lunedì 9 dicembre 2019

TEOREMA DI EQUIPARTIZIONE DELL'ENERGIA, MOTO BROWNIANO E PROCESSI STOCASTICI

Abbiamo già avuto modo in passato di introdurre alcuni concetti inerenti alla fisica statistica (o meccanica statistica), una teoria termodinamica in cui si tiene conto delle proprietà microscopiche dei singoli atomi o molecole, analizzate in modo statistico (si veda qui e qui).
Andiamo ora ad introdurre uno dei concetti fondamentali della meccanica statistica, il cosiddetto teorema di equipartizione dell'energia, per poi osservare come si applica ad un noto fenomeno, studiato anche da Einstein nel 1905, ovvero il moto browniano.
Sin da subito avvertiamo il lettore che il suddetto teorema fornisce una semplice e chiara teoria dei sistemi termici, ma resta buono solo considerando elevate temperature; in tal caso è infatti possibile  trascurare senza problemi i particolari dei livelli energetici quantizzati.
Non è raro in fisica trovarsi di fronte alla dipendenza dell'energia dal quadrato di una certa variabile.
L'esempio più semplice a cui si può pensare è quello dell'energia cinetica K di una particella di massa m e velocità v:




Un altro bell'esempio è fornito dall'energia potenziale U di una massa sospesa ad una estremità di una molla (avente costante elastica k) e spostata di una distanza x dal suo punto di equilibrio:






Naturalmente l'energia totale E della massa in moto all'estremità della molla è la somma dei 2 termini appena citati:





È poi chiaro che se la massa subisce un moto armonico semplice, l'energia viene scambiata tra K ed U, ma l'energia totale E rimane costante.
Generalizziamo ora il discorso e supponiamo di star considerando un sistema la cui energia presenti una dipendenza quadratica (rispetto a una certa variabile) e che sia in grado di interagire con un serbatoio termico.
Per chi non ricordasse, un serbatoio termico (in inglese detto reservoir o heat bath) è un oggetto che poniamo avere una capacità termica infinita.
Siccome la capacità termica è definita, in generale, come il rapporto tra il calore Q scambiato tra il corpo preso in esame e l'ambiente e la conseguente variazione di temperatura ΔT, una capacità termica infinita significa (assumendo che Q sia finito) che ΔT tende a 0.
Ciò equivale a dire che se anche sottraessimo un'ingente quantità di energia al serbatoio, non si avrebbe praticamente alcuna variazione di temperatura.
Ricordiamo pure, per completezza, che le situazioni in cui abbiamo a che fare con un piccolo sistema che interagisce con un reservoir sono molti comuni nell'ambito della termodinamica e vengono chiamate ensembles canonici.
L'energia E del nostro piccolo sistema sarà descritta dalla facile legge:




ove α denota una qualche costante positiva ed x una qualche variabile.
Supponiamo poi che x possa, in linea di principio, assumere qualsivoglia valore con eguale probabilità.
Ne consegue che la probabilità P(x) del sistema di avere una particolare energia α risulta proporzionale al fattore di Boltzmann e-βα, dove β = 1/kBT, con kB costante di Boltzmann e T temperatura del serbatoio.
Andando a normalizzare (ossia assicurarsi che la somma su tutte le probabilità sia 1) l'espressione, avremmo:







e l'energia media potrà essere data da:













Un risultato sicuramente interessante, dato che è indipendente dalla costante α e pone in evidenza la diretta proporzionalità sussistente tra l'energia media e la temperatura del sistema.
Specifichiamo che ogni dipendenza quadratica del sistema viene chiamata grado di libertà quadratico oppure "modo" del sistema.
La molla dell'esempio di poco fa possiede dunque 2 gradi di libertà quadratici.
Nell'esempio generico appena illustrato abbiamo invece constatato come ogni grado di libertà del sistema vada a contribuire per un ammontare di energia pari a 1/2 kBT all'energia totale media del sistema.
Questo ragionamento sta alla base del teorema di equipartizione dell'energia:

"Se l'energia di un sistema classico è la somma di n gradi di libertà quadratici, e quel sistema è in contatto con un serbatoio termico a temperatura T, allora l'energia media del sistema viene fornita da

"


Il teorema di equipartizione rende palese il fatto che l'energia risulta "suddivisa egualmente" tra tutti i modi separati del sistema, ciascuno avente energia media pari a precisamente 1/2 kBT.
Vediamo un facile esempio di applicazione del teorema.
Consideriamo un gas monoatomico.
Essendo monoatomico, nel moto di ciascun atomo del gas non sussistono componenti rotazionali o vibrazionali, ma solamente traslazionali.
Questo significa che è possibile esprimere l'energia di ciascun atomo come:





dove il vettore



 designa la velocità dell'atomo.
Tale energia è la somma di 3 gradi di libertà quadratici indipendenti, e pertanto il teorema di equipartizione restituisce la seguente energia media:


Senza entrare nei dettagli tecnici, diciamo solo che se avessimo considerato un gas biatomico, in cui è possibile avere dei termini aggiuntivi di energia cinetica rotazione e vibrazionale, il teorema di equipartizione ci avrebbe restituito un'energia media pari a





o addirittura

Ergo, in generale, l'energia media viene fornita dalla relazione:





dove f è il numero dei gradi di libertà quadratici.
Giungiamo ora al nocciolo della questione: il moto browniano.

domenica 6 ottobre 2019

MERAVIGLIE MATEMATICHE: LO SPAZIOTEMPO DI MINKOWSKI

La matematica è spesso fonte di stupore e meraviglia.
Pochi mesi fa abbiamo per esempio osservato (cliccate qui) come singolari forme geometriche quali le pseudosfere possano ispirare spettacolari costruzioni artistiche.
In questo post analizzeremo (nel modo più semplice possibile, ma comunque rigoroso) una meraviglia matematica meno appariscente, ma sicuramente dotata di grande fascino: lo spaziotempo di Minkowski.
I concetti di spazio e tempo sono sempre stati al centro di riflessioni filosofiche e scientifiche.
Se ricordate, ne parlammo un po' nel post intitolato "Spazio e Tempo: Le "forme a priori" della conoscenza".
Abbiamo anche avuto modo di ospitare, proprio qui su Scienza e Musica, un Carnevale della Fisica dedicato allo spazio (cliccate qui) e un Carnevale della Letteratura dedicato al tempo (cliccate qui).
Per introdurre lo spaziotempo per bene dobbiamo compiere una piccola premessa.
Sapete bene che nel 1905 Albert Einstein diede alla luce la sua teoria della relatività ristretta (o speciale).
Qualcuno ricorderà anche che la base matematica della suddetta teoria è fondata sulle cosiddette trasformazioni di Lorentz (chi non ricordasse bene può leggere qui).
Ricordiamo poi che la relatività ristretta assume 2 postulati fondamentali:

1) l'invarianza di forma delle leggi fisiche in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
2) la luce si propaga (nel vuoto) a velocità costante (denotata con c), indipendentemente da quale sia lo stato di moto della sorgente o dell'osservatore.

Le conseguenze fondamentali di tutto ciò sono 3:

1) la relatività della simultaneità;
2) la contrazione delle lunghezze;
3) la dilatazione dei tempi.

Rinfreschiamo brevemente cosa significano tali concetti.
Quando parliamo normalmente di eventi simultanei, pensiamo chiaramente ad eventi che accadono nello stesso istante temporale.
Ciò è palesemente corretto nell'ambito della fisica classica newtoniana.
Il problema sorge quando si considerano velocità abbastanza vicine a quella della luce.
Supponiamo infatti ci sia un osservatore S, fermo, inerziale, che stia osservando due eventi simultanei:






Adesso però supponiamo ci sia un osservatore S' (sempre inerziale) in movimento rispetto ad S lungo l'asse x con velocità costante V.
Per quest'ultimo, sulla base delle trasformazioni di Lorentz, le coordinate dei 2 eventi saranno:
Primo evento













Secondo evento













ove γ è naturalmente il fattore (o termine) di Lorentz, esprimibile esplicitamente attraverso la relazione:






Avrete notato che per l'osservatore S' tra i 2 eventi risulterà una differenza temporale pari a:





Ecco perché si parla di relatività della simultaneità: eventi simultanei per un osservatore (inerziale) non lo sono per un altro!
La simultaneità è dunque relativa per i sistemi di riferimento inerziali.
Se consideriamo il caso in cui V sia davvero molto piccola comparata alla velocità della luce c, avremmo che:







e pertanto ritroveremmo la simultaneità della fisica classica.
Se andassimo invece a considerare la velocità V davvero vicinissima a quella della luce, l'intervallo temporale misurato da S' tenderebbe ad infinito.
È inoltre palese che gli eventi risultano simultanei per entrambi gli osservatori anche nella teoria della relatività quando x₁ = x₂.
L'altra conseguenza fondamentale della relatività ristretta è la contrazione delle lunghezze (o contrazione di Lorentz-Fitzgerald): il risultato della misura della lunghezza L di un corpo da parte di un osservatore mobile S (con velocità V) è inferiore alla lunghezza L0 che S' misura nel sistema di riferimento a riposo del corpo considerato.




















La formula alla base del fenomeno è:





Una roba abbastanza simile accade per quanto concerne il tempo: la dilatazione dei tempi.
In particolare, la misura della separazione temporale (t₂' - t₁') tra 2 eventi da parte di un osservatore mobile fornisce intervalli di tempo più lunghi rispetto ad un osservatore solidale con l'orologio.
La legge matematica che sta alla base del fenomeno è:




La prima diretta evidenza sperimentale della dilatazione dei tempi si è manifestata con gli esperimenti di rilevazione dei muoni prodotti nella fasce esterne dell'atmosfera terrestre, ad opera dei raggi cosmici.
I muoni sono particelle elementari che fanno parte, assieme all'elettrone, al tauone e al neutrino, della famiglia di particelle chiamata dei leptoni.
Inoltre sono particelle dotate di spin semintero (di spin abbiamo parlato un po' qui), dunque sono classificate come fermioni.
La loro peculiarità più interessante in tal contesto è data però dal fatto che sono particelle altamente instabili, che decadono dando vita ad altre particelle, con un tempo di dimezzamento di circa




tempo questo misurato nel sistema di riferimento a riposo dei muoni.
Nel 1941 un rilevatore posto sul monte Washington, nel New Hampshire, a circa 1850 metri rispetto al livello del mare, misurò un flusso di circa 570 muoni all'ora.
Gli scienziati inizialmente pensarono che posizionando il rilevatore ad altitudini inferiori si sarebbe dovuto riscontrare un flusso meno intenso.
Si stimava che a livello del mare si sarebbe dovuto riscontrare un flusso di circa 35 muoni all'ora.
ATTENZIONE: se ne osservarono ben 400 di muoni all'ora!
Perchè tale enorme disparità rispetto a quanto si pensava? Come potevano essere sopravvisuti così tanti muoni in un viaggio decisamente lungo se confrontato alla loro vita media?
La risposta sta nel fatto che nel sistema di riferimento dei muoni il tempo trascorso è assai minore a quello misurato da un osservatore solidale con la Terra.
Abbiamo dunque osservato brevemente le conseguenze fondamentali della teoria della relatività ristretta.
Addentriamoci ora nel nocciolo della questione: lo spaziotempo.

martedì 9 luglio 2019

LA LUNA, KEPLERO E I DRAGHI

La Luna è l'unico satellite naturale che possiede il nostro pianeta, la Terra.
Il 21 luglio 1969 (circa 50 anni fa) l'uomo (Neil Armstrong) toccò per la prima volta la superficie lunare, grazie alla missione spaziale Apollo 11 (l'allunaggio viene datato però 20 luglio).
In questo post andremo a scoprire alcune curiosità inerenti alla Luna.
Cominciamo innanzitutto a raccontare come apparisse la Luna per un grandissimo astronomo tedesco del passato, Johannes Kepler (1571-1630, italianizzato in Keplero).
Non bisogna infatti compiere l'errore di pensare che alcune cose che oggi appaiono banali riguardanti il nostro satellite lo fossero pure nell'epoca in cui la scienza moderna cominciò a seminare le sue radici.
Ricordiamo che il 12 marzo 1610 Galileo Galilei pubblicò un'importantissima opera intitolata Sidereus nuncius.
Galileo aveva infatti rivolto il proprio telescopio verso il cielo ed era rimasto affascinato da un'ampia serie di nuovi fenomeni.
Questo fu l'atto di nascita dell'astronomia telescopica, una scienza che più progrediva più metteva in evidenza la validità del modello eliocentrico del Sistema Solare, modello di cui proprio Keplero descrisse le leggi fondamentali (le famose 3 leggi di Keplero).

















Una volta pubblicato il Sidereus nuncius, Galileo procedette nell'inviarne una copia al collega tedesco, il quale rispose con una lettera contenenente le proprie osservazioni in merito.
Questa lettera di risposta di Keplero a Galileo diventò un vero e proprio libro, denominato Dissertatio cum nuncio sidereo.
Sebbene i toni di questa risposta fossero cortesi e, a detta di qualcuno, anche lusinghieri nei confronti di Galilei, in realtà Keplero addusse velatamente le proprie critiche, reclamando oltretutto come sue alcune delle idee uscite nel saggio dello scienziato italiano.
Keplero ricordò inoltre a Galileo che il telescopio aveva dei precedenti, tra cui uno studio di Giovanni Battista della Porta dal titolo Magia naturale (1558).
In ogni caso, Keplero pretendeva di competere con il collega italiano non con un telescopio, bensì con un cartone avente un foro ed una lente che proiettava l'immagine della Luna a una distanza pari a 12 piedi.
In tal modo Kepler era in grado di scorgere maggiori dettagli relativi alla superficie lunare rispetto ad una semplice osservazione ad occhio nudo.
Keplero credeva che le parti scure fossero terra e quelle brillanti mare, ma ammise, a seguito dello studio illustrato da Galileo, che si trattava proprio del contrario, giacché il telescopio mostrava svariate irregolarità assomiglianti a montagne nelle parti chiare.
Tuttavia va detto che Galileo non riteneva che la Luna fosse costituita di acqua e di terra.
Altro dettaglio che Keplero scrutò nella sua osservazione è fornito da quelli che oggi chiamiamo semplicemente crateri lunari.

















L'interpretazione dell'astronomo tedesco per tali forme fu degna di un film di fantascienza: a suo perere, questi crateri sarebbero stati abitati dai cosiddetti seleniti, esseri più forti e di stazza più grossa rispetto agli esseri umani.
Essendo così grandi, questi seleniti progettavano grandi opere, come delle barriere circolari enormi per difendersi dal Sole.
Secondo Keplero, l'interno di quelli che oggi chiamiamo crateri veniva utilizzato per la semina.
Essi apparivano alla stregua di buchi, che Keplero pensava fossero pozzi.
Naturalmente la spiegazione attuale sulla formazione di tali crateri, ossia un bombardamento da parte di svariati meteoriti, era fuori dalla portata delle conoscenze astronomiche di quell'epoca.
Keplero riteneva inoltre che la Luna fosse costituita di un materiale poroso simile alla pietra pomice, dunque sosteneva che essa avesse bassa densità.
Ciò gli sembrava coerente con la sua teoria che la rotazione terrestre producesse una forza simile a quella magnetica, forza che metteva in rotazione la Luna.
A causa di questa forza, secondo questa teoria, la Luna ruotava assai velocemente e siccome il movimento risultava inversamente proporzionale alla sua massa, ciò comportava una densità decisamente bassa della propria struttura.
In ogni caso, anche se queste idee di Keplero concernenti le proprietà della Luna posssono apparire un tantino mistiche, questo non toglie nulla ai suoi contributi scientifici di notevole rilevanza.
D'altronde anche Newton, per esempio, se da una parte scopriva le leggi fondamentali del mondo e fondava il linguaggio matematico del calcolo infinitesimale per descriverlo al meglio, dall'altra compiva studi alchemici e mistici, che lo allontanavano dalla scienza rigorosa.
Ma a proposito di particolari mistici, vi starete a questo punto chiedendo cosa c'entrino i draghi con la Luna.
Non c'è alcuna relazione con Game of Thrones, mi spiace! Consoliamoci però con un'epica versione del brano Rains of Castamere, uno dei brani musicali fondamentali della serie tv in questione.



Per capire però questa cosa dei draghi dobbiamo osservare brevemente come funziona il moto della Luna.
La Luna si muove naturalmente su un'orbita ellittica attorno alla Terra, in senso diretto per un osservatore posto nell'emisfero boreale.
L'orbita risulta in particolare inclinata mediamente di 5°9' sul piano dell'eclittica (piano su cui giace l'orbita terrestre).














Dal punto di vista di un ipotetico osservatore posto sul Sole (attenzione che scotta!), la traiettoria descritta dalla Luna non mostra mai alcuna convessità rivolta verso la nostra stella.
In altre parole, è come se la Luna fosse un pianeta ruotante intorno al Sole, il cui moto è però disturbato dall'attrazione terrestre.
L'intersezione tra il piano dell'orbita della luna e quello della Terra è chiamata linea dei nodi.
La suddetta linea ruota in senso retrogrado (cioè orario) intorno alla Terra eseguendo un giro completo in 6793 giorni, ossia 18,6 anni.
Questo fenomeno è detto retrogradazione dei nodi.
Come ben noto, l'illuminazione che la Luna (osservata dalla Terra) riceve da parte del Sole va a determinare il fenomeno delle fasi lunari (o lunazione):
  • novilunio o Luna nuova: la Luna è prossima al Sole e non può essere osservata sia a causa della sua posizione sia per il fatto che rivolge verso la Terra l'emisfero non illuminato;
  • plenilunio o Luna piena: è il caso opposto rispetto al novilunio. La Luna si trova nella posizione opposta e il suo emisfero visibile risulta totalmente illuminato dai raggi del Sole. Inoltre la Luna sorge quando il Sole tramonta.
Queste 2 fasi fondamentali vengono denotate come sizigie, dal greco sysygia, cioè "congiunzione".
Quando poi l'angolo Luna-Terra-Sole diviene retto (la cosiddetta quadratura), il disco della luna ci appare illuminato a metà (primo e ultimo quarto).

















Sul disco lunare la linea che fa da divisorio tra la parte illuminata e quella oscura è chiamata terminatore.
Si definisce poi età della Luna l'intervallo temporale, in giorni, dal momento considerato al novilunio precedente.
La Luna, partendo da un punto fisso della propria traiettoria, impiega precisamente 27,3216 giorni per farvi ritorno.
Tale periodo di tempo è noto come mese siderale.
Mentre la Luna ruota intorno alla Terra, quest'ultima, naturalmente, ruota a sua volta attorno al Sole.
Supponendo che il mese siderale inizi al novilunio (in cui la luna si trova ad una posizione che possiamo chiamare L), terminato questo mese il satellite si sarà spostato in una posizione L'.
È chiaro, tuttavia, che durante il suddetto intervallo temporale pure la Terra si sia spostata da una posizione T ad una posizione T'.
Ne consegue che il Sole giace ora nella direzione T'S.
La Luna, per terminare il ciclo di lunazione, deve però ancora percorrere l'angolo L'T'L'' = TST'.
La determinazione di tale angolo è molto semplice: è sufficiente dividere l'angolo giro per 13, giacché 13 è il numero dei mesi siderali contenuti in un anno.
Si ha dunque che 360° : 13 = 27°, un angolo che viene percorso dalla Luna in circa 2 giorni.
Pertanto il periodo di tempo in cui la Luna compie l'intero ciclo delle fasi lunari, il cosiddetto mese sinodico (da synodos = "riunione"), risulta più lungo del mese siderale.
Nello specifico, la durata del mese sinodico è mediamente di circa 29 giorni e 12 ore.
La seguente immagine ben illustra quanto appena spiegato.

L'orbita apparente della Luna sulla sfera celeste va ad intersecare l'eclittica in 2 punti:

1) nodo ascendente: punto dove la Luna passa dalla latitudine negativa a positiva;
2) nodo discendente: punto dalla parte opposta del nodo ascendente.

Poiché sussiste la retrogradazione dei nodi, i suddetti 2 punti si spostano sull'eclittica andando incontro alla luna ed effettuando un giro completo in 18,6 anni.
Il fatto che il moto dei nodi sia retrogrado, dunque opposto al moto lunare, fa sì che il periodo di tempo che il satellite impiega per passare 2 volte allo stesso nodo sia inferiore al mese siderale.
Questo particolare intervallo temporale viene chiamato mese draconitico (o draconico) e ha un valore di circa 27,2122 giorni.
La denominazione "draconico" deriva proprio dal fatto che alcune antiche leggende medievali narravano che la Luna o il Sole, durante le eclissi, fossero in procinto di essere divorate da un gigantesco drago disteso lungo l'eclittica!
Oltretutto, siccome le eclissi si verificano in prossimità dei nodi, le leggende sostenevano che la bocca del drago dovesse essere vicina a questi punti.

















Concludiamo il post in musica, con un classico jazz interpretato dalla straordinaria Ella Fitzgerald e intitolato How High The Moon:


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Fonti principali:

- Keplero, La matematica del movimento planetario di Eduardo Battaner López
- Introduzione all'astronomia di Giuliano Romano

giovedì 6 giugno 2019

IL SISTEMA ASSIOMATICO DI HILBERT PER LA GEOMETRIA

David Hilbert (1862-1943) è considerato uno dei matematici più influenti di sempre.

Il suo nome appare in svariati ambiti rilevanti della matematica, oltre che in fisica, ove l'introduzione degli spazi di Hilbert è stata fondamentale per lo sviluppo matematico della meccanica quantistica.
Leggendo il libro Hilbert, Alla ricerca di assiomi universali (della collana Geni della Matematica) di Carlos M. Madrid Casado, mi sono imbattuto in un interessantissimo passo relativo al sistema assiomatico introdotto da Hilbert.
Il presente post è un riassunto dei concetti fondamentali illustrati nel libro sopracitato.

martedì 14 maggio 2019

CARNEVALE DELLA MATEMATICA #129: LA MATEMATICA DEL XVIII E XIX SECOLO

"In matematica, le rivoluzioni sono eventi silenziosi. Nessuno scontro, nessun clamore. La notizia viene comunicata in qualche trafiletto ben lontano dalle prime pagine.
Donal O'Shea, autore del libro La congettura di Poincaré.



Benvenuti alla 129ª edizione del Carnevale della Matematica, la terza che ha l'onore di ospitare il blog Scienza e Musica!
Tale edizione ha nome in codice (dovuto al sommo Popinga) "il merlo intrepido" e cellula melodica (grazie a Dioniso Dionisi, che ritroveremo come partecipante):



La tematica scelta come filo conduttore del presente evento è, come tradizione nei carnevali ospitati su questo blog, davvero ad ampio respiro: "La matematica del XVIII e XIX secolo".
Naturalmente, apriremo la kermesse con una ricca introduzione sul tema (va specificato, sì ricca, ma comunque assai sintetica e incompleta rispetto alla colossale vastità della tematica affrontata), oltre alla consueta presentazione del numero della suddetta edizione, ovvero il 129.
Incominciamo dicendo che nelle università del Seicento il termine "matematiche" designava un'ampia varietà di discipline diverse, tra cui l'astrologia, la balistica, l'ottica e la meccanica.
Le università di quel tempo erano in grado di fornire i mezzi di sussistenza soltanto a un'élite ristretta di matematici.
Particolarmente significativo in tal senso è l'esempio della Svizzera di fine Seicento.
Qui era presente una singola università in tutto il paese e dunque anche la cattedra di matematica era una sola, quella di Basilea, ricoperta dal 1687 al 1705 da Jacob Bernoulli e poi, dal 1705 al 1748, da suo fratello Johann (per saperne di più sull'incredibile famiglia Bernoulli, cliccate qui).





Nel corso della seconda metà del XVII secolo si svilupparono tuttavia alcune alternative, per mezzo dell'allestimento di nuovi luoghi di elaborazione e trasmissione del sapere.
Tra questi luoghi spiccavano le accademie, tra cui particolare importanza ebbe l'Académie Royale des Sciences a Parigi per opera di Jean-Baptiste Colbert, il potente ministro di Luigi XIV.
Quale era la sostanziale differenza tra questa Accademia francese e, per esempio, la Royal Society di Londra?
L'originalità del modello di Accademia francese stava nel fatto che questa veniva direttamente finanziata dallo Stato!
Nel XVIII secolo l'istituzione di accademie ispirate al modello francese offriva a qualche matematico la prospettiva di un lavoro remunerato, tuttavia i posti stipendiati rimanevano ancora esclusiva di una piccola cerchia privilegiata.
Per esempio, il tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), uno dei padri dell'analisi matematica assieme a Newton (1642-1727), si impegnò tutta la vita a promuovere la creazione di società scientifiche, attraverso memoranda e programmi da sottoporre ai principi europei e non.
Negli ultimi anni del XVII secolo Leibniz si era sempre più interessato alla Russia e al suo zar, Pietro il Grande (1672-1725), il quale riteneva fondamentale il ruolo delle scienze nel processo di modernizzazione del suo gigantesco impero.
Dopo la morte del grande matematico tedesco, lo zar cercò di mandare avanti, attraverso intermediari, tale processo di collaborazione scientifica con gli intelletuali europei.
L'8 febbraio 1724, il Senato russo approvò poi il progetto di Accademia (a San Pietroburgo) proposto dal medico di corte, Laurentius Blumentrost, che ne divenne il primo presidente.
L'Accademia si sarebbe dovuta basare su 3 elementi costitutivi:

1) l'istituto accademico di ricerca (ispirato al modello delle Accademie di Parigi e Berlino);
2) l'università;
3) il ginnasio.

Gli ultimi 2, però, ebbero un fulmineo declino.
Al suo esordio, l'Accademia russa contava 23 membri, 7 dei quali matematici.
Tra questi era presente Jacob Hermann, allievo di Jacob Bernoulli, pupillo di Leibniz e professore di matematica a Francoforte sull'Oder.
L'invito ad unirsi all'Accademia venne inviato pure a Johann Bernoulli, ma quest'ultimo rifiutò.
Tuttavia, egli convinse 2 dei suoi figli, Daniel e Nicolaus (II), a mettersi al servizio dello zar.
Sfortunatamente Pietro il Grande, morto il 18 gennaio 1725, non poté vedere compiuta l'opera che tanto bramava, la quale fu portata a termine con successo dalla sua vedova, Caterina I.
Al termine dell'estate del 1725 un certo numero di accademici si era già stabilito a San Pietroburgo.
Tra questi c'era nientemeno che Christian Goldbach (noto per la celebre congettura ancora irrisolta che porta il suo nome), il quale fu incaricato di redigere i verbali in latino e di occuparsi delle pubblicazioni e della corrispondenza.
Alla fine, Jacob Hermann ricoprì la cattedra di matematica, Nicolaus Bernoulli quella di meccanica, Daniel Bernoulli fu professore di fisiologia ed anatomia sino a quando, nel 1731, a seguito della partenza di Hermann, ottenne la cattedra di matematica.
La cerimonia di inaugurazione dell'Accademia ebbe luogo il 7 gennaio 1726, in assenza dell'imperatrice.
Una seconda seduta pubblica (questa volta in presenza di Caterina I) si concretizzò il 12 agosto.
In tal occasione, Hermann presentò una dissertazione in latino (pubblicata però nel 1735) concernente l'origine e lo sviluppo della geometria.
La prima parte della presentazione di Hermann riguardò la storia della geometria dall'antichità al XVIII secolo.

Questi distinse 3 epoche fondamentali:

1) l'infanzia della geometria: inizia con Talete e Pitagora, culminando poi con Euclide, Archimede e Apollonio;
2) la fase medium ævum (che seguì uno hiatus, ossia un periodo di ristagno della geometria): si apre con Viète e risulta dominata dalla figura di Descartes;
3) l'epoca della geometria sublimior: inaugurata dalla pubblicazione della Nova methodus (1684) di Leibniz e ancora in corso.

Hermann mise in evidenza il rigore dei metodi degli antichi, tuttavia li reputò goffi se comparati ai potenti e rapidi metodi del calcolo differenziale e integrale, arrivando persino ad asserire che la scrupolositas in demonstrando della geometria greca rappresentò un ostacolo all'innovazione.
Anche il grandissimo Leonhard Euler (1703-1783) [noi italiani spesso lo chiamiamo Eulero], grazie all'invito di Daniel Bernoulli, prese posto all'Accademia di San Pietroburgo, precisamente a partire dal giugno 1727.
Il primo periodo trascorso da questi in Russia fu davvero molto produttivo: si contano infatti una cinquantina di memorie ed opere apparse nel periodo compreso tra il 1727 e il 1741.
In particolare, meritevole di menzione è la sua Mechanica, sive motus scientia analytice exposita in 2 tomi del 1736.
Quest'opera rappresentò un capisaldo nella storia della meccanica, oltre al fatto che permise al giovane matematico di ottenere numerosi riconoscimenti.
Nel 1741, l'incertezza sul destino dell'Accademia russa legato alla situazione politica di quel momento portò Eulero ad accettare l'offerta di Federico II di Prussia.
Quest'ultimo era desideroso di innestare una riorganizzazione dell'Accademia di Berlino.
Non a caso il suddetto sovrano amava circondarsi di persone colte, tra cui brillanti filosofi e abili poeti.
Tuttavia sussisteva un conflitto di opinioni tra il sovrano e il matematico inerente all'utilità delle "matematiche superiori", ovvero l'analisi matematica.

giovedì 9 maggio 2019

CARNEVALE DELLA MATEMATICA N.129 - 3ª (ED ULTIMA) CALL FOR PAPERS

Questa è l'ultima chiamata per coloro che abbiano intenzione di partecipare al Carnevale della Matematica n.129, che sarà dedicato alla matematica del XVIII e XIX secolo.
Ormai mancano pochi giorni alla pubblicazione (14 maggio, se riesco, allo scoccare della mezzanotte) e ancora meno per l'invio dei contributi.
Avete infatti tempo sino alle 23:59 del 12 maggio per segnalarmi i vostri contributi (in tema oppure no) all'indirizzo mail:

leonardo92.universo@gmail.com

Per maggiori informazioni, vi rimando alla prima call for papers.
A prestissimo col Carnevale della Matematica qui su Scienza e Musica!

Leonardo Petrillo

mercoledì 8 maggio 2019

IL FANTASTICO ZOO DELLA GEOMETRIA

Era una mattina d'estate, davvero afosa.
Il Sole risplendeva mostrando tutta la sua imponenza nel sereno cielo. Si trattava della giornata perfetta per la gita in uno zoo.
Bernardo era tutt'altro che contento di parteciparvi, d'altronde aveva già avuto occasione di girare per diversi zoo sin da piccolo e dunque riteneva non potesse esserci più nulla da scoprire e che potesse solleticare la sua curiosità.
"Ma come, non sei curioso di vedere le maestose tigri malesi?" gli domandò un compagno di classe, seduto affianco sull'autubus che li avrebbe condotti nel meraviglioso parco naturale.
"Già viste tante volte, vorrei osservare qualcosa di nuovo ed altrettanto emozionante" rispose celermente Bernardo.
L'orario di arrivo era previsto per le 10; nel mentre il ragazzo ascoltò un po' di musica classica, precisamente si dilettò col meraviglioso Concerto per pianoforte e orchestra n.3 di Rachmaninov.



Giunti allo zoo, l'esplorazione cominciò immediatamente tra elefanti, scimpanzé, leoni, zebre e chi più ne ha più ne metta.
La mente curiosa di Bernardo purtroppo non era abbastanza stimolata da renderlo molto felice, tuttavia, ad un tratto, qualcosa di bizzarro accadde.
Una voce risuonò all'interno del parco naturale: "Salve gentili visitatori; unicamente per oggi estrarremo tra voi un vincitore che potrà accedere alla nostra ala di massima segretezza! Per prenotarvi sarà sufficiente firmare un foglio che il nostro attento staff vi fornirà".
Bernardo non ci pensò neanche un secondo e appose la firma non appena ricevette il foglio.
Non si trattava di un banale documento di iscrizione; ai margini del foglio comparivano infatti strane figure geometriche.
Dopo solo mezz'ora furono raccolti tutti i fogli e si passò all'estrazione del vincitore. "UN MINUTO DI ATTENZIONE" echeggiò la solita voce dell'annunciatore. "IL VINCITORE È BERNARDO R.".
Urla ed applausi scrosciarono nei confronti del ragazzo.
"Prego, mi segua" affermò un membro dello staff dello zoo, il cui compito era condurre Bernardo nell'ala segreta.

domenica 5 maggio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: WITH A SONG IN MY HEART/JANE FROMAN

Rieccoci ad un nuovo appuntamento musicale quotidiano.




















Stasera segnaliamo il brano "With A Song In My Heart" tratto originariamente dal musical del 1929 Spring Is Here di Rodgers e Hart.
La versione che andiamo ad ascoltare è quella invece derivante dal film del 1952 With A Song In My Heart, che racconta la biografia della cantante e attrice Jane Froman, una delle interpreti di maggior successo di questa canzone.
Buon ascolto!



Alla prossima!

sabato 4 maggio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: ONE SWEET DAY

Ben ritrovati nella nostra rubrica musicale.




















Stasera ascoltiamo un bellissimo brano datato originariamente 14 novembre 1995: "One Sweet Day".
Scritto originariamente da Mariah Carey e dai Boyz II Men (in collaborazione con Walter Afanasieff) fu registrato proprio come duetto tra questi straordinari artisti.
Di seguito la versione originale:



Quando hai a che fare con cantanti di questo calibro, ascoltare delle cover è spesso qualcosa di non soddisfacente.














Tuttavia, recententemente, ad ottobre 2018, un gruppetto di incredibili artisti asiatici si è riunito per riproporre una versione aggiornata del pezzo e il risultato è superlativo, alla pari con l'originale.
La cover a cui ci stiamo riferendo è stata realizzata da Khel, Bugoy, Daryl Ong e Katrina Velarde.
Su quest'ultima avremo sicuramente modo di realizzare almeno una puntata ad hoc della nostra rubrica; è un talento davvero allucinante.
Ecco pertanto la suddetta cover. Buon ascolto!



Alla prossima!

venerdì 3 maggio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: VEDRÒ CON MIO DILETTO (VIVALDI)/CECILIA BARTOLI

Rieccoci ad un nuovo appuntamento musicale quotidiano!




















Stasera ascoltiamo la splendida voce della mezzosoprano Cecilia Bartoli in un brano tratto da Il Giustino, RV 717, opera in 3 atti del 1724 di Vivaldi: "Vedrò con mio diletto".
Tale interpretazione è tratta da un recente album (23 novembre 2018) della Bartoli tutto dedicato alle arie di Antonio Vivaldi.
Buon ascolto!



Alla prossima!

giovedì 2 maggio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: THAT'S WHAT FRIENDS ARE FOR/DIONNE WARWICK & OTHERS

Rieccoci al nostro appuntamento musicale.














Oggi continuiamo con le canzoni eseguite da riunioni di straordinari artisti.
Infatti andiamo ad ascoltare la celebre "That's What Friends Are For", scritta originariamente nel 1982 da Burt Bacharach e Carole Bayer Sager.
La nota cover realizzata da Dionne Warwick, assieme a Elton John, Gladys Knight e Stevie Wonder, risale al 1985 e i suoi proventi furono interamente devoluti ad una fondazione statunitense per la ricerca sull'AIDS.
Buon ascolto!



Alla prossima!