Ultimamente abbiamo per esempio scoperto le spettacolari creazioni artistiche dell'australiano Paul Walker (cliccate qui per vederle) ispirate alla pseudosfera di Beltrami.
È consigliabile (avviso rivolto specialmente al lettore non esperto), prima di continuare la lettura, di rileggere il nostro vecchio post di illustrazione della pseudosfera (cliccate qui), giacché qui assumeremo per scontata la conoscenza di alcuni concetti lì spiegati, come la trattrice e la curvatura.
Tra poco scopriremo brevemente una magnifica superficie che si può ottenere proprio dalla torsione di una pseudosfera!
Prima di far ciò, leggiamo, a mo' di introduzione, cosa scrive Claudio Bartocci, a proposito della geometria differenziale dal 1850 in poi, nel suo splendido testo intitolato Una piramide di problemi:
«Dopo il 1850, le ricerche in geometria differenziale - intesa quasi esclusivamente come teoria delle superfici immerse nello spazio euclideo oppure come disciplina al servizio della fisica matematica (meccanica analitica e teoria dell'elasticità) - si focalizzano soprattutto su "problemi concreti" e su casi particolari, ramificandosi in una pluralità di direzioni diverse. In questo modo, viene a essere tessuta una fitta e intricata ragnatela di risultati tra loro interconnessi, e non privi di stretti legami anche con altri settori della matematica. L'esempio paradigmatico è costituito dalle superfici minime. Il problema, tipico del calcolo delle variazioni, di trovare le superfici di area "minima"si traduce nel problema geometrico di determinare le superfici che hanno, in ogni punto, curvatura media uguale a zero, come già osservato da Meusnier nel suo "Mémoire sur la courbure des surfaces" [1785]. Oltre al piano, si verifica senza difficoltà che soddisfano a questa condizione il catenoide (cioè, la superficie - nota anche sotto il nome, oggi fuori moda, di alisseide, introdotto da Bour [1862, p. 30] - generata dalla rotazione di una catenaria attorno al proprio asse) e l'elicoide minimo (cioè, la superficie generata dal moto di una retta che "si avvita" lungo un asse). Pur essendo superfici che è impossibile ottenere l'una dall'altra attraverso una trasformazione euclidea, il catenoide e l'elicoide sono applicabili l'una sull'altra mediante un'elegante costruzione geometrica, simile (ma più semplice) a quella che Beltrami userà nel "Saggio" del 1868 per avvolgere la calotta pseudosferica sulla superficie di rotazione generata dalla trattrice (figura 12).
La teoria delle superfici minime rappresenta uno dei campi di ricerca più fecondi e vitali della matematica ottocentesca, all'incrocio tra analisi e geometria, al quale apportarono contributi significativi, tra gli altri, Bonnet, Riemann, Weierstrass, Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), Beltrami, Ulisse Dini (1845-1918), Sophus Lie.»
Ed è proprio la superficie studiata da uno di questi ultimi grandi nomi la protagonista del nostro post.
Ma chi era Ulisse Dini?
Fu allievo di Enrico Betti (1823-1892) alla celebre Scuola Normale Superiore e ne continuò le ricerche.
Nel 1865 Dini vinse una competizione che gli permise di continuare i suoi studi all'estero, in particolare a Parigi, sotto la guida di Bertrand ed Hermite.
Il periodo parigino fu decisamente fecondo da un punto di vista matematico per il giovane Ulisse; scaturirono infatti ben 7 pubblicazioni.
Nel 1866 il matematico italiano fece ritorno a Pisa, ove fu nominato professore all'Università e diede lezioni inerenti ad argomenti avanzati di algebra e pure sulla teoria della geodesia.
Nel 1871 ottenne poi la cattedra di analisi e geometria, sino a quel momento tenuta da Betti.
Va sottolineato che ciò non accadde perché Betti si ritirò dall'insegnamento, bensì perché gli interessi di quest'ultimo si erano spostati verso la fisica matematica.
Dal 1888 al 1890 Dini divenne rettore dell'Università di Pisa.
Dopodiché, nel 1892, fu nominato senatore del Regno d'Italia (sì, oltre alla matematica, un altro grosso interesse di Dini era la politica).
Costui fu anche direttore della Scuola Normale Superiore per molto tempo, in particolare dal 1874 al 1876 e poi dal 1908 fino alla morte.
Nel 1913 fondò a Pisa la "Scuola d'Applicazione per gl'Ingegneri", che diverrà poi la Facoltà di Ingegneria, di cui egli fu il primo Direttore.
Sulle orme di Cauchy e Weierstrass, il lavoro più importante di Dini riguardò la teoria delle funzioni di una singola variabile reale.
Si occupò, nel dettaglio, di serie di funzioni ortogonali, funzioni analitiche, metodi asintotici nello studio di equazioni differenziali.
Oltre a tutto ciò, apportò significativi contributi appunto nel campo della geometria differenziale.
Per esempio, a Dini si deve la descrizione della nozione di curva come "grafico in un intorno dei suoi punti non singolari".
Egli studiò inoltre le superfici e sviluppò idee correlate a quelle di Liouville e Beltrami.
Tra gli studenti di Dini ci fu pure un certo Luigi Bianchi (1856-1928), a cui si deve, tra le altre cose, un'importantissima identità, chiamata non a caso identità di Bianchi, riguardante il tensore di Riemann e avente profonde implicazioni nell'ambito della Relatività Generale di Einstein!Bene, è il momento di andare a scoprire la superficie protagonista del post!
La superficie di Dini (chiamata pure elicoide di Dini o elicoide pseudosferico) si genera da un ordinario moto elicoidale di una trattrice attorno alla propria retta caratteristica, come mostrato nella seguente immagine:
Essa si configura dunque alla stregua di una superficie elicoidale, mentre, se ricordate, la pseudosfera si otteneva facendo RUOTARE la trattrice intorno alla propria retta caratteristica (perciò si trattava di una superficie di rotazione).
Per gli interessati, abbiamo parlato dello stretto rapporto delle eliche con l'arte qui.
L'elicoide di Dini va ad intersecare il piano della trattrice con un angolo costante e, in particolare, questo angolo è pari a π/2 nel caso della pseudosfera.
La pseudosfera è in tal senso un caso particolare di superficie di Dini.
Le equazioni parametriche della superficie di Dini presentano la seguente forma:
ove u designa l'angolo che l'asse elicoidale genera con la tangente alla trattrice.
Questa superficie può essere vista anche come appartenente ad una classe di superfici a curvatura gaussiana negativa.
Nel dettaglio, si può definire la superficie di Dini come una superficie a curvatura costante negativa generata dalla torsione di una pseudosfera.
La curvatura gaussiana di tale superficie è fornita, nello specifico, dalla formula
Un'altra singolare proprietà della superficie di Dini è il fatto che essa rappresenta l'unico elicoide le cui linee di curvatura sono meridiani (questo risultato è fornito dal cosiddetto teorema di Bianchi).
Ecco a tal proposito una pagina del libro Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica di Gray, Abbena e Salamon, in cui viene riportato l'enunciato e la dimostrazione del teorema appena citato:
Modificando i parametri geometrici è possibile sicuramente ricavare forme differenti per questa magnifica superficie.
Osserviamo un paio di immagini dimostrative:
Concludiamo con un artwork a dir poco spettacolare realizzato da Luc Benard del sito 3DXM Virtual Math Museum:
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Fonti essenziali:
- "Una piramide di problemi" di Claudio Bartocci;
- http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dini.html
- https://it.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini
- "Encyclopedia of Analytical Surfaces" di Krivoshapko e Ivanov;
- "Modern Differential Geometry with Mathematica" di Gray, Abbena e Salamon
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