domenica 11 febbraio 2018

GEOMETRIE NON EUCLIDEE: I MODELLI DI RIEMANN, KLEIN E POINCARÉ

Abbiamo già parlato di geometrie non euclidee in questo blog, in particolare qui.
Nel presente post andremo ad approfondire un po' la questione.
Incominciamo la narrazione con un preambolo storico-filosofico.
Per tutto il XVIII secolo la geometria euclidea, insieme alla teoria della dinamica newtoniana, fu considerata quanto di più saldo vi potesse essere nella conoscenza scientifica.
È emblematico il fatto che
Immanuel Kant (1724-1804), uno dei più influenti filosofi dell’epoca, nel tentativo di fondare su basi certe la nostra conoscenza del mondo fenomenico, avesse individuato proprio in questi 2 pilastri la base per attribuire allo spazio e al tempo il carattere di intuizioni a priori, preliminari ad ogni forma di conoscenza empirica.

Nella sua Critica della ragion pura, pubblicata nel 1781, Kant si esprimava così: "Lo spazio non è un concetto empirico, ricavato da esperienze esterne..., è una rappresentazione necessaria a priori, la quale serve di fondamento a tutte le intuizioni esterne".
E a proposito del ruolo che il suo concetto di spazio gioca nell’ambito della matematica, Kant aggiungeva:
“Se questa rappresentazione dello spazio fosse un concetto raggiunto a posteriori, risultante dalla generale esperienza esterna, i primi princìpi della matematica risulterebbero accidentali, e non sarebbe perciò necessario che fra 2 punti ci sia solo una linea retta, ma dovrebbe insegnarcelo ogni volta di nuovo l’esperienza”.
Tutto lasciava dunque pensare che le nuove idee sulle geometrie non euclidee sarebbero state accolte con scetticismo e diffidenza, se non addirittura con ostilità.
Di ciò era sicuramente consapevole il più grande matematico dell’epoca, il tedesco
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), il quale, pur avendo riconosciuto la possibilità di formulare geometrie alternative, non pubblicò i propri risultati, onde evitare di sentire “le strida dei beoti”.  

Nella prima metà dell’Ottocento toccò a 2 matematici poco noti, operanti al di fuori degli ambienti più accreditati, esplicitare le possibilità di costruire una geometria non euclidea. 
Stiamo parlando di János Bolyai e di Nikolaj IvanoviLobaevskij
Sia Lobaevskij nel suo trattato Nuovi principi della geometria con una teoria completa delle parallele del 1835, sia Bolyai, con l'appendice del Tentamen (grandiosa opera del padre Wolfgang, noto anche come Farkas Bolyai, anch'egli matematico e collega di Gauss), hanno sviluppato, in maniera indipendente, la cosiddetta GEOMETRIA IPERBOLICA
Essa è stata così denominata prendendo spunto da una classificazione introdotta dal matematico tedesco Felix Klein (1849-1925), in cui la geometria euclidea è detta PARABOLICA.
Sia Lobaevskij che Bolyai considerarono la loro geometria come un esercizio della mente, qualcosa che ha un senso solo nell’immaginazione e che non ha necessariamente un riscontro fisico nel mondo osservabile; e questo fu senza dubbio uno dei limiti del loro lavoro.
Dall’altra parte vi era il
problema della coerenza: tutte le ricerche compiute fino ad allora avrebbero potuto rivelarsi prive di senso se si fosse riscontrata una qualche contraddizione nella teoria.
Loba
evskij e Bolyai si erano accorti di tale problema, ma nessuno di essi era stato capace di risolverlo appieno.
Per i matematici del XIX secolo, l’unica geometria coerente era quella euclidea e così, per risolvere il problema, si pensò di costruire dei
modelli di geometrie non euclidee in modo da poterli confrontare con quelli della geometria euclidea.
Tornando a Loba
evskij, egli usò come strumento fondamentale per lo studio della geometria non euclidea la trigonometria immaginaria, che si ottiene da quella solita sostituendo gli angoli reali con angoli immaginari. 

Il primo a svilupparla era stato (simultaneamente e indipendentemente da Vincenzo Riccati) Johann Heinrich Lambert (1728-1777) in una memoria del 1761, ma egli non si era accorto del legame con la propria geometria immaginaria.
Questo legame era stato notato da
Franz Taurinus nel 1826, che però considerava solo come curiosità la geometria e la trigonometria immaginarie.
Loba
evskij vide invece non solo il loro reciproco legame, ma anche il loro comune interesse intrinseco.
Bolyai, dal canto suo, andò ancora un passo oltre e sviluppò una
trigonometria assoluta, indipendente da assunzioni sulle parallele. 

Essa si specializza nella trigonometria solita se si assume il postulato delle parallele, e in quella immaginaria se si assume la sua negazione.
La possibilità di questa formulazione assoluta sta nel fatto che le 2 trigonometrie si ottengono in maniera analoga, da 2 curve che si equivalgono dal punto di vista proiettivo: rispettivamente, il cerchio e l’iperbole equilatera.

Per questo motivo, si parla nel secondo caso di trigonometria iperbolica, e dunque anche di geometria iperbolica.


 







   
Le 2 funzioni trigonometriche iperboliche fondamentali si chiamano, ovviamente, seno e coseno iperbolico, e si indicano rispettivamente con sinh e cosh: le notazioni sono abbreviazioni di sinus e cosinus hyperbolicus, e furono introdotte da Lambert nelle Osservazioni analitiche del 1771.
Gauss, Lobaevskij e Bolyai si erano resi conto che il postulato euclideo delle parallele non poteva essere dimostrato sulla base degli altri postulati e che esso era necessario per fondare la geometria euclidea.
Poiché il postulato delle parallele risultava indipendente, doveva quindi essere possibile, almeno dal punto di vista logico, adottare un enunciato che lo contraddicesse e sviluppare le conseguenze del nuovo insieme di assiomi.
Per studiare il contenuto tecnico delle loro scoperte tanto vale prendere in considerazione l’opera di Loba
evskij, giacché tutti e 3 fecero praticamente le stesse cose (con l’unica differenza che Gauss si limitò a studiare privatamente la geometria non euclidea e non pubblicare opere inerenti ad essa).
Loba
evskij diede numerose versioni che differiscono soltanto nei dettagli.
Come base per la nostra analisi ci serviremo del lavoro del 1835-37.
Poiché, come negli
Elementi di Euclide, si possono dimostrare molti teoremi che non dipendono affatto dall’assioma delle parallele, tali teoremi sono validi anche nella nuova geometria.
Lobaevskij dedica i primi 6 capitoli del suo lavoro alla dimostrazione di questi teoremi fondamentali.
Egli assume all’inizio che lo spazio sia infinito e può poi dimostrare che 2 rette non possono intersecarsi in più di un punto e che 2 perpendicolari alla stessa retta non possono intersecarsi.
Nel settimo capitolo Loba
evskij respinge bravamente il postulato euclideo delle parallele e fa la seguente assunzione: dati una retta AB e un punto C, le rette per C si dividono in 2 classi rispetto ad AB, e cioè:


- la classe delle rette che incontrano AB;
- la classe delle rette che non la incontrano.
   

A quest’ultima appartengono 2 rette p e q che costituiscono il confine fra le 2 classi. Queste 2 rette sono dette parallele
















Più precisamente, se C è un punto a distanza a dalla retta AB, allora esiste un angolo π(a)
[si precisa che la notazione utilizzata non ha alcun riferimento con il numero π ] tale che tutte le rette per C che formano con la perpendicolare CD un angolo minore di π(a) intersecheranno AB, mentre tutte le altre rette per C non intersecheranno AB.
Le 2 rette che formano l’angolo 
π(a) con AB sono parallele e π(a) è chiamato angolo di parallelismo.
Le rette per C diverse dalle parallele e che non incontrano AB sono dette
linee non intersecanti, anche se, nel senso di Euclide, esse sono parallele ad AB, e pertanto in tal senso la geometria di Lobačevskij contiene un numero infinito di parallele passanti per C.
Se 
π(a) = π/2 si ha il V postulato di Euclide.
In caso contrario, ne segue che:

  • π(a) cresce e tende a π/2 quando a tende a 0; 
  • π(a) decresce e tende a 0 quando a diventa infinito.
Inoltre, la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di π , decresce quando l’area del triangolo cresce e tende a π quando l’area tende a 0.
Se 2 triangoli sono simili, allora sono congruenti. 
Lobaevskij affronta poi, come già anticipato, l’aspetto trigonometrico della sua geometria.
Il primo passo è la determinazione di π(a). 
Il risultato, se un angolo giro è uguale a 2π, è:

 


 
da cui segue che:
 



In realtà quella appena fornita è una formulazione particolare.
Infatti, in un lavoro datato 1840, Lobačevskij fornisce la formula che viene solitamente utilizzata nei testi moderni e che è contenuta anche nelle formulazioni di Gauss e Bolyai, ossia:

 



dove k è una costante che viene detta costante spaziale.
Dal punto di vista teorico il valore di k è assolutamente irrilevante.

Comunque sia, la relazione definita è importante, in quanto a ogni lunghezza x associa un angolo definito π(x) .
Se per esempio x = 1, si ha (in base alla prima versione della formula)

 




e quindi π(1) = 40° 24.  
L’unità di lunghezza è perciò quella lunghezza il cui angolo di parallelismo è pari a 40° 24. 
Questa unità di lunghezza non ha un significato fisico diretto.
Dal punto di vista fisico può essere uguale a un centimetro o a un chilometro.
Bisognerà scegliere l’interpretazione fisica che renda applicabile la geometria.
Loba
evskij deduce poi le formule che legano fra loro i lati e gli angoli dei triangoli piani della sua geometria.
In un lavoro del
1834 aveva definito cos x e sin x, per x reale, come le parti reale e immaginaria di eix.

L’obiettivo del matematico russo era quello di dare una fondazione puramente analitica alla trigonometria, in modo da renderla indipendente dalla geometria euclidea.
Le
principali formule trigonometriche della sua geometria sono le seguenti:









 
Queste formule sono valide nella trigonometria sferica ordinaria purché i lati abbiano lunghezze immaginarie.
In altri termini, se si sostituiscono
a, b, c nelle formule usuali della trigonometria sferica con ia, ib, ic, si ottengono le formule di Lobaevskij.

Poiché le funzioni trigonometriche degli angoli immaginari possono essere sostituite dalle funzioni iperboliche, ci si potrebbe aspettare di veder comparire queste ultime funzioni nelle formule di Lobaevskij.
Esse possono essere introdotte servendosi della relazione

 

   
Nel suddetto modo la prima delle formule precedenti diventa:





   
Inoltre, mentre nella geometria sferica usuale l’area di un triangolo di angoli A, B, C è uguale a r2(A + B + C π), nella geometria iperbolica essa è uguale a

r 2[π (A + B + C )], il che equivale a sostituire il raggio r della sfera con ir nella formula usuale.
Servendosi di un triangolo infinitesimo, Lobaevskij aveva derivato nel suo primo lavoro (datato 1829-30) la formula

 






per l’elemento d’arco di una curva di equazione y = f (x) nel punto (x, y)
Sfruttandola, è possibile calcolare la lunghezza della circonferenza di un cerchio di raggio r, che risulta essere uguale a:

 

   
Analogamente, il valore dell’area del cerchio risulta essere uguale a:

 


 
Il matematico fornisce anche dei teoremi sulle aree di regioni piane e curve e sui volumi dei solidi.
Le formule della geometria euclidea seguono da quelle non euclidee quando le grandezze in gioco sono piccole.

Così, se si usa il fatto che

 



   
e si trascurano, per r piccolo, tutti i termini tranne i primi due, si ottiene ad esempio:






GEOMETRIA SFERICA: IL MODELLO DI RIEMANN (1826-1866)


39 anni: Bernhard Riemann muore giovane, ma non senza aver rivoluzionato radicalmente la matematica, dandole nuovo respiro, fondandone nuove branche e introducendo concetti che travalicheranno l’ambito della disciplina per costituire l’ossatura della teoria della relatività generale.
Timido e gracile, ha un destino già segnato come pastore luterano, sulle orme del padre. Fortunatamente, il suo talento matematico lo impone fin da bambino all’attenzione degli insegnanti, che lo indirizzano alla classe di scienze del ginnasio, incoraggiandolo poi a studiare matematica all’università, cosa che fa tra Gottinga e Berlino, sotto la guida di eminenti matematici quali Jacobi e Dirichlet.
Basta aprire un testo universitario di matematica a caso per trovare qua e là il nome di Riemann: integrale di Riemann, equazioni di Cauchy-Riemann, superfici di Riemann, geometria riemanniana, funzione zeta di Riemann, varietà riemanniane sono alcuni dei suoi contributi più rilevanti.
Non male per un giovane tisico, ricoverato periodicamente in uno dei sanatori italiani, la cui opera omnia consiste in un pugno di pubblicazioni che raccolte insieme occupano poche centinaia di pagine.
Opere assai dense e varie però.

Persino Gauss, che non era affatto tenero nel giudicare i colleghi, rimane sbalordito di fronte alla “mente creativa, attiva, veramente matematica, e l’originalità mirabilmente feconda”, che traspare dalla tesi di dottorato di Riemann, discussa a Gottinga nel 1851. Impressione confermata in occasione dell’esame di libera docenza, sostenuto da Riemann a Gottinga 3 anni dopo.
In tale circostanza Riemann tiene una conferenza, Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria, che segna l’atto di nascita della geometria differenziale moderna, oltre che della teoria di Einstein.
Le ipotesi di cui parla nel titolo della dissertazione sono “i fatti più semplici” che possono consentire di capire quale sia la geometria dello spazio in cui viviamo.
Introdotto un punto di vista più generale (il concetto di
grandezza n-estesa), Riemann interpreta lo spazio in cui viviamo come un caso particolare di grandezza estesa in 3 dimensioni.

Per capire quali ne siano la geometria e le leggi che la governano, è necessario far appello all’esperienza: il sistema euclideo sembra quello più adatto, ma i fatti semplici su cui si basa “come tutti i fatti, non sono necessari, ma hanno soltanto certezza empirica, sono soltanto ipotesi”.
Riemann vuole specificare che le misurazioni che possiamo effettuare ci confermano che alla nostra scala il sistema euclideo è il più adeguato per descrivere la realtà: non è detto, però, che lo sia nell’interpretazione di fenomeni macroscopici e microscopici, per i quali può essere necessario introdurre altri “sistemi di ipotesi”.
In particolare,
tra i candidati alternativi, Riemann descrive l’«insieme di fatti semplici» che governa la geometria della sfera, riconoscendolo come un modello per la geometria non euclidea di tipo ellittico. 

Lo spazio ambiente della geometria sferica è X = punti di una sfera.
In particolare:

 

Le “rette” sono le geodetiche su X (ovvero le linee di minima lunghezza tra 2 punti di X).
Nello specifico, le “rette” sono circonferenze massime, cioè circonferenze che si ottengono intersecando le sfere con piani passanti per l’origine O.
Tutti i meridiani sono “rette”.
L’unico parallelo che è una geodetica è l’equatore.






















Elenchiamo alcune proprietà essenziali della geometria sferica:

 1) La somma degli angoli interni di un triangolo è variabile ed, in particolare, maggiore di 180°.


 2)
   



3) vale il postulato 1 di Euclide: per due punti diversi di X = 2-sfera, passa una e una sola retta.

4) non vale il postulato 2, perché ogni retta ha lunghezza finita.

5) valgono i postulati 3 e 4.

6)  non vale il V postulato di Euclide. N.B: questo basta per affermare che il V postulato non è conseguenza dei primi 4. Tale postulato non vale poiché 2 circonferenze massime della 2-sfera si intersecano in 2 punti.














7) sulla 2-sfera non c’è la teoria della similitudine, giacché abbiamo 4 criteri di congruenza dei triangoli sferici: 

i) 2 triangoli sferici sono congruenti se hanno 2 lati e l’angolo compreso congruenti;
ii) 2 triangoli sferici sono congruenti se hanno un lato e i 2 angoli adiacenti congruenti;
iii) 2 triangoli sferici sono congruenti se hanno i 3 lati corrispondenti congruenti;
iv) 2 triangoli sferici sono congruenti se hanno i 3 angoli corrispondenti congruenti. N.B: questo criterio nega l’esistenza di triangoli simili sulla sfera.


8) metrica della sfera:


Questo è il tensore metrico (campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà, ossia uno spazio topologico localmente simile allo spazio euclideo n- dimensionale) della geometria sferica, che risulta differente da quello della geometria euclidea piana, cioè: ds2 = dx2 + dy2.





TEOREMA:
IL MODELLO DI GEOMETRIA IPERBOLICA DI FELIX KLEIN (1849-1925)

Di Klein e della sua concezione della geometria si è parlato approfonditamente qui.
Scopriamo pertanto subito il suo modello di geometria iperbolica.
Il nostro spazio ambiente è:




I “punti” della geometria sono i punti interni al cerchio unitario (escluso il bordo).

Le “rette” di X sono le corde.
Di seguito alcune proprietà fondamentali del modello di Klein di geometria iperbolica:

1) Vale il postulato 1: per due punti A B passa una sola “retta”.

2) Valgono i postulati 2, 3 e 4. Tuttavia, non vale il V postulato di Euclide. Nella geometria iperbolica c’è più di una parallela, mentre nella geometria sferica non ce ne sono.

3) Tensore metrico nel modello di Klein:





4) Consideriamo la seguente figura
















La figura evidenzia che le rette per P si possono suddividere in 3 classi, a seconda della loro posizione rispetto a r:
Pur consentendo di visualizzare molto facilmente le rette secanti, parallele e iperparallele, il modello di Klein ha 2 difetti, che riguardano rispettivamente la lunghezza delle corde e la misura degli angoli.
Guardiamo infatti
le corde: queste presentano tutte lunghezza (euclidea) finita e minore del diametro.

E questo, oggettivamente, è fastidioso, perché noi vogliamo che rappresentino le rette del piano iperbolico e che, come tali, abbiano lunghezza infinita!
Per quanto riguarda gli angoli, inoltre, concentriamoci sul triangolo PAB della figura precedente: esso rappresenta la traduzione di un triangolo iperbolico, ma coincide di fatto con un triangolo euclideo interno al cerchio, e come tale ha somma degli angoli interni pari a 180°.

Dal momento che in un triangolo iperbolico tale somma deve essere minore di 180°, la misura iperbolica degli angoli deve essere differente da quella euclidea: per esprimere tale particolarità si dice che il modello di Klein non è conforme.
In sostanza, dunque, il modello di Klein non consente di “vedere” le lunghezze dei segmenti e le misure degli angoli.

In particolare, dati 2 segmenti o 2 angoli nel suddetto modello, non sappiamo dire se sono uguali.

I 2 MODELLI DI GEOMETRIA IPERBOLICA DI POINCARÉ (1854-1912)

L’ultimo scienziato universale, un enorme serbatoio di forze intellettuali immagazzinate, un poeta dell’infinito, bardo della scienza: una piccola carrellata di definizioni per presentare Jules Henri Poincaré.
Figlio di Léon, professore universitario di Medicina e di Marie Pierrette Eugénie Launois, il bambino Poincaré dimostra subito una brillantezza intellettuale straordinaria, accompagnata da una prestanza fisica non proprio all’altezza, stando ad Eric T. Bell: 


“Egli parlò prestissimo, ma molto male perché anche allora, come in seguito, il suo pensiero correva più rapido delle parole che dovevano esprimerlo. Fin dall’infanzia, la coordinazione dei suoi movimenti era mediocre: quando cominciò a scrivere, i suoi si accorsero che scriveva e disegnava male tanto con la mano destra che con la sinistra.” 

Fisicamente un po’ svantaggiato, manualmente inetto e con la testa tra le nuvole: la descrizione del nerd con cui l’immaginario collettivo identifica il matematico tipico.
Ma non si tratta affatto di un matematico tipico:
Henri Poincaré rappresenta un esempio quasi unico nella storia della matematica e più in generale della scienza, sia per la vastità dei suoi interessi, sia per la profondità del suo ingegno.
Si occupa di tutte le branche della matematica, producendo capolavori in ognuna e originando addirittura nuove discipline, quali la
topologia algebrica e la teoria del caos.

Notevolissimi i suoi contributi in molti campi della matematica applicata, quali ottica, elettricità, telegrafia, capillarità, elasticità, termodinamica, teoria del potenziale, teoria dei quanti, teoria della relatività, cosmologia, astronomia, meccanica celeste, teoria della luce e delle onde elettromagnetiche.
Se non ciò non bastasse, egli era anche un
ottimo e appassionato divulgatore, autore di articoli e libri rivolti a un pubblico di non esperti, in un momento storico in cui la scienza è tutt’altro che un soggetto popolare in Francia.
Tra i suoi interessi vi furono pure la filosofia della matematica e della scienza.
Scopriamo ora i modelli di Poincaré di geometria iperbolica.
 
1° MODELLO (MODELLO DEL SEMIPIANO) 

Per visualizzare il modello del piano iperbolico di Poincaré detto del semipiano, immaginiamo di tagliare a metà il piano euclideo con una retta: per semplicità, lo facciamo con l’asse delle ascisse, ma ogni altra retta andrebbe ugualmente bene.
Consideriamo adesso uno dei 2 semipiani individuati dalla retta, diciamo quello superiore, e immaginiamolo fatto di un materiale trasparente, tipo vetro o plastica, la cui densità sia massima vicino all’asse delle ascisse, e diminuisca progressivamente man mano che ce ne allontaniamo.
Se immaginiamo la retta come la traiettoria percorsa da un raggio di luce nel materiale, otterremmo
rette di 2 tipologie: 


- semirette parallele all’asse y oppure
- semicirconferenze con centro sull’asse
x e che tagliano ortogonalmente l’asse x.
 
Entrando nello specifico, il nostro spazio ambiente sarà:





 
Nel suddetto modello valgono tutti i primi 4 postulati, ma non il 5°, giacché le rette
parallele sono tante


 















2° MODELLO (MODELLO DEL DISCO)

Con una traduzione un po’ più complessa del concetto di retta otteniamo un altro modello del mondo iperbolico, ambientato, alla stregua del modello di Klein, all’interno di un cerchio unitario Ω: il modello del disco di Poincaré.
“Disco” è il nome che i matematici danno al suo supporto, ovvero all’interno del cerchio unitario.

Supponiamo, come suggeriva lo stesso Poincaré, che Ω sia abitato da una popolazione di esseri bidimensionali, che vivono immersi in uno strano gas, capace di provocarne il restringimento man mano che si allontanano dal centro.
Immaginiamo, cioè, uno di questi omini in piedi nel centro del disco con una riga lunga un metro in mano, che si appresta a camminare lungo uno dei suoi raggi.
A mano a mano che si allontana dal centro, la riga che ha in mano si accorcia sempre più, secondo la regola:
 
lunghezza della riga a distanza r = 1 - r2.

L’omino, tuttavia, non si accorge di nulla, perché anche lui è immerso nel gas e quindi, camminando dal centro verso il bordo, diventa pure lui sempre più piccolo, accorciandosi e affilandosi secondo la medesima regola, proporzionalmente alla sua riga.



















I raggi di luce che si propagano tra 2 punti interni al disco seguiranno sempre il percorso più breve:

- se i 2 punti si trovano su un diametro del disco, il raggio di luce descriverà il diametro stesso
- altrimenti la densità del gas farà incurvare il raggio di luce e dal di fuori lo vedremo descrivere un arco di circonferenza che taglia il bordo del disco perpendicolarmente, con la “gobba” rivolta verso il centro (dal momento che i segmenti si allungano muovendosi dal bordo verso il centro).

Uno di questi omini si mette in testa di capire come è fatto il mondo in cui vive. Innanzitutto, il suo universo gli sembrerà infinitamente esteso: camminando chilometri e chilometri a partire dal centro, non arriverà mai, infatti, al bordo del disco, perché man mano che si allontana dal centro il suo metro si accorcia sempre di più, e lui diventa sempre più piccolo.
Non si accorgerà, dunque, di vivere in un disco, e avrà l’impressione di trovarsi in un piano, esteso all’infinito in tutte le direzioni.
Vorrà poi definire gli oggetti geometrici fondamentali: il punto e la retta.
Per quanto riguarda il punto forse, come Euclide, deciderà di definirlo “ciò che non ha parti”.
Per definire una retta potrà fare riferimento al percorso seguito da un raggio di luce o, analogamente, alla distanza più breve fra 2 punti.
Con questa definizione, si renderà presto conto che dati 2 punti c’è sempre una retta che li congiunge, e che tutti i segmenti si possono prolungare in rette che non finiscono mai.
Rette che a noi, dal di fuori, sembreranno diametri e archi di circonferenza ortogonali al bordo.
 

Fissato un punto, imparerà a tracciare circonferenze aventi centro in quel punto e raggio arbitrario: lo farà piantando un palo nel punto dato e ruotando attorno a esso tenendo un cordino di lunghezza pari al raggio.
Tali circonferenze a noi, che lo osserviamo dal di fuori, sembreranno un po’ bizzarre, col centro tanto più “scentrato” quanto più il palo è piantato vicino al bordo del disco.
Definirà poi parallele 2 rette che non si incontrano mai, e sarà in grado, fissati una retta r e un punto P che non le appartiene, di tracciare infinite parallele a r passanti per P.
Insomma, il geometra di questo strano mondo accetterà tutti i postulati di Euclide tranne il V.
La geometria che descrive il suo mondo è quella iperbolica, che lui accetterà come perfettamente naturale!
Descriviamo brevemente e in modo rigoroso quanto appena esemplificato.
Il nostro
spazio ambiente sarà: 








Le rette sono: 




















 

Concediamoci, per chiudere in bellezza, un momento di eccellenza musicale con la voce fuori dal comune di Dimash Kudaibergen nella sua interpretazione del brano "SOS d'un terrien en détresse" (altro che Sanremo...)!


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