lunedì 9 marzo 2020

INTEGRALI CURVILINEI (DI SECONDA SPECIE), FORME DIFFERENZIALI E TEORIA DEL POTENZIALE

Nel precedente post (cliccate qui per leggerlo) abbiamo introdotto il concetto di curva regolare e abbiamo osservato cos'è un integrale curvilineo di prima specie.
Naturalmente esiste la nozione di integrale curvilineo di seconda specie, intimamente legata ad altri concetti tra cui le forme differenziali.
Prima però di parlare di tutto ciò è necessario focalizzarci ancora un attimo sulle curve.
L'altra volta avevamo detto che ad ogni curva γ è possibile associare un orientamento, tuttavia avevamo introdotto questo discorso facendo riferimento alla parametrizzazione della curva.
Per le applicazioni quali il calcolo del lavoro di un campo vettoriale lungo una curva (cioè, come vedremo, dell'integrale curvilineo di seconda specie), è decisamente più utile introdurre la nozione di orientamento di una curva in maniera intrinseca, cioè indipendente dalla parametrizzazione.
Diremo, nello specifico, che l'applicazione (vettoriale) continua




è un orientamento se:

1)



ove p è un punto del sostegno della curva γ. Questo significa che T è un versore.

2)

T(p) risulta tangente a γ in χ (lettera greca "chi"). In altri termini:





 funzione continua e derivabile, con I generico intervallo di ℝ, tale che:




Diremo inoltre che γ è una parametrizzazione compatibile con l'orientamento se:






T rappresenta, in sostanza, il versore tangente.
Si ricordi che gli orientamenti possibili sono naturalmente solo 2.
Dato che siamo praticamente pronti ad introdurre il concetto di integrale curvilineo di seconda specie, l'unico dettaglio che potrebbe essere utile ricordare è cos'è un campo vettoriale e per rinfrescare la memoria su tale argomento vi consiglio di cliccare qui.
Bene, consideriamo ora un campo vettoriale continuo



Sia poi γ curva orientata con orientamento T.
Nel dettaglio



con T tangente a γ.
Chiamiamo integrale curvilineo di seconda specie (detto pure integrale curvilineo lungo una curva orientata o anche lavoro del campo F lungo una curva orientata) del campo F lungo la curva γ il numero reale:






Nelle ultimi notazioni abbiamo voluto precisare con la freccia posta sopra F e il "cappello" sopra T il fatto che si trattassero rispettivamente di un vettore e di un versore, in modo da rendere chiaro che la notazione




denotasse il loro prodotto scalare, che produce appunto un numero (non un vettore).
Un'altra notazione tipica per indicare il suddetto integrale è la seguente:






 In maniera esplicita diciamo che se




è una parametrizzazione compatibile con l'orientamento, allora:














 
Ergo, l'integrale curvilineo di seconda specie si riduce al calcolo dell'integrale tra gli estremi a e b del prodotto scalare del campo vettoriale F (calcolato in γ(t)) per la derivata della curva γ parametrizzata.
Va specificato che l'integrale appena definito risulta indipendente dalla parametrizzazione compatibile con l'orientamento.
Una domanda legittima a questo punto potrebbe essere: cosa succede se cambiamo l'orientamento della curva?
Risposta: semplicemente cambia il segno dell'integrale. In simboli:






A questo punto la prassi sarebbe procedere con un chiaro esempio esplicativo di calcolo di un integrale curvilineo di seconda specie.
Prima di far ciò, tuttavia, vorrei procedere all'introduzione dell'importante concetto di forma differenziale, che, come vedremo, è intimamente legato ai campi vettoriali.
Cos'è una forma differenziale in parole povere?
È semplicemente un'integranda, cioè un'espressione che può essere integrata rispetto ad alcuni domini.
Per esempio, considerando l'integrale






in tal caso dx è una forma differenziale.
Naturalmente non tutte le integrande sono forme differenziali, come per esempio accade nel calcolo della lunghezza di un arco di curva o dell'area di una superficie.
Ottima è la spiegazione che Wikipedia fornisce relativamente alle forme differenziali:




Specifichiamo che una varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in dimensione arbitraria.
Le forme differenziali che ci interessano, nello specifico, nell'ambito dell'integrale curvilineo, sono dunque le 1-forme, chiamate a volte pure forme differenziali lineari.
Prima di entrare nei dettagli, è necessario richiamare alcune nozioni di algebra lineare.