CURVE REGOLARI ED INTEGRALI CURVILINEI (DI PRIMA SPECIE)

Non è la prima volta che ci occupiamo di curve matematiche in questo blog.
Infatti in passato abbiamo per esempio parlato della curva che congiunge 2 punti nel minor tempo possibile (il problema della brachistocrona), della spettacolare elica cilindrica con le sue fondamentali applicazioni nel mondo dell'arte e di curve cubiche come la versiera di Agnesi e la cissoide di Diocle.
In questo post vogliamo però condurre un discorso più generale relativo alle curve (con particolare riferimento a quelle regolari), che ci porterà a illustrare  l'importante concetto di integrale curvilineo (detto pure integrale di linea), almeno nella sua prima forma.
Se avete familiarità con la nozione di integrale definito, osserverete che l'integrale di linea è una semplice estensione del concetto inerente al "magico" mondo delle curve.
Ma procediamo per gradi!
Innanzitutto, partiamo dalle fondamenta: che cos'è una curva?
È facile pensare all'idea di una curva, un insieme di punti nello spazio in cui una particella è libera di muoversi con un singolo grado di libertà; leggermente più difficile è fornire una definizione davvero rigorosa dal punto di vista matematico.
Assumendo di riferirci allo spazio vettoriale ℝⁿ, l'analisi matematica ci definisce una curva come una funzione (vettoriale) continua del tipo




dove I è un generico intervallo.
Di solito quando consideriamo I alla stregua di un intervallo chiuso e limitato (ossia compatto per il teorema di Heine-Borel) [a,b], si parla di arco di curva.
Per chi non ricordasse esattamente cosa significa funzione continua, ne diamo 2 definizioni, una che potrebbe comprendere anche un bambino e l'altra per gli amanti del rigore matematico.
Una funzione è continua (in tutti i punti) quando per tracciarla graficamente su un sistema di riferimento cartesiano non è necessario staccare mai la matita dal foglio!
In termini formali invece una funzione si dice continua in un punto x₀ se vale la seguente uguaglianza:





Se tale uguaglianza risulta valida per qualsiasi punto dell'intervallo [a,b] considerato, allora la funzione è continua in tutto l'intervallo.
Detto ciò, si definisce traccia o sostegno γ* della curva γ l'immagine di γ, ossia, in simboli:




Per farsi un'idea più concreta di cosa sia la traccia è sufficiente pensare alla traiettoria di un moto nello spazio e che racchiude in sé gli aspetti geometrici della curva.
Assumiamo ora che una curva (nello spazio euclideo tridimensionale) venga definita da una generica funzione (vettoriale) continua 



Tale funzione vettoriale r si chiama parametrizzazione della curva e contiene le informazioni sul modo in cui la curva viene percorsa.
In particolare, si avrà che







ove la variabile t ∈ [a,b] viene detta parametro della curva e i,j,k sono i classici versori relativi agli assi cartesiani.
In sostanza, al variare di t, r(t) descrive γ, che è il sostegno della curva (trattasi semplicemente di una notazione diversa per esprimerlo).
Una stessa curva può essere parametrizzata in infiniti modi diversi.
Diciamo ora che una curva (o un arco) è chiamata semplice se la funzione r(t) risulta iniettiva.
Un arco



si dice chiuso se



Un arco di curva è poi detto chiuso semplice se la funzione è iniettiva e vale la condizione appena scritta.
Resta il fatto che spesso, specialmente in ambito fisico, è utile pensare ad r(t) come ad una funzione descrivente la posizione all'istante t di una particella che si muove nello spazio euclideo tridimensionale.
In sostanza, si sta assumendo un'interpretazione cinematica della nozione di curva.
Le innumerevoli parametrizzazioni della medesima curva rappresentano, da questo punto di vista, gli infiniti modi diversi (con velocità diverse) di percorrere tale traiettoria.
Diciamo, in particolare, che la funzione vettoriale r è derivabile se tali sono le sue componenti scalari.
Avremo naturalmente che la sua velocità (o derivata) è data da:

mentre la velocità scalare è la norma di tale vettore, cioè



Se poi anche r' risultasse a sua volta derivabile, l'accelerazione (vettore) sarebbe fornita ovviamente dalla formula:




La velocità e l'accelerazione vanno, tra le altre cose, a fornire una classificazione dei moti.
Si ha infatti un moto uniforme quando il modulo della velocità risulta costante; in caso contrario si parla di moto vario.
In quest'ultimo caso, se l'accelerazione risulta costante si parla di moto uniformemente accelerato quando sussiste un incremento (nel tempo) del valore assoluto della velocità, mentre si parla di moto uniformemente ritardato (o decelerato) quando la velocità decresce nel tempo.

IL SISTEMA ASSIOMATICO DI HILBERT PER LA GEOMETRIA

David Hilbert (1862-1943) è considerato uno dei matematici più influenti di sempre.

Il suo nome appare in svariati ambiti rilevanti della matematica, oltre che in fisica, ove l'introduzione degli spazi di Hilbert è stata fondamentale per lo sviluppo matematico della meccanica quantistica.
Leggendo il libro Hilbert, Alla ricerca di assiomi universali (della collana Geni della Matematica) di Carlos M. Madrid Casado, mi sono imbattuto in un interessantissimo passo relativo al sistema assiomatico introdotto da Hilbert.
Il presente post è un riassunto dei concetti fondamentali illustrati nel libro sopracitato.

IL FANTASTICO ZOO DELLA GEOMETRIA

Era una mattina d'estate, davvero afosa.
Il Sole risplendeva mostrando tutta la sua imponenza nel sereno cielo. Si trattava della giornata perfetta per la gita in uno zoo.
Bernardo era tutt'altro che contento di parteciparvi, d'altronde aveva già avuto occasione di girare per diversi zoo sin da piccolo e dunque riteneva non potesse esserci più nulla da scoprire e che potesse solleticare la sua curiosità.
"Ma come, non sei curioso di vedere le maestose tigri malesi?" gli domandò un compagno di classe, seduto affianco sull'autubus che li avrebbe condotti nel meraviglioso parco naturale.
"Già viste tante volte, vorrei osservare qualcosa di nuovo ed altrettanto emozionante" rispose celermente Bernardo.
L'orario di arrivo era previsto per le 10; nel mentre il ragazzo ascoltò un po' di musica classica, precisamente si dilettò col meraviglioso Concerto per pianoforte e orchestra n.3 di Rachmaninov.



Giunti allo zoo, l'esplorazione cominciò immediatamente tra elefanti, scimpanzé, leoni, zebre e chi più ne ha più ne metta.
La mente curiosa di Bernardo purtroppo non era abbastanza stimolata da renderlo molto felice, tuttavia, ad un tratto, qualcosa di bizzarro accadde.
Una voce risuonò all'interno del parco naturale: "Salve gentili visitatori; unicamente per oggi estrarremo tra voi un vincitore che potrà accedere alla nostra ala di massima segretezza! Per prenotarvi sarà sufficiente firmare un foglio che il nostro attento staff vi fornirà".
Bernardo non ci pensò neanche un secondo e appose la firma non appena ricevette il foglio.
Non si trattava di un banale documento di iscrizione; ai margini del foglio comparivano infatti strane figure geometriche.
Dopo solo mezz'ora furono raccolti tutti i fogli e si passò all'estrazione del vincitore. "UN MINUTO DI ATTENZIONE" echeggiò la solita voce dell'annunciatore. "IL VINCITORE È BERNARDO R.".
Urla ed applausi scrosciarono nei confronti del ragazzo.
"Prego, mi segua" affermò un membro dello staff dello zoo, il cui compito era condurre Bernardo nell'ala segreta.

LA MAGNIFICA SUPERFICIE DI DINI

Abbiamo già avuto modo di parlare di pseudosfere su questo blog.
Ultimamente abbiamo per esempio scoperto le spettacolari creazioni artistiche dell'australiano Paul Walker (cliccate qui per vederle) ispirate alla pseudosfera di Beltrami.
È consigliabile (avviso rivolto specialmente al lettore non esperto), prima di continuare la lettura, di rileggere il nostro vecchio post di illustrazione della pseudosfera (cliccate qui), giacché qui assumeremo per scontata la conoscenza di alcuni concetti lì spiegati, come la trattrice e la curvatura.
Tra poco scopriremo brevemente una magnifica superficie che si può ottenere proprio dalla torsione di una pseudosfera!
Prima di far ciò, leggiamo, a mo' di introduzione, cosa scrive Claudio Bartocci, a proposito della geometria differenziale dal 1850 in poi, nel suo splendido testo intitolato Una piramide di problemi:

«Dopo il 1850, le ricerche in geometria differenziale - intesa quasi esclusivamente come teoria delle superfici immerse nello spazio euclideo oppure come disciplina al servizio della fisica matematica (meccanica analitica e teoria dell'elasticità) - si focalizzano soprattutto su "problemi concreti" e su casi particolari, ramificandosi in una pluralità di direzioni diverse. In questo modo, viene a essere tessuta una fitta e intricata ragnatela di risultati tra loro interconnessi, e non privi di stretti legami anche con altri settori della matematica. L'esempio paradigmatico è costituito dalle superfici minime. Il problema, tipico del calcolo delle variazioni, di trovare le superfici di area "minima"si traduce nel problema geometrico di determinare le superfici che hanno, in ogni punto, curvatura media uguale a zero, come già osservato da Meusnier nel suo "Mémoire sur la courbure des surfaces" [1785]. Oltre al piano, si verifica senza difficoltà che soddisfano a questa condizione il catenoide (cioè, la superficie - nota anche sotto il nome, oggi fuori moda, di alisseide, introdotto da Bour [1862, p. 30] - generata dalla rotazione di una catenaria attorno al proprio asse) e l'elicoide minimo (cioè, la superficie generata dal moto di una retta che "si avvita" lungo un asse). Pur essendo superfici che è impossibile ottenere l'una dall'altra attraverso una trasformazione euclidea, il catenoide e l'elicoide sono applicabili l'una sull'altra mediante un'elegante costruzione geometrica, simile (ma più semplice) a quella che Beltrami userà nel "Saggio" del 1868 per avvolgere la calotta pseudosferica sulla superficie di rotazione generata dalla trattrice (figura 12).



La teoria delle superfici minime rappresenta uno dei campi di ricerca più fecondi e vitali della matematica ottocentesca, all'incrocio tra analisi e geometria, al quale apportarono contributi significativi, tra gli altri, Bonnet, Riemann, Weierstrass, Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), Beltrami, Ulisse Dini (1845-1918), Sophus Lie.»

Ed è proprio la superficie studiata da uno di questi ultimi grandi nomi la protagonista del nostro post.
Ma chi era Ulisse Dini?

MATEMATICA ED ARTE: L'ELICA

La matematica e l'arte sembrano, a prima vista, 2 mondi totalmente differenti, uno dominato dalla pura razionalità, l'altro dalla fantasia e dall'immaginazione.
In realtà, spesso e volentieri, la matematica risulta una disciplina assai creativa mentre l'arte tende ad utilizzare le regole rigorose della matematica, come nel caso del principio di proiezione e sezione alla base della prospettiva focale, di cui abbiamo parlato qui.
Per far percepire l'attività creativa della matematica, riporto un breve passo da Récoltes et semailles, opera scritta, tra il 1983 e il 1986, dal grandissimo matematico Alexander Grothendieck (1928-2014), passo che traggo da un bel libro intitolato Matematica ribelle, le due vite di Alexander Grothendieck:

"La maggior parte dei matematici...hanno la tendenza a confinarsi in un quadro concettuale, in un ≪Universo≫ fissato una volta per tutte — quello, sostanzialmente, che hanno trovato ≪bell'e pronto≫ quando hanno fatto i loro studi. Possono essere paragonati a chi abbia ereditato una grande e bella dimora, arredata con tutte le comodità, con i suoi saloni, le sue cucine e i suoi laboratori, e le sue casseruole e attrezzi per ogni evenienza, con i quali c'è modo certamente di cucinare e di fare tanti bei lavoretti...Per quel che mi riguarda, sento piuttosto di appartenere alla stirpe dei matematici la cui vocazione spontanea, e la cui gioia, è di costruire senza posa case nuove. Strada facendo, costoro non possono sottrarsi anche al compito di inventare e di forgiare man mano tutti gli arnesi, utensili, mobili e strumenti che sono necessari tanto per costruire la casa dalle fondamenta fino al colmo del tetto, quanto per rifornire in abbondanza le future cucine e i futuri laboratori, e arredare la casa per viverci con tutti gli agi. Ciò nonostante, non appena tutto è sistemato fino all'ultima grondaia e all'ultimo sgabello, è raro che l'operaio si trattenga a lungo nei luoghi in cui ogni pietra e ogni trave reca traccia della mano che l'ha lavorata e posata. Il suo posto non è nella quiete degli universi bell'e pronti, per quanto armoniosi e accoglienti possano essere — non importa se siano stati congegnati dalle sue proprie mani o da quelle dei suoi predecessori. Altri compiti già lo chiamano su nuovi cantieri, sotto la spinta imperiosa di bisogni che è forse il solo a provare chiaramente, o (ancora più spesso) anticipando bisogni che è il solo a presagire."

L'interessante commento a seguito del suddetto passo presente nel testo Matematica ribelle è quello che segue:

"Il profano che si accosti all'opera matematica di Grothendieck dovrà dunque abbandonare l'idea comune secondo cui il matematico è un problem solver e provare a considerarlo come un demiurgo, o piuttosto come un artista. In questa prospettiva, la matematica diventa un'arte, seppure del tutto particolare, nella quale l'arbitrarietà delle invenzioni si concilia con il rigore delle dimostrazioni, e l'immaginazione si accorda con la ragione: le sue opere sono teorie in un intreccio, un disegno, che permette sempre di cogliere un'unità nella molteplicità."

Questa premessa ci serve per introdurre un argomento che è a cavallo tra matematica ed arte, una forma geometrica che ha e ha avuto tante applicazioni in campo artistico ed architettonico: stiamo parlando dell'elica!
Un'elica cilindrica è semplicemente una curva nello spazio tridimensionale, la quale viene rappresentata alla stregua di una linea avvolta con un angolo costante intorno ad un cilindro (a sezione circolare).


















Un'immagine suggestiva che potremmo far scaturire nella nostra mente per fissare bene il concetto di elica in geometria è quello di un contenitore a forma di cilindro attorno al quale si è avvolto un lungo serpente (naturalmente assumendo un arrotolamento perfetto ad angolo costante del rettile)!

Se proprio vogliamo essere rigorosi, dovremmo dire che l'elica è caratterizzata da un vettore tangente, il quale forma un angolo costante con una direzione ben precisa, che è la direzione definita dal proprio asse di rotazione.
Il fatto di essere una linea della superficie cilindrica a pendenza costante rende palese l'utilità della costruzione di scale proprio a forma di elica, le cosiddette "scale a chiocciola".




















Da un punto di vista puramente matematico, un'elica può essere poi descritta parametricamente dalle seguenti equazioni:






ove r è il raggio del cilindro, t è un parametro numerico reale, c è una costante denominata ≪passo≫ dell'elica.
In particolare, il passo designa la distanza minima tra 2 punti dell'elica che giacciono sulla medesima verticale, ossia che hanno le stesse coordinate x ed y.














È interessante constatare che, quando c = 0, le equazioni vanno a descrivere nientemeno che un cerchio, che è quindi una forma degenere di elica, mentre un'ulteriore forma degenere si ha ovviamente quando r = 0, imposizione che riduce il tutto a una linea retta!
Tra le proprietà dell'elica cilindrica, di particolare interesse è la seguente: dati 2 punti qualsiasi su un cilindro, ma non sulla stessa retta generatrice, il cammino più breve (chiamato geodetica) sul cilindro per andare da un punto all'altro è proprio un'elica!
Il segno positivo o negativo del passo c determina pure se l'elica è destrogira o levogira.

Tutto ciò fa dell'elica un oggetto chirale (si veda qui)!
Le viti a elica sono quasi tutte destrogire.
Le eliche cilindriche condividono una peculiarità con le rette e le circonferenze: sono infatti le curve che ammettono un gruppo di isometrie in sé.
In altre parole, presi 2 punti della linea considerata, esiste un'isometria del gruppo che trasforma la linea in sé, portando il primo punto nel secondo!
In particolare, si perviene alle trasformazioni che portano un'elica su se stessa andando a combinare una rotazione intorno all'asse della superficie cilindrica con una traslazione nella direzione delle rette della superficie.
Il termine "elica" fa subito pensare pure ad applicazioni tecnologiche di rilievo: in meccanica, un'elica è uno strumento che trasforma un movimento rotatorio in una spinta di direzione perpendicolare al piano di rotazione.
La mente brillante di Leonardo da Vinci (di cui abbiamo parlato qui) condusse poi alle eliche degli elicotteri, delle navi e degli aerei.
Tuttavia, già in tempi più antichi le peculiarità delle eliche cilindriche vennero riconosciute e sfruttate.
Oltre al torchio di legno impiegato sin dal I secolo a.C. nel Mediterraneo per spremere uva ed olive, va ricordata la cosiddetta pompa (vite) senza fine di Archimede, chiamata anche coclea (termine latino che sta per "chiocciola").
Essa è generalmente costituita da un tubo in cui scorre una vite cilindrica; posta in rotazione la vite, ogni avvolgimento porta acqua o altro materiale incoerente all'avvolgimento seguente, fino a quando l'acqua o il materiale raggiungono l'altro estremo del tubo, nel quale vengono raccolti o fatti espandere.











Al giorno d'oggi la vite è considerata una macchina semplice (ovvero non scomponibile in parti che siano a loro volta macchine) capace di trasformare un moto circolare in un moto rettilineo.
Molti attribuiscono l'origine della vite al grande matematico greco Archita di Taranto (428-347 a.C.).
Secondo lo storico e matematico Proclo di Costantinopoli (412-485 d.C.), le proprietà matematiche della vite sono dovute a un altro notevole esponente della matematica antica, cioè Apollonio di Perga (262-190 a.C), l'autore delle famose "coniche".
Successivamente, Erone di Alessandria (vissuto tra il I e il II secolo d.C.) giunse ad un metodo per creare viti cilindriche con la propria madrevite.
Le prime viti erano naturalmente costitute da legno; le viti metalliche apparvero in Europa nel XV secolo, tuttavia per una produzione di massa bisognerà aspettare il XVIII secolo.
Infatti, nel 1797, il giovane ingegnere britannico Henry Maudslay (1771-1831) inventò un apposito tornio per costruire viti.
L'anno successivo ci fu una del tutto analoga invenzione da parte di David Wilkinson (1771-1852), negli Stati Uniti.
Il vero e proprio boom delle viti metalliche, come le conosciamo oggi, si manifestò durante la Seconda guerra mondiale.
Negli anni '30 fu peraltro ideata la vite con testa a croce.
Vi starete ormai impazientemente chiedendo: "Sì, ma cosa c'entra l'elica con l'arte?".
Andiamo dritti al nocciolo della questione!

SINGOLARI SFERE: PSEUDOSFERA E SFERA CORNUTA

La sfera è il solido geometrico emblema della perfezione, dato che risulta omogenea e decisamente simmetrica.
Infatti, se in un piano il cerchio è più simmetrico di un quadrato in quanto identico comunque lo si giri, nello spazio tridimensionale la sfera risulta più simmetrica del cerchio.
Basterà notare lo "spessore" del cerchio e rendersi conto che tutto ciò che lo rendeva straordinario nel piano non sussiste più nello spazio.
Per fare un esempio banale, un hula hoop non apparirà identico se osservato da posizioni differenti!

La sfera, invece, è sempre uguale da qualunque punto di vista la si guardi.

La sfera è dunque una figura geometrica di grande rilevanza: è stata persino alla base di imponenti modelli cosmologici.
Per non fare il solito esempio del sistema tolemaico-geocentrico, ve ne cito un altro, decisamente meno conosciuto: quello delle sfere omocentriche di Eudosso.