ANALISI COMPLESSA: LEMMA DI JORDAN E LEMMI MINORI

Proseguiamo col nostro lungo viaggio inerente all'analisi complessa.
Naturalmente, riportiamo di seguito l'elenco delle puntate precedenti:

- puntata 0: "Viaggio nell'≪immaginario≫ mondo dei numeri complessi";

- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa";

- puntata 3: "La rappresentazione integrale di Cauchy";

- puntata 4: "Le serie nel campo complesso: serie di Taylor e serie di Laurent";

- puntata 5: "Analisi complessa: zeri e singolarità";

- puntata 6: "La classificazione delle funzioni monodrome";

- puntata 7: "Analisi complessa: residui";

- puntata 8: "Il valore principale di Cauchy".

Pochi giorni fa abbiamo ampiamente introdotto (cliccate qui) la figura del grande matematico francese Camille Jordan.

Tutto ciò è stato fatto anche come premessa all'argomento principale che andremo ad osservare nel presente post: il lemma di Jordan.

Che cosa afferma questo importantissimo lemma?

Consideriamo una funzione f(z) che si annulla all'infinito nel semipiano superiore del piano complesso.

In simboli ciò si può esprimere nella seguente maniera:

con

e dove 

è una semicirconferenza centrata nell'origine e di raggio R, posta nel semipiano superiore.

Sia α un numero reale positivo (α > 0), allora il lemma di Jordan stabilisce che:

Avevo promesso che avrei evitato il più possibile le dimostrazioni in questa serie di spiegazioni, ma dato che non vedremo tantissimi altri concetti in questo post, proporrei di andare a dimostrare il suddetto lemma.

Una dimostrazione peraltro particolarmente accattivante e con una massiccia presenza del pi greco (siamo nel mese di marzo, quindi vicini al pi day; celebriamo questo incredibile simbolo!).

DIMOSTRAZIONE DEL LEMMA DI JORDAN

Andiamo a ricordare innanzitutto qual è la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi

e determiniamo il differenziale di tale espressione:

con

Rimembriamo pure come rappresentare un numero complesso in forma trigonometrica:

A questo punto prendiamo l'integrale alla base dell'enunciato del lemma di Jordan e riscriviamolo attraverso una rappresentazione polare (grazie alle sostituzioni che abbiamo appena osservato):

Chiaramente gli estremi di integrazioni sono diventati rispettivamente π e 0, giacché si sta integrando su una semicirconferenza nel semipiano superiore.

Per l'ipotesi iniziale nell'enunciato del lemma, fissato arbitrariamente ε > 0 piccolissimo, per R abbastanza grande si ha:

Ne consegue perciò (compiendo delle maggiorazioni):

 

L'ultima espressione si è ottenuta sfruttando il fatto che sin φ risulta simmetrico rispetto all'asse φ = π/2 e dunque si è potuto dimezzare il cammino d'integrazione (moltiplicando, per compensare, l'espressione per 2).

Al fine di maggiorare ulteriormente l'integrale, osserviamo che nell'intervallo di nostro interesse, ossia 0 ≤ φ ≤ π/2, vale la seguente disuguaglianza

 

come si può constatare graficamente qui sotto:

Ne segue dunque che:

 

per cui

Usando quest'ultima disuguaglianza e la maggiorazione compiuta in precedenza, si ottiene infine:

Si noti che il fattore 2R, che doveva stare al denominatore nel 2° membro della disuguaglianza, è sparito in quanto si è semplificato con il 2R che usciva fuori dalla maggiorazione

Bene, ritornando alla disuguaglianza tra i limiti per R → ∞ di poco fa, visto che avevamo fissato ε piccolo a piacere, il limite nel 2° membro è 0, il che completa la dimostrazione del lemma di Jordan! C.V.D.

In modo del tutto simile si può naturalmente dimostrare il lemma di Jordan con "tutti i segni scambiati" (cioè nel semipiano inferiore).

Generalizzando, si ha infatti:

con 

Il lemma di Jordan presenta svariate applicazioni, tra cui la sua utilità nel calcolo delle trasformate di Fourier di funzioni razionali e nella valutazione di integrali del tipo

i quali, grazie a tale lemma, possono spesso essere ricondotti al semplice calcolo di residui, se la funzione integranda soddisfa opportune condizioni. 

Vediamo un semplice esempio:

L'integrale in questione risulta perfettamente definito dato che il punto x = 0 è, in verità, un punto regolare della funzione integranda.

Per valutare il suddetto integrale, conviene innanzitutto scrivere i seni mediante gli esponenziali e andare ad usare il lemma di Jordan per chiudere in modo opportuno il cammino d'integrazione.

Tuttavia, affinché si possa spezzare l'integrale originario nella somma di più integrali, è necessario (prima di fare quanto appena detto) deformare il cammino di integrazione nell'intorno del punto x = 0, passando indifferentemente o sopra o sotto tale punto.

Esempi di deformazione del cammino di integrazione

Tutto ciò è perfettamente lecito, poiché conseguenza del teorema di Cauchy. 

Andiamo pertanto a deformare, per esempio, l'asse reale nel cammino C, che scavalca il punto x = 0 passando nel semipiano superiore e, ricordando che

si ottiene conseguentemente:

Grazie al lemma di Jordan, possiamo ora, nel 1° e 3° integrale, chiudere il cammino d'integrazione nel semipiano superiore tramite un semicerchio di raggio R → ∞.

Ciò ci consente di affermare che questi due integrali sono nulli, poiché nessuna singolarità delle funzioni integrande cade all'interno del cammino chiuso costruito in tal modo.

Vediamo adesso cosa accade invece al 2° e 4° integrale.

Il lemma di Jordan ci autorizza a chiudere il cammino C nel semipiano inferiore sempre con un semicerchio di raggio R → ∞, ottenendo così un cammino chiuso contenente al suo interno il punto x = 0.

E qui arriva il bello! x = 0 è un polo del 3° ordine per le funzioni integrande.

Ergo, possiamo sfruttare il teorema dei residui (tenendo in considerazione che la curva è percorsa in verso orario e dunque scaturirà un segno negativo nel fattore 2πi, giacché il verso di percorrenza delle curve è convenzionalmente quello antiorario) e calcolare facilmente il valore dell'integrale originario:

Ecco una slide riassuntiva relativa al lemma di Jordan:

Per concludere, andiamo a scoprire (non vi preoccupate, questi non li dimostriamo!) 2 lemmi minori, utili per risolvere integrali impropri aventi come integranda una funzione razionale: il lemma del cerchio grande e il lemma del cerchio piccolo.

ENUNCIATO DEL LEMMA DEL CERCHIO GRANDE

"Sia Ω un insieme aperto illimitato del piano complesso ℂ.

Sia f(z) olomorfa in Ω e tale che

allora:

dove R designa il raggio della semicirconferenza usata per creare una curva chiusa attorno ad un polo."

Curiosità: il lemma del cerchio grande si riconduce al lemma di Jordan nel limite α → 0 (la prova è banale).

Per quanto concerne il lemma del cerchio piccolo, esso si suddivide in 2 parti.

  

PRIMO ENUNCIATO DEL LEMMA DEL CERCHIO PICCOLO

"Sia Ω un insieme aperto del piano complesso ℂ.

Sia f(z) olomorfa e tale che

allora:

"

Ne consegue che se z₀ è una singolarità isolata di tipo eliminabile di una funzione complessa, continua in un aperto, l'integrale attorno a tale singolarità è nullo.

SECONDO ENUNCIATO DEL LEMMA DEL CERCHIO PICCOLO

"Sia f(z) funzione avente un polo semplice. Allora:

"

A tal proposito si guardi la seguente figura, tratta da Wikipedia: 

Per il momento ci fermiamo qui; il prossimo appuntamento riguarderà il concetto di prolungamento analitico e le funzioni polidrome.