giovedì 6 giugno 2019

IL SISTEMA ASSIOMATICO DI HILBERT PER LA GEOMETRIA

David Hilbert (1862-1943) è considerato uno dei matematici più influenti di sempre.

Il suo nome appare in svariati ambiti rilevanti della matematica, oltre che in fisica, ove l'introduzione degli spazi di Hilbert è stata fondamentale per lo sviluppo matematico della meccanica quantistica.
Leggendo il libro Hilbert, Alla ricerca di assiomi universali (della collana Geni della Matematica) di Carlos M. Madrid Casado, mi sono imbattuto in un interessantissimo passo relativo al sistema assiomatico introdotto da Hilbert.
Il presente post è un riassunto dei concetti fondamentali illustrati nel libro sopracitato.

martedì 14 maggio 2019

CARNEVALE DELLA MATEMATICA #129: LA MATEMATICA DEL XVIII E XIX SECOLO

"In matematica, le rivoluzioni sono eventi silenziosi. Nessuno scontro, nessun clamore. La notizia viene comunicata in qualche trafiletto ben lontano dalle prime pagine.
Donal O'Shea, autore del libro La congettura di Poincaré.



Benvenuti alla 129ª edizione del Carnevale della Matematica, la terza che ha l'onore di ospitare il blog Scienza e Musica!
Tale edizione ha nome in codice (dovuto al sommo Popinga) "il merlo intrepido" e cellula melodica (grazie a Dioniso Dionisi, che ritroveremo come partecipante):



La tematica scelta come filo conduttore del presente evento è, come tradizione nei carnevali ospitati su questo blog, davvero ad ampio respiro: "La matematica del XVIII e XIX secolo".
Naturalmente, apriremo la kermesse con una ricca introduzione sul tema (va specificato, sì ricca, ma comunque assai sintetica e incompleta rispetto alla colossale vastità della tematica affrontata), oltre alla consueta presentazione del numero della suddetta edizione, ovvero il 129.
Incominciamo dicendo che nelle università del Seicento il termine "matematiche" designava un'ampia varietà di discipline diverse, tra cui l'astrologia, la balistica, l'ottica e la meccanica.
Le università di quel tempo erano in grado di fornire i mezzi di sussistenza soltanto a un'élite ristretta di matematici.
Particolarmente significativo in tal senso è l'esempio della Svizzera di fine Seicento.
Qui era presente una singola università in tutto il paese e dunque anche la cattedra di matematica era una sola, quella di Basilea, ricoperta dal 1687 al 1705 da Jacob Bernoulli e poi, dal 1705 al 1748, da suo fratello Johann (per saperne di più sull'incredibile famiglia Bernoulli, cliccate qui).





Nel corso della seconda metà del XVII secolo si svilupparono tuttavia alcune alternative, per mezzo dell'allestimento di nuovi luoghi di elaborazione e trasmissione del sapere.
Tra questi luoghi spiccavano le accademie, tra cui particolare importanza ebbe l'Académie Royale des Sciences a Parigi per opera di Jean-Baptiste Colbert, il potente ministro di Luigi XIV.
Quale era la sostanziale differenza tra questa Accademia francese e, per esempio, la Royal Society di Londra?
L'originalità del modello di Accademia francese stava nel fatto che questa veniva direttamente finanziata dallo Stato!
Nel XVIII secolo l'istituzione di accademie ispirate al modello francese offriva a qualche matematico la prospettiva di un lavoro remunerato, tuttavia i posti stipendiati rimanevano ancora esclusiva di una piccola cerchia privilegiata.
Per esempio, il tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), uno dei padri dell'analisi matematica assieme a Newton (1642-1727), si impegnò tutta la vita a promuovere la creazione di società scientifiche, attraverso memoranda e programmi da sottoporre ai principi europei e non.
Negli ultimi anni del XVII secolo Leibniz si era sempre più interessato alla Russia e al suo zar, Pietro il Grande (1672-1725), il quale riteneva fondamentale il ruolo delle scienze nel processo di modernizzazione del suo gigantesco impero.
Dopo la morte del grande matematico tedesco, lo zar cercò di mandare avanti, attraverso intermediari, tale processo di collaborazione scientifica con gli intelletuali europei.
L'8 febbraio 1724, il Senato russo approvò poi il progetto di Accademia (a San Pietroburgo) proposto dal medico di corte, Laurentius Blumentrost, che ne divenne il primo presidente.
L'Accademia si sarebbe dovuta basare su 3 elementi costitutivi:

1) l'istituto accademico di ricerca (ispirato al modello delle Accademie di Parigi e Berlino);
2) l'università;
3) il ginnasio.

Gli ultimi 2, però, ebbero un fulmineo declino.
Al suo esordio, l'Accademia russa contava 23 membri, 7 dei quali matematici.
Tra questi era presente Jacob Hermann, allievo di Jacob Bernoulli, pupillo di Leibniz e professore di matematica a Francoforte sull'Oder.
L'invito ad unirsi all'Accademia venne inviato pure a Johann Bernoulli, ma quest'ultimo rifiutò.
Tuttavia, egli convinse 2 dei suoi figli, Daniel e Nicolaus (II), a mettersi al servizio dello zar.
Sfortunatamente Pietro il Grande, morto il 18 gennaio 1725, non poté vedere compiuta l'opera che tanto bramava, la quale fu portata a termine con successo dalla sua vedova, Caterina I.
Al termine dell'estate del 1725 un certo numero di accademici si era già stabilito a San Pietroburgo.
Tra questi c'era nientemeno che Christian Goldbach (noto per la celebre congettura ancora irrisolta che porta il suo nome), il quale fu incaricato di redigere i verbali in latino e di occuparsi delle pubblicazioni e della corrispondenza.
Alla fine, Jacob Hermann ricoprì la cattedra di matematica, Nicolaus Bernoulli quella di meccanica, Daniel Bernoulli fu professore di fisiologia ed anatomia sino a quando, nel 1731, a seguito della partenza di Hermann, ottenne la cattedra di matematica.
La cerimonia di inaugurazione dell'Accademia ebbe luogo il 7 gennaio 1726, in assenza dell'imperatrice.
Una seconda seduta pubblica (questa volta in presenza di Caterina I) si concretizzò il 12 agosto.
In tal occasione, Hermann presentò una dissertazione in latino (pubblicata però nel 1735) concernente l'origine e lo sviluppo della geometria.
La prima parte della presentazione di Hermann riguardò la storia della geometria dall'antichità al XVIII secolo.

Questi distinse 3 epoche fondamentali:

1) l'infanzia della geometria: inizia con Talete e Pitagora, culminando poi con Euclide, Archimede e Apollonio;
2) la fase medium ævum (che seguì uno hiatus, ossia un periodo di ristagno della geometria): si apre con Viète e risulta dominata dalla figura di Descartes;
3) l'epoca della geometria sublimior: inaugurata dalla pubblicazione della Nova methodus (1684) di Leibniz e ancora in corso.

Hermann mise in evidenza il rigore dei metodi degli antichi, tuttavia li reputò goffi se comparati ai potenti e rapidi metodi del calcolo differenziale e integrale, arrivando persino ad asserire che la scrupolositas in demonstrando della geometria greca rappresentò un ostacolo all'innovazione.
Anche il grandissimo Leonhard Euler (1703-1783) [noi italiani spesso lo chiamiamo Eulero], grazie all'invito di Daniel Bernoulli, prese posto all'Accademia di San Pietroburgo, precisamente a partire dal giugno 1727.
Il primo periodo trascorso da questi in Russia fu davvero molto produttivo: si contano infatti una cinquantina di memorie ed opere apparse nel periodo compreso tra il 1727 e il 1741.
In particolare, meritevole di menzione è la sua Mechanica, sive motus scientia analytice exposita in 2 tomi del 1736.
Quest'opera rappresentò un capisaldo nella storia della meccanica, oltre al fatto che permise al giovane matematico di ottenere numerosi riconoscimenti.
Nel 1741, l'incertezza sul destino dell'Accademia russa legato alla situazione politica di quel momento portò Eulero ad accettare l'offerta di Federico II di Prussia.
Quest'ultimo era desideroso di innestare una riorganizzazione dell'Accademia di Berlino.
Non a caso il suddetto sovrano amava circondarsi di persone colte, tra cui brillanti filosofi e abili poeti.
Tuttavia sussisteva un conflitto di opinioni tra il sovrano e il matematico inerente all'utilità delle "matematiche superiori", ovvero l'analisi matematica.

giovedì 9 maggio 2019

CARNEVALE DELLA MATEMATICA N.129 - 3ª (ED ULTIMA) CALL FOR PAPERS

Questa è l'ultima chiamata per coloro che abbiano intenzione di partecipare al Carnevale della Matematica n.129, che sarà dedicato alla matematica del XVIII e XIX secolo.
Ormai mancano pochi giorni alla pubblicazione (14 maggio, se riesco, allo scoccare della mezzanotte) e ancora meno per l'invio dei contributi.
Avete infatti tempo sino alle 23:59 del 12 maggio per segnalarmi i vostri contributi (in tema oppure no) all'indirizzo mail:

leonardo92.universo@gmail.com

Per maggiori informazioni, vi rimando alla prima call for papers.
A prestissimo col Carnevale della Matematica qui su Scienza e Musica!

Leonardo Petrillo

mercoledì 8 maggio 2019

IL FANTASTICO ZOO DELLA GEOMETRIA

Era una mattina d'estate, davvero afosa.
Il Sole risplendeva mostrando tutta la sua imponenza nel sereno cielo. Si trattava della giornata perfetta per la gita in uno zoo.
Bernardo era tutt'altro che contento di parteciparvi, d'altronde aveva già avuto occasione di girare per diversi zoo sin da piccolo e dunque riteneva non potesse esserci più nulla da scoprire e che potesse solleticare la sua curiosità.
"Ma come, non sei curioso di vedere le maestose tigri malesi?" gli domandò un compagno di classe, seduto affianco sull'autubus che li avrebbe condotti nel meraviglioso parco naturale.
"Già viste tante volte, vorrei osservare qualcosa di nuovo ed altrettanto emozionante" rispose celermente Bernardo.
L'orario di arrivo era previsto per le 10; nel mentre il ragazzo ascoltò un po' di musica classica, precisamente si dilettò col meraviglioso Concerto per pianoforte e orchestra n.3 di Rachmaninov.



Giunti allo zoo, l'esplorazione cominciò immediatamente tra elefanti, scimpanzé, leoni, zebre e chi più ne ha più ne metta.
La mente curiosa di Bernardo purtroppo non era abbastanza stimolata da renderlo molto felice, tuttavia, ad un tratto, qualcosa di bizzarro accadde.
Una voce risuonò all'interno del parco naturale: "Salve gentili visitatori; unicamente per oggi estrarremo tra voi un vincitore che potrà accedere alla nostra ala di massima segretezza! Per prenotarvi sarà sufficiente firmare un foglio che il nostro attento staff vi fornirà".
Bernardo non ci pensò neanche un secondo e appose la firma non appena ricevette il foglio.
Non si trattava di un banale documento di iscrizione; ai margini del foglio comparivano infatti strane figure geometriche.
Dopo solo mezz'ora furono raccolti tutti i fogli e si passò all'estrazione del vincitore. "UN MINUTO DI ATTENZIONE" echeggiò la solita voce dell'annunciatore. "IL VINCITORE È BERNARDO R.".
Urla ed applausi scrosciarono nei confronti del ragazzo.
"Prego, mi segua" affermò un membro dello staff dello zoo, il cui compito era condurre Bernardo nell'ala segreta.

domenica 5 maggio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: WITH A SONG IN MY HEART/JANE FROMAN

Rieccoci ad un nuovo appuntamento musicale quotidiano.




















Stasera segnaliamo il brano "With A Song In My Heart" tratto originariamente dal musical del 1929 Spring Is Here di Rodgers e Hart.
La versione che andiamo ad ascoltare è quella invece derivante dal film del 1952 With A Song In My Heart, che racconta la biografia della cantante e attrice Jane Froman, una delle interpreti di maggior successo di questa canzone.
Buon ascolto!



Alla prossima!

sabato 4 maggio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: ONE SWEET DAY

Ben ritrovati nella nostra rubrica musicale.




















Stasera ascoltiamo un bellissimo brano datato originariamente 14 novembre 1995: "One Sweet Day".
Scritto originariamente da Mariah Carey e dai Boyz II Men (in collaborazione con Walter Afanasieff) fu registrato proprio come duetto tra questi straordinari artisti.
Di seguito la versione originale:



Quando hai a che fare con cantanti di questo calibro, ascoltare delle cover è spesso qualcosa di non soddisfacente.














Tuttavia, recententemente, ad ottobre 2018, un gruppetto di incredibili artisti asiatici si è riunito per riproporre una versione aggiornata del pezzo e il risultato è superlativo, alla pari con l'originale.
La cover a cui ci stiamo riferendo è stata realizzata da Khel, Bugoy, Daryl Ong e Katrina Velarde.
Su quest'ultima avremo sicuramente modo di realizzare almeno una puntata ad hoc della nostra rubrica; è un talento davvero allucinante.
Ecco pertanto la suddetta cover. Buon ascolto!



Alla prossima!

venerdì 3 maggio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: VEDRÒ CON MIO DILETTO (VIVALDI)/CECILIA BARTOLI

Rieccoci ad un nuovo appuntamento musicale quotidiano!




















Stasera ascoltiamo la splendida voce della mezzosoprano Cecilia Bartoli in un brano tratto da Il Giustino, RV 717, opera in 3 atti del 1724 di Vivaldi: "Vedrò con mio diletto".
Tale interpretazione è tratta da un recente album (23 novembre 2018) della Bartoli tutto dedicato alle arie di Antonio Vivaldi.
Buon ascolto!



Alla prossima!

giovedì 2 maggio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: THAT'S WHAT FRIENDS ARE FOR/DIONNE WARWICK & OTHERS

Rieccoci al nostro appuntamento musicale.














Oggi continuiamo con le canzoni eseguite da riunioni di straordinari artisti.
Infatti andiamo ad ascoltare la celebre "That's What Friends Are For", scritta originariamente nel 1982 da Burt Bacharach e Carole Bayer Sager.
La nota cover realizzata da Dionne Warwick, assieme a Elton John, Gladys Knight e Stevie Wonder, risale al 1985 e i suoi proventi furono interamente devoluti ad una fondazione statunitense per la ricerca sull'AIDS.
Buon ascolto!



Alla prossima!

mercoledì 1 maggio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: VOICES THAT CARE/CELINE DION & MANY OTHERS

Bentornati alla nostra rubrica musicale.
Tra impegni, problemi di connessione e preparazione del Carnevale della Matematica n.129 (che procede molto bene), sono stato costretto per forza di cose a interrompere per qualche giorno la rubrica.
Ripartiamo con un magnifico brano interpretato collettivamente da un ampio gruppo di bravi artisti: "Voices That Care".














Questo è stato scritto, nel 1991, da David Foster, Linda Thompson e Peter Cetera per supportare l'Organizzazione Internazionale della Croce Rossa e i soldati statunitensi durante la Guerra del Golfo.
Il gruppo di cantanti fu costituito, oltre che da una giovanissima Celine Dion (che da lì a pochi anni sarebbe giustamente diventata una vera stella nel panorama musicale internazionale), pure da:
Alla chitarra era poi presente Mark Knopfler.
L'apice della canzone è rappresentato da un assolo al sax da parte dell'eccezionale Kenny G, seguito da un magistrale belting della Dion!
Oltre a tale cast principale, in sottofondo è presente un ampio coro, formato da importanti personalità non solo dell'ambito musicale, ma pure di quello cinematografico e sportivo.
Non resta che procedere all'ascolto!



Alla prossima!

lunedì 29 aprile 2019

CARNEVALE DELLA MATEMATICA N.129 - 2ª CALL FOR PAPERS

Questa è la seconda chiamata per chi abbia desiderio di partecipare alla prossima edizione del Carnevale della Matematica, che si terrà, il 14 maggio, qui su Scienza e Musica.
















Ricordo che il tema portante dell'edizione sarà "La matematica del XVIII e XIX secolo", ma naturalmente si è liberi di non seguirlo.
Inviate i vostri contributi (entro le 23:59 del 12 maggio) all'indirizzo mail

leonardo92.universo@gmail.com

Per maggiori informazioni vi rimando alla prima call for papers.
A presto con il Carnevale della Matematica!

mercoledì 24 aprile 2019

LE FUNZIONI GAMMA E BETA DI EULERO

Eccoci arrivati all'ultimo appuntamento con la serie di post dedicati all'analisi complessa.
Vediamo il recap delle puntate precedenti:

- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa";

Questa puntata è dedicata a 2 particolari funzioni introdotte da Eulero (1707-1783) e, al fine di illustrarle, faremo uso di alcuni dei concetti spiegati nei post passati.
Cominciamo dicendo che nel 1727 Eulero venne chiamato da Daniel Bernoulli a ricoprire una cattedra di medicina prima, e matematica poi, presso l'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo.
I 2 divennero stretti collaboratori fino alla dipartita di Bernoulli nel 1733.
L'autodidatta Christian Goldbach era anch'egli, in quegli anni, professore presso la suddetta Accademia.
Pare che fu proprio Goldbach a proporre ad Eulero di trovare una funzione che estendesse il fattoriale ai numeri non interi.
Ne seguì una corrispondenza tra i 2 (che continuò poi su innumerevoli questioni per ben 35 anni) durante la quale, in una celebre lettera di Eulero a Goldbach del 13 ottobre 1729, comparve per la prima volta la funzione gamma sotto forma di limite di un prodotto e di prodotto infinito:

Questa è appunto la cosiddetta rappresentazione di Eulero per la funzione gamma. 

martedì 23 aprile 2019

LA MAGNIFICA SUPERFICIE DI DINI

Abbiamo già avuto modo di parlare di pseudosfere su questo blog.
Ultimamente abbiamo per esempio scoperto le spettacolari creazioni artistiche dell'australiano Paul Walker (cliccate qui per vederle) ispirate alla pseudosfera di Beltrami.
È consigliabile (avviso rivolto specialmente al lettore non esperto), prima di continuare la lettura, di rileggere il nostro vecchio post di illustrazione della pseudosfera (cliccate qui), giacché qui assumeremo per scontata la conoscenza di alcuni concetti lì spiegati, come la trattrice e la curvatura.
Tra poco scopriremo brevemente una magnifica superficie che si può ottenere proprio dalla torsione di una pseudosfera!
Prima di far ciò, leggiamo, a mo' di introduzione, cosa scrive Claudio Bartocci, a proposito della geometria differenziale dal 1850 in poi, nel suo splendido testo intitolato Una piramide di problemi:

«Dopo il 1850, le ricerche in geometria differenziale - intesa quasi esclusivamente come teoria delle superfici immerse nello spazio euclideo oppure come disciplina al servizio della fisica matematica (meccanica analitica e teoria dell'elasticità) - si focalizzano soprattutto su "problemi concreti" e su casi particolari, ramificandosi in una pluralità di direzioni diverse. In questo modo, viene a essere tessuta una fitta e intricata ragnatela di risultati tra loro interconnessi, e non privi di stretti legami anche con altri settori della matematica. L'esempio paradigmatico è costituito dalle superfici minime. Il problema, tipico del calcolo delle variazioni, di trovare le superfici di area "minima"si traduce nel problema geometrico di determinare le superfici che hanno, in ogni punto, curvatura media uguale a zero, come già osservato da Meusnier nel suo "Mémoire sur la courbure des surfaces" [1785]. Oltre al piano, si verifica senza difficoltà che soddisfano a questa condizione il catenoide (cioè, la superficie - nota anche sotto il nome, oggi fuori moda, di alisseide, introdotto da Bour [1862, p. 30] - generata dalla rotazione di una catenaria attorno al proprio asse) e l'elicoide minimo (cioè, la superficie generata dal moto di una retta che "si avvita" lungo un asse). Pur essendo superfici che è impossibile ottenere l'una dall'altra attraverso una trasformazione euclidea, il catenoide e l'elicoide sono applicabili l'una sull'altra mediante un'elegante costruzione geometrica, simile (ma più semplice) a quella che Beltrami userà nel "Saggio" del 1868 per avvolgere la calotta pseudosferica sulla superficie di rotazione generata dalla trattrice (figura 12).



La teoria delle superfici minime rappresenta uno dei campi di ricerca più fecondi e vitali della matematica ottocentesca, all'incrocio tra analisi e geometria, al quale apportarono contributi significativi, tra gli altri, Bonnet, Riemann, Weierstrass, Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), Beltrami, Ulisse Dini (1845-1918), Sophus Lie.»

Ed è proprio la superficie studiata da uno di questi ultimi grandi nomi la protagonista del nostro post.
Ma chi era Ulisse Dini?

sabato 20 aprile 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: ORPHEUS IN THE UNDERWORLD: OVERTURE (OFFENBACH)

Ben ritrovati al nostro appuntamento musicale.



















Stasera ascoltiamo la magnifica "Overture da Orfeo all'Inferno", operetta in 2 atti di Jacques Offenbach (1819-1880) datata 1858.
Naturalmente essa è ispirata alla nota vicenda mitologica di Orfeo ed Euridice e ne dà una ricostruzione di tipo comico-satirico.
Andiamo dunque ad ascoltare la suddetta overture ottimamente eseguita dalla Rundfunkorchester Köln diretta da János Kovács.



Alla prossima!

venerdì 19 aprile 2019

L'ARTE DELLA MATEMATICA DI PAUL WALKER

In passato su questo blog abbiamo parlato del meraviglioso concetto di pseudosfera, introdotto dal matematico Eugenio Beltrami nel 1868.
In particolare, ne abbiamo parlato nel post intitolato "Singolari sfere: pseudosfera e sfera cornuta", che potete rileggere cliccando qui.
Qualche giorno fa, sulla pagina Facebook del blog Scienza e Musica, mi arriva, da parte dell'australiano Paul Walker, un'interessante bozza di articolo (assieme a dei video correlati) in cui egli spiega la costruzione di una simile forma in maniera originale.
Mi è stato chiesto dallo stesso Walker di tradurre il suddetto articolo per partecipare al Carnevale della Matematica di maggio (che sarà ospitato proprio su questo blog; qui la prima call for papers con i dettagli) e io ho accolto volentieri la richiesta.
Il presente post sarà infatti dedicato alla traduzione in italiano delle parti essenziali dell'articolo originale, che potete trovare cliccando qui. Laddove ho ritenuto necessario, ho inserito qualche piccola precisazione in più al fine di migliorare la comprensione del tutto.
Il suo progetto si intitola "L'arte della matematica".
Procediamo! Specifichiamo che le parti delimitate da «» sono tratte direttamente dall'articolo originale; quelle che non lo sono rappresentano mie piccole aggiunte o precisazioni.

«Non molti hanno potuto ammirare i miei modelli a vortice/tornado, ma chi ha visto i pezzi della dimostrazione li ha trovati interessanti ed esteticamente appaganti.
Oltretutto, questi possono diventare incantevoli se messi in mostra appesi.
















Le mie forme a vortice dovrebbero essere presenti in ogni dipartimento scientifico!
Trattasi di una semplice scoperta e di una possibile "forma con cui giocare" nella creazione di energia.
Questi vortici ricordano un po' quelli utilizzati dal naturalista e inventore austriaco Viktor Schauberger (1885-1958)», che, stando a Wikipedia:

"viene considerato come uno dei pochi teorici sull'implosione, ovvero di teorie basate su vortici fluidici e dei movimenti nella natura"

Sempre da Wikipedia, osserviamo la seguente immagine:



















«La suddetta forma può essere facilmente ottenibile da fogli piatti ("flat sheets"). Ho costruito i modelli di cui sopra alla stregua di modelli dimostrativi, ma essi possono esser visti come belle opere d'arte statiche, che vanno a ricordare i tunnel temporali, i cosiddetti wormholes.»

Ricordiamo che, in fisica, i wormholes (detti anche ponti di Einstein-Rosen) sono degli ipotetici cunicoli (o meglio, singolarità) che si generebbero nello spazio-tempo e che permetterebbero di viaggiare da un punto ad un altro dell'Universo più velocemente di quanto possa fare la luce percorrendo la normale distanza spaziale.

«Ho giocato con tale forma per anni, ma non l'ho mai portata al di là dell'arte. Ora però voglio presentare la forma da me ottenuta a tutti quanti. Non riesco a trovare immagini della medesima realizzazione di tale forma in tutto Google!»

Ecco qualche immagine dall'articolo originale:





































«Una forma simile esiste, il modello di Beltrami, che ho visto per la prima volta in un libro intitolato "Energy", stampato intorno al 1963 e in svariate immagini su internet, simili a quelle appena mostrate»

Come già detto, nel 1868 Beltrami teorizzò una particolare superficie, che chiamò pseudosfera, nel tentativo di visualizzare le proprietà di Bolyai-Lobacevskij concernenti la geometria iperbolica.
Il matematico italiano si stava ispirando all'opera del grande Bernhard Riemann (1826-1866), allievo di Gauss, i cui lavori ispirarono a sua volta la teoria della Relatività Generale di Einstein, la quale, come ben sappiamo, introdusse il concetto di curvatura dello spazio-tempo per effetto delle masse.












Per chi volesse approfondire, abbiamo parlato di alcuni importanti contributi geometrici di Riemann qui.

mercoledì 17 aprile 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: HUNGARIAN DANCE N.5 (BRAHMS)

Ben ritrovati al nostro appuntamento musicale.


















Stasera ascoltiamo una splendida composizione del tedesco Johannes Brahms (1833-1897) intitolata Danza Ungherese n.5.
Originariamente le 21 Danze Ungheresi (composte tra il 1852 e il 1869) sono state pensate da Brahms per essere eseguite al pianoforte a 4 mani.
Successivamente vennero arrangiate anche per altri strumenti e persino per l'intera orchestra.
Andiamo infatti a segnalare l'arrangiamento di Albert Parlow (1824-1888) ottimamente eseguito dalla London Symphony Orchestra diretta da Neeme Järvi.
Buon ascolto!



Alla prossima!

lunedì 15 aprile 2019

CARNEVALE DELLA MATEMATICA N.129 - 1ª CALL FOR PAPERS

È con grande piacere che vi annuncio ufficialmente che il Carnevale della Matematica n.129 verrà ospitato, il 14 maggio, proprio qui su Scienza e Musica!!!




















Prima di parlare di questo, invito, chi ancora non lo avesse fatto, a visionare l'ottimo Carnevale n.128 allestito da Roberto Natalini su MaddMaths! (cliccate qui).
Se avete avuto modo di leggere qualcuno dei Carnevali scientifici ospitati su Scienza e Musica nel passato saprete bene che la scelta della tematica portante è sempre stata fatta in modo che fosse assai vasta e stimolasse un buon numero di contributi in tema da parte dei partecipanti alla kermesse.
Anche questa volta non ci smentiamo! Anzi, ho deciso di mettere a disposizione dei carnevalisti ben 2 secoli di matematica!
E non si tratta di secoli qualsiasi, ma di secoli assai fecondi, veramente densi di importanti scoperte matematiche e di eccezionali matematici, tra cui, giusto per citarne qualcuno, Eulero (ah oggi si festeggia il suo compleanno, essendo nato il 15 aprile del 1707), Gauss, Lagrange, Laplace, Riemann.
Il tema portante del Carnevale n.129 sarà infatti: "La matematica del XVIII e XIX secolo".
Per chi non fosse interessato a seguire la suddetta tematica, no problem! Sono sempre graditissimi contributi fuori tema.
Il presente post rappresenta la prima chiamata (o se preferite, in inglese, call for papers) alla partecipazione. Ma come si fa a partecipare?
Molto semplice; inviate i vostri contributi (di norma al Carnevale partecipano quelli scritti sui blog, ma in passato abbiamo accettato anche altre tipologie di contributo di carattere matematico/scientifico) entro il 12 maggio (avete ufficialmente tempo fino alle 23:59 di tale giorno) al seguente indirizzo mail:

leonardo92.universo@gmail.com

Sia ben chiaro che al Carnevale della Matematica può partecipare chiunque, dal semplice appassionato all'esperto.
Appuntamento al 14 maggio per una vera e propria full immersion nella matematica di 2 incredibili secoli (e non solo)!
Non mancheranno buona musica e momenti divertenti, come in un vero Carnevale.
Resto in attesa dei vostri contributi!
Per maggiori informazioni sull'evento Carnevale della Matematica potete guardare qui.

Leonardo Petrillo

domenica 14 aprile 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: LUJON/HENRY MANCINI

Bentornati nella nostra rubrica musicale.














Stasera ascoltiamo una delicatissima composizione musicale del grande Henry Mancini (1924-1994) intitolata "Lujon" (ma è anche nota come "Slow Hot Wind").
La denominazione del pezzo deriva dallo strumento a percussione lujon, che è presente nella registrazione del brano.
La suddetta composizione è stata utilizzata come colonna sonora in diverse pellicole cinematografiche, tra cui Il grande Lebowski del 1998.
Buon ascolto!



Alla prossima!

mercoledì 10 aprile 2019

IL PROLUNGAMENTO ANALITICO E LE FUNZIONI POLIDROME

Andiamo avanti con la nostra serie di post dedicati all'analisi complessa.
Prima di cominciare, ecco l'elenco delle puntate precedenti:

- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa";

Partiamo considerando 2 funzioni f(z) e g(z) analitiche rispettivamente nei domini Df e Dg.
Assumiamo valida inoltre la condizione f(z) = g(z) su un sottoinsieme, quantomeno numerabile, di punti di DfDg.
Allora la funzione

 
risulta analitica in DfDg e viene chiamata continuazione analitica o prolungamento analitico di f(z) in Dg, ovvero di g(z) in Df.
Il prolungamento analitico consente di definire una funzione sull'intero piano complesso, a esclusione dei punti singolari.
In verità, alcune funzioni esibiscono delle "barriere di analiticità", ossia dei domini oltre i quali non possono essere continuate analiticamente, come accade, per esempio, a 

Essa non può essere infatti prolungata al di fuori del disco di raggio 1, poiché divergente su un sottoinsieme denso di punti del bordo.
Al fine di ottenere un prolungamento analitico di una funzione si sfruttano varie tecniche.
Tra esse è decisamente meritevole di menzione il prolungamento secondo Weierstrass, che consiste nel procedere per cerchi attraverso successivi sviluppi di Taylor.
Dato infatti uno sviluppo in un cerchio D₀ di centro z₀, si costruisce un nuovo sviluppo centrato intorno a z₁D₀, con z₁z₀.
Se il nuovo cerchio possiede una porzione esterna al precedente, si ottiene un prolungamento in un dominio più grande di quello iniziale.

Prolungamento analitico di una funzione analitica lungo una curva γ(t) del piano
Il modo più efficace consiste tuttavia nel trovare rappresentazioni di una stessa funzione valide in domini differenti da quello in cui la funzione viene definita.
Ad esempio, si consideri f(z) definita mediante la serie geometrica

Tale funzione è analitica attorno all'origine, visto che la serie di potenze converge per |z| < 1.
Sul disco unitario possiamo pure sommare la serie, ottenendo 

Ovviamente la funzione 1/(1-z) coincide con f(z) solo laddove la serie converge.
Tuttavia, essa risulta analitica in tutto il piano complesso, se si esclude il polo semplice z = 1.
Tirando le fila del discorso, la funzione 1/(1-z) è un prolungamento analitico a tutto il piano complesso ℂ (escluso z = 1) di f(z).
Si osservi inoltre che la serie di Taylor intorno all'origine converge SOLTANTO nel cerchio unitario per via del polo semplice nel punto z = 1.
Se, per esempio, andassimo a considerare lo sviluppo intorno al punto z = -2, la serie sarebbe

che risulta convergente per |z+2| < 3.
A seconda della natura della funzione, può accadere che il prolungamento analitico sia:
  • unico, oppure
  • dia luogo a valori diversi di una funzione in uno stesso punto, qualora si proceda attraverso successioni distinte di domini che circondino regioni di "non analiticità". In tal caso la funzione si dice polidroma o a più valori.
Dunque, continuando alla Weierstrass una funzione analitica f(z) (definita originariamente nell'intorno di un punto z = z₀) sino ad un punto z = zE, può succedere che 2 diverse continuazioni analitiche portino a 2 differenti determinazioni di f(zE).
In sostanza, in tal caso abbiamo a che fare con una funzione polidroma.
Questo fatto di aver ottenuto 2 diverse determinazioni della funzione considerata significa che nel processo di prolungamento si è passati intorno ad un punto singolare della funzione, il quale viene chiamato punto di diramazione (in inglese "branch point") o di polidromia.
Abbiamo già anticipato qualcosa a tal proposito qui.
Andiamo quindi ad approfondire la questione.
Diciamo innanzitutto che per ogni intorno del punto z₀, esiste sempre una circonferenza di centro z₀ e raggio ε > 0 tutta contenuta nell'intorno




Il punto z₀ è detto di diramazione per una funzione f(z) se, per ogni intorno di z₀ e ogni circonferenza scelta come appena visto, risulta:





I punti di diramazione sono appunto esempi di punti singolari relativi alle funzioni polidrome.
In essi la funzione non è necessariamente infinita, tuttavia cessa di essere analitica!
Prototipi di funzioni polidrome sono le potenze non intere e il logaritmo.
Consideriamo infatti, per esempio, la funzione



e scriviamola come






Se la curva γ su cui è fatto l'integrale non gira attorno all'origine (unico punto singolare della funzione integranda), si avrà allora:




La sottolineatura va a designare un'arbitraria, ma ben definita, determinazione del logaritmo, che scegliamo qui come quella per cui vale ln 1 = 0.
Ma cosa succede invece se la curva su cui integriamo è una curva γn che gira n volte intorno all'origine (in verso positivo per n positivo e in verso negativo per n negativo)?
Ricordiamo che




allora si constata che



Ora, siccome la funzione 

può essere assunta come definizione della funzione ln z, da ciò consegue che la funzione

è a infiniti valori.
In altre parole, l'origine rappresenta un punto di diramazione della funzione ln z.
Da Wikipedia riprendiamo la seguente splendida illustrazione:

Ponendo ora z = 1/z' (che scambia fra loro l'origine e il punto all'infinito) è facile rendersi conto che pure z = ∞ è un punto di polidromia di ln z e che (a parte i 2 punti di diramazione) la funzione ln z è dappertutto regolare.
La complicazione presentata dai molti valori di una funzione polidroma può essere però superata mettendo i valori che una tale funzione assume non più in corrispondenza con i punti del piano complesso, bensì in corrispondenza biunivoca con i punti di una superficie diversa: la superficie di Riemann, costruita ad hoc per ogni funzione polidroma.


Come diavolo si costruisce una superficie di Riemann? 

lunedì 8 aprile 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: WHAT NOW MY LOVE/FRANK SINATRA & ARETHA FRANKLIN

Ben ritrovati al nostro appuntamento musicale.












Stasera segnaliamo un brano che ha avuto innumerevoli interpretazioni: "What Now My Love".
Trattasi della versione in lingua inglese di una canzone francese intitolata Et maintenant, scritta nel 1961 da Gilbert Bécaud.
La versione originale di Bécaud presenta un riconoscibile pattern musicale in sottofondo riconducibile al celebre Bolero di Ravel.
Tra le tantissime versioni realizzate, qui segnaliamo il duetto di 2 incredibili artisti che non hanno bisogno di alcuna presentazione: Frank Sinatra (1915-1998) e Aretha Franklin (1942-2018).
Questo duetto fa parte dell'album Duets dello stesso Sinatra, datato 1993.
Buon ascolto!



Alla prossima!

sabato 6 aprile 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: FEVER/PEGGY LEE

Ben ritrovati al nostro appuntamento musicale.




















Stasera ascoltiamo una delle maggiori dive dell'epoca del jazz, Peggy Lee (1920-2002), dotata di una inconfondibile voce calda ed elegante.
Un certo Frank Sinatra disse una volta a proposito della Lee:

"Il suo meraviglioso talento dovrebbe essere studiato da ogni vocalista, la sua regale presenza è eleganza e charme allo stato puro"

Il brano che andiamo a segnalare è molto noto ma stupendo: "Fever", inciso per la prima volta da Little Willie John nel 1956.
La cover di Peggy Lee (molto probabilmente arrangiata dalla stessa cantante) seguì 2 anni dopo e divenne chiaramente un grande successo.
Non ci resta che ascoltarla!



Alla prossima!

venerdì 5 aprile 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: SECRETLY/SKUNK ANANSIE

Bentornati nella nostra rubrica musicale.




















Stasera ascoltiamo un noto brano di una delle migliori rock band britanniche degli ultimi decenni.
Ci stiamo riferendo a "Secretly", brano del 1999 degli Skunk Anansie, band formatasi nel 1994 per poi sciogliersi nel 2001 e riformarsi nel 2009, e avente come leader Skin, voce eccezionale.
Il suddetto pezzo ha fatto peraltro da colonna sonora al film del 1999 Cruel Intentions.
Buon ascolto!



Alla prossima!

mercoledì 3 aprile 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: I'M GETTING SENTIMENTAL OVER YOU/TOMMY DORSEY

Rieccoci finalmente ad un nuovo appuntamento musicale su Scienza e Musica.




















Stasera ascoltiamo uno splendido brano intitolato "I'm Getting Sentimental Over You".
La musica è stata composta da George Bassman e la prima esecuzione, datata 1932, si deve al grandissimo trombonista (oltre che big band leader) Tommy Dorsey (1905-1956).
La versione che andremo ad ascoltare è sempre di Dorsey, ma del 1947, esecuzione in cui è possibile constatare l'immensa maestria del musicista col proprio strumento musicale.
Piccola curiosità: Tommy Dorsey è anche noto per essere stato uno dei primi a lanciare la carriera artistica del giovane Frank Sinatra!
Buon ascolto!

Alla prossima!

mercoledì 27 marzo 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: STORMY WEATHER/JUDY GARLAND

Bentornati nella nostra rubrica musicale.















In questi giorni saremo un po' discontinui nelle pubblicazioni a causa di impegni, poi riprenderemo con regolarità.
In ogni caso, stasera ascoltiamo un meraviglioso pezzo di Harold Arlen e Ted Koehler del 1933: "Stormy Weather".
Fu eseguito per la primissima volta nel 1933 al celebre Cotton Club (un night club ad Harlem dove hanno presentato la loro musica alcuni tra i più grandi esponenti della musica jazz) da Ethel Waters.
10 anni più tardi venne realizzato l'omonimo film, Stormy Weather, nel quale il brano venne cantato da Lena Horne.
Qui segnaliamo però l'intensa e particolarissima interpretazione fornita da Judy Garland (1922-1969), attrice Premio Oscar e cantante straordinaria, oltre che mamma di una certa Liza Minnelli.
La Garland è soprattutto celebre per la sua partecipazione al film del 1939 Il mago di Oz e per la canzone Over the Rainbow, un classico intramontabile.
Buon ascolto!



Alla prossima!

domenica 24 marzo 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: I PUT A SPELL ON YOU/JEFF BECK & JOSS STONE

Bentornati nella nostra rubrica musicale.
Stasera segnaliamo un notissimo brano (del 1956) di Screamin' Jay Hawkins intitolato "I Put A Spell On You".
La versione originale di Hawkins non riscosse un grande successo, tuttavia lo stesso non si può dire delle cover di straordinari artisti come Nina Simone ed Annie Lennox.
Qui andiamo ad ascoltare l'ottima interpretazione (datata 2010) fornita dal chitarrista Jeff Beck assieme alla cantante soul Joss Stone.



Alla prossima!

sabato 23 marzo 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: LIGHT CAVALRY: OVERTURE (SUPPÉ)

Bentornati nella nostra rubrica musicale.












Scusandoci per i giorni d'assenza, stasera ricominciamo con una grandiosa composizione dell'austriaco Franz von Suppé (1819-1895).
Ci stiamo riferendo alla "Cavalleria Leggera (Light Cavalry)", operetta in 2 atti eseguita per la prima volta, a Vienna, il 21 marzo 1866.
Quella che andiamo ad ascoltare è in particolare la celebre Overture, nell'eccellente esecuzione dell'Hungarian State Opera Orchestra.
Buon ascolto!



Alla prossima!