LA RAPPRESENTAZIONE INTEGRALE DI CAUCHY

Eccoci giunti ad un nuovo appuntamento con l'analisi complessa.
Di seguito la lista delle "puntate" precedenti (al lettore non esperto è consigliabile recuperarle, se vuole seguire al meglio la narrazione che avrà qui luogo):

- puntata 0: "Viaggio nell'≪immaginario≫ mondo dei numeri complessi";
- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa".

Bene, diciamo ora che dal teorema di Cauchy è possibile far scaturire una formula integrale assai rilevante per lo sviluppo della teoria delle funzioni analitiche.
Sia f(z) una funzione analitica e regolare in una certa regione R semplicemente connessa.
Sia poi γ ⊂ R una curva chiusa, allora vale per f(z) la seguente rappresentazione

per ogni z interno a γ (in termini rigorosi, z ∉ γ), nota come rappresentazione integrale di Cauchy.

Come sempre, il cerchietto presente sul simbolo dell'integrale sta ad indicare che l'integrazione avviene su un percorso chiuso (nel nostro caso la curva γ), ove la sua posizione iniziale e la sua posizione finale coincidono.
Specifichiamo che per ogni z appartenente a R esterno a γ, il 2° membro della suddetta equazione è nullo per via del teorema di Cauchy.
Infatti, la funzione integranda 





è in tal caso una funzione di z' olomorfa in tutta la regione racchiusa da γ.
Ora, siccome f(z) è per ipotesi analitica (e quindi continua nei punti della curva γ), ne segue che la derivata di f(z) può essere ottenuta a partire proprio dalla rappresentazione integrale di Cauchy, compiendo una derivazione del 2° membro (sotto il segno di integrale).
Si ha cioè:

Iterando il procedimento (ovvero compiendo derivazioni successive) si ottiene la rappresentazione integrale di Cauchy per la derivata ennesima di una funzione analitica:





Si vede così che una funzione analitica è infinitamente derivabile e che le sue derivate sono anch'esse note, una volta noti i valori assunti dalla funzione nei punti del contorno γ.
Vediamo un paio di semplici esempi.
Si consideri

ove l'integrazione è in senso antiorario sul cerchio unitario C.
Il fattore






è analitico entro la regione racchiusa dal contorno, quindi trattasi di un caso di formula integrale di Cauchy, con






e z = 0.
Il risultato è immediato:

Vediamo un secondo esempio:






dove l'integrazione è sempre in senso antiorario sul cerchio unitario C.
Il denominatore si può facilmente scomporre come

ed è chiaro che la regione d'integrazione contenga 2 fattori singolari (ove il denominatore si annulla).
Con una certa manipolazione possiamo, però, fare in modo che si possa utilizzare la rappresentazione integrale di Cauchy.
Infatti

da cui integriamo i 2 termini in maniera individuale:

Ciascun integrale è un caso della formula di Cauchy con f(z') = 1 e per entrambi gli integrali il punto z = ± 1/2 risulta entro il contorno, ergo ciascuno vale 2πi, e la loro somma è zero.
In definitiva, I = 0.

Scopriamo ora una conseguenza immediata della rappresentazione integrale di Cauchy, ovvero il teorema del massimo modulo:

"Se la funzione f(z) è analitica nel dominio D contornato dalla curva chiusa γ, e continua su D ∪ ∂D, allora |f(z)| non può raggiungere il suo massimo in un punto interno alla curva γ".

Specifichiamo che la notazione D ∪ ∂D significa "unione di D con la sua frontiera", cioè col suo contorno.
Analogo risultato vale per il minimo della funzione |f(z)|, purché f(z) non presenti zeri, ossia nessun punto in cui la funzione si annulli.
Basta infatti considerare la funzione reciproca






e applicarle il teorema del massimo modulo.
È necessario sottolineare che la rappresentazione integrale di Cauchy è un primo esempio di una rappresentazione integrale di una funzione.
In via generale, si dice che si ha una rappresentazione integrale di una funzione f(z) se si può scrivere un'uguaglianza del tipo:

dove:

• γ è un opportuno cammino nel piano complesso di z';
• g(z') è un'opportuna funzione;
• K(z, z') è una funzione di 2 variabili detta nucleo (o kernel) della rappresentazione.

Nell'integrale a 2° membro, la variabile z gioca il ruolo di un parametro e, in generale, una tale rappresentazione sarà valida solo per z appartenente ad un'opportuna regione R.
Quando poi il nucleo della rappresentazione assume la semplicissima forma






e dunque la nostra rappresentazione diviene

si parla di rappresentazione spettrale della funzione f(z) e ci si riferisce alla funzione g(z') come alla funzione spettrale della rappresentazione.
Vediamo adesso ulteriori rilevanti implicazioni della rappresentazione integrale di Cauchy.
Innanzitutto sussiste il principio della media:

"Il valore di una funzione analitica in un punto coincide con la media dei valori assunti dalla funzione stessa su una circonferenza di raggio arbitrario, tutta contenuta nel dominio di olomorfismo della funzione e avente centro in quel punto."

Un'altra importante applicazione della rappresentazione integrale di Cauchy è la cosiddetta disuguaglianza di Cauchy.
Se, infatti,





(con a_n successione) è analitica e limitata, |f(z)| ≤ M sul cerchio di raggio R intorno all'origine, allora si ha appunto la disuguaglianza di Cauchy:




Un'immediata conseguenza di tale disuguaglianza è il teorema di Cauchy-Liouville:

"Se una funzione f(z) analitica è limitata nell'intero piano complesso, allora essa è necessariamente una costante."

Corollario del suddetto teorema è il famoso teorema fondamentale dell'algebra, dimostrato da Gauss nel 1799 (anche se con delle lacune di carattere topologico, sistemate successivamente dal matematico ucraino Alexander Markowich Ostrowski nel 1920):

"Ogni polinomio complesso P(z) di ordine arbitrario ha almeno una radice complessa."

Qui con radici si intendono dei numeri per i quali la funzione si annulla; in analisi complessa trattasi degli zeri, già citati in precedenza.
Termina qui la narrazione!
Il prossimo appuntamento riguarderà le serie nel campo complesso e scopriremo, in particolare, le importantissime serie di Taylor e di Laurent.