LA CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI MONODROME

Rieccoci ad una nuova puntata del nostro viaggio nel mondo dell'analisi complessa.
Ricapitoliamo innanzitutto le puntate precedenti:

- puntata 0: "Viaggio nell'≪immaginario≫ mondo dei numeri complessi";

- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa";

- puntata 3: "La rappresentazione integrale di Cauchy";

- puntata 4: "Le serie nel campo complesso: serie di Taylor e serie di Laurent";

- puntata 5: "Analisi complessa: zeri e singolarità".

Come già anticipato, in quest'occasione parleremo della classificazione delle funzioni monodrome, cioè funzioni ad un solo valore, definite in tutto il campo complesso.

Ciò significa che, se non sono funzioni costanti, devono avere necessariamente delle singolarità (per il teorema di Cauchy-Liouville, di cui abbiamo parlato nella puntata 3).

Ricordiamo, per completezza, che le funzioni a più valori vengono dette polidrome e ci si può fare un'idea concreta di cosa siano guardando la seguente immagine illustrativa:

Vediamo un'altra magnifica figura:

Rimembrato ciò, si può dire che le più semplici funzioni monodrome immaginabili (ad esempio, w = z oppure w = 1/z) presentano almeno un polo (nell'esempio, del 1° ordine rispettivamente per z = ∞ e per z = 0).

La classificazione delle funzioni monodrome è basata proprio sul tipo di singolarità (al finito e all'infinito).

Incominciamo!

FUNZIONI RAZIONALI (RAPPORTO DI 2 POLINOMI)

Non presentano singolarità essenziali (né al finito né all'infinito) e possono possedere, al più, un numero finito sia di zeri che di poli.

Se infatti una funzione presenta un numero infinito di zeri, essa possiede almeno un punto di accumulazione di zeri, punto che è una singolarità essenziale (isolata).

Se una funzione presenta invece un numero infinito di poli, essa possiede almeno un punto di accumulazione di poli, punto che è una singolarità essenziale (non isolata).

FUNZIONI INTERE

Nell'ambito dell'analisi complessa, una funzione di variabile complessa è detta intera se risulta olomorfa in tutti i punti del campo complesso ℂ. ${\displaystyle \mathbb {C$

I più semplici esempi di funzioni intere che non siano polinomi sono sicuramente 

Se g(z) è una funzione intera, si ha che 

è anch'essa intera e risulta non nulla.

Le funzioni intere non presentano singolarità al finito, ma solo una singolarità essenziale all'infinito.

Tali funzioni hanno uno sviluppo in serie di Taylor con raggio di convergenza infinito.

POLINOMI

Funzioni che possono essere razionali ed intere.

Un polinomio presenta per z = ∞ un polo di ordine pari al proprio grado.

Viceversa, una funzione intera che presenti per z = ∞ un polo di ordine n è rappresentata da una serie di potenze in cui tutti i coefficienti delle potenze superiori all'ennesima sono nulli, ossia coincide con un polinomio di grado n.

Se inoltre la serie che rappresenta una funzione intera non si tronca (cioè possiede effettivamente infiniti termini), allora tale funzione presenta necessariamente una singolarità essenziale (isolata) all'infinito.

FUNZIONI MEROMORFE (IN TUTTO IL PIANO COMPLESSO)

Presentano, oltre ad un'eventuale singolarità essenziale all'infinito, un numero arbitrario (finito o infinito) di poli.

È evidente che le funzioni intere non siano altro che esempi particolari (i più semplici) di funzioni meromorfe.

Altri basilari esempi di funzioni meromorfe sono:

- funzioni razionali (rapporti di polinomi);

- funzioni trigonometriche;

- funzioni iperboliche.

ULTIME CONSIDERAZIONI:

Esistono naturalmente pure funzioni con 2 o più singolarità essenziali, ma si incontrano con meno frequenza.

Diciamo poi che tutte le funzioni monodrome dotate di singolarità essenziali sono funzioni trascendenti.

Non possono cioè essere funzioni algebriche, ovvero funzioni w = w(z) che siano soluzioni di un'equazione algebrica del tipo

 

ove P(w, z) designa un generico polinomio nelle 2 variabili w e z.

Infatti, una funzione algebrica w = w(z), soluzione di un'equazione come quella riportata, è necessariamente o razionale o polidroma!

Per il momento ci fermiamo qui; la prossima volta inizieremo a parlare seriamente di residui.