comparve per la prima volta la funzione gamma sotto forma di limite di un prodotto e di prodotto infinito:

Questa è appunto la cosiddetta rappresentazione di Eulero per la funzione gamma. 

martedì 23 aprile 2019

LA MAGNIFICA SUPERFICIE DI DINI

Abbiamo già avuto modo di parlare di pseudosfere su questo blog.
Ultimamente abbiamo per esempio scoperto le spettacolari creazioni artistiche dell'australiano Paul Walker (cliccate qui per vederle) ispirate alla pseudosfera di Beltrami.
È consigliabile (avviso rivolto specialmente al lettore non esperto), prima di continuare la lettura, di rileggere il nostro vecchio post di illustrazione della pseudosfera (cliccate qui), giacché qui assumeremo per scontata la conoscenza di alcuni concetti lì spiegati, come la trattrice e la curvatura.
Tra poco scopriremo brevemente una magnifica superficie che si può ottenere proprio dalla torsione di una pseudosfera!
Prima di far ciò, leggiamo, a mo' di introduzione, cosa scrive Claudio Bartocci, a proposito della geometria differenziale dal 1850 in poi, nel suo splendido testo intitolato Una piramide di problemi:

«Dopo il 1850, le ricerche in geometria differenziale - intesa quasi esclusivamente come teoria delle superfici immerse nello spazio euclideo oppure come disciplina al servizio della fisica matematica (meccanica analitica e teoria dell'elasticità) - si focalizzano soprattutto su "problemi concreti" e su casi particolari, ramificandosi in una pluralità di direzioni diverse. In questo modo, viene a essere tessuta una fitta e intricata ragnatela di risultati tra loro interconnessi, e non privi di stretti legami anche con altri settori della matematica. L'esempio paradigmatico è costituito dalle superfici minime. Il problema, tipico del calcolo delle variazioni, di trovare le superfici di area "minima"si traduce nel problema geometrico di determinare le superfici che hanno, in ogni punto, curvatura media uguale a zero, come già osservato da Meusnier nel suo "Mémoire sur la courbure des surfaces" [1785]. Oltre al piano, si verifica senza difficoltà che soddisfano a questa condizione il catenoide (cioè, la superficie - nota anche sotto il nome, oggi fuori moda, di alisseide, introdotto da Bour [1862, p. 30] - generata dalla rotazione di una catenaria attorno al proprio asse) e l'elicoide minimo (cioè, la superficie generata dal moto di una retta che "si avvita" lungo un asse). Pur essendo superfici che è impossibile ottenere l'una dall'altra attraverso una trasformazione euclidea, il catenoide e l'elicoide sono applicabili l'una sull'altra mediante un'elegante costruzione geometrica, simile (ma più semplice) a quella che Beltrami userà nel "Saggio" del 1868 per avvolgere la calotta pseudosferica sulla superficie di rotazione generata dalla trattrice (figura 12).



La teoria delle superfici minime rappresenta uno dei campi di ricerca più fecondi e vitali della matematica ottocentesca, all'incrocio tra analisi e geometria, al quale apportarono contributi significativi, tra gli altri, Bonnet, Riemann, Weierstrass, Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), Beltrami, Ulisse Dini (1845-1918), Sophus Lie.»

Ed è proprio la superficie studiata da uno di questi ultimi grandi nomi la protagonista del nostro post.
Ma chi era Ulisse Dini?

sabato 20 aprile 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: ORPHEUS IN THE UNDERWORLD: OVERTURE (OFFENBACH)

Ben ritrovati al nostro appuntamento musicale.



















Stasera ascoltiamo la magnifica "Overture da Orfeo all'Inferno", operetta in 2 atti di Jacques Offenbach (1819-1880) datata 1858.
Naturalmente essa è ispirata alla nota vicenda mitologica di Orfeo ed Euridice e ne dà una ricostruzione di tipo comico-satirico.
Andiamo dunque ad ascoltare la suddetta overture ottimamente eseguita dalla Rundfunkorchester Köln diretta da János Kovács.



Alla prossima!

venerdì 19 aprile 2019

L'ARTE DELLA MATEMATICA DI PAUL WALKER

In passato su questo blog abbiamo parlato del meraviglioso concetto di pseudosfera, introdotto dal matematico Eugenio Beltrami nel 1868.
In particolare, ne abbiamo parlato nel post intitolato "Singolari sfere: pseudosfera e sfera cornuta", che potete rileggere cliccando qui.
Qualche giorno fa, sulla pagina Facebook del blog Scienza e Musica, mi arriva, da parte dell'australiano Paul Walker, un'interessante bozza di articolo (assieme a dei video correlati) in cui egli spiega la costruzione di una simile forma in maniera originale.
Mi è stato chiesto dallo stesso Walker di tradurre il suddetto articolo per partecipare al Carnevale della Matematica di maggio (che sarà ospitato proprio su questo blog; qui la prima call for papers con i dettagli) e io ho accolto volentieri la richiesta.
Il presente post sarà infatti dedicato alla traduzione in italiano delle parti essenziali dell'articolo originale, che potete trovare cliccando qui. Laddove ho ritenuto necessario, ho inserito qualche piccola precisazione in più al fine di migliorare la comprensione del tutto.
Il suo progetto si intitola "L'arte della matematica".
Procediamo! Specifichiamo che le parti delimitate da «» sono tratte direttamente dall'articolo originale; quelle che non lo sono rappresentano mie piccole aggiunte o precisazioni.

«Non molti hanno potuto ammirare i miei modelli a vortice/tornado, ma chi ha visto i pezzi della dimostrazione li ha trovati interessanti ed esteticamente appaganti.
Oltretutto, questi possono diventare incantevoli se messi in mostra appesi.
















Le mie forme a vortice dovrebbero essere presenti in ogni dipartimento scientifico!
Trattasi di una semplice scoperta e di una possibile "forma con cui giocare" nella creazione di energia.
Questi vortici ricordano un po' quelli utilizzati dal naturalista e inventore austriaco Viktor Schauberger (1885-1958)», che, stando a Wikipedia:

"viene considerato come uno dei pochi teorici sull'implosione, ovvero di teorie basate su vortici fluidici e dei movimenti nella natura"

Sempre da Wikipedia, osserviamo la seguente immagine:



















«La suddetta forma può essere facilmente ottenibile da fogli piatti ("flat sheets"). Ho costruito i modelli di cui sopra alla stregua di modelli dimostrativi, ma essi possono esser visti come belle opere d'arte statiche, che vanno a ricordare i tunnel temporali, i cosiddetti wormholes.»

Ricordiamo che, in fisica, i wormholes (detti anche ponti di Einstein-Rosen) sono degli ipotetici cunicoli (o meglio, singolarità) che si generebbero nello spazio-tempo e che permetterebbero di viaggiare da un punto ad un altro dell'Universo più velocemente di quanto possa fare la luce percorrendo la normale distanza spaziale.

«Ho giocato con tale forma per anni, ma non l'ho mai portata al di là dell'arte. Ora però voglio presentare la forma da me ottenuta a tutti quanti. Non riesco a trovare immagini della medesima realizzazione di tale forma in tutto Google!»

Ecco qualche immagine dall'articolo originale:





































«Una forma simile esiste, il modello di Beltrami, che ho visto per la prima volta in un libro intitolato "Energy", stampato intorno al 1963 e in svariate immagini su internet, simili a quelle appena mostrate»

Come già detto, nel 1868 Beltrami teorizzò una particolare superficie, che chiamò pseudosfera, nel tentativo di visualizzare le proprietà di Bolyai-Lobacevskij concernenti la geometria iperbolica.
Il matematico italiano si stava ispirando all'opera del grande Bernhard Riemann (1826-1866), allievo di Gauss, i cui lavori ispirarono a sua volta la teoria della Relatività Generale di Einstein, la quale, come ben sappiamo, introdusse il concetto di curvatura dello spazio-tempo per effetto delle masse.












Per chi volesse approfondire, abbiamo parlato di alcuni importanti contributi geometrici di Riemann qui.

mercoledì 17 aprile 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: HUNGARIAN DANCE N.5 (BRAHMS)

Ben ritrovati al nostro appuntamento musicale.


















Stasera ascoltiamo una splendida composizione del tedesco Johannes Brahms (1833-1897) intitolata Danza Ungherese n.5.
Originariamente le 21 Danze Ungheresi (composte tra il 1852 e il 1869) sono state pensate da Brahms per essere eseguite al pianoforte a 4 mani.
Successivamente vennero arrangiate anche per altri strumenti e persino per l'intera orchestra.
Andiamo infatti a segnalare l'arrangiamento di Albert Parlow (1824-1888) ottimamente eseguito dalla London Symphony Orchestra diretta da Neeme Järvi.
Buon ascolto!



Alla prossima!