Prima di cominciare, ecco l'elenco delle puntate precedenti:
- puntata 0: "Viaggio nell'≪immaginario≫ mondo dei numeri complessi";
- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa";
- puntata 3: "La rappresentazione integrale di Cauchy";
- puntata 5: "Analisi complessa: zeri e singolarità";
- puntata 6: "La classificazione delle funzioni monodrome";
- puntata 7: "Analisi complessa: residui";
- puntata 8: "Il valore principale di Cauchy";
- puntata 9: "Analisi complessa: lemma di Jordan e lemmi minori".
Partiamo considerando 2 funzioni f(z) e g(z) analitiche rispettivamente nei domini Df e Dg.
Assumiamo valida inoltre la condizione f(z) = g(z) su un sottoinsieme, quantomeno numerabile, di punti di Df ∩ Dg.
Allora la funzione
risulta analitica in Df ∪ Dg e viene chiamata continuazione analitica o prolungamento analitico di f(z) in Dg, ovvero di g(z) in Df.
Il prolungamento analitico consente di definire una funzione sull'intero piano complesso, a esclusione dei punti singolari.
In verità, alcune funzioni esibiscono delle "barriere di analiticità", ossia dei domini oltre i quali non possono essere continuate analiticamente, come accade, per esempio, a
Essa non può essere infatti prolungata al di fuori del disco di raggio 1, poiché divergente su un sottoinsieme denso di punti del bordo.
Al fine di ottenere un prolungamento analitico di una funzione si sfruttano varie tecniche.
Tra esse è decisamente meritevole di menzione il prolungamento secondo Weierstrass, che consiste nel procedere per cerchi attraverso successivi sviluppi di Taylor.
Dato infatti uno sviluppo in un cerchio D₀ di centro z₀, si costruisce un nuovo sviluppo centrato intorno a z₁ ∈ D₀, con z₁ ≠ z₀.
Se il nuovo cerchio possiede una porzione esterna al precedente, si ottiene un prolungamento in un dominio più grande di quello iniziale.
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| Prolungamento analitico di una funzione analitica lungo una curva γ(t) del piano |
Il modo più efficace consiste tuttavia nel trovare rappresentazioni di una stessa funzione valide in domini differenti da quello in cui la funzione viene definita.
Ad esempio, si consideri f(z) definita mediante la serie geometrica
Tale funzione è analitica attorno all'origine, visto che la serie di potenze converge per |z| < 1.
Sul disco unitario possiamo pure sommare la serie, ottenendo
Ovviamente la funzione 1/(1-z) coincide con f(z) solo laddove la serie converge.
Tuttavia, essa risulta analitica in tutto il piano complesso, se si esclude il polo semplice z = 1.
Tirando le fila del discorso, la funzione 1/(1-z) è un prolungamento analitico a tutto il piano complesso ℂ (escluso z = 1) di f(z).
Si osservi inoltre che la serie di Taylor intorno all'origine converge SOLTANTO nel cerchio unitario per via del polo semplice nel punto z = 1.
Se, per esempio, andassimo a considerare lo sviluppo intorno al punto z = -2, la serie sarebbe
che risulta convergente per |z+2| < 3.
A seconda della natura della funzione, può accadere che il prolungamento analitico sia:
- unico, oppure
- dia luogo a valori diversi di una funzione in uno stesso punto, qualora si proceda attraverso successioni distinte di domini che circondino regioni di "non analiticità". In tal caso la funzione si dice polidroma o a più valori.
In sostanza, in tal caso abbiamo a che fare con una funzione polidroma.
Questo fatto di aver ottenuto 2 diverse determinazioni della funzione considerata significa che nel processo di prolungamento si è passati intorno ad un punto singolare della funzione, il quale viene chiamato punto di diramazione (in inglese "branch point") o di polidromia.
Abbiamo già anticipato qualcosa a tal proposito qui.
Andiamo quindi ad approfondire la questione.
Diciamo innanzitutto che per ogni intorno del punto z₀, esiste sempre una circonferenza di centro z₀ e raggio ε > 0 tutta contenuta nell'intorno
Il punto z₀ è detto di diramazione per una funzione f(z) se, per ogni intorno di z₀ e ogni circonferenza scelta come appena visto, risulta:
I punti di diramazione sono appunto esempi di punti singolari relativi alle funzioni polidrome.
In essi la funzione non è necessariamente infinita, tuttavia cessa di essere analitica!
Prototipi di funzioni polidrome sono le potenze non intere e il logaritmo.
Consideriamo infatti, per esempio, la funzione
e scriviamola come
Se la curva γ su cui è fatto l'integrale non gira attorno all'origine (unico punto singolare della funzione integranda), si avrà allora:
La sottolineatura va a designare un'arbitraria, ma ben definita, determinazione del logaritmo, che scegliamo qui come quella per cui vale ln 1 = 0.
Ma cosa succede invece se la curva su cui integriamo è una curva γn che gira n volte intorno all'origine (in verso positivo per n positivo e in verso negativo per n negativo)?
Ricordiamo che
allora si constata che
Ora, siccome la funzione
può essere assunta come definizione della funzione ln z, da ciò consegue che la funzione
è a infiniti valori.
In altre parole, l'origine rappresenta un punto di diramazione della funzione ln z.
Da Wikipedia riprendiamo la seguente splendida illustrazione:
Ponendo ora z = 1/z' (che scambia fra loro l'origine e il punto all'infinito) è facile rendersi conto che pure z = ∞ è un punto di polidromia di ln z e che (a parte i 2 punti di diramazione) la funzione ln z è dappertutto regolare.
La complicazione presentata dai molti valori di una funzione polidroma può essere però superata mettendo i valori che una tale funzione assume non più in corrispondenza con i punti del piano complesso, bensì in corrispondenza biunivoca con i punti di una superficie diversa: la superficie di Riemann, costruita ad hoc per ogni funzione polidroma.
Come diavolo si costruisce una superficie di Riemann?
Il tentativo di attraversare il taglio, sulla figura così sviluppata, equivarrà al passaggio da un piano ad un altro piano ad esso adiacente.
La figura geometrica, costruita con la suddetta sovrapposizione e saldatura di piani tagliati, prende appunto il nome di superficie di Riemann della funzione considerata (nel nostro caso il logaritmo) e ciascun piano viene detto foglio di Riemann.
Una funzione a un sol valore φn(z), definita sull'n-esimo foglio di Riemann, è una diramazione della funzione completa φ(z), la quale è a molti valori ed è definita sulla superficie di Riemann.
In tal maniera, partendo da una sequenza di funzioni a un singolo valore, ciascuna delle quali definita in un singolo piano complesso tagliato (foglio di Riemann), si ottiene una funzione continua ad un solo valore, definita su una superficie di Riemann.
La potenza della nozione di superficie di Riemann sta nel fatto che essa consente di applicare le dimostrazioni dei teoremi fondamentali inerenti alle funzioni analitiche pure alle funzioni polidrome.
Senza di essa, infatti, le dimostrazioni verrebbero meno, a causa delle ambiguità relative alla natura delle funzioni polidrome.
Al contrario, quando si va a pensare ad una funzione polidroma come ad una funzione definita sulla propria superficie di Riemann, è facile notare che tutte le considerazioni effettuate riguardanti le funzioni analitiche continuano a valere, a patto di classificare i punti di diramazione tra i punti singolari della funzione considerata.
D'altronde, la localizzazione e la tipologia dei punti di diramazione determinano completamente la superficie di Riemann della funzione in analisi.
Si può fornire una semplice interpretazione geometrica per i branch points.
Compiendo infatti un giro attorno ad un punto di diramazione, si passa ad un nuovo foglio di Riemann, ove la funzione assume un diverso valore rispetto a quello iniziale.
Viceversa, un cammino chiuso completo che non contenga alcun punto di diramazione riconduce al punto di partenza sulla superficie di Riemann e riporta la funzione al suo valore iniziale!
I punti di polidromia vengono classificati in base al loro ordine.
Si dice che un punto di diramazione è di ordine n se, compiendo n + 1 giri completi intorno ad esso, la funzione ritorna al suo valore iniziale.
Se ciò non accade mai, l'ordine viene detto infinito.
Quest'ultimo caso è ciò che si verifica per la nostra funzione logaritmo.
Parliamo brevemente di un altro importante esempio di funzione polidroma: la funzione radice quadrata
Trattasi di una funzione polidroma a 2 valori, con punti di polidromia del 1° ordine in z = 0 e z = ∞.
Infatti, scrivendo z in coordinate polari, ovvero
si ha che
e, cominciando a considerare il punto z = 0, se effettuiamo un giro completo attorno ad esso, se cioè compiamo la sostituzione
si ricava
Pertanto, effettuando un singolo giro intorno all'origine la funzione cambia segno e perciò valore.
Se tuttavia si compiono 2 giri attorno all'origine si ha che:
e la funzione ritorna al proprio valore originario.
Tutto ciò dimostra che l'origine è un punto di diramazione del 1° ordine.
Procedendo poi con la sostituzione standard z' = 1/z e analizzando il comportamento della funzione
nell'intorno del punto z' = 0, si constata subito che pure il punto z = ∞ è un punto di polidromia del 1° ordine e che, ad eccezione dei 2 punti di diramazione, la funzione radice quadrata risulta regolare dappertutto.
La superficie di Riemann della suddetta funzione consiste di 2 soli fogli, come illustrato nella seguente immagine:
Per convenzione, si taglia il piano di z lungo il semiasse reale positivo e si assume per la funzione sul bordo superiore del taglio, nel 1° foglio di Riemann, il valore
ove col simbolo di radice quadrata intendiamo il valore aritmetico di tale radice.
Naturalmente sul bordo superiore del taglio nel 2° foglio di Riemann si avrà:
Sul bordo inferiore del taglio nel 1° foglio si avrà allora:
Ne consegue che la discontinuità della funzione attraverso il taglio sarà:
Nel caso della funzione radice quadrata si ha dunque che la discontinuità della funzione attraverso il taglio risulta pari a 2 volte la funzione stessa!
Per il momento ci fermiamo qui.
La prossima puntata (che sarà anche l'ultima della serie) riguarderà le funzioni gamma e beta di Eulero.
Questa rappresenterà una sorta di preambolo a un importante evento che verrà organizzato sul blog Scienza e Musica a maggio: il Carnevale della Matematica n.129.
Tra qualche giorno, a seguito del Carnevale n.128 (che sarà ospitato da Roberto Natalini su MaddMaths! e a cui parteciperà il presente post sulle funzioni polidrome!), forniremo maggiori dettagli sull'edizione numero 129 nella prima call for papers ufficiale.
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