IL VALORE PRINCIPALE DI CAUCHY

Andiamo avanti col nostro viaggio all'interno dell'analisi complessa.
Come al solito, riportiamo l'elenco delle puntate precedenti, che è sempre bene tener presente al fine di una comprensione ottimale di quanto vedremo tra poco:

- puntata 0: "Viaggio nell'≪immaginario≫ mondo dei numeri complessi";

- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa";

- puntata 3: "La rappresentazione integrale di Cauchy";

- puntata 4: "Le serie nel campo complesso: serie di Taylor e serie di Laurent";

- puntata 5: "Analisi complessa: zeri e singolarità";

- puntata 6: "La classificazione delle funzioni monodrome";

- puntata 7: "Analisi complessa: residui".

Bene, è giunto il momento di scoprire brevemente un altro concetto legato al nome di Cauchy, il quale, come abbiamo avuto modo di constatare man mano, è stato un grandissimo protagonista nell'ambito dell'analisi complessa.

Diciamo innanzitutto che talvolta un polo isolato risulta direttamente sul contorno di un'integrazione e ciò fa sì che l'integrale diverga.

Volete un semplice esempio?

Eccolo:

Il suddetto integrale reale risulta divergente a causa della singolarità logaritmica in x = 0.

D'altronde l'integrale indefinito di 1/x è ln x.

Tuttavia, l'integrale riportato può assumere significato se otteniamo una forma convergente quando lo rimpiazziamo con un limite della forma

Al fine di evitare problemi col logaritmo dei valori negativi di x, modifichiamo la variabile nel 1° integrale come y = - x; allora i due integrali avranno rispettivamente i valori

• ln δ - ln a
• ln b - ln δ

che sommati forniscono ln b - ln a.
Quello che è accaduto è che l'incremento verso +∞ (come la funzione 1/x si avvicina a 0 dai valori positivi di x) risulta compensato da una decrescita verso -∞ (come 1/x si avvicina a 0 dalle x negative).
Tale situazione è illustrata dalla seguente figura:

ATTENZIONE: la procedura effettuata non rende l'integrale originario






convergente.
Per far in modo che esso converga, sarebbe infatti necessario che

esista (il che significa che tale limite avrebbe valore unico) quando δ₁ e δ₂ si avvicinano a 0 in maniera indipendente fra loro.
Tuttavia, diverse "velocità" di avvicinamento a 0 da parte di δ₁ e δ₂ causerebbero un cambiamento nel valore dell'integrale.
Per esempio, se δ₂ = 2δ₁, allora una valutazione simile a






restituirebbe il risultato:




Il limite non avrebbe perciò un valore definito, confermando la nostra affermazione iniziale che l'integrale diverge.
Generalizzando, andiamo a definire il cosiddetto valore principale di Cauchy dell'integrale reale di una funzione f(x), con una singolarità isolata sul cammino di integrazione nel punto x₀, come il limite

Il valore principale di Cauchy viene normalmente designato precedendo il segno di integrale con la lettera P (o P.V.) oppure tracciando una linea orizzontale lungo il segno dell'integrale.
Andando più nello specifico, in base al dominio di integrazione e al tipo di singolarità della funzione integranda, il valore principale è definito nei seguenti modi:

• per un integrale doppiamente infinito:

• se la funzione integranda ha una singolarità in c ∈ ]a,b[, allora:

• se l'integrale è doppiamente infinito e la funzione integranda ha una singolarità in c ∈ ]a,b[, allora:

Vediamo un semplice esempio.

Si consideri l'integrale

Ora ricordando che






abbiamo

Sarebbe bello separare questa espressione per I in 2 termini, ma, se lo facciamo, ciascuna diventerebbe un integrale logaritmicamente divergente.
Tuttavia, se modifichiamo il range d'integrazione, originariamente (0, ∞), in (δ, ∞), l'integrale






rimane immutato nel limite di piccoli δ, mentre gli integrali

restano convergenti fin quando δ non sia precisamente 0.
Allora, riscrivendo il secondo dei 2 integrali, per raggiungere

vediamo che i 2 integrali che formano assieme I possono essere scritti (nel limite δ → 0⁺) come il seguente valore principale di Cauchy:






Abbiamo dunque constatato come il valore principale di Cauchy abbia notevoli implicazioni nell'ambito dell'analisi complessa.
Osserviamo adesso la seguente immagine che riassume quanto abbiamo spiegato:

Per il momento ci fermiamo qui; nel prossimo appuntamento scopriremo l'importantissimo lemma di Jordan ed ulteriori lemmi minori relativi all'integrazione complessa.