ANALISI COMPLESSA: ZERI E SINGOLARITÀ

Continuiamo il nostro viaggio nel mondo dell'analisi complessa.
Prima di tutto l'elenco delle puntate precedenti:

- puntata 0: "Viaggio nell'≪immaginario≫ mondo dei numeri complessi";

- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa";

- puntata 3: "La rappresentazione integrale di Cauchy";

- puntata 4: "Le serie nel campo complesso: serie di Taylor e serie di Laurent". 

ZERI:

Bene, diciamo ora che, come avviene nel campo reale, pure nel campo complesso una funzione f(z) presenta uno zero di ordine n nel punto z = z₀ se in tale punto la funzione si annulla assieme con le sue prime n - 1 derivate, ma la derivata ennesima risulta diversa da 0.

In formule si ha che z = z₀ è uno zero di ordine n di f(z) se:

Ciò equivale a dire che nello sviluppo di Taylor di f(z) valido nell'intorno del punto z₀, zero di ordine n di f(z), i primi n coefficienti (da a₀ sino ad a_n-1) sono nulli mentre il coefficiente a_n è diverso da 0.

Ergo, lo sviluppo di Taylor assume la forma seguente:

 Posto ora

è ovvio che g(z) sia una funzione analitica regolare nell'intorno del punto z = z₀ e che inoltre risulti g(z₀) ≠ 0.

Dunque è possibile asserire che nell'intorno di un punto z = z₀, che sia un suo zero di ordine n, una funzione analitica f(z) si può esprimere nella forma seguente:

ove g(z) è una funzione olomorfa non nulla nel punto z = z₀.

La suddetta rappresentazione mostra che gli zeri di una funzione analitica formano un insieme discreto (cioè privo di punti di accumulazione) all'interno della regione di olomorfismo della funzione stessa.

Inoltre, se 2 funzioni analitiche f₁(z) e f₂(z) coincidono in un insieme di punti il quale abbia anche un solo punto di accumulazione interno alla regione di regolarità di entrambe le funzioni, allora esse sono necessariamente identiche!

Infatti l'insieme degli zeri della funzione f₁(z) - f₂(z) (certamente analitica lì dove lo sono simultaneamente f₁ ed f₂) presenta allora un punto di accumulazione di zeri all'interno della propria regione di olomorfismo ed essa è pertanto identicamente nulla.

SINGOLARITÀ ISOLATE:

Un punto del piano complesso in cui una funzione f(z) non è definita si chiama singolarità della funzione.

Definiamo poi un punto singolare come una singolarità isolata della funzione f(z) se f(z) risulta non analitica in z = z₀, ma è analitica in tutti gli altri punti vicini.

Sia ora z₀ una singolarità isolata per f(z).

Allora in un intorno di z₀ vale lo sviluppo di Laurent

con

ove ρ designa il raggio di convergenza della serie.

In generale, si possono avere 3 possibilità:

1) Tutti i coefficienti b_k sono nulli. In tal caso il punto z₀ è regolare oppure è una singolarità rimovibile (detta anche eliminabile). Il caso tipico di singolarità eliminabile è quello di una discontinuità in z₀, come accade nelle funzioni (sin z)/z, (tg z)/z nel punto z₀ = 0.

Infatti:

Una maniera per definire una singolarità eliminabile è: z₀ è una singolarità eliminabile per f(z) se esiste (finito) il limite di f(z) in z₀, cioè

Ritornando alla serie di Laurent, se tutti i b_k sono nulli, la serie definisce una funzione analitica (quindi continua) con f(z₀) = a₀.

Per rimuovere la singolarità basta allora porre f(z₀) = a₀.

2) Soltanto un numero finito di coefficienti b_k è diverso da 0. In tal caso la singolarità z₀ è detta polo di ordine n, dove n corrisponde al più alto coefficiente non nullo, ossia 

I coefficienti con k < n possono essere anche tutti nulli.

Dunque si avrà un polo semplice se solo b₁ ≠ 0, un polo doppio se b_k = 0 ∀k > 2, ecc.

Un modo di identificare un polo di f(z) senza avere disponibile il suo sviluppo di Laurent è di esaminare

per vari n interi.

Il più piccolo intero n per il quale tale limite esiste (cioè è finito) fornisce l'ordine del polo in z = z₀.

Per esempio

ha un polo semplice in z = 2, mentre

ha un polo di ordine 3 in z = 2.

3) Un numero infinito di coefficienti b_k è diverso da 0. In tal caso la singolarità z₀ è chiamata essenziale. Nell'intorno di una singolarità essenziale la funzione manifesta un comportamento sorprendente e inaspettato, giacché può avvicinarsi arbitrariamente ad un qualsivoglia valore fissato. In altri termini, z₀ è una singolarità essenziale per f(z) se il limite di f(z), per z → z₀, non esiste! Ciò vuol dire appunto che si ottengono valori diversi a seconda della direzione lungo la quale "ci avviciniamo" al punto z₀. È questo il caso delle funzioni exp(1/z), sin(1/z), ecc. in z = 0.

Il comportamento di una funzione f(z) nell'intorno di una singolarità essenziale è ben descritto dal teorema di Casorati-Weierstrass:

"Fissato arbitrariamente un numero complesso w e 2 numeri reali ρ ed ε, nell'intorno di una singolarità essenziale esiste sempre un punto z per cui

"

Vale inoltre il teorema di Picard:

"Nell'intorno di una singolarità essenziale z₀, una funzione f(z), analitica in tutti gli altri punti, assume ogni valore complesso, con una sola possibile eccezione."

PUNTI DI DIRAMAZIONE:

Un punto z = z₀ è chiamato punto di diramazione ("branch point") di una funzione a valori multipli f(z) se i rami di f(z) sono interscambiabili quando z descrive un cammino chiuso intorno a z₀.

Un punto di diramazione è una singolarità non isolata.

Visto che ciascuno dei rami di una funzione a valori multipli è analitico, tutti i teoremi relativi alle funzioni analitiche sono validi.

Un esempio è 

che possiede un punto di diramazione in z = 0.

SINGOLARITÀ ALL'INFINITO:

Finora abbiamo esaminato il comportamento di una funzione f(z) in un generico punto z₀ o in suo intorno, supponendo implicitamente che tale punto fosse finito.

Ma cosa accadrebbe se considerassimo un punto all'infinito o un suo intorno?

È possibile estendere le considerazioni fatte al suddetto caso.

Definiamo innanzitutto intorno del punto all'infinito la regione del piano complesso esterna ad una circonferenza di raggio R.

Per studiare poi il comportamento di f(z) in un tale intorno effettuiamo il cambiamento di variabile 

dove quello strano simbolo al denominatore è la zeta greca.

Definendo la nuova funzione 

risulta ovvio che il punto z = ∞ è un punto regolare di f(z) se il punto ζ = 0 è un punto regolare di φ(ζ).

Notiamo poi che la serie di Taylor di f(z) valida nell'intorno del punto all'infinito si presenta sotto la forma:

e che la regione di convergenza di tale serie è la regione |z| > R, essendo R la distanza dall'origine della più lontana singolarità di f(z).

Il punto all'infinito sarà poi un polo di ordine n di f(z) se il punto ζ = 0 è un polo di ordine n di φ(ζ).

Ne segue che f(z) si comporta in tal caso alla stregua di zⁿ per z →∞.

Il punto z = ∞ è inoltre uno zero di ordine n di f(z) se tale risulta il punto ζ = 0 per φ(ζ) e, di conseguenza,

quando z tende a infinito.

Il punto z = ∞ risulta infine essere una singolarità essenziale di f(z) se ζ = 0 è una singolarità essenziale di φ(ζ).

Dal punto di vista topologico, il piano complesso unito al punto all'infinito è equivalente alla superficie di una 2-sfera, la sfera di Riemann, la più semplice tra le superfici di Riemann compatte.

Da Wikipedia:

Per concludere, vediamo un esempio:

 

essa ha un polo di ordine 2 in z = ∞, giacché

ha un polo di ordine 2 in ζ = 0.

Di seguito un'ottima tabella riassuntiva delle singolarità:

Per il momento ci fermiamo qui; il prossimo appuntamento riguarderà la classificazione delle funzioni monodrome.