tag:blogger.com,1999:blog-90717052826569253302024-03-16T10:37:41.206+01:00Scienza e MusicaLeonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.comBlogger391125tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-89326942577043940722024-03-08T15:52:00.001+01:002024-03-08T15:52:36.944+01:00I NUMERI NORMALI<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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Continua (purtroppo) ad essere di recente attualità il tema sociale di cosa sia e non sia normale, grazie specialmente alle dichiarazioni e pubblicazioni di un certo generale dell'esercito italiano ormai sulla bocca di tutti, a cui è stata data, a mio avviso, fin troppa visibilità.<div>Siamo arrivati nell'anno 2024 avendo compreso nel corso degli ultimi secoli che noi esseri umani e il pianeta Terra non siamo che granelli infinitesimi comparati alla vastità e alla complessità dell'Universo ed ancora stiamo qui a discutere polemicamente di cosa sia normale nel modo di essere (persino sin dalla nascita) e nel modo di vestirsi delle persone. </div><div>Abbiamo scoperto grazie alla meccanica quantistica che, almeno a livello delle particelle, le leggi della fisica sono piene di "stranezze" (almeno dal punto di vista intuitivo dell'essere umano), dall'<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Effetto_tunnel" target="_blank">effetto tunnel</a></u> al <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_del_gatto_di_Schr%C3%B6dinger" target="_blank">paradosso del gatto vivo/morto di Schrödinger</a></u>, dall'<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Entanglement_quantistico" target="_blank">entanglement </a></u>all'introduzione di particelle ausiliarie "fantasma" (i <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Ghost_di_Faddeev-Popov" target="_blank">ghost di Fadeev-Popov</a></u>) necessarie per descrivere <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_gauge" target="_blank">teorie di gauge</a></u> non abeliane.</div><div>Insomma siamo giunti ad un punto in cui la fisica si è spinta ormai ben più in là della descrizione dei fenomeni che possiamo visivamente scorgere attorno a noi ogni giorno, svelandoci che non abbiamo bisogno necessariamente della fantascienza per restare stupefatti.</div><div>Siamo per fortuna pure pervenuti ad un punto in cui le donne (oggi si celebra la Giornata internazionale della donna) possono studiare ed affermarsi nelle <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/STEM" target="_blank">discipline STEM</a></u>, cosa che adesso diamo forse abbastanza per scontata ma per molto tempo non è stato così.</div><div><br /></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYFwunVIeNBX_ewaZ1lc14NEMUXLX8Po5qwcLSRapVAlNgOMOvquNlsVaZK1jtkoeXrXTxfF7N70taEXL7dTc2I0YOs2DgUzUd7VlcaRtHIfqHvRarEWWpdfuNwWG-IOGiudHstZfPP_DOVd77R7RAzyVeV8cRGpoLIA5kUw_pJ10NoCl1SS2ToYRJ0j-n/s2477/Women_in_STEM_(Wikipedia_Year_of_Science).png" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1385" data-original-width="2477" height="224" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYFwunVIeNBX_ewaZ1lc14NEMUXLX8Po5qwcLSRapVAlNgOMOvquNlsVaZK1jtkoeXrXTxfF7N70taEXL7dTc2I0YOs2DgUzUd7VlcaRtHIfqHvRarEWWpdfuNwWG-IOGiudHstZfPP_DOVd77R7RAzyVeV8cRGpoLIA5kUw_pJ10NoCl1SS2ToYRJ0j-n/w400-h224/Women_in_STEM_(Wikipedia_Year_of_Science).png" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>A <u><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Women_in_STEM_%28Wikipedia_Year_of_Science%29.png" target="_blank">Wikipedia</a></u> representation for the theme "Women in STEM".</i></td></tr></tbody></table><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: red;">Donne come Sof'ja Kovalevskaja, Sophie Germain, Emmy Noether, Marie Curie, Rosalind Franklin, Hedy Lamarr, Rita Levi Montalcini, Margherita Hack</span></b> (la cui vita è stata rappresentata solo pochi giorni fa su Rai 1 nel film <i>Margherita delle stelle</i>)<b><span style="color: red;">, Katherine Johnson, Jocelyn Bell</span></b>, giusto per citarne alcune, <b><span style="color: red;">con il loro talento, passione e forza di volontà hanno dimostrato che è assolutamente normale</span></b> (e qui uso volutamente tale parola per rimarcare questo concetto) <b style="color: red;">per una donna conquistare le più alte vette intellettive</b>, fino ad allora riservate per stupido pregiudizio unicamente agli uomini.</div><div>In ogni caso ancora oggi si parla purtroppo del cosiddetto "<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Effetto_Matilda" target="_blank">effetto Matilda</a></u>" e la battaglia per la sacrosanta parità tra uomini e donne è tutt'altro che terminata.</div><div>Il tema della <b><span style="color: #0b5394;">diversità</span></b>, talvolta ingenuamente correlato a quello della "normalità" (ne parlammo anche <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2021/12/navillera-quando-la-passione-oltrepassa.html" target="_blank">qui</a></u>) come se ne fosse l'antitesi, è indubbiamente alla base stessa della ricerca scientifica.</div><div>A tal proposito, l'11 febbraio (in occasione della Giornata internazionale delle donne e ragazze nella scienza), l'account Twitter del <i>Nobel Prize</i> ha pubblicato un bel video con protagoniste due recenti vincitrici dell'ambito premio (la rappresentanza femminile per il suddetto prestigioso riconoscimento continua purtroppo ad essere molto scarsa, come potete leggere <u><a href="https://www.scienzainrete.it/articolo/premi-nobel-e-top-cited-scientist-le-donne-sono-ancora-poche/patrizia-caraveo/2023-11-29#:~:text=Prima%20di%20lei%20erano%20state,pi%C3%B9%20del%202%25%20del%20totale." target="_blank">qui</a></u>), Andrea Ghez e Carolyn Bertozzi, che discutono dell'importanza della diversità in modo generale ma anche focalizzandosi sul campo scientifico. </div><div><div><br /></div></div>
<blockquote class="twitter-tweet"><p dir="ltr" lang="en">"I've benefitted in my own lab from having a diverse lab of coworkers."<br /><br />On the eve of International Day of Women and Girls in Science, laureates Andrea Ghez and Carolyn Bertozzi (<a href="https://twitter.com/CarolynBertozzi?ref_src=twsrc%5Etfw">@CarolynBertozzi</a>) speak about the importance of diversity. <a href="https://twitter.com/hashtag/WomenInScience?src=hash&ref_src=twsrc%5Etfw">#WomenInScience</a> <a href="https://t.co/BHrcXzFQd8">pic.twitter.com/BHrcXzFQd8</a></p>— The Nobel Prize (@NobelPrize) <a href="https://twitter.com/NobelPrize/status/1756588976750698934?ref_src=twsrc%5Etfw">February 11, 2024</a></blockquote>E, nonostante questo, in politica, sui giornali e sui social si continua a discutere stupidamente della superiorità di un colore della pelle su un altro, di un orientamento sessuale su un altro, di essere nati senza patologie che comportano disabilità mentali e/o fisiche, ecc., pensando magari di creare nelle scuole classi separate per i "reietti anormali", "deviati", che disturberebbero l'equilibrio dei bambini e ragazzi "normali".<div>No, <b><span style="color: red;">questa non è normalità, questa è semplicemente disumanità</span></b> (ne abbiamo già parlato un po' <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2023/11/pluto-lodio-amore-e-leffetto-peltier.html" target="_blank">qui</a></u>)!</div><div><div>E se il cinema, la televisione e la letteratura osano dare spazio a tali delicate tematiche, non di rado si grida alla "cultura woke", all'indottrinamento (o fantomatica teoria del) gender (che scientificamente non esiste; le persone LGBT+ non vanno in giro a sparare "raggi gender" in grado di mutare i bambini, se non magari nella fervida immaginazione di qualche bigotto!).</div><div>Insomma si fa leva, quando fa comodo, su questioni statistiche per cui se c'è una minoranza qualsiasi che non rientra esattamente nei "canoni perfetti e consolidati" del paese o della società in questione, ma indubbiamente esiste, in realtà secondo certe persone non dovrebbe esistere ed essere rappresentata, così come le donne un tempo non dovevano poter addirittura votare!</div><div>Non ci facciamo problemi a dar spazio a supereroi, vampiri, streghe, ecc., che non esistono, ma non appena ci si ritrova a rappresentare la diversità che sussiste nella realtà di tutti i giorni si grida allo scandalo, si arriva a richiedere addirittura la censura (sì, non molto tempo fa, proprio qui in Italia, si è arrivati a chiedere la <u><a href="https://www.ilpost.it/2022/09/12/peppa-pig-censura-episodio-due-mamme/" target="_blank">censura persino di Peppa Pig</a></u> per la presenza di una coppia formata da 2 mamme in un episodio su gli oltre 300 da cui è composta la serie).</div><div>Recentemente ho avuto modo di guardare un film italiano, <i><u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Nata_per_te" target="_blank">Nata per te</a></u></i>, che racconta la storia vera di un giovane omosessuale, Luca Trapanese, il quale ha deciso, tra mille battaglie contro le difficoltà poste dal retrogrado sistema giuridico italiano, di adottare una bambina affetta da sindrome di Down e che nessuna delle cosiddette "coppie normali" voleva. Un piccolo gioiellino di film che fa riflettere non solo sul tema della diversità in modo ampio, ma pure su quello di cosa sia l'umanità stessa. <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/xGP2gZqCvFA?si=OAAJ-rgV4Rz8MBww" title="YouTube video player" width="410"></iframe> </div><div>Se questa premessa serve per ricordarci che in un contesto sociale l'espressione "non normale", "anormale", possa essere spesso offensiva e totalmente fuori luogo, in un contesto di matematica pura la normalità può avere una connotazione totalmente diversa, che possiamo descrivere senza offendere gratuitamente nessuno.</div><div>In questo post parleremo infatti brevemente di numeri normali.</div><div>La definizione di numero normale è abbastanza semplice.</div><div><b style="background-color: #01ffff;">Consideriamo una certa base $b$. Diciamo che un numero è normale nella suddetta base se sviluppandolo in tale base tutte le cifre appaiono con la stessa frequenza $\frac{1}{b}$, tutte le coppie di cifre appaiono con frequenza $\frac{1}{b^2}$ e, generalizzando, qualsivoglia $n$-upla compare con frequenza $\frac{1}{b^n}$.</b></div><div>In altre parole, qualsiasi successione finita di cifre costituente un numero normale si presenta con la stessa frequenza di una sequenza totalmente casuale.</div><div>Beh tutto questo richiama un po' la celebre <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A0#Definizione_frequentista" target="_blank">definizione frequentista della probabilità</a></u>, per cui se per esempio lanciamo una moneta un gran numero di volte, circa la metà dei lanci ci restituirà testa e l'altra metà croce.</div><div>Il concetto di numero normale risale al <b style="background-color: #fcff01;">1909</b>, quando il matematico e politico francese <b><span style="color: #b45f06;">Émile Borel</span></b> lo introdusse al fine di caratterizzare le cifre di un famosissimo numero, il pi greco $\pi$ (ricordiamo che il 14 marzo si celebra il <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Giorno_del_Pi_greco" target="_blank">Pi Day</a></u>), che appunto sembravano possedere le peculiarità di una stringa casuale di cifre.</div><div>Borel fece in particolare uso del cosiddetto <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80%93Cantelli_lemma" target="_blank">lemma di Borel-Cantelli</a></u> (Francesco Paolo Cantelli fu un matematico italiano che fornì rilevanti contributi alla teoria della probabilità, ma pure alla meccanica celeste), dimostrando che <i><b><span style="color: #45818e;">quasi tutti</span></b></i> (in parole povere in matematica ciò significa tutti, eccetto delle quantità praticamente trascurabili) <b><span style="color: #45818e;">i numeri reali sono normali!</span></b></div><div>Questo non significa che si possano incontrare numeri normali facilmente. Per esempio i numeri razionali non possono essere normali in tutte le basi.</div><div>E poi, ritornando a $\pi$, si suppone generalmente che esso sia un numero normale, ma ciò non è ancora stato dimostrato rigorosamente.</div><div><b><span style="color: #ff00fe;">Il primo numero effettivamente normale in qualsivoglia base</span></b> (spesso numeri del genere vengono detti <b><span style="color: #3d85c6;">"assolutamente normali"</span></b>) <b><span style="color: #ff00fe;">fu rinvenuto dal matematico polacco Wacław Franciszek Sierpiński nel 1916</span></b> (la pubblicazione del paper in cui esso è contenuto risale però al 1917). </div><div>Si legga (<u><a href="https://glyc.dc.uba.ar/santiago/papers/absnor.pdf" target="_blank">cliccando qui</a></u>) questo interessante articolo di Becher e Figueira per saperne di più circa il risultato ottenuto da Sierpiński.</div><div>Sicuramente normale è pure, in base 10, la <b><span style="color: red;">costante di Champernowne</span></b>, di cui avevamo già parlato in dettaglio <u><a href="https://tamburoriparato.blogspot.com/2014/12/la-costante-di-champernowne.html" target="_blank">qui</a></u>. </div><div>Un altro numero certamente normale, sempre in base 10, è la <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Copeland-Erd%C5%91s" target="_blank">costante di Copeland-Erdős</a></u> (0,235711131719232931374143…), la quale prende la propria denominazione dai matematici Arthur Herbert Copeland e Paul Erdős (quest'ultimo spesso noto non solo per i suoi rilevanti contributi matematici, ma pure per lo scherzoso concetto di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Erd%C5%91s#:~:text=Il%20numero%20di%20Erd%C5%91s%20%C3%A8,di%20collaborazione%20in%20pubblicazioni%20matematiche." target="_blank">numero di Erdős</a></u>), i quali nel <b style="background-color: #fcff01;">1946</b> dimostrarono appunto la "normalità" di tale costante.</div><div>Si osservi che sia la costante di Champernowne sia quella di Copeland-Erdős sono numeri costruiti artificialmente.</div><div>Come per il pi greco, resta ipotetica invece la "normalità" di altre rilevanti costanti quali $\sqrt{2}$, $e$, $\ln 2$.</div><div>A dir la verità, non è stato nemmeno dimostrato che tutte le cifre effettivamente ricorrano un numero infinito di volte nelle espansioni decimali delle suddette costanti.</div><div>Insomma fare ricerca inerente ai numeri normali è cosa tutt'altro che banale! </div><div>Per concludere, vi propongo due video.</div><div>Nel primo trovate una bella spiegazione, relativa al pi greco e sulla possibilità, già qui anticipata, che possa essere normale, da parte del docente, blogger (chi segue i Carnevali della Matematica sa bene che il suo blog è <u><a href="https://misterpalomar.blogspot.com/" target="_blank">Mr. Palomar</a></u>) e divulgatore scientifico Paolo Alessandrini.</div><div><br /></div><div> <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ejCmg1mR9y4?si=11dg06L4qcqG1W9H" title="YouTube video player" width="410"></iframe></div><div><br /></div><div>Il secondo è la celebre canzone<b><span style="color: #2b00fe;"> <i>I Am What I Am</i></span></b>, tratta dal musical del 1983 <i>La Cage aux Folles</i>, nella maestosa interpretazione di Shirley Bassey, canzone la quale ci ricorda che ognuno è quello che è, con le sue differenze, piccole o grandi che siano, di cui non bisogna vergognarsi perché alla fine la vita è una soltanto.</div><div> <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/-tz8SaxP3bg?si=GPIq7DH6HhX3VB1E" title="YouTube video player" width="410"></iframe></div><div><br /></div><div><script async="" charset="utf-8" src="https://platform.twitter.com/widgets.js"></script></div></div>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-85727464739996809082024-02-08T15:00:00.002+01:002024-02-14T08:31:19.669+01:00LA CATENA DI SPIN DI HEISENBERG E I SISTEMI INTEGRABILI: UNA “SEMPLICE” PANORAMICA<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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In questo post scopriremo l'importante catena di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spin" target="_blank">spin</a></u> di Heisenberg e capiremo in generale cosa sia un sistema fisico integrabile.<div>Si tratta di argomenti matematicamente e fisicamente piuttosto avanzati, ma qui ci focalizzeremo solo sugli aspetti puramente essenziali e "semplici" e scopriremo gli interessanti dettagli storici attorno a tali concetti. I lettori interessati potranno approfondire gli aspetti maggiormente tecnici guardando i riferimenti segnalati in fondo al post.</div><div>Partiamo col dire che <b><span style="color: #2b00fe;">la catena di spin di Heisenberg è un modello quantistico costituito da una catena che consiste di un numero $L$ di siti. </span></b></div><div><b><span style="color: #bf9000;">Ciascun sito</span></b>, che denotiamo con <span style="color: #bf9000;">$l$</span>, <span style="color: #bf9000;"><b>contiene uno spin </b>$s = 1/2$</span>.</div><div>Uno stato di spin può essere rappresentato da $| \downarrow \rangle$ oppure da $| \uparrow \rangle$ o da una qualsivoglia combinazione lineare di questi due.</div><div><br></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBAQcVAyRK8Xt2mykDTmBBufvI_BAnDppDQXFFYO4tsLtA9deVpbicg2S7BHJVXgAoCGJbRaITSsvk3AsAvbZb-c3ry-QY4j0zWnF_Ci6EgvmMqyS1qIbO-ylnA8NGtKDUZvZZSWme9UqIQemykJnYjozbmlqh64S0BAlTh4bnrfyCFiXh8iazZ5WBSWL8/s476/11-Figure1-1.png" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="272" data-original-width="476" height="183" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBAQcVAyRK8Xt2mykDTmBBufvI_BAnDppDQXFFYO4tsLtA9deVpbicg2S7BHJVXgAoCGJbRaITSsvk3AsAvbZb-c3ry-QY4j0zWnF_Ci6EgvmMqyS1qIbO-ylnA8NGtKDUZvZZSWme9UqIQemykJnYjozbmlqh64S0BAlTh4bnrfyCFiXh8iazZ5WBSWL8/s320/11-Figure1-1.png" width="320"></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Catena di spin chiusa unidimensionale. Fonte:<span style="font-size: x-small;"> </span><span style="color: black;"><a class="orb-typography link-card__info-container__short-url" href="https://bit.ly/4b4uTMx" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-box-orient: vertical; -webkit-font-smoothing: antialiased; -webkit-line-clamp: 1; background-color: white; box-sizing: inherit; display: inline; font-family: "proxima nova"; line-height: 2rem; overflow: hidden; text-align: start; word-break: break-all;" target="_blank">bit.ly/4b4uTMx</a><br> </span></i></td></tr></tbody></table><i><br></i><div><i><br></i></div><div><i><br></i></div><div><i><br></i></div><div><i><br></i></div><div><i><br></i></div><div><i><br></i></div><div><i><br></i></div><div><i><br></i></div><div><i><br></i></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Nello specifico, infatti, la rappresentazione matematica di uno spin $s$ è data dalla semplice relazione:</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi06lfmmNF7vszU7IgiaNwuP-diAiT-CAcDZ2yLSGGwWDa7IBiQLZVvZGvReDD4pfMI9n5skh0YmqMZpMg-hEun8DzRlfKxCAxgkawZx-_HhKATTPfo7QwCg953Gc_jhnDC9x_w6XjG6WIZv6PBPeiAyiIjB23eG6u7DWEnl33aybDhL7IdAdccb1CDuD_g/s704/Screenshot%202024-01-23%20alle%2005.24.54.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="132" data-original-width="704" height="60" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi06lfmmNF7vszU7IgiaNwuP-diAiT-CAcDZ2yLSGGwWDa7IBiQLZVvZGvReDD4pfMI9n5skh0YmqMZpMg-hEun8DzRlfKxCAxgkawZx-_HhKATTPfo7QwCg953Gc_jhnDC9x_w6XjG6WIZv6PBPeiAyiIjB23eG6u7DWEnl33aybDhL7IdAdccb1CDuD_g/s320/Screenshot%202024-01-23%20alle%2005.24.54.png" width="320"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><br><br>La catena di spin di Heisenberg è l'esempio fondamentale delle cosiddette <b><span style="color: #ff00fe;">catene di spin integrabili</span></b>.<br>Per capirci qualcosa dobbiamo prima comprendere cosa sia un sistema fisico integrabile.<div>Una definizione molto generale di <b><span style="color: #990000;">sistema fisico integrabile</span></b> è quella di un <b><span style="color: #990000;">modello fisico che è risolubile in modo esatto</span></b>, ovvero senza far ricorso a metodi di approssimazione.</div><div>Già Newton fu in grado per esempio di risolvere il cosiddetto <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem" target="_blank">problema di Keplero</a></u> in modo esatto, ma per una prima formalizzazione di questo nuovo rilevante ambito di ricerca scientifico si dovette aspettare il XIX secolo con <b><span style="color: #45818e;">Joseph Liouville</span></b>.</div><div>Il matematico francese fece infatti uso delle cosiddette <b><span style="color: #674ea7;">"quadrature"</span></b>. In sostanza egli si rese conto che <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Meccanica_hamiltoniana" target="_blank">sistemi hamiltoniani</a></u> (dunque siamo nell'ambito della meccanica classica) potessero essere risolti mediante l'uso di un numero finito di operazioni algebriche ed integrazioni.</div><div>Il culmine del suddetto studio è fornito dal cosiddetto <b><span style="color: red;">teorema di Liouville-Arnold</span></b>, per la cui spiegazione vi rimando direttamente a <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Arnold_theorem" target="_blank">Wikipedia</a></u>. </div><div>A noi però interessa entrare nell'ambito quantistico, cioè comprendere in particolare se e quando una teoria quantistica dei campi (abbreviata QFT) possa essere integrabile.</div><div>Innanzitutto diciamo che <b><span style="color: #3d85c6;">esistono sì teorie quantistiche di campo integrabili, ma esse costituiscono un insieme assai limitato</span></b>.</div><div>Infatti 2 sono le fondamentali peculiarità che una QFT deve avere affinché possa essere integrabile:</div><div><br></div><div>1) deve possedere un <b><span style="color: #741b47;">numero infinito di cariche conservate</span></b> (qui ci limitiamo a dire che è qualcosa intimamente legato al famoso <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Noether#Teoria_quantistica_dei_campi[7]" target="_blank">teorema di Noether</a></u>);</div><div>2) deve essere definita in <b><span style="color: #2b00fe;">1+1 dimensioni</span></b>, cioè 1 temporale ed una spaziale.</div><div><br></div><div>Soffermiamoci un attimo su quest'ultimo punto giacché è assai rilevante e stuzzicante.</div><div>Una domanda lecita a questo punto infatti sarebbe: perché dobbiamo considerare proprio 2 dimensioni e non 3, 4 o un qualsivoglia numero?</div><div>La risposta risiede nel concetto di <b><span style="color: red;">matrice S</span></b>.</div><div>S sta per scattering (ne parlammo un po' <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2021/11/scattering-rayleigh-e-scattering-thomson.html" target="_blank">qui</a></u>). Cerchiamo qui però di indirizzare un po' meglio, a parole povere, il concetto nell'ambito della QFT.</div><div>Lo scattering è il processo di interazione tra varie particelle (ma anche antiparticelle).</div><div>Generalmente si definisce uno <b><span style="color: #7f6000;">stato iniziale</span></b>, ossia quello in cui troviamo le particelle prima che avvenga un'interazione fra loro, ed uno <b><span style="color: #674ea7;">stato finale</span></b> ove troviamo le particelle risultanti dall'interazione. Si veda a tal proposito la seguente figura.</div><div><br></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi87zEHRzxU0TKJ9QYTCrCBQtI8kW-WqgI69WXsSBmFi-XwGQMbUCuVPMpjzK5LdRM_r_5VTFwIh-u3A25T8nsBAaV6OsTe93vud8N6qMfszC1dVXOHR8NwrVsIHQZtGZnD-lYXQyhEsqR9C0cGkjKvSdF4yDtqKE8j5VvpQh3dWaBBZHdr3Xd1YbysnUOT/s470/Screenshot%202024-01-25%20alle%2012.28.08.png" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="354" data-original-width="470" height="241" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi87zEHRzxU0TKJ9QYTCrCBQtI8kW-WqgI69WXsSBmFi-XwGQMbUCuVPMpjzK5LdRM_r_5VTFwIh-u3A25T8nsBAaV6OsTe93vud8N6qMfszC1dVXOHR8NwrVsIHQZtGZnD-lYXQyhEsqR9C0cGkjKvSdF4yDtqKE8j5VvpQh3dWaBBZHdr3Xd1YbysnUOT/s320/Screenshot%202024-01-25%20alle%2012.28.08.png" width="320"></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Illustrazione di uno scattering 2 → 2. Il tempo scorre dal basso verso l'alto. Figura tratta da <a href="https://arxiv.org/abs/1607.06110" style="text-decoration-line: underline;">https://arxiv.org/abs/1607.06110</a>.</td></tr></tbody></table><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Nella figura abbiamo appunto un esempio di scattering di 2 particelle che produce 2 particelle (nel semplice caso raffigurato trattasi di particelle tutte con la stessa massa). Nello specifico si vedono due particelle che costituiscono lo stato iniziale e contraddistinte dai <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A0_di_moto" target="_blank">momenti lineari</a></u> $k_1$ e $k_2$, dopodiché avviene l'interazione, esplicitamente denotata dal cerchio, e infine lo stato finale formato da particelle aventi rispettivamente momenti $k_3$ e $k_4$.</div><div>L'oggetto matematico alla base della descrizione dell' interazione tra le particelle è proprio la matrice S, che è un operatore che va dunque a stabilire una mappa tra stato iniziale e stato finale.</div><div>In simboli, tale relazione si può esprimere nel seguente modo:</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibUxl2cMLCYldiZCVbyekD3_tRLNR6QREf0YMELvqW59OtIHWkaN3-WPH-C32wmwcg0zB0u2ilRu-oqcNUHRzTiZzoZz3V4pTY9d6J4IvfCmfpqw3-EtvY-WS3WKxynPfDICbUMwO9np9A1bc5SiCM9NQQVLsiJfVVF3F_DOReFGgG26BvHZVJaCDOpG-y/s234/Screenshot%202024-01-30%20alle%2001.07.20.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="70" data-original-width="234" height="60" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibUxl2cMLCYldiZCVbyekD3_tRLNR6QREf0YMELvqW59OtIHWkaN3-WPH-C32wmwcg0zB0u2ilRu-oqcNUHRzTiZzoZz3V4pTY9d6J4IvfCmfpqw3-EtvY-WS3WKxynPfDICbUMwO9np9A1bc5SiCM9NQQVLsiJfVVF3F_DOReFGgG26BvHZVJaCDOpG-y/w200-h60/Screenshot%202024-01-30%20alle%2001.07.20.png" width="200"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>L'aspetto cruciale che caratterizza la matrice S in 1+1 dimensioni è la sua proprietà di <b><span style="color: #0b5394;">"fattorizzabilità" non banale</span></b>, ovvero il fatto che <b style="background-color: #04ff00;">uno scattering di $n$ particelle che danno luogo ad $n$ particelle possa essere ricondotto ad un prodotto di "semplici" scattering $2 \rightarrow 2$</b>.</div><div>Nel <b style="background-color: #fcff01;">1967</b> Sidney Coleman e Jeffrey Mandula pervennero ad un importantissimo risultato: il cosiddetto <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Coleman-Mandula#:~:text=Il%20teorema%20di%20Coleman%E2%80%93Mandula,devono%20essere%20scalari%20di%20Lorentz." target="_blank">teorema di Coleman-Mandula</a></u>, cioè un rilevante esempio di "<u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/No-go_theorem" target="_blank">teorema no-go</a></u>" in fisica.</div><div>In tale contesto il suddetto teorema ci dice essenzialmente che <b><span style="color: red;">se ci spingiamo in 3 o più dimensioni complessive, l'unico modo di avere una QFT integrabile, cioè di avere una matrice S fattorizzabile, è considerare teorie senza la presenza di interazioni fra particelle e con una matrice S banale</span></b>, ossia equivalente alla <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_identit%C3%A0" target="_blank">matrice identità</a></u>.</div><div>Pertanto, ciò che rende speciale il caso delle 1+1 dimensioni è proprio il fatto di poter considerare teorie che includano interazioni e che abbiano una matrice S avente forma non banale, generando così un intero campo di ricerca per gli studiosi.</div><span></span><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2024/02/la-catena-di-spin-di-heisenberg-e-i.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-17456009149909770902023-11-11T16:46:00.008+01:002023-11-12T05:50:08.622+01:00PLUTO, L'ODIO-AMORE E L'EFFETTO PELTIER<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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Dopo <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2021/01/leclissi-tra-scienza-e-cultura-varia.html" target="_blank">Berserk</a></u> e <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2021/03/banana-fish-dramma-e-matematica.html" target="_blank">Banana Fish</a></u>, ritorniamo nel mondo degli anime con un'analisi di alcuni dei temi presenti nell'opera in 8 episodi intitolata <i><b><span style="color: red;">Pluto</span></b></i> (di recente pubblicata su Netflix), tratta dall'omonimo manga di Naoki Urasawa (autore di altri capolavori fumettistici tra cui <i><u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Monster_(manga)" target="_blank">Monster</a></u></i>), a sua volta ispirato da un altro celebre manga di Osamu Tezuka, ovvero <i><u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Astro_Boy" target="_blank">Astro Boy</a></u></i>.<div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS8rijxAZv9BPjolWlh31IBHXrfjan1EZ52rwpiaTZfljHZ4P1421WkosKO3WRyk1_-7v2YyV7wSrxM8cLHJBu-qDwwirFBHssQElDWKnQ_q5XAd3Ehc6vy-IVRT_bwFe8SvtNoXPvse5RKf1qQ2_PdIK9e9Yjtp8xHM-HPF7PP4k7diH_A3b9HavfFmJH/s2222/en-US_pluto_main_main_vertical_27x40_rgb_pre_1.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="2222" data-original-width="1500" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS8rijxAZv9BPjolWlh31IBHXrfjan1EZ52rwpiaTZfljHZ4P1421WkosKO3WRyk1_-7v2YyV7wSrxM8cLHJBu-qDwwirFBHssQElDWKnQ_q5XAd3Ehc6vy-IVRT_bwFe8SvtNoXPvse5RKf1qQ2_PdIK9e9Yjtp8xHM-HPF7PP4k7diH_A3b9HavfFmJH/w216-h320/en-US_pluto_main_main_vertical_27x40_rgb_pre_1.jpg" width="216"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Infatti Urasawa riprende una porzione della storia creata dal collega per narrarla come se fosse un intenso <b><span style="color: #800180;">thriller</span></b> (un marchio di fabbrica delle sue produzioni).</div><div><div>Una caratteristica particolare che sin da subito si può constatare riguardo all'anime <i>Pluto</i> è la durata degli episodi: non hanno il caratteristico minutaggio di poco più di 20 minuti, ma arrivano a durare intorno ad un'ora ciascuno.</div><div>Nonostante ciò, la narrazione scorre piuttosto bene, con svariati picchi di pathos nel corso dell'arco narrativo.</div><div>Ad una lettura semplicistica <i>Pluto</i> potrebbe sembrare semplicemente un thriller ambientato in un mondo dove coesistono umani e robot. Beh, è molto di più!</div><div>Un po' come accade più in breve nel meraviglioso film del 1999 <i><u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/L%27uomo_bicentenario_(film)" target="_blank">L'uomo Bicentenario</a></u></i> (interpretato dal mitico Robin Williams e tratto dall'omonimo racconto di Isaac Asimov), il tema principale non è tanto lo sviluppo incredibile del mondo della robotica (comunque ovviamente presente), ma una riflessione sul <b><span style="color: #2b00fe;">concetto di umanità</span></b>, nel senso più profondo possibile della parola.</div><div>Cercheremo dunque, riducendo al minimo i possibili spoiler, di analizzare alcune delle tematiche presenti (mi concederò delle considerazioni personali, che potete condividere o meno, ma che spero vi invitino a riflettere seriamente sulle tematiche affrontate) e nel finale del post osserveremo anche come la fisica e la matematica facciano capolino all'interno del suddetto anime. </div><div>Iniziamo sottolineando come un termine che sentirete/avete sentito ripetuto molte molte volte nel corso degli 8 episodi è <b><span style="color: red;">"odio"</span></b>.</div><div>L'odio è un sentimento tipico degli esseri umani. Tutti prima o poi tendiamo a provarlo in maniera più o meno grande.</div><div>Possiamo "odiare" delle cose stupide, come per esempio una giornata di pioggia, un esame andato non come volevamo, una disconnessione durante una partita di un videogame online, il grosso ritardo di un mezzo di trasporto e così via.</div><div>Incrementando il grado di intensità di questo "odio", si potrebbe odiare la rottura di una relazione amorosa, la comparsa improvvisa di una grave malattia, la perdita del lavoro o in generale un serio evento spiacevole nella propria vita.</div><div>Ma ancora non ci siamo; <b><span style="color: #134f5c;">l'odio profondo di cui narra <i>Pluto</i> è quello che nasce nei confronti dell'altro, verso il diverso</span></b> (in questo caso i robot), verso ciò che non capiamo, o da una rabbia così divampante che offusca ogni tipo di razionalità e sensibilità, un odio spesso dettato da pregiudizi dannatamente ancorati, quello stesso odio che, nel caso più estremo, contribuisce a scatenare <b><span style="color: red;">guerre</span></b>, a scapito degli innocenti civili.</div><div>La seguente scena di circa 30 secondi sintetizza in pieno questo scomodo argomento.</div><div><br></div> <blockquote class="twitter-tweet"><p dir="ltr" lang="qme"><a href="https://twitter.com/hashtag/pluto?src=hash&ref_src=twsrc%5Etfw">#pluto</a> <a href="https://t.co/gw1wtre8DI">pic.twitter.com/gw1wtre8DI</a></p>— KILLY WILLY (I AM STEINS GATE) (@Labmember0000) <a href="https://twitter.com/Labmember0000/status/1717902168680755494?ref_src=twsrc%5Etfw">October 27, 2023</a></blockquote><br>Bastano infatti questi 30 secondi per richiamare immediatamente alla nostra mente l'attuale situazione di guerra, devastazione e sofferenza tra Israele e la Palestina, drammatico scenario in cui si aprono distanti e comode tifoserie sui media, come se stessimo assistendo ad una partita di calcio tra due squadre contrapposte, ma dove nel mezzo invece muoiono civili da ambo le parti, inclusi tanti bambini.</div><div>In guerra alla fine non vince mai veramente nessuno, sono solo tanti a perdere, è solo tanto il dolore che si accumula giorno dopo giorno. Sarebbe auspicabile che se proprio una parte dell'umanità non riuscisse a fare a meno di farsi la guerra, se la facesse sui videogame, non a scapito spesso di innocenti! <br><div>Un tema questo che ritroviamo anche nella famosissima serie anime (in particolare nella quarta stagione) di Hajime Isayama <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/L%27attacco_dei_giganti" target="_blank">L'attacco dei giganti</a></u> (titolo originale <i>Shingeki no kyojin</i>, anche noto col titolo inglese <i>Attack on Titan</i>), ove c'è una stupida e radicata demonizzazione di popoli basata su atti compiuti in un remoto passato e spesso su pregiudizi scambiati ed inculcati per generazioni come certezze indiscutibili.</div><div>Riporto di seguito una citazione molto significativa da <i>Attack on Titan</i> in tal prospettiva.</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJfUbQA2wBecOGuPCTa8vebtreWu47X1bwwul2M1R_is-Sy9nPIRi4w4gphT63V2fzS9UYZG8G5FElZ9Hurhyphenhyphen1M3nCE8pE_aQnWOvSTrbDIvyqPY1uweM-3BIEl2B2M2W1VywNy0-JOG-WH8LohkOR1k5TAP8ONyK9poflfZEWpDB8eWn3Tet-W7SD2CNR/s1000/TAPQuotes_AOT.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1000" data-original-width="1000" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJfUbQA2wBecOGuPCTa8vebtreWu47X1bwwul2M1R_is-Sy9nPIRi4w4gphT63V2fzS9UYZG8G5FElZ9Hurhyphenhyphen1M3nCE8pE_aQnWOvSTrbDIvyqPY1uweM-3BIEl2B2M2W1VywNy0-JOG-WH8LohkOR1k5TAP8ONyK9poflfZEWpDB8eWn3Tet-W7SD2CNR/w320-h320/TAPQuotes_AOT.png" width="320"></a></div><br><div style="text-align: left;"><br></div><br><div><br></div><div> <br><div><br><br><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><div><br></div>E tornando nel concreto, è sufficiente spingersi indietro di circa un secolo per ritrovare nella nostra storia il culmine di questo odio accecante con l'avvento del <b><span style="color: #0b5394;">nazifascismo</span></b>.</div><div>Ogni categoria di persona, come ebrei, omosessuali, disabili (emblematica e dilaniante la scena, dal film <i><u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Il_pianista_(film)" target="_blank">Il pianista</a></u></i>, dove un anziano sulla sedia a rotelle, impossibilitato ad alzarsi in piedi all'arrivo degli ufficiali tedeschi, viene gettato direttamente e freddamente fuori dalla finestra della sua abitazione). ecc. da ritenere inferiore, su cui scatenare l'odio sociale, su cui perpetrare le peggiori torture o uccidere senza alcun rimorso veniva contraddistinta da uno specifico simbolo (si trova qualcosa di simile pure nell'<i>Attacco dei Giganti</i>) all'interno dei campi di concentramento (<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Simboli_dei_campi_di_concentramento_nazisti" target="_blank">cliccate qui</a></u> per vedere la lista dei simboli dell'orrore nello specifico).</div><div><br></div><div> .<iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/8vSQg_sba2E?si=INMMpcvg8F8B7ree" title="YouTube video player" width="410"></iframe> </div><div>Notiamo dunque che talvolta è sufficiente una semplice diversità (caratteristica intrinseca non solo dell'essere umano, ma della natura stessa) a innescare la discriminazione e l'odio, che sia per ragioni religiose, razziali, di cultura, di orientamento sessuale o altro non importa, <b><span style="color: #741b47;">la non contemplazione della diversità è uno dei meccanismi che innescano la propagazione dell'odio negli esseri umani.</span></b></div><div>Tutto ciò non è mai scomparso (e probabilmente mai scomparirà), anzi persino oggi certi personaggi pubblici si arrogano il "diritto di odiare", più precisamente di diffondere gratuitamente odio sociale, giustificandosi con considerazioni a loro parere "logiche", "statistiche" e "naturali" (come il fatto che una "minoranza", in quanto tale, non debba godere degli stessi diritti di una "maggioranza"), ma spesso fondate sulla più totale ignoranza e su una visione fredda e cinica della realtà.</div><div>A questi personaggi risponde indirettamente la splendida canzone di Brandi Carlile intitolata <i>The Joke</i>, che poi è anche parte della colonna sonora del film <i>Joe</i> <i>Bell</i>, tratto da una tragica storia vera di bullismo ed omofobia (leggete <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Jadin_Bell" target="_blank">qui</a></u>). </div><div><br></div><div><br></div><div> <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/5r6A2NexF88?si=HAbFCkmj9oHpG7dJ" title="YouTube video player" width="410"></iframe> </div><div><br></div><div>Rilevante in tale direzione è anche una lucida citazione di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Aldous_Huxley" target="_blank">Aldous Huxley</a></u>, che riporto di seguito accompagnata dal suggestivo dipinto <i>Inferno</i> realizzato dalla Prof.ssa Annarita Ruberto, aka Nereide.</div><div><br></div><div><blockquote class="twitter-tweet"><p dir="ltr" lang="en">"That men do not learn very much from the lessons of history is the most important of all the lessons that history has to teach."<br>(Aldous Huxley from 'A Case of Voluntary Ignorance', in 'Collected Essays')<br><br>🎨'Inferno', mixed media on canvas.<a href="https://twitter.com/hashtag/scritturebrevi?src=hash&ref_src=twsrc%5Etfw">#scritturebrevi</a> <a href="https://twitter.com/hashtag/ventaglidiparole?src=hash&ref_src=twsrc%5Etfw">#ventaglidiparole</a> <a href="https://t.co/y0f6jcSGJZ">pic.twitter.com/y0f6jcSGJZ</a></p>— Nereide (@Nereide) <a href="https://twitter.com/Nereide/status/1583801558382219264?ref_src=twsrc%5Etfw">October 22, 2022</a></blockquote> <script async="" charset="utf-8" src="https://platform.twitter.com/widgets.js"></script></div><div><br></div><div>Riprendendo come esempio i robot, immaginate che noiosa sarebbe la società umana se fossimo tutti delle macchine fotocopia delle altre, senza alcuna diversità caratteristica (o comunque con una gamma ristretta di differenze), qualcosa che ci fa riconoscere, nel bene e nel male, immediatamente per quel che siamo.</div><div>Pensate a quanto la diversità sia per esempio essenziale in ambito musicale. Ogni strumento musicale ha il suo timbro caratteristico, che ci permette di riconoscere un pianoforte da un violino e da un sassofono, per non parlare della voce umana, che è ancora più variegata nelle sue sfumature.</div><div>E proprio con la <b><span style="color: #ff00fe;">musica</span></b> al centro dell'attenzione parte Pluto!</div><span></span></div></div><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2023/11/pluto-lodio-amore-e-leffetto-peltier.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-33529030339913470552023-09-08T13:24:00.018+02:002023-09-08T15:45:29.543+02:00IL MODELLO DI DRUDE: UNA BREVE SPIEGAZIONE DIVULGATIVA<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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Oggi parliamo di un modello molto importante per spiegare la conduzione elettrica: il modello di Drude.<br />Ho intenzione di presentarlo in una maniera puramente divulgativa, senza dunque approfondire nozioni e formule estremamente tecniche, in modo che anche il lettore non esperto di fisica possa farsi un'idea generale circa l'interessante argomento.<div>Prima di tutto specifichiamo che nella nostra breve narrazione ci soffermeremo sui <b><span style="color: #444444;">metalli</span></b>.</div><div>Tutti più o meno abbiamo un'idea di cosa sia un metallo, ma sareste in grado di darne una definizione fisicamente rigorosa in una singola frase?</div><div>Ve la fornisco io: <b style="color: red;">i metalli sono materiali altamente riflettenti </b>(della radiazione elettromagnetica)<b style="color: red;"> che presentano una banda elettronica parzialmente occupata.</b></div><div>Ok, cerchiamo di capire un po' meglio.</div><div>Innanzitutto osservate il seguente grafico, relativo nello specifico all'argento, tratto dal testo <i>Optical Properties of Solids</i> di Mark Fox.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><div class="separator" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><br /></div></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3VOIY_k59i9zrCGqBEeDcWI1iQRLgJ7wAoQZ7EdahpUp3NFv_2KCC9e599RTscGya-w1HIyAzSIlftUXBglbo_USuho7xGbUkdDzzj8fGtHfF0Zqu8O3xhvg8_4R3hf2aWIhnZZR3-MJtzNkeELeJHpMlHCnJada0pisr4w4w1iRIEvBmaHDTB31-Eex4/s500/Screenshot%202023-09-07%20alle%2018.10.07.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="370" data-original-width="500" height="237" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3VOIY_k59i9zrCGqBEeDcWI1iQRLgJ7wAoQZ7EdahpUp3NFv_2KCC9e599RTscGya-w1HIyAzSIlftUXBglbo_USuho7xGbUkdDzzj8fGtHfF0Zqu8O3xhvg8_4R3hf2aWIhnZZR3-MJtzNkeELeJHpMlHCnJada0pisr4w4w1iRIEvBmaHDTB31-Eex4/s320/Screenshot%202023-09-07%20alle%2018.10.07.png" width="320" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Potete constatare come nella zona dell'infrarosso (dello <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spettro_elettromagnetico" target="_blank">spettro elettromagnetico</a></u>) la riflettività sia altissima (quasi il 100%) e pure nella luce visibile essa resti elevata (sopra l'80%), mentre improvvisamente cala notevolmente nell'ultravioletto.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ed attenzione perché questo andamento della riflettività non si riscontra solo nell'argento, ma è un <b><span style="color: #b45f06;">andamento generale caratteristico di tutti i metalli convenzionali</span></b>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Benissimo, ma cosa significa invece banda elettronica parzialmente occupata?</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Beh, quando entriamo nel contesto della <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Fisica_della_materia_condensata" target="_blank">fisica della materia condensata</a></u>, siamo soliti classificare i materiali in <b><span style="color: #2b00fe;">3 fondamentali categorie</span></b> in base alla loro struttura in bande elettroniche: </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">1) metalli;</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">2) isolanti;</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">3) semiconduttori.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Grazie a <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Banda_di_conduzione" target="_blank">Wikipedia</a></u> osserviamo a tal proposito la seguente immagine illustrativa.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHQmsASh65dYJ9SmaE6ntJTCcfD11SaLYv1uu_qLe7bTM0Zxm7STABsqSkh2L_14XiKi4O3AThTZtS6644w0rVsxqx-GoCtAIUFAoppHA7VLbpVm-8EZ4kFolhCR2_w7tRfOVEpGDQeFnXglLEWvgfe-Ox4D216X4F75Kldvi8-Z_CraZTKQEF5fuArQYR/s738/Screenshot%202023-09-07%20alle%2018.24.47.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="426" data-original-width="738" height="185" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHQmsASh65dYJ9SmaE6ntJTCcfD11SaLYv1uu_qLe7bTM0Zxm7STABsqSkh2L_14XiKi4O3AThTZtS6644w0rVsxqx-GoCtAIUFAoppHA7VLbpVm-8EZ4kFolhCR2_w7tRfOVEpGDQeFnXglLEWvgfe-Ox4D216X4F75Kldvi8-Z_CraZTKQEF5fuArQYR/s320/Screenshot%202023-09-07%20alle%2018.24.47.png" width="320" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Potete vedere chiaramente che negli isolanti e nei semiconduttori abbiamo uno spazio vuoto tra le bande (il cosiddetto <b><span style="color: #ff00fe;">"band gap"</span></b>) più o meno ampio; la banda più in basso (detta <b><span style="color: #134f5c;">banda di valenza</span></b>) è totalmente occupata da elettroni, mentre quella più in alto (<b><span style="color: #e06666;">banda di conduzione</span></b>) potrebbe venir occupata grazie a meccanismi di eccitazione (non entreremo nei dettagli tecnici di questo fenomeno).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b style="background-color: #04ff00;">Nei metalli</b>, al contrario, <b style="background-color: #04ff00;">non abbiamo alcun band gap e, nello specifico, abbiamo una banda che si ritrova ad essere parzialmente piena di elettroni e parzialmente vuota!</b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ottimo, ora potete dire ai vostri amici di sapere cosa sia davvero un metallo secondo la fisica!</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Specifichiamo che l'elettrodinamica dei metalli è dovuta a 2 meccanismi diversi di transizione:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">1) <b><span style="color: #3d85c6;">transizioni intrabanda</span></b>: transizioni di elettroni che interessano solo la banda parzialmente occupata;</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">2) <b><span style="color: #674ea7;">transizioni interbanda</span></b>: transizioni di elettroni che interessano bande diverse.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Il modello di Drude è intimamente legato alla prima categoria di transizioni, che sono anche, in generale, le più rilevanti per un metallo, mentre le transizioni interbanda sono più interessanti quando parliamo di semiconduttori ed isolanti.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Altra cosa che va specificata sin da subito è che <b><span style="color: red;">il modello di Drude è un modello classico</span></b>, nel senso che non fa uso della meccanica quantistica! </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">In verità una sua importante estensione, il cosiddetto <b><span style="color: #2b00fe;">modello di Drude-Sommerfeld</span></b>, introdotto dal fisico tedesco Arnold Sommerfeld nel <b style="background-color: #fcff01;">1927</b>, coinvolge la fisica quantistica (in particolare la <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Statistica_di_Fermi-Dirac" target="_blank">statistica di Fermi-Dirac</a></u> e il concetto di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Superficie_di_Fermi" target="_blank">superficie di Fermi</a></u>).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">L'altro grande modello classico che cerca di illustrare concetti come la conducibilità elettrica e la <u><a href="https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-03594-8_6#:~:text=The%20dielectric%20function%20and%20the,system%20to%20an%20external%20force." target="_blank">funzione dielettrica</a></u> (in particolare nel contesto delle transizioni interbanda) è il <b><span style="color: #783f04;">modello di Lorentz</span></b>, proposto dal fisico olandese Hendrik Antoon Lorentz in un articolo del <b style="background-color: #fcff01;">1909</b>, basato sulla fantasiosa ma efficace idea di considerare gli elettroni alla stregua di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Moto_armonico#Moto_armonico_libero_smorzato" target="_blank">oscillatori armonici smorzati</a></u> (insomma molle!). </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Si guardi a tal proposito la seguente immagine illustrativa tratta da <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_oscillator_model" target="_blank">Wikipedia</a></u>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4BfsqQ8LI8WE4iHkh2fOyjUhWegS5W4BTpBYmeIosZ8IN0wn36UVo48o4ZXkOJZwzoBqGUpiWKamIW8wminsNcXQbwhlEagzen36dKRePny17PGh87tVyll6crExhnoR9UeMm-0wdGgYwcuKjKx__0jGuaN4SQUNduyQ9BmN2M9iAb7tCkaiDsL3Krtrg/s570/Screenshot%202023-09-07%20alle%2022.26.55.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="570" data-original-width="466" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4BfsqQ8LI8WE4iHkh2fOyjUhWegS5W4BTpBYmeIosZ8IN0wn36UVo48o4ZXkOJZwzoBqGUpiWKamIW8wminsNcXQbwhlEagzen36dKRePny17PGh87tVyll6crExhnoR9UeMm-0wdGgYwcuKjKx__0jGuaN4SQUNduyQ9BmN2M9iAb7tCkaiDsL3Krtrg/s320/Screenshot%202023-09-07%20alle%2022.26.55.png" width="262" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ma torniamo al protagonista del nostro post, il <b><span style="color: red;">modello di Drude</span></b>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Esso venne proposto dal fisico tedesco Paul Drude in un anno decisamente memorabile: il <b style="background-color: #fcff01;">1900</b>.</div><div class="separator" style="clear: both;">Nel suddetto anno egli pubblicò infatti l'articolo denominato <i><b><span style="color: #0b5394;">Zur Elektronentheorie der Metalle</span></b></i>, pubblicazione che avvenne sulla prestigiosa rivista scientifica <i><b><span style="color: #ff00fe;">Annalen der Physik</span></b></i>, sì proprio quella ove 5 anni dopo Einstein avrebbe rivoluzionato il mondo della fisica (e non solo) con magistrali contributi, tra cui l'introduzione della teoria della relatività ristretta.</div><div class="separator" style="clear: both;">Ma qual è l'ipotesi fondamentale alla base del modello di Drude?</div><div class="separator" style="clear: both;">Se per il modello di Lorentz tale ipotesi consiste nel considerare gli elettroni come molle, con Drude assumiamo invece che il nostro metallo sia un <b><span style="color: #e69138;">gas pieno di elettroni liberi</span></b> e visti come particelle classiche, perfettamente distinguibili. </div><div class="separator" style="clear: both;">Tali elettroni si muovono in modo casuale con una certa velocità lungo linee rette fino a quando non avvengono collisioni. Per semplicità il modello va ad ignorare qualsiasi altro tipo di interazione.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;"><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVbr6KkvAIV8LucHlCgh-hLIqww57-PZV-oz_5REeT_2oOooF6riGa9FrOkvHeqmAybV7n7qbKVw7Bt9QZudpS5LRXo-wEHqR6SVZLthAdbV5ZAA4aSC5KCL6Y43h-2Kb52uCsBrKfmeKXzDP8I5fP7o2mVhXDbLSpY5hBdm3lWI5HLJnnP9rlqNTzC__p/s710/Screenshot%202023-09-08%20alle%2015.04.10.png" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="710" data-original-width="646" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVbr6KkvAIV8LucHlCgh-hLIqww57-PZV-oz_5REeT_2oOooF6riGa9FrOkvHeqmAybV7n7qbKVw7Bt9QZudpS5LRXo-wEHqR6SVZLthAdbV5ZAA4aSC5KCL6Y43h-2Kb52uCsBrKfmeKXzDP8I5fP7o2mVhXDbLSpY5hBdm3lWI5HLJnnP9rlqNTzC__p/s320/Screenshot%202023-09-08%20alle%2015.04.10.png" width="291" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Immagine tratta da <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Drude_model#/media/File:Electrona_in_crystallo_fluentia.svg" target="_blank">Wikipedia</a></u></i></td></tr></tbody></table><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br /><div class="separator" style="clear: both;">Adesso viene il bello: immaginiamo di sottoporre il nostro gas di elettroni all'azione di un <b><span style="color: #bf9000;">campo elettrico esterno</span></b>.</div><div class="separator" style="clear: both;">Cosa succede? Innanzitutto abbiamo una <b style="background-color: #01ffff;">variazione della quantità di moto</b> (chiamata anche momento lineare) $\vec{p}$ del singolo elettrone nel sistema (ricordiamo che la quantità di moto è il prodotto della massa per la velocità del corpo) dovuta al campo elettrico applicato $\vec{E}$.</div><div class="separator" style="clear: both;">Ma abbiamo pure un importante <b style="background-color: #a2c4c9;">meccanismo di dissipazione</b> di $\vec{p}$ dovuto alle collisioni di questi elettroni con impurezze/difetti cristallini, <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Fonone" target="_blank">fononi</a></u>, altri elettroni, ecc.</div><div class="separator" style="clear: both;">Volete un modo sintetico per esprimere tutto ciò? "Facile", basta ricorrere ad un po' di matematica.</div><div class="separator" style="clear: both;">Osserviamo infatti attentamente la seguente <b><span style="color: red;">equazione del moto</span></b> alla base del modello di Drude:</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnOKS5EozuWxIl0G0gfnnY5qBa9odI-TOOt79OPrITwyUiQ-kigznj65vg9jJo4pedBsAt6S7t_9I70DrB7ode4l3QINrwYpRWs2qmMuEsnOowwpSkcdbq-WziEKSkL_aBDtV17qxtBh3tEssuJYRHE30o0EBA_OPLS1_qjJsdJvWK9EhZAYJwpLoCED0M/s388/Screenshot%202023-09-07%20alle%2022.52.31.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="158" data-original-width="388" height="81" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnOKS5EozuWxIl0G0gfnnY5qBa9odI-TOOt79OPrITwyUiQ-kigznj65vg9jJo4pedBsAt6S7t_9I70DrB7ode4l3QINrwYpRWs2qmMuEsnOowwpSkcdbq-WziEKSkL_aBDtV17qxtBh3tEssuJYRHE30o0EBA_OPLS1_qjJsdJvWK9EhZAYJwpLoCED0M/w200-h81/Screenshot%202023-09-07%20alle%2022.52.31.png" width="200" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Chi è abituato al formalismo matematico tipico di questo blog sa bene che a sinistra dell'uguale abbiamo la derivata del momento lineare $\vec{p}$ rispetto al tempo.</div></div><div class="separator" style="clear: both;">Per chi non è avvezzo al calcolo infinitesimale, possiamo semplificare la questione asserendo che si tratta di una variazione nel tempo del momento lineare di un singolo elettrone che stiamo prendendo in considerazione.</div><div class="separator" style="clear: both;">A destra dell'uguale abbiamo innanzitutto la forza (nello specifico il termine $-e \vec{E}$, dove $e$ è la carica elettrica fondamentale, cioè quella dell'elettrone) che agisce sul nostro elettrone dovuta al campo elettrico esterno; poi abbiamo un altro termine, ossia $- \frac{\vec{p}}{\tau}$, che rappresenta una forza di <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2012/11/attrito.html" target="_blank">attrito viscoso</a></u>.</div><div class="separator" style="clear: both;">In particolare, <span style="color: #2b00fe;">$\tau$</span> è il cosiddetto <span style="color: #2b00fe;"><b>tempo di rilassamento</b></span>, cioè il tempo medio che intercorre tra 2 collisioni o, in altre parole, la quantità che governa il rilassamento del sistema verso l'equilibrio (condizione in cui la quantità di moto media è 0), dopo che è stato rimosso il nostro fattore perturbativo esterno (cioè il campo elettrico).</div><div class="separator" style="clear: both;">E chiaramente l'introduzione di un campo elettrico esterno ha conseguenze pure sulla velocità delle particelle.</div><div class="separator" style="clear: both;">Infatti si va a definire la cosiddetta <b><span style="color: #38761d;">velocità di deriva</span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_caWERbA4_-1SVOTGXXIxsF8n0SJQlVYVH3qjS2R49rjgu7PDMveTVQMUrL_TojTNjm1uHiVe46e64ZsGntUEgwBKXN_ok616mDD-6kMrHFvCLJSaSFCNGGoQZNbpqoffuKSJpyNi1VTJNo7e1aSq5rKJA2KxW43z2PGDTlfFCTNrQToX-Ilii5HLk0ck/s392/Screenshot%202023-09-07%20alle%2023.05.25.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="146" data-original-width="392" height="74" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_caWERbA4_-1SVOTGXXIxsF8n0SJQlVYVH3qjS2R49rjgu7PDMveTVQMUrL_TojTNjm1uHiVe46e64ZsGntUEgwBKXN_ok616mDD-6kMrHFvCLJSaSFCNGGoQZNbpqoffuKSJpyNi1VTJNo7e1aSq5rKJA2KxW43z2PGDTlfFCTNrQToX-Ilii5HLk0ck/w200-h74/Screenshot%202023-09-07%20alle%2023.05.25.png" width="200" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both;">dove $m$ indica la massa dell'elettrone.</div><div class="separator" style="clear: both;">La cosa importante da notare è che la suddetta velocità mantiene la direzione del campo elettrico $\vec{E}$ ma presenta verso opposto (specificato da quel segno $-$ nell'ultima equazione).</div><div class="separator" style="clear: both;">Con un po' di passaggi matematici, tra cui assumere il campo elettrico come alternato e ricordare la celebre <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ohm%27s_law" target="_blank">legge di Ohm (generalizzata)</a></u>, grazie a tutte queste considerazioni uno può giungere alla quantità fisica protagonista del modello di Drude: la <b><span style="color: red;">conducibilità elettrica $\tilde{\sigma}$</span></b>.</div><div class="separator" style="clear: both;">Di seguito l'espressione matematica che la definisce:</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7t1MfeGqpFORL_Z1Lk7NE_VyiZdl3-tL6-w1Pj4drZNgej-FOjpFT_9FHfY6WolUZqLfnAT78fBN2Zmag8SXA_QWXmZ6GPHMOATbiJp0wwVOeWGVfSK2Nex7_dNF6FF9HoKJ93HHLH_QDB4utoGy7dxGzG2YpTJSvfaNvcq74NtBJRBzKtRHO2n1tbUF0/s374/Screenshot%202023-09-07%20alle%2023.09.55.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="100" data-original-width="374" height="54" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7t1MfeGqpFORL_Z1Lk7NE_VyiZdl3-tL6-w1Pj4drZNgej-FOjpFT_9FHfY6WolUZqLfnAT78fBN2Zmag8SXA_QWXmZ6GPHMOATbiJp0wwVOeWGVfSK2Nex7_dNF6FF9HoKJ93HHLH_QDB4utoGy7dxGzG2YpTJSvfaNvcq74NtBJRBzKtRHO2n1tbUF0/w200-h54/Screenshot%202023-09-07%20alle%2023.09.55.png" width="200" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Notiamo immediatamente che tale quantità è fornita dal prodotto della cosiddetta <b><span style="color: #2b00fe;">conducibilità in corrente continua, $\sigma_{dc}$</span></b>, e di un termine frazionario che coinvolge la <b><span style="color: #674ea7;">frequenza angolare $\omega$</span></b> relativa al campo $\vec{E}$, il tempo di rilassamento $\tau$ e l'unità immaginaria $i$ (<u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2015/12/viaggio-nellimmaginario-mondo-dei.html" target="_blank">cliccate qui</a></u> per dettagli sull'unità immaginaria e i numeri complessi).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b>Nota per il lettore non esperto</b>: a sinistra dell'uguale le parentesi tonde con dentro $\omega$ non indicano una moltiplicazione, ma semplicemente il fatto che la conducibilità $\tilde{\sigma}$ ha una dipendenza esplicita dalla frequenza $\omega$.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Tuttavia l'aspetto essenziale è il seguente: <b><span style="color: #ff00fe;">$\tilde{\sigma}$ è una quantità complessa</span></b>, dunque scomponibile in una somma di una parte reale $\sigma_1$ e di una parte immaginaria $\sigma_2$, ovvero in simboli:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjf7BfP9ByJdbL9fuq-nzs3Nd2t0wNn3bRQvgCbfe7feIP6xgICYUVhMJvW7u4xW1hdoU8Oav6tK-Ji7Qt7h-ZoDHb1Zgx-Bdd6d5pRqjN8KgcVecUNNpemjeB1vBeUm4JL-_c8tbxU8NaBp0Vq2W816m4ydNTBitQDRvI3F-o_5V-_DUs1ABOVNnR7h0WJ/s468/Screenshot%202023-09-08%20alle%2008.48.18.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="86" data-original-width="468" height="37" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjf7BfP9ByJdbL9fuq-nzs3Nd2t0wNn3bRQvgCbfe7feIP6xgICYUVhMJvW7u4xW1hdoU8Oav6tK-Ji7Qt7h-ZoDHb1Zgx-Bdd6d5pRqjN8KgcVecUNNpemjeB1vBeUm4JL-_c8tbxU8NaBp0Vq2W816m4ydNTBitQDRvI3F-o_5V-_DUs1ABOVNnR7h0WJ/w200-h37/Screenshot%202023-09-08%20alle%2008.48.18.png" width="200" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ora chiaramente $\sigma_1$ e $\sigma_2$ possono essere espresse da precise relazioni matematiche, ma l'aspetto più interessante è osservare il comportamento di tali quantità rispetto alla frequenza.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">A tal proposito guardate la seguente figura.</div><br /><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFnd_r7-lfJ4SNL4hIsjJeRqN5EzpBGpS8f0_hIhu6nls-Usi5Sx7wesnKi_NaHECalBWzp6mL3OKdAHN8mTNxtC0I5ueT5Ev6XRBaFh_e5kTwe62GRZZsKpQkv7y6c3l1wrDwNpCcFBwEGh9BAhEeDPQSLpNZv6G_LWflddvIe7p7daShlGPKnsi1LrBW/s648/Drude-model-Optical-conductivity-so-with-s-0-t-1.png" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="436" data-original-width="648" height="215" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFnd_r7-lfJ4SNL4hIsjJeRqN5EzpBGpS8f0_hIhu6nls-Usi5Sx7wesnKi_NaHECalBWzp6mL3OKdAHN8mTNxtC0I5ueT5Ev6XRBaFh_e5kTwe62GRZZsKpQkv7y6c3l1wrDwNpCcFBwEGh9BAhEeDPQSLpNZv6G_LWflddvIe7p7daShlGPKnsi1LrBW/s320/Drude-model-Optical-conductivity-so-with-s-0-t-1.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Fonte immagine: <u><a href="http://bit.ly/44Kk5yA">bit.ly/44Kk5yA</a></u> </i><h2 class="orb-typography h2 no-margin" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; box-sizing: inherit; color: #273144; font-family: "proxima nova extrabold"; font-size: 2.4rem; font-weight: 400; line-height: 3.2rem; margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px; text-align: start; text-overflow: ellipsis; text-wrap: nowrap;"><br /></h2></td></tr></tbody></table><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Potete notare come la parte reale ed immaginaria della conducibilità elettrica siano rappresentate da curve diverse e, in particolare, se andiamo a vedere cosa succede quando la frequenza tende a 0, possiamo constatare che $\sigma_1$ tende ad un certo valore che è nient'altro che $\sigma_{dc}$, mentre $\sigma_2$ tende a 0.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ottimo, ora avete un'idea generale di come si comporta la conducibilità elettrica nei metalli assumendo un modello ideale come quello di Drude.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Dovrebbe poi essere cosa nota che i metalli che sono buoni conduttori di elettricità siano pure buoni conduttori di calore (pensate per esempio all'utilizzo delle pentole con fondo in rame nella cucina).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ebbene, grazie al modello di Drude-Sommerfeld è possibile dimostrare matematicamente (state tranquilli, non lo faremo qui) una legge sperimentale, scoperta nel <b style="background-color: #fcff01;">1853</b>, che mette in relazione la conducibilità elettrica $\sigma$ e la conducibilità termica $\kappa_T$: la <b><span style="color: red;">legge di Wiedemann-Franz</span></b>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Nella sua forma più semplice e compatta essa si presenta nel modo seguente:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">$\frac{\kappa_T}{\sigma} = LT$</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Qui $T$ denota ovviamente la temperatura, mentre <span style="color: #a64d79;">$L$</span> è il cosiddetto <b><span style="color: #a64d79;">numero di Lorenz</span></b> (scoperto da Ludvig Lorenz nel 1872), una quantità indipendente dal tipo di metallo che viene considerato nelle misurazioni.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">A mo' di conclusione, vorrei far notare come nel <b style="background-color: #fcff01;">2006</b> un duo di scienziati, <b><span style="color: #2b00fe;">Martin Dressel e Marc Scheffler</span></b>, abbia condotto un'interessante <b style="background-color: #04ff00;">verifica moderna della validità del modello di Drude</b>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Di seguito l'abstract dell'articolo, pubblicato non a caso su <i>Annalen der Physik</i>. </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBJvH5hryJyVXou6hr0Ky0LL8FwJmK4qzEoNZl7Bnuiaos_m8CSb2gx3MsWnZ2hCmvrPGHCycl7xzQdSMhp61HSGOyFirrmU-wngBYfioGJv-rq9gsvKVNbJKoo4-RomRpUPROpHdzlb_RwT4iAfiWSkNMslQuS6kqKX-sWwvGF2WG0LZCWquwrT2zUL_O/s1332/Screenshot%202023-09-08%20alle%2009.30.05.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="854" data-original-width="1332" height="272" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBJvH5hryJyVXou6hr0Ky0LL8FwJmK4qzEoNZl7Bnuiaos_m8CSb2gx3MsWnZ2hCmvrPGHCycl7xzQdSMhp61HSGOyFirrmU-wngBYfioGJv-rq9gsvKVNbJKoo4-RomRpUPROpHdzlb_RwT4iAfiWSkNMslQuS6kqKX-sWwvGF2WG0LZCWquwrT2zUL_O/w424-h272/Screenshot%202023-09-08%20alle%2009.30.05.png" width="424" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /><br /></div>Cerco di riassumervi in poche e semplici parole gli aspetti cruciali del suddetto articolo.</div><br /><div>Innanzitutto i 2 scienziati hanno osservato come in un regime di frequenza bassa (il nome rigoroso è <b><span style="color: #b45f06;">regime di Hagen-Rubens</span></b>) misure di riflettività siano state eseguite solamente nei cosiddetti <b><span style="color: #674ea7;">"metalli cattivi"</span></b>, come l'acciaio inossidabile.</div><div>La caratteristica essenziale dei "metalli cattivi" è il fatto che presentino un valore basso di $\sigma_{dc}$ ed un valore elevato del rapporto $\frac{1}{\tau}$.</div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ne consegue sostanzialmente che la loro riflettività devia molto dal 100% persino in un regime di bassa frequenza; andate per favore a rivedervi all'inizio del post cosa succedeva nel caso dell'argento, ove invece la riflettività era elevatissima nelle basse frequenze (o, equivalentemente, nelle larghe lunghezze d'onda dello spettro elettromagnetico).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Dressel e Scheffler hanno poi riscontrato un <b><span style="color: #e06666;">problema spinoso</span></b>: solo nel regime delle microonde e di frequenze di pochi terahertz è possibile misurare la parte reale e la parte immaginaria di $\tilde{\sigma}$ in modo indipendente, tuttavia <b><span style="color: red;">per i metalli convenzionali il fondamentale rapporto $\frac{1}{\tau}$ è ben al di sopra di tali frequenze!</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Una possibile soluzione iniziale è stata quella di osservare cosa succede in <b><span style="color: #3d85c6;">semiconduttori moderatamente drogati.</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">No, non stiamo incentivando all'uso delle sostanze stupefacenti; il termine "drogato" (o, volendo, "doping") nell'ambito dei semiconduttori significa semplicemente che stiamo applicando un certo meccanismo che aumenta il numero di portatori di carica di quel semiconduttore, rendendolo così più simile ad un metallo in termini di conducibilità elettrica di quanto lo fosse originariamente.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ed effettivamente <b style="background-color: #01ffff;">l'uso del doping ha fornito</b> (nel caso specifico dell'articolo si è fatto riferimento al silicio leggermente drogato) <b style="background-color: #01ffff;">risultati sperimentali in accordo col modello teorico di Drude!</b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ma non è finita qui, perché i 2 scienziati hanno giustamente evidenziato che se volessimo dati migliori dovremmo lavorare nel range di frequenze delle <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Microonde" target="_blank">microonde</a></u>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">E per far ciò si sono dovuti attenere ad una teoria più complessa, la <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Liquido_di_Fermi#:~:text=Un%20liquido%20di%20Fermi%20%C3%A8,gli%20elettroni%20in%20un%20metallo)." target="_blank">teoria del liquido di Fermi</a></u>, introdotta dal famoso fisico russo Lev Landau nel <span style="background-color: white;">1956</span>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Senza entrare nei complicati dettagli, ciò che è rilevante sapere è che tale teoria si applica stupendamente a particolari materiali intermetallici, i cosiddetti <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Heavy_fermion_material" target="_blank">composti di fermioni pesanti</a></u>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Dressel e Scheffler hanno pertanto considerato uno di questi composti, chiamato $\mathrm{UPd_2Al_3}$, compiendo analisi in un range di frequenze vastissimo, nello specifico da 50 MHz a 40 GHz, focalizzandosi su temperature vicine allo <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Zero_assoluto" target="_blank">zero assoluto</a></u>, in particolare sopra 1.6 kelvin.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Il finale della storia forse è scontato, ma non toglie nulla alla meraviglia di un'importante rilevazione scientifica: <b><span style="color: red;">anche nel suddetto caso i dati sperimentali hanno confermato un'ottima corrispondenza con il modello teorico di Drude!</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Insomma, il duo di scienziati, poco più di 100 anni dopo la formulazione originaria del modello di Drude, ha dimostrato che tale modello, per quanto basilare, è ancora molto buono, in certi regimi di frequenza, nel descrivere il comportamento generale della conducibilità elettrica in metalli e materiali che si avvicinano alle caratteristiche dei metalli.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ovviamente moderne tecniche più sofisticate fondate sulla meccanica quantistica, come l'approccio a molti elettroni sviluppato dal danese <b><span style="color: #351c75;">Jens Lindhard</span></b> nel <b style="background-color: #fcff01;">1954</b> basandosi sulla cosiddetta <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Random_phase_approximation" target="_blank">Random-Phase Approximation</a></u>, portano a risultati più rigorosi in generale.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">I lettori esperti interessati possono trovare, <u><a href="https://www.scielo.br/j/rbef/a/BpWLwjqdjwftQ3fhYZLKzdd/?lang=en&format=pdf" target="_blank">cliccando qui</a></u>, un interessantissimo articolo di Andrade-Neto in cui si mette a diretto confronto il modello di Drude con il più avanzato modello di Lindhard. </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">----------------------------------------------------------------------------------------</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #3d85c6;">Fonti essenziali:</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #3d85c6;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #3d85c6;">- <i>Optical Properties of Solids</i> di M. Fox</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #3d85c6;">- <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wiedemann%E2%80%93Franz_law" style="text-decoration-line: underline;">https://en.wikipedia.org/wiki/Wiedemann%E2%80%93Franz_law</a></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #3d85c6;">- <i>Electrodynamics of Solids</i> di M. Dressel e G. Grüner</span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #3d85c6;">- <i>Verifying the Drude Response</i> di M. Dressel e M. Scheffler</span></div></div>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-57483717952564427212023-05-09T09:56:00.001+02:002023-05-09T10:18:45.529+02:00666: IL NUMERO DI "DIABLO"!Oggi parliamo di un numero famoso: il <b><span style="color: red;">666</span></b>, spesso chiamato <b><span style="color: red;">"Numero della Bestia" o "numero del diavolo"</span></b>.<div>Infatti al versetto XIII,16-18 dell'<i>Apocalisse</i> di Giovanni (l'ultimo libro del <i>Nuovo Testamento</i>, ossia la conclusione della <i>Bibbia</i>) si legge:</div><div><div><br /></div><i><span style="color: red;">Faceva sì che tutti, grandi e piccoli, ricchi e poveri, liberi e schiavi, venissero marchiati sulla mano destra e sulla fronte. E che nessuno potesse comprare o vendere senza avere tale marchio, cioè il nome della Bestia o il numero del suo nome. Qui sta la sapienza. Chi ha intelligenza interpreti il numero della Bestia: esso rappresenta un nome d'uomo, e il numero è 666.</span></i><div><br /><div><div>Mi piace celebrare così l'uscita a breve dell'attesissimo videogame <i><b><span style="color: red;">Diablo IV</span></b></i>, che sarà rilasciato in modo ufficiale in una data particolare: il 6.6.23 (e, dato che 2 per 3 fa 6, potete ben immaginare il perché sia stata scelta tale data).</div></div><div><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcgn2aXjfos_yOYeudAVrSQe7qX6Upk3vfEyxXIZiwzTdga3aydHV9__tjAN2-hfkmIpczgo4zZrol3WnN1QikjCKsD9kUbfXKrhs2aPoZwMEUhVS9pL3ffl4XFA8hmQlyvTrGjAZ44gsXO2ZKt6dFGHckBD_GeZZjnwUN2i5UBSCgWeli3doBmUWyIw/s1200/FlazEbCXkAU3iam.jpeg" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="675" data-original-width="1200" height="225" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcgn2aXjfos_yOYeudAVrSQe7qX6Upk3vfEyxXIZiwzTdga3aydHV9__tjAN2-hfkmIpczgo4zZrol3WnN1QikjCKsD9kUbfXKrhs2aPoZwMEUhVS9pL3ffl4XFA8hmQlyvTrGjAZ44gsXO2ZKt6dFGHckBD_GeZZjnwUN2i5UBSCgWeli3doBmUWyIw/w400-h225/FlazEbCXkAU3iam.jpeg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Lilith in Diablo IV</i></td></tr></tbody></table><br /><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div>Ecco un paio di spettacolari cinematic introduttive del game, in cui fa capolino la misteriosa ed affascinante figura di <b><span style="color: red;">Lilith</span></b>, nel game figlia di Mephisto (demone "signore dell'odio") e madre di Sanctuary (ovvero il mondo dei mortali), ma che ritroviamo già nel III millennio a.C. nelle antiche religioni mesopotamiche, come potete leggere su <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Lilith#cite_note-7" target="_blank">Wikipedia</a></u>. </div><div><br /></div> <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/Hth2EuI4KPQ" title="YouTube video player" width="410"></iframe><div><br /></div> <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/Y95GGsxxA34" title="YouTube video player" width="410"></iframe><div><br /></div><div>I riferimenti numerici e geometrici nel game già non mancano in questi spezzoni di storia, ma ora concentriamoci sul protagonista del post, il 666.</div><div>Generalmente, nella blogosfera scientifico-matematica italiana, siamo abituati a presentare in dettaglio i vari numeri interi positivi in occasione dei <b><span style="color: red;">Carnevali della Matematica</span></b>.</div><div>Tuttavia, siccome manca ancora molto molto tempo al Carnevale della Matematica n.666 (pensate che la prossima edizione, che verrà pubblicata il 14 maggio da <u><a href="http://pitagoraedintorni.blogspot.com/" target="_blank">Dioniso</a></u> (cioè Flavio Ubaldini), sarà "solamente" la n.169), mi permetto di introdurre il suddetto numero come se compissi un gigantesco salto in avanti nel futuro e avessi l'onore di ospitare qui, in questo momento, il Carnevale n.666.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJ3RLmuPvhO3aESFyz4j6g9Ux9t-xGS_g0mSiydIyEX0wkyaMVTG_XDrMeuipc_bzrYD8p5-Pj7RLsrWgK_UryRaH05qQW8lddSfAlcFnA_jm_XB5W50BMg5u9qfmPBWAf-oXxusWpE76vgo6j3cgSBOSF72jEvSRsWdHj6dqtPGKtff7I3ohtnnJ-vg/s999/E4E0FBAD-BC92-4D5D-9E77-E94DEB2513DD.jpeg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="928" data-original-width="999" height="297" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJ3RLmuPvhO3aESFyz4j6g9Ux9t-xGS_g0mSiydIyEX0wkyaMVTG_XDrMeuipc_bzrYD8p5-Pj7RLsrWgK_UryRaH05qQW8lddSfAlcFnA_jm_XB5W50BMg5u9qfmPBWAf-oXxusWpE76vgo6j3cgSBOSF72jEvSRsWdHj6dqtPGKtff7I3ohtnnJ-vg/s320/E4E0FBAD-BC92-4D5D-9E77-E94DEB2513DD.jpeg" width="320" /></a></div><br /><div><br /></div><div> </div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div>666 è un <b><span style="color: red;">numero pari composto da 12 divisori</span></b>: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 37, 74, 111, 222, 333 e 666.<br /><div>Provate a sommarli (non includendo il 666). Fatto? Il risultato è 816, che è maggiore di 666.</div><div>Ergo 666 è un <b><span style="color: red;">numero abbondante</span></b>!</div><div>Ma è pure un numero che "sfiora la perfezione matematica"! Ma che diavolo significa?</div><div>No, non sono impazzito soggiogato dall'immenso potere di Lilith, semplicemente 666 è un <b><span style="color: red;">numero semiperfetto</span></b>.</div><div>Per capire, dovete ricordare che numeri come il 6, il 28 e il 496 sono detti <i>perfetti</i> perché se sommiamo assieme tutti i loro divisori (tranne, ovviamente, il numero in questione) li otteniamo "magicamente".</div><div>Per esempio 6 = 1 + 2 + 3, e così via per tutti gli altri numeri perfetti.</div><div>Bene, appurato ciò, possiamo dire che <b style="background-color: #ea9999;">un numero si definisce semiperfetto se è uguale alla somma di alcuni (ma volendo anche tutti) suoi divisori</b>.</div><div>Giusto per capire meglio, proviamo ad analizzare il numero semiperfetto 12. I suoi divisori sono 1, 2, 3, 4, 6, 12.</div><div>Per esempio possiamo costruire 12 come la seguente somma: 12 = 1 + 2 + 3 + 6.</div><div>Lo stesso discorso vale per il 666; potete trovare somme tra alcuni dei suoi divisori che restituiscono come totale 666.</div><div>Molto suggestivo è anche il fatto che 666 sia un <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_triangolare" target="_blank">numero triangolare</a></u>, nel senso che se, in questo caso specifico, prendete TUTTI i numeri interi tra 1 e 36 e li sommate ottenete 666.</div><div>Ciò implica che 666 è anche la somma dei numeri presenti in una <b><span style="color: red;">roulette</span></b>: una sorta di collegamento del "diavolo" col gioco d'azzardo!</div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWGvKtvTPqFKuDb4-kTsQvxLoUIpHzjTz4Xz75aDJCjThuayboGlbvBGB0JFoDuok1xqsxuQgqOTMrMrG210JqNv-CIfdQds8y8OT5sC86F2ylivaV6_lcwkRYmJXpruMzFtdrffXkjuuHYoxeV74a3YFwBf5FhrUCOwsZ68u-EYr2thPEkhmvyeDw5w/s1200/Basic_roulette_wheel.svg.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1200" data-original-width="1200" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWGvKtvTPqFKuDb4-kTsQvxLoUIpHzjTz4Xz75aDJCjThuayboGlbvBGB0JFoDuok1xqsxuQgqOTMrMrG210JqNv-CIfdQds8y8OT5sC86F2ylivaV6_lcwkRYmJXpruMzFtdrffXkjuuHYoxeV74a3YFwBf5FhrUCOwsZ68u-EYr2thPEkhmvyeDw5w/w200-h200/Basic_roulette_wheel.svg.png" width="200" /></a></div><br /><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;">Nel sistema numerico decimale 666 è poi un <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Smith" target="_blank">numero di Smith</a></u>, poiché se provate a sommare le sue cifre (cioè 6 + 6 + 6 = 18) e a sommare quelle della sua scomposizione in fattori (666 = 2 × 3 × 3 × 37 e, sommando le cifre, 2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 18) potete constatare che ottenete il medesimo risultato (ovvero 18).</span></div><div><span style="text-align: center;">Sempre restando nel sistema numerico digitale, 666 è un <b><span style="color: red;">numero di Harshad</span></b>, nel senso che risulta divisibile per la somma delle sue cifre. Infatti 666/18 = 37.</span></div><div><span style="text-align: center;">Per di più 666 corrisponde alla <b><span style="color: red;">somma di due numeri palindromi consecutivi: 313 e 353</span></b>.</span></div><div><span style="text-align: center;">Il "numero della bestia" è anche un <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Numero_pratico" target="_blank">numero pratico</a></u> e <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Nontotiente" target="_blank">nontotiente</a></u> (cliccate sui link per capire cosa ciò significhi). </span></div><div><span style="text-align: center;">Molto curioso è poi il fatto che, passando ai numeri romani, 666 si scriva come <b><span style="color: red;">DCLXVI</span></b>, ovvero utilizzi tutti i simboli esistenti nel <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_numerazione_romano" target="_blank">sistema di numerazione romano</a></u> tranne la M (che corrisponde a 1000).</span></div><div><span style="text-align: center;">Altra peculiarità notevole consiste nel fatto che 666 è nientemeno che la <b><span style="color: red;">somma dei quadrati dei primi sette numeri primi</span></b>:</span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjj1S8jfXbrxMCkUqf3_1bntMWghScXWk6EEqUW_xh--jBj8ffOoBfk4SnEuH3fyh-cqEJrxTuhdvwOy9r0hxMsfDppBEhQ_8fcaXigZR1NtrdsxQjg9pIOzLkitBl34BEN6odWBe_HPgsW-TfBDGuFw6-shR11JSxkijhuQC3pPYhVtUDfP19czoqVVA/s650/Screenshot%202023-05-09%20alle%2007.32.35.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="72" data-original-width="650" height="35" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjj1S8jfXbrxMCkUqf3_1bntMWghScXWk6EEqUW_xh--jBj8ffOoBfk4SnEuH3fyh-cqEJrxTuhdvwOy9r0hxMsfDppBEhQ_8fcaXigZR1NtrdsxQjg9pIOzLkitBl34BEN6odWBe_HPgsW-TfBDGuFw6-shR11JSxkijhuQC3pPYhVtUDfP19czoqVVA/s320/Screenshot%202023-05-09%20alle%2007.32.35.png" width="320" /></a></div><br /><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"> </span></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><span style="text-align: center;">Insomma dal punto di vista numerico 666 nasconde molte curiosità.</span></div><div><span style="text-align: center;">Sussiste poi un meme online basato sulla radice quadrata di 666, cioè </span><b><span style="color: red;">25.80697...</span></b> (un numero irrazionale), il quale afferma: "se 666 è considerato malvagio, allora, tecnicamente, 25.80697 è la radice di tutti i mali?". </div><div><span style="text-align: center;">Usciamo ora dall'ambito prettamente matematico e osserviamo dove possiamo ritrovare il numero 666:</span></div><div><ul style="text-align: left;"><li>In fisica, in modo approssimato, esso corrisponde alla <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Massa_molare" target="_blank">massa molare</a></u> di un <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Superconduttivit%C3%A0_ad_alte_temperature" target="_blank">superconduttore ad alta temperatura</a></u>: l'<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Ossido_di_ittrio_bario_e_rame" target="_blank">ossido di ittrio bario e rame</a></u> <b><span style="color: red;">YBa<sub style="font-size: 11.2px; line-height: 1;">2</sub>Cu<sub style="font-size: 11.2px; line-height: 1;">3</sub>O<sub style="font-size: 11.2px; line-height: 1;">7</sub></span></b>.</li><li>In astronomia, <b><span style="color: red;">NGC 666</span></b> è una galassia a spirale della costellazione del Triangolo.</li></ul><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbICNkoZvwk2pwnUgxZcEgiQnSCX9G0Eb9XAIvXe33w9DSm2Vzly-vw3C39gPtzFq87rDsTkt6Hzg7eFX8DutsaAKONH2pnADk4GI01FBQcqOyKu99KkleYv2R1htfcVh8B34nTXEHJ4KF6_TjVxz3mZvnyiM9UZooHNlmedwEIAoRnr96YxLTAxRCfw/s1119/NGC_0666_DSS.jpg" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="785" data-original-width="1119" height="280" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbICNkoZvwk2pwnUgxZcEgiQnSCX9G0Eb9XAIvXe33w9DSm2Vzly-vw3C39gPtzFq87rDsTkt6Hzg7eFX8DutsaAKONH2pnADk4GI01FBQcqOyKu99KkleYv2R1htfcVh8B34nTXEHJ4KF6_TjVxz3mZvnyiM9UZooHNlmedwEIAoRnr96YxLTAxRCfw/w400-h280/NGC_0666_DSS.jpg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Immagine realizzata da Donald Pelletier, tratta da <u><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q1038087#/media/File:NGC_0666_DSS.jpg" target="_blank">qui</a></u></i></td></tr></tbody></table><br /><div><br /></div></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><div><span style="text-align: center;"><br /></span></div><br /><div><br /></div><div><ul style="text-align: left;"><li>Sempre in astronomia, <b><span style="color: red;">666 Desdemona</span></b> è un asteroide della fascia principale del sistema solare.</li><li><b><span style="color: red;">666 Fifth Avenue</span></b> (attualmente ridenominato 660 Fifth Avenue) è un imponente edificio di New York che è stato acquistato nel 2007 per 1.8 miliardi di dollari, divenendo così l'affare immobiliare più costoso nella storia della città statunitense "che non dorme mai". Di seguito una bella immagine dell'edificio tratta da <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/660_Fifth_Avenue#/media/File:5_Av_Dec_2022_148_(cropped).jpg" target="_blank">Wikipedia</a></u>. </li></ul></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRRBpFOGX5nbiHEfgCsYH5d3wHoNLv53Y5nO885dIddmkfXZDfvRTg-Se6TH6ltr2lNYaaCWr0RQWixxmZF6Lv8onQ1r-3zYcMAtfDxGs6vkVY1IIh00es2Us6hS5rSyRAjWFFiz4snGbPbzEexTO8USBDdsez5lR0jQuIKSNBMb20fkeqfeIC6kuKkg/s1919/5_Av_Dec_2022_148_(cropped).jpg" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1919" data-original-width="1280" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRRBpFOGX5nbiHEfgCsYH5d3wHoNLv53Y5nO885dIddmkfXZDfvRTg-Se6TH6ltr2lNYaaCWr0RQWixxmZF6Lv8onQ1r-3zYcMAtfDxGs6vkVY1IIh00es2Us6hS5rSyRAjWFFiz4snGbPbzEexTO8USBDdsez5lR0jQuIKSNBMb20fkeqfeIC6kuKkg/s320/5_Av_Dec_2022_148_(cropped).jpg" width="213" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td></tr></tbody></table><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div>In conclusione non può mancare la musica e non possiamo non segnalare il brano (che dà il nome pure all'omonimo album), datato 1982, del gruppo heavy metal britannico <b><span style="color: red;">Iron Maiden</span></b>, intitolato <i><b><span style="color: red;">The Number of the Beast</span></b>.</i></div><div><br /></div></div> <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/_WCCVqkTI9Q" title="YouTube video player" width="410"></iframe><div><br /></div><div>Abbiamo iniziato il post con riferimenti a <i>Diablo IV</i>, dunque trovo giusto terminarlo con la meravigliosa colonna sonora del videogame stesso, in particolare quella che fa da sottofondo all'importante città <b><span style="color: red;">Kyovashad</span></b>, presente nell'atto I della storia (che è stato giocabile nella versione beta).</div><div> </div> <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/LNcdrx12zzE" title="YouTube video player" width="410"></iframe></div><div><br /></div><div><i><span style="color: red;">All hail mother Lilith</span></i><span style="color: red;">!</span> 😈</div>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-29353102597002757882023-04-12T09:40:00.000+02:002023-04-12T09:40:59.502+02:00JOHN VENN E I SUOI DIAGRAMMI<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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Se doveste chiedere ad un passante di parlare almeno 30 secondi riguardo ad Einstein, Pitagora, Newton o Gauss ci sarebbe una discreta probabilità che qualche minima parola su un aneddoto biografico, citazione o contributo più particolare che li riguarda venga fuori.<div>Se, invece, chiedeste di parlare di <b><span style="color: #2b00fe;">John Venn </span></b>sono abbastanza convinto che nel migliore (e forse raro) dei casi, a meno che non becchiate un vero appassionato di matematica, la risposta sarebbe "Ah Venn, forse quello dei diagrammi con gli insiemi" e stop!</div><div>Trovo abbastanza singolare che di un matematico (ma anche logico e filosofo) che abbia introdotto un concetto così essenziale e semplice (almeno nelle sue fondamenta), tanto da essere studiato ancora oggi generalmente sin dalla prima media, si sappia, ad eccezione degli esperti o patiti di storia della matematica, praticamente nulla.</div><div>Questo post sarà incentrato dunque sulla biografia di Venn e poi su qualche aspetto più particolare riguardante i celebri diagrammi.</div><div>Innanzitutto, per chi non ricordasse molto riguardo i diagrammi di Venn e le operazioni insiemistiche basilari, ecco di seguito un buon video riassuntivo presente sul canale YouTube di <u><a href="https://www.youtube.com/c/agostinoperna" target="_blank">Agostino Perna</a></u>. </div><div><br></div> <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/SEpPuIFpX9A" title="YouTube video player" width="490"></iframe><div><br></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjkgqucXhXVUKQwiXY6WDQZQnGZW_UpbI0hgjHRo4u7nzneQgXCQ5ChhwKCh68YEJLYrTRTfQ14vsVqz4ZH5xtxHRsCCTnf_qC_yDPsNUU6jKRzNwQRw20-Eb8ZOvG023onqlN-fjI2sBIQa0HOiqt_CYQ5FsVkeHHfm5h1upBTYbTKmp2pP4IDwvB7A/s598/440px-John_Venn_2.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="598" data-original-width="440" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjkgqucXhXVUKQwiXY6WDQZQnGZW_UpbI0hgjHRo4u7nzneQgXCQ5ChhwKCh68YEJLYrTRTfQ14vsVqz4ZH5xtxHRsCCTnf_qC_yDPsNUU6jKRzNwQRw20-Eb8ZOvG023onqlN-fjI2sBIQa0HOiqt_CYQ5FsVkeHHfm5h1upBTYbTKmp2pP4IDwvB7A/w147-h200/440px-John_Venn_2.jpg" width="147"></a></div>Siamo ora pronti per tornare nell'Inghilterra del XIX secolo e scoprire la vita di Venn.<br><b style="background-color: #fcff01;">John Venn nacque il 4 agosto 1834 nella città portuale inglese Kingston upon Hull (o semplicemente Hull)</b>. Aveva una sorella, Henrietta, nata quasi 2 anni prima, nello specifico l'8 ottobre 1832.</div><b><span style="color: #45818e;">La madre, Martha Sykes, morì nel 1840, quando il bimbo era ancora molto piccolo. </span></b><div>Per quanto concerne <b><span style="color: #b45f06;">il padre</span></b>, il reverendo <b><span style="color: #b45f06;">Henry Venn</span></b>, questi era il rettore della parrocchia di Drypool, vicino a Hull, ai tempi della nascita del figlio.</div><div>È interessante notare come la famiglia Venn provenisse da una <b><span style="color: #ff00fe;">lunga eredità gemella di natura clericale ed evangelica</span></b>.</div><div>Infatti il nonno paterno, anch'esso chiamato <b><span style="color: #7f6000;">John Venn</span></b>, fu ministro alla famosa confraternita nota come <b style="background-color: white;"><span style="color: #e06666;">Clapham Sect</span></b>; un altro <b><span style="color: #674ea7;">Henry Venn</span></b>, suo bisnonno, fu l'autore di <i>The Complete Duty of Man</i>, un trattato del XVIII secolo che per molte generazioni costituì un manuale pratico fondamentale per il sistema evangelico dei valori cristiani.<br><div>Più o meno all'epoca della nascita del futuro matematico, suo padre Henry Venn aggiunse due sermoni alla biografia del proprio nonno (scritta da John Venn di Clapham, ma lasciata incompiuta), sermoni che hanno ulteriormente stabilito l'importanza della religione di famiglia e le responsabilità religiose reciproche di tutti i membri della famiglia.</div><div>Con una premessa del genere è lecito aspettarsi che il nostro John ricevette un'educazione molto rigorosa ed indirizzata in prospettiva di un futuro percorso sacerdotale<br>Egli frequentò prima la Sir Roger Cholmley's School di Highgate, poi la Islington Preparatory School, una scuola privata.</div><b style="background-color: #01ffff;">Durante la prima metà dei suoi circa 6 anni trascorsi a scuola</b>, ossia tra il 1846 e il 1853, <b style="background-color: #01ffff;">Venn non fu proprio uno studente modello</b>: era inattivo, aveva cattivi compagni, non mostrava nessun interesse per nessuna materia e restò in una classe bassa nonostante il livello di rendimento della scuola fosse tutt'altro che alto.<div><b><span style="color: #741b47;">In un giorno d'estate del 1850 Venn cominciò ad interessarsi all'algebra e ben presto fece straordinari progressi in matematica</span></b>, arrivando a leggere una quantità di testi decisamente fuori dal comune per un normale studente.</div><div>Tuttavia gli stimoli esterni per continuare in tale direzione non furono molti, giacché non aveva concorrenti che sfidassero il suo talento matematico e nessuno degli alunni più grandi sembrava mostrare alcun interesse per la materia.</div><div>Il suo nuovo zelo accademico non passò però inosservato. Ne conseguì infatti un suo trasferimento alle classi superiori, ove strinse peraltro amicizie durature.</div><div>Per completezza va detto che, accanto all'istruzione formale appena descritta,<b><span style="color: #e06666;"> Venn ricevette anche una notevole "istruzione informale"</span></b>, a casa, da parte di insegnanti privati.</div><div><b style="background-color: #fcff01;">Quando Venn fu ammesso al Gonville and Caius College il 25 giugno 1853, e immatricolato a Cambridge nell'ottobre dello stesso anno, rappresentò l'ottava generazione della dinastia dei Venn a conquistare l'accesso all'università.</b></div><div>Dopo aver vinto una borsa di studio in matematica al secondo anno di studi, <b><span style="color: #2b00fe;">si laureò</span></b> (a seguito di una prova che consistette in circa 27 ore di risoluzione di 113 problemi) <b><span style="color: #2b00fe;">come "sixth Wrangler" nei Mathematical Tripos del 1857</span></b>, ovvero si classificò al sesto posto tra quegli studenti che avevano conseguito una laurea di prima classe in matematica.</div><div><div>Durante i suoi anni universitari le simpatie evangeliche di Venn, coltivate all'interno della casa di famiglia e ancorate dal timore reverenziale e dal rispetto che provava nei confronti di suo padre, rimasero saldamente al loro posto.</div><div>Alla fine degli anni '50 Venn apparteneva ancora al partito evangelico anche se a quel tempo si era fatto altri amici al di fuori delle loro fila, con i quali era solito trascorrere molto tempo.</div></div><div>Inoltre, <b><span style="color: #783f04;">poco dopo essersi laureato, venne eletto Fellow del Gonville and Caius College, dopodiché, nei 2 anni successivi, fu ordinato sacerdote. </span></b></div><div>Già nel 1858 era stato ordinato diacono a Ely, poi, dopo la sua ordinazione sacerdotale, aveva prestato servizio dapprima come curato a Cheshunt, nell'Hertfordshire, e successivamente per un anno come curato a Mortlake, Surrey.</div><div>E giungiamo così al <span style="background-color: white;">1862</span>. È sicuramente curioso notare come, a differenza di alcuni dei suoi contemporanei più prodigiosi che produssero i loro primi articoli da studenti, <b><span style="color: red;">all'età di 27 anni Venn non aveva scritto nulla, né per uso privato né per la pubblicazione, a parte lettere settimanali e sermoni.</span></b></div><div>Tuttavia, ad un certo punto, nel 1861, Venn decise di approfondire circa una questione che lo aveva colpito due anni prima durante la <b><span style="color: #3d85c6;">lettura del libro VI ("Sulla logica delle scienze morali") dell'opera, datata 1843, <i>Sistema di logica raziocinativa e induttiva</i><span face=""GT America Standard", Helvetica, "Helvetica Neue", Arial, "Segoe UI", Roboto, "Droid Sans", sans-serif" style="font-size: 14px; font-style: italic; letter-spacing: -0.32px;">, </span>in cui <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/John_Stuart_Mill" target="_blank">John Stuart Mill</a></u> discuteva della "possibilità astratta di una scienza della sociologia, e in particolare di predire il corso delle azioni umane"</span></b>.</div><div>Tale ricerca si concretizzò appunto nella prima opera pubblicata, proprio nel <b style="background-color: #fcff01;">1862</b>, da Venn, cioè <i><b><span style="color: #ff00fe;">Science of History</span></b></i>.</div><div>Sempre in quell'anno lo studioso fece ritorno all'Università di Cambridge come docente di scienze morali, studiando e insegnando logica e teoria della probabilità.</div><div>Oltre al sopracitato trattato di Mill, Venn si era interessato in quegli anni alla logica, filosofia e metafisica, leggendo le opere pure di De Morgan, Boole (di lui abbiamo parlato <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2013/11/george-boole-e-la-sua-algebra-della.html" target="_blank">qui</a></u>) e John Austin.</div>Nel primo periodo da docente universitario Venn era preoccupato di non riuscire ad attirare studenti verso le sue lezioni sulle scienze morali e dubitava delle proprie abilità nell'insegnamento.<br>Ma presto, in particolare <b style="background-color: #04ff00;">a partire dal 1867, le cose cambiarono in suo favore, ottenendo addirittura il permesso di accettare studenti di altri college alle sue lezioni</b>.<br>Nel 1867 anche la vita privata del matematico ricevette un bello scossone: sposò infatti <b><span style="color: red;">Susanna Carnegie Edmonstone</span></b>, la figlia del reverendo Charles Edmonstone. <br>La coppia ebbe un figlio, <b><span style="color: #2b00fe;">John Archibald Venn (1883-1958)</span></b>, che divenne presidente del Queen's College di Cambridge nel 1932 e collaborò col padre alla redazione dell'opera in 10 volumi (pubblicati tra 1922 e 1953) <i><b><span style="color: #45818e;">Alumni Cantabrigienses</span></b></i>, ossia un registro biografico degli ex membri dell'Università di Cambridge.</div><span></span><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2023/04/john-venn-e-i-suoi-diagrammi.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-70957087774979971182023-02-09T11:44:00.003+01:002023-02-09T12:51:19.111+01:00LA SCOPERTA DEI BOSONI W e Z<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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Solo pochi giorni fa, il<b style="background-color: #fcff01;"> 25 gennaio</b>, si celebrava il <b style="background-color: #fcff01;">quarantennale della scoperta del bosone W</b> (<u><a href="https://home.cern/news/news/physics/w-boson-turns-40" target="_blank">qui</a></u> il relativo post celebrativo del CERN).<div>Nel presente post vorrei dunque provare a presentare in maniera accessibile per tutti un pochino più in dettaglio la scoperta dei bosoni W e Z, mediatori dell'interazione debole.</div><div>Ovviamente la prima questione da chiarire è cosa sia l'interazione debole.</div><div>Dovreste ben sapere che <b><span style="color: #38761d;">in natura esistono 4 interazioni fisiche fondamentali</span></b>: gravitazionale, elettromagnetica, forte e debole.</div><div>La <b><span style="color: #0b5394;">gravità</span></b> è allo stesso tempo quella più conosciuta anche ai profani e quella più problematica per i fisici.</div><div>Infatti la teoria moderna della gravità non solo è molto complessa (trattasi della relatività generale di Einstein, matematicamente fondata sul <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_tensoriale" target="_blank">calcolo tensoriale</a></u> sviluppato da Ricci Curbastro e Levi-Civita), ma è difficile da far conciliare con l'altro grande pilastro della fisica moderna, ovvero la meccanica quantistica.</div><div><b><span style="color: red;">Al momento una teoria della gravità quantistica sperimentalmente verificata non esiste!</span></b></div><div><b><span style="color: red;"><br /></span></b></div><div><b><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKGToM9lG5fWpaNS6Ozu2r_LHMUMH9IYyWv-FX5QUvdFQaZPrArQJjFe0aUm5cTJ8K97rFiZ5W75aUmtG9xVG_l6M4O4fGvhL9D53ZoY_AL7yE7Uzyj9Mo3J-lOHFSYsEROavIqERBgL8FCbs2qUoCa0rhmX-wAEcTo6fpjyF2dVVNlqYTBtTYnQuXEg/s812/newton-iphone.jpeg" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="812" data-original-width="600" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKGToM9lG5fWpaNS6Ozu2r_LHMUMH9IYyWv-FX5QUvdFQaZPrArQJjFe0aUm5cTJ8K97rFiZ5W75aUmtG9xVG_l6M4O4fGvhL9D53ZoY_AL7yE7Uzyj9Mo3J-lOHFSYsEROavIqERBgL8FCbs2qUoCa0rhmX-wAEcTo6fpjyF2dVVNlqYTBtTYnQuXEg/s320/newton-iphone.jpeg" width="236" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Immagine presa da: <u><a href="https://bit.ly/40Kpd52">https://bit.ly/40Kpd52</a></u></i></td></tr></tbody></table></b><div><br /></div><div>Poi abbiamo <b><span style="color: #7f6000;"> l'interazione elettromagnetica</span></b>, che riunisce insieme tutti i fenomeni elettrici e magnetici grazie alle note e fondamentali equazioni di Maxwell.</div></div><div><br /></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqKCmOffj5o_DMeZbyLDaJ4FqZhAzh_XYqgFIygOcPpZoYS28vinBqy8J4LiQOi3t4CeWWYMaG2ZZkVyOg_oCn-yW515mGpnex2euRnZLKn8wRLZ-l31olTFzFjhkPrq3PZMyyarKZwFgyHn8BDrlXJdEI3WoxiHEBuJQf9fJGDUcg_-1KQDkKK7TaQA/s175/maxwell.png" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="137" data-original-width="175" height="137" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqKCmOffj5o_DMeZbyLDaJ4FqZhAzh_XYqgFIygOcPpZoYS28vinBqy8J4LiQOi3t4CeWWYMaG2ZZkVyOg_oCn-yW515mGpnex2euRnZLKn8wRLZ-l31olTFzFjhkPrq3PZMyyarKZwFgyHn8BDrlXJdEI3WoxiHEBuJQf9fJGDUcg_-1KQDkKK7TaQA/s1600/maxwell.png" width="175" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Equazioni di Maxwell<br />in assenza di sorgenti.</i></td></tr></tbody></table><br /><div><b><span style="color: #674ea7;">L'interazione forte</span></b> è invece quella che, per esempio, fa da "collante" tra protoni e neutroni e dunque tiene assieme i nuclei atomici. Come suggerisce il nome stesso, è la più intensa tra le 4 interazioni fondamentali.</div><div><br /></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZ_O_LqJ7_7bcfFi9pyF-XP2GMgCt2YWp-PIhRn1acE6HVoz5SQ7N00xTIxecvzIWtLQAjMZZGDX0dBNwLoT4OiJblXWSJwSKj7EQkIzHqQyOtKgRqYIM5b_-wSICYHDXD1oMMZBU6I1aGEhHvNsCSYHH3oPDWIBlkwxuReBLWTD2zGMt-Dmldza9pRw/s888/Nuclear_force.png" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="603" data-original-width="888" height="217" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZ_O_LqJ7_7bcfFi9pyF-XP2GMgCt2YWp-PIhRn1acE6HVoz5SQ7N00xTIxecvzIWtLQAjMZZGDX0dBNwLoT4OiJblXWSJwSKj7EQkIzHqQyOtKgRqYIM5b_-wSICYHDXD1oMMZBU6I1aGEhHvNsCSYHH3oPDWIBlkwxuReBLWTD2zGMt-Dmldza9pRw/s320/Nuclear_force.png" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Immagine tratta da: <u><a href="https://bit.ly/3HL4hCw">https://bit.ly/3HL4hCw</a></u></i></td></tr></tbody></table><u><br /></u><div><u><br /></u></div><div><u><br /></u></div><div><u><br /></u></div><div><u><br /></u></div><div><u><br /></u></div><div><u><br /></u></div><div><u><br /></u></div><div><u><br /></u></div><div><u><br /></u></div><div><u><br /></u></div><div><u><br /></u></div><div><br /></div><div><br /></div><div>Ultima, ma non per questo meno importante, è <b><span style="color: #ff00fe;">l'interazione debole</span></b>.</div><div>In parole povere, è quel tipo di "forza" che è responsabile dei decadimenti radioattivi degli atomi.</div><div>La seguente immagine, tratta da <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_decay" target="_blank">Wikipedia</a></u>, illustra per esempio il decadimento beta di un neutrone dovuto proprio all'interazione debole.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkxaC6ZcnQi3ago9m1vvZ1KxJbDn5mAzg_k1Ppjcv5_DpY4LuUFDvKtRfezRiN99swom2PYec-TJH1t-fIXPcbrBf6OI_TX5JYEmRh0QYNy4WF9gz7N4K6lU6yWGXN2It0995OAMjjIhUACq1gAHEMHVInfG_fbGpZM505JwaAi39vPA4xykr4HalQXQ/s440/440px-Beta-minus_Decay.svg.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="299" data-original-width="440" height="217" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkxaC6ZcnQi3ago9m1vvZ1KxJbDn5mAzg_k1Ppjcv5_DpY4LuUFDvKtRfezRiN99swom2PYec-TJH1t-fIXPcbrBf6OI_TX5JYEmRh0QYNy4WF9gz7N4K6lU6yWGXN2It0995OAMjjIhUACq1gAHEMHVInfG_fbGpZM505JwaAi39vPA4xykr4HalQXQ/s320/440px-Beta-minus_Decay.svg.png" width="320" /></a></div><br /><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div>Per capire meglio, sottolineiamo immediatamente che nell'ambito della fisica delle particelle esistono <b><span style="color: #2b00fe;">3 tipologie fondamentali di reazioni</span></b>:</div><div><br /></div><div>1) <b><span style="color: #783f04;">reazioni di scattering elastico</span></b>: <b style="background-color: #01ffff;">lo stato iniziale della reazione coincide con lo stato finale</b>. Un esempio è dato da: $e^{-} + p \rightarrow e^{-} + p$. Ciò significa che l'interazione tra un elettrone $e^{-}$ ed un protone $p$ ha prodotto un elettrone $e^{-}$ ed un protone $p$. </div><div><br /></div><div>2) <b><span style="color: #45818e;">reazioni di tipo inelastico</span></b>: <b style="background-color: #01ffff;">le particelle prodotte nello stato finale non coincidono con quelle iniziali</b>. Ad esempio: $\nu_{e} + n \rightarrow e^{-} + p$. Tradotto in parole significa che l'interazione tra un neutrino elettronico $\nu_{e}$ ed un neutrone $n$ va a produrre un elettrone $e^{-}$ ed un protone $p$. Notate bene la <b><span style="color: #38761d;">conservazione della carica elettrica</span></b> sussistente tra lo stato iniziale (neutrino e neutrone entrambe particelle con carica nulla) e quello finale (elettrone con carica negativa e protone con carica positiva, e dunque complessivamente il sistema ha carica nulla).</div><div><br /></div><div>3) <b><span style="color: #800180;">decadimenti</span></b>: qui abbiamo <b style="background-color: #01ffff;">una singola particella come stato iniziale che decade in varie particelle nello stato finale</b>. Per esempio $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}_e$, che denota il fatto che un neutrone $n$ può decadere producendo un protone $p$, un elettrone $e^-$ ed un antineutrino elettronico $\bar{\nu}_e$ (come illustrato dall'immagine di cui sopra).</div><div><br /></div><div>Ovviamente un modo davvero utile di rappresentare le interazioni fra particelle è costituito dai famosi <b><span style="color: red;">diagrammi di Feynman</span></b> e dalle relative <b><span style="color: #b45f06;">regole di Feynman</span></b> che consentono di comprendere immediatamente, dalla sola osservazione dei diagrammi, alcune delle grandezze essenziali in gioco, specialmente per il calcolo dell'<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Ampiezza_di_probabilit%C3%A0" target="_blank">ampiezza di probabilità</a></u> e del suo modulo quadro, che consente di comprendere un'altra grandezza fondamentale come la <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/11/scattering-rayleigh-e-scattering-thomson.html" target="_blank">sezione d'urto</a></u>.</div><div>Non entreremo tuttavia nei dettagli di questi aspetti, che dal punto di vista teorico possono essere ricavati esplicitamente grazie alla <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_quantistica_dei_campi" target="_blank">teoria quantistica dei campi</a></u>.</div><div><br /></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEOsbRLOKxe9HVDy5j1B11PkF0RWk18uST3z5YY-PBmG3xlowGGztNHdzzshkruz3bPpNJfm-nTvIUGvik-UupCSRHJmL1zwFUF0O03VSrUG05rWz9pd9RptsVnX_WOmPzyaaIa6tXUYU8Psyi86eddqJwbsfqmU0m3nSZAztvM6fR6Upct8IXK0azeg/s1280/CQWy97ZUkAAmeUI.jpeg" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="800" data-original-width="1280" height="250" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEOsbRLOKxe9HVDy5j1B11PkF0RWk18uST3z5YY-PBmG3xlowGGztNHdzzshkruz3bPpNJfm-nTvIUGvik-UupCSRHJmL1zwFUF0O03VSrUG05rWz9pd9RptsVnX_WOmPzyaaIa6tXUYU8Psyi86eddqJwbsfqmU0m3nSZAztvM6fR6Upct8IXK0azeg/w400-h250/CQWy97ZUkAAmeUI.jpeg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Illustrazione di alcuni diagrammi di Feynman e <br />processi in fisica delle particelle nella serie tv "The Big Bang Theory".</i></td></tr></tbody></table><i><br /></i><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><i><br /></i></div><div><br /></div><div><br /></div><div>Ora che abbiamo chiarito brevemente la questione interazioni fondamentali e reazioni, dobbiamo per forza di cosa aggiungere che ciascuna delle interazioni fondamentali è mediata da delle particelle note come <b><span style="color: #2b00fe;">bosoni di gauge</span></b>.</div><div>Per quanto riguarda la gravità il corrispettivo bosone resta ancora ipotetico ed è chiamato <b><span style="color: #e06666;">gravitone</span></b> (e si ipotizza abbia <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spin" target="_blank">spin</a></u> 2). </div><div>Le restanti 3 interazioni fondamentali sono mediate da bosoni aventi <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spin">spin</a></u> 1 (avevamo dato un'introduzione molto basilare al concetto di spin, insieme ad altre cose, <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2013/04/carnevale-della-fisica-42-personaggi-e.html" target="_blank">qui</a></u>).</div><div>Nello specifico l'interazione elettromagnetica è mediata dal famoso <b><span style="color: #bf9000;">fotone</span></b>, l'interazione forte dal <b><span style="color: #783f04;">gluone</span></b>, mentre per quanto concerne l'interazione debole abbiamo proprio i <b><span style="color: #0b5394;">bosoni W e Z</span></b>.</div><div><b><span style="color: red;">C'è un dettaglio non da poco che subito distingue tali bosoni: la massa!</span></b></div><div>Infatti <b style="background-color: #04ff00;">mentre fotoni e gluoni non hanno massa, i bosoni W e Z sono particelle massive</b>.</div><div>E tutto ciò ha delle implicazioni notevoli anche per quanto concerne il cosiddetto <b><span style="color: #ff00fe;">"range" $R$</span></b> di tali interazioni, che possiamo definire come</div><div><br /></div><div>$R = \frac{1}{M_X}$</div><div><br /></div><div>in cui $M_X$ rappresenta la massa della particella mediatrice dell'interazione, e in cui abbiamo assunto, per semplicità, l'uso delle <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A0_naturali" target="_blank">unità di misura naturali</a></u>, ovvero abbiamo considerato sia la velocità della luce $c$, sia la costante di Planck ridotta $\hbar$ pari ad 1, dunque non esplicitamente presenti nella formula sopra riportata.</div><div>È pertanto facile notare che <b><span style="color: #45818e;">se assumiamo che $M_X = 0$ (come nel caso del fotone e del gluone) otteniamo delle interazioni aventi range infinito (almeno teoricamente), mentre se $M_X$ è diversa da 0 l'interazione ha un range finito, che è proprio il caso dell'interazione debole.</span></b></div><div>Nello specifico il range della suddetta interazione è pari a circa $2 \times 10^{-3}$ fm, ove con fm indichiamo i femtometri (1 fm = $10^{-15}$ m).</div><div>Aggiungiamo poi che la scoperta dei bosoni W e Z è stata una vera e propria pietra miliare a conferma del modello teorico dell'<b><span style="color: #351c75;">unificazione elettrodebole</span></b> per cui <b style="background-color: #fcff01;">Glashow, Salam e Weinberg vinsero il Nobel per la fisica nel 1979</b>.</div><div>Questi prodigiosi fisici mostrarono che, <b><span style="color: red;">almeno ad elevate energie, l'interazione elettromagnetica e quella debole non sono altro che due facce della stessa medaglia, ossia l'interazione elettrodebole</span></b>, un po' come (principalmente) Faraday e Maxwell dimostrarono sperimentalmente e matematicamente che fenomeni elettrici e magnetici potessero essere descritti complessivamente grazie alla teoria dell'elettromagnetismo. </div><div>L'idea primordiale di indagare sull'esistenza dei bosoni W e Z risale al <b style="background-color: #fcff01;">1976</b>, anno in cui <b style="background-color: #fcff01;">David Cline, Peter McIntyre e Carlo Rubbia proposero di convertire gli esistenti acceleratori di protoni in collisori protoni $p$ ed antiprotoni $\bar{p}$</b>, nella speranza di produrre appunto i bosoni massivi predetti dalla teoria elettrodebole.</div><div>Chi fosse rimasto sino ad ora confuso da concetti come quello di antiprotone appena menzionato, ovvero l'antiparticella del protone, legga (<u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2022/11/la-scoperta-del-positrone.html" target="_blank">cliccando qui</a></u>) il recente post che abbiamo pubblicato riguardo all'emergere teorico del concetto di antiparticella dall'equazione di Dirac e alla scoperta sperimentale della prima antiparticella nota, il positrone, cioè l'antiparticella dell'elettrone.</div><div>Specifico ora che quelli che finora ho chiamato bosoni W e Z sono complessivamente 3:</div><div><br /></div><div>1) <b><span style="color: #674ea7;">bosone $Z^0$</span></b>, avente carica elettrica nulla;</div><div>2) <b><span style="color: #e69138;">bosone $W^+$</span></b>, avente carica elettrica positiva;</div><div>3) <b><span style="color: #a64d79;">bosone $W^-$</span></b>, avente carica elettrica negativa.</div><div><br /></div><div>Oggi sappiamo che tali particelle sono <b><span style="color: #38761d;">altamente instabili</span></b> e vennero prodotte grazie alle seguenti reazioni:</div><div><br /></div><div>$p + \bar{p} \rightarrow W^{+} + X^{-}$</div><div>$p + \bar{p} \rightarrow W^{-} + X^{+}$</div><div>$p + \bar{p} \rightarrow Z^0 + X^0$,</div><div><br /></div><div>in cui $X^{\pm}$ e $X^0$ denotano stati adronici arbitrari permessi dalle leggi di conservazione.</div><div>Per chi se lo stesse chiedendo, un <b><span style="color: red;">adrone</span></b> è ovviamente una particella, ma non è una particella elementare (ovvero senza una struttura interna), bensì una particella composta da altre particelle, che possono essere <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Quark_(particella)" target="_blank">quark</a></u> (che invece sono particelle elementari) ed antiquark. </div><div>Nello specifico, esistono 2 famiglie fondamentali in cui dividiamo gli adroni:</div><div><br /></div><div>1) i <b><span style="color: #0b5394;">barioni</span></b>, composti da almeno 3 quark (e comunque sempre aventi un numero dispari di particelle costituenti). Di questa categoria fanno parte anche i protoni ed i neutroni.</div><div>2) i <b><span style="color: #ff00fe;">mesoni</span></b>, formati da un quark e da un antiquark. Esempi famosi sono i <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Pione" target="_blank">pioni</a></u> e i <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Kaone" target="_blank">kaoni</a></u>.</div><div><br /></div><div> <div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpYvO2tWx3irhpVZ7eFIuMqoY3ENm28P7N1Yg9yJXWoSr_H_F621HkiHo4Idlc0ArdCmkvJ_rO2Q85jTDfqiMKOKFfFw26WTEpBEBwp4oS3CR09IwrN6T9N64uu5HO1i3hhYXEzmZjOk9qgmbDAaCZLiubUUlFjlVnpSIxLSF6MSJilXAX2MqQrqymOw/s512/adroni.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="370" data-original-width="512" height="231" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpYvO2tWx3irhpVZ7eFIuMqoY3ENm28P7N1Yg9yJXWoSr_H_F621HkiHo4Idlc0ArdCmkvJ_rO2Q85jTDfqiMKOKFfFw26WTEpBEBwp4oS3CR09IwrN6T9N64uu5HO1i3hhYXEzmZjOk9qgmbDAaCZLiubUUlFjlVnpSIxLSF6MSJilXAX2MqQrqymOw/s320/adroni.png" width="320" /></a></div><br /></div><div> </div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div>Come già detto all'inizio del post, sono passati 40 anni dal rilevamento sperimentale, nel <b style="background-color: #fcff01;">1983</b>, dei bosoni mediatori dell'interazione debole.</div><div>Vennero sfruttati i seguenti corrispondenti decadimenti (molto generali) in leptoni:</div><div><br /></div><div>$W^+ \rightarrow l^+ + {\nu}_l$</div><div>$W^- \rightarrow l^- + \bar{\nu}_l$</div><div>$Z^0 \rightarrow l^+ + l^-$</div><div><br /></div><div>Specifichiamo che i <b><span style="color: #45818e;">leptoni</span></b> sono una famiglia di particelle elementari (ed osservabili) che comprendono il ben noto elettrone, il <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Muone" target="_blank">muone</a></u>, il <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Tauone" target="_blank">tauone</a></u> e i corrispettivi neutrini. Dunque nelle reazioni qui sopra $l$ può denotare indifferentemente $e, \mu, \tau$. </div><div>2 esperimenti indipendenti vennero allestiti al CERN a partire dal 1981: <b><span style="color: #b45f06;">UA1 e UA2</span></b>, acronimi che provengono da "underground area", cioè "area sotterranea".</div><div>In entrambi gli esperimenti, fasci di protoni ed antiprotoni furono condotti insieme in una zona di intersezione che giace al centro di un gigantesco e molto complesso sistema di rilevamento.</div><div>Nello specifico, tenendo a riferimento UA1, i componenti principali di questo apparato erano:</div><div><br /></div><div>1) un <b><span style="color: #a64d79;">"tracking detector" centrale</span></b>: usato al fine di osservare le particelle cariche e misurare il loro momento a partire dalla curvatura delle tracce in un campo magnetico applicato;</div><div>2) una <b><span style="color: #7f6000;">serie di contatori di cascata elettromagnetica</span></b>: assorbono e rivelano sia elettroni (osservati anche dal rivelatore centrale) che fotoni (non osservati dal rivelatore centrale); </div><div>3) una <b><span style="color: red;">serie di calorimetri adronici</span></b>: assorbono e rivelano adroni sia carichi sia neutri;</div><div>4) una <b><span style="color: #134f5c;">serie di contatori per l'identificazione dei muoni</span></b>: questi sono le uniche partielle cariche che riescono a penetrare i calorimetri adronici.</div><div><br /></div><div>Di seguito una rappresentazione schematica di quanto appena illustrato tratta dal testo <i>Particle Physics</i> di B.R. Martin e G. Shaw.</div><div style="text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhA8aivgDK_tIGyWSJWvCFUAgxQe_ffFYIq5XrlzD7JxDn8dbulf7T6A6fLWOzMb8Q-1qBteApW1OuTeN7wuRuOH772yrrkTn5lWmaSxB2953QXsuKwNakVBramQiaA7XA8RqTZa7qUXTliU4HSuQ_8DDvgpW36HfXxfjV1DmY95IHqXl_bDFNbKkWJnA/s952/Schermata%202023-02-09%20alle%2010.01.51.png" style="clear: left; margin-bottom: 1em;"><img border="0" data-original-height="952" data-original-width="402" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhA8aivgDK_tIGyWSJWvCFUAgxQe_ffFYIq5XrlzD7JxDn8dbulf7T6A6fLWOzMb8Q-1qBteApW1OuTeN7wuRuOH772yrrkTn5lWmaSxB2953QXsuKwNakVBramQiaA7XA8RqTZa7qUXTliU4HSuQ_8DDvgpW36HfXxfjV1DmY95IHqXl_bDFNbKkWJnA/w169-h400/Schermata%202023-02-09%20alle%2010.01.51.png" width="169" /></a></div><br /><div>Alla fine è chiaro che le uniche particelle in grado di scappare dalla rivelazione del sofisticato apparato sono stati i <b><span style="color: #ff00fe;">neutrini</span></b>, a volte noti comunemente come "particelle fantasma" giacché molto difficili da rilevare.</div><div>Infatti<b><span style="color: #b45f06;"> i neutrini presentano la caratteristica peculiare di essere sensibili soltanto all'interazione debole (e non alle altre interazioni) ed essere caratterizzati da una sezione d'urto assai piccola</span></b>, il che significa che per tentare di rilevarli si ha bisogno di rivelatori molto grandi e di un enorme flusso di particelle.</div><div>Dopo questo breve inciso sui neutrini, torniamo all'esperimento UA1.</div><div>Uno dei problemi principali che gli scienziati dovettero affrontare fu il fatto che, <b><span style="color: red;">per ogni evento in cui un bosone $W^{\pm}$ o $Z^0$ viene prodotto (decadendo poi in leptoni), esistono più di $10^{7}$ eventi nei quali vengono prodotti solo adroni.</span></b></div><div>L'estrazione del "segnale" di presenza dei suddetti bosoni in questo immenso "background" di adroni è stato reso possibile solo perché i leptoni che scaturiscono dal decadimento dei bosoni W e Z posseggono momenti elevati e sono spesso emessi ad ampi angoli rispetto alle direzioni iniziali del fascio.</div><div>Detto in altri termini, <b><span style="color: #3d85c6;">i leptoni si manifestano spesso con grandi "momenti trasversi"</span></b>.</div><div>Al contrario, gli adroni, prodotti nelle collisioni protone/antiprotone, e i leptoni derivanti dai loro decadimenti presentano raramente dei così elevati momenti trasversi.</div><div>Questa analisi permette pertanto di avere un modo efficace di distinguere ciò che è stato prodotto dagli adroni (cioè la maggioranza degli eventi) e ciò che invece è il risultato del decadimento delle nostre "prede", ossia i bosoni W e Z.</div><div>Concludendo, grazie ad analisi di questo tipo, gli esperimenti condotti al CERN produssero il risultato sperato e, <b style="background-color: #fcff01;">nel 1984, Carlo Rubbia e Simon van der Meer furono insigniti del Nobel per la fisica</b> per il loro fondamentale contributo nell'ambito di tale scoperta. </div><div><br /></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDxBAdfFrMfp67Xl6bGjPRc4-4RBElZ03RixG_2iOAvQKQSKzrNM1wZcGMOCShwx8p6mbnqAbZrvc4pbRfgSOhfP_ol-fwFqjkZcFmgVZaCMBwHUIbPt6MAa_HwGqmQpEWGlUJ7xEo1morZ0we8hwn0Luh2dXNLOJ8aje_rLzcilIdSfnlXuYT1gLJjQ/s1024/VANDERMEER-obit-jumbo.webp" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="683" data-original-width="1024" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDxBAdfFrMfp67Xl6bGjPRc4-4RBElZ03RixG_2iOAvQKQSKzrNM1wZcGMOCShwx8p6mbnqAbZrvc4pbRfgSOhfP_ol-fwFqjkZcFmgVZaCMBwHUIbPt6MAa_HwGqmQpEWGlUJ7xEo1morZ0we8hwn0Luh2dXNLOJ8aje_rLzcilIdSfnlXuYT1gLJjQ/s320/VANDERMEER-obit-jumbo.webp" width="320" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>van der Meer (a sinistra) e Rubbia (a destra).<br />Immagine tratta da: <u><a href="https://nyti.ms/3jDURRf">https://nyti.ms/3jDURRf</a></u></i></td></tr></tbody></table><br /><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div>----------------------------------------------------------------------------------------</div><div><b><span style="color: #3d85c6;">Fonti essenziali:</span></b></div><div><br /></div><div><span style="color: #6fa8dc;">- <i>Particle Physics</i> di B.R. Martin e G. Shaw </span></div>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-22541847720189451842023-01-03T11:11:00.001+01:002023-01-03T12:25:28.861+01:00GRASSMANN E LE SUE VARIABILI<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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Il presente post sarà focalizzato nella spiegazione di un concetto matematico molto utile nell'ambito della <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_quantistica_dei_campi" target="_blank">teoria quantistica dei campi</a></u>: le<b><span style="color: #2b00fe;"> variabili di Grassmann</span></b>.<div>Esse infatti sono fondamentali per il calcolo delle cosiddette <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_correlazione_(teoria_quantistica_dei_campi)#:~:text=Nella%20teoria%20quantistica%20dei%20campi,temporalmente%20di%20operatori%20di%20campo." target="_blank">funzioni di correlazione</a></u> di campi fermionici e, in particolare, per la definizione degli <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_funzionale" target="_blank">integrali funzionali</a></u> per i fermioni. </div><div>Per inciso ricordiamo che i <b><span style="color: #b45f06;">fermioni</span></b> sono quelle particelle (tra cui, per esempio, l'elettrone) che, in base al <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_spin-statistica" target="_blank">teorema spin-statistica</a></u>, presentano spin semi-intero e obbediscono al <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_esclusione_di_Pauli" target="_blank">principio di esclusione di Pauli</a></u>.</div><div>Non abbiate troppa paura, il post non richiederà prerequisiti di teoria quantistica dei campi per la comprensione, ma "solo" il generico background matematico tipico dei post un po' più tecnici presenti in questo blog.</div><div>Possiamo però cominciare molto dolcemente anche per il lettore totalmente a digiuno di matematica avanzata, inquadrando in primis l'interessante biografia del matematico, fisico e linguista tedesco <b><span style="color: red;">Hermann Günther Grassmann</span></b>, che sono sicuro vi sorprenderà notevolmente.</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhInbfkjPiNJnh6NnXcPWHtuVNmQa7Y3BlmmZI2W10AEhzTxZRNJXdjDAWqCjC30M8ziHeeAaE39i_6DTK1oDGr3NhAwlUgJw6WXd7W48JCNvmkQjCPIrJZbYqdvWHM3C4HRQlcmhLwoSsnEp3eLxvLjjXqnHYFQ4mCkvBy_9yPSWO4rTMJ0wvA7mIFyQ/s326/Hermann_Gra%C3%9Fmann.jpeg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="326" data-original-width="268" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhInbfkjPiNJnh6NnXcPWHtuVNmQa7Y3BlmmZI2W10AEhzTxZRNJXdjDAWqCjC30M8ziHeeAaE39i_6DTK1oDGr3NhAwlUgJw6WXd7W48JCNvmkQjCPIrJZbYqdvWHM3C4HRQlcmhLwoSsnEp3eLxvLjjXqnHYFQ4mCkvBy_9yPSWO4rTMJ0wvA7mIFyQ/w164-h200/Hermann_Gra%C3%9Fmann.jpeg" width="164"></a></div><div>Terzo di dodici figli, <b style="background-color: #fcff01;">Grassmann nacque il 15 aprile 1809 a <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Stettino" target="_blank">Stettino</a></u> da Justus Günter Grassmann</b> (consacrato ministro del culto, ma poi divenuto docente di matematica e fisica presso il liceo di Stettino) <b style="background-color: #fcff01;">e Johanne Luise Friederike Medenwald</b> (figlia di un ministro del culto di <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Chwarstnica" target="_blank">Klein-Schönfeld</a></u>).</div><div>Justus scrisse diversi libri scolastici di fisica e matematica e intraprese anche ricerche inerenti alla cristallografia.</div><div>Anche il fratello di Hermann, Robert, divenne un matematico e i due collaborarono a svariati progetti.</div><div>Ma focalizziamo la nostra attenzione su Hermann.</div><div>L'istruzione primaria di Hermann si dovette alla madre, donna decisamente saggia e colta.</div>Dopodiché frequentò una scuola privata prima di entrare nel ginnasio di Stettino dove insegnava suo padre.<div>Ecco, <b><span style="color: #45818e;">molti sono abituati a pensare ai grandi matematici e scienziati della storia come studenti brillantissimi, geni, "mostri", "alieni" in grado di ridicolizzare anche i propri insegnanti.</span></b></div><div><b><span style="color: red;">Questo non fu assolutamente il caso di Grassmann, quantomeno inizialmente!</span></b></div><div>Infatti costui, nonostante avesse eccellenti opportunità di coltivare la sua istruzione in una famiglia con un'ampia mentalità educativa, non eccelse durante i suoi primi anni di ginnasio.</div><div>Magari non ci crederete, ma <b><span style="color: #674ea7;">suo padre ad un certo punto pensò addirittura che il figlio dovesse indirizzarsi più su un lavoro manuale (come per esempio fare il giardiniere o l'artigiano) piuttosto che focalizzarsi su studi difficili apparentemente non alla sua portata.</span></b></div><div>Hermann si appassionò alla musica e imparò a suonare il pianoforte. </div><div><b><span style="color: #7f6000;">Man mano che progredì nella scuola, migliorò a piccoli passi e nel momento degli esami finali di scuola secondaria, all'età di diciotto anni, si classificò al secondo posto nella scuola</span></b>.</div><div>Insomma un bruco diventato farfalla!</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHMDkQSuS0hUE6fdjCffwWxUFhYOOWvwIdSpTtKTulblqJB4aRbRW63hddGsFCGzpQ38m7awMG-YvxPdaDOocTMDBclDR4Yr6VmONfcCul35GYT5NNW_p4zWPBMPL4c_hcUgxmcEp60nZ0wmCnhRjUxjdCIATwyHo_H3YDuHhojksR0zadMXmUyU1Jpg/s1482/trasformarsi_in_farfalla.jpeg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="988" data-original-width="1482" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHMDkQSuS0hUE6fdjCffwWxUFhYOOWvwIdSpTtKTulblqJB4aRbRW63hddGsFCGzpQ38m7awMG-YvxPdaDOocTMDBclDR4Yr6VmONfcCul35GYT5NNW_p4zWPBMPL4c_hcUgxmcEp60nZ0wmCnhRjUxjdCIATwyHo_H3YDuHhojksR0zadMXmUyU1Jpg/s320/trasformarsi_in_farfalla.jpeg" width="320"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Questa vicenda dovrebbe far riflettere sul fatto che un brutto voto scolastico o un periodo di rendimento negativo non definiscono in toto l'intelligenza e le capacità di una persona. Sarebbe bello che imparassimo tutti quanti a non giudicare un libro dalla copertina o dalle prime pagine.</div><div>Tornando al nostro racconto biografico, <b style="background-color: #fcff01;">Hermann decise che avrebbe studiato teologia e si recò a Berlino nel 1827 con il fratello maggiore per studiare nella prestigiosa Università ivi presente</b>. </div><div>Seguì corsi di teologia, lingue classiche, filosofia e letteratura, ma pare che non abbia mai seguito corsi di matematica o fisica.</div><div>Sebbene non possedesse una preparazione universitaria formale in matematica, fu tale argomento che lo interessò al suo ritorno a Stettino nell'autunno del 1830 dopo aver completato gli studi universitari a Berlino. </div><div>L'influenza del padre risultò determinante nel portarlo sulla strada della matematica; <b><span style="color: #3d85c6;">Hermann decise che sarebbe diventato un insegnante di scuola, ma era determinato a intraprendere ricerche matematiche per conto proprio. </span></b></div><div>Dopo un anno di ricerca matematica e di studio utile nella preparazione degli esami necessari per insegnare nei ginnasi, si recò a Berlino nel dicembre 1831 per sostenere i suddetti esami.<br>Le sue prove scritte non ebbero tuttavia una buona valutazione, dal momento che i suoi esaminatori gli diedero la licenza di insegnare solo ai livelli più bassi del liceo. </div><div>Gli fu in particolare detto che, prima di poter insegnare ai livelli superiori, avrebbe dovuto sostenere nuovamente gli esami e dimostrare una maggiore conoscenza degli argomenti per cui si era presentato. <b style="background-color: #fcff01;">Nella primavera del 1832 fu nominato insegnante assistente al liceo di Stettino</b>.</div><div>Come racconta Grassmann stesso nella prefazione della sua fondamentale opera, pubblicata nel <b style="background-color: #04ff00;">1844</b>, <b><span style="color: red;"><i>Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik</i> ("Teoria dell'estensione lineare, un nuovo ramo della matematica")</span></b>, fu in questo periodo (cioè a partire dal 1832 circa) che fece le sue prime significative scoperte matematiche che lo avrebbero condotto alle rilevanti idee che avrebbe sviluppato pochi anni dopo.</div><div>Nel <b style="background-color: #fcff01;">1834</b> Grassmann sostenne gli esami di teologia (di primo livello) fissati dal Consiglio della Chiesa luterana di Stettino ma, sebbene questo potesse rappresentare il suo primo passo per diventare ministro nella Chiesa luterana, decise di recarsi invece a Berlino nell'autunno di quell'anno per accettare un incarico come <b><span style="color: #ff00fe;">insegnante di matematica alla Gewerbeschule</span></b>.</div><div>Era infatti rimasto vacante un posto da quando il precedente insegnante, Jakob Steiner (1796-1863), sì proprio quello del celebre <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Huygens-Steiner" target="_blank">teorema di Huygens-Steiner</a></u> inerente al calcolo del <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di_inerzia" target="_blank">momento di inerzia</a></u> di un corpo rigido, era stato nominato ad una cattedra di matematica all'Università di Berlino. </div><div>Grassmann trascorse solo un anno alla Gewerbeschule prima che si presentasse una nuova opportunità nella sua città natale di Stettino. </div><div><b><span style="color: #783f04;">Una nuova scuola, la Otto Schule, era infatti appena stata aperta e Grassmann fu incaricato di insegnare matematica, fisica, tedesco, latino e religione</span></b>. Si era qualificato solo per insegnare a un livello basso, e ciò fa ben capire l'ampia varietà di argomenti che insegnava.</div><div>Nei 4 anni successivi il nostro studioso prese molto sul serio il suo insegnamento, ma non trascurò per questo la ricerca matematica, oltre a concentrarsi sulla preparazione di ulteriori esami. </div><div>Nel 1839 superò gli esami di teologia, di secondo livello, fissati dal Consiglio della Chiesa luterana di Stettino, e <b style="background-color: #fcff01;">nel 1840 si recò a Berlino per sostenere gli esami che gli avrebbero permesso di insegnare alcune materie al più alto livello di ginnasio. Da quel momento poté finalmente insegnare matematica, fisica, chimica e mineralogia a tutti i livelli delle scuole secondarie.</b></div><div>Interessante notare come gli esami che Grassmann sostenne nel 1840 furono per lui significativi anche in un altro senso. </div><div>Nello specifico, tra le richieste dell'esame vi era la presentazione di un <b><span style="color: #2b00fe;">saggio sulla teoria delle maree</span></b>. <b><span style="color: red;">Egli prese allora la teoria di base dalle celebri <i>Méchanique céleste</i> di Lap<i>lace </i>e<i> Méchanique analytique </i>di Lagrange, tuttavia si rese presto conto di poter applicare i metodi vettoriali che aveva sviluppato fin dal 1832 per dar vita ad un approccio non solo originale ma pure semplificato.</span></b></div><div><b><span style="color: #0b5394;">Il suo saggio <i>Theorie der Ebbe und Flut</i> era lungo 200 pagine e introduceva per la prima volta un'analisi basata sui vettori, tra cui addizione e sottrazione di vettori, differenziazione di vettori e teoria delle funzioni vettoriali. </span></b></div><div>Sebbene il suo saggio venne accettato dagli esaminatori, questi non furono assolutamente in grado di comprendere l'importanza delle innovazioni introdotte da Grassmann. </div><div>In altre parole, Grassmann, senza aver ricevuto alcuna educazione matematica di tipo universitario, aveva gettato le basi della moderna <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Algebra_lineare" target="_blank">algebra lineare</a></u> e dell'importantissimo concetto di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_vettoriale" target="_blank">spazio vettoriale</a></u>, ma i suoi esaminatori non seppero riconoscere un vero "diamante matematico" pur avendolo di fronte agli occhi. <u><a href="https://apuntespme.cl/biblio/AXLER_LINEARALGEBRA.pdf" target="_blank">Cliccando qui</a></u> gli interessati potranno leggere lo splendido testo <i>Linear Algebra Done Right</i> di Sheldon Axler, molto utile per rinfrescare i fondamentali concetti e scoprire un approccio piuttosto originale rispetto ai tipici libri presenti sull'argomento. </div><div>Riporto inoltre a tal proposito un interessante passo tratto dal libro <i><b><span style="color: #7f6000;">Dio è un matematico</span></b></i> di <b><span style="color: #38761d;">Mario Livio</span></b>:</div><div><br></div><span style="color: #3d85c6;">"Uno dei suoi biografi ha scritto: «Sembra che il destino di Grassmann sia quello di essere riscoperto di tanto in tanto, ogni volta come se fosse stato dimenticato dopo la morte». Eppure a Grassmann si deve la creazione della scienza astratta degli «spazi» al cui interno la geometria convenzionale rappresentava solo un caso particolare. Grassmann pubblicò le sue idee pionieristiche (dando origine alla branca della matematica che prende il nome di «algebra lineare») nel 1844, in un libro noto generalmente con il titolo di <i>Ausdehnungslehre</i>[...]Nella prefazione, Grassmann scrisse:</span><div><span style="color: #3d85c6;"><br></span></div><div><span style="color: #3d85c6; font-family: georgia;">‘La geometria non può in alcun modo essere considerata [...] una branca della matematica; la geometria riguarda invece qualcosa che è già dato in natura, ovverosia lo spazio. Mi ero inoltre reso conto del fatto che deve esserci una branca della matematica che produce in modo puramente astratto leggi simili a quelle della geometria.’</span></div><div><span style="color: #3d85c6;"><br></span></div><div><span style="color: #3d85c6;">Era una concezione radicalmente nuova della natura della matematica. Per Grassmann la geometria tradizionale - eredità degli antichi greci - riguarda lo spazio fisico e pertanto non può essere considerata una vera branca della matematica astratta. Per lui la matematica era infatti una creazione astratta della mente umana che non necessariamente ha applicazioni nel mondo reale.</span></div><div><span style="color: #3d85c6;">È affascinante seguire il filo di pensieri apparentemente banali che mise Grassmann sulla strada che l'avrebbe condotto alla sua teoria di un'algebra lineare.</span></div><div><span style="color: #3d85c6;">Egli prese spunto dalla semplice formula $AB + BC = AC$, che compare in ogni manuale di geometria in riferimento alle lunghezze dei segmenti di retta (figura 46a).</span></div><div><span style="color: #3d85c6;"><br></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicx2rB1elMvIi0YFP2s-tWLkAw0kyPc9r9-CD6oaxtdT76SwZGAoIBBPtv_NKJvSljIOO071p1jSVKUOf9kAy7CXlyKROvatFZNe1EbposOJTDaUOVcUCQ6WdHwDQvFZRCFRp5ks1igIPO-iJNfpKA8Sd3Rnfv3qCN-mCdogVr7Y7KmV6lsKWW3fQNTw/s960/Schermata%202022-12-30%20alle%2012.38.45.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: #3d85c6;"><img border="0" data-original-height="272" data-original-width="960" height="91" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicx2rB1elMvIi0YFP2s-tWLkAw0kyPc9r9-CD6oaxtdT76SwZGAoIBBPtv_NKJvSljIOO071p1jSVKUOf9kAy7CXlyKROvatFZNe1EbposOJTDaUOVcUCQ6WdHwDQvFZRCFRp5ks1igIPO-iJNfpKA8Sd3Rnfv3qCN-mCdogVr7Y7KmV6lsKWW3fQNTw/s320/Schermata%202022-12-30%20alle%2012.38.45.png" width="320"></span></a></div><span style="color: #3d85c6;"><br></span><div><span style="color: #3d85c6;"><br></span></div><div><span style="color: #3d85c6;"><br></span></div><div><span style="color: #3d85c6;"><br></span></div><div><span style="color: #3d85c6;"><br></span></div><div><span style="color: #3d85c6;"><br></span></div><div><span style="color: #3d85c6;">Grassmann notò però qualcosa di nuovo nella formula. Scoprì che essa resta valida indipendentemente dall'ordine di $A$, $B$ e $C$, a condizione che non si interpretino $AB$, $CD$ e $AC$ come mere lunghezze, ma si assegni loro anche una «direzione», cosicché risulti, per esempio, $BA = -AB$. In tal caso, se $C$ sta tra $A$ e $B$ (figura 46 b), risulterà $AB = AC + CB$; ma poiché $CB = -BC$, avremo $AB = AC - BC$ e la formula iniziale potrà essere ripristinata semplicemente aggiungendo $BC$ a destra e a sinistra del segno d'uguaglianza.</span></div><div><span style="color: #3d85c6;">Ciò era piuttosto interessante di per sé, ma l'intuizione di Grassmann conteneva altre sorprese. Notate che se fossimo nell'ambito dell'algebra invece che in quello della geometria, allora un'espressione come $AB$ denoterebbe in genere il prodotto $A \times B$. In questo caso, la proposta di Grassmann di porre $AB = -BA$ violerebbe una delle leggi fondamentali dell'aritmetica, ovvero che due quantità moltiplicate tra loro producono lo stesso risultato indipendentemente dall'ordine dei termini. Grassmann affrontò di petto quest'inquietante possibilità inventando una nuova algebra dotata di coerenza interna (chiamata «algebra esterna») che consentiva di utilizzare diversi procedimenti di moltiplicazione e al contempo di manipolare la geometria in un numero qualsiasi di dimensioni."</span></div><div><br></div><b><span style="color: #b45f06;">Desmond Fearnley-Sander</span></b>, nell'articolo del 1979 intitolato <i>Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra</i>, scrisse peraltro che Grassmann<br><br><span style="color: #3d85c6;">"Cominciando con una collezione di 'unità' $e_1, e_2, e_3$,...effettivamente definisce lo spazio lineare libero che essi generavano; in altri termini, egli considera la combinazione lineare formale $a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 +...$, dove $a_j$ sono numeri reali, definisce l'addizione e la moltiplicazione di numeri reali [nel modo attualmente in uso] e dimostra formalmente le proprietà di spazio lineare per queste operazioni. ... Sviluppa poi la teoria dell'indipendenza lineare in un modo straordinariamente simile alla presentazione che si trova nei moderni testi di algebra lineare. Definisce la nozione di sottospazio vettoriale, indipendenza, lunghezza, span, dimensione, unione e intersezione di sottospazi, e proiezione di elementi nei sottospazi. <br>Tra gli altri risultati, mostra che ogni insieme finito ha un sottoinsieme indipendente con lo stesso span e che ogni insieme indipendente si estende a una base, e dimostra l'importante identità</span> <span style="color: #674ea7;">[oggi chiamata <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Grassmann" target="_blank">formula di Grassmann</a></u>]</span><div><br></div><div><span style="color: #3d85c6;">$\mathrm{dim} (U+W) = \mathrm{dim} (U) + \mathrm{dim} (W) - \mathrm{dim} (U \cap W)$."</span></div><div><br></div><div><div>D'altra parte le ricerche (poi raccolte nel saggio del 1844) avevano dimostrato a Grassmann che la sua teoria risultava ampiamente applicabile, pertanto egli decise che avrebbe dedicato d'ora in avanti tutto il tempo che poteva risparmiare al fine di sviluppare ulteriormente le sue idee innovative sugli spazi vettoriali.</div><div>Si noti tuttavia che tale tempo non poteva essere molto giacché <b><span style="color: #a64d79;">Grassmann era un insegnante scrupoloso che mirava a svolgere quel lavoro al meglio delle sue capacità</span></b>. Scrisse numerosi libri di testo, due dei quali furono pubblicati nel 1842: uno era sul tedesco parlato, l'altro sul latino. </div><div>Dopo aver scritto questi libri di testo, rivolse tutta la sua attenzione alla stesura della già citata <i><b><span style="color: #2b00fe;">Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik</span></b></i>.</div><div>Cominciò nella primavera del 1842 e completò il manoscritto nell'autunno del 1843. </div><div>Esso, come già più volte detto, venne pubblicato l'anno successivo. Nella suddetta opera, un vero e proprio capolavoro di originalità, <b style="background-color: #f6b26b;">ha sviluppato l'idea di un'algebra in cui i simboli che rappresentano entità geometriche come punti, linee e piani, risultano manipolati secondo determinate regole.</b></div><div>Ha rappresentato i sottospazi di uno spazio mediante coordinate che portano alla mappatura dei punti di una varietà algebrica ora chiamata, non a caso, <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Grassmanniana" target="_blank">Grassmanniana</a></u>.</div><div><b><span style="color: #45818e;">Grassmann era un po' risentito del fatto stesse producendo matematica decisamente innovativa ed importante, ma fosse ancora costretto ad insegnare nelle scuole secondarie.</span></b> </div><div>Infatti, sebbene fosse stato a Stettino sin dalla prima nomina alla Otto Schule, era stato trasferito prima al Ginnasio di Stettino, poi alla Friedrich Wilhelm Schule a causa della riorganizzazione scolastica della città. </div><div>Nel <b style="background-color: #fcff01;">maggio 1847</b> ricevette il titolo di Oberlehrer alla Friedrich Wilhelm Schule e nello stesso mese <b style="background-color: #fcff01;">scrisse al Ministero dell'Istruzione prussiano chiedendo di essere inserito in un elenco di quelli da considerare per posizioni universitarie.</b> Il Ministero dell'Istruzione chiese a <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer" target="_blank">Kummer</a></u> la sua opinione su Grassmann, che lesse il suo premiato saggio <i>Geometrische Analyse</i> e riferì che conteneva:</div><div><br></div><div><span style="color: #3d85c6;">"materiale lodevolmente buono espresso in una forma carente".</span></div><div><br></div><b><span style="color: red;">Il rapporto di Kummer cancellò definitivamente le speranze di Grassmann per un posto universitario. </span></b><br>È davvero curioso constatare quanti eminenti matematici non siano riusciti a riconoscere che la matematica presentata da Grassmann sarebbe diventata il fondamento di base della materia nei 100 anni successivi.<div>Il <b style="background-color: #fcff01;">12 aprile 1849</b> Grassmann sposò <b><span style="color: #ff00fe;">Therese Knappe</span></b>, la figlia di un proprietario terriero.</div><div>La coppia ebbe la bellezza di 11 figli di cui sette raggiunsero l'età adulta. Uno dei loro figli, Hermann Ernst Grassmann, ricevette un dottorato nel 1893 per la sua tesi <i>Anwendung der Ausdehnungslehre auf die Allgemeine Theorie der Raumkurven und Krummen Flächen</i> scritta sotto la supervisione di Albert Wangerin presso l'Università di Halle-Wittenberg. Questi diventò successivamente professore di matematica presso l'Università di Giessen.</div><div><b style="background-color: #fcff01;">Nel marzo 1852 il padre di Grassmann, Justus, morì e nello stesso anno Grassmann fu nominato per ricoprire la precedente posizione di suo padre allo Stettin Gymnasium. </b></div><div>Ciò significava che, pur insegnando ancora in una scuola secondaria, ora possedeva il titolo di professore. Non essendo riuscito a ottenere un vero riconoscimento per la sua matematica innovativa, Grassmann si dedicò poi a un'altra delle sue materie preferite, lo studio del sanscrito e del gotico. </div><b><span style="color: #351c75;">Ebbe un buon riconoscimento come linguista per aver dimostrato che il germanico in realtà risultava "più antico" in un modello fonologico rispetto al sanscrito.</span></b></div><div>Neanche la fisica venne trascurata dallo studioso. Nello specifico, egli <b style="background-color: #fcff01;">pubblicò nel 1853 una teoria della mescolanza dei colori che contraddiceva quella proposta da Helmholtz</b>. </div><div>Entro la metà dell'anno successivo, tuttavia, fece ritorno alla matematica e alla sua teoria dell'estensione decidendo che, invece di scrivere un secondo volume, come aveva originariamente previsto, avrebbe riscritto completamente l'opera nel tentativo di farne riconoscere il significato. </div><div>Infatti, sebbene abbia scritto un'opera che oggi ci appare nello stile di un moderno libro di testo, Grassmann non riuscì mai a convincere i matematici del suo tempo. </div><div>Forse era così sicuro dell'importanza dell'argomento da non riuscire a decidersi a venderlo a lettori scettici. <br><b><span style="color: #2b00fe;">Certamente il libro <i>Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet</i>, da lui pubblicato nel 1862, non se la cavò meglio della prima versione del 1844.</span></b></div><div>Le delusioni provocate dal mancato apprezzamento del suo contributo matematico lo spinsero a dedicarsi nuovamente alla ricerca in linguistica. Qui se la cavò davvero molto meglio (almeno per il pubblico dell'epoca) e fu onorato per i suoi contributi filologici con l'elezione all'American Oriental Society e con il <b><span style="color: #b45f06;">conferimento, nel 1876, di una laurea honoris causa da parte dell'Università di Tubinga.</span></b> </div><div>Tornò ancora una volta a concentrarsi sulla matematica negli ultimi due anni della sua vita e, nonostante la salute cagionevole, preparò un'altra edizione dell'<i>Ausdehnungslehre</i> per la pubblicazione. Questa apparve, ma soltanto postuma. </div><div><b><span style="color: red;">Grassmann esalò l'ultimo respiro il 26 settembre 1877 a Stettino</span></b>, una morte dovuta a problemi cardiaci presentatisi dopo un periodo di lenta decaduta della salute.</div>A conclusione di questa biografia, riportiamo il seguente emblematico e riassuntivo pensiero di Fearnley-Sander:<div><span style="background-color: white; color: #1a1a1a; font-family: "Times New Roman"; text-align: justify;"><br></span></div><span style="color: #3d85c6;">"Tutti i matematici stanno, come disse Newton, sulle spalle dei giganti, ma pochi si sono avvicinati più di Hermann Grassmann alla creazione, in solitario, di una nuova disciplina."</span><div><span style="color: #1a1a1a; font-family: Times New Roman;"><br></span></div><div></div><div><div>Passiamo ora finalmente ad illustrare le variabili di Grassmann.</div><span></span></div><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2023/01/grassmann-e-le-sue-variabili.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-44465684713793316042022-11-08T14:23:00.000+01:002022-11-08T14:23:59.322+01:00LA SCOPERTA DEL POSITRONE<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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Oggi ci soffermeremo nel dettaglio su un'importantissima scoperta nella storia della fisica moderna, ovvero quella del positrone, l'antiparticella dell'elettrone.<div>Partiremo con una breve premessa un po' tecnica, dopodiché prometto che la narrazione diventerà molto più fruibile anche per il lettore non avvezzo al formalismo matematico della meccanica quantistica e della relatività ristretta.<br><div><div>È ben noto che l'equazione fondamentale alla base della meccanica quantistica è <b><span style="color: red;">l'equazione di Schrödinger</span></b> (ne abbiamo parlato <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2020/06/lequazione-di-schrodinger-una-semplice.html" target="_blank">qui</a></u> e <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/01/equazione-di-schrodinger-in-forma.html" target="_blank">qui</a></u>)</div><div><br></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEg7JhlVZGNOafAcgzQ0cqZHiVkzP0u5ntibFLbaZrfL0Ezr3BoDJuIgYEXjWRucmCTvdYO2q3ZuevR5NfLnCzPjcV5D_u2hR6TkPgvcfwnqyCo2wS623D5Vq2r6-UktpB1yyo2WTi9tqG-1NU0P6q3ZRI2kopeTnfMoNX0E5kuYaXLvJ7FKD8jd3ipEAg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="110" data-original-width="496" height="44" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEg7JhlVZGNOafAcgzQ0cqZHiVkzP0u5ntibFLbaZrfL0Ezr3BoDJuIgYEXjWRucmCTvdYO2q3ZuevR5NfLnCzPjcV5D_u2hR6TkPgvcfwnqyCo2wS623D5Vq2r6-UktpB1yyo2WTi9tqG-1NU0P6q3ZRI2kopeTnfMoNX0E5kuYaXLvJ7FKD8jd3ipEAg=w200-h44" width="200"></a></div><br><br></div><div><br></div><div><br></div><div>qui scritta per particella libera (ossia in assenza di potenziale) e assumendo l'uso di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A0_naturali" target="_blank">unità naturali</a></u>, cioè ponendo $\hbar = 1$.</div><div>Ovviamente più in generale possiamo scriverla come</div><div><br></div><div>$i \frac{\partial}{\partial t} | \psi (t) \rangle = H | \psi(t) \rangle$,</div><div><br></div><div>ove $H$ denota l'hamiltoniana di una particella libera non relativistica, ovvero</div><div><br></div><div>$H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}$.</div><div><br></div><div>Detto ciò, una domanda lecita sarebbe chiedersi come sia possibile estendere l'equazione di Schrödinger al caso di una <b><span style="color: #674ea7;">particella relativistica</span></b>.</div><div>Ciò che immediatamente si può fare è scrivere l'hamiltoniana grazie alla <b><span style="color: #2b00fe;">relazione di dispersione relativistica</span></b></div><div><br></div><div>$H = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}$,</div><div><br></div><div>dove abbiamo imposto, per via delle unità naturali, la velocità della luce $c = 1$ (non utilizzando le unità naturali la relazione sarebbe stata $H = \sqrt{c^2 \mathbf{p}^2 + c^4 m^2}$).</div><div>Se si andasse ad utilizzare questa nuova $H$ all'interno dell'equazione di Schrödinger si otterrebbe:</div><div><br></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEj7AaW7RHK62fMKhvRLeDYfO1C7DoCvz2BjL9DIF-rMIO7aFHvkcb2SBVqheM7cvDf8b4kaUh1DnNXeBTvp0guD9k_gnITLkyA8kjmry9G6H5chC-i0dsEaqc_xmteR10SJ0DyK0nN5cicup1VtpmtOoNXSastLLx5q5fxChVBeGTMPfKTiAq6iV7fZrA" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="116" data-original-width="562" height="66" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEj7AaW7RHK62fMKhvRLeDYfO1C7DoCvz2BjL9DIF-rMIO7aFHvkcb2SBVqheM7cvDf8b4kaUh1DnNXeBTvp0guD9k_gnITLkyA8kjmry9G6H5chC-i0dsEaqc_xmteR10SJ0DyK0nN5cicup1VtpmtOoNXSastLLx5q5fxChVBeGTMPfKTiAq6iV7fZrA" width="320"></a></div><br><br><br></div></div></div><div><br></div><div><br></div><div>Trattasi di un'espressione problematica per essere una relazione relativistica dato che le derivate spaziali e temporali sono di ordine diverso e ciò non la rende <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Covarianza_di_Lorentz" target="_blank">invariante di Lorentz</a></u>.</div><div>Per cercare di risolvere il problema, ossia cercare di rendere quantomeno uguale l'ordine delle derivate temporale e spaziale, possiamo provare ad applicare il termine $i \frac{\partial}{\partial t}$ a tutta l'equazione precedente, il che conduce all'espressione</div><div><br></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEigE7WAqX4RekodjoD8u5g_X5P9c6WU3VYm9yQaJryef6Y9DNYclJxqkfa8rCuVyDwvDWoJ1PipTEkw4NCFHBZH3nev41DFZc-Krn0Vi5KsDHwZjkUUa28NjkRT6Bqa6pCJYXTaxcBg8usEYYRZW6evGws4X_51oGWF78hAw-6T42tRbDtDYyDhD_LVWA" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="120" data-original-width="602" height="64" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEigE7WAqX4RekodjoD8u5g_X5P9c6WU3VYm9yQaJryef6Y9DNYclJxqkfa8rCuVyDwvDWoJ1PipTEkw4NCFHBZH3nev41DFZc-Krn0Vi5KsDHwZjkUUa28NjkRT6Bqa6pCJYXTaxcBg8usEYYRZW6evGws4X_51oGWF78hAw-6T42tRbDtDYyDhD_LVWA" width="320"></a></div><br> </div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Trattasi della cosiddetta <b><span style="color: red;">equazione di Klein-Gordon</span></b> (proposta da Oskar Klein e Walter Gordon nel <b style="background-color: #fcff01;">1926</b>) per la funzione d'onda $\psi(\mathbf{x},t)$, equazione che risulta consistente con la relazione di dispersione relativistica se compiamo le seguenti identificazioni:</div><div><br></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjsCPtojD3Qx6yVPjS6H6fHcvALhrJF1wIIeCtr5vNguxkayiHiY_UQ4QexIKBi7LWnLuXWLBIChrpXfFL_oF_li67taFvasIU04YD7qd_SG5Y6Aegj2T7FnKTaGkZC654Ic97IfCiOq5qnDzcax4MMR3JAjf87ADOIlJsYh4QZY25K2li-DpJYD6JdxQ" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="124" data-original-width="518" height="48" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjsCPtojD3Qx6yVPjS6H6fHcvALhrJF1wIIeCtr5vNguxkayiHiY_UQ4QexIKBi7LWnLuXWLBIChrpXfFL_oF_li67taFvasIU04YD7qd_SG5Y6Aegj2T7FnKTaGkZC654Ic97IfCiOq5qnDzcax4MMR3JAjf87ADOIlJsYh4QZY25K2li-DpJYD6JdxQ=w200-h48" width="200"></a></div><br><br></div><div><br></div><div><br></div><div>in cui ovviamente $H$ e $\mathbf{p}$ sono rispettivamente l'operatore hamiltoniano e l'operatore momento.</div><div>Un ultimo piccolo importante step da compiere è usare le seguenti relazioni</div><div><br></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjauefJUJGau0H0ZSM4hRvgH4sPlbPo2btU-vPCOGMrH174d1cCwEmko4KYjH7mh8hhGC4-i4jS9o5kA2eVQulB8YpP-0ICt0r-W7Z2fuUEK6_BkyiQtI2O5wzhSviCsyUew38wFW_YsIC2QvAty8zd6ozNsEi_E9PHV-lrYcoexlkaRXDws1aVbu6W9A" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="130" data-original-width="806" height="52" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjauefJUJGau0H0ZSM4hRvgH4sPlbPo2btU-vPCOGMrH174d1cCwEmko4KYjH7mh8hhGC4-i4jS9o5kA2eVQulB8YpP-0ICt0r-W7Z2fuUEK6_BkyiQtI2O5wzhSviCsyUew38wFW_YsIC2QvAty8zd6ozNsEi_E9PHV-lrYcoexlkaRXDws1aVbu6W9A" width="320"></a></div><br><br></div><div><br></div><div><br></div><div>le quali ci permettono di scrivere l'<b><span style="color: red;">equazione di Klein-Gordon nella sua forma covariante</span></b> (per i pignoli, abbiamo assunto la <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sign_convention" target="_blank">convenzione "mostly minus"</a></u> del tensore metrico $\eta^{\mu \nu}$ dello spazio-tempo di Minkowski):</div><div><br></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjOIZqeWVVp3oFiG34ZKv7tM9RWKbVkRAsgEV3UERbrdWujiW-2GjkVtovtKwKqAoebz-9FbI4lYe_Ov8hAl0kino7dIH9anXVtW425N1pmY9w54rnGVvgFjIzgc1M-hw6IZlbIOWoa-lzJgA_XHtbxRcWv73UY2A1S-qshHXeDKRRG_cjbYCsSLIicHQ" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="94" data-original-width="428" height="44" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjOIZqeWVVp3oFiG34ZKv7tM9RWKbVkRAsgEV3UERbrdWujiW-2GjkVtovtKwKqAoebz-9FbI4lYe_Ov8hAl0kino7dIH9anXVtW425N1pmY9w54rnGVvgFjIzgc1M-hw6IZlbIOWoa-lzJgA_XHtbxRcWv73UY2A1S-qshHXeDKRRG_cjbYCsSLIicHQ=w200-h44" width="200"></a></div><br><br></div><div><br></div><div><br></div><div>L'equazione così scritta è invariante di Lorentz in modo esplicito, dato che $\psi(\mathbf{x},t)$ ed $m$ sono scalari, mentre $\partial_{\mu} \partial^{\mu} = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \equiv \partial^2 \equiv \Box$, cioè l'<u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert_operator" target="_blank">operatore dalembertiano</a></u>, è uno scalare di Lorentz in quanto prodotto scalare di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Quadrivettore" target="_blank">quadrivettori</a></u>.</div><div>Detto ciò, l'equazione di Klein-Gordon continua ad avere dei problemi.</div><div>Innanzitutto $|\psi(\mathbf{x},t)|^2$, ovvero <b><span style="color: #b45f06;">la densità di probabilità</span></b> in meccanica quantistica, <b><span style="color: #b45f06;">non è conservata</span></b> (cioè non è indipendente dal tempo) giacché abbiamo ben 2 derivate temporali nell'equazione di Klein-Gordon.</div><div>L'equazione di Klein-Gordon <b><span style="color: #0b5394;">non può oltretutto descrivere particelle aventi spin</span></b> e <b><span style="color: #ff00fe;">presenta anche stati ad energia negativa come soluzioni</span></b>, il che implicherebbe densità di probabilità negative, assolutamente non consistenti con l'interpretazione probabilistica tipica della meccanica quantistica non relativistica.</div><div>Insomma, sarebbe decisamente sbagliato considerare l'equazione di Klein-Gordon come un'equazione di Schrödinger relativistica; quella di Klein-Gordon è semplicemente un'equazione d'onda relativistica!</div><div>Tale problematica venne affrontata nientemeno che dal mitico <b><span style="color: #2b00fe;">Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984)</span></b>, il quale riuscì nell'impresa di pervenire, nel <b style="background-color: #fcff01;">1928</b>, ad un'equazione, la famosa <b><span style="color: red;">equazione di Dirac</span></b> (di seguito scritta in forma covariante)</div><div><br></div><span style="color: #45818e;">$(i\!\!\not\! \partial - m) \psi(\mathbf{x},t) = 0$</span>,<div><br></div><div>che presenta derivata spaziale e temporale entrambe del 1° ordine.</div><div>Tale equazione è tuttavia valida per gli <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Spinor" target="_blank">spinori</a></u>, non per funzioni d'onda scalari e, in particolare, serve a descrivere le particelle con spin semi-intero chiamate <b><span style="color: #e69138;">fermioni</span></b> (tra cui troviamo anche l'elettrone e il positrone).</div><div>Non entreremo nel dettaglio della spiegazione di tale equazione, che andrebbe ben al di là degli scopi di questo post (gli interessati possono trovare una spiegazione già in alcuni testi della bibliografia in fondo al post).</div><div>Prima però di capire come tutto questo si ricolleghi alla scoperta del positrone voglio sottolineare il fatto che negli ultimi anni sia uscita una certa moda che consiste nel tatuarsi sul corpo l'equazione di Dirac e denominarla come "formula dell'amore".</div><div>Il problema sta nel fatto che non solo <b><span style="color: red;">la suddetta equazione non ha nulla a che vedere con l'amore</span></b> (magari già il bizzarro concetto quantistico di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Entanglement_quantistico" target="_blank">entanglement</a></u> avrebbe leggermente più senso in tal direzione), ma <b><span style="color: red;">spesso viene pure scritta in modo totalmente sbagliato</span></b>, cioè per esempio come segue.</div><div><br></div><div><div class="separator" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjiRTGCK3zKs0QqUAvxBpLQ5e5TZ-yGWquXYVW6RfE9LanJLarHblhC4EoFbGnYVSQN8pmwYTDLvv7VG6vlmarPS9YDzaQpKY-1rBYzOgu2U6flLbeYdmpXScFvwd8onb96e3eRokgFUfSZZtorTNqSux_GAhOtZOcN6er4oZaZwe6cjKTLDl_lt5xoGw" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="1080" data-original-width="1080" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjiRTGCK3zKs0QqUAvxBpLQ5e5TZ-yGWquXYVW6RfE9LanJLarHblhC4EoFbGnYVSQN8pmwYTDLvv7VG6vlmarPS9YDzaQpKY-1rBYzOgu2U6flLbeYdmpXScFvwd8onb96e3eRokgFUfSZZtorTNqSux_GAhOtZOcN6er4oZaZwe6cjKTLDl_lt5xoGw" width="240"></a></div> <br></div><div><br></div><div> </div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>In questo caso non solo è chiaramente sbagliato l'utilizzo del segno +, ma c'è pure un dettaglio non da poco che manca: la <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_slash_notation" target="_blank">slash notation</a></u>. </div><div>Quella barretta che risulta inserita nella vera equazione di Dirac non è infatti messa lì a caso, come fosse una trollata da parte dei fisici per complicare la vita dei poveri mortali, ma ha un significato ben preciso che coinvolge le cosiddette <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Gamma_di_Dirac" target="_blank">matrici gamma</a></u>. </div><div>Insomma, se proprio volete tatuarvela, vi consiglio di tatuarvi quella giusta per non farvi prendere in giro da coloro (seppur pochi 😉) che conoscono davvero l'equazione di Dirac.</div><div>Tornando alle cose serie, vi starete giustamente chiedendo a cosa sia servita tutta questa piuttosto pesante premessa.</div><div>Essa è servita in primis per farvi capire come non sia banale considerare assieme la meccanica quantistica e la relatività speciale (non mettiamo poi nel calderone la relatività generale, la cui unificazione con la meccanica quantistica è un problema ancora apertissimo in fisica).</div><div>Infatti spesso quando si parla di meccanica quantistica + relatività speciale ci si riferisce ad una teoria nota come <b><span style="color: #ff00fe;">teoria quantistica dei campi</span></b> o, in inglese, <b><span style="color: #ff00fe;">quantum field theory</span></b> (abbreviata <b><span style="color: #ff00fe;">QFT</span></b>).</div><div>Ecco, se pensate che la meccanica quantistica sia qualcosa di molto complesso, la QFT rappresenta un netto ulteriore step in complessità, oltre a costituire un vero e proprio framework per la fisica moderna ed essere la base teorica della fisica delle particelle.</div><div>La premessa è servita poi per farvi quantomeno comprendere perché, nella storia della fisica moderna, non è stata sufficiente l'introduzione dell'equazione di Klein-Gordon e fu necessario il geniale contributo di Dirac per poter compiere giganteschi passi avanti nel tentativo di fusione tra meccanica quantistica e relatività ristretta.</div><div>Il nocciolo della questione viene in particolare dal fatto che, così come l'equazione di Klein-Gordon, pure quella di Dirac ammette <b><span style="color: #2b00fe;">soluzioni con energie negative!</span></b></div><div>Ciò implicherebbe la non esistenza di uno <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ground_state" target="_blank">stato fondamentale</a></u> (ground state) del sistema, poiché <b style="background-color: #01ffff;">le particelle tenderebbero sempre a preferire di dirigersi verso stati ad energia negativa</b>.</div><div>Oltretutto, tenendo conto che l'equazione di Dirac descrive i fermioni, e i fermioni sono quelle particelle che debbono obbedire al noto <b><span style="color: #45818e;">principio di esclusione di Pauli </span></b>(leggete <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2021/03/meccanica-quantistica-pacchetti-donda-e.html" target="_blank">qui</a></u>), si potrebbe supporre (come fece Dirac) che tutti gli stati ad energia negativa siano occupati, ossia che sussista il cosiddetto <b><span style="color: #3d85c6;">"mare di Dirac"</span></b> inaccessibile alle particelle con energia positiva a causa del principio di Pauli.</div><div>Ecco un'immagine illustrativa della situazione tratta dal testo <i>Particle Physics </i>di Martin e Shaw.</div><div><br></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_grXH2Q3Asg6gsGNASyNaMfjym9AWTfvranMfh0PEIfZ982u9yoQilrzROsnRT4yuoMzs2ZoBTuua3D-0tyNZo3y0pvUw34eBkj5SmfNxzFcDhjVCwZVu6UNP_yuKNyhIADQOjEDbDkt5FEHu95wynvVxQlP1eXG8iH8oJKzbo--12d5gX_wCN0VqIg/s710/Schermata%202022-11-08%20alle%2005.23.57.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="710" data-original-width="406" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_grXH2Q3Asg6gsGNASyNaMfjym9AWTfvranMfh0PEIfZ982u9yoQilrzROsnRT4yuoMzs2ZoBTuua3D-0tyNZo3y0pvUw34eBkj5SmfNxzFcDhjVCwZVu6UNP_yuKNyhIADQOjEDbDkt5FEHu95wynvVxQlP1eXG8iH8oJKzbo--12d5gX_wCN0VqIg/s320/Schermata%202022-11-08%20alle%2005.23.57.png" width="183"></a></div><br> </div><div> </div><div><br></div><div> </div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Sarebbe tuttavia chiaramente possibile eccitare (in qualche modo) una particella situata nel mare infinito di Dirac delle energie negative verso la regione delle energie positive, totalmente vuota.</div><div>Il risultato sarebbe avere una buca nel mare di Dirac, tecnicamente (nel linguaggio tipico della fisica dei semiconduttori) una <b><span style="color: #bf9000;">lacuna</span></b> (in inglese <b><span style="color: #bf9000;">hole</span></b>), come ben mostra la seguente immagine.</div><div><br></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrtzn_1zqnFwVs7mSmFqZVGg_HxWOAppn_ICJk8E8te--e510xT7cc1JSpEMduzsA7amaMmhM96cqp97Wzzi6L338FJ8hFLrUIxqKTVeyb1oYe9EZGM2bJoF-7bMCg9UIULmQy7jwVQql-USOAEa3SywyFpoxDpsm21hFkAOzpIa3rs-ZH8zcT7z3kRA/s1500/Schermata%202022-11-08%20alle%2005.35.19.png" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="822" data-original-width="1500" height="219" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrtzn_1zqnFwVs7mSmFqZVGg_HxWOAppn_ICJk8E8te--e510xT7cc1JSpEMduzsA7amaMmhM96cqp97Wzzi6L338FJ8hFLrUIxqKTVeyb1oYe9EZGM2bJoF-7bMCg9UIULmQy7jwVQql-USOAEa3SywyFpoxDpsm21hFkAOzpIa3rs-ZH8zcT7z3kRA/w400-h219/Schermata%202022-11-08%20alle%2005.35.19.png" width="400"></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Fonte:</i> <a href="https://oer.physics.manchester.ac.uk/NP/Notes/Notes/Notesse28.xht">https://oer.physics.manchester.ac.uk/NP/Notes/Notes/Notesse28.xht</a></td></tr></tbody></table><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Tale lacuna (il pallino bianco della figura) è sostanzialmente un'<b><span style="color: #800180;">antiparticella</span></b>, cioè, in parole povere, una particella che presenta la medesima massa (ed altre proprietà) della particella originaria ma carica elettrica opposta.</div><div>Quando una particella e un'antiparticella interagiscono avviene il fenomeno dell'<b><span style="color: red;">annichilazione</span></b>, che dà luogo a particelle più leggere con rilascio di energia.</div><div>L'antiparticella dell'elettrone $e^-$ è proprio il <b><span style="color: #45818e;">positrone</span></b> <span style="color: #45818e;">$e^+$</span>; le 2 particelle interagiscono nello specifico a bassa energia secondo questa relazione:</div><div> <div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhN_N9gviD25aAlIq6GxTPTloRvUFZ0tRPK9E4bzehM0hUmAeAiRG0gMbK-Li6HfMFUfUdefkLzzHRkb91bZnihRAbC7oee83M7JpLa3KF8BEEso31eRkaOUwVmzXbcKdiP24Ukmz3n-OL45R_VDdtxCYXbvPDLaV9rWwBuE7Glca2d0zUvAuyxqN0Pxw/s370/Schermata%202022-11-08%20alle%2005.44.51.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="66" data-original-width="370" height="36" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhN_N9gviD25aAlIq6GxTPTloRvUFZ0tRPK9E4bzehM0hUmAeAiRG0gMbK-Li6HfMFUfUdefkLzzHRkb91bZnihRAbC7oee83M7JpLa3KF8BEEso31eRkaOUwVmzXbcKdiP24Ukmz3n-OL45R_VDdtxCYXbvPDLaV9rWwBuE7Glca2d0zUvAuyxqN0Pxw/w200-h36/Schermata%202022-11-08%20alle%2005.44.51.png" width="200"></a></div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>L'introduzione del concetto di antiparticella rimase un puro risultato teorico proprio sino alla scoperta sperimentale del positrone. Entriamo ora finalmente nei meandri dell'interessante storia inerente alla suddetta scoperta. </div><span></span><span></span><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2022/11/la-scoperta-del-positrone.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-24846508325493632582022-10-08T02:26:00.004+02:002022-10-08T11:54:53.728+02:00L'EQUAZIONE DI LANE-EMDEN<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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Il presente post è dedicato a un'equazione rilevante in ambito astrofisico: <b><span style="color: #2b00fe;">l'equazione di Lane-Emden</span></b>.<div>L'ispirazione nel voler approfondire tale tematica è venuta tempo fa leggendo su Twitter uno splendido thread di Nereide, alias la <b><span style="color: #ff00fe;">Prof.ssa Annarita Ruberto</span></b>, che riguardava l'affascinante nebulosa oscura <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Barnard_68" target="_blank">Barnard 68</a></u>.</div><div>Infatti, nel thread (che potete leggere <u><a href="https://twitter.com/Nereide/status/1566865631919702018" target="_blank">cliccando qui</a></u>) ho trovato il riferimento ad un paper di ricerca astrofisica, di Burkert ed Alves, nella cui appendice si discute brevemente di una forma speciale della sopracitata equazione utile in quel contesto specifico.</div><div>Cerchiamo dunque di scoprire il più dolcemente possibile (maggiori dettagli possono essere reperiti nella bibliografia in fondo al post) l'interessante equazione di Lane-Emden.</div><div>Per cominciare dobbiamo fare alcune considerazioni di natura idrostatica.</div><div>Agli inizi del XX secolo il problema della struttura interna e dell'evoluzione futura del Sole costituiva un vasto ambito di ricerca.</div><div>Tuttavia, nonostante non fossero ben chiare le origini del "potere radiativo" della nostra stella (fondamentale fu il contributo, nel contesto della fusione nucleare, di Hans Bethe, nel 1939, con l'introduzione della famosa <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Catena_protone-protone" target="_blank">catena protone-protone</a></u>), questo non impedì di risolvere equazioni inerenti alla sua struttura interna.</div>Infatti, il primo contributo in tal direzione giunse da parte dell'astronomo statunitense <b><span style="color: red;">Jonathan Homer Lane (1819-1880)</span></b>.<br>Le sue ricerche (condensate nell'articolo "<u><a href="https://zenodo.org/record/1450030" target="_blank">On the theoretical temperature of the Sun, under the hypothesis of a gaseous mass maintaining its volume by its internal heat, and depending on the laws of gases as known to terrestrial experiment</a></u>", datato <b style="background-color: #fcff01;">1869</b>) hanno infatti dimostrato le relazioni termodinamiche tra pressione, temperatura e densità del gas all'interno del Sole.<div><div><div>Il punto essenziale della questione risiede nel fatto che la configurazione statica di una sfera gassosa (come il Sole o una qualsivoglia generica stella), tenuta insieme dall'<u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Self-gravitation" target="_blank">autogravità</a></u>, deve soddisfare la <b><span style="color: #bf9000;">condizione di equilibrio idrostatico</span></b>:</div></div></div><div><br></div><div>$\nabla p = - \rho g$,</div><div><br></div><div>dove $p$ è la pressione (che ricordiamo essere una quantità scalare), $\rho$ è la densità, $g$ è l'accelerazione di gravità e $\nabla$ è, come sempre, l'<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_nabla" target="_blank">operatore nabla</a></u> che applicato a $p$ fornisce il <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Gradiente_(funzione)" target="_blank">gradiente</a></u> di pressione $\nabla p$.</div><div>In pratica tale equazione ci dice che la pressione ad ogni punto nell'interno di una stella è sufficiente per bilanciare il peso degli strati sovrastanti. </div><div>Tenendo ora conto della <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_gravitazione_universale" style="text-decoration-line: underline;" target="_blank">legge di gravitazione universale</a> possiamo scrivere che</div><div><br></div><div>$g = G \frac{M_r}{r^2}$,</div><div><br></div><div>in cui $G$ è la costante di gravitazione universale ed $M_r$ è la massa contenuta entro la sfera avente raggio $r$.</div><div>Tale massa è in particolare fornita da:</div><div><br></div><div>$M_r = \int_0^r 4 \pi \, r^{'2} \rho(r') \, \mathrm{d}r'$.</div><div><br></div><div>L'equilibrio meccanico di una stella può pertanto essere riassunto nelle seguenti 2 equazioni differenziali:</div><div><br></div><div>$\nabla p = - G \frac{\rho M_r}{r^2}$</div><div><br></div><div>$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4 \pi \, r^2 \rho$. </div><div><br></div><div>Esse si possono condensare nell'unica equazione:</div><div><br></div><div>$\rho = - \frac{1}{4 \pi G r^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left ( \frac{r^2}{\rho} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} \right )$.</div><div><br></div><div>La suddetta equazione differenziale contiene entrambe le variabili fisiche $p$ e $\rho$, per tal ragione non è sufficiente a risolvere il problema del modello dell'interno di una stella.</div><div>Soltanto attraverso l'utilizzo di una relazione funzionale tra le 2 variabili, relazione per forza approssimata, si può ricavare una soluzione del problema.</div><div>Un tipico esempio di questo modo di procedere è proprio dato dalla soluzione di Lane-Emden, la quale si ottiene supponendo che l'equazione di stato barotropica (ovvero la relazione $p$-$\rho$) sia una <b><span style="color: red;">relazione politropica</span></b> del tipo</div><div><br></div><div>$p = K \, \rho^{1+ \frac{1}{n}}$,</div><div><br></div><div>ove $K$ è una costante di proporzionalità (dipendente dalla natura del fluido politropico), mentre <span style="color: #2b00fe;">$n $</span> denota il cosiddetto <b><span style="color: #2b00fe;">indice politropico</span></b>.</div><div>Come spiegò il famoso fisico indiano (premio Nobel nel 1983) Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) nel suo brillante testo, datato 1939, <u><a href="https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212456/mode/2up" target="_blank">Introduction to the Study of Stellar Structure</a></u>, <span style="color: #3d85c6;">"Le trasformazioni politropiche furono inizialmente introdotte in termodinamica da G. Zeuner e sono state ampiamente utilizzate da Helmholtz e, in particolare, da Emden"</span>.</div>Un'interessante curiosità: l'astrofisico svizzero <b><span style="color: #45818e;">Jacob Robert Emden (1862-1940)</span></b>, tra i fondatori nel 1930 e redattore della rivista <i>Zeitschrift fur Astrophysik</i>, fu il marito di Klara Schwarzschild, sorella del celebre fisico tedesco <b><span style="color: #674ea7;">Karl Schwarzschild (1873-1916)</span></b>, noto per i suoi fondamentali contributi inerenti alla relatività generale e, in particolare, per il concetto di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Raggio_di_Schwarzschild" target="_blank">raggio di Schwarzschild</a></u> nello studio dei buchi neri.<br><div><div>Tornando al nocciolo della narrazione, dato che la trasformazione politropica (il suddetto termine tecnico venne utilizzato per la prima volta proprio da Emden nella sua opera <i>Gaskugeln</i> del 1907) deve essere in equilibrio idrostatico, ne consegue che la distribuzione di pressione e densità deve essere consistente con l'equazione dell'equilibrio idrostatico e con la legge di conservazione della massa.</div><div>Nel dettaglio, se riprendiamo la nostra equazione dell'equilibrio idrostatico (esplicitando $\nabla p$ come $\mathrm{d}p/\mathrm{d}r$)</div><div><br></div><div>$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = - \rho g = - \rho G \frac{M_r}{r^2}$</div><div><br></div><div>e adesso dividiamo tutto per $\rho$, moltiplichiamo tutto per $r^2$ e consideriamo la derivata rispetto ad $r$ in entrambi i membri dell'equazione, otteniamo la seguente formula:</div><div><br></div><div>$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left ( \frac{r^2}{\rho} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} \right ) = - G \frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = - 4 \pi G r^2 \rho$.</div><div><br></div><div>Essa può essere riscritta come</div><div><br></div><div>$\frac{1}{r^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left ( \frac{r^2}{\rho} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} \right ) = - 4 \pi G \rho$.</div><div><br></div><div>Questa è <b><span style="color: #ff00fe;">l'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale!</span></b></div><div>Per convincersene, è sufficiente ricordare che</div><div><br></div><div>$g = \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d}r} = G \frac{M_r}{r^2}$,</div><div><br></div><div>ove $\Phi$ denota il potenziale gravitazionale, e far riferimento al fatto che</div><div><br></div><div>$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = - \frac{G M_r}{r^2} \rho$.</div><div><br></div><div>Infatti, con pochi semplici passaggi si arriva alla celebre formula</div><div><br></div><div>$\nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho$,</div><div><br></div><div>ossia l'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale nell'usuale formalismo con il <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_di_Laplace" target="_blank">laplaciano</a></u> del potenziale $\nabla^2 \Phi$.</div><div>Per capire l'origine storica e matematica del concetto di potenziale vi consiglio di leggere un post d'archivio <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2020/03/integrali-curvilinei-di-seconda-specie.html" target="_blank">cliccando qui</a></u>. </div><div>Se avete visionato il link appena fornito vi sarete resi conto come l'equazione di Poisson non sia altro che una generalizzazione dell'equazione di Laplace.</div><div>Vorrei aggiungere qui che l'equazione di Poisson, specialmente nell'ambito dell'elettrostatica, cioè $\nabla^2 \phi = - \frac{\rho}{\varepsilon}$ (ove $\phi$ è il potenziale elettrico, $\rho$ è la densità di carica ed $\varepsilon$ è la permittività elettrica), ha un'importanza cruciale.</div><div>Il suo ruolo è per esempio essenziale quando vogliamo studiare strutture formate da <b><span style="color: #783f04;">semiconduttori</span></b> (alla base dei moderni dispositivi elettronici a stato solido), come la nota <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Giunzione_p-n" style="text-decoration-line: underline;" target="_blank">giunzione p-n</a> (ma anche strutture più complesse), e arrivare a determinare il campo elettrico ed il potenziale elettrico ivi presente.</div><span></span></div><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2022/10/lequazione-di-lane-emden.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-27299180393258177052022-06-10T10:05:00.002+02:002022-06-10T14:18:59.632+02:00STEFAN BANACH: IL FONDATORE DELL'ANALISI FUNZIONALE <script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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Il presente post è dedicato a ricordare uno straordinario matematico polacco, <b><span style="color: red;">Stefan Banach (1892-1945)</span></b>, considerato non solo il padre della moderna analisi funzionale, ma anche uno dei matematici più influenti del XX secolo (nonostante fosse praticamente autodidatta!).<div><div>Ma partiamo dalle origini.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgH2OJdFXrd1Oy1PL-3gXa3nX8xoDimq22CTEHmsGqq26VGBpCrCMQJqtZJ2RcYFL1NP6Ptt6bVRsMEo3RHhGexmlxdgq3c24LouPAIJBmDxZ8nnaGU9NcX5RtwmdMVnkJ9aFDNErPYj2UKvHZjR4vEi4jdtevDuHAZlXeWMyw17fUNe8DsjkZwg2jZ7g/s467/Stefana_Banach_-_%D8%B3%D8%AA%D9%8A%D9%81%D8%A7%D9%86_%D8%A8%D9%86%D8%A7%D8%AE.jpeg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="467" data-original-width="348" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgH2OJdFXrd1Oy1PL-3gXa3nX8xoDimq22CTEHmsGqq26VGBpCrCMQJqtZJ2RcYFL1NP6Ptt6bVRsMEo3RHhGexmlxdgq3c24LouPAIJBmDxZ8nnaGU9NcX5RtwmdMVnkJ9aFDNErPYj2UKvHZjR4vEi4jdtevDuHAZlXeWMyw17fUNe8DsjkZwg2jZ7g/w149-h200/Stefana_Banach_-_%D8%B3%D8%AA%D9%8A%D9%81%D8%A7%D9%86_%D8%A8%D9%86%D8%A7%D8%AE.jpeg" width="149" /></a></div><div>Stefan Banach nacque il <b style="background-color: #fcff01;">30 marzo 1892</b> al St. Lazarus General Hospital, presso Cracovia, da Stefan Greczek e Katarzyna Banach.</div><div>Il lettore attento avrà immediatamente notato che egli ereditò il nome dal padre ma il cognome dalla madre, <b><span style="color: #134f5c;">madre che lo abbandonò appena dopo il battesimo</span></b>, ovvero quando aveva solo 4 giorni di vita!</div><div>Il padre mantenne sempre il segreto sull'identità della madre, nonostante il desiderio del figlio di saperne di più.</div>Il bambino venne portato a Ostrowsko (piccolo villaggio situato circa 50 km al di sotto di Cracovia), paese di origine del padre, ed affidato, quantomeno per il primo periodo, alla nonna. <br />Tuttavia dopo pochi anni la nonna si ammalò e, di conseguenza, Greczek decise di affidare suo figlio a Franciszka Plowa, la quale viveva a Cracovia assieme a sua figlia Maria.<br />Interessante dettaglio sta nel fatto che il tutore di Maria fosse un intellettuale francese, <b><span style="color: #2b00fe;">Juliusz Mien</span></b>, il quale percepì immediatamente il grande potenziale del giovane Banach e decise di istruirlo riguardo alla lingua francese, oltre a spingerlo probabilmente verso la matematica.<br />Banach frequentò la scuola primaria a Cracovia, dopodiché, all'età di 10 anni, ossia nel 1902, si iscrisse al IV Ginnasio. </div>Sebbene si trattasse di una scuola indirizzata fortemente verso un'educazione di tipo umanistico, il giovane ebbe la fortuna di avere come compagno di classe (e suo migliore amico) <b><span style="color: #b45f06;">Witold Wiłkosz (1891-1941)</span></b>, anch'egli futuro matematico!<br />Durante le pause e nei dopo scuola i 2 ragazzi trascorrevano gran parte del tempo a divertirsi nel risolvere problemi matematici.<br />Tale scuola non si dimostrò però particolarmente stimolante al punto che Wiłkosz decise di abbandonarla nel 1906 per iscriversi ad un miglior Ginnasio; Banach invece resto lì ma si mantenne in stretto contatto con l'amico.<div>In ogni caso l'interesse del giovane studente era totalmente rivolto alla matematica; le altre discipline non lo interessavano affatto, al contrario di Wiłkosz che mostrava passione e talento anche per la fisica.</div><div>Banach superò l'esame finale di Ginnasio nel 1910, ma non con la lode, dato che i suoi voti erano man mano calati durante il suddetto percorso scolastico secondario.</div><div>Si potrebbe ora pensare che l'ovvia scelta nel proseguimento degli studi di Banach e di Wiłkosz fosse la matematica universitaria.</div><div>In realtà il corso degli eventi non fu così banale; infatti, <b><span style="color: #ff00fe;">i 2 amici, seppur appassionati di matematica, ritenevano che nulla di nuovo potesse essere scoperto</span></b> in quel settore e dunque Banach si incamminò verso l'ingegneria (nello specifico alla Lemberg Technical University, nell'attuale Leopoli in Ucraina), mentre Wiłkosz verso le lingue orientali.</div><div>Probabilmente tale scelta controversa si dovette anche al fatto che non ci fu la presenza di particolari figure di supporto e di sprone nei confronti della loro vera passione, qualcuno magari in grado di renderli consci del fatto che, in verità, la matematica costituiva ancora un "mondo intero" da esplorare e rinnovare.</div><div><b><span style="color: red;">Al giorno d'oggi siamo infatti ancora pieni di rilevanti problemi irrisolti in matematica</span></b> (come i noti "<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Problemi_per_il_millennio" target="_blank">Problemi del millennio</a></u>") e l'espansione della matematica in svariate branche, alcune totalmente nuove, ha fatto sì che ormai sia difficile parlare di persone che possano vantare una conoscenza a tutto tondo della matematica (l'ultimo matematico a cui spesso si attribuisce una "conoscenza matematica universale" fu <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" target="_blank">Poincaré</a></u> e talvolta anche <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann" target="_blank">von Neumann</a></u>, due veri giganti della disciplina).</div><div>Con buona probabilità, dato che non poteva contare su un solido sostegno economico, Banach dovette mantenersi facendo del tutoraggio, cosa che gli comportò una grossa perdita di tempo, portandolo a laurearsi un po' in ritardo nel 1914.</div><div>Allo scoppio della Prima guerra mondiale, <b><span style="color: #0b5394;">Banach venne esonerato dal servizio militare poiché era mancino e la sua vista non risultava molto buona.</span></b></div><div>Quando poi l'esercito russo occupò Leopoli, <b><span style="color: #674ea7;">Banach si trasferì a Cracovia</span></b>, ove rimase per tutto il periodo restante della guerra e ivi riuscì a frequentare anche delle lezioni di matematica alla Jagiellonian University. </div><div>Se per Einstein, come ben noto, il 1905 fu l'<i>annus mirabilis</i>, l'anno in cui la sua figura divenne leggendaria grazie a ben 4 straordinari articoli pubblicati sulla rivista <i>Annalen der Physik, </i>l'anno in cui la vita e la carriera di Banach svoltarono fu sicuramente il <b style="background-color: #fcff01;">1916</b>, in particolare la primavera.</div><div>Quello che leggerete ora potrebbe sembrare un aneddoto di fantasia ma è ciò che accadde realmente.</div><div>Il grande matematico polacco <b><span style="color: #2b00fe;">Hugo Steinhaus (1887-1972)</span></b> viveva proprio a Cracovia in quel periodo.</div><div><b style="background-color: #04ff00;">Una sera, camminando per le strade della città polacca, si ritrovò ad ascoltare per puro caso, al Planty Park, le parole "misura di Lebesgue".</b></div><div><b style="background-color: #04ff00;"><br /></b></div><div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEil8wFincJQwoOZgnvzb8Dr-BdymTvd8Kf97D1u9WKSEWnUg4IDueRuemk2_5OS7EEUsUqcgV3D48RNV6n9rJ7WQPM1ix-cGEdu1jL5jp8nCkwfqzQf74f3ZGEw8ZMs19phxluAG0KFUD7Me7JJZ2PaCa3qj2bCCAKEdiv_DcqauOnPvfBxKIFYWYcy3g/s2880/Planty_Park,_autumn,_Old_Town,_Krakow,_Poland.jpeg" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1785" data-original-width="2880" height="248" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEil8wFincJQwoOZgnvzb8Dr-BdymTvd8Kf97D1u9WKSEWnUg4IDueRuemk2_5OS7EEUsUqcgV3D48RNV6n9rJ7WQPM1ix-cGEdu1jL5jp8nCkwfqzQf74f3ZGEw8ZMs19phxluAG0KFUD7Me7JJZ2PaCa3qj2bCCAKEdiv_DcqauOnPvfBxKIFYWYcy3g/w400-h248/Planty_Park,_autumn,_Old_Town,_Krakow,_Poland.jpeg" width="400" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><b>Planty Park (immagine presa da <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Planty_Park_%28Krak%C3%B3w%29#/media/File:Planty_Park,_autumn,_Old_Town,_Krakow,_Poland.jpg" target="_blank">Wikipedia</a></u>)</b></td></tr></tbody></table><br /><b style="background-color: #04ff00;"><br /></b></div><div><b style="background-color: #04ff00;"><br /></b></div><div><b style="background-color: #04ff00;"><br /></b></div><div><b style="background-color: #04ff00;"><br /></b></div><div><b style="background-color: #04ff00;"><br /></b></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div>Incuriosito (visto che a quei tempi tale concetto risultava piuttosto nuovo ed originale), Steinhaus si avvicinò alla panchina del parco e si presentò a 2 giovani che discutevano di matematica: erano Banach e <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Otto_M._Nikodym" target="_blank">Otto Nikodym</a></u>.</div><div>Il suddetto incontro fortuito portò alla creazione (il 2 aprile 1919) di un'importante società matematica, la <b><span style="color: #7f6000;">Polish Mathematical Society</span></b>.</div><div>Oltre a ciò, <b><span style="color: #a64d79;">Steinhaus sottopose all'attenzione di Banach un problema a cui non riusciva a trovare una soluzione.</span></b></div><div>La mente geniale di Banach gli consentì di pervenire alla soluzione in una settimana! Il risultato finale di quel proficuo scambio culturale fu un <b><span style="color: red;">articolo congiunto di Steinhaus e Banach intitolato </span></b><i><b><span style="color: red;">Sur la convergence en moyenne de séries de Fourier</span></b> </i>(ovvero "Sulla convergenza in media della serie di Fourier"), sottoposto all'attenzione di <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Stanis%C5%82aw_Zaremba_(mathematician)" target="_blank">Stanisław Zaremba</a></u> per la pubblicazione (avvenuta nel <b><span style="color: red;">1918</span></b>).</div><div>Anche per quanto concerneva l'aspetto sentimentale della sua vita Banach doveva molto a Steinhaus; infatti tramite il collega conobbe quella che sarebbe stata la sua futura moglie, ossia Łucja Braus, con cui convolò a nozze nel 1920.</div><div>La produzione di articoli matematici di Banach dal momento del sodalizio con l'altro grande matematico polacco crebbe in maniera assai celere.</div><div>Il suo appoggio gli consentì persino di ricevere un <b><span style="color: #45818e;">dottorato in matematica </span></b>(ricordiamo infatti che Banach non era laureato in matematica bensì in ingegneria!).</div><div><b><span style="color: #3d85c6;">La sua tesi di dottorato</span></b>, accettata da quella che è l'attuale Università di Leopoli (fondata nel 1661 da Giovanni II Casimiro di Polonia) nel 1920 e pubblicata nel <b style="background-color: #fcff01;">1922</b>, <b><span style="color: #3d85c6;">poneva le basi di una nuova branca della matematica: <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_funzionale#:~:text=L'analisi%20funzionale%20%C3%A8%20un,di%20uno%20spazio%20tra%20loro." target="_blank">l'analisi funzionale</a></u></span></b>.</div><div>Per correttezza è necessario specificare che ricerche in tal ambito vennero compiute anche qualche anno prima del fatidico contributo di Banach.</div><div>Infatti, <b style="background-color: #fcff01;">già a partire dal 1906, il matematico statunitense E.H. Moore (1862-1932) tentò di dar luce ad una teoria astratta dei funzionali</b> (abbiamo parlato di tal concetto un po' <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2020/03/integrali-curvilinei-di-seconda-specie.html" target="_blank">qui</a></u>) <b style="background-color: #fcff01;">e degli operatori lineari</b>.</div><div>Altri contributi in tal direzione giunsero in particolare da Erhard Schmidt, Maurice Fréchet, Frigyes Riesz, Hans Hahn, Eduard Helly e Norbert Wiener.</div><div>Ma perché tra tutti questi nomi rilevanti spicca proprio quello di Banach, ritenuto ufficialmente il fondatore dell'analisi funzionale?</div><div>Innanzitutto Banach desiderava stabilire una generalizzazione delle <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_integrale" target="_blank">equazioni integrali</a></u>, nello specifico il suo obiettivo era costruire una teoria astratta in grado di fornire un'alternativa valida e migliore rispetto al <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_delle_variazioni" target="_blank">calcolo delle variazioni</a></u>.</div><div>Per pervenire a tal obiettivo Banach introdusse uno spazio dotato di una norma, ma che non fosse definita facendo riferimento al prodotto scalare.</div><div>Cerchiamo di capire un pochino meglio almeno gli aspetti basilari della questione.</div><div>Prendiamo un generico <b><span style="color: #45818e;">spazio lineare</span></b> (cioè <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_vettoriale#:~:text=In%20matematica%2C%20uno%20spazio%20vettoriale,scalare%2C%20caratterizzate%20da%20determinate%20propriet%C3%A0." target="_blank">spazio vettoriale</a></u>) <span style="color: #45818e;"><b>$L$</b></span> di elementi $x, y, z, ...$</div><div>Possiamo chiamare <b><span style="color: red;">norma</span></b> (denotata mediante il tipico simbolo $\left \| \right \|$) in $L$ un funzionale che soddisfa 4 condizioni essenziali:</div><div><br /></div><div>1) $\left \| x \right \| \geq 0$;</div><div><br /></div><div>2) $\left \| x \right \| = 0$ se e solo se $x = 0$;</div><div><br /></div><div>3) <b>omogeneità</b>: $\left \| ax \right \| = |a| \cdot \left \| x \right \| $, ove $a$ è uno scalare;</div><div><br /></div><div>4) <b>disuguaglianza triangolare</b>: $\left \| x + y \right \| \leq \left \| x \right \| + \left \| y \right \| $.</div><div><br /></div><div>Naturalmente uno spazio lineare $L$ in cui è definita una norma viene anche detto <b><span style="color: #ff00fe;">spazio normato</span></b>.</div><div><b style="background-color: #04ff00;">Ogni spazio normato può esser visto come uno spazio metrico</b> (ne parlammo, tra le altre cose, <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2019/10/meraviglie-matematiche-lo-spaziotempo.html" target="_blank">qui</a></u>) se definiamo la distanza come $\rho(x,y) = \left \| x - y \right \| $.</div><div>Per arrivare tuttavia alla definizione vera e propria di spazio di Banach, concetto a dir poco fondamentale nell'ambito dell'analisi funzionale, manca un piccolo tassello nel nostro puzzle: la completezza!</div><div>A tal proposito abbiamo bisogno di introdurre la nozione di <b><span style="color: #b45f06;">successione di Cauchy (o successione fondamentale)</span></b>.</div><div><b><span style="color: #2b00fe;">Dato un generico spazio metrico $R$, una successione $\left \{ x_n \right \}$ è detta di Cauchy se, $\forall \varepsilon > 0$, esiste un numero $N_{\varepsilon}$ tale che la distanza $\rho(x_{n'}, x_{n''}) < \varepsilon$ $\forall n' > N_{\varepsilon}$ e $\forall n'' > N_{\varepsilon}$.</span></b></div><div>Ora aggiungiamo che <b><span style="color: #ff00fe;">se ogni successione di Cauchy risulta convergente in $R$, allora questo spazio metrico è completo.</span></b></div><div>Giacché le proprietà degli spazi metrici si possono estendere anche agli spazi normati, la conclusione di questo importante discorso è che <b><span style="color: red;">uno spazio di Banach non è altro che uno spazio normato completo!</span></b></div><div>Un'importantissima osservazione che possiamo compiere relativamente agli spazi di Banach sta nel fatto che <b style="background-color: #01ffff;">uno spazio di Banach rappresenta un concetto più generale rispetto ad uno <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Hilbert" target="_blank">spazio di Hilbert</a></u></b> (nozione su cui si poggia, tra le altre cose, in maniera massiva la meccanica quantistica), proprio perché abbiamo constatato che per definire una norma non abbiamo necessariamente bisogno di un prodotto scalare, cosa di cui invece abbiamo certamente bisogno quando parliamo di spazi di Hilbert.</div><div>In altri termini, <b><span style="color: #38761d;">ogni spazio di Hilbert è sicuramente uno spazio di Banach. Viceversa, uno spazio di Banach è anche uno spazio di Hilbert se, e solo se, la sua norma è indotta da un prodotto scalare!</span></b></div><div>Se considerassimo uno spazio di Banach che non sia anche di Hilbert esso perderebbe sostanzialmente il concetto essenziale di ortogonalità di 2 elementi.</div><div>A seguito di questo doveroso excursus, facciamo ora ritorno all'ultima parte della biografia di Banach.</div><div>La poderosa tesi inerente all'analisi funzionale venne discussa all'interno dei circoli accademici e rappresentò la spinta definitiva utile al matematico per venir nominato professore presso il Politecnico di Leopoli.</div><div>Allo stesso tempo, ottenne pure la la seconda Cattedra di Matematica dell'Università di Leopoli.</div><div>Il periodo di mezzo tra le 2 guerre mondiali fu estremamente impegnativo per Banach: oltre a continuare nella produzione continua di <i>paper</i> di ricerca, si dedicò alla scrittura di manuali scolastici di aritmetica, geometria ed algebra.</div><div>Nel <b style="background-color: #fcff01;">1929</b>, assieme a Steinhaus, fondò una nuova rivista matematica, <i><b><span style="color: #351c75;">Studia Mathematica</span></b></i>, dedicata principalmente alla ricerca nel campo dell'analisi funzionale ed argomenti affini.</div><div>Sempre in quel periodo Banach incominciò a produrre quella che è considerata la sua opera più famosa, la prima monografia concernente la teoria generale dello spazio lineare-metrico, intitolata <i><b><span style="color: #2b00fe;">Teoria operacji liniowych</span></b> </i>(pubblicata nel <b style="background-color: #fcff01;">1931</b>).<br /></div><div>L'opera venne tradotta l'anno dopo in francese, traduzione che contribuì a farle ottenere un più ampio riconoscimento da parte dei circoli accademici europei.</div><div>Essa costituì peraltro la prima di una corposa serie di monografie a cura di Banach e della sua cerchia di matematici, la cosiddetta <b><span style="color: #ff00fe;">"Scuola di Leopoli"</span></b>, i quali erano soliti riunirsi al Caffè Scozzese nel centro storico di Leopoli.</div><div>Vediamone la magnifica immagine tratta da <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Caff%C3%A8_Scozzese" target="_blank">Wikipedia</a></u>.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieIxihagMnjw89Rg0_iKPHw2rL4HeuOqJNQNFzger5I5TTBV7iZMehiF2HjHspN930GLpy2qkyZienHNqMt6ecxH5pMPPN_dZsjqrSRwZAk2a7HjDK9f7dmX-f6k2MPPmMn7oBi10wT8RnruXVZvTVejnwQ0yUxxrPpxn6Hk1e6FD5YaZZkOViE2Q_3Q/s790/Schermata%202022-06-10%20alle%2007.09.59.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="790" data-original-width="484" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieIxihagMnjw89Rg0_iKPHw2rL4HeuOqJNQNFzger5I5TTBV7iZMehiF2HjHspN930GLpy2qkyZienHNqMt6ecxH5pMPPN_dZsjqrSRwZAk2a7HjDK9f7dmX-f6k2MPPmMn7oBi10wT8RnruXVZvTVejnwQ0yUxxrPpxn6Hk1e6FD5YaZZkOViE2Q_3Q/s320/Schermata%202022-06-10%20alle%2007.09.59.png" width="196" /></a></div><br /><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div>Purtroppo sappiamo bene che nel <b style="background-color: #fcff01;">1939</b> scoppiò la Seconda guerra mondiale e Leopoli finì sotto il controllo dell'Unione Sovietica per quasi 2 anni.</div><div>Intanto Banach divenne membro corrispondente dell'Accademia delle scienze dell'Ucraina e, in buoni rapporti con i matematici sovietici, si trovò costretto a promettere di imparare l'ucraino per poter mantenere la sua cattedra e continuare le sue attività accademiche.</div><div>Ma la situazione non restò così a lungo. Infatti, per via dell'<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Operazione_Barbarossa" target="_blank">Operazione Barbarossa</a></u>, <b style="background-color: #fcff01;">nel giugno 1941 i tedeschi conquistarono Leopoli</b> e tutte le università vennero di conseguenza chiuse.</div>Banach fu arrestato con l'accusa di traffico di valuta tedesca ma rilasciato dopo poche settimane. Sopravvisse a un periodo in cui vennero assassinati accademici polacchi e il suo supervisore di dottorato Lomnicki morì nella tragica notte del 3 luglio 1941 quando si verificarono molti massacri.<div>Verso la fine del 1941 Banach lavorò (assieme a diversi colleghi e a suo figlio) come "<u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Louse-feeder" target="_blank">alimentatore di pidocchi</a></u>" nell'istituto tedesco che si occupava di malattie infettive (in particolare era in corso una ricerca sul <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Tifo_esantematico#:~:text=Il%20tifo%20esantematico%20%C3%A8%20conosciuto,di%20pidocchi%20e%20di%20pulci." target="_blank">tifo epidemico</a></u>). Nutrire i pidocchi rappresentò sostanzialmente la sua vita durante il resto dell'occupazione nazista di Leopoli fino al luglio 1944.</div><div>Non appena le truppe sovietiche presero nuovamente possesso di Leopoli (nella cosiddetta "<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Offensiva_Leopoli-Sandomierz" target="_blank">Offensiva Leopoli-Sandomierz</a></u>"), Banach rinnovò i suoi contatti all'Università.</div>Tuttavia, poiché i sovietici stavano rimuovendo i polacchi dai territori annessi precedentemente della Polonia, Banach cominciò a prepararsi a lasciare la città e a stabilirsi a Cracovia, dove gli era stata promessa una cattedra all'Università Jagellonica. <div>Fu anche considerato come candidato alla carica di ministro dell'Istruzione della Polonia. </div><div>Nel <b style="background-color: #fcff01;">gennaio 1945</b> gli fu però diagnosticato un cancro ai polmoni e gli venne concesso di rimanere a Leopoli. </div><div><b><span style="color: red;">Banach esalò l'ultimo respiro il 31 agosto 1945, all'età di 53 anni.</span></b> Al suo funerale, al cimitero di Lychakiv, parteciparono centinaia di persone.</div><div>Concludiamo ricordando che, oltre all'introduzione del fondamentale concetto di spazio di Banach e ai suoi lavori pionieristici nell'ambito dell'analisi funzionale, Banach diede anche importanti contributi alla teoria degli <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_vettoriale_topologico" target="_blank">spazi vettoriali topologici</a></u>, alla <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Misura_(matematica)" target="_blank">teoria della misura</a></u>, alla <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi" target="_blank">teoria degli insiemi</a></u> e alla teoria dei <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Polinomi_ortogonali" target="_blank">polinomi ortogonali</a></u>, e il suo nome è associato anche alla cosiddetta <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Algebra_di_Banach" target="_blank">algebra di Banach</a></u> e al celebre <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Banach-Tarski" target="_blank">paradosso di Banach-Tarski</a></u> relativo alla decomposizione di una singola sfera in 2 sfere.</div><div><br /></div><div>----------------------------------------------------------------------------------------</div><div><div><span style="color: #3d85c6;"><b>Fonti essenziali:</b></span></div><div><span style="color: #3d85c6;"><br /></span></div><div><span style="color: #3d85c6;">- <u><a href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Banach/">https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Banach/</a></u></span></div><div><span style="color: #3d85c6;"><br /></span></div><div><span style="color: #3d85c6;">- <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Stefan_Banach">https://en.wikipedia.org/wiki/Stefan_Banach</a></u></span></div><div><span style="color: #3d85c6;"><br /></span></div><div><span style="color: #3d85c6;">- <i>Storia del pensiero matematico (II. Dal Settecento a oggi)</i> di Morris Kline</span></div></div>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-2873163095077916312022-03-10T15:38:00.002+01:002022-03-10T15:38:41.307+01:00UN GIGANTE DELLA FISICA MATEMATICA MODERNA: LUDVIG FADDEEV<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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In questi giorni l'argomento al centro delle discussioni è ovviamente l'orrore della guerra in Ucraina, che si spera termini al più presto. <div>Nel XXI secolo l'uomo dovrebbe aver imparato dal passato che le guerre portano solo morti, dolore e distruzioni specialmente a scapito delle persone più deboli, di coloro, persino tanti bambini, che si ritrovano da un giorno all'altro catapultati da una vita regolare (già di per sé con le sue problematiche) in uno scenario terrificante.<div><div>Va però anche detto che ci sono stati degli episodi agli onori delle cronache in cui si è preso tutto ciò come pretesto per denigrare la cultura russa in generale, che nulla ha a che vedere con quello che sta accadendo.</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhI0-xjo5VCz12yQmHfwCy-YH7BOGZmmrEI6kdBITCTmvqYu7FGUnpgTOUm7-esdkrIwcKlFlpFfNHCrWLeF8hijG0_d2G78aLTqNXpwb32C8-CxWQe5Q408hFHrJU3w9kOMG2GQ3i6JSNY0AMZysB7dFFQ2pHY-UVA9xBntqrIlXWAQjv9DL2XhR-NIg=s1772" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1322" data-original-width="1772" height="239" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhI0-xjo5VCz12yQmHfwCy-YH7BOGZmmrEI6kdBITCTmvqYu7FGUnpgTOUm7-esdkrIwcKlFlpFfNHCrWLeF8hijG0_d2G78aLTqNXpwb32C8-CxWQe5Q408hFHrJU3w9kOMG2GQ3i6JSNY0AMZysB7dFFQ2pHY-UVA9xBntqrIlXWAQjv9DL2XhR-NIg=s320" width="320"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Non è disprezzando/censurando improvvisamente la musica di Tchaikovsky e Shostakovich, la letteratura di Dostoevskij e Tolstòj, l'arte di Kandinskij e Brjullov e così via che la guerra magicamente finirà e/o si diventerà persone umanamente migliori.</div><div><b><span style="color: red;">La cultura</span></b> (nel senso più ampio del termine) <b><span style="color: red;">non è mai un male, è l'assenza di cultura ad esserlo!</span></b></div><div>Questa breve premessa ci fornisce l'input per estendere il discorso anche al mondo scientifico.</div><div>A tal proposito, questo post sarà dedicato ad un'analisi biografica di un grandissimo fisico e matematico russo, <b><span style="color: #38761d;">Ludvig Dmitrievich Faddeev (1934-2017)</span></b>, il cui nome viene talvolta scritto anche come Ludwig Dmitriyevich.<br></div><b style="background-color: #fcff01;">Ludvig Dmitrievich Faddeev nacque il 23 marzo 1934 a Leningrado</b> (l'attuale San Pietroburgo), in Russia, da Dmitrii Konstantinovich Faddeev (1907-1989) e Vera Nikolaevna Zamyatina, anche nota come Vera Fadeeva (1906-1983), entrambi famosi matematici.</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiYluq06dEQb3DHPRMXIgLphDHrtNQ8-SrZoGIwqUUyZlAItwbMOFZM7vCGv2IPz3Ned_xqQLgf8-i31KBaHajzrWXbJNtOtsx1n3R_rYSk3F5CnRkRVU9cZKbcCAjnIpd7FbvATjND0czfulh1igaF3Rba6JWaTqMF2Bc34hUV_4lUXH1Grg6CfB8yaA=s1200" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="798" data-original-width="1200" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiYluq06dEQb3DHPRMXIgLphDHrtNQ8-SrZoGIwqUUyZlAItwbMOFZM7vCGv2IPz3Ned_xqQLgf8-i31KBaHajzrWXbJNtOtsx1n3R_rYSk3F5CnRkRVU9cZKbcCAjnIpd7FbvATjND0czfulh1igaF3Rba6JWaTqMF2Bc34hUV_4lUXH1Grg6CfB8yaA=s320" width="320"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Nello specifico, il padre era un celebre algebrista, professore all'Università di Leningrado e membro dell'Accademia russa delle scienze, la madre era conosciuta tra gli addetti ai lavori per i suoi lavori nel settore dell'algebra lineare numerica.</div>Ludvig trascorse i suoi primi anni di vita a Leningrado, ma ben presto dovette fuggire dalla città durante la Seconda guerra mondiale, quando la città venne assediata dagli eserciti tedeschi.<br>Nel settembre 1939, la Russia, alleata con la Germania (si legga a tal proposito, <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Patto_Molotov-Ribbentrop" target="_blank">cliccando qui</a></u>, circa il patto Molotov-Ribbentrop), invase la Polonia da est. Ciò ha avuto scarso effetto sulla vita a Leningrado, almeno per un po' di tempo. <div>Nel <b style="background-color: #fcff01;">giugno 1941</b>, tuttavia, il corso della guerra mutò radicalmente per coloro che vivevano in Russia da quando <b><span style="color: #a64d79;">la Germania invase il loro paese</span></b>. Entro il mese successivo Hitler aveva in programma di conquistare sia Leningrado che Mosca. </div><div>Mentre gli eserciti tedeschi avanzavano rapidamente verso Leningrado nell'agosto 1941, molte persone furono evacuate dalla città, inclusa la famiglia Faddeev. </div><div><b style="background-color: #01ffff;">Per tutta la durata dell'assedio di Leningrado, la famiglia Faddeev visse a Kazan</b>, che si trova a circa 800 km a est di Mosca e considerata al sicuro dall'invasione tedesca.</div>Per molto tempo non ci fu possibilità di tornare a Leningrado, che fu liberata dall'assedio solo nel gennaio 1944. <div>Anche dopo la fine dell'assedio, l'accesso alla città devastata fu per molto tempo possibile solo con un permesso speciale. La famiglia Faddeev, insieme ad altri colleghi, ottenne tali permessi e Ludwig vi poté tornare con i suoi genitori.</div>Finito l'incubo della guerra, il giovane Faddeev dovette compiere un'ardua scelta tra perseguire una carriera nella musica oppure nel mondo accademico. <div>I suoi genitori lo incoraggiarono ad intraprendere una carriera musicale poiché <b><span style="color: #45818e;">suonava il piano ad un livello tecnicamente molto elevato</span></b>. Un tempo pensava infatti che avrebbe studiato musica al Conservatorio di Leningrado piuttosto che andare all'università. </div><div>Terminò la scuola media n. 155 nel distretto Smolninskiy di Leningrado. </div><div>Al liceo ebbe molti interessi diversi tra cui la modellazione radiofonica, lo sci di fondo e la fotografia. Una volta affermò di apprezzare l'algebra molto più della geometria e quando fu guidato su come risolvere i problemi trigonometrici con i metodi della geometria analitica si sentì eccitato.</div><div>Dopo il diploma di scuola superiore, ottenuto nel 1951, alla fine Faddeev scelse il percorso universitario e, in particolare, la <b><span style="color: #e69138;">facoltà di Fisica dell'Università statale di Leningrado</span></b>.</div><div>Quando Faddeev incominciò i suoi studi universitari <b><span style="color: #783f04;">Joseph Stalin</span></b> era Premier dell'Unione Sovietica e ben presto il giovane scienziato fu obbligato a comparire davanti al Comitato Comsomol (Gioventù Comunista) locale. Gli fu chiesto se gli piacesse leggere i <b><span style="color: #0b5394;">romanzi di Knut Hamsun</span></b>, uno scrittore norvegese che vinse il Premio Nobel per la letteratura nel 1920.</div>D'altronde Hamsun aveva sostenuto la Germania durante la Seconda guerra mondiale e i suoi romanzi, pertanto, erano considerati da Stalin inaccettabili.<div>Fortunatamente per Faddeev, Stalin morì (precisamente il 5 marzo 1953) poco tempo dopo l'evento e quindi la rognosa controversia non ebbe un seguito. </div><span></span></div><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2022/03/un-gigante-della-fisica-matematica.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-66426364119955497122022-02-02T15:25:00.000+01:002022-02-02T15:25:02.578+01:001 LITRE OF TEARS: UNA SERIE CHE SCAVA NEL PROFONDO DI UNA MALATTIA TREMENDAContinuiamo con la serie di post dedicati alle recensioni/analisi di grandi serie tv o anime.<div>Oggi parliamo di <i><b><span style="color: red;">1 Litre of Tears</span></b></i> (il titolo originale è <i>1 Litre no namida</i>), una serie giapponese (nello specifico un <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Dorama" target="_blank">dorama</a></u>) di 11 puntate andata in onda nel 2005 su <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Fuji_Television" style="text-decoration-line: underline;" target="_blank">Fuji TV</a> e che potete trovare anche su YouTube con sottotitoli in inglese (riporto il video del primo episodio di seguito).</div><div> <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/kFix26y7xr0" title="YouTube video player" width="410"></iframe></div><div><br></div><div>In verità sono stati realizzati anche altri adattamenti della medesima storia, ma qui ci riferiremo alla serie capolavoro appena menzionata.</div><div>Partiamo subito con una premessa. Se vi aspettate di guardare un'opera di intrattenimento leggero e da binge watching, <i>1 Litre of Tears</i> è ciò che vi è di più distante dalle tipiche produzioni cinematografiche e televisive che vanno di moda.</div><div>Questo discorso lo avevamo già fatto nella recensione su <i>Navillera</i> (<u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2021/12/navillera-quando-la-passione-oltrepassa.html" target="_blank">cliccate qui</a></u> per leggerla).</div><div>In <i>1 Litre of Tears</i> il discorso è portato agli estremi; l'intera opera non è mai caratterizzata da momenti banali, ogni singolo secondo della serie ha una sua importanza e un significato profondo. <b style="background-color: #01ffff;">Alcune scene sono proprio toste da digerire e non perché siano banalmente spaventose come quelle di un film horror, ma perché riportano momenti di cruda e dura realtà, che purtroppo non è sempre costituita dal cliché dell'happy ending.</b></div><div>Anche il titolo non è un'esagerazione; le lacrime scorrono a fiumi sia all'interno della serie, ma sono con elevata probabilità tantissime anche le lacrime che la vicenda, la recitazione perfetta e le magnifiche musiche di accompagnamento vanno a suscitare nello spettatore sin dalla primissima puntata.</div><div>Attenzione però a non manifestare subito il pregiudizio che siccome sia una serie indubbiamente molto triste non valga la pena di essere guardata.</div><div>Il probabile pianto che suscita una vicenda del genere non è solo di tristezza di fronte a una storia così intensa da colpire nel profondo di chiunque possieda almeno un briciolo di sensibilità, ma è spesso un pianto di forte commozione di fronte all'incredibile forza di volontà e spirito dimostrati dalla protagonista.</div><div>Evidenziamo sin da ora che pur essendo un adattamento romanzato (diciamo una versione più "allegra" della ancora più cruda realtà dei fatti), <b style="background-color: #fcff01;">la serie è basata su una storia vera narrata nell'omonimo diario di memorie di Aya Kitō (1962-1988) <i>1 Litre no namida</i>, pubblicato nel 1986 e che è arrivato a vendere ben 18 milioni di copie in Giappone.</b></div><div>A seguito di questa doverosa premessa, andiamo finalmente a capire di cosa tratta nello specifico l'opera.</div><div>Trattasi della storia di <b><span style="color: #2b00fe;">una ragazza di 15 anni, Aya Ikeuchi (interpretata da Erika Sawajiri)</span></b>, cioè la versione romanzata di <span style="background-color: white;">Aya Kitō,</span> la quale improvvisamente viene colpita da una malattia terribile.</div><div>I primi segni della malattia iniziano a manifestarsi con strane perdite di equilibrio e relative cadute, che vengono in un primo momento ignorate dalla ragazza e scambiate per sintomi di forte stress.</div><div>Aya è una ragazza allegra, solare e molto portata per lo sport, in particolare per il basket.</div><div>Nessuno poteva immaginare che di lì a poco la sua vita sarebbe cambiata radicalmente, non permettendole di condurre la "normale" vita di una studentessa di scuola superiore.</div><div>La famiglia di Aya è composta, oltre che dalla stessa Aya, dal padre Mizuo, il quale gestisce un'attività di vendita di tofu, dalla madre Shioka, dal fratello più piccolo Hiroki e da 2 sorelle, Ako e Rika.</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiHLxy--XmCoITi761BTlMmDa5k5dHPCtHq1cyed2eZ4HoR-LbUtv-cXPMBSF3KqgwlZ7mSFUWs9vPiI7s7l6I5Qjb7c2JzSTGn8AI4xW8sSAHhIdQffR5LF-G_j932z9SsWKf3yMK10F573cuuePd-z1VyQeGf0t1tMCuwWjk5yQuRSDhxeAKwGIEIdg=s599" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="599" data-original-width="403" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiHLxy--XmCoITi761BTlMmDa5k5dHPCtHq1cyed2eZ4HoR-LbUtv-cXPMBSF3KqgwlZ7mSFUWs9vPiI7s7l6I5Qjb7c2JzSTGn8AI4xW8sSAHhIdQffR5LF-G_j932z9SsWKf3yMK10F573cuuePd-z1VyQeGf0t1tMCuwWjk5yQuRSDhxeAKwGIEIdg=s320" width="215"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Un giorno, dopo una brutta caduta che fa finire Aya in ospedale, la visita di un medico specializzato in neurologia, Hiroshi Mizuno, porta alla tragica scoperta: Aya è affetta da <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Atassia_spinocerebellare" target="_blank">atassia spinocerebellare</a></u> (abbreviata SCA).</div><div><br></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh61XGrNkiDZ8GxQxElif4u1N0FgXGRIB-OYiqvSlekK1LAd-7AZlorpuePCvw1EZaI5re-jrfnahPTUAGtipo2WNk8AuKTGHPcesm3v2I55zdoEbfHVnuZCTzoaN0id1c3GGAIdMveO0vgj3tz9y9pAjfnvakwEVGMBNek-UQWHnrOZF1hua45mLikBA=s612" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="612" data-original-width="568" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh61XGrNkiDZ8GxQxElif4u1N0FgXGRIB-OYiqvSlekK1LAd-7AZlorpuePCvw1EZaI5re-jrfnahPTUAGtipo2WNk8AuKTGHPcesm3v2I55zdoEbfHVnuZCTzoaN0id1c3GGAIdMveO0vgj3tz9y9pAjfnvakwEVGMBNek-UQWHnrOZF1hua45mLikBA=s320" width="297"></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Immagine tratta da <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Spinocerebellar_ataxia" target="_blank">Wikipedia</a></u></i></td></tr></tbody></table><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>È una <b style="background-color: #04ff00;">malattia neurologica di origine genetica che si può manifestare in svariate tipologie differenti, ma purtroppo molte di queste sono a dir poco nefaste per l'individuo che le sviluppa.</b></div><div>È in particolare una <b><span style="color: #800180;">malattia degenerativa</span></b>, il che significa che progredisce nel tempo, portando alla manifestazione di sintomi sempre più gravi, sino a condurre alla morte.</div><div>La serie tv è esplicita sin dalla prima puntata sull'infernale percorso che Aya si troverà man mano ad affrontare per via della suddetta malattia.</div><div>Inizialmente, come detto, la patologia si manifesta con perdite improvvise nell'equilibrio, tuttavia <b><span style="color: #2b00fe;">man mano comporta una vera difficoltà nel camminare (costringendo alla fine all'utilizzo di una sedia a rotelle) e addirittura nel parlare.</span></b></div><div><b><span style="color: #2b00fe;">Nelle fasi finali della malattia l'individuo si ritrova praticamente allettato, incapace di comunicare verbalmente e con alta possibilità di strozzarsi e soffocare persino mangiando!</span></b></div><div>Ma l'aspetto più triste di tutto questo è che <b><span style="color: red;">non esiste alcuna cura per tale malattia</span></b>, non esisteva ai tempi della produzione della serie e non esiste tuttora oggi.</div><div>Insomma la SCA si abbatte come un tornado nella vita di una 15enne fino a quel momento spensierata e che si avviava a conseguire le prime esperienze sentimentali e a cominciare a pensare a cosa avrebbe fatto una volta terminati gli studi scolastici.</div><div>Inizialmente solo la madre apprende che la figlia è malata, cercando disperatamente di consultare tutti i medici possibili alla ricerca di una cura per la figlia.</div><div>La risposta di qualunque esperto è sempre la stessa: la patologia è incurabile e c'è solo la minima speranza che in futuro la medicina riesca a fare progressi significativi.</div><div>Il consiglio che viene subito dato alla madre è di riferire ad Aya della sua condizione, in maniera tale che possa ottimizzare il tempo a lei rimanente prima che i sintomi diventino gravi ed implacabili.</div><div>La madre ed il padre decidono tuttavia di mantenere per un po' il segreto, ma questo diventa ben presto un "segreto di Pulcinella" poiché Aya non è una ragazza stupida e capisce dopo poco che c'è qualcosa che non va nel suo corpo.</div><div>Nel frattempo la giovane studentessa fa la sua conoscenza con un ragazzo singolare, apparentemente freddo e distaccato di nome <b><span style="color: #b45f06;">Haruto Aso</span></b>.</div><div>Questi aveva perso da poco tempo il fratello maggiore, il quale avrebbe potuto continuare la tradizione di famiglia di studiare medicina e poter aiutare le altre persone.</div><div>Nonostante il suo carattere glaciale, Haruto si trova ad aiutare in diverse situazioni iniziali Aya e sviluppa man mano un certo interesse per la stessa.</div><div>Haruto sarà una figura fondamentale nel tormentato percorso di vita di Aya, anche se è opportuno specificare che <b><span style="color: #45818e;">questo ragazzo è frutto di un puro artifizio letterario</span></b>, giacché nella storia di vita reale, quella di Aya Kitō (le cui foto e citazioni vengono riportate nei titoli di coda di ogni puntata), non è presente alcun ragazzo ed Aya appare molto più sola di quanto non lo è nella serie tv.</div><div><b><span style="color: #0b5394;">Insomma il mondo reale è talvolta più duro e crudele delle storie di fantasia.</span></b></div><div><br></div><div style="text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjyiBMMNCqv7AEi6-AVGtNKZBVb6IXqjTCMDMmyXidRP2fzwlk2mV4ziEx1T2nQpB3kDTCxv_M205twmYRhfUTZiJRXo6q_dyO7o2ToIxvb4yrbwn5Z3qU0PuizU4megYWxaItVAY8T2dNlB8QmGf4E9_cE5n0bOjQNZuqDuJqpBdnfjmMqCOdE8mYJfQ=s572" style="clear: left; margin-bottom: 1em;"><img border="0" data-original-height="365" data-original-width="572" height="255" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjyiBMMNCqv7AEi6-AVGtNKZBVb6IXqjTCMDMmyXidRP2fzwlk2mV4ziEx1T2nQpB3kDTCxv_M205twmYRhfUTZiJRXo6q_dyO7o2ToIxvb4yrbwn5Z3qU0PuizU4megYWxaItVAY8T2dNlB8QmGf4E9_cE5n0bOjQNZuqDuJqpBdnfjmMqCOdE8mYJfQ=w400-h255" width="400"></a></div><br><div>In ogni caso la serie fa riflettere perché lo spettatore può ad ogni passo tentare di immedesimarsi nella ragazza e nella sua famiglia e cercare di comprendere cosa si possa provare in una situazione del genere, quali scelte appaiono più sensate e si giunge alla fine a sviluppare una totale ammirazione per la forza mostrata da Aya, una forza commemorata anche nell'ultima toccante puntata con una scena che ricorda un'altrettanta commovente scena del film <b><span style="color: red;"><i>Schindler's List</i></span></b>. </div><div>L'analogia con il film capolavoro di Steven Spielberg datato 1993 non si limita secondo me a questo.</div><div><i>Schindler's List</i> è la storia della durissima persecuzione subita dagli ebrei per via delle atrocità nei loro confronti pensate dai nazisti durante la Seconda guerra mondiale, ma è, allo stesso tempo, <b><span style="color: #783f04;">la storia di un uomo, Oskar Schindler (interpretato magistralmente da Liam Neeson) che, inizialmente interessato solo ai soldi e alla bella vita, arriva infine a rendersi conto, osservando gli orrori presenti nei campi di concentramento, dell'importanza della vita umana</span></b> e a compiere un gesto che nessuno si aspetterebbe da qualcuno legato al filone nazista.</div><div>A proposito di Schindler's List, riporto di seguito la splendida esecuzione al sassofono da parte di <b><span style="color: #2b00fe;">Dave Koz</span></b> del <i><b><span style="color: #ffa400;">Main Theme</span></b></i>. <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/GLwavfmabx8" title="YouTube video player" width="410"></iframe> </div><div><br></div><span></span><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2022/02/1-litre-of-tears-una-serie-che-scava.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-66332692929083353812022-01-14T00:02:00.000+01:002022-01-14T00:02:52.821+01:00CARNEVALE DELLA MATEMATICA #156: MATEMATICA DELLA VITA E VITA NELLA MATEMATICA<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjnayi4F315vHOjvbid7hWcfpF3A5mgLQDYvutCsvX-duXvoe-JNmwlI0RpYyNX7FpooPcYtp6XHjZKUWvS04QG7Rpbw3O_apERNJ5LSzL14LO4XfFmOyWr6D__Osj4GECT11GnL6d5b7p8SEdjdiiwzT4_Q1GxJgC1blmlfg2NeqenvWYDRmUqIRXXVA=s420" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="320" data-original-width="420" height="153" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjnayi4F315vHOjvbid7hWcfpF3A5mgLQDYvutCsvX-duXvoe-JNmwlI0RpYyNX7FpooPcYtp6XHjZKUWvS04QG7Rpbw3O_apERNJ5LSzL14LO4XfFmOyWr6D__Osj4GECT11GnL6d5b7p8SEdjdiiwzT4_Q1GxJgC1blmlfg2NeqenvWYDRmUqIRXXVA=w200-h153" width="200"></a></div><br><div><i><span style="color: #3d85c6;">"La vita non si misura attraverso il numero di respiri che facciamo, ma attraverso i momenti che ci lasciano senza respiro."</span></i> Maya Angelou</div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><b style="background-color: #ffa400;">Benvenuti alla 156ª edizione del Carnevale della Matematica</b>, la quarta che ha l'onore di ospitare il blog <i>Scienza e Musica</i>!</div><div>Tale edizione ha nome in codice (come ormai ben noto dovuto a <u><a href="https://keespopinga.blogspot.com/" target="_blank">Popinga</a></u>) <span style="color: #3d85c6;">"canta il merlo, canta allegro"</span> e cellula melodica (grazie a <u><a href="http://pitagoraedintorni.blogspot.com/" target="_blank">Dioniso Dionisi</a></u>, cioè Flavio Ubaldini) seguente. <iframe allow="autoplay" allowfullscreen="" height="350" src="https://www.noteflight.com/embed/a7c5a9515de71e00f5402d2391e487b4d7257b4b?scale=1&displayMode=paginated" width="410"></iframe> </div><div><br></div><div>La tematica selezionata come filo conduttore del presente evento è, come tradizione, ricchissima di spunti di riflessione: <b style="background-color: #01ffff;">"Matematica della vita e vita nella matematica"</b>. </div><div>Prima di aprire la passerella ai vari interessanti contributi inviati dai carnevalisti per questa edizione, immancabile è un'introduzione dedicata al tema dell'edizione.</div><div>Come avevo già segnalato nella <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/12/carnevale-della-matematica-n156-1-call.html" target="_blank">1ª call for papers</a></u>, il tema si presta ad una doppia lettura.</div><div>Da una parte abbiamo la <b><span style="color: #674ea7;">matematica della vita</span></b> e quindi inerente agli esseri viventi in generale, essere umano compreso. </div><div>È un tema che apre spiragli verso l'attualità, dato che anche la matematica ha avuto e sta avendo un ruolo di analisi ed aiuto relativamente alla pandemia da Covid19 che sta creando grossi disagi (e purtroppo pure molti morti) sin dall'inizio del 2020 (si veda a tal proposito, ad esempio, l'articolo, pubblicato su <i>Infectious Disease Modelling</i>, Volume 6, 2021, di Gumel, Iboi, Ngonghala ed Elbasha <u><a href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2468042720300750" target="_blank">cliccando qui</a></u>). </div><div><br></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgfc4dykkI9At5OPeFacHAp27BLVVWUAuSZiP7dmuQ0FJLoN_BNruLAAMwIZSG-UaPKax2Ap3_DXzn64O3NSZexKeb1Y1DUN37Ympyw-zxfDRjtStEMrece99d3lRvDxN7a-YJ8gxPkBBsl8a4VHzyYyPVd-MtXL8C_69A3S94kkNDoloxvAUC8yboRNg=s910" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="550" data-original-width="910" height="241" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgfc4dykkI9At5OPeFacHAp27BLVVWUAuSZiP7dmuQ0FJLoN_BNruLAAMwIZSG-UaPKax2Ap3_DXzn64O3NSZexKeb1Y1DUN37Ympyw-zxfDRjtStEMrece99d3lRvDxN7a-YJ8gxPkBBsl8a4VHzyYyPVd-MtXL8C_69A3S94kkNDoloxvAUC8yboRNg=w400-h241" title="Illustration by Eunice Dhivya" width="400"></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Illustrazione di Eunice Dhivya</i></td></tr></tbody></table><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Dall'altra parte abbiamo la <b><span style="color: #783f04;">vita nella matematica</span></b>, cioè, in generale, la nostra personale esperienza (e tempo trascorso) con la matematica o quella di coloro che in passato e nel presente hanno dedicato/dedicano la loro esistenza a contribuire allo sviluppo (più o meno grande) di tale meravigliosa disciplina. È pertanto un tema assai variegato e dalle mille sfaccettature, come avrete modo di scoprire nella sezione ad esso dedicata del Carnevale.</div><div>In questa introduzione ci focalizzeremo sulla prima grossa tematica, dato che si presta molto meglio ad essere analizzata in tal contesto, mentre lasceremo la seconda unicamente alla libera interpretazione (e anche alle esperienze e contributi personali) dei partecipanti.</div><div>Non c'è forse modo migliore di incominciare che riportare un estratto dalla Prefazione del libro (datato 2010) <i><span style="color: red;"><b>La matematica della vita</b></span></i> del professore emerito di matematica all'Università di Warwick (e grande divulgatore scientifico) <b><span style="color: #2b00fe;">Ian Stewart</span></b>:</div><div><br></div><div><span style="color: #3d85c6;">"Nel vasto campo della matematica, la teoria e le applicazioni pratiche si sono storicamente sviluppate in parallelo, dal momento in cui i primi uomini hanno inciso tacche su pezzi di ossa per registrare il succedersi delle fasi della Luna fino alle recenti indagini sul bosone di Higgs condotte con il Large Hadron Collider. I calcoli di Isaac Newton ci hanno fornito precise informazioni sugli spazi dell'universo e le forze che vi interagiscono, e durante gli ultimi tre secoli i suoi successori hanno scoperto e imparato a trattare tutti i fenomeni della fisica, utilizzando gli strumenti della matematica: il calore (nella disciplina detta termodinamica), la luce (nell'ottica), il suono (nell'acustica), la meccanica dei fluidi e, più tardi, la relatività e la meccanica quantistica. Il pensiero matematico è diventato il paradigma (cioè l'insieme degli strumenti d'indagine e di argomentazione descrittiva) essenziale delle scienze fisiche. </span></div><div><span style="color: #3d85c6;">Fino a tempi relativamente recenti, per le scienze della vita la situazione era diversa. In questo settore la matematica era, nel migliore dei casi, una sorta di servo tuttofare: aveva, come si dice, un ruolo ancillare. Veniva utilizzata per eseguire calcoli di tipo tradizionale e per valutare l'attendibilità degli schemi statistici rilevabili nei dati sperimentali ottenuti. La matematica non forniva contributi importanti per formulare nuove ipotesi teoriche o semplicemente per concorrere alla comprensione dei fenomeni. Non era fonte d'ispirazione per grandi teorie o grandi esperimenti. In effetti, per un lungo periodo della storia della scienza la matematica avrebbe potuto semplicemente non esistere. Oggi la situazione sta cambiando. Recenti scoperte nel campo della biologia hanno dato il via alla formulazione di una quantità di importanti problemi, ed è improbabile che molti di questi possano essere risolti senza massicci contributi forniti dalla matematica. La varietà delle ipotesi matematiche oggi utilizzate nelle scienze della vita è enorme e le richieste che vengono dai vari settori della biologia stimolano lo sviluppo di procedure di calcolo e analisi del tutto nuove, specificamente adatte a descrivere i processi degli esseri viventi. I matematici e i biologi del nostro tempo lavorano insieme su alcuni temi, estremamente complessi, che la specie umana non aveva mai affrontato in precedenza: tra questi la natura e l'origine del fenomeno vita.</span></div><div><span style="color: #3d85c6;">La biologia è destinata a diventare il grande territorio di frontiera per la matematica del XXI secolo."</span></div><div><br></div><div>È proprio così, la matematica si sta man mano prefigurando come linguaggio della scienza a 360°, mantenendo però contemporaneamente e chiaramente anche l'aspetto di disciplina a se stante, la cosiddetta <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Matematica_pura" target="_blank">matematica pura</a></u>, in cui la ricerca non è puntata esplicitamente a trovare nuove applicazioni "concrete", bensì alla curiosità matematica in sé, che spinse e continua a spingere generazioni di matematici a "poggiarsi sulle spalle dei giganti" del passato e ampliare la nostra visione globale della matematica.</div><div>Recentemente, il <b style="background-color: #fcff01;">5 ottobre 2021</b>, uno dei premi Nobel assegnati per la Fisica è andato ad un grande fisico teorico italiano, il Prof. <b><span style="color: red;">Giorgio Parisi</span></b> dell'Università "La Sapienza" di Roma, per i suoi studi inerenti ai <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_complesso" target="_blank">sistemi complessi</a></u>.</div><div>Tra i rilevanti sistemi complessi studiati da Parisi risultano anche le incredibili coreografie effettuate dagli storni nel cielo. Di seguito uno splendido video illustrativo con sottofondo musicale fornito dal meraviglioso <i>Canone</i> di Pachelbel.</div><div><iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/AYXktkfMnSI" title="YouTube video player" width="410"></iframe></div><div><br></div><div>Questo tipo di problemi viene affrontato, tra le altre cose, grazie alla <b><span style="color: #b45f06;">meccanica statistica</span></b>.</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEimH-522Rrsc0f19h2SqIf8FWmBlPGjK_uaMtE1u3oDDk0gVrGQLm5Aaxnw4n8Lo6LJgEeBhGl0MVdyVvtK_k4SOqIyXGsXI2GY7_pVgLdDjNimvqwu7k6Xt1xLh-hgE5jdThd-J7WUWKQ07fDLMpYrUwOrDAsaMArJJ-CzwYbwOmZkbgnNMy7aQm_OEw=s567" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="567" data-original-width="500" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEimH-522Rrsc0f19h2SqIf8FWmBlPGjK_uaMtE1u3oDDk0gVrGQLm5Aaxnw4n8Lo6LJgEeBhGl0MVdyVvtK_k4SOqIyXGsXI2GY7_pVgLdDjNimvqwu7k6Xt1xLh-hgE5jdThd-J7WUWKQ07fDLMpYrUwOrDAsaMArJJ-CzwYbwOmZkbgnNMy7aQm_OEw=s320" width="282"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Tornando seri, il lettore non addetto ai lavori potrebbe chiedersi cos'è nello specifico la meccanica statistica e perché ha avuto un ruolo rilevante negli studi compiuti da Parisi.</div><div>Per cercare di rispondere a tali interrogativi, partiamo dal fatto che anche coloro che hanno avuto esperienze scolastiche minime di fisica avranno magari nei loro ricordi i problemi che vanno ad analizzare un singolo corpo (il famoso punto materiale) o comunque situazioni in cui compare un numero relativamente basso di oggetti e vincoli.</div><div>Pure coloro più appassionati e/o coraggiosi che approcciano per la prima volta la <b><span style="color: #ff00fe;">meccanica quantistica</span></b> (abbreviata <b><span style="color: #ff00fe;">MQ</span></b>) in modo serio (per "serio" intendo con tutto il formalismo matematico associato e non solo raccontata come favoletta o romanzo in cui il <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_del_gatto_di_Schr%C3%B6dinger" target="_blank">gatto di Schrödinger</a></u> è praticamente sempre protagonista!), in verità, si trovano ad affrontare quella che è una versione semplificata della MQ, ovvero la MQ degli <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Stato_quantico#Stati_puri" target="_blank">stati puri</a></u>.</div><div>La MQ degli stati puri va benissimo come base di partenza per svariati aspetti della fisica, ma se si volesse per esempio capire un po' nel dettaglio il singolare fenomeno dell'<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Entanglement_quantistico" target="_blank">entanglement quantistico</a></u>, allora questa non sarebbe sufficiente e infatti occorre introdurre il concetto di matrice o <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_densit%C3%A0" target="_blank">operatore densità</a></u>, il quale si fonda a sua volta sul fatto che lo stato di un sistema fisico in MQ non è in generale totalmente determinato.</div><div>Potremmo conoscere alcune caratteristiche di quel sistema, ma è impossibile descrivere tutte le sue proprietà.</div><div>In termini tecnici, ciò che noi sicuramente conosciamo (a meno che il sistema non sia uno stato puro, il quale è completamente noto) è che il sistema si trova in uno stato appartenente ad un certo <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_statistico" target="_blank">ensemble statistico</a></u> $\left \{ | \psi_1 \rangle, | \psi_2 \rangle, ..., | \psi_l \rangle \right \}$, con probabilità $\left \{p_1, p_2, ..., p_l \right \}$, e che si verifichi l'ovvia condizione $\sum_{i = 1}^{l} p_i = 1$. </div><div>Si parla nello specifico, in tal caso, di <b><span style="color: #45818e;">miscela statistica</span></b> di stati $| \psi_k \rangle$ con peso $p_k$.</div><div>Tornando ad un livello di narrazione alla portata di chiunque e generalizzando il discorso, come ben riassume <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Meccanica_statistica" target="_blank">Wikipedia</a></u>, <span style="color: #3d85c6;">"la meccanica statistica è la branca della fisica che utilizza la statistica e la teoria della probabilità per lo studio del comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un gran numero di particelle"</span>.<div>Nel caso vogliate approfondire, abbiamo incominciato, qui su <i>Scienza e Musica</i>, ad introdurre i primissimi elementi fondamentali della meccanica statistica <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2017/03/boltzmann-la-distribuzione-canonica-e_11.html" target="_blank">qui</a></u>, <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2017/03/boltzmann-la-distribuzione-canonica-e_22.html" target="_blank">qui</a></u> e <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2019/12/teorema-di-equipartizione-dellenergia.html" target="_blank">qui</a></u>.</div><div>Riporto ora un breve stralcio dall'ultimo libro dello stesso Giorgio Parisi, <i><b><span style="color: #990000;">In un volo di storni</span></b></i>, ove viene illustrata in sintesi la sua ricerca (compiuta assieme al suo team) a cavallo tra la fisica e la biologia:</div><div><br></div><div><span style="color: #3d85c6;">"Anche se studiare il comportamento degli storni è ovviamente materia da biologo, lo studio quantitativo dei movimenti tridimensionali degli individui richiede un'analisi che può essere fatta solo da fisici. L'analisi contemporanea di migliaia di uccelli su centinaia di foto per ricostruire le traiettorie dei singoli esemplari nello spazio e nel tempo è un'attività tipica del nostro mestiere. Le tecniche adatte a queste analisi hanno molto in comune con quelle che abbiamo sviluppato per risolvere i problemi di fisica statistica o per analizzare quantità massicce di dati sperimentali. </span></div><div><span style="color: #3d85c6;">Dopo quasi due anni di lavoro eravamo gli unici al mondo a possedere le immagini tridimensionali di gruppi di storni...Quando guardiamo gli stormi a occhio nudo da terra, una delle caratteristiche più impressionanti è vedere come la loro forma cambi molto velocemente; è difficile descriverlo a qualcuno che non l'abbia mai visto: in cielo si muovono oggetti di forma variegata che all'improvviso diventano più piccoli, più schiacciati, poi si riallargano, cambiano, diventano quasi invisibili, poi più scuri. C'è un'enorme variazione nella loro forma e nella loro densità.</span></div><div><span style="color: #3d85c6;">Molte simulazioni del volo, in cui si cercava di riprodurre al computer questo comportamento, partivano da stormi che erano sostanzialmente di forma sferica. Le prime foto tridimensionali ci hanno mostrato però che uno stormo assomiglia piuttosto a un disco. Proprio per questo motivo vediamo la forma variare rapidamente: un oggetto a forma di disco, a seconda della direzione da cui è osservato, può diventare molto grande e tondo se visto di piatto o decisamente più stretto se visto di taglio. L'enorme e velocissima variazione di forma e densità risulta quindi essere l'effetto tridimensionale del cambiamento dell'orientazione dello stormo rispetto a noi (spiegazione che era stata avanzata da Nicola Cabibbo prima di fare l'esperimento, ma senza i dati osservativi non potevamo dimostrare che l'intuizione era corretta). Siamo stati invece estremamente sorpresi nello scoprire che la densità al bordo rispetto alla densità al centro è maggiore di quasi il 30%." </span></div><div><br></div><div>Questo piccolo assaggio dell'imponente lavoro dello straordinario fisico teorico italiano mostra pertanto come sia possibile andare a implementare nuovi standard, derivati dalla fisica (e quindi con alla base un massiccio uso di matematica), per indagare problemi estremamente complicati in ambito biologico e che con la sola biologia non sarebbero risolvibili.</div><div>Restiamo nell'ambito della ricerca italiana, segnalando pure il poderoso lavoro, pubblicato il 28 luglio 2021 sulla rivista <i>Cerebral Cortex</i>, effettuato dal noto neuroscienziato Prof. <b><span style="color: #2b00fe;">Giorgio Vallortigara</span></b> (e colleghi) circa il senso del numero (o "numerosità") riscontrato in un'area del cervello dei pesci zebra: <u><a href="https://academic.oup.com/cercor/advance-article/doi/10.1093/cercor/bhab218/6329413" target="_blank">cliccate qui</a></u> per leggere l'articolo di ricerca. <br>Riporto di seguito la mia traduzione libera dell'abstract:</div><div><br></div><div><span style="color: #3d85c6;">"Abbiamo trovato una regione del pallio del pesce zebra che mostra un'attivazione selettiva al cambiamento nella numerosità degli stimoli visivi. I pesci zebra erano abituati ad insiemi di piccoli punti che cambiavano in dimensione, posizione e densità individuali, mantenendo al contempo la loro numerosità e la superficie complessiva. Durante i test di disabituazione, il pesce zebra ha affrontato un cambiamento nel numero (con la stessa superficie complessiva), nella forma (con la stessa superficie e numero complessivi), o nella dimensione (con la stessa forma e numero) dei punti, mentre, in un gruppo di controllo, il pesce zebra ha affrontato i medesimi stimoli incontrati durante l'assuefazione. La modulazione dell'espressione dei geni immediati precoci <i>c-fos</i> ed <i>egr-1</i> e l'ibridazione in situ hanno rivelato un'attivazione selettiva della parte caudale della divisione dorso-centrale del pallio del pesce zebra al variare della numerosità. Tali risultati supportano l'esistenza di un meccanismo evolutivamente conservato per la grandezza approssimativa e forniscono un modo per comprendere i suoi correlati molecolari sottostanti." </span></div><div><br></div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEijj964j4yXwjDTuQnZ5nTY36achfQoUSAmUw5rLp-t_Rb4JE5imKCiLeYxd5kgts-zCXFaK0eSEt6d-BIFqC8ty_enZK6MsYTlSE3K_FWNde8UxYBhaUO7Bo7mv7nMznin82xohcoNhAvCNjlZ0Y_q2uGl388-8mt9egUkdGyDddkvAKM1aLwKl6A2FA=s520" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="423" data-original-width="520" height="325" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEijj964j4yXwjDTuQnZ5nTY36achfQoUSAmUw5rLp-t_Rb4JE5imKCiLeYxd5kgts-zCXFaK0eSEt6d-BIFqC8ty_enZK6MsYTlSE3K_FWNde8UxYBhaUO7Bo7mv7nMznin82xohcoNhAvCNjlZ0Y_q2uGl388-8mt9egUkdGyDddkvAKM1aLwKl6A2FA=w400-h325" width="400"></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Immagine tratta dal paper di G. Vallortigara</i></td></tr></tbody></table><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Compiendo un viaggio nel passato, è interessante notare come il geniale <b><span style="color: red;">Galileo Galilei (1564-1642)</span></b> abbia cercato di comprendere come fosse possibile l'esistenza di animali di grossa stazza, tra cui le balene.</div><div>A tal proposito riporto un significativo frammento tratto dal saggio <i><b><span style="color: #674ea7;">Sorella Scimmia, Fratello Verme</span></b> </i>del ben conosciuto matematico, logico e divulgatore scientifico Prof. <b><span style="color: #e69138;">Piergiorgio Odifreddi</span></b>: </div><div><br></div><div><span style="color: #3d85c6;">"Galileo le tira [le balene] doverosamente in ballo nella discussione dei <i>Discorsi</i>, notando che “sono grandi quanto dieci elefanti, eppure si sostengono”, e propone la seguente soluzione</span></div><div><br></div><div><span style="color: #45818e;">Un animale gigante con la stessa struttura ossea di uno minore potrebbe esistere e muoversi allo stesso modo, o addirittura più agevolmente, se si diminuisse in maniera inversamente proporzionale il peso delle sue ossa e della sua carne. E questo è il trucco che la Natura ha usato nella creazione dei pesci, nei quali le ossa e la carne non sono soltanto molto leggere, ma non hanno alcun peso...</span></div><div><span style="color: #45818e;">Il fatto che i pesci possano mantenersi immobili in immersione è una prova evidente che il loro peso uguaglia la spinta dell'acqua. Se dunque in essi ci sono parti più pesanti dell'acqua, allora ce ne devono essere altre meno pesanti, così da poter mantenere l'equilibrio. Se le ossa fossero più pesanti, la carne sarebbe più leggera, e si opporrebbe al peso delle ossa. Negli animali acquatici accadrebbe allora l'opposto che negli animali terrestri: in questi sono le ossa a sostenere il peso di sé stesse e della carne, e in quelli sarebbe la carne a sostenere il peso di sé stessa e delle ossa.</span></div><div><br></div><div><span style="color: #3d85c6;">In ogni caso, lo scheletro delle balene è molto diverso da quello degli animali terrestri...Uno scheletro umano vestito assomiglia molto a un uomo, ma uno scheletro di balena rivestito non assomiglia affatto a una balena. Quest'osservazione di Melville </span><span style="color: #783f04;">[in <i>Moby Dick</i>]</span><span style="color: #3d85c6;"> era puramente qualitativa, come d'altronde lo erano quelle di Galileo, ma tra l'uno e l'altro Leonhard Euler effettuò un'analisi quantitativa in tre storici articoli: <i>La forza delle colonne</i> (1759), <i>L'altezza delle colonne sottoposte al proprio peso</i> (1778) e <i>I carichi che una colonna può sopportare</i> (1780), nel primo dei quali stabilì una famosa formula per calcolare il carico critico che porta una colonna a inflettersi, con il rischio di spezzarsi e collassare."</span></div><div><span style="color: #3d85c6;"><br></span></div><div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEimaZgf99Hr19oZt_CA4JRvnOxeVCPyV8ThiTSZnFlexGLfrmcW5sT83V50iFjthUj5G2lSMZJSkFmD0HYq7OCAXDnbg6DaC2PRxSE5Ng0f6XFozLyfRvF6yTmOvSusqcgqMG1l_WeIH5jkhQi5-wR1JHdfEcjkSEyg1qdGczOXyaMT4eW-yKOut99LUQ=s1200" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1200" data-original-width="1200" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEimaZgf99Hr19oZt_CA4JRvnOxeVCPyV8ThiTSZnFlexGLfrmcW5sT83V50iFjthUj5G2lSMZJSkFmD0HYq7OCAXDnbg6DaC2PRxSE5Ng0f6XFozLyfRvF6yTmOvSusqcgqMG1l_WeIH5jkhQi5-wR1JHdfEcjkSEyg1qdGczOXyaMT4eW-yKOut99LUQ=w400-h400" width="400"></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Un'illustrazione di Moby Dick</i></td></tr></tbody></table><br><span style="color: #3d85c6;"><br></span></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Nello specifico, la formula di Eulero a cui si fa riferimento è la seguente (ne riportiamo il caso più generale):</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEg5yKQp_cNrmINfeHD6y2gEgD3HgBHcpzz20N7ogiIHKV8C3iUyyZeYAglmydQsdSuW1tCcjQTRjffV_fB3nnhphgGQUtZSkS8Wg3OJauV6Lvoct6efmn2JIsNpGQWyM38ZfzgzEvtHwozvoDTjh38dn0_PSiFRenyOW0mHSS-sMaofgCele7la4DUM2A=s84" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="41" data-original-width="84" height="41" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEg5yKQp_cNrmINfeHD6y2gEgD3HgBHcpzz20N7ogiIHKV8C3iUyyZeYAglmydQsdSuW1tCcjQTRjffV_fB3nnhphgGQUtZSkS8Wg3OJauV6Lvoct6efmn2JIsNpGQWyM38ZfzgzEvtHwozvoDTjh38dn0_PSiFRenyOW0mHSS-sMaofgCele7la4DUM2A" width="84"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>ove:</div><div><ul style="text-align: left;"><li>$P$ denota il <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Carico_critico_euleriano" target="_blank">carico critico</a></u> che non deve essere superato affinché non subentri la flessione laterale;</li><li>$E$ è il <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Modulo_di_elasticit%C3%A0" target="_blank">modulo di elasticità</a></u>;</li><li>$J$ indica il momento quadratico assiale minimo della sezione del solido;</li><li>$l$ rappresenta la lunghezza libera di inflessione dipendente dai vincoli. </li><ul><br></ul></ul>Restando nel mondo degli animali, molto celebre è l'associazione tra i conigli e la matematica.</div><div>Come ho accennato in un post relativo alla sezione aurea (<u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2013/05/la-sublime-sezione-aurea.html" target="_blank">cliccate qui</a></u>), sussiste un famoso problema che mette in relazione la riproduzione dei conigli con la <b><span style="color: #2b00fe;">successione di Fibonacci</span></b>.</div><div><br></div><div><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh1HWRukeocYYBhOxNxfSLhFDaumvyLBmbhEm0a87SteoHT8ZQlhn8cs8A_1U0td2vHoC9ol3hp8h-rY0-w_qB8aio7n72EiRIuK8c49H5He3Y5_p62M3tCptxovRXuD6DYYIj_IqwHI4SrCr2VjZj9t8xb2DOvV5mIoQfNANvN_0v-z_MAJPLVaB3eMg=s320" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="269" data-original-width="320" height="269" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEh1HWRukeocYYBhOxNxfSLhFDaumvyLBmbhEm0a87SteoHT8ZQlhn8cs8A_1U0td2vHoC9ol3hp8h-rY0-w_qB8aio7n72EiRIuK8c49H5He3Y5_p62M3tCptxovRXuD6DYYIj_IqwHI4SrCr2VjZj9t8xb2DOvV5mIoQfNANvN_0v-z_MAJPLVaB3eMg" width="320"></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><i>Illustrazione dei "conigli di Fibonacci"</i></td></tr></tbody></table><br> </div><div><br></div><div><br></div><div> </div><div><br></div><div><br></div><div> </div><div><br></div><div><br></div><div> </div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Tuttavia la presenza della successione di Fibonacci nel mondo degli esseri viventi va ben oltre l'esempio dei simpatici "divoratori di carote".</div><div> <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/FzeFyKiPHZ8" title="YouTube video player" width="410"></iframe></div><div><br></div><div>Anche le piante presentano eccezionali esempi di manifestazione spontanea di questa "magica" sequenza numerica.</div><div>A tal proposito vi segnalo un brillante contributo didattico della Prof.ssa <b><span style="color: red;">Annarita Ruberto</span></b> (nota su Twitter con lo pseudonimo di <u><a href="https://twitter.com/Nereide" target="_blank">Nereide</a></u>), che non solo può vantare una laurea magistrale in fisica e un numero impressionante di esperienze e ricerche originali in campo didattico (tra cui la collaborazione con la rivista <u><a href="http://www.lascuola.it/it/home/saggistica_news/1375451952757/1377669654654" target="_blank">Scuola e Didattica</a></u>), ma pure svariati talenti in ambito artistico, letterario e della cultura in generale. </div><div>L'articolo in questione sul blog <i>Scientificando</i> (<u><a href="https://www.tutto-scienze.org/2008/10/foglie-inserie-di-fibonacci-proposta-di_25.html" target="_blank">cliccate qui</a></u> per leggerlo) va ad illustrare un'attività laboratoriale per studenti di scuola media volta a verificare che la disposizione delle foglie sul fusto di una pianta (la cosiddetta fillotassi) non è lasciata al caso, ma conduce proprio alla successione di Fibonacci. </div><div>Questo a dimostrazione che non è necessario far riferimento unicamente alla fantascienza per poter rimanere stupiti di fronte ad un fenomeno: la natura già mostra eventi straordinari e sbalorditivi di per sé. Con il giusto approccio didattico, si può sempre mostrare che la matematica e la scienza sono tutt'altro che discipline aride e noiose!</div><div>Come ulteriore intermezzo musicale, ascoltiamo l'esecuzione, da parte del pianista <b><span style="color: #0b5394;">David Macdonald</span></b> (anche noto come aSongScout), di un brano composto, a partire dalla sequenza di Fibonacci, assegnando numeri alla scala di Mi maggiore. <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/IGJeGOw8TzQ" title="YouTube video player" width="410"></iframe></div><div><br></div><div>Abbiamo compiuto una panoramica di vari interessanti collegamenti tra la matematica e la vita.</div><div>Una domanda che potrebbe sorgere spontanea è se la matematica possa avere un ruolo rilevante anche nello studio del corpo umano e in medicina (al di là dell'attuale questione pandemia).</div><div>La risposta è affermativa. Poniamo la nostra attenzione sul <b><span style="color: red;">cuore</span></b>. </div><div>Alcuni dei problemi di ricerca di maggior rilevanza nell'ambito della cardiologia matematica hanno a che fare con la propagazione di onde elettriche nel tessuto cardiaco; si parla a tal proposito di <b><span style="color: #bf9000;">elettrofisiologia</span></b>.</div><div>Lo studio quantitativo dell'elettrofisiologia ha una storia decisamente affascinante, ricca di trionfi ma anche di tragedie.</div><div>Per esempio, il fisiologo inglese <span style="color: #45818e;"><b>George Ralph Mines (1886-1914)</b></span> sembrerebbe essere morto prematuramente a causa di esperimenti di stimolazione elettrica compiuti sul proprio stesso corpo.</div><div>Quasi mezzo secolo dopo la scomparsa di Mines, i fisiologi britannici <b><span style="color: #e06666;">Alan Hodgkin (1914-1998) </span></b>ed <b><span style="color: #a64d79;">Andrew Huxley (1917-2012)</span></b> introdussero un modello di propagazione elettrica nell'<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Assone_gigante_di_calamaro" target="_blank">assone gigante di calamaro</a></u>.</div><div>È incredibile pensare come i due scienziati siano riusciti a sviluppare un modello matematico così sofisticato senza poter contare sull'ausilio dei moderni computer.</div><div>Il poderoso lavoro svolto valse loro il <b style="background-color: #fcff01;">premio Nobel per la Fisiologia nel 1963</b>.</div><div>Il concetto fondamentale alla base della suddetta ricerca è quello di <b><span style="color: red;">potenziale d'azione</span></b>, evento di breve durata in cui l'energia di una cellula si innalza rapidamente per poi decrescere, seguendo una traiettoria coerente.</div><div>Riporto da <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Potenziale_d%27azione" target="_blank">Wikipedia</a></u> un'ottima immagine in cui, nella parte in alto (denotata con A), viene fornita una rappresentazione schematica del potenziale d'azione mentre, nella parte B, vediamo la registrazione effettiva di un potenziale d'azione in un neurone piramidale della corteccia dell'ippocampo di ratto.</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgKNZ39i84RPmmuP4oHKnHtejW3Rygp3k5TiIWivcwrTlI7PJZe6rJHDuPpkwJTKyjZyVvSJP0S9uBooZGmZAiOhR_MfyYw1O4IiF8gKWVWeyfpIc0oAn75VuK5QP9hWF-g-FaYFkxNQxT6mX-wnff9YgNtvAoRChiXnfENm3OnwY9BBUhCDfH89WdySg=s1130" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1130" data-original-width="795" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgKNZ39i84RPmmuP4oHKnHtejW3Rygp3k5TiIWivcwrTlI7PJZe6rJHDuPpkwJTKyjZyVvSJP0S9uBooZGmZAiOhR_MfyYw1O4IiF8gKWVWeyfpIc0oAn75VuK5QP9hWF-g-FaYFkxNQxT6mX-wnff9YgNtvAoRChiXnfENm3OnwY9BBUhCDfH89WdySg=w281-h400" width="281"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div> </div><div> </div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Tornando al caso specifico del cuore, l'idea fondamentale per uno studio di carattere matematico è quella di modellizzare la membrana cellulare cardiaca alla stregua di un <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Circuito_RC" target="_blank">circuito elettrico RC</a></u>.</div><div>La membrana agisce sia come <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Condensatore_(elettrotecnica)" target="_blank">condensatore</a></u> (giacché supporta un differenziale di carica) sia come <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Resistore" target="_blank">resistore</a></u> variabile (poiché può aprire e chiudere i canali ionici per regolare il flusso di corrente verso l'interno e verso l'esterno).</div><div>Sia $C_m$ la <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Capacit%C3%A0_elettrica" target="_blank">capacità elettrica</a></u> di una membrana cellulare cardiaca e $v$ la <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Tensione_elettrica" target="_blank">tensione</a></u> attraverso la membrana; la corrente capacitiva $C_m \frac{\mathrm{d}v}{dt}$ deve dunque bilanciare la corrente ionica totale $I_{\mathrm{ion}}$.</div><div>Deve pertanto valere l'equazione</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhrqxGi3gtUR31GZpFFbAQD09U6guEmbTSxfXYVbTWsKtmBB-Wuc6R8aDSlaAkgicF3l0_My5tmetWXJkvS6M548i0waaTctHScBCve_OXzF59wjnvmvqYiQfozJshhr9VqVhVodEzpAN6AkfOeOFSbAQyGTFlmD23II2e6HdYSBzHVVhlhg0rLytRgQA=s129" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="38" data-original-width="129" height="38" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhrqxGi3gtUR31GZpFFbAQD09U6guEmbTSxfXYVbTWsKtmBB-Wuc6R8aDSlaAkgicF3l0_My5tmetWXJkvS6M548i0waaTctHScBCve_OXzF59wjnvmvqYiQfozJshhr9VqVhVodEzpAN6AkfOeOFSbAQyGTFlmD23II2e6HdYSBzHVVhlhg0rLytRgQA" width="129"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div>Il ruolo della ricerca matematica è quello di cercare di determinare una forma specifica di $I_{\mathrm{ion}}$ al fine di pervenire ad un modello realistico, che poggi le sue fondamenta naturalmente sull'originale formalismo di Hodgkin-Huxley, e che si manifesta sotto forma di sistemi di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_differenziale_ordinaria" target="_blank">equazioni differenziali ordinarie</a></u>.</div><div>Si può citare, a titolo di esempio, la <b><span style="color: #2b00fe;">riduzione FitzHugh-Nagumo</span></b> (descritta nell'articolo del 1961 di R. FitzHugh <i>Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane</i>) del modello di Hodgkin-Huxley, che consiste nel sistema di 2 variabili</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjPcswG5WA8DJyR7RWB8-pRn3Ll0yOdsGO1EQaLtPPm8PM1BbfoU4vvEL7pqH1Pd2jIlK8_HhjAa3XapkXEcjtL6OJBq-F1LSedvtdh_yObJyfBQxpcAd_LpfuiFXShtdvDboHKfJ6x-tj-lB6eFCNXTmE804IvOcH-hQnVE1IdVpgCmZtJiYnF9GCEHw=s526" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="140" data-original-width="526" height="85" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjPcswG5WA8DJyR7RWB8-pRn3Ll0yOdsGO1EQaLtPPm8PM1BbfoU4vvEL7pqH1Pd2jIlK8_HhjAa3XapkXEcjtL6OJBq-F1LSedvtdh_yObJyfBQxpcAd_LpfuiFXShtdvDboHKfJ6x-tj-lB6eFCNXTmE804IvOcH-hQnVE1IdVpgCmZtJiYnF9GCEHw=s320" width="320"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>ove $\epsilon, A, \alpha, \beta $ sono parametri positivi e, in particolare, $0 < \alpha < 1$.</div><div>Per maggiori dettagli si legga (<u><a href="https://www.ams.org/notices/201104/rtx110400542p.pdf" target="_blank">cliccando qui</a></u>) l'articolo <i>Taking Math to Heart: Mathematical Challenges in Cardiac Electrophysiology</i> (datato aprile 2011) di John W. Cain.</div><div>Di seguito un video illustrativo molto carino che fornisce altri collegamenti tra matematica e medicina. <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/6ZzMrPOCyL8" title="YouTube video player" width="410"></iframe> </div><div><br></div><div>Naturalmente il tema portante del Carnevale potrebbe teoricamente estendersi anche a possibile vita al di fuori della Terra.</div><div>A tal proposito, famosissima è <span style="background-color: #fcff01;"><b>l'equazione (con ben 7 variabili) formulata nel 1961 dall'astrofisico Frank Drake</b></span>, la quale va a fornire una stima del numero $N$ di civiltà extraterrestri intelligenti che potrebbero abitare la nostra galassia:</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjjt3by_FRQgBL-nI-m5HMXZzSjMsH0QigK9XKeIB1gP0Nw8-P9X_A7Y5fkHyR1iiaUXNCwUyj3y7TeEAOKg5J2XXvaMFlC5dQKkF-88qiYNTduoeGnOnZhFaXfk1xGqwV3QEqNP8Xr7qYVysfcuVr0KEIuNjlfHLLJ-UdBUh0G3ckAWqBmP9dgTFLL8A=s284" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="19" data-original-width="284" height="19" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjjt3by_FRQgBL-nI-m5HMXZzSjMsH0QigK9XKeIB1gP0Nw8-P9X_A7Y5fkHyR1iiaUXNCwUyj3y7TeEAOKg5J2XXvaMFlC5dQKkF-88qiYNTduoeGnOnZhFaXfk1xGqwV3QEqNP8Xr7qYVysfcuVr0KEIuNjlfHLLJ-UdBUh0G3ckAWqBmP9dgTFLL8A" width="284"></a></div><br><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">dove:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><ul style="text-align: left;"><li>$R^*$ è il tasso medio annuo di formazione stellare nella Via Lattea;</li><li>$f_p$ è la frazione di stelle che possiedono pianeti;</li><li>$n_e$ è il numero medio di pianeti per sistema planetario che possiedono le condizione adatte ad ospitare forme di vita;</li><li>$f_l$ è la frazione dei pianeti $n_e$ su cui si è effettivamente sviluppata la vita;</li><li>$f_i$ è la frazione dei pianeti $f_l$ su cui si sono evoluti esseri intelligenti;</li><li>$f_c$ è la frazione di civiltà extraterrestri in grado di comunicare;</li><li>$L$ è la stima della durata di tali civiltà evolute.</li></ul><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgvR8wtX1Bo7vtNj9CY6Pd5BWOBEmfrrX8ezfBBP1f-U6hiORI7k8d8kvAqERgYSlJ56zTr-b64uC5XbaMQqW-kTtl-fdc-rZ0EB7H13luoZedI0WJlUvk29WMsNnxkKXb03y0GJyU6opHNbFnKdlv1dX_2XW1sdJOuPuZyqh5jXh7FSnYtgayqH6RHXg=s500" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="427" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgvR8wtX1Bo7vtNj9CY6Pd5BWOBEmfrrX8ezfBBP1f-U6hiORI7k8d8kvAqERgYSlJ56zTr-b64uC5XbaMQqW-kTtl-fdc-rZ0EB7H13luoZedI0WJlUvk29WMsNnxkKXb03y0GJyU6opHNbFnKdlv1dX_2XW1sdJOuPuZyqh5jXh7FSnYtgayqH6RHXg=s320" width="273"></a></div><br><div><br></div><div><br></div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Vorrei concludere questa introduzione al tema "Matematica della vita" segnalandovi innanzitutto un articolo recentissimo (<u><a href="https://www.quantamagazine.org/evolution-landscapes-predict-whats-next-for-covid-virus-20220111/" target="_blank">cliccate qui</a></u>), scritto da Carrie Arnold su <i>Quanta Magazine</i> ed intitolato <i>Evolution ‘Landscapes’ Predict What's Next for COVID Virus</i>, e poi una breve panoramica degli articoli che ho avuto modo di scrivere in passato su altre interessanti sfaccettature della suddetta tematica:</div><div><ul style="text-align: left;"><li>"<u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2012/08/il-principio-antropico.html" target="_blank">Il principio antropico</a></u>", in cui, tra le altre cose, viene descritta la relazione tra il principio antropico debole e il teorema di Bayes inerente al calcolo delle probabilità;</li><li>"<u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2012/10/la-fisica-e-le-rane-luigi-galvani.html" target="_blank">La fisica e le rane: Luigi Galvani</a></u>", in cui, oltre a venir tracciata una biografia dello scienziato italiano, si analizza la celebre disputa Galvani-Volta circa l'elettricità animale, la quale ha avuto un risultato piuttosto sorprendente;</li><li>"<u><a href="http://tamburoriparato.blogspot.com/2016/05/il-gioco-della-vita.html" target="_blank">Il gioco della vita</a></u>", in cui si parla di un noto automa cellulare sviluppato dal matematico inglese John Horton Conway (1937-2020).</li></ul></div><div><br></div><div>Questo non sarebbe un vero Carnevale della Matematica se non introducessimo come si deve il numero dell'edizione: il<b style="color: red;"> 156</b>.</div><span></span></div><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2022/01/carnevale-della-matematica-156.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-80022451629491454072022-01-11T18:48:00.001+01:002022-01-11T18:48:40.095+01:00CARNEVALE DELLA MATEMATICA N. 156 - ULTIMA CHIAMATAQuesta è l'ultima chiamata per coloro che vogliano partecipare al <b><span style="color: red;">Carnevale della Matematica n.156</span></b>, che sarà ospitato su questo blog, il <b style="background-color: #fcff01;">14 gennaio</b>, con tema (non vincolante) <b style="background-color: #01ffff;">"Matematica della vita e vita nella matematica"</b>.<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjkAAZVXtoz1-_NRfXRbogF-wD8J5VUa1ilT-xTN9y4-9jD9aU8N3QBoAMO1sUUYgPWVvPrwyHr9yBKejoHl01vrLGKIk8LBJgNDqkMuYjY5Q4abrMhw_lIiPeulKpZi-naYHnQOHh7CIONLgGeUgwu5uWgjlPztY9RFiloHi70B756J9QTvgxV05Nz9A=s420" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="320" data-original-width="420" height="244" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEjkAAZVXtoz1-_NRfXRbogF-wD8J5VUa1ilT-xTN9y4-9jD9aU8N3QBoAMO1sUUYgPWVvPrwyHr9yBKejoHl01vrLGKIk8LBJgNDqkMuYjY5Q4abrMhw_lIiPeulKpZi-naYHnQOHh7CIONLgGeUgwu5uWgjlPztY9RFiloHi70B756J9QTvgxV05Nz9A=s320" width="320" /></a></div><br /><div><br /></div><div><br /><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div>Ricordo che <b><span style="color: red;">avete tempo sino alle 23:59 del 12 gennaio</span></b> per inviare i vostri contributi all'indirizzo mail</div><div><br /></div><div><span style="color: #3d85c6;">leonardo92.universo@gmail.com</span></div><div><br /></div><div>Vi rimando alla prima call for papers (<u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/12/carnevale-della-matematica-n156-1-call.html" target="_blank">cliccate qui</a></u>) per ulteriori dettagli. </div><div>Appuntamento al 14 gennaio per un'immersione totale nella matematica, con un po' di divertimento e di musica.</div><div>Leonardo Petrillo</div></div>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-39968809630450000242022-01-05T15:02:00.000+01:002022-01-05T15:02:28.998+01:00CALCOLO DEL PROPAGATORE SCALARE IN CAMPO EM COSTANTE TRAMITE GLI INTEGRALI SUI CAMMINI DI FEYNMAN<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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</script>Solo pochi mesi fa vi proponevo un articolo (<u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/09/labc-del-path-integral-e-del-worldline.html" target="_blank">cliccate qui</a></u> per leggerlo) in cui ho cercato di introdurre, il più dolcemente possibile, il non banale concetto di integrale sui cammini (in inglese noto come path integral), sviluppato nell'ambito della meccanica quantistica da Richard Feynman nella sua tesi di PhD del 1942. <div>Abbiamo anche analizzato un po' di storia di tale fondamentale concetto e accennato al cosiddetto “worldline formalism”.</div><div>Tutti questi argomenti estremamente interessanti sono stati il nocciolo della <b><span style="color: red;">mia tesi di laurea triennale in Fisica</span></b> (grazie alla quale mi sono laureato il 10 dicembre 2021), svolta con sommo piacere sotto la supervisione del <u><a href="https://scholar.google.com/citations?hl=it&user=YF14YzoAAAAJ&view_op=list_works&alert_preview_top_rm=2&sortby=pubdate" target="_blank">Prof. Olindo Corradini</a></u> (grande esperto di fisica teorica, oltre che straordinaria persona dal punto di vista didattico e umano) dell'Università di Modena e Reggio Emilia, intitolata <i><b><span style="color: #2b00fe;">Computation of the scalar propagator in a constant electromagnetic field using Feynman path integrals</span></b></i>. </div><div>Di seguito rendo disponibile la visione della suddetta tesi. <div align="center">
<iframe height="550" src="https://drive.google.com/file/d/1ZC2pWmNrKvzToWvLhJZ9cogA8vllKbKF/preview" width="95%"></iframe></div>
</div><div><br></div><div>È scritta interamente in lingua inglese, con l'eccezione del Capitolo 4, volto a fornire un breve riepilogo degli aspetti essenziali in lingua italiana.</div><div>Trattasi di una tesi che naturalmente richiede dei buoni/ottimi prerequisiti di partenza di matematica e fisica (in particolare di meccanica quantistica e relatività ristretta) per poter essere letta con una buona/ottima comprensione.</div><div>Nel Capitolo 1 ho cercato, in primis, di introdurre quello che è il concetto protagonista della tesi, cioè il <b><span style="color: #45818e;">propagatore</span></b>, partendo dalla sua strettissima relazione con la funzione di Green.</div><div>Ho poi ricollegato il tutto con la nozione di <b><span style="color: #b45f06;">path integral</span></b>, fornendo anche riferimenti storici, che avevo già accennato nel post prima linkato.</div><div>Dopodiché ho proposto una derivazione del concetto di path integral che si basa sostanzialmente sulla <b><span style="color: #ff00fe;">formula di Baker-Campbell-Haussdorff</span></b> (inerente agli esponenziali degli operatori) e sulla <b><span style="color: #674ea7;">formula di Trotter</span></b>.</div><div>Alla fine del Capitolo 1 è stato analizzato un caso relativamente semplice, ma decisamente istruttivo, che è quello della particella libera non relativistica.</div><div>Nel Capitolo 2 sono partito dall'illustrare brevemente cosa si intenda per <b><span style="color: #0b5394;">worldline formalism</span></b> e, subito dopo, ho cercato di estendere quanto visto nel Capitolo 1 al caso relativistico.</div><div>Per far questo sono stati introdotti concetti assai rilevanti come quello di <i><b><span style="color: #e06666;">einbein</span></b></i> e di <b><span style="color: #38761d;">gauge fixing</span></b>.</div><div>Il Capitolo 3 è stato sicuramente quello più impegnativo dal punto di vista della realizzazione e probabilmente lo è anche dal punto di vista di un lettore esterno.</div><div>Se l'inizio è pressoché accessibile a chi possieda soltanto un buon bagaglio di fisica classica di livello universitario, dato che vengono richiamati concetti dell'elettrodinamica classica visti da una prospettiva un po' particolare, il salto verso l'<b><span style="color: red;">elettrodinamica quantistica (abbreviata QED)</span></b> richiede un formalismo più avanzato.</div><div>Si introducono infatti rotazioni di Wick, cambiamenti di variabile, condizioni al contorno particolari, la scelta del gauge di Fock-Schwinger e si arrivano a introdurre svariate funzioni di Green worldline "bosoniche".</div><div>Tutto questo solamente per affrontare il caso basilare del <b><span style="color: #2b00fe;">calcolo del propagatore scalare in campo elettromagnetico costante</span></b>.</div><div>Ulteriori complicazioni giungono andando a considerare cosa succede se "mettiamo nella mischia" anche $N$ fotoni con i propri momenti e polarizzazioni generici.</div><div>L'ultima analisi è stata compiuta circa l'<b><span style="color: #783f04;">ampiezza di transizione</span></b>, calcolabile a partire dall'espressione finale del propagatore che si è rinvenuta nella tesi, e sul collegamento con il fenomeno dello <b><span style="color: #ff00fe;">scattering Thomson</span></b> (di cui abbiamo parlato in modo classico poco tempo fa proprio sul nostro blog; <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/11/scattering-rayleigh-e-scattering-thomson.html" target="_blank">cliccate qui</a></u>).</div><div>Questo è dunque ciò che potete aspettarvi a grandi linee nei capitoli che compongono il mio lavoro.</div><div>Posso fare però di più per il lettore particolarmente interessato, esperto e/o coraggioso.</div><div>Innanzitutto condivido la <b><span style="color: #7f6000;">presentazione completa</span></b> preparata per la discussione della suddetta tesi nell'esame di laurea. <div align="center">
<iframe height="550" src="https://drive.google.com/file/d/1SPnrfpwMKsdEXwHBICc5Fq4drmrAKJFH/preview" width="95%"></iframe></div> </div><div><br></div><div>Andrò ora a spiegare ciascuna slide singolarmente (un po' come se stessi risostenendo il mio esame di laurea), in modo che il lettore possa ricostruire meglio il filo logico che lega la tesi, con maggiori dettagli rispetto alla descrizione molto sommaria e informale che ho svolto poco fa.</div><span></span><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2022/01/calcolo-del-propagatore-scalare-in.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-25882147824256400082022-01-04T18:15:00.000+01:002022-01-04T18:15:29.430+01:00CARNEVALE DELLA MATEMATICA N.156 - 2ª CALL FOR PAPERS<b><span style="color: red;">Buon 2022 ai lettori del blog <i>Scienza e Musica</i>!</span></b><div>Questa è la seconda chiamata per chi abbia desiderio di partecipare alla prossima edizione del <b><span style="color: #2b00fe;">Carnevale della Matematica</span></b>, la <b><span style="color: #2b00fe;">n. 156</span></b>, che verrà pubblicata proprio su questo blog il <b style="background-color: #fcff01;">14 gennaio</b>.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgMgxnZuUXLzVJXZsyrfDlqC63DxNNm_s_kJ20gEyMpFpvdTLvO8QRtDEj4dkRLMLZIU3_v0LFoQ-X7bZTNdiR0TtpExehxcGzYR3fvo_4ke1qj6A31GdqR8ctMnZgTNsGTywMqzwdeWnm0gZ_cdAhBUWPXTsxCqcXyc7GW-RtPJyNdIPnVG73k68dKFA=s420" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="320" data-original-width="420" height="244" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgMgxnZuUXLzVJXZsyrfDlqC63DxNNm_s_kJ20gEyMpFpvdTLvO8QRtDEj4dkRLMLZIU3_v0LFoQ-X7bZTNdiR0TtpExehxcGzYR3fvo_4ke1qj6A31GdqR8ctMnZgTNsGTywMqzwdeWnm0gZ_cdAhBUWPXTsxCqcXyc7GW-RtPJyNdIPnVG73k68dKFA=s320" width="320" /></a></div><br /><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div>Ricordo che il tema portante dell'edizione sarà <b style="background-color: #01ffff;">"Matematica della vita e vita nella matematica"</b>, ma naturalmente si è liberi di non seguirlo.</div><div>Inviate i vostri contributi (entro le 23:59 del 12 gennaio) all'indirizzo mail</div><div><br /></div><span style="color: #3d85c6;">leonardo92.universo@gmail.com</span><div><br /></div>Per maggiori informazioni si faccia riferimento alla <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2021/12/carnevale-della-matematica-n156-1-call.html" target="_blank">prima call for papers</a></u>.<div>A presto con il Carnevale della Matematica!<br /><div><br /></div></div>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-42819397890170560032021-12-16T15:01:00.000+01:002021-12-16T15:01:06.142+01:00CARNEVALE DELLA MATEMATICA N.156 - 1ª CALL FOR PAPERSÈ con grande piacere che vi annuncio ufficialmente che il <b><span style="color: red;">Carnevale della Matematica n.156</span></b> verrà ospitato, il <b style="background-color: #fcff01;">14 gennaio</b>, proprio qui su Scienza e Musica!!!<div>Avremo dunque l'onore di inaugurare il ciclo di Carnevali del 2022.<br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhdlqKnV2dHxghBz87UhHpVMToCZdD9vMjNQ9hFUblYCbI7GIFwntg4EaGw0qqROjLLahGgJGBHnrUnnJCR0bPEZILr_n_lLTwUyLlvvQvnBwDm4LS0LyBm0a-poN2NN6O0eZEuUa6QWMq0gcu5s0SbZsGgID1ABuXmv4dF_UYgq2JtCDAE-uQKY4y-CQ=s420" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="320" data-original-width="420" height="244" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhdlqKnV2dHxghBz87UhHpVMToCZdD9vMjNQ9hFUblYCbI7GIFwntg4EaGw0qqROjLLahGgJGBHnrUnnJCR0bPEZILr_n_lLTwUyLlvvQvnBwDm4LS0LyBm0a-poN2NN6O0eZEuUa6QWMq0gcu5s0SbZsGgID1ABuXmv4dF_UYgq2JtCDAE-uQKY4y-CQ=s320" width="320" /></a></div><br /><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div>Prima di introdurvi il tema dell'edizione di gennaio, voglio ricordarvi di visionare, per chi non l'avesse già fatto, <b><span style="color: #2b00fe;">l'edizione n.155 ottimamente condotta da Roberto Zanasi, sul blog <i>Gli studenti di oggi,</i> con tema "scacchi"</span></b> (<u><a href="http://proooof.blogspot.com/2021/12/carnevale-della-matematica-155.html" target="_blank">cliccate qui</a></u>).</div><div>Come ormai tradizione per i Carnevali ospitati su Scienza e Musica, la scelta della tematica ricade su un tema ampio e che riesca dunque a racchiudere al suo interno numerose sfumature, che i nostri carnevalisti potranno affrontare o decidere di non affrontare, andando fuori tema!</div><div>Il tema del Carnevale n.156 sarà: <b style="background-color: #fcff01;">"Matematica della vita e vita nella matematica"</b>.</div><div>Ho deciso dunque di proporvi un tema da affrontare da 2 punti di vista tra loro speculari.</div><div>Da una parte abbiamo la matematica della vita, quindi di tutti gli esseri viventi, compresi gli esseri umani, un tema che oltretutto è pure di una certa attualità, dato il ruolo che analisi matematiche hanno svolto e continuano a svolgere in questo particolare periodo di pandemia da Covid19.</div><div>Se però guardiamo l'altro lato della medaglia, è possibile parlare pure del concetto di vita dedicata alla matematica, che potrebbe essere quella di uno o più grandi matematici del passato, ma anche la propria personale esperienza con l'affascinante disciplina che è la matematica.</div><div>Questi sono soltanto alcuni minimi spunti di riflessione; lascio agli interessati il compito di trovare le sfaccettature del tema che più gradiscono analizzare.</div><div>Naturalmente, come ogni Carnevale scientifico che si rispetti, sottolineo nuovamente che <b><span style="color: red;">sono ben accolti anche tutti i contributi palesemente fuori tema</span></b>; l'importante è che si parli di qualcosa attinente alla matematica in maniera più o meno diretta.</div><div>Come si partecipa?</div>È molto semplice, <b><span style="color: #7f6000;">inviate i vostri contributi</span></b> (di norma al Carnevale partecipano quelli scritti sui blog, ma in passato abbiamo accettato anche altre tipologie di contributo di carattere matematico/scientifico) <b><span style="color: #7f6000;">entro il 12 gennaio (avete ufficialmente tempo fino alle 23:59 di tale giorno)</span></b> al seguente indirizzo mail:<div><br /><span style="color: #3d85c6;">leonardo92.universo@gmail.com<br /></span><br />In alternativa, chi è iscritto al gruppo Google del Carnevale della Matematica può segnalare i propri contributi anche lì.<br />Sia ben chiaro che <b style="background-color: #04ff00;">al Carnevale della Matematica può partecipare chiunque, dal semplice appassionato all'esperto.</b></div>Appuntamento al 14 gennaio per una vera e propria full immersion sulle possibili sfumature del rapporto tra vita e matematica.<br />Non mancheranno buona musica e momenti divertenti, come in un vero Carnevale.<br />Resto in attesa dei vostri contributi!<br />Per maggiori informazioni sull'evento Carnevale della Matematica potete guardare <u><a href="https://xmau.com/wp/matematti/" target="_blank">qui</a></u>.<br /><br />Leonardo Petrillo</div>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-76842013142962850152021-12-02T18:07:00.008+01:002022-09-26T21:52:04.154+02:00NAVILLERA: QUANDO LA PASSIONE OLTREPASSA LE DIFFICOLTÀ DELLA VITA, I TABÙ E LA "NORMALITÀ"Il presente post è una recensione/analisi dell'intensa e meravigliosa serie tv sudcoreana, del 2021, <b><span style="color: red;"><i>Navillera</i></span></b> (letteralmente "Come una farfalla"), con qualche riflessione personale.<div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-VaCJeZfGwHo/YajaJ873pxI/AAAAAAAAST8/fdnTo-uACgYs99PKGSBvViQU3HIqlQ0cgCNcBGAsYHQ/s375/Navillera_TV_series.jpeg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="375" data-original-width="265" height="400" src="https://1.bp.blogspot.com/-VaCJeZfGwHo/YajaJ873pxI/AAAAAAAAST8/fdnTo-uACgYs99PKGSBvViQU3HIqlQ0cgCNcBGAsYHQ/w283-h400/Navillera_TV_series.jpeg" width="283"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Partiamo però con una premessa.</div><div>Negli ultimi anni ho cominciato ad immergermi maggiormente nel mondo delle serie tv asiatiche, sia quelle animate (i cosiddetti anime) sia quelle convenzionali, scoprendo grazie a queste anche tanta musica originale di elevata qualità. <br>I primi estesi riferimenti del suddetto tipo in questo blog li ho dedicati ad un paio di anime/manga giapponesi, <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/01/leclissi-tra-scienza-e-cultura-varia.html" target="_blank"><i>Berserk</i></a></u> e <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/03/banana-fish-dramma-e-matematica.html" target="_blank"><i>Banana Fish</i></a></u>, e ad una serie tv cinese, <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2021/09/the-untamed-e-il-potere-della-musica.html" target="_blank"><i>The Untamed</i></a></u>. <br>Certamente tra le produzioni mainstream (principalmente statunitensi) "moderne" (che siano serie tv o film cinematografici) non sono mancati capolavori, come <i>Breaking Bad</i>, <i>The Handmaid's Tale</i>, <i>Schindler's List</i>, <i>L'Uomo Bicentenario</i> (questo purtroppo molto sottovalutato dai più) e <i>Interstellar</i>, giusto per citarne qualcuno.<br>L'andamento generale (ci sono sempre le notevoli eccezioni) della cinematografia mainstream USA (ma il discorso è facilmente estendibile a molte serie/film europei pure) è però quello di proporre dell'intrattenimento leggero (non che sia sempre un male eh!) e talvolta incantare più con gli effetti visivi o elementi cliché che con la profondità delle tematiche trattate (o magari queste sono anche presenti, ma solitamente affrontate in modo troppo superficiale).<br>Capita spesso che molte serie tv o molte saghe cinematografiche (che magari iniziano pure con ottime premesse) vengano spremute sino all'osso, mandandole avanti per anni ed anni, il che porta il più delle volte a un progressivo decadimento della qualità della narrazione (si pensi per esempio all'ultima frettolosa e superficiale ottava stagione di <i>Game of Thrones</i> comparata alle mitiche prime).<br>Negli ultimi mesi è nato il fenomeno <b><span style="color: #0b5394;"><i>Squid Game</i></span></b>, una serie tv sudcoreana che ha stracciato ogni record sulla piattaforma Netflix.</div><div> <iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/WgMK-Fnhtp4" title="YouTube video player" width="410"></iframe><br><i>Squid Game</i> non lo considero personalmente un capolavoro indimenticabile come quelli prima citati ma comunque una serie molto buona per il suo genere particolare (survival drama) e che soprattutto può vantare il merito di aver fatto conoscere ad un pubblico molto vasto, grazie pure ad una trama sicuramente intrigante e alla brutalità delle scene, alcune delle caratteristiche tipiche delle produzioni asiatiche di alto livello, tra cui il (quasi) sempre elevato livello di recitazione, l'inserimento di tematiche profonde che fanno riflettere persino in un contesto "leggero" o irrealistico, la qualità del sottofondo musicale delle scene cruciali.<br>Una questione che ha creato un grosso dibattito, specialmente in quel di Twitter, è stata quella relativa ai sottotitoli.<br>Ecco, questo probabilmente rappresenta il vero colossale scoglio che le serie/film di origine asiatica devono costantemente superare per poter essere apprezzate dal grande pubblico, dato che non si è generalmente abituati a seguire un'opera leggendo simultaneamente i sottotitoli. <br>Il doppiaggio nelle varie lingue (spesso mancante in tali produzioni) sarebbe sicuramente qualcosa di lodevole e fondamentale per consentire a chiunque di poter usufruire della visione delle suddette opere. <br>D'altro canto va pure constatato che è molto arduo rendere a pieno nel doppiaggio l'intensità delle interpretazioni dei film asiatici, oltre alle sfumature particolari dovute a peculiarità fonetico-culturali delle lingue, che difficilmente possono essere trasportate in modo totalmente convincente in una lingua diversa (discorso che si può estendere in svariati casi anche alle canzoni).<br>Per capire meglio, i lettori italiani provino ad immaginarsi per esempio i film di Totò (1898-1967) doppiati in altre lingue e non sarà complicato intuire che sarebbe molto difficile rendere in modo efficace la comicità unica del leggendario attore napoletano.<br>Per riassumere, si auspica sempre che il doppiaggio sia un'opzione presente ma si consiglia lo spettatore a non aver paura di affrontare, se possibile, la visione delle opere (il discorso vale anche per gli anime) in lingua originale con i sottotitoli per goderne a pieno.</div><div>Ma passiamo finalmente a parlare di <i>Navillera</i>. </div><div>La vicenda è quella di un giovane 23enne, <b><span style="color: #2b00fe;">Lee Chae Rok</span></b> (interpretato da Song Kang), promessa della danza classica con alle spalle un passato piuttosto burrascoso, e di un signore di 70 anni, <b><span style="color: #7f6000;">Shim Deok Chul</span></b> (interpretato da Park In Hwan), che improvvisamente decide di provare a dedicare l'ultimo periodo della sua vita alla passione (la danza) che tanto avrebbe desiderato coltivare durante la sua vita, ma è stato impossibilitato a farlo. La premessa dunque già apre ad un tema delicato: <b><span style="color: #674ea7;">la danza come disciplina praticata da uomini</span></b>.<br>Nei tempi recenti probabilmente il suddetto è un tabù abbastanza superato, ma per molto tempo dedicarsi alla danza per un uomo era qualcosa di completamente mal visto dalla società, anche perché si riteneva che fosse strettamente legato allo "sviluppo" dell'<b><span style="color: #45818e;">omosessualità </span></b>(altro tabù, e siamo già a 2; proviamo a tener conto di quanti ne escono fuori da questa analisi).<br>Il noto coreografo russo George Balanchine (1904-1983) una volta affermò a tal proposito che "<span style="color: #3d85c6;">Il balletto riguarda il mondo femminile"</span>.<br>Nel <b style="background-color: #fcff01;">2000</b> uscì al cinema il celebre film <b><span style="color: #38761d;">Billy Elliot</span></b>, basato sulla storia vera del ballerino Philip Mosley e rappresentò un grosso passo in avanti nel provare a sensibilizzare il grande pubblico nei confronti di tali spinose tematiche.</div><div>
<iframe allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/SSjHfFWhwR4" title="YouTube video player" width="410"></iframe><br>Adesso immaginatevi se a tutto questo aggiungessimo che un 70enne, il quale sino ad allora si era dedicato a tutt'altro e che aveva dato tutto per la propria famiglia, ad un certo punto incominciasse a studiare seriamente danza classica. Cosa succederebbe? <br>Le prime reazioni sia delle persone vicine che della gente pettegola a cui piace sempre immischiarsi nella vita privata altrui sarebbero probabilmente di ritenerlo pazzo o comunque di pensare (in senso spregiativo) che non sia una "cosa normale"!<br>Ecco il terzo tema tabù, forse quello chiave, da cui discendono tanti altri: la <b><span style="color: red;">normalità</span></b>.</div><span></span><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/12/navillera-quando-la-passione-oltrepassa.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-79380738404549189402021-11-12T15:14:00.002+01:002021-11-12T22:02:13.552+01:00SCATTERING RAYLEIGH E SCATTERING THOMSON<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
MathJax.Hub.Config({
extensions: ["tex2jax.js","TeX/AMSmath.js","TeX/AMSsymbols.js"],
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</script>In fisica un fenomeno assai rilevante è quello della <b><span style="color: red;">diffusione o dispersione ottica</span></b>, spesso indicata col termine inglese <i><b><span style="color: red;">scattering</span></b></i>, letteralmente "sparpagliamento".<br>Trattasi sostanzialmente di quel fenomeno (o meglio, ampia classe di fenomeni) per cui onde o particelle vengono deflesse per via delle collisioni con altre onde o particelle.<br>Esiste un variegato numero di fenomeni di scattering notevoli. <br>In passato abbiamo visto brevemente per esempio lo <b><span style="color: #674ea7;">scattering Compton (o effetto Compton)</span></b> <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2013/04/il-principe-dei-quanti-louis-de-broglie.html" target="_blank">qui</a></u>. <br>In questo post presenteremo in modo (per quanto possibile) semplice e sintetico 2 tipi di scattering anch'essi molto importanti: lo <b><span style="color: #134f5c;">scattering Rayleigh</span></b> e lo <b><span style="color: #7f6000;">scattering Thomson</span></b>.<br>Prima di far ciò dobbiamo tuttavia compiere qualche premessa.<br>Innanzitutto ci serve capire l'importante concetto di sezione d'urto.<br>Immaginiamo a tal proposito di sparare un fascio di particelle su un certo campione di materiale e di voler studiare l'interazione sussistente.<br>Denotiamo con $N(x)$ il numero di particelle del fascio incidente (proiettili) che incidono nell’unità di tempo sulla unità di superficie del campione lungo l’asse $x$.<br>Indichiamo poi con $\Delta x$ un piccolo spessore del campione.<br><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-QG_T5HonTkM/YY3A1AAc5dI/AAAAAAAASQ4/r2NjsaNl6HslaVGqoVn8zO_UBxSl7gn5gCNcBGAsYHQ/s616/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.15.34.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="418" data-original-width="616" height="217" src="https://1.bp.blogspot.com/-QG_T5HonTkM/YY3A1AAc5dI/AAAAAAAASQ4/r2NjsaNl6HslaVGqoVn8zO_UBxSl7gn5gCNcBGAsYHQ/s320/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.15.34.png" width="320"></a></div><br><div><br>
<div class="page" title="Page 2">
<div class="section" style="background-color: white;">
<div class="layoutArea">
<div class="column">
<p><span color="rgb(0.000000%, 58.980090%, 100.000000%)" style="font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt; font-weight: 700;"><br>
</span></p>
</div>
</div>
</div>
</div><div> </div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><div>Per capire meglio, prendiamo a riferimento <b><span style="color: red;">l'esperimento di Rutherford</span></b> (di cui abbiamo accennato <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2013/12/carnevale-della-chimica-34-atomi-ioni-e.html" target="_blank">qui</a></u>).</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-iXyPuv6mPOM/YY3CBLXdXFI/AAAAAAAASRA/lRXd-sn8l4kLx3074IZgjhX3GEjItp1JgCNcBGAsYHQ/s398/rutherford%2Bexp.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="279" data-original-width="398" height="224" src="https://1.bp.blogspot.com/-iXyPuv6mPOM/YY3CBLXdXFI/AAAAAAAASRA/lRXd-sn8l4kLx3074IZgjhX3GEjItp1JgCNcBGAsYHQ/s320/rutherford%2Bexp.gif" width="320"></a></div><br><div><br> <p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><br><br>Sappiamo da esso che il numero di particelle diminuisce una volta urtato il materiale, giacché alcune particelle vengono deviate e non riescono a giungere all'analizzatore.<br>Nel nostro contesto generale ciò significa che</div></div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/--OSWYavnH6I/YY3Cq4uMCwI/AAAAAAAASRI/NNbR99Fi7l4nszy6IQhJmjr424fukfy4gCNcBGAsYHQ/s322/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.25.48.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="84" data-original-width="322" height="52" src="https://1.bp.blogspot.com/--OSWYavnH6I/YY3Cq4uMCwI/AAAAAAAASRI/NNbR99Fi7l4nszy6IQhJmjr424fukfy4gCNcBGAsYHQ/w200-h52/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.25.48.png" width="200"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><br>Notiamo immediatamente che<div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-BgDEOvjm9ek/YY3C2gvIkSI/AAAAAAAASRM/KNhY_AuWXN0gOGPBEGjGq1mtd0yt0AldgCNcBGAsYHQ/s484/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.26.38.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="84" data-original-width="484" height="35" src="https://1.bp.blogspot.com/-BgDEOvjm9ek/YY3C2gvIkSI/AAAAAAAASRM/KNhY_AuWXN0gOGPBEGjGq1mtd0yt0AldgCNcBGAsYHQ/w200-h35/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.26.38.png" width="200"></a></div><br><div><br></div><div><br></div>Inoltre il rapporto $\Delta N/N$ risulterà proporzionale allo spessore $\Delta x$ attraversato.<br>Nel dettaglio:<div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-fqPlUiusPjg/YY3DGeh3iQI/AAAAAAAASRY/oe-0eCz6VZgdp8dKzpD9rrx0JYqqTUdfQCNcBGAsYHQ/s248/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.27.42.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="124" data-original-width="248" height="100" src="https://1.bp.blogspot.com/-fqPlUiusPjg/YY3DGeh3iQI/AAAAAAAASRY/oe-0eCz6VZgdp8dKzpD9rrx0JYqqTUdfQCNcBGAsYHQ/w200-h100/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.27.42.png" width="200"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><br>Qui <b><span style="color: #3d85c6;">$\eta$ è una costante maggiore di 0 che rappresenta la probabilità di deviazione delle particelle</span></b>. Il segno - mette in evidenza la diminuzione dei proiettili nell’attraversamento dello spessore $\Delta x$.<br>Per giungere alla formula appena scritta si è assunta un’ipotesi semplificativa nota come <b><span style="color: #ff00fe;">condizione di urto singolo</span></b>.<br>Si assume infatti che lo spessore del campione in esame sia così sottile che dopo il primo urto tra proiettile e bersaglio non ce ne siano altri.<div>Si assume inoltre che i bersagli nel campione siano abbastanza lontani gli uni dagli altri in modo che ciascun proiettile ne intercetti uno solo.<br>Va specificato che la costante $\eta$ dipende dal <b><span style="color: #e06666;">numero dei centri diffusori (bersagli) nell’unità di volume</span></b> (cioè in pratica dalla loro densità).<br>Possiamo infatti scrivere anche che<br><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-5qWoA5RYwwE/YY3D_wmbQuI/AAAAAAAASRg/2ysai8KMhvYQt4serWzpzG3lcG1Fbw5AQCNcBGAsYHQ/s736/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.31.29.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="134" data-original-width="736" height="58" src="https://1.bp.blogspot.com/-5qWoA5RYwwE/YY3D_wmbQuI/AAAAAAAASRg/2ysai8KMhvYQt4serWzpzG3lcG1Fbw5AQCNcBGAsYHQ/s320/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.31.29.png" width="320"></a></div><br><div><br> </div><div><br></div><div><br></div><div>ove $n = \frac{N_{BERS}}{V}$ è appunto la densità dei bersagli, mentre la grandezza <b><span style="color: #2b00fe;">$\sigma$</span></b> è la <b><span style="color: #2b00fe;">sezione d'urto totale del processo</span></b>.</div>Siamo riusciti dunque a introdurre matematicamente questo importante concetto di sezione d'urto, ma cosa rappresenta concretamente?<br>Essa <b><span style="color: #38761d;">rappresenta semplicemente la probabilità, per singolo bersaglio, che ci sia l'interazione tra il proiettile e il bersaglio e ha le dimensioni fisiche di un'area!</span></b><br>Infatti si può scrivere:<div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-iPlu0M6uHXg/YY3E6r-bhNI/AAAAAAAASRo/yyguLMMRUVs1N-HNRGVPAj8zdMjET78qgCNcBGAsYHQ/s994/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.35.27.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="138" data-original-width="994" height="56" src="https://1.bp.blogspot.com/-iPlu0M6uHXg/YY3E6r-bhNI/AAAAAAAASRo/yyguLMMRUVs1N-HNRGVPAj8zdMjET78qgCNcBGAsYHQ/w400-h56/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.35.27.png" width="400"></a></div><br><div><br> </div><div><br></div><div>Detto in altri termini, la sezione d'urto può essere interpretata come l'<b><span style="color: red;">area efficace per la diffusione</span></b>.</div><div><b><span style="color: #e69138;">Ogni bersaglio espone al flusso di particelle incidenti un'area (sferica) $\sigma$ e soltanto le particelle che intercettano quest'area vengono deviate</span></b>.</div>La seguente immagine, tratta dal libro <i>Particles and Nuclei: An Introduction to the Physical Concepts</i> di B. Pohv, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche e W. Rodejohann, dovrebbe ben chiarire il concetto.<br><div><a href="https://1.bp.blogspot.com/-x2UEyr2tV-I/YY3G2NIhjjI/AAAAAAAASRw/8bML_OhlOw8BlFXb1G31itbE3mhDAcw3ACNcBGAsYHQ/s1276/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.43.17.png" style="clear: left; display: inline; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" data-original-height="1186" data-original-width="1276" height="372" src="https://1.bp.blogspot.com/-x2UEyr2tV-I/YY3G2NIhjjI/AAAAAAAASRw/8bML_OhlOw8BlFXb1G31itbE3mhDAcw3ACNcBGAsYHQ/w400-h372/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.43.17.png" width="400"></a><br>
<div class="page" title="Page 3">
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<div class="column">
<p style="background-color: white;"><span style="font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br>
</span></p><p style="background-color: white;"><span style="font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br></span></p><p style="background-color: white;"><span style="font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br></span></p><p style="background-color: white;"><span style="font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br></span></p><p style="background-color: white;"><span style="font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br></span></p><p style="background-color: white;"><span style="font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br></span></p><p style="background-color: white;"><span style="font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br></span></p><p style="background-color: white;"><span style="font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br></span></p><p style="background-color: white;"><span style="font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br></span></p><p style="background-color: white;"><span style="font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br></span></p><p style="background-color: white;"><br></p>Si potrebbe poi facilmente dimostrare che <b><span style="color: #783f04;">il numero di particelle $N(x)$</span></b>, a seguito della penetrazione in uno spessore $x$, <b><span style="color: #783f04;">decresce in modo esponenziale</span></b> con una costante di decadimento $n \sigma$. In simboli:<div class="separator" style="background-color: white; clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-difb22GFcdo/YY3JJX1qQTI/AAAAAAAASR4/mHDbFxiGOPkDeCHaF2eKXG7lB9lPvkrvgCNcBGAsYHQ/s268/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.53.24.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="68" data-original-width="268" height="68" src="https://1.bp.blogspot.com/-difb22GFcdo/YY3JJX1qQTI/AAAAAAAASR4/mHDbFxiGOPkDeCHaF2eKXG7lB9lPvkrvgCNcBGAsYHQ/s0/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B02.53.24.png" width="268"></a></div><br><p style="background-color: white;"><br></p><p style="background-color: white;"><br></p>Inoltre, se andassimo nel dettaglio dello scattering Rutherford, dovremmo introdurre il concetto di <b><span style="color: #2b00fe;">sezione d'urto differenziale $\frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} \Omega}$</span></b>, ove $\mathrm{d} \Omega$ denota un angolo solido (infinitesimo) intorno ad una certa direzione, il quale tiene conto dell'importante distribuzione angolare delle particelle deflesse. <br>Questo discorso esula però dagli scopi del presente post; magari torneremo sulla questione in futuro. <br>Abbiamo dunque capito in un contesto piuttosto generale cosa sia la sezione d'urto.<br>Il prossimo importante step del nostro discorso è ricordare che <b style="background-color: #04ff00;">l'elettrodinamica classica stabilisce che una particella carica (non relativistica) emette radiazione elettromagnetica quando subisce una variazione di velocità (ossia un'accelerazione)</b><span style="background-color: white;">; </span>la potenza della radiazione così emessa viene descritta dalla nota <b><span style="color: #ff00fe;">formula di Larmor</span></b>:</div><div class="column"><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-KntETuNld30/YY3LMDag5jI/AAAAAAAASSA/Qka1giQ6vScMCAZ_9tHdaoyAQnS45BGvgCNcBGAsYHQ/s104/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B03.02.12.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="58" data-original-width="104" height="58" src="https://1.bp.blogspot.com/-KntETuNld30/YY3LMDag5jI/AAAAAAAASSA/Qka1giQ6vScMCAZ_9tHdaoyAQnS45BGvgCNcBGAsYHQ/s0/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B03.02.12.png" width="104"></a></div><br><div class="column"><br></div><div class="column"><br></div><div class="column"><br></div><div class="column">Per maggiori dettagli si rilegga <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2020/11/il-sincrotone-la-radiazione-la-macchina.html" target="_blank">qui</a></u>.</div><div class="column">Nel contesto dello scattering Rayleigh e di quello Thomson si potrà parlare di una sezione d'urto dipendente dalla frequenza della radiazione incidente. </div><div class="column">In particolare, <b><span style="color: #3d85c6;">la sezione d'urto $\sigma(\omega)$ va a rappresentare l'efficienza di emissione di radiazione da parte di un atomo, in funzione della frequenza incidente $\omega$</span></b>.</div><div class="column">Essa è strettamente legata alla potenza di Larmor dalla relazione</div><div class="column"><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-OjjwK-LnfH4/YY3Og62RjmI/AAAAAAAASSI/QiZXvMxubbkOAyS3QHwUyNqGyyAAZE9dQCNcBGAsYHQ/s342/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B03.16.24.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="60" data-original-width="342" height="35" src="https://1.bp.blogspot.com/-OjjwK-LnfH4/YY3Og62RjmI/AAAAAAAASSI/QiZXvMxubbkOAyS3QHwUyNqGyyAAZE9dQCNcBGAsYHQ/w200-h35/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B03.16.24.png" width="200"></a></div><br><div class="column"><br></div><div class="column"><br></div>dove $I_0$ è l'intensità incidente e la notazione $<P_{\mathrm{Larmor}}>$ serve per denotare la potenza media. <br>Specifichiamo che <b style="background-color: #f9cb9c;">l'intensità di un'onda elettromagnetica rappresenta l'energia che attraversa la superficie ortogonale alla velocità di propagazione dell'onda, nell'unità di tempo</b>.</div><div class="layoutArea">Nello specifico, essa corrisponde al modulo del fondamentale <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_di_Poynting" target="_blank">vettore di Poynting</a></u>, ma non entriamo nei dettagli di tale discorso.</div><div class="layoutArea">Grazie alla formula di Larmor, assumendo poi il cosiddetto <b><span style="color: #45818e;">modello di Thomson</span></b>, ove immaginiamo l'elettrone alla stregua di un oscillatore armonico smorzato con forzante esterna (per capire meglio si rilegga magari <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2014/08/la-risonanza.html" target="_blank">qui</a></u>), con un po' di passaggi matematici si arriva a scrivere che</div><div class="layoutArea"><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-mtL3VvuKTgE/YY3T6uPRaZI/AAAAAAAASSg/LlJVDxcuKPwO4mNJA62-k05H1AsLEYIyQCNcBGAsYHQ/s504/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B03.39.18.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="124" data-original-width="504" height="78" src="https://1.bp.blogspot.com/-mtL3VvuKTgE/YY3T6uPRaZI/AAAAAAAASSg/LlJVDxcuKPwO4mNJA62-k05H1AsLEYIyQCNcBGAsYHQ/w320-h78/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B03.39.18.png" width="320"></a></div><br><div class="layoutArea"><br></div><div class="layoutArea"><span style="text-align: center;"><br></span></div><div class="layoutArea"><span style="text-align: center;"><br></span></div><div class="layoutArea"><span style="text-align: center;"><br></span></div><div class="layoutArea"><span style="text-align: center;"><br></span></div><div class="layoutArea"><span style="text-align: center;">Qui $X$ è un modo sintetico per denotare la quantità $\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}$, in cui $\omega_0$ è la pulsazione propria del sistema e $\gamma$ è il coefficiente di smorzamento. Inoltre $e$ è la carica dell'elettrone, $m$ la sua massa, $\varepsilon_0$ la costante dielettrica del vuoto e $c$ la velocità della luce.</span></div><div class="layoutArea">Definiamo ora il <b><span style="color: red;">raggio classico dell'elettrone $r_e$</span></b> come</div><div class="layoutArea"><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-jWSZZulWk5o/YY3V3iujg0I/AAAAAAAASSo/oYbcynwTjvsYLHWWxjMZFbQfx2Gs_yHCQCNcBGAsYHQ/s524/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B03.47.39.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="122" data-original-width="524" height="75" src="https://1.bp.blogspot.com/-jWSZZulWk5o/YY3V3iujg0I/AAAAAAAASSo/oYbcynwTjvsYLHWWxjMZFbQfx2Gs_yHCQCNcBGAsYHQ/s320/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B03.47.39.png" width="320"></a></div><br><div class="layoutArea"><br></div><div class="layoutArea"><span style="text-align: center;"><br></span></div><div class="layoutArea"><span style="text-align: center;"><br></span></div><div class="layoutArea"><span style="text-align: center;"><br></span></div><div class="layoutArea"><span style="text-align: center;">Esso si ottiene molto facilmente uguagliando l'energia elettrostatica di una sfera di carica $e$, avente raggio $r_e$, cioè $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_e}$, con l'energia a riposo $mc^2$ dell'elettrone.</span></div>
</div><div class="section">Per convenienza, scriviamo pure che</div><div class="section"><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-khf-NJTogT0/YY3WRH5OnhI/AAAAAAAASSw/ga-RJDxwrak9hE5XlQnT0cQLorkF3s1VQCNcBGAsYHQ/s292/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B03.49.29.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="106" data-original-width="292" height="73" src="https://1.bp.blogspot.com/-khf-NJTogT0/YY3WRH5OnhI/AAAAAAAASSw/ga-RJDxwrak9hE5XlQnT0cQLorkF3s1VQCNcBGAsYHQ/w200-h73/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B03.49.29.png" width="200"></a></div><br><div class="section"><br></div><div class="section"><br></div><div class="section"><br></div><div class="section"><br></div><div class="section">Manipolando un pochino l'espressione precedente data per $<P_{\mathrm{Larmor}}>$ e tenendo presente il valore delle quantità prima riportate, possiamo in definitiva scrivere</div><div class="section"><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-0WRL7gZbS6Y/YY4APHCClAI/AAAAAAAASS4/kMj4UaAcbFApF6zass3TINYUSbkRTaZQwCNcBGAsYHQ/s678/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B06.48.33.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="132" data-original-width="678" height="62" src="https://1.bp.blogspot.com/-0WRL7gZbS6Y/YY4APHCClAI/AAAAAAAASS4/kMj4UaAcbFApF6zass3TINYUSbkRTaZQwCNcBGAsYHQ/s320/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B06.48.33.png" width="320"></a></div><br><div class="section"><br></div><div class="section"><br></div><div class="section"><br></div><div class="section"><br></div><div class="section">da cui è facile ricavare che</div><div class="section"><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-3e8lSWk1pfI/YY4AikdtCcI/AAAAAAAASTA/qEdizEqMSr8nPxYKwhmb5Vu7YlZ6AepHwCNcBGAsYHQ/s522/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B06.49.49.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="128" data-original-width="522" height="78" src="https://1.bp.blogspot.com/-3e8lSWk1pfI/YY4AikdtCcI/AAAAAAAASTA/qEdizEqMSr8nPxYKwhmb5Vu7YlZ6AepHwCNcBGAsYHQ/s320/Schermata%2B2021-11-12%2Balle%2B06.49.49.png" width="320"></a></div><br><div class="section"><br></div><div class="section"><br></div><div class="section"><br></div><div class="section"><br></div><div class="section"><br></div><div class="section">Trattasi dell'<b><span style="color: #2b00fe;">espressione generale della sezione d'urto di diffusione (incoerente)</span></b>.</div><div class="section">A questo punto andiamo ad osservare cosa succede in 3 casi limite.</div><span></span><span></span></div></div></div><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/11/scattering-rayleigh-e-scattering-thomson.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-76440316232197083662021-10-09T15:50:00.000+02:002021-10-09T15:50:03.402+02:00MECCANICA QUANTISTICA: NORMALIZZAZIONE ED EQUAZIONE DI CONTINUITÀ <script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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</script> Riprendiamo il nostro viaggio nei rudimenti della meccanica quantistica che avevamo cominciato tempo fa.<div>Ecco l'elenco delle puntate precedenti:</div><div><br></div><div>- puntata 1: <a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2020/06/lequazione-di-schrodinger-una-semplice.html" target="_blank">"<u>L'equazione di Schrödinger: una "semplice" introduzione</u>"</a>;</div><div>- puntata 2: <a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2021/01/equazione-di-schrodinger-in-forma.html" target="_blank">"<u>Equazione di Schrödinger in forma operatoriale e regole di commutazione</u>"</a>.</div><div>- puntata 3: <a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2021/03/meccanica-quantistica-pacchetti-donda-e.html" target="_blank">"<u>Meccanica quantistica: pacchetti d'onda e funzioni d'onda di più particelle</u>"</a>.</div><div><br></div><div>L'obiettivo del presente post è arrivare a derivare l'importante equazione di continuità.</div><div>Per far questo, cominciamo dicendo che, poiché $|\psi(\vec{r},t)|^2 \mathrm{d} \vec{r}$ rappresenta una probabilità, allora se noi andiamo ad integrare questa quantità su tutto lo spazio <b><span style="color: #783f04;">occorre che questa probabilità sia 1</span></b>:</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-PcpSxbJn9Q8/YV-rb9J50ZI/AAAAAAAASMU/mHhPZn12TdUI1qM7qz5vT9EZAlNmhjymwCNcBGAsYHQ/s400/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.22.23.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="138" data-original-width="400" height="69" src="https://1.bp.blogspot.com/-PcpSxbJn9Q8/YV-rb9J50ZI/AAAAAAAASMU/mHhPZn12TdUI1qM7qz5vT9EZAlNmhjymwCNcBGAsYHQ/w200-h69/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.22.23.png" width="200"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Non ha mai senso parlare infatti di una probabilità che superi 1, cioè il 100%.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-X8ZSclnI39Q/YWGX3si49hI/AAAAAAAASQc/CeFrqzusjB4yaKNzm0CmsHYiqJsnj7RfgCNcBGAsYHQ/s672/probability.jpeg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="541" data-original-width="672" height="258" src="https://1.bp.blogspot.com/-X8ZSclnI39Q/YWGX3si49hI/AAAAAAAASQc/CeFrqzusjB4yaKNzm0CmsHYiqJsnj7RfgCNcBGAsYHQ/s320/probability.jpeg" width="320"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div>Quella appena scritta prende il nome di <b><span style="color: red;">condizione di normalizzazione</span></b>.<br>La condizione ci fa anche capire che le funzioni d’onda devono essere necessariamente <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_a_quadrato_sommabile" target="_blank">funzioni a quadrato sommabile</a></u>.<br> Al tempo iniziale possiamo normalizzare all’unità la funzione d’onda, come appena detto.<br> Rimane un fattore di fase arbitrario che possiamo fissare a piacere perché, se mantenuto coerentemente, non avrà conseguenze fisiche.<br> Tuttavia, affinché tutto ciò sia coerente, <b><span style="color: #2b00fe;">è necessario che l’equazione di Schrödinger garantisca la normalizzazione nel futuro</span></b>.<br> Se dovessimo infatti rinormalizzare la funzione d’onda ad ogni istante, l’equazione non sarebbe più soddisfatta!<br> Occorre pertanto che:<div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-bvENISicvpw/YV-rpmFMLkI/AAAAAAAASMY/RxoSYYtFE-cS45-XFIONadx98ty--gOjgCNcBGAsYHQ/s436/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.23.16.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="142" data-original-width="436" height="65" src="https://1.bp.blogspot.com/-bvENISicvpw/YV-rpmFMLkI/AAAAAAAASMY/RxoSYYtFE-cS45-XFIONadx98ty--gOjgCNcBGAsYHQ/w200-h65/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.23.16.png" width="200"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>Andiamo a vedere se l’equazione di Schrödinger garantisce tale conservazione della norma. Partiamo dall’equazione di Schrödinger generale</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-dOjPf_QFJpI/YV-rzleViBI/AAAAAAAASMg/Y4Z6N_PG50ECZ-zyH3_JladErlagKd22ACNcBGAsYHQ/s380/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.23.58.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="136" data-original-width="380" height="72" src="https://1.bp.blogspot.com/-dOjPf_QFJpI/YV-rzleViBI/AAAAAAAASMg/Y4Z6N_PG50ECZ-zyH3_JladErlagKd22ACNcBGAsYHQ/w200-h72/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.23.58.png" width="200"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>
<div class="page" title="Page 36">
<div class="section">
<div class="layoutArea">
<div class="column">e dalla sua forma <u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2015/12/viaggio-nellimmaginario-mondo-dei.html" target="_blank">complessa coniugata</a></u> (quella dell'asterisco è un'altra notazione comune per indicarla)</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-qwvHaDBQ1x8/YV-r-nXoeiI/AAAAAAAASMo/aJoh3MJOL6o1wCYw5YgtvnQKQrldfSJQgCNcBGAsYHQ/s506/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.24.48.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="134" data-original-width="506" height="53" src="https://1.bp.blogspot.com/-qwvHaDBQ1x8/YV-r-nXoeiI/AAAAAAAASMo/aJoh3MJOL6o1wCYw5YgtvnQKQrldfSJQgCNcBGAsYHQ/w200-h53/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.24.48.png" width="200"></a></div><br><br><br><br></div><div class="layoutArea"> Moltiplichiamo la prima per $\psi^*$ e la seconda per $\psi$, dopodiché sottraiamo. Ne risulta:</div><div class="layoutArea"><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-VWPMWszd9Ow/YV-sNYrRLxI/AAAAAAAASMw/FA4BThjSTVkDapSrbPve-UPk7CHmz5kyACNcBGAsYHQ/s592/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.25.46.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="140" data-original-width="592" height="48" src="https://1.bp.blogspot.com/-VWPMWszd9Ow/YV-sNYrRLxI/AAAAAAAASMw/FA4BThjSTVkDapSrbPve-UPk7CHmz5kyACNcBGAsYHQ/w200-h48/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.25.46.png" width="200"></a></div><br><div class="layoutArea"><br><br>
</div>
</div>
</div></div><div><br></div><div>giacché</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-PT9XOEJb1yk/YV-sZ9OHvuI/AAAAAAAASM4/r5iwI_N-ZeUOAZ0xJX1BuZUZJ3IvOhvoQCNcBGAsYHQ/s556/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.26.37.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="128" data-original-width="556" height="46" src="https://1.bp.blogspot.com/-PT9XOEJb1yk/YV-sZ9OHvuI/AAAAAAAASM4/r5iwI_N-ZeUOAZ0xJX1BuZUZJ3IvOhvoQCNcBGAsYHQ/w200-h46/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.26.37.png" width="200"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><span style="background-color: white; font-family: HelveticaNeue; font-size: 11pt;"><br></span></div>Adesso andiamo ad integrare quanto ottenuto su un volume $V$: <br><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-gbaS78U5vaI/YV-sywvJZMI/AAAAAAAASNE/zpPV8hTWtk8-CpF6I-Lbsg-64vKNAG-nQCNcBGAsYHQ/s942/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.28.17.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="170" data-original-width="942" height="58" src="https://1.bp.blogspot.com/-gbaS78U5vaI/YV-sywvJZMI/AAAAAAAASNE/zpPV8hTWtk8-CpF6I-Lbsg-64vKNAG-nQCNcBGAsYHQ/s320/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.28.17.png" width="320"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>La norma risulta dunque conservata se vale</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-24gOWmlDJOw/YV-tAR3e0gI/AAAAAAAASNI/7YH0LbDKAwEwMLHOCRvatTK15-kfSbalACNcBGAsYHQ/s626/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.29.09.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="172" data-original-width="626" height="88" src="https://1.bp.blogspot.com/-24gOWmlDJOw/YV-tAR3e0gI/AAAAAAAASNI/7YH0LbDKAwEwMLHOCRvatTK15-kfSbalACNcBGAsYHQ/s320/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B04.29.09.png" width="320"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div>Se interpretiamo le funzioni $\psi$ come rappresentazioni di uno spazio vettoriale, questa relazione si può riscrivere come:<div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-vSaF5g5Lifc/YWCJ56sTcUI/AAAAAAAASPw/7ZeX4D9rckQNmrATJzWGb1TvL69lwWa-ACNcBGAsYHQ/s148/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B20.11.13.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="72" data-original-width="148" height="72" src="https://1.bp.blogspot.com/-vSaF5g5Lifc/YWCJ56sTcUI/AAAAAAAASPw/7ZeX4D9rckQNmrATJzWGb1TvL69lwWa-ACNcBGAsYHQ/s0/Schermata%2B2021-10-08%2Balle%2B20.11.13.png" width="148"></a></div><br><div><br><div><span style="background-color: white; font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br></span></div><div><span style="background-color: white; font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br></span></div><div><span style="background-color: white; font-family: 'HelveticaNeue'; font-size: 11pt;"><br></span></div>cioè <b><span style="color: #e69138;">la conservazione della norma viene assicurata se l’hamiltoniana è un operatore hermitiano</span></b>.<br>Scritta così potreste non aver capito molto, quindi cerchiamo di chiarire meglio cosa sia un operatore hermitiano, che è un concetto importantissimo ai fini della meccanica quantistica.</div><span></span><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/10/meccanica-quantistica-normalizzazione.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-53853124493098222142021-09-15T14:01:00.006+02:002021-09-15T14:39:53.394+02:00THE UNTAMED E IL POTERE DELLA MUSICA Come ben sapete, il blog Scienza e Musica è essenzialmente dedicato a post di divulgazione scientifica e/o musicale. <div>Qualche mese fa, tuttavia, c'è stata l'occasione di affrontare per la prima volta un post di recensione, in particolare di una serie anime molto intensa, ovvero Banana Fish (<u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/03/banana-fish-dramma-e-matematica.html" target="_blank">cliccate qui</a></u> per leggerlo).<br>Quello con le recensioni non sarà un appuntamento frequente, ma nel momento in cui ci sarà un'occasione notevole magari legata a qualcosa di scientifico-matematico o musicale, non faranno mancare la loro presenza.<br>Il presente post deriva dalla visione di una spettacolare serie televisiva cinese del 2019 di 50 episodi, intitolata <b><span style="color: red;"><i>The Untamed</i></span></b> (o <b><span style="color: red;"><i>Chen qing ling</i></span></b>), vincitrice di numerosi premi.</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-qgTSNkcZ7xI/YUFYVvFn5UI/AAAAAAAASLw/463M9BnK8JopYwo2rKv9VZ7MhqgMk6d_ACNcBGAsYHQ/s376/Theuntamed.jpeg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="376" data-original-width="264" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-qgTSNkcZ7xI/YUFYVvFn5UI/AAAAAAAASLw/463M9BnK8JopYwo2rKv9VZ7MhqgMk6d_ACNcBGAsYHQ/w141-h200/Theuntamed.jpeg" width="141"></a></div><div>Essa è un <b style="background-color: #fcff01;">adattamento del romanzo fantasy <i>Mó dào zǔ shī</i>, scritto dall'autrice Mò Xiāng Tóng Xiù nel 2015</b>, ambientato in una Cina antica, da cui è stato tratto pure un <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Manhua" target="_blank">manhua</a></u><span face="sans-serif" style="color: #202122;"><span style="background-color: white; font-size: 14px;">/<u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Animazione_cinese" target="_blank">d</a></u></span></span><span face="sans-serif" style="background-color: white; color: #202122; font-size: 14px;"><u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Animazione_cinese" target="_blank">ònghuà</a></u></span>, cioè un manga/anime cinese.</div><div>Un adattamento quello di <i>The Untamed</i>, aggiungiamo, non esente da <b><span style="color: #800180;">censure</span></b> (dovute alle dure ed assurde leggi cinesi relative alle rappresentazioni aventi tematiche LGBT), dato che il romanzo originale contiene un'esplicita storia d'amore tra i due protagonisti maschili, mentre la serie tv mantiene il tutto su un livello puramente platonico, ma non banale.<div>Ma sintetizzare <i>The Untamed</i> come la storia d'amore (platonico) tra due protagonisti sarebbe assolutamente ridicolo, al di là della deprecabile censura attuata.<br>Per comprendere ciò, presentiamo innanzitutto una brevissima sintesi (senza grossi spoiler) degli aspetti peculiari della trama, per poi condurre un'analisi di alcune tematiche rilevanti affrontate nella serie e comprendere il grossissimo ruolo giocato dalla musica!<br><b><span style="color: #2b00fe;">L'inizio della storia è <i>in medias res</i></span></b>, nel senso che ci viene presentata sin dal primo episodio una scena molto intensa riguardante i 2 protagonisti, <b><span style="color: #7f6000;">Wei Wuxian</span></b> (interpretato dall'attore e cantante Xiao Zhan) e <b><span style="color: #45818e;">Lan Wangji</span></b> (interpretato dall'attore e cantante Wang Yibo).<br>Il primo infatti sembrerebbe morire, per poi "resuscitare" 16 anni dopo, ripresentandosi in mezzo alla gente facendosi chiamare Mo Xuanyu e indossando una maschera per evitare di essere riconosciuto.<br>Le prime puntate potrebbero sembrare un po' confusionarie alla primissima visione, ma tutto diverrà molto chiaro col proseguire della serie.<br>Infatti, dopo pochi episodi iniziali, incomincia un lunghissimo e meraviglioso <b><span style="color: #ff00fe;">flashback</span></b> che ci permette di comprendere tutti i dettagli e il perché si arrivi alle scene presentate nelle prime puntate.<br>Un altro aspetto che inizialmente potrebbe confondere un po' lo spettatore è l'uso frequente di nomi diversi che vengono utilizzati per riferirsi ad un medesimo personaggio.<br>C'è infatti da sapere che tutti i personaggi fondamentali di <i>The Untamed</i> appartengono ad una <b><span style="color: #38761d;">società suddivisa in clan</span></b>, alcuni più importanti, altri meno, e ci si può rivolgere alle persone con i propri nomi più formali o quelli più diretti, oltre a vari appellativi tipici.<br>Per esempio Wei Wuxian è spesso chiamato Wei Gongzi, dove l'appellativo "Gongzi" significa in cinese "giovane maestro", mentre Lan Wangji (Lan è il nome di uno dei clan principali) viene spesso chiamato Lan Zhan.<br>Tutti i clan principali sono formati da membri più o meno abili nel combattimento, ma il potere non deriva tanto dalla forza fisica bensì dalla cosiddetta <b><span style="color: #3d85c6;">"coltivazione spirituale"</span></b>, che consente di sviluppare delle facoltà sovrannaturali ed è anche il motivo per cui molti personaggi non sembrano invecchiare.<br>Opere che affrontano un tale tipo di tematica vengono in particolare dette appartenenti al genere <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Xi%C4%81nxi%C3%A1" target="_blank">Xiānxiá</a></u>.<br>Il flashback ci consente di capire pure che il protagonista, Wei Wuxian, ha avuto un'infanzia travagliata dalla morte dei genitori ed è stato accolto come discepolo in uno dei clan più illustri, ossia il clan Jiang.<br>Il rapporto di Wei Wuxian con la sorella acquisita, <b><span style="color: #a64d79;">Jiang Yanli</span></b>, sarà strettissimo, commovente, mentre quello con il fratellastro, <b><span style="color: #ffa400;">Jiang Cheng</span></b>, non sarà sempre così roseo e rappresenterà uno dei nodi centrali di molte disavventure e fraintendimenti.<br>L'altro legame fondamentale è naturalmente quello con Lan Zhan.<br>I due si conoscono quando il giovane Wei Wuxian si reca nella dimora del clan Lan per compiere l'addestramento nella coltivazione spirituale.<br>Inizialmente essi appaiono come <b><span style="color: #0b5394;">due personalità diametralmente opposte, come il giorno e la notte</span></b>.<br>Wei Wuxian ha un carattere allegro, solare e tende a non curarsi molto delle regole, mentre Lan Wangji appare freddo, glaciale, impassibile, totalmente rispettoso delle rigide regole (ben 3000) del suo clan.<div>Le delicate vicende che si susseguiranno nel corso degli episodi, dovute a tematiche quali la sete di potere perseguita senza scrupoli (rappresentata in particolare da un oggetto misterioso chiamato metallo Yin) e la vendetta, porteranno man mano non solo ad un'evoluzione caratteriale dei due protagonisti, ma a tanti colpi di scena, intrighi e momenti che faranno riflettere su tutto ciò che si è visto in precedenza.</div><div>Tuttavia il tema che forse più di tutti colpisce in <i>The Untamed</i> è la <b><span style="color: red;">riflessione sul concetto di bene e male</span></b>.</div><div>La riflessione che tutta la serie porterà a compiere sta nel fatto che <b style="background-color: #01ffff;">non si possano categorizzare il bene e il male come delle caratteristiche nette, ben definite, come il nero e il bianco, senza alcuna sfumatura</b>.</div><div>Ci possono infatti essere delle persone (anche nella realtà quotidiana) che all'apparenza dimostrano un atteggiamento di pura bontà e generosità, ma che nascondono dietro esso un fine crudele e spietato; d'altro canto possono esistere delle persone i cui atteggiamenti un po' irruenti, anticonvenzionali, "arroganti", ma con un buon fine, vengono interpretati come azioni inqualificabili o addirittura come il male assoluto a cui dare la caccia.</div><div>Il personaggio di Wei Wuxian è quello che più di tutti fornisce l'emblema perfetto dell'ultima considerazione.</div><div>Costui si ritroverà ad essere una sorta di sacco da boxe su cui (quasi) tutti quanti scaricheranno colpe da costui non commesse e a dover portare sulle spalle un peso colossale, nonostante molte delle sue scelte di vita siano state compiute per aiutare gli altri, rimettendoci egli stesso.</div><div>La serie è dunque colma di momenti assai intensi, intervallati da momenti divertenti e da belle scene di combattimento.</div><div>Le ambientazioni e i costumi sono spettacolari, ma c'è un elemento assolutamente notevole su cui, come anticipato, è necessario focalizzarsi: la <b><span style="color: #2b00fe;">musica</span></b>!</div><span></span></div></div><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/09/the-untamed-e-il-potere-della-musica.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-32802897187998528042021-09-08T13:16:00.002+02:002021-09-08T14:20:03.518+02:00L'ABC DEL PATH INTEGRAL E DEL WORLDLINE FORMALISM<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js" type="text/javascript">
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Abbiamo già avuto modo in passato di accennare brevissimamente al concetto di <b><span style="color: red;">path integral</span></b> (o, se volete, <b><span style="color: red;">integrale sui cammini</span></b>) <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2020/06/lequazione-di-schrodinger-una-semplice.html" target="_blank">qui</a></u>.<br>Dato che in questo periodo sto lavorando ad una tesi (che magari condividerò qui in futuro) assai attinente a tal concetto, volevo provare a fornire ai lettori del blog un'introduzione a tale importante nozione leggermente più ampia di quanto precedentemente fatto, che si focalizzi sugli aspetti che non richiedono immensi prerequisiti per la comprensione ed anche sull'interessante origine storica di tale concetto, oltre che su uno sviluppo relativamente recente come il worldline formalism.<div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-oLu6jJLSio8/YThBbMrDKvI/AAAAAAAASLc/CDWQPxjf3TIrygFf8ffmi6_Lm_7K0sZhQCNcBGAsYHQ/s280/Richard_Feynman.jpeg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="280" data-original-width="200" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-oLu6jJLSio8/YThBbMrDKvI/AAAAAAAASLc/CDWQPxjf3TIrygFf8ffmi6_Lm_7K0sZhQCNcBGAsYHQ/w143-h200/Richard_Feynman.jpeg" width="143"></a></div>Incominciamo dicendo che l'approccio della meccanica quantistica basato sui path integrals venne sviluppato da <b><span style="color: #2b00fe;">Richard Feynman (1918-1988)</span></b> nella sua tesi di dottorato del <b style="background-color: #fcff01;">1942</b>, scritta sotto la supervisione nientemeno che di John Archibald Wheeler (1911-2018), noto, tra le altre cose, anche per aver coniato nel 1967 il termine "buco nero".</div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-XMWaIS_T0is/YThBxDR_DtI/AAAAAAAASLk/1lo8jdAvKh8SXGVe99g-l8vw6Wiwt-r5ACNcBGAsYHQ/s994/Schermata%2B2021-09-08%2Balle%2B06.53.07.png" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" data-original-height="994" data-original-width="664" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-XMWaIS_T0is/YThBxDR_DtI/AAAAAAAASLk/1lo8jdAvKh8SXGVe99g-l8vw6Wiwt-r5ACNcBGAsYHQ/w134-h200/Schermata%2B2021-09-08%2Balle%2B06.53.07.png" width="134"></a></div>Alcuni anni dopo, Feynman pubblicò un articolo fondamentale (<i><span style="color: #38761d;"><b>Space-time approach to non-Relativistic Quantum Mechanics</b></span></i>, datato <b style="background-color: #fcff01;">1948</b>) e pure un <b><span style="color: #0b5394;">celebre libro, assieme ad Albert R. Hibbs</span></b> (<i><b><span style="color: #38761d;">Quantum Mechanics and Path Integrals</span></b></i>, datato <b style="background-color: #fcff01;">1965</b>), circa la suddetta tematica.</div><div></div><div>Il grande merito di Feynman in tal ambito fu quello di riuscire a dar vita a una formulazione della meccanica quantistica in cui lo "spazio-tempo" giocasse un ruolo essenziale e non solo lo <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Hilbert" target="_blank">spazio di Hilbert</a></u>, come nella versione tradizionale della meccanica quantistica.</div><div>Il fondamento di tale approccio innovativo si basava su un concetto già ben noto in meccanica classica, ovvero quello di <b><span style="color: #ff00fe;">azione</span></b>, che in termini matematici è un <b><span style="color: #2b00fe;">funzionale</span></b> (abbiamo già parlato <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2020/03/integrali-curvilinei-di-seconda-specie.html" target="_blank">qui</a></u> di tale nozione). </div><div>In simboli possiamo scrivere l'azione $S[x(t)]$ come:</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-s4IXLzfAo4A/YTfpqoLX6aI/AAAAAAAASK0/1ay-lZNQHHwIRmacR6OJxqv97egFws4iQCNcBGAsYHQ/s368/Schermata%2B2021-09-08%2Balle%2B00.37.03.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="86" data-original-width="368" height="75" src="https://1.bp.blogspot.com/-s4IXLzfAo4A/YTfpqoLX6aI/AAAAAAAASK0/1ay-lZNQHHwIRmacR6OJxqv97egFws4iQCNcBGAsYHQ/s320/Schermata%2B2021-09-08%2Balle%2B00.37.03.png" width="320"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div>dove $x(t)$ denota una qualsivoglia traiettoria (non necessariamente classica) compresa tra $(x_0, t_0)$ e $(x_1, t_1)$, $\dot{x}(t)$ è la derivata rispetto al tempo di $x(t)$, mentre $\mathcal{L}$ è la <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2011/12/il-piu-grande-matematico-italiano-del.html" target="_blank">Lagrangiana</a></u> del sistema.</div><div>Feynman pervenne nello specifico alla seguente <b><span style="color: red;">formula fondamentale</span></b>:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-v4LtMg9CuYs/YTg32ubMdzI/AAAAAAAASLU/N2fWLVjaX2cTjg7PAHu5XveMZaelY3nEACNcBGAsYHQ/s424/Schermata%2B2021-09-08%2Balle%2B06.10.44.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="90" data-original-width="424" height="68" src="https://1.bp.blogspot.com/-v4LtMg9CuYs/YTg32ubMdzI/AAAAAAAASLU/N2fWLVjaX2cTjg7PAHu5XveMZaelY3nEACNcBGAsYHQ/s320/Schermata%2B2021-09-08%2Balle%2B06.10.44.png" width="320"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div>Messa così, alla stregua di un inizio <i>in medias res </i>letterario, il lettore non troppo esperto potrebbe non capire molto dell'ultima rilevante equazione.<div>Don't worry, procediamo con calma!<div>L'esponenziale in questione lo avete già visto in forma molto simile nel <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2020/06/lequazione-di-schrodinger-una-semplice.html" target="_blank">vecchio post</a></u>; l'unica differenza qui è che manca totalmente la presenza della costante di Planck $\hbar$.</div><div>Perché? </div><div>No, non è che a Feynman stesse antipatico Planck e abbia deciso di trollare tutta la comunità scientifica eliminando la celebre costante universale; semplicemente, in certi ambiti della fisica teorica (come la teoria quantistica dei campi), non è così insolito ricorrere alle cosiddette <b><span style="color: #674ea7;">unità naturali</span></b>, cioè porre per esempio la semplificazione (senza perdita di generalità) $c = \hbar = 1$, cosa che rende più compatte le formule in cui originariamente compare la velocità della luce $c$ e la costante di Planck $\hbar$.</div><div>In altre parole, il vero esponenziale precedente sarebbe $e^{\frac{i}{\hbar}S[x(t)]}$, ma, avendo posto $\hbar = 1$, si riduce semplicemente a ciò che leggete sopra.</div><div>Passiamo ora a $\mathcal{D}[x(t)]$. Che diavolo rappresenta?</div><div>Innanzitutto, il fatto che sia un'espressione che ha un argomento racchiuso tra parentesi quadre dovrebbe subito farvi intuire che si tratta di un <b><span style="color: #45818e;">funzionale</span></b> (se fosse stata una tradizionale funzione avreste letto $\mathcal{D}(x(t))$.</div><div>Diciamo che complessivamente l'espressione $\int_{(x_0,t_0)}^{(x_1,t_1)} \mathcal{D[x(t)]}$ indica <b style="background-color: #f9cb9c;">un'integrazione funzionale corrispondente approssimativamente ad una somma su tutte le traiettorie comprese tra $(x_0,t_0)$ e $(x_1,t_1)$</b>.</div><div>Ciò che generalmente si fa con la formula fondamentale fornita in precedenza è inserire una traiettoria in $e^{iS[x(t)]}$, calcolare tale quantità e "sommare" ciò alla medesima espressione con una traiettoria differente e continuare in tal modo per tutte le traiettorie comprese tra $(x_0,t_0)$ e $(x_1,t_1)$.</div><div>Questo discorso dovrebbe rendere palese il motivo per cui tale metodo si chiama integrale sui cammini (path integral).</div><div>Rimane da capire cosa sia $\mathcal{K}(x_1,t_1; x_0,t_0)$. </div><div>Qui dovrete purtroppo accontentarvi di sapere che il suddetto oggetto matematico si chiama <b><span style="color: red;">propagatore</span></b> ed è l'analogo della <b><u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_Green" target="_blank">funzione di Green</a></u></b> che troviamo spesso nell'ambito dell'elettrodinamica. </div><div>Si potrebbe infatti dimostrare la relazione strettissima (sono praticamente la stessa cosa) sussistente tra propagatore e funzione di Green, ma ciò andrebbe ben oltre gli scopi divulgativi del presente post.</div><div>Chiaramente si potrebbe anche fornire una derivazione rigorosa (per esempio sfruttando la cosiddetta <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_product_formula" target="_blank">formula di Trotter</a></u>) della formula fondamentale fornita precedentemente in modo secco, ma anche ciò oltrepassa il livello di trattazione che ci siamo qui prefissati.</div><div>Un'interpretazione maggiormente "concreta" e divulgativa del concetto di path integral si deve allo stesso Feynman, che nel libro del 1965 prima citato ha fatto riferimento al famoso <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Esperimento_della_doppia_fenditura" target="_blank">esperimento della doppia fenditura</a></u> e lo ha generalizzato a un <b><span style="color: #ff00fe;">sistema di schermi con un numero infinito di fenditure aperte e chiuse</span></b>.</div><div>Se adesso volessimo calcolare l'<b><span style="color: #2b00fe;">ampiezza di transizione</span></b> (in parole semplici, la grandezza che caratterizza il passaggio da un certo stato quantico iniziale ad uno finale) da un certo $x_0$ ad $x_1$, cioè la funzione d'onda $\psi_{x_0,x_1}$, allora dovremmo scrivere</div><div><br></div><div>$\psi_{x_0,x_1} = \sum_{(\mathrm{cammini})} \psi_{cammino},$</div><div><br></div><div>dove "cammino" serve ad etichettare l'ampiezza associata ad una configurazione di schermi con solo una fenditura aperta attraverso cui il cammino passa.</div><div>Naturalmente, <b><span style="color: #b45f06;">alla fine i cammini possibili saranno tutti quelli tra $x_0$ e $x_1$ perché stiamo assumendo che gli schermi abbiano infinite fenditure</span></b>.</div><div>Tutto ciò fornisce pertanto un'interpretazione fisica del perché i cammini, anche se li trattiamo solo come dei simboli o etichette, contribuiscono alle ampiezze di transizione.</div><div>Vediamo una splendida illustrazione tratta da <u><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation" target="_blank">Wikipedia</a></u>:</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-OMwqm7eodxY/YTf_iG5vYKI/AAAAAAAASLM/XFxr0ZRoGyERdGA_QcXK9-9UdKGNa1CJQCNcBGAsYHQ/s872/Schermata%2B2021-09-08%2Balle%2B02.10.26.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="872" data-original-width="468" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-OMwqm7eodxY/YTf_iG5vYKI/AAAAAAAASLM/XFxr0ZRoGyERdGA_QcXK9-9UdKGNa1CJQCNcBGAsYHQ/s320/Schermata%2B2021-09-08%2Balle%2B02.10.26.png" width="172"></a></div><br><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div><br></div><div> </div><div><br></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><img alt="" border="0" class="placeholder" id="9a80bfb9866a1" src="https://www.blogger.com/img/transparent.gif" style="background-color: #d8d8d8; background-image: url('https://fonts.gstatic.com/s/i/materialiconsextended/insert_photo/v6/grey600-24dp/1x/baseline_insert_photo_grey600_24dp.png'); background-position: 50% 50%; background-repeat: no-repeat; opacity: 0.6;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">Ora che i rudimenti essenziali della nozione di path integral dovrebbero esservi (spero) abbastanza chiari, è interessante compiere un breve resoconto storico della provenienza del suddetto concetto, che sarebbe assolutamente sbagliato associare soltanto al nome di Feynman, nonostante i suoi indiscussi straordinari meriti.</div><span></span></div></div><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/09/labc-del-path-integral-e-del-worldline.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-16454231144454563872021-06-08T17:56:00.000+02:002021-06-08T17:56:01.034+02:00L'ESPERIMENTO DI FRANCK-HERTZAgli inizi del XX secolo si discuteva sulla validità dei vari modelli atomici esistenti, tra cui quello “a panettone” di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Joseph_John_Thomson" target="_blank">Thomson</a></u>, che prevedeva l’atomo come costituito da una distribuzione di carica positiva all’interno della quale sono inserite le cariche negative, e quello di <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Ernest_Rutherford" target="_blank">Rutherford</a></u>, un “modello planetario” che congetturava un piccolo nucleo positivo centrale attorno a cui ruotavano gli elettroni e che evolveva il “modello saturniano” proposto da <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Nagaoka_Hantar%C5%8D" target="_blank">Nagaoka</a></u> (per gli appassionati di anime, fisico citato peraltro nell'episodio n.14 di <i>GTO - Great Teacher Onizuka</i>), il quale supponeva un nucleo molto più massiccio.<div>Venne mostrato che il modello più prossimo alla realtà era quello proposto da Rutherford, ma esso non era esente da problemi.</div><div>Infatti il suddetto modello, che era basato sulla fisica classica, soffriva di una pesante <b><span style="color: #2b00fe;">instabilità</span></b>. L'elettrodinamica classica stabilisce che quando una particella accelera, essa rilascia energia sotto forma di onde elettromagnetiche.</div><div>Dunque, siccome l’elettrone, nel suo girare intorno al nucleo positivo, è sottoposto a un’accelerazione, esso irraggia energia elettromagnetica della stessa frequenza del proprio moto di rivoluzione, il che comporta una perdita della sua energia e la sua caduta sul nucleo con un moto a spirale nel suddetto modello atomico.</div><div>Per risolvere la questione, <b><span style="color: red;">Niels Bohr propose nel 1913 un modello atomico basato sulla recente teoria quantistica e, in particolare, ipotizzò che gli atomi avessero una struttura a livelli energetici discreti</span></b>.</div><div>In sostanza, l’emissione di energia veniva spiegata in termini di <b><span style="color: #bf9000;">“salti” degli elettroni da un livello energetico a quello inferiore</span></b>. </div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-DcKgFyVBhCc/YL-OWp3LiBI/AAAAAAAASCo/R9XtB-sN_ykFM8XjjxOVuSKYvYPNRWLewCNcBGAsYHQ/s1200/89768eeed43acd059ec63cbd22c0ffe9.jpeg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1200" data-original-width="853" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-DcKgFyVBhCc/YL-OWp3LiBI/AAAAAAAASCo/R9XtB-sN_ykFM8XjjxOVuSKYvYPNRWLewCNcBGAsYHQ/s320/89768eeed43acd059ec63cbd22c0ffe9.jpeg" /></a></div><br /><div><br /></div><div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><br /></div>Se desiderate approfondire riguardo i vari modelli atomici, vi rimando all'introduzione del Carnevale della Chimica n.34 (<a href="https://www.blogger.com/#">cliccate qui</a>).<div><b style="background-color: #fcff01;">La conferma sperimentale di tale ipotesi avvenne proprio con l’esperimento che James Franck e Gustav Ludwig Hertz presentarono nel 1914 e per il quale vinsero il Nobel per la fisica nel 1925</b>.</div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-s4ofGWY4N3I/YL-Pb47F83I/AAAAAAAASCw/peHVqhOgK6ANizMnQbx9aujsembNDwAMQCNcBGAsYHQ/s311/220px-James_Franck_1925.jpeg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="311" data-original-width="220" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-s4ofGWY4N3I/YL-Pb47F83I/AAAAAAAASCw/peHVqhOgK6ANizMnQbx9aujsembNDwAMQCNcBGAsYHQ/w141-h200/220px-James_Franck_1925.jpeg" width="141" /></a></div><div><span style="text-align: center;">Nello specifico, ciò che i due scienziati si proposero di verificare erano i seguenti punti:</span></div><div><p><b><span style="color: #674ea7;">a) che fosse possibile eccitare gli atomi mediante un bombardamento con elettroni a bassa energia;</span></b></p><p><b><span style="color: #3d85c6;">b) che l’energia trasferita dagli elettroni agli atomi avesse sempre valori discreti;</span></b></p><p><b><span style="color: #e69138;">c) che i valori così ottenuti per i livelli energetici fossero in accordo con i risultati spettroscopici.</span></b></p><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-q_v3Jxuqa5A/YL-QFYlIj2I/AAAAAAAASDA/oIUqgVbV2Vo2F6mvBL5CJKdTpOii2PU4wCNcBGAsYHQ/s311/220px-Gustav_Hertz.jpeg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="311" data-original-width="220" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-q_v3Jxuqa5A/YL-QFYlIj2I/AAAAAAAASDA/oIUqgVbV2Vo2F6mvBL5CJKdTpOii2PU4wCNcBGAsYHQ/w141-h200/220px-Gustav_Hertz.jpeg" width="141" /></a></div><div>La loro idea fu quella inviare una sonda avente una certa energia sull’atomo di <b><span style="color: #2b00fe;">mercurio (Hg)</span></b> e vedere quanta energia questa sonda perdesse nell’interazione con l’oggetto dell’indagine.</div>Franck e Hertz hanno a tal proposito sparato degli elettroni all’interno di un vapore di mercurio e ipotizzato la presenza di urti anelastici con gli atomi di Hg; <b><span style="color: #45818e;">supponendo ci siano dei livelli energetici discreti, l’atomo potrà cedere energia solamente nel momento in cui la propria energia sia almeno uguale (o superiore) a quella che separa i due livelli</span></b>.</div><div><b><span style="color: #783f04;">Se ciò accade, si può avere uno scambio di energia tra l’elettrone (che la perde) e l’atomo che la acquisisce. Naturalmente l’energia totale del processo si conserva.</span></b></div><div>L’utilizzo del mercurio si deve al fatto che esso può vantare le buone peculiarità di essere monoatomico (se infatti l’esperimento venisse condotto con un vapore molecolare, sarebbe possibile per gli elettroni trasferire energia ai livelli energetici molecolari che formano quasi un continuo), di presentarsi liquido a temperatura ambiente e di manifestare un equilibrio liquido-vapore con densità del vapore ben modulabile a temperature facilmente ottenibili.</div><div>In particolare, l’ultima caratteristica si può ottenere specialmente se si considera un recipiente chiuso con all’interno del mercurio in cui viene fatto il <b><span style="color: #674ea7;">vuoto</span></b> al fine di minimizzare le interazioni con le molecole gassose presenti nell’aria.</div><div>Nell’esperimento gli elettroni vengono emessi da un filamento caldo e vengono accelerati verso un elettrodo griglia <i>G</i> posto ad un potenziale <i>V</i>_<i>G</i>.</div><div>Bisogna infatti ricordare che uno dei modi con cui produrre un flusso di elettroni è quello di sfruttare il cosiddetto <b><span style="color: red;">effetto termoionico (o termoelettronico)</span></b>, cioè il fatto che una temperatura elevata (solitamente dell'ordine di 1000-2000 K) possa provocare il rilascio di elettroni da parte di un materiale.</div><div><b><span style="color: #3d85c6;">Questo effetto venne studiato da Owen Willans Richardson (1879-1959) e poi da Enrico Fermi (1901-1954)</span></b>.</div><div>In particolare, <b style="background-color: #fcff01;">nel 1901, Richardson pubblicò i risultati dei suoi esperimenti, notando che la corrente elettrica emessa da un filo metallico riscaldato dipende esponenzialmente dalla temperatura del filo in una forma matematica simile all'equazione di Arrhenius</b>, che illustra la dipendenza esponenziale della velocità di reazione chimica dall'inverso della temperatura e di cui abbiamo parlato <u><a href="https://scienzaemusica.blogspot.com/2013/06/van-t-hoff-e-la-cinetica-delle-reazioni.html" target="_blank">qui</a></u>.</div><div>Si arrivò perciò a quella che oggi chiamiamo <b><span style="color: #38761d;">legge di Richardson-Fermi</span></b>, la quale ci dice come possiamo calcolare la densità di corrente di emissione <i>J</i> da parte di una lamina metallica:</div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://lh3.googleusercontent.com/-4aDbCJD9F7s/YL92JkMABxI/AAAAAAAASBU/SZ7u6pql5zMd3kwhVQb67PYTW8Zv6Hl2ACNcBGAsYHQ/Schermata%2B2021-06-08%2Balle%2B15.49.21.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="38" data-original-width="134" src="https://lh3.googleusercontent.com/-4aDbCJD9F7s/YL92JkMABxI/AAAAAAAASBU/SZ7u6pql5zMd3kwhVQb67PYTW8Zv6Hl2ACNcBGAsYHQ/s16000/Schermata%2B2021-06-08%2Balle%2B15.49.21.png" /></a></div><br /><br /></div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="text-align: left;"><br /></span></div><div class="separator" style="clear: both;">dove <i>A₀</i> è una costante universale, <i>T</i> denota la temperatura, <i>k</i> la costante di Boltzmann e <i>W </i>è il lavoro di estrazione (per saperne di più <u><a href="http://tamburoriparato.blogspot.com/2020/10/leffetto-fotoelettrico-e-leffetto-auger.html" target="_blank">cliccate qui</a></u>).<br />La più semplice tra le valvole termoioniche (dispositivi che si basano appunto sull'effetto termoionico) è il <b><span style="color: #cc0000;">diodo a vuoto</span></b>, costituito da 2 elettrodi:</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">1) un <b><span style="color: #ff00fe;">catodo</span></b>, che emette elettroni;</div><div class="separator" style="clear: both;">2) un <b><span style="color: #bf9000;">anodo</span></b>, che li riceve.</div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;">Lo strumento utilizzato nell'esperimento di Franck-Hertz ricorda tuttavia una valvola più complessa, il <b><span style="color: #6aa84f;">triodo</span></b>, il quale oltre ai 2 elettrodi sopracitati è dotato di un ulteriore elettrodo, la <b><span style="color: #134f5c;">griglia</span></b>, il cui nome deriva proprio dal fatto che esso è costituito da una griglia, cioè da una maglia metallica che va ad imporre un certo potenziale <i>V</i>_<i>G</i> rispetto al catodo.</div><div class="separator" style="clear: both;">Trattasi, in particolare, di una <b><span style="color: #674ea7;">maglia "semitrasparente"</span></b>, ossia abbastanza fitta per rappresentare una superficie equipotenziale ma avente abbastanza fori per far sì che gli elettroni possono attraversarla.</div>Gli elettroni emessi dal catodo possono dunque attraversare la griglia e giungere all'anodo. <br />Se si pensa al catodo e alla griglia come a delle lastre piane idealmente infinite orientate verticalmente (il che permette di poter, in prima approssimazione, trascurare gli effetti di bordo), il campo elettrico accelerante che si stabilisce tra i due è uniforme.</div><div>Ad ogni distanza gli elettroni hanno un’energia cinetica derivante dalla posizione e dal potenziale elettrico a cui sono sottoposti.<br />Alcuni di essi passano attraverso i fori della griglia e giungono sull'anodo purché la loro energia cinetica sia sufficiente a superare un piccolo potenziale ritardante applicato tra griglia ed anodo. </div><div>Il tutto è posto, nell'esperimento di Franck-Hertz, entro <b><span style="color: #0b5394;">un’ampolla </span></b>riempita da vapori di mercurio a bassa pressione.</div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-exrvDNtPAs4/YL-FbkkukUI/AAAAAAAASBc/D6w6GIj5_0YBsNxiLeVFw_kjL3p2xh8MwCNcBGAsYHQ/s291/ampolla%2B.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="173" data-original-width="291" height="238" src="https://1.bp.blogspot.com/-exrvDNtPAs4/YL-FbkkukUI/AAAAAAAASBc/D6w6GIj5_0YBsNxiLeVFw_kjL3p2xh8MwCNcBGAsYHQ/w400-h238/ampolla%2B.png" width="400" /></a></div><br /><p><br /></p><p><br /></p><p><br /></p><p><br /></p><p><br /></p><p><br /></p><p><br /></p>Ciò che viene misurato è il flusso di elettroni che arrivano sull'anodo, ovvero la <b><span style="color: red;">corrente <i>I</i> che passa nel circuito in funzione del potenziale accelerante <i>V</i>_<i>G</i></span></b>.<br />Inizialmente <i>I</i> cresce al crescere di <i>V</i>_<i>G</i>, ma una volta che quest’ultimo raggiunge i <b style="background-color: #ffa400;">4.9 V</b> (primo massimo nella curva di Franck-Hertz) si ha una rapida riduzione della corrente.<br />Riportiamo infatti da <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Esperimento_di_Franck-Hertz" target="_blank">Wikipedia</a></u> il grafico delle <b><span style="color: #2b00fe;">curve di Franck-Hertz</span></b>:</div><div><br /></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://lh3.googleusercontent.com/-YkB8AB_yg8k/YL-GRsplcwI/AAAAAAAASBk/HStCBYjyIn0Zx6Mt9fMoi9KL8r8hItV5gCNcBGAsYHQ/Schermata%2B2021-06-08%2Balle%2B17.00.49.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="315" data-original-width="361" height="240" src="https://lh3.googleusercontent.com/-YkB8AB_yg8k/YL-GRsplcwI/AAAAAAAASBk/HStCBYjyIn0Zx6Mt9fMoi9KL8r8hItV5gCNcBGAsYHQ/Schermata%2B2021-06-08%2Balle%2B17.00.49.png" width="275" /></a></div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /><br /></div><div><br /><br /><br /><br /><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div><br /></div><div>Quanto detto si interpreta in termini di un’<b><span style="color: #e69138;">interazione tra gli elettroni e gli atomi di Hg</span></b>, a seguito della quale una frazione significativa degli elettroni eccita gli atomi di Hg e nel far ciò perde totalmente l’energia cinetica posseduta.<br /><b style="background-color: #fcff01;">Se <i>V</i>_<i>G</i> è di poco superiore a 4.9 V</b>, il suddetto processo avviene appena prima della griglia <i>G</i>: dopo l’eccitazione gli elettroni non possono acquisire energia cinetica sufficiente a superare il potenziale ritardante e giungere sull'anodo; dunque <b><span style="color: #45818e;">la corrente va teoricamente a 0</span></b>, assumendo il modello ideale di avere <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_d%27urto" target="_blank">sezione d’urto</a></u> infinita, il che significa un’interazione da parte di TUTTI gli elettroni.<br /><b><span style="color: #ff00fe;">Nel caso di sezione d’urto finita</span></b> (quello consistente con la realtà sperimentale), invece, interagisce soltanto una frazione degli elettroni, con la conseguenza del mantenimento di un <b><span style="color: #ff00fe;">valore sempre diverso da 0 della corrente elettronica</span></b> (infatti nel grafico riportato sopra potete vedere chiaramente che la curva parte da 0 ma non torna mai a 0).<br />Per valori maggiori di <i>V</i>_<i>G</i> il processo di eccitazione avviene parecchio prima della griglia, il cui potenziale è in grado di accelerare ancora gli elettroni che riescono così a pervenire sull'anodo, e la corrente comincia a risalire. Viene raggiunto un <b><span style="color: red;">secondo massimo che corrisponde ad un’energia di circa 9.8 eV</span></b>.<br /><b><span style="color: #2b00fe;">La netta diminuzione prima sottolineata della corrente rende evidente il fatto che elettroni aventi energia minore di 4.9 eV non riescono a trasferire la loro energia ad un atomo di Hg, il che è consistente con l’esistenza in tale atomo di stati con energia discreta</span></b>.<br />Assumendo che il primo livello eccitato dell’atomo Hg si trovi 4.9 eV al di sopra dello <u><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Stato_fondamentale#:~:text=In%20meccanica%20quantistica%20si%20definisce,stato%20di%20minima%20energia%20possibile." target="_blank">stato fondamentale</a></u>, allora si conclude che un atomo di Hg non possa assorbire energia dal fascio elettronico a meno che gli elettroni posseggano appunto 4.9 eV di energia.<br />Inoltre, se la separazione tra stato fondamentale e primo livello eccitato è 4.9 eV, allora nello spettro di emissione di Hg si deve teoricamente trovare una linea corrispondente a questa energia come conseguenza della transizione dal livello eccitato allo stato fondamentale.<br /><b><span style="color: #b45f06;">Franck ed Hertz riscontrarono in effetti che bombardando il gas con elettroni aventi meno di 4.9 eV di energia, i vapori di mercurio presenti nell’ampolla non emettevano alcuna linea spettrale, mentre aumentando l’energia del fascio al di sopra di tale soglia, compariva una singola linea con λ = 2536 Å (riga di risonanza), corrispondenti proprio a 4.9 eV</span></b>.<br />Tirando le fila del discorso, l’importanza dell’esperimento di Franck e Hertz si deve al fatto che non solo fornì una notevole evidenza sperimentale della quantizzazione dell’energia negli atomi prevista da Bohr, ma costituì pure un metodo per la misura diretta della differenza di energia tra i vari livelli atomici ottenibile dalla semplice lettura di un voltmetro.</div>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9071705282656925330.post-54172488324122237262021-05-09T13:20:00.004+02:002023-12-06T13:27:39.689+01:00DIRICHLET E IL PRINCIPIO DELLA PICCIONAIAIl tema portante del prossimo Carnevale della Matematica, l’edizione n.150, che sarà ospitata da <b><span style="color: #45818e;">Paolo Alessandrini </span></b>sul blog <u><a href="http://misterpalomar.blogspot.com/" target="_blank">Mr. Palomar</a></u>, è <b><span style="color: red;">“animali”</span></b>.<br>Abbiamo già avuto modo di vedere, qui su <i>Scienza e Musica</i>, alcuni collegamenti del mondo animale con la matematica, come per esempio i famosi conigli di Fibonacci (<u><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2013/05/la-sublime-sezione-aurea.html" target="_blank">cliccate qui</a></u>), e sul Tamburo Riparato avevo parlato di “cavallucci marini in geometria”, ovvero degli spidron (<u><a href="http://tamburoriparato.blogspot.com/2015/02/cavallucci-marini-in-geometria-gli.html" target="_blank">cliccate qui</a></u>).<br>Oggi parleremo di piccioni e, in particolare, del cosiddetto principio della piccionaia.<br>Prima di scoprire cosa diavolo sia tal principio, vorrei introdurre l’importante personaggio matematico che, nel <b style="background-color: #fcff01;">1834</b>, si occupò di questo singolare concetto: Dirichlet.<br><b><span style="color: #2b00fe;">Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet nacque il 13 febbraio 1805 a Düren</span></b>, in Germania, un luogo tranquillo sulle rive del fiume Ruhr, ove il padre dirigeva l’ufficio postale.<div><br></div><div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://lh3.googleusercontent.com/-6Rxgj5xArto/YJbXZBpWa4I/AAAAAAAAR_Q/QBV5-OGoc1YhBVBLqEQSAYLpTK869ax9gCNcBGAsYHQ/image.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="276" data-original-width="250" height="200" src="https://lh3.googleusercontent.com/-6Rxgj5xArto/YJbXZBpWa4I/AAAAAAAAR_Q/QBV5-OGoc1YhBVBLqEQSAYLpTK869ax9gCNcBGAsYHQ/w181-h200/image.png" width="181"></a></div>La sua famiglia paterna proveniva in particolare dal villaggio di Richelle, presso Liegi, in Belgio, da cui derivò il cognome <b><span style="color: #b45f06;">"Lejeune Dirichlet"</span></b> ("le jeune de Richelle" = "il ragazzo di Richelle”).<br>Quando la famiglia cominciò a crescere di numero divenne infatti necessario distinguere alcune generazioni di Dirichlet dalle altre.<br>Si incominciarono ad usare appellativi come il sopracitato per indicare i nuovi membri e distinguerli dal nonno, il vecchio Dirichlet.<br>Nonostante al momento della nascita di Peter Gustav esistesse ancora il vecchio Sacro Romano Impero Germanico, <b style="background-color: #fcff01;">la città di Düren risultava occupata dal 1794 dalle truppe rivoluzionarie francesi</b>, che l’avevano convertita in una delle principali città francesi della zona, sino alla loro espulsione definitiva nel 1814.<br>Dopo la vittoria degli alleati, durante il Congresso di Vienna (1814-1815), venne stabilito che Düren, come il resto del territorio di lingua tedesca ubicato sulla sponda sinistra del Reno, fosse ceduta al regno di Prussia.<br>In tal modo gli abitanti di questa città (e quindi anche la famiglia Dirichlet) e di altre importanti città vicine, come Bonn e Colonia, smisero di essere francesi e diventarono prussiani.<br>La famiglia di Johann Peter Gustav era colta e abbastanza benestante, aspetto che consentì al giovane di avere accesso, anche se con qualche sacrificio, ad una formazione di certo non alla portata di tutti in quell’epoca.<br>La scuola primaria prussiana si mostrò insufficiente per le necessità del bambino, che venne iscritto dai genitori ad una scuola privata ove potette ricevere una certa istruzione anche in latino, che risultava fondamentale come preparazione per la scuola secondaria, il <i>Gymnasium</i>. <br>Tuttavia <b><span style="color: red;">il suo rapporto con la lingua latina, all’epoca la lingua fondamentale per le pubblicazioni scientifiche, non era (e non sarà mai) dei migliori</span></b> e ciò rappresentò la sua più grande debolezza in ambito scientifico. Se il latino gli risultava noioso, lo stesso non si poteva dire della matematica, per la quale Dirichlet sviluppò ben presto una grandissima passione.<br>Nemmeno 12enne spendeva già le mance ricevute nell’acquisto di testi di matematica.<br>Questo comportamento risultava così poco diffuso tra i ragazzi della sua età da risultare strano e ritenuto quasi nocivo da qualcuno, al punto che alcune persone tentarono di spiegargli che si trattava di acquisti assurdi e al di fuori della sua portata, in quanto non avrebbe potuto mai comprendere quei libri e sarebbe stato meglio conservare il denaro per altre spese.<br>Il caparbio bambino rispose che avrebbe letto i libri sino a quando non sarebbe stato capace di comprenderli.<br>Di fronte ai buoni risultati che Dirichlet otteneva nei suoi studi e al potenziale mostrato dalle sue capacità, i genitori decisero, nel <b style="background-color: #fcff01;">1817</b>, di iscriverlo al <b><span style="color: #674ea7;">Beethoven Gymnasium di Bonn</span></b>. <br>I Dirichlet si trasferirono per un breve periodo col figlio a Bonn, dove contattarono un conoscente di famiglia, il teologo e filosofo <b><span style="color: #e69138;">Peter Joseph Elvenich (1796-1886)</span></b>, allora un brillante studente di filosofia e lingue antiche, cattolico come loro, al quale affidarono la supervisione del loro figlio minore.<br>Una volta risolte le questioni di vitto e alloggio, i genitori fecero ritorno alla loro casa, lasciando che il figlio si incamminasse per la sua strada da solo.<br>È vero, Bonn si trova a poche decine di chilometri da Düren, ma dovete tuttavia pensare al fatto che a quei tempi non vi erano treni che collegassero le 2 città e dunque l’impatto psicologico della separazione dai genitori per un bambino di 12 anni fu enorme in un contesto simile.<br>Nonostante tutto, il soggiorno a Bonn fu davvero piacevole e proficuo. In tale ambiente il ragazzo poté sviluppare, oltre alla propria cultura, una personalità gentile ed educata, che gli consentì di legare facilmente con le altre persone e guadagnarsi rapidamente il loro favore.<br>Nel <b style="background-color: #fcff01;">1820</b> Dirichlet entrò nel Gymnasium gesuita della vicina città di <b><span style="color: #3d85c6;">Colonia</span></b>, dove coltivò i suoi interessi per la matematica e per la storia, con particolare riferimento al periodo della Rivoluzione Francese.<br>A Colonia ebbe inoltre la fortuna di incontrare <b><span style="color: #ff00fe;">Georg Simon Ohm (1789-1854)</span></b>, all’epoca professore al Gymnasium, ma che sarebbe diventato celebre per le leggi che portano il suo nome inerenti alla corrente elettrica.</div><div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-5QI2EdZE4CU/YJbdmAftWmI/AAAAAAAAR_Y/_8N5rkSuk1gASWacO7Pl9CiDvWgyZtR-wCNcBGAsYHQ/s1200/Ohm_law_mnemonic_principle.svg.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1200" data-original-width="800" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-5QI2EdZE4CU/YJbdmAftWmI/AAAAAAAAR_Y/_8N5rkSuk1gASWacO7Pl9CiDvWgyZtR-wCNcBGAsYHQ/w133-h200/Ohm_law_mnemonic_principle.svg.png" width="133"></a></div><div>Grazie alla spinta intellettuale di Ohm e al suo talento, Dirichlet, nonostante la sua giovane età, arrivò a conseguire un bagaglio di conoscenze matematiche incredibilmente ampio.</div><div>Rimase un solo anno nel Gymnasium di Colonia, dopo il quale ottenne il suo diploma e smise di frequentare le lezioni.<br>Di ritorno a casa a Düren, i genitori cercarono di convincerlo affinché i suoi studi si indirizzassero verso il diritto, studi che gli avrebbero garantito una professione redditizia e una elevata posizione sociale, a differenza della matematica, che lo avrebbe condotto con maggiore probabilità ad attraversare difficoltà economiche e a non avere un lavoro stabile.<br>Dirichlet comprendeva bene il punto di vista dei suoi genitori, ma non riusciva a separarsi dalla matematica.<br>Acconsentì dunque di incominciare gli studi di diritto, ma lasciò intendere loro che l’avvocatura sarebbe stata solo un mezzo per guadagnarsi il suo sostentamento e che avrebbe in ogni caso continuato anche i suoi studi di natura matematica.<br>Va messo in evidenza che studiare matematica in Germania in quel periodo non era affatto semplice.<br>L’unico matematico tedesco di fama mondiale era il mitico <b><span style="color: red;">Carl Friedrich Gauss (1777-1855)</span></b>, ma nel 1807 costui aveva accettato il posto di professore di astronomia nell’Osservatorio di Gottinga, ove rimase tutta la sua vita, dedicandosi fondamentalmente a studi di astronomia, geodesia e matematica applicata.<br>Per di più a Gauss non piaceva insegnare; in questa fase della sua vita riteneva che il livello dei suoi alunni fosse eccessivamente basso, pensiero critico che non faceva nulla per nascondere.<br><b><span style="color: #783f04;">In Francia l’ambiente matematico risultava di livello assai superiore</span></b>: all’Università di Parigi tenevano corsi alcuni tra i migliori matematici di sempre: Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy, solo per citarne qualcuno.<br>Non a caso Parigi era considerata la capitale mondiale della matematica in quel periodo.<br>Alla fine i genitori di Dirichlet si convinsero a supportare pienamente la passione per la matematica del figlio, ma la Prussia non poteva appunto offrire le condizioni ottimali che servivano al giovane.<br>Presero pertanto la decisione di mandarlo a <b><span style="color: #0b5394;">Parigi</span></b>; nel maggio <b style="background-color: #fcff01;">1822</b> il matematico si trasferì nella Ville Lumière e portò avanti i suoi studi nel Collège de France e nella Facoltà delle Scienze, ove ebbe la possibilità di assistere alle conferenze di personalità del calibro di Sylvestre-François Lacroix, Jean-Baptiste Biot, Jean Nicolas Pierre Hachette e Louis-Benjamin Francoeur.</div>Non si conoscono troppi dettagli sul soggiorno di Dirichlet a Parigi, ma è ben noto che oltre ad assistere alle lezioni e a prepararsi sulle materie ordinarie, si focalizzò in uno studio sistematico della famosa opera <b><span style="color: red;"><i>Disquisitiones arithmeticae</i></span></b> (pubblicata nel 1801) di Gauss, grazie alla copia che sua madre gli aveva fatto recapitare a Parigi nel novembre del 1822.<div><br></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://lh3.googleusercontent.com/-x5RnDyo16oQ/YJbfxbztQ6I/AAAAAAAAR_g/oNKlbDx7xpk-wfnK-FcZjqU5GGojCKijgCNcBGAsYHQ/image.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" data-original-height="368" data-original-width="220" height="200" src="https://lh3.googleusercontent.com/-x5RnDyo16oQ/YJbfxbztQ6I/AAAAAAAAR_g/oNKlbDx7xpk-wfnK-FcZjqU5GGojCKijgCNcBGAsYHQ/w119-h200/image.png" width="119"></a></div><div>Questo testo rappresentava per Dirichlet quasi un’ossessione, tanto che si dice lo tenesse permanentemente sulla sua scrivania.</div><div>Addirittura, <b><span style="color: #2b00fe;">secondo il geologo tedesco Wolfgang Sartorius von Waltershausen (1809-1876), Dirichlet portava con sé la sua copia delle <i>Disquisitiones arithmeticae </i>in tutti i suoi viaggi, così come i sacerdoti portavano con loro il libro di preghiere!</span></b><br>Ironia (o forse no!) della sorte è che lui stesso sarebbe diventato il vero successore di Gauss, anche se inizialmente non si poteva immaginare un successo di tal portata.<br>Infaticabile, Dirichlet lesse e rilesse il libro svariate volte durante la sua vita, sino a quando non riuscì ad assimilarlo totalmente, apprezzandone ogni minima sfumatura, un po’ come una persona “normale” è sovente fare con il proprio libro/film/serie preferita, con la differenza che qui si tratta di un’opera matematica di altissimo livello.<br>Mettiamola così, Dirichlet arrivò a conoscere quest’opera di Gauss meglio di casa sua! <br>Scherzi a parte, finalmente nell’<b style="background-color: #fcff01;">estate del 1823</b> gli venne offerta un’opportunità di lavoro che gli avrebbe permesso di smettere di dipendere dall’appoggio economico dei genitori.<br>Infatti il noto generale francese <b><span style="color: #38761d;">Maximilien Sébastien Foy (1775-1825)</span></b>, eroe delle Guerre Napoleoniche, stava cercando un professore in grado di impartire lezioni di lingua e letteratura tedesca ai suoi figli.<br>Dirichlet fu raccomandato alla famiglia Foy da un amico comune, conoscente dei suoi genitori e vecchio compagno d’armi del generale.<br>Il nuovo incarico implicava un carico di lavoro piuttosto modesto, che gli liberò del tempo utile da dedicare agli studi.<br>Dirichlet si sentì presto a suo agio nell’ambiente accademico parigino e cominciò a collaborare con alcuni dei suoi professori.<br>La sua prima vera opera di natura accademica fu una <b style="background-color: #01ffff;">traduzione in francese di un articolo inerente all’idrodinamica scritto da Johann Albert Eytelwein (1764-1849)</b>, un ingegnere specializzato in idraulica, oltre che professore universitario a Berlino.<br>Anche se si trattava di un’impresa meno rilevante rispetto a pubblicare un proprio lavoro originale, Dirichlet si sentì molto orgoglioso di tale traduzione e questa rappresentò il primo piccolo ma importante passo che lo trasformerà man mano in un gigante della matematica.</div><a href="http://scienzaemusica.blogspot.com/2021/05/dirichlet-e-il-principio-della.html#more">Continua a leggere...»</a>Leonardo Petrillohttp://www.blogger.com/profile/01459995793188714394noreply@blogger.com0