INTRODUZIONE ALL'INTEGRAZIONE COMPLESSA

Continuiamo il nostro viaggio nel mondo dell'analisi complessa, iniziato qui.
L'estensione del concetto di integrale ad un integrale nel piano complesso è praticamente immediata se si pensa alla classica definizione di integrale alla Riemann, ossia definito come un opportuno limite di una sommatoria.

Sia data una generica funzione (anche non olomorfa) continua f della variabile complessa z e sia data, nel piano z, una curva γ di equazione

con t parametro reale.
Consideriamo la porzione di curva compresa tra 2 punti A e B (eventualmente A ≡ B se la curva è chiusa) e dividiamo l'arco AB in un numero arbitrario n di parti, grazie a n - 1 punti di divisione




ponendo inoltre

All'interno di ciascun segmento di curva (di estremi z_{k - 1} e z_k) fissiamo poi un nuovo punto (che denotiamo con ζ_k) e definiamo la somma

ove f_k = f(ζ_k).
Se esiste il limite I di I_n, per n → ∞, in modo tale che per ogni k valga




e se tale limite è indipendente dal modo in cui sono stati scelti i punti z_k e ζ_k, allora diremo che esso è l'integrale di contorno di f(z), fra A e B, lungo la curva γ e scriveremo:





Riprendiamo ora la nostra formula






e separiamo z ed f nelle loro parti reali ed immaginarie:

Abbiamo così:










Il limite |z_k - z_{k - 1}| → 0 che porta alla definizione di I implica, per ogni k:
 



Ergo, I si può esprimere tramite ordinari integrali di linea (sempre sottintesa la curva γ) nel campo reale, come

Abbiamo così, per definizione, che:

 



In tal maniera l'integrazione nel campo complesso viene formalmente ricondotta ad integrazioni nel campo reale.

In generale, l'integrale appena scritto dipenderà dal cammino di integrazione e ciò preclude la possibilità di definire una primitiva di un'arbitraria funzione continua f(z), ovvero di dare senso al concetto di integrale indefinito per una generica funzione continua di variabile complessa.
Tra le proprietà dell'integrale complesso esteso ad una curva γ, citiamo:

i) linearità:

 




con c₁, c₂ numeri complessi;

ii) cambio di orientamento:






Specifichiamo che, per convenzione, le curve chiuse sono da intendersi percorse in verso positivo (antiorario), cioè il verso che "lascia alla sinistra" l'interno del dominio racchiuso.

iii) addittività rispetto al cammino di integrazione:

iv) disuguaglianza di Darboux:






dove:

• M = max |f(z)|, per z appartenente alla curva γ tra A e B;
• l = lunghezza dell'arco AB.

Per quanto concerne l'integrazione delle funzioni analitiche, è di fondamentale rilevanza il cosiddetto teorema di Cauchy.
Prima di scoprirlo, è necessario specificare cosa si intenda per curva regolare.
Una curva regolare è una curva continua con tangente definita (ossia rappresentata da una funzione continua insieme con le sue derivate prime), come, ad esempio, un cerchio.
Detto ciò, ecco l'enunciato del teorema di Cauchy:

"Sia γ una curva chiusa regolare a tratti nel piano complesso e sia f(z) analitica su γ ed entro l'intera regione racchiusa da γ. Allora vale la seguente relazione:

"




Tale teorema, nella sua forma originaria, richiedeva non solo che esistesse la derivata di f(z), ma che fosse pure continua!
Il matematico francese Edouard Goursat (1858-1936) ha mostrato che questo ultimo requisito non è necessario (non a caso il suddetto teorema è talvolta chiamato pure teorema di Cauchy-Goursat).
Sussiste un altro importante teorema, noto anche (impropriamente) come l'inverso del teorema di Cauchy: trattasi del teorema di Morera.
Giacinto Morera (1856-1909) è stato un matematico e ingegnere italiano noto, oltre per questo teorema, pure per il suo lavoro inerente all'elasticità lineare.
Ecco l'enunciato del teorema di Morera:

"Se f(z) è continua in un dominio D semplicemente connesso, e se lungo una qualsiasi curva chiusa γ, contenuta in D, si ha






allora f(z) risulta analitica in D."

Cosa si intende per dominio semplicemente connesso?
Una regione (o dominio) semplicemente connessa ha la proprietà che ogni semplice curva chiusa al suo interno possa essere continuamente ristretta (contratta) ad un punto, senza dover abbandonare la regione.
Una regione contenente fori, come per esempio una ciambella, non è semplicemente connessa.

Dunque, nell'immagine precedente, il dominio A risulta semplicemente connesso, mentre il dominio B non lo è.
Va notato che il teorema di Morera è equivalente all'affermazione ≪la derivata di una funzione analitica è anch'essa una funzione analitica≫.
Trattasi di un'affermazione importantissima, giacché ci specifica che una funzione analitica è infinitamente derivabile, entro il suo dominio di olomorfismo.
Questa "seconda puntata" sui rudimenti dell'analisi complessa termina qui; al prossimo appuntamento, con la rappresentazione integrale di Cauchy!