lunedì 9 marzo 2020

INTEGRALI CURVILINEI (DI SECONDA SPECIE), FORME DIFFERENZIALI E TEORIA DEL POTENZIALE

Nel precedente post (cliccate qui per leggerlo) abbiamo introdotto il concetto di curva regolare e abbiamo osservato cos'è un integrale curvilineo di prima specie.
Naturalmente esiste la nozione di integrale curvilineo di seconda specie, intimamente legata ad altri concetti tra cui le forme differenziali.
Prima però di parlare di tutto ciò è necessario focalizzarci ancora un attimo sulle curve.
L'altra volta avevamo detto che ad ogni curva γ è possibile associare un orientamento, tuttavia avevamo introdotto questo discorso facendo riferimento alla parametrizzazione della curva.
Per le applicazioni quali il calcolo del lavoro di un campo vettoriale lungo una curva (cioè, come vedremo, dell'integrale curvilineo di seconda specie), è decisamente più utile introdurre la nozione di orientamento di una curva in maniera intrinseca, cioè indipendente dalla parametrizzazione.
Diremo, nello specifico, che l'applicazione (vettoriale) continua




è un orientamento se:

1)



ove p è un punto del sostegno della curva γ. Questo significa che T è un versore.

2)

T(p) risulta tangente a γ in χ (lettera greca "chi"). In altri termini:





 funzione continua e derivabile, con I generico intervallo di ℝ, tale che:




Diremo inoltre che γ è una parametrizzazione compatibile con l'orientamento se:






T rappresenta, in sostanza, il versore tangente.
Si ricordi che gli orientamenti possibili sono naturalmente solo 2.
Dato che siamo praticamente pronti ad introdurre il concetto di integrale curvilineo di seconda specie, l'unico dettaglio che potrebbe essere utile ricordare è cos'è un campo vettoriale e per rinfrescare la memoria su tale argomento vi consiglio di cliccare qui.
Bene, consideriamo ora un campo vettoriale continuo



Sia poi γ curva orientata con orientamento T.
Nel dettaglio



con T tangente a γ.
Chiamiamo integrale curvilineo di seconda specie (detto pure integrale curvilineo lungo una curva orientata o anche lavoro del campo F lungo una curva orientata) del campo F lungo la curva γ il numero reale:






Nelle ultimi notazioni abbiamo voluto precisare con la freccia posta sopra F e il "cappello" sopra T il fatto che si trattassero rispettivamente di un vettore e di un versore, in modo da rendere chiaro che la notazione




denotasse il loro prodotto scalare, che produce appunto un numero (non un vettore).
Un'altra notazione tipica per indicare il suddetto integrale è la seguente:






 In maniera esplicita diciamo che se




è una parametrizzazione compatibile con l'orientamento, allora:














 
Ergo, l'integrale curvilineo di seconda specie si riduce al calcolo dell'integrale tra gli estremi a e b del prodotto scalare del campo vettoriale F (calcolato in γ(t)) per la derivata della curva γ parametrizzata.
Va specificato che l'integrale appena definito risulta indipendente dalla parametrizzazione compatibile con l'orientamento.
Una domanda legittima a questo punto potrebbe essere: cosa succede se cambiamo l'orientamento della curva?
Risposta: semplicemente cambia il segno dell'integrale. In simboli:






A questo punto la prassi sarebbe procedere con un chiaro esempio esplicativo di calcolo di un integrale curvilineo di seconda specie.
Prima di far ciò, tuttavia, vorrei procedere all'introduzione dell'importante concetto di forma differenziale, che, come vedremo, è intimamente legato ai campi vettoriali.
Cos'è una forma differenziale in parole povere?
È semplicemente un'integranda, cioè un'espressione che può essere integrata rispetto ad alcuni domini.
Per esempio, considerando l'integrale






in tal caso dx è una forma differenziale.
Naturalmente non tutte le integrande sono forme differenziali, come per esempio accade nel calcolo della lunghezza di un arco di curva o dell'area di una superficie.
Ottima è la spiegazione che Wikipedia fornisce relativamente alle forme differenziali:




Specifichiamo che una varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in dimensione arbitraria.
Le forme differenziali che ci interessano, nello specifico, nell'ambito dell'integrale curvilineo, sono dunque le 1-forme, chiamate a volte pure forme differenziali lineari.
Prima di entrare nei dettagli, è necessario richiamare alcune nozioni di algebra lineare.

sabato 8 febbraio 2020

CURVE REGOLARI ED INTEGRALI CURVILINEI (DI PRIMA SPECIE)

Non è la prima volta che ci occupiamo di curve matematiche in questo blog.
Infatti in passato abbiamo per esempio parlato della curva che congiunge 2 punti nel minor tempo possibile (il problema della brachistocrona), della spettacolare elica cilindrica con le sue fondamentali applicazioni nel mondo dell'arte e di curve cubiche come la versiera di Agnesi e la cissoide di Diocle.
In questo post vogliamo però condurre un discorso più generale relativo alle curve (con particolare riferimento a quelle regolari), che ci porterà a illustrare  l'importante concetto di integrale curvilineo (detto pure integrale di linea), almeno nella sua prima forma.
Se avete familiarità con la nozione di integrale definito, osserverete che l'integrale di linea è una semplice estensione del concetto inerente al "magico" mondo delle curve.
Ma procediamo per gradi!
Innanzitutto, partiamo dalle fondamenta: che cos'è una curva?
È facile pensare all'idea di una curva, un insieme di punti nello spazio in cui una particella è libera di muoversi con un singolo grado di libertà; leggermente più difficile è fornire una definizione davvero rigorosa dal punto di vista matematico.
Assumendo di riferirci allo spazio vettoriale ℝn, l'analisi matematica ci definisce una curva come una funzione (vettoriale) continua del tipo




dove I è un generico intervallo.
Di solito quando consideriamo I alla stregua di un intervallo chiuso e limitato (ossia compatto per il teorema di Heine-Borel) [a,b], si parla di arco di curva.
Per chi non ricordasse esattamente cosa significa funzione continua, ne diamo 2 definizioni, una che potrebbe comprendere anche un bambino e l'altra per gli amanti del rigore matematico.
Una funzione è continua (in tutti i punti) quando per tracciarla graficamente su un sistema di riferimento cartesiano non è necessario staccare mai la matita dal foglio!
In termini formali invece una funzione si dice continua in un punto x₀ se vale la seguente uguaglianza:





Se tale uguaglianza risulta valida per qualsiasi punto dell'intervallo [a,b] considerato, allora la funzione è continua in tutto l'intervallo.
Detto ciò, si definisce traccia o sostegno γ* della curva γ l'immagine di γ, ossia, in simboli:




Per farsi un'idea più concreta di cosa sia la traccia è sufficiente pensare alla traiettoria di un moto nello spazio e che racchiude in sé gli aspetti geometrici della curva.
Assumiamo ora che una curva (nello spazio euclideo tridimensionale) venga definita da una generica funzione (vettoriale) continua 



Tale funzione vettoriale r si chiama parametrizzazione della curva e contiene le informazioni sul modo in cui la curva viene percorsa.
In particolare, si avrà che







ove la variabile t ∈ [a,b] viene detta parametro della curva e i,j,k sono i classici versori relativi agli assi cartesiani.
In sostanza, al variare di t, r(t) descrive γ, che è il sostegno della curva (trattasi semplicemente di una notazione diversa per esprimerlo).
Una stessa curva può essere parametrizzata in infiniti modi diversi.
Diciamo ora che una curva (o un arco) è chiamata semplice se la funzione r(t) risulta iniettiva.
Un arco



si dice chiuso se



Un arco di curva è poi detto chiuso semplice se la funzione è iniettiva e vale la condizione appena scritta.
Resta il fatto che spesso, specialmente in ambito fisico, è utile pensare ad r(t) come ad una funzione descrivente la posizione all'istante t di una particella che si muove nello spazio euclideo tridimensionale.
In sostanza, si sta assumendo un'interpretazione cinematica della nozione di curva.
Le innumerevoli parametrizzazioni della medesima curva rappresentano, da questo punto di vista, gli infiniti modi diversi (con velocità diverse) di percorrere tale traiettoria.
Diciamo, in particolare, che la funzione vettoriale r è derivabile se tali sono le sue componenti scalari.
Avremo naturalmente che la sua velocità (o derivata) è data da:




mentre la velocità scalare è la norma di tale vettore, cioè



Se poi anche r' risultasse a sua volta derivabile, l'accelerazione (vettore) sarebbe fornita ovviamente dalla formula:




La velocità e l'accelerazione vanno, tra le altre cose, a fornire una classificazione dei moti.
Si ha infatti un moto uniforme quando il modulo della velocità risulta costante; in caso contrario si parla di moto vario.
In quest'ultimo caso, se l'accelerazione risulta costante si parla di moto uniformemente accelerato quando sussiste un incremento (nel tempo) del valore assoluto della velocità, mentre si parla di moto uniformemente ritardato (o decelerato) quando la velocità decresce nel tempo.