mercoledì 11 aprile 2018

PRIMI ELEMENTI DI ANALISI COMPLESSA: LE CONDIZIONI DI OLOMORFISMO DI CAUCHY-RIEMANN

In questo blog abbiamo già avuto modo di parlare di numeri complessi (in particolare qui) e abbiamo anche incontrato svariate volte gli strumenti fondamentali dell'analisi matematica nel campo dei numeri reali.
Ora è giunto il momento di fare un piccolo balzo in avanti, andando a scoprire gli strumenti basilari dell'analisi complessa.
Tralasceremo nella narrazione di questo articolo (e di quelli che seguiranno sull'argomento) molte dimostrazioni e tecnicismi esagerati; lo scopo primario qui è infatti di rendere accessibili e digeribili ad un lettore, con un minimo bagaglio di conoscenze dell'analisi matematica reale, le interessanti nozioni fondamentali dell'analisi complessa.
Diciamo innanzitutto che la parte dell'analisi matematica che si occupa dello studio delle funzioni di variabili complesse è generalmente chiamata teoria delle funzioni analitiche.
Premesso che una funzione è analitica nelle regioni dove essa è perfettamente definita (continua con tutte le sue derivate), la teoria delle funzioni analitiche è rivolta, in verità, specialmente allo studio dei punti (o delle regioni) di non analiticità delle funzioni stesse, essendo proprio tali punti, i cosiddetti punti singolari, quelli che determinano le caratteristiche fondamentali delle funzioni considerate.
Le uniche "funzioni" ovunque analitiche sono infatti banalmente costanti.
Una variabile complessa



vien detta funzione della variabile complessa




se esiste una corrispondenza prefissata fra i valori di z e quelli di w; se cioè ad ogni valore di z (fissato in modo qualsiasi in un certo insieme) corrispondono uno o più valori di w.
Nel primo caso la funzione sarà detta monodroma (o a un solo valore), nel secondo polidroma.
Ciò equivale a dire, in pratica, che le 2 funzioni u e v sono funzioni reali delle 2 variabili x e y.
Lo studio delle funzioni di una variabile complessa sembra quindi, a prima vista, potersi ricondurre a quello delle funzioni reali di 2 variabili reali.
In verità, le funzioni analitiche soddisfano a particolari condizioni restrittive che fan sì che queste godano di proprietà peculiari e possano essere studiate direttamente come funzioni di una variabile (complessa).
I concetti basilari della teoria delle funzioni di una variabile reale, come limite e continuità, risultano facilmente estendibili ad una generica funzione di variabile complessa




In tal modo, supposto che f(z) sia definita sui punti di un insieme E e che z₀ E sia un punto di accumulazione (limite) di E, diremo che f(z) tende ad un limite l per zz₀ se, fissato un numero positivo ε arbitrario (piccolo quanto si vuole), è possibile trovare un numero positivo δ tale che:




con




Se una funzione f(z) è definita su un insieme continuo C di valori di z, essa risulta continua nel punto z₀C se esiste ed è finito il limite di f(z) per zz₀ e questo limite coincide con f(z₀).
Una sostanziale difficoltà si incontra invece quando si cerca di estendere alle funzioni di variabile complessa (in generale) il concetto di derivata.
La derivata di una funzione di variabile complessa non è infatti definita sempre in modo univoco.
Tuttavia le funzioni di maggiore rilevanza, ossia le funzioni analitiche, sono proprio quelle per cui la derivata è definita in maniera univoca.
Diciamo ora che f(z) è derivabile in senso complesso (o anche che f è olomorfa) in z₀D, con D insieme di definizione di f(z), se esiste, finito, il limite del rapporto incrementale quando zz₀.
Tale limite si indicherà con f'(z₀) e verrà detto derivata di f in z₀.
In simboli:





La definizione è apparentemente "innocua", ma, come anticipato, è molto più restrittiva di quanto possa sembrare a prima vista.
Essa richiede infatti che il limite del rapporto incrementale esista e sia lo stesso quale che sia il modo (la velocità, come grandezza vettoriale) con cui z tende a z₀.
Tutto ciò impone condizioni severe sulle derivate parziali delle funzioni u(x, y) e v(x, y).