martedì 8 maggio 2018

INTRODUZIONE ALL'INTEGRAZIONE COMPLESSA

Continuiamo il nostro viaggio nel mondo dell'analisi complessa, iniziato qui.
L'estensione del concetto di integrale ad un integrale nel piano complesso è praticamente immediata se si pensa alla classica definizione di integrale alla Riemann, ossia definito come un opportuno limite di una sommatoria.




















Sia data una generica funzione (anche non olomorfa) continua f della variabile complessa z e sia data, nel piano z, una curva γ di equazione




con t parametro reale.
Consideriamo la porzione di curva compresa tra 2 punti A e B (eventualmente A ≡ B se la curva è chiusa) e dividiamo l'arco AB in un numero arbitrario n di parti, grazie a n - 1 punti di divisione




ponendo inoltre




All'interno di ciascun segmento di curva (di estremi zk - 1 e zk) fissiamo poi un nuovo punto (che denotiamo con ζk) e definiamo la somma






ove fk = f(ζk).
Se esiste il limite I di In, per n → ∞, in modo tale che per ogni k valga




e se tale limite è indipendente dal modo in cui sono stati scelti i punti zk e ζk, allora diremo che esso è l'integrale di contorno di f(z), fra A e B, lungo la curva γ e scriveremo:





Riprendiamo ora la nostra formula






e separiamo z ed f nelle loro parti reali ed immaginarie:




Abbiamo così:










Il limite |zk - zk - 1| → 0 che porta alla definizione di I implica, per ogni k:
 



Ergo, I si può esprimere tramite ordinari integrali di linea (sempre sottintesa la curva γ) nel campo reale, come






Abbiamo così, per definizione, che:

 



In tal maniera l'integrazione nel campo complesso viene formalmente ricondotta ad integrazioni nel campo reale.