CARNEVALE DELLA MATEMATICA #56: ALGEBRA, ALGEBRE E STORIA DELL'ALGEBRA

"L'algebra è lo strumento intellettuale che è stato creato per rendere chiari gli aspetti quantitativi del mondo." Alfred North Whitehead

Benvenuti alla 56° edizione del Carnevale della Matematica!

La tematica di questo mese è "Algebra, algebre e storia dell'algebra".
Cosa si può dire in merito al suddetto argomento? Moltissimo, dato che l'algebra rappresenta certamente una delle branche più significative e vaste dell'intera Matematica.
L'algebra, come definita su Wikipedia, è quella branca che si occupa di strutture algebriche, relazioni e quantità.
Molti (intendendo le persone comuni e non i matematici di professione) ricollegano il termine "algebra" alla sola "algebra elementare" (o "classica"), quella che viene studiata nelle scuole italiane a partire dalla terza media e che viene approfondita nelle scuole superiori.
Tale tipologia di algebra è focalizzata specialmente su concetti come monomi, polinomi, equazioni, sistemi di equazioni, disequazioni e così via.
L'algebra elementare permette agli studenti di compiere un primo importantissimo passo verso l'astrazione, concetto decisamente di primo ruolo in Matematica.
Infatti, gli scolari vengono catapultati dal mondo "tranquillo" dei numeri e, precisamente, dell'aritmetica, con le sue operazioni fondamentali (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza e così via), a quello dell'algebra, dominato da quantità ignote, misteriose, le incognite, segnalate non da numeri bensì da lettere (in primis la celebre x).
Come asserì Lucio Lombardo Radice in un intervento radiofonico del 14 aprile 1972:

"Quanto all'algebra classica, quella che oggi si studia nelle scuole secondarie superiori (con qualche anticipazione alla scuola media) non solo è un'astrazione, ma è un'astrazione di alto livello, frutto di una lunghissima elaborazione di parecchie civiltà, dalla greca all'indiana all'araba. "Questa è algebra!" è addirittura un modo di dire, per indicare qualcosa di così astratto da risultare incomprensibile all'uomo comune; ed è un modo di dire nato ben prima del libro di Van der Waerden, o dei coevi primi volumi della monumentale opera Elementi di matematica del famoso gruppo Bourbaki."

Il passaggio dal calcolo numerico a quello letterale è quindi di un'importanza cruciale non solo nel percorso dello studente ma anche all'interno della storia della Matematica.
Tuttavia, l'algebra elementare non è l'unica esistente, bensì solamente la più conosciuta tra le "algebre".


Ebbene sì, esistono svariate algebre differenti, più o meno complicate, come l'algebra lineare, l'algebra astratta, l'algebra booleana, l'algebra computazionale, l'algebra di Banach e moltissime altre, ognuna caratterizzata da concetti, proposizioni, teoremi specifici e da una propria storia.
La storia dell'algebra è ricchissima, affascinante e molte volte sorprendente.
L'incipit di questa storia si può far risalire, molto probabilmente, alla prima metà del II millennio a.C., in Mesopotamia.
Infatti, nel 1929 l'austriaco Otto Neugebauer si mise a studiare approfonditamente alcune tavolette cuneiformi risalenti all'epoca di Hammurabi (re babilonese, celebre per il "Codice" che porta il suo nome, vissuto fra XIX e XVIII secolo a.C.), su cui erano incisi testi di carattere matematico.

Alcuni di questi testi contenevano problemi ed è in questi che si possono riscontrare precursori della moderna algebra elementare.
Nei suddetti testi c'erano soluzioni di equazioni quadratiche e persino cubiche, ovviamente non presentate attraverso la rigorosa notazione algebrica odierna.
Erano solamente problemi di tipo verbale come "3 volte una quantità più l'inverso della stessa fa 10; quanto vale questa quantità incognita?", che però implicano sottintese equazioni.
Il primo personaggio della storia di cui conosciamo il nome e sappiamo avere qualche collegamento con la Matematica è l'egiziano Ahmes, vissuto durante la dinastia Hyksos.
Non sappiamo se fosse un matematico di professione; le uniche informazioni sul suo conto provengono dal Papiro di Rhind, che prende la denominazione da Alexander Henry Rhind, uno scozzese che nell'inverno del 1858 trascorse un periodo di vacanza in Egitto e acquistò il suddetto papiro presso la città di Luxor.
Con la morte di Rhind, il papiro finì nelle mani del British Museum e venne rinominato, in onore di colui che lo scrisse, papiro di Ahmes.
Ebbene, il Problema 24 di tale papiro, "Una quantità aggiunta a un quarto di se stessa fa 15", è appunto un problema di algebra, riscrivibile in termini moderni come:




Nella patria delle piramidi troviamo anche colui che da molti è stato definito "padre dell'algebra": Diofanto.
Tuttavia, non tutti gli storici della matematica sono concordi nell'attribuire tale importante appellativo a Diofanto, vissuto ad Alessandria d'Egitto probabilmente nel III secolo d.C.
Ad esempio, Kurt Vogel considera il lavoro del matematico egiziano non molto più algebrico di quello degli antichi babilonesi e di Archimede, sostenendo dunque che Diofanto non è il "vero padre dell'algebra".
Un altro storico della matematica, Carl B. Boyer, nella sua famosa opera Storia della matematica, mette in evidenza che:

"Tale appellativo non va preso alla lettera. La sua opera non presenta per nulla quel tipo di contenuti che forma la base dell'algebra elementare moderna; e neppure è simile all'algebra geometrica riscontrabile in Euclide."

In effetti, anche nell'opera geometrica di Euclide si possono riscontrare cenni precursori dell'algebra, tanto che, a detta di Isabella Bashmakova e Galina Smirnova in The Beginnings and Evolution of Algebra, le Proposizioni 28 e 29 del Libro VI degli Elementi di Euclide possono esser viste come soluzioni di equazioni quadratiche.
Comunque sia, Diofanto è famoso soprattutto per la sua opera Arithmetica (risalente probabilmente al 250 d.C.), della quale è pervenuta sino a noi solamente una metà circa.

La parte sopravvissuta consiste, in particolare, di 189 problemi focalizzati specialmente su argomenti come trovare numeri, o famiglie di numeri, che soddisfano certe condizioni.
Quest'opera è divenuta abbastanza nota anche al grande pubblico poiché, su una pagina di una copia della medesima, il matematico francese Pierre de Fermat annotò la famosissima frase: "dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina".
Il teorema di cui si parla è ovviamente il cosiddetto "Ultimo Teorema di Fermat", il quale stabilisce che non esistono soluzioni intere positive all'equazione (diofantea):



se n risulta maggiore di 2.
Questa è invece la simpatica versione "twitteriana" di quell'annotazione:

 










Diofanto ebbe inoltre il merito di introdurre un simbolismo matematico molto sofisticato e rigoroso per l'epoca.
Infatti, soleva utilizzare simboli specifici per indicare l'incognita e le sue potenze, la sottrazione, l'uguaglianza in un'equazione e così via.
Ecco un esempio di quoziente di polinomi scritto col simbolismo di Diofanto:

Esso si può trascrivere in linguaggio matematico moderno come:

Oggi l'opera di Diofanto viene maggiormente studiata non in corsi d'algebra, bensì in quelli di teoria dei numeri, la branca della Matematica che si occupa esclusivamente di numeri interi e di spinose questioni che si annidano anche nella matematica più elementare (l'esempio per eccellenza è dato proprio dalla dimostrazione del sopracitato Ultimo Teorema di Fermat, ottenuta da Andrew Wiles nel 1994).
Compiendo un salto temporale di circa 5-6 secoli troviamo il personaggio a cui dobbiamo l'introduzione del termine "algebra": Abū Jaʿfar Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī.
La parola centrale di questo Carnevale, "algebra" (dall'arabo al-ğabr che significa "unione", "connessione", "completamento", ma anche "aggiustare"), la ritroviamo per la prima volta appunto in un libro dell'appena citato matematico, scritto a Baghdad (sotto la dinastia degli Abbasidi) nell'anno 820 circa, intitolato Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala.
Qualcuno dei lettori, appena letto questo incomprensibile titolo, potrebbe aver pensato qualcosa di simile a quanto esclamato alla fine del seguente breve filmato (ovviamente ridoppiato!):



Dal faceto cerchiamo di ricondurci al serio e ad un linguaggio maggiormente raffinato, rispondendo (dal nostro punto di vista) alla domanda finale posta da una strega Grimilde dal linguaggio alquanto scurrile e dalla non perfetta padronanza della lingua inglese: la traduzione italiana del titolo del libro sopracitato è "Compendio sul Calcolo per Completamento e Bilanciamento"! ;)
Poco è noto della vita di al-Khwārizmī; probabilmente nacque nel 780 e morì nel 850 circa.
Certamente sappiamo che scrisse, durante il corso della sua esistenza, numerosi libri su disparati argomenti, dall'astronomia alla geografia, dal sistema di numerazione indiano alla cronaca storica.
Dalla sua opera sui numerali indiani, arrivata a noi mediante una trascrizione latina (che inizia con le parole "Dixit Algorithmi..."), deriva peraltro l'importante termine informatico "algoritmo".
Ritornando al nocciolo della questione, l'algebra, soltanto la prima parte dell'opera Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (sì, questa è la forma ridotta di quel lungo titolo riportato in precedenza) è prettamente algebrica.
Tuttavia, è vero che al suo interno risiede dell'algebra, ma non aspettatevi di trovare il simbolismo moderno, ma nemmeno un simbolismo "primitivo" alla Diofanto.
Infatti, un'equazione di 2° grado come la seguente:



compare nel libro del matematico persiano alla stregua di un problema:

"Un quadrato e dieci radici dello stesso hanno per somma 39 dirham; vale a dire, quale deve essere il quadrato che, quando aumentato di dieci delle sue stesse radici, equivale a 39?"

Specifichiamo che il dirham era una moneta.
Il ruolo del dirham nella matematica di al-Khwārizmī è analogo a quello del termine x⁰ in una moderna equazione.
Rispetto a quella di Diofanto, probabilmente, la matematica di al-Khwārizmī è un piccolo gradino sotto, in quanto, come abbiamo constatato, non fece uso di un simbolismo appropriato e, inoltre, le tecniche di manipolazione (in particolare, addizionare o sottrarre le medesime quantità da entrambi i membri di un'equazione) delle equazioni da lui sfruttate erano già ampiamente utilizzate anche dal matematico alessandrino.
Un altro importante matematico persiano, Omar Khayyām (1048-1131), pur mantenendo lo stesso approccio di al-Khwārizmī, ovvero il non utilizzo di uno specifico simbolismo letterario, fornì decisivi contributi allo studio delle equazioni cubiche.
È sì vero che Diofanto aveva già affrontato alcune equazioni di 3° grado, che Archimede si era imbattuto nelle suddette quando studiava problemi come la divisione di una sfera in 2 parti i cui volumi avessero un determinato rapporto dato, ma, molto probabilmente, il primo a capire che le equazioni cubiche designavano una classe distinta di problemi fu proprio Khayyām.
Ora facciamo un salto in Italia, dove, nel 1202, viene pubblicato un libro che rivoluzionerà non soltanto la Matematica in sé, ma anche tutta la società europea.
Una sorta di "rivoluzione copernicana" (ma prima di Copernico!) dovuta al matematico Leonardo Pisano (1170-1240 circa), meglio noto come Fibonacci, con la sua opera Liber abbaci.
Tale testo fu pubblicato per la prima volta appunto nel 1202 e poi uscì una seconda volta nel 1228.
Ad oggi non ci sono pervenuti resti della primissima edizione, mentre sono conservate 3 copie (quasi integrali) della seconda edizione in altrettante biblioteche di Roma, Firenze e Siena.
Perché il Liber abbaci fu così importante?
La ragione sta nel fatto che non solo questo testo preparò la scena per l'imminente sviluppo dell'algebra simbolica, ma soprattutto fu di fondamentale rilevanza per coloro che usavano la matematica per fini pratici, in primis i mercanti che dovevano "far di conto" per mandare avanti la loro attività.
Pensate che i mercanti dell'epoca avevano a disposizione soltanto i numeri romani (scomodissimi da usare), un abaco meccanico e le dita per effettuare i calcoli.
Fibonacci ebbe il merito di introdurre il sistema di numerazione indo-arabico (zero compreso) nella società europea, spiegandolo in maniera comprensibile anche per i non addetti ai lavori (un po' quello che fanno attualmente i contributori dei Carnevali della Matematica con disparati argomenti di questa meravigliosa disciplina).

Per ben 300 anni il Liber abbaci rappresentò, per effettivi meriti, il miglior testo di matematica in circolazione scritto dalla fine del mondo antico!

Leonardo (non io, ma Fibonacci!) aveva appreso il sistema di numerazione indo-arabico quando, da ragazzo, intorno al 1185, suo padre lo aveva portato con sé nel porto nord-africano di Bugia (l'attuale Béjaïa, in Algeria), nel quale si era trasferito da Pisa per lavorare come rappresentante commerciale e funzionario di dogana.
Diversi anni dopo, quel prezioso libro, frutto della geniale mente e degli studi di Leonardo, avrebbe rappresentato un vero e proprio ponte che avrebbe fuso la cultura matematica europea con quella araba.
Tuttavia, per quanto rivoluzionario, il Liber abbaci non costituisce l'opera più significativa del matematico pisano, almeno da una prospettiva algebrica.
Infatti, presumibilmente nel 1225, Leonardo scrisse 2 libri focalizzati proprio sull'algebra e uno in particolare, il Flos super solutionibus quorundam questionum ad numerosum vel ad geometriam vel ad utrumque pertinentium (o semplicemente Flos), si concentra sulle equazioni cubiche.
Uno dei problemi algebrici presenti nella suddetta opera era la risoluzione della seguente equazione cubica:

Per i curiosi, la soluzione (reale) esatta di questa equazione è 1,3688081078213726.
Ebbene, Fibonacci, nella 1° metà del XIII secolo, riuscì a ottenere una soluzione corretta sino alla decima posizione decimale! Incredibile!
Tuttavia, come egli sia riuscito nell'ardua impresa (sarebbe abbastanza complicata anche oggi, a meno di non essere esperti del settore o di munirsi di risolutori di equazioni come Wolfram Alpha!) è ignoto; probabilmente fece uso di metodi geometrici.
A proposito di Fibonacci, vi consiglio di mettervi comodi e "gustare" questi 2 splendidi video relativi alla super-celebre successione di Fibonacci:

  



Compiamo ora un salto temporale di circa 300 anni: nel 1501, a Pavia, nacque una figura centrale della storia dell'algebra: Girolamo Cardano.
I primi anni dell'esistenza di Cardano non furono affatto semplici e sereni, tanto che egli scrisse, nella sua autobiografia intolata De propria vita liber, le seguenti drammatiche parole:

"Venivo picchiato dai miei genitori senza ragione e tante volte mi sono ammalato rischiando anche la vita."

Alla stessa stregua di Galileo, il giovane Cardano, compiuti i 19 anni, si iscrisse non alla facoltà di matematica, bensì a quella di medicina, all'Università di Pavia.
Cardano era una personalità abbastanza stramba: asseriva di poter sentire voci dal nulla e vedere le immagini di apparazioni demoniache: teneva persino con sé amuleti e pietre preziose dai presunti poteri mistici, al fine di scacciare gli influssi maligni.
Ergo, come diverse importanti figure matematiche della storia (ogni riferimento a Cantor e Gödel è puramente casuale!), egli, a detta dello storico della scienza Oystein Ore, non era "completamente sano di mente"!
Comunque, l'introduzione al presente Carnevale della Matematica non è il luogo adatto dove approfondire le biografie dei matematici (già fin qui l'introduzione è lunga, se poi mi metto a raccontare pure nel dettaglio le biografie, non arriviamo più ai bellissimi contributi pervenuti!).
Diciamo che Cardano è famoso soprattutto per la sua opera sull'algebra, stampata nel 1545, dal titolo Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus ("Della grande arte, o delle regole dell'algebra"), meglio nota come Ars magna.
L'Ars magna è certamente una pietra miliare nella storia dell'algebra, all'interno della quale vengono svelate le soluzioni di diverse tipologie di equazioni cubiche e persino di 4° grado.
Tuttavia, precedentemente, Niccolò Fontana, più famoso col soprannome di Tartaglia (derivante dal fatto che non riusciva a parlare fluentemente a causa di una grossa ferita infertagli alla mandibola e al palato), aveva comunicato a Cardano la soluzione dell'equazione cubica generale:



tentando però di assicurarsi che non la pubblicasse, facendolo giurare su Dio.
Il fatto bizzarro è che Cardano scoprì che Tartaglia non era stato il primo a risolvere l'equazione cubica utilizzando i radicali (il primo era stato invece Scipione del Ferro) e, di conseguenza, decise di pubblicare l'importante risultato.
L'equazione generale di 4° grado fu invece risolta da un discepolo di Cardano, Ludovico Ferrari.
L'algebra aveva pertanto compiuto dei passi da gigante nel XVI secolo.
Un altro particolare molto interessante dell'Ars magna è l'investigazione su una strana classe di numeri.
No, non vi dico immediatamente a cosa sto alludendo: lascio un pochino di suspance per i lettori non esperti!
Immaginiamo di avere la seguente equazione di 2° grado:



Uno studente liceale dovrebbe saperla risolvere in un attimo sfruttando la celebre formula:





trovando come soluzioni x = 1 e x = -4.
Adesso prendiamo un'equazione molto simile alla precedente e proviamo ad applicare nuovamente la nota formula di risoluzione.
L'equazione è:




"Houston, abbiamo un problema": compare la radice quadrata di -7!
Nell'insieme dei numeri reali non esiste la radice quadrata di -7 e non esiste, generalizzando, la radice quadrata di alcun numero negativo.
Gli studenti liceali, in genere, si limitano a risolvere l'esercizio scrivendo alla fine: "impossibile".
Ciò che è effettivamente impossibile nell'insieme dei numeri reali diviene d'altro canto possibile facendo ricorso ai cosiddetti numeri immaginari (denominazione introdotta da Cartesio), basati sul concetto di unità immaginaria, ovvero un numero i tale che:



Cardano non comprese fino in fondo questi stravaganti numeri.
Il primo a maneggiarli con una certa sicurezza è stato l'ingegnere Rafael Bombelli, il quale, nel suo scritto L'algebra del 1572, introdusse una notazione per la radice quadrata di -1.
La notazione attuale, quella della i, si deve invece ad Eulero, che la inserì, nel 1748, anche nella famosissima identità (forse la più bella della Matematica):




Ecco un magnifico video sulla relazione di Eulero:



Altri passi in avanti in tal senso furono compiuti, ad esempio, dal "principe dei matematici", Carl Friedrich Gauss, e da Jean-Robert Argand, i quali introdussero (in realtà dovremmo aggiungere a questa lista di contributori anche il matematico danese Caspar Wessel) uno specifico piano (il piano complesso o di Argand-Gauss) dedicato ai numeri complessi, quei numeri formati da una parte reale e da una immaginaria:

Distaccandoci adesso dai numeri immaginari e complessi, non possiamo non dire che nel 1637, nel saggio Geometria (La géométrie), Cartesio (René Descartes) introdusse una nuova branca della Matematica capace di collegare l'algebra e la geometria: la geometria analitica.
Infatti, giusto per fare un esempio, una circonferenza, figura geometrica piana emblema della perfezione (Aristotele docet), può essere rappresentata da un'equazione algebrica di questo tipo:

Oltre a ciò, Cartesio ci ha fornito un moderno sistema di simbolismo letterale, in cui le lettere iniziali (minuscole) dell'alfabeto sono utilizzate al posto dei numeri noti, i cosiddetti data, mentre le lettere finali sono sfruttate per indicare i numeri cercati, i quaesita.
Art Johnson, nel libro Classic Math, racconta che:

"L'uso predominante della lettera x per rappresentare un valore incognito è capitato in un modo interessante. Durante la stampa della Géométrie...lo stampatore si trovò di fronte a un dilemma. Mentre componeva il testo, si trovò a corto delle ultime lettere dell'alfabeto. Chiese a Descartes se avesse importanza che si usasse x, y oppure z in ciascuna delle molte equazioni del libro. Descartes rispose che non faceva alcuna differenza quale delle 3 lettere fosse usata per indicare una quantità incognita. Lo stampatore scelse x per la maggior parte delle incognite, perché le lettere y e z sono usate nella lingua francese più spesso che x."

L'opera La géométrie di Cartesio appare molto simile ad un testo di matematica odierno, con l'eccezione che al suo interno non c'è il moderno simbolo di uguaglianza.
Per indicare l'uguale =, Descartes utilizzava invece un piccolo simbolo simile a quello di infinito ∞, con l'estremo sinistro aperto.
Nonostante questo, ribadiamo che Cartesio fu comunque il primo a rendere disponibile al pubblico un sistema di simbolismo letterale abbastanza solido e rigoroso da non subire grossi stravolgimenti nei secoli successivi.
Nel frattempo, nel 1614, un certo John Napier (Nepero) pubblicò l'opera Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi), nella quale viene introdotto l'importante concetto di logaritmo, molto simile a quello di radice: ne abbiamo parlato approfonditamente qui.
Rimanevano però grossi problemi irrisolti all'interno dell'algebra: non erano ancora state ancora rinvenute formule generali di risoluzione di equazioni dal 5° grado in poi.
Un matematico italiano, Paolo Ruffini (noto soprattutto per la regola che consente di scomporre un polinomio in un prodotto di polinomi di grado minore), fu il primo a credere che una generica equazione di 5° grado

non avesse tuttavia una soluzione algebrica.
Egli pervenne a tale sconcertante conclusione presumibilmente nel 1798 e pubblicò una dimostrazione l'anno successivo (da notare che Gauss sostenne la medesima idea nella sua tesi di dottorato dello stesso anno, ma senza fornire alcuna dimostrazione).
Ruffini pubblicò poi ulteriori dimostrazioni nel 1803, nel 1808 e nel 1813, ma nessuna di queste esposizioni ricevette la giusta attenzione.
La beffa massima per Ruffini sta nel fatto che, generalmente, il merito di aver dimostrato in maniera definitiva l'inesistenza di una soluzione algebrica per la generica equazione di 5° grado si deve allo svedese Niels Henrik Abel (genio matematico morto giovanissimo a causa della tubercolosi), che pubblicò la sua dimostrazione nel 1824.
Tuttavia, oggi, entrambi vengono omaggiati nell'importante teorema chiamato appunto di Abel-Ruffini, il quale asserisce che non esiste assolutamente una formula risolutiva generale esprimibile mediante radicali per le equazioni di 5° grado o superiore.
Con la citazione di questo teorema ho concluso questa mia lunga (ma brevissima se paragonata a una storia dell'algebra completa ed esaustiva) introduzione alla storia dell'algebra.
Ho realizzato un video appositamente per questo evento, "Breve storia dell'algebra", che servirà a riassumere (in 3 minuti) i contenuti appena esposti nella corposa introduzione.
Il sottofondo musicale è dato dalla fantastica Rapsodia su un tema di Paganini - Variazione 18 di Rachmaninov, eseguita da Vladimir Ashkenazy, Jean-Yves Thibaudet & The Cleveland Orchestra:



E' però vero che l'algebra non finisce certo con il teorema di Abel-Ruffini, considerato che, peraltro, vengono sviluppate nuove e particolari tipologie di algebra: le "algebre" a cui alludevo ad inizio introduzione.
Tuttavia, come annunciato, mi fermo qui, anzi no! ;)
Non continuo con la storia delle algebre, ma devo compiere una seconda brevissima introduzione, quella che caratterizza il Carnevale della Matematica: la presentazione del numero dell'edizione!
Che possiamo dire sul 56?
Trattasi di:

• un numero abbondante, in quanto la somma dei suoi divisori (1, 2, 4, 7, 8, 14, 28), escludendo se stesso, ovvero 64, è maggiore di 56;
• un numero di tetranacci, cioè facente parte di una sequenza (simile a quella di Fibonacci) in cui ogni termine di indice positivo risulta uguale alla somma dei 4 termini precedenti: 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, ....;
• un numero del triangolo di Tartaglia.

Ogni numero del triangolo è la somma dei 2 numeri superiori.

Il 56 è inoltre:

• la somma di ben 6 numeri primi consecutivi: 56 = 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17;
• un numero rifattorizzabile (o numero tau), ossia divisibile per il numero dei suoi divisori. I divisori di 56 sono 8; 56/8 = 7;
• un numero oblungo (o numero pronico o numero eteromecico), ovvero un numero rappresentante il prodotto di 2 numeri interi consecutivi. Infatti, 56 = 7 × 8;
• il numero atomico del bario (Ba).

Altre curiosità inerenti al 56:

• nel corpo umano i recettori olfattivi sono suddivisi in 56 famiglie;
• il 56 è il prefisso per le chiamate internazionali verso il Cile;
• 56 è il numero degli uomini che hanno firmato la dichiarazione d'indipendenza degli Stati Uniti d'America nel 1776;
• M56 è uno splendido ammasso globulare nella costellazione della Lira.

M56 (chiamato anche NGC 6779).

Permettetemi anche una nota di carattere musicale sul 56: il pianista e compositore austriaco Alfred Grünfeld scrisse la trascrizione per pianoforte della celebre operetta "Il pipistrello" di Johann Strauss II ed essa è denominata appunto Johann Strauss II: Transcriptions & Paraphrases for Solo Piano - Die Fledermaus, op. 56.
Quella che segue è la meravigliosa esecuzione del pianista russo Evjeny Kissin del brano appena citato:



È giunto il momento di entrare nel vivo del Carnevale e scoprire tutti gli interessantissimi e numerosissimi contributi partecipanti a questa "kermesse" matematica.
Vi anticipo che i contributi sono stati inseriti in 2 diverse sezioni, al termine di ognuna delle quali ci sarà spazio anche per un pochettino di musica (coerentemente con il nome di questo blog!) natalizia (ormai manca poco alle feste!), con esecuzioni molto particolari!

Nota: è vero che sussiste una distinzione dei contributi in 2 sezioni, tuttavia devo specificare che essa non è così netta, in quanto alcuni contributi arrivati potrebbero appartenere contemporaneamente ad entrambe (costituendo una sorta di "categoria limbo").

Bando alle ciance!

ALGEBRA, ALGEBRE E STORIA DELL'ALGEBRA:

La più assidua contributrice dei Carnevali, la prof. Annarita Ruberto, apre le danze con 2 contributi, provenienti dal blog Matem@ticaMente, concernenti rispettivamente l'algebra elementare e le isometrie (argomenti trattati, peraltro, con l'ausilio di specifici applet realizzati dalla stessa Annarita con GeoGebra):

1) Il post "Addizione di due numeri relativi" tratta uno dei prerequisiti fondamentali del calcolo letterale: l'addizione di numeri relativi. Senza tale nozione sarebbe difficile risolvere anche una banalissima equazione come -6x + 4x = 10.

2) Il post "Isometrie: traslazione di vettore assegnato" introduce in modo chiarissimo il fondamentale concetto di vettore (ricordo che esso non solo è importante in geometria, ma è anche un punto cardine dell'algebra lineare) e la prima isometria: la traslazione.

A questi 2 contributi se ne aggiunge un terzo (e straordinario), totalmente incentrato sul tema, anzi celebrante la tematica "Algebra, algebre e storia dell'algebra". Il titolo del post è infatti: "The Beauty of Algebra: La Bellezza dell'Algebra". A fine contributo troverete un fantastico filmato della Khan Academy relativo al suddetto tema.

Mausoleo di Nishapur

Tocca ora a Spartaco Mencaroni, curatore del blog Il coniglio mannaro (un blog che si occupa di scrittura creativa), che ci propone un bellissimo racconto dedicato al già citato matematico, ma anche poeta, Omar (o Umar) Khayyam. Con le seguenti parole l'autore presenta il suo contributo matematico-letterario dal titolo "Gli inverni di Nishapur":

"Il racconto è costruito intorno al volo pindarico del vecchio poeta, immaginato in una sera d'inverno nella sua Nishapur, mentre ripercorre con la mente le proprie scoperte e i propri sentimenti."   

Vi consiglio caldamente la calma lettura di questo delizioso e originalissimo contributo!


Da MaddMaths!, per mezzo del gentilissimo Roberto Natalini (il curatore della scorsa splendida edizione del Carnevale della Matematica), arriva un interessante contributo, scritto da Rene Schoof (Professore di Geometria all'Università di Roma "Tor Vergata"), intitolato "Dimostrata la congettura ABC?". Il post (pur essendo focalizzato ovviamente sulla teoria dei numeri) risulta comunque a tema, visto che tale congettura designa un problema fondamentale dell'analisi diofantea (e il ruolo chiave di Diofanto nella storia dell'algebra lo abbiamo constatato in precedenza). L'articolo descrive con grande chiarezza la suddetta fondamentale congettura (che peraltro implica una buona parte dell'Ultimo Teorema di Fermat!), arrivando, infine, a una domanda cruciale: è stata dimostrata? Non ve lo dico! Recatevi su MaddMaths! e scopritelo voi stessi.


Adesso tocca ad Alessandro Aquilano, dal blog Taccuino 22, con un contributo denominato "Test: sei realista o costruttivista?". L'articolo affronta una questione molto intrigante e, allo stesso tempo, molto delicata: la distinzione dei matematici in 2 categorie antitetiche:

• realisti, per i quali "gli oggetti matematici hanno una propria verità indipendentemente dalla loro dimostrazione";
• costruttivisti, che "accettano come veri solo gli oggetti che sono stati dimostrati".

Per evidenziare la differenza sussistente fra queste 2 classi, Alessandro propone infine un esempio di tipo algebrico! E voi cosa siete? Realisti o costruttivisti?


Claudio Pasqua di Gravità Zero invia un contributo commemorativo della figura di Ada Lovelace, che lo scorso 10 dicembre avrebbe compiuto 197 anni! Come scrive appunto Claudio in questo post intitolato "Google Doodle su Ada Lovelace per il 197° anniversario":

"Una figura tanto rivoluzionaria quanto poco nota al grande pubblico...Ada intuì come macchine calcolatrici potessero essere sfruttate per operare, oltre che con i numeri, con simboli astratti in contesti come la musica o l'algebra"

Nessun'altra anticipazione: recatevi su Gravità Zero e terminate l'interessante lettura su una delle più grandi figure femminili della storia della scienza!

Ed ora tocca a Marco Fulvio Barozzi, ancor più noto come Popinga (d'altronde il suo blog si chiama Popinga: Scienza e letteratura: terribilis est locus iste), con 2 contributi estremamente interessanti, nei quali la figura di Cédric Villani, Medaglia Fields nel 2010, assume un ruolo di spicco:

1) "Matematica dei plasmi e smorzamento di Landau (senza formule!)": in esso troviamo la descrizione del cosiddetto 4° stato della materia, il plasma e, in particolare, l'analisi di "uno dei fenomeni più esotici rilevati all'interno di un plasma", ovvero lo smorzamento di Landau, che prende la sua denominazione da Lev Landau, grandissimo fisico russo (premio Nobel nel 1962), che lo descrisse in un articolo del 1946. Lo studio matematico del comportamento dei plasmi comporta, tra l'altro, un numero molto grande di variabili. Ecco un breve passo dal suddetto post:

"L'articolo originale di Landau si basava su un complicato calcolo lineare. Ora con l'algebra lineare si studiano completamente tutti i fenomeni fisici in cui intuitivamente non entrano in gioco distorsioni, turbolenze e fenomeni caotici in generale."

Proseguite la lettura e, dopodiché, passate al seguente contributo, strettamente legato al primo.

2) "Il teorema vivente di Cédric Villani": è la prima recensione italiana in assoluto del testo scritto dal matematico sopracitato. Villani è proprio colui che è riuscito ad elaborare una dimostrazione non lineare dello smorzamento di Landau. Questo libro, dal titolo Théorème Vivant, è focalizzato appunto nella cronaca della nascita di una nuova e straordinaria dimostrazione matematica. Tuttavia, come recita l'incipit del post:

"Attribuire un’etichetta a un libro come Théorème Vivant del matematico francese Cédric Villani non è facile. Si può infatti considerare un diario personale e professionale, che copre due anni di intensa ricerca culminati con il ricevimento della Medaglia Fields... Si può anche definirlo il racconto di un’impresa matematica e di come essa sia nata e si sia sviluppata attraverso difficoltà, entusiasmi, delusioni, notti insonni, improvvise intuizioni, e un continuo lavoro di collaborazione fino al risultato finale."

Non fatevi scappare assolutamente questa recensione. "Assaporatela" con calma!


Siete pronti? Sopraggiunge la maestosa flotta degli unici e inimitabili Rudi Mathematici! In questa sezione riporto i loro seguenti 2 contributi, provenienti rispettivamente dal loro blog e dal loro sito:

1) "Il problema di Novembre (531) - Verso l'infinito, e oltre!": è il post ove troverete le soluzioni dei problemi presentati nel numero di novembre della rivista Le Scienze. Ma quali erano i suddetti problemi? Eccovi il riassunto tratto direttamente dal post:

"I nostri eroi sono in viaggio tra la terra e la luna e Piotr, spalleggiato da Buzz Lightyear,  pone una sfilza di quesiti:

- Se le dimensioni apparenti della Terra e della Luna sono identiche, a che punto del viaggio sono? A quale distanza dalla Terra e dalla Luna?

- Come si può disegnare una traiettoria in cui la Terra e la Luna appaiano sempre con la caratteristica di apparire uguali, negli oblò?

- Una rotta del genere potrebbe essere un’orbita stabile, magari approssimando l’orbita a un cerchio, invece che a un’ellisse?

- Se un asteroide arrivasse davvero dall’infinito, potrebbe diventare un satellite permanente della Terra?"

Questo contributo risulta a tema in quanto, nella risoluzione dei quesiti matematici, viene fatto uso anche di un po' di algebra e geometria analitica. Beh, non siete curiosi di conoscere le soluzioni? Recatevi subito nel blog dei Rudi!
Inoltre, a proposito di Buzz Lightyear:



2) Il seguente contributo non è un post bensì, come lo definiscono gli stessi Rudi, un "e-zine". Trattasi dello splendido numero 167 della rivista dei Rudi Mathematici! Esso è composto da ben 51 pagine di straordinaria matematica, una vera e propria scorpacciata per tutti i gusti. Volete l'algebra? C'è. Volete la trigonometria? C'è. Volete la geometria? C'è. Insomma, immergetevi in questo variegato potpourri di Matematica!


Ed ecco giungere sul campo (no, non il "campo" inteso come struttura algebrica formata da un insieme non vuoto e 2 operazioni binarie interne, bensì inteso come sezione del Carnevale della Matematica!) il mirabolante blog "Al Tamburo Riparato", rappresentato, per questa occasione, dal simpatico Juhan van Juhan. Egli ci propone un singolare contributo avente un titolo emblematico: "Irrazionalità e irritabilità". Il post prende spunto dal seguente periodo rinvenuto da Juhan all'interno del libro L'enigma dei numeri primi di Marcus du Sautoy:

"Per descrivere l'impossibilità di esprimere quei numeri se non come soluzioni di equazioni quali x² = 2, i matematici li battezzarono numeri irrazionali."

Ah, già che ci sono, un caro saluto a Bruna Vestri (la perfidanera), guest-star del contributo di cui sopra!

È il turno di Jean Manuel Morales, curatore del blog Con le mele | con le pere (un blog ove, molto spesso, vengono proposti interessanti e particolari problemi matematici di vario tipo), che contribuisce a questa sezione del Carnevale con un post intitolato "Da una curiosa identità algebrica". Riporto la magnifica descrizione che l'autore fa del suo contributo:

"Un carosello attorno ad una curiosa identità algebrica, che trasforma un'equazione lineare in una quadratica, è il punto di partenza per un'esplorazione che dai numeri interi passa per i numeri di Fibonacci e arriva, inaspettata, a...tutt'altro."

Questa curiosità algebrica vi aspetta "a braccia aperte" nel blog Con le mele | con le pere.

Il sottoscritto, Leonardo Petrillo, ha elaborato, su Scienza e Musica, un contributo a tema dal titolo "Matrici: autovalori, autovettori e diagonalizzazione". L'articolo, il 5° di una serie sulle matrici, risulta focalizzato su questi 3 importantissimi concetti dell'algebra lineare, spiegati passo dopo passo. All'interno del post, tuttavia, risulta descritta anche un'altra fondamentale nozione: la moltiplicazione fra matrici. Come conclusione, il contributo riportato propone 2 brani musicali (rispettivamente di Beethoven e Mozart), interpretati in modo assai particolare, per fornire un po' di relax al lettore, dopo la sua partecipazione ad un vero e proprio "festival delle matrici"!

Ed ora il breve momento musicale:




EXTRA MOENIA:

Un Carnevale (e soprattutto un Carnevale della Matematica) non si potrebbe definire tale se non ci fossero al suo interno i contributi che si discostano un po' dalla tematica principale, i cosiddetti post "extra moenia".

In questa sezione troverete uno splendido potpourri di interessanti articoli su disparati temi della Matematica.

Walter Caputo, dal blog Gravità Zero, ci racconta nientepopodimeno che la meravigliosa topologia, nell'articolo "Il divertimento nella topologia".
E sì, la topologia è certamente una delle discipline più affascinanti e misteriose, divenuta abbastanza nota anche al grande pubblico dopo i fatti relativi alla dimostrazione della congettura di Poincaré da parte del matematico russo Grigorij Jakovlevič Perel'man, su cui potrebbe persino essere realizzato un film girato da James Cameron (regista dei colossal Titanic e Avatar). Nel post, Walter fornisce la sua risoluzione ad un esercizio rinvenuto nelle primissime pagine del libro Topologia di Marco Manetti:

"Sia gamma (maiuscolo) un grafo connesso in cui ogni vertice ha grado pari. Dimostrare che ogni grafo ottenuto da gamma togliendo un solo lato è ancora connesso."

Non vi anticipo nient'altro! Recatevi sul blog Gravità Zero e immergetevi nel mondo della topologia! 


A proposito di topologia, Annarita Ruberto ci fa pervenire da Matem@ticamente un contributo storico-commemorativo della figura di August Möbius, eminente matematico e astronomo tedesco, di cui si è celebrato il duecentoventiduesimo compleanno lo scorso 17 novembre! Non a caso, il post è intitolato "Buon compleanno August Ferdinand Möbius!". Ovviamente, nell'articolo, molto spazio è dedicato al celebre nastro di Möbius, oggetto studiato proprio dalla topologia. Il post è corredato da splendide immagini e un magnifico video.


Ritorna in scena la gigantesca corazzata MaddMaths!, con una vera e propria carrellata di contributi:

1) Ecco un post che catturerà moltissimo l'attenzione del pubblico femminile: "La formula del reggiseno perfetto!" a cura di Cristiana di Russo. L'articolo descrive "un portale americano creato da Aarthi Ramamurthy e Michelle Lam" che permette di trovare, attraverso un algoritmo "matematico", "quale sia il reggiseno perfetto per ogni donna". Attenzione però: Roberto Natalini ci fa notare che questa è una "fake news", ovvero una notizia che vorrebbe essere matematica, ma non lo è!

2) Ed ora il primo post di una serie dedicata ad Archimede, dato che il 2013 sarà appunto l'anno archimedeo, in quanto saranno passati ben 2300 anni dalla nascita del genio matematico siracusano. Esso riguarda, non a caso, il "Premio Archimede 2013". Riporto testualmente l'incipit dell'articolo:

"In occasione del 2300esimo anniversario dalla nascita di Archimede, l'Unione Matematica Italiana (UMI) intende promuovere la conoscenza e l'attualizzazione del suo pensiero e della sua straordinaria figura di matematico e fisico, scienziato e ingegnere, in grado di coniugare ricerca pura di altissima qualità e applicazioni di concretissima efficacia. In particolare, in collaborazione con il Piano Nazionale Lauree Scientifiche (PNLS) e con il suo sostanziale contributo, l'UMI bandisce un concorso a premi volto a stimolare l'educazione matematica dei giovani, a valorizzare i collegamenti della matematica con le altre discipline scientifiche (con particolare riguardo alla fisica), nonché con la storia e la cultura, e a contribuire alla diffusione della matematica nella società italiana, stimolando altresì la collaborazione dei giovani tra loro e con i loro insegnanti di diverse materie.

Il resto delle informazioni lo trovate all'interno del post su MaddMaths!

3) Il secondo articolo dedicato ad Archimede è un breve ma magnifico schizzo, scritto da Paolo Maroscia (Professore Ordinario di Geometria all'Università degli Studi di Roma "La Sapienza"), relativo alle scoperte fondamentali di Archimede, che ha un titolo simile ad una filastrocca: "Della sfera il volume qual è? Quattro terzi pi greco erre tre". Vi riporto giusto un brevissimo "assaggio" del contributo (il resto lo leggete direttamente su MaddMaths!):

"La figura di Archimede è giunta fino a noi accompagnata dall’alone del mito e da varie leggende, che hanno creato intorno ad essa un’atmosfera di simpatia, testimoniata, per esempio, dalla diffusione dell’esclamazione Eureka!, divenuta ormai popolare e dal successo del personaggio di Archimede Pitagorico, introdotto nei primi anni Sessanta nei fumetti di Walt Disney. Ciò tuttavia non ha affatto sminuito la fama del grande scienziato. Ha scritto Voltaire che "c’era più immaginazione nella testa di Archimede che in quella di Omero".

4) Il terzo e ultimo post celebrante Archimede fa parte della categoria "Fantamatematica". E' un simpaticissimo articolo di Stefano Pisani dal titolo "Vita di Archimede". Vi riporto un breve e divertente passo dal suddetto contributo:

“Nell'immaginario collettivo il ricordo di Archimede è legato alla famosa Legge di Archimede: "Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del volume del fluido spostato, anche se il corpo crede sia invece tutto merito della sua dieta a base di gallette”. Archimede avrebbe scoperto questo principio idrostatico mentre faceva un bagno, notando che immergendosi nell’acqua provocava un innalzamento del livello del liquido. Questa osservazione l’avrebbe reso così felice che si sarebbe fiondato fuori dall'acqua esclamando "εuρηκα" (héureka!, ho trovato!). Una scoperta salutata con clamore dai presenti: "si rivesta subito! Santo cielo". "Evviva!" gioirono anche i suoi allievi "potremo uscire dalla vasca!".

Forza, che state aspettando? Andate ad "immergervi" nella simpatica vita di Archimede!



5) Adesso un particolare ed interessante contributo di Emiliano Cristiani inerente allo Shape-from-Shading, cioè un "problema classico nell'ambito del trattamento delle immagini, introdotto da Horn nel 1975". Il titolo del post è appunto "Shape-from-Shading: un problema impossibile?". Con questo post vi calerete nel mondo delle fotografie in bianco e nero e dell'equazione "eikonale". Cos'è? Lo capirete leggendo l'articolo!
 
6) Il prossimo post, redatto da Corrado Mascia, si chiama "E come Ergodico". Che vorrà significare? Qui vi anticipo soltanto che il post tratta simultaneamente l'atletica e la Matematica, e ve ne riporto l'incipit:

"Su una pista di atletica perfettamente circolare con raggio lungo 100 metri (e, di conseguenza, di lunghezza pari a 200 volte pi-greco, cioè 628 metri abbondanti) si allena con tenacia, un piccolo corridore che, ad ogni passo, copre esattamente la distanza di un metro. Partito dalla linea di partenza supera di nuovo la stessa linea dopo 629 passi e poi dopo 1257 (che è uno in meno di due volte 629) e così via. Il fatto curioso è che, in conseguenza al fatto che il numero pi-greco è irrazionale, cioè non è rapporto di numeri interi, l'atleta, giusto in prossimità del "Via!'' non si troverà mai esattamente al punto di partenza, ma sempre un po' più in quà, o un po' più in là."

7) Il post "Una sfida mondiale: il progetto MPE2013" descrive appunto l'importantissimo progetto mondiale (sotto il patrocinio dell'UNESCO) "Mathematics of Planet Earth". Come specifica inoltre Roberto Natalini:

"Il 2013 sarà infatti un anno speciale, dedicato al ruolo fondamentale che la matematica gioca nella maggior parte delle questioni che riguardano il nostro amatissimo pianeta Terra, alcune affascinanti, altre motivo di grande preoccupazione."

8) Tra i partners del progetto appena citato c'è anche l'Istituto Nazionale di Alta Matematica (INdAM). L'articolo "Una proposta italiana per Mathematics of Planet Earth 2013" di Elisabetta Strickland illustra proprio cosa l'INdAM sta organizzando per questa straordinaria iniziativa.


Ritorna in scena pure l'instancabile Annarita Ruberto, ma, questa volta, con un patchwork di interessanti contributi relativi alla categoria "Extra Moenia", sempre provenienti da Matem@ticamente:

1) "Io e la Matematica: Raccontiamoci!" è l'articolo in cui la prof. riporta i simpatici commenti dei suoi alunni di prima media inerenti al loro rapporto con la Matematica. Ve ne riporto un piccolo frammento (nello specifico, uno stralcio del racconto del piccolo Aleandro; poi, tutto il resto del post lo andate a leggere sul blog di Annarita!):

"A me piace la matematica, ti serve nella vita. Sono bravo nel calcolo, ma ho qualche problema nei problemi e nelle divisioni, io amo la matematica. E' un'esperienza molto bella. I numeri poi ti servono, se non sai la matematica i cassieri non ti danno il resto giusto (ti fregano i soldi).
Come dice il saggio: "La matematica è la forza degli studiosi."

2) Può la Matematica essere causa di dolore fisico? Effettivamente sì, come ci illustra Annarita nel suo articolo "L'ansia da prestazione matematica può attivare nel cervello l'area del dolore fisico", concernente questa tematica, che prende spunto da una "ricerca condotta dagli studiosi Ian M. Lyons (2012 PhD graduate in psychology from UChicago e postdoctoral scholar at Western University in Ontario, Canada) e Sian L. Beilock (Department of Psychology, University of Chicago).
Lo studio dal titolo “When Math Hurts: Math Anxiety Predicts Pain Network Activation in Anticipation of Doing Math” è pubblicato sul corrente numero di PLOS ONE". Sussiste un però:

"I ricercatori hanno scoperto che era l'anticipazione di doversi sottoporre ad una prestazione matematica, e non la prestazione matematica in se stessa, ad attivare nel cervello la sensazione del dolore fisico." 

Forza, recatevi presso Matem@ticaMente per approfondire meglio la questione.

3) Continua la serie sulle isometrie con il post "Trasformazioni isometriche: la rotazione". Anche qui (e pure nel post che seguirà), Annarita utilizza un applet GeoGebra per illustrare questa fantastica trasformazione geometrica.

4) Si conclude la serie di articoli inerenti alle isometrie con il post intitolato "Trasformazioni isometriche: la simmetria assiale". Essa, rispetto alle altre isometrie, presenta qualcosa di differente. Lo scoprirete leggendo il contributo. Vi invito a "gustare con gli occhi" questa bellissima saga di post!
 
5) Quello che vedete qui sotto è il bellissimo logo del Carnevale della Matematica del blog Matem@ticamente. Tale immagine presenta una precisa sequenza di numeri e appunto la suddetta designa il fulcro del post "A177342: storia di una sequenza numerica su OEIS". Non vi svelo nient'altro: andate a scoprire voi stessi questa particolare sequenza e il significato del singolare titolo del contributo di Annarita!

Adesso starete probabilmente (anzi, ne sono quasi sicuro) pensando: "sono certamente terminati i già numerosi contributi della prof. Ruberto". E invece no!!! C'è un ulteriore meraviglioso post della nostra vulcanica blogger, questa volta proveniente da un altro suo blog: Scientificando. Il titolo del post in questione già lascia trasparire il contenuto: "Dai neuroni all'Universo, la geometria frattale descrive la natura". Al suo interno troverete un interessantissimo articolo, concernente l'affascinante geometria frattale, scritto da Annarita e "pubblicato sul n.15 di Alice & Bob, Novembre-Dicembre 2009, il bimestrale che il Centro PRISTEM (MATEpristem) dell'Università Bocconi dedica al mondo della scuola".


A proposito di frattali, riecco Jean Manuel Morales, con un magnifico contributo intitolato "Il triangolo popolato". Praticamente, nel post, "una colonia infinita e frattale di serpenti fa la sua inquietante comparsa all'interno di un triangolo". L'interrogativo chiave è: quanta parte ne rimarrà libera? (Il concetto di integrale definito è sottinteso!).

Ma aspettate; Jean ci propone altri 2 interessantissimi contributi:

1) "Tranci d'ottagono": trattasi di "un problema di calcolo combinatorio di natura geometrica", focalizzato sulla figura dell'ottagono regolare. L'incipit del post, però, rappresenta una considerazione personale dell'autore sulla Matematica. Ve ne riporto un breve ma significativo frammento:

"La matematica non può essere solo invenzione, perché una volta che ci siamo inventati l’ottagono regolare unendo otto punti equispaziati su una circonferenza, la conseguenza che la somma dei suoi angoli interni sia 1080 gradi possiamo solo scoprirla."

2) "Tanto va la gatta al lardo": è un post incentrato sul calcolo delle probabilità, che risulta "sempre poco intuitivo, soprattutto quando lo si applica ad eventi reali". Il calcolo delle probabilità, inoltre, riportando un passo del suddetto contributo:

"è intrigante sia in senso stretto che in senso largo. L’essere umano è negato a stimare le probabilità degli eventi, ed è per questo che prendiamo sovente decisioni sbagliate, tipo quella di giocare d’azzardo."

Incredibilmente, "navigando" nel mondo delle probabilità, il post si dirige infine verso quello dell'analisi, tanto da proporre un bel problemino a riguardo! Non vi resta che recarvi nel blog di Jean e leggere i suoi bellissimi contributi!


Che Carnevale della Matematica sarebbe senza il suo padre fondatore?
Ecco allora giungere il sacco pieno di doni (altro che quello di Babbo Natale!) di Maurizio Codogno (o semplicemente .mau.).
Il suddetto mastodontico sacco (virtuale) è particolare, in quanto suddiviso in 2 grandi scompartimenti.
Il primo scompartimento è quello dove trovano posto i contributi provenienti dal blog Notiziole di .mau., che sono ben 8.
Questi 8 post possono essere divisi a loro volta nella seguente modalità:

• recensioni:

- "Matematica per gioco" è il post che recensisce l'omonimo libro di Federico Peiretti, concernente matematici che scrivono di giochi e giochi che parlano di matematica.

- il contributo "Mathematical Teasers" è invece relativo all'omonimo testo, sui quizzini matematici, di Julio A. Mira.

• quizzini della domenica:

- "Pallina bianca, pallina nera": un quesito che risale addirittura a Lewis Carroll;

- "Strane divisioni": richiede di dimostrare un'operazione che sembra impossibile;

- "Op-Art": .mau. chiede di contare i quadrati e i triangoli di una suggestiva figura;

- Avete mai giocato a sudoku? Quello che propone Maurizio non è un tradizionale sudoku quadrato, bensì un particolarissimo "Sudoku circolare" da risolvere.

• notiziole di povera matematica:

- Il post "Gomitolo elettorale" è relativo a proposte di legge elettorale lontane da ogni logica matematica;

- "Prendi due e paghi tre" riporta un'incredibile immagine!  

Veniamo ora al secondo scompartimento, quello del Post, che ci regala altri 5 stupendi doni, anch'essi ordinabili in precise categorie:

• articoli standard:

- Nel post "Il principio dei cassetti" .mau. ci parla di questo singolare principio (detto anche della piccionaia), il quale asserisce che:

"Se abbiamo N + 1 oggetti da mettere in N cassetti, allora possiamo essere certi che alla fine ci sarà almeno un cassetto che avrà almeno due oggetti al suo interno."
   
Maurizio fornisce anche una differente formulazione del principio, quella enunciata da E.W. Dijkstra, e ben 10 applicazioni del suddetto; ne riporto una (la numero 4):

"Scegliendo a caso cinque carte da un mazzo di 52, almeno due devono essere dello stesso seme. I semi sono quattro..."

Continuate a leggere questo interessantissimo post sul Post ;)

- Nel bellissimo contributo "Il paradosso di Braess" viene descritto, ovviamente, il paradosso dovuto al matematico tedesco Dietrich Braess. Fra Paperopoli, Topolinia, teoria dei giochi ed equilibri di Nash, l'articolo va ad analizzare il fatto che "aggiungere nuove connessioni a una rete, in certi casi, può portare a peggiorare le sue prestazioni". Ciò è, incredibilmente, "una conseguenza matematica dell'ipotesi che ognuno sia egoista".

- Un po' come il gatto di Schrödinger che è vivo e morto allo stesso tempo, Maurizio, con il meraviglioso post "Perché le note sono sette?", non centra il tema del Carnevale (l'algebra), ma allo stesso tempo centra una delle tematiche chiave di questo blog: la Musica! Vi riporto un frammento dell'articolo:

"Perché le note sono sette? La domanda è meno peregrina di quanto sembri, soprattutto considerato che in realtà l'ottava è divisa in dodici intervalli - i semitoni - e non si capisce bene da dove esca fuori il numero sette....Per iniziare, partiamo dalla scoperta dei pitagorici sul suono di corde di spessore e tensione identiche, ma lunghezza finita."

Il resto del post lo andate assolutamente a "gustare" sul blog di .mau., sul Post!

• recensioni:

- Nel post "Recensione: Scacchi e scimpanzé - Matematica per i giocatori razionali" Maurizio recensisce l'omonimo libro di Roberto Lucchetti, il quale è, detto in poche parole, un'introduzione alla teoria dei giochi scritta da un matematico, ma senza matematica! L'incipit di tale recensione recita:

"Come può fare un matematico a vincere un premio Nobel, visto che non viene assegnato per la matematica? Semplice: si traveste da qualcos'altro. Ci sono matematici che hanno vinto il premio per la fisica, per la chimica, per la letteratura."

Continua sul Post...

- Nel contributo "Recensione: Enigma - La strana vita di Alan Turing" si parla di un favoloso fumetto di Tuono Pettinato e Francesca Riccioni, inerente alle fasi salienti della vita di Alan Turing, padre dell'informatica moderna. Questo fumetto l'ho letto anch'io e vi posso assicurare che è veramente ben fatto. Ma veniamo alle considerazioni di Maurizio:

"D'accordo, io non avrei definito la vita di Turing "strana" ma al più "complessa", o "complicata" se siete tra coloro che amano i messaggi di stato di Facebook; ma questo è poco importante. Quello che è davvero importante è che nelle pagine del libro Francesca Riccioni è riuscita a tratteggiare, e Tuono Pettinato a mettere sotto forma di disegno, una quantità di informazioni non banale e soprattutto tendenzialmente completa."

Terminate la lettura dell'interessante recensione e poi vi consiglio di passare anche al fumetto vero e proprio!

Pagina 56 del fumetto

È giunto il momento di qualcosa di veramente singolare! Il Profeta Incerto, dal blog omonimo, ci propone infatti un post molto simpatico e originale concernente la macchina di Turing. Infatti, il titolo del post è "La macchina di Turing Overclockata". Dopo aver spiegato in maniera chiarissima cos'è la vera macchina di Turing, il Profeta propone un proprio modello di tale macchina (astratta), al fine di cercare di confutare la cosiddetta congettura di Goldbach. Non fornisco altri spoiler: se siete curiosi di sapere cos'è la congettura di Goldbach e, soprattutto, la "macchina di Turing overclockata", non dovrete far altro che dirigervi immediatamente sul blog del Profeta!


A proposito di contributi particolari, rifà la sua comparsa Claudio Pasqua col post "Piergiorgio Odifreddi, il punto G e il post "censurato" di Repubblica", al cui interno troverete un interessante video ove Odifreddi racconta la matematica proprio attraverso il punto G. ATTENZIONE: Non è "quel" punto G, bensì un altro, ben differente!


I contributori ed i contributi non sono ancora terminati! Infatti, è giunto il momento di Gianluigi Filippelli, curatore del poliedrico blog Dropsea e assiduo partecipante dei Carnevali, con 3 splendidi ed estremamente diversi contributi, assolutamente da non perdere:

1) Il contributo di carattere matematico-biologico intitolato "L'immuno-dinamica dell'HIV" è focalizzato, pensate un po', nell'analisi del rapporto tra la Matematica e l'AIDS. Vi riporto un passo molto significativo dall'articolo:

"Sistemi dinamici continui, equazioni differenziali ordinarie o parziali, stanno producendo nuovi indizi sull'infezione dell'HIV. Modelli di popolazione sono molto comunemente utilizzati, e, date le ipotesi sulle interazioni di queste popolazioni, i modelli possono essere creati, analizzati, e raffinati. Le equazioni differenziali utilizzate modellizzano la dinamica esistente all'interno delle cellule del sangue, sia di quelle malate sia di quelle sane."

Il resto di questo interessantissimo articolo lo trovate su Dropsea. Non perdetevelo!

2) Il post "Potenze del 12" è uscito su Dropsea precisamente alle 12:12 del 12/12/12. Il protagonista di questo contributo è ovviamente il numero 12, assieme al sistema duodecimale (cioè in base 12), analizzato sotto diverse prospettive, tra cui pure quella musicale! Infatti, a fine post, viene riportato un magnifico passo dall'articolo Absolute pitch: perception, coding, and controversies di Daniel Levitin (autore del libro Fatti di Musica) e Susan Rogers, i quali sostengono, in sintesi, che "molti sistemi musicali di culture differenti si basano proprio sulla base-12, ovvero presentano 12 note". 12: che gran bel numero!

3) Avete mai osservato delle dimostrazioni geometriche senza parole? Ebbene, questo contributo ve ne presenta ben 3 (teorema di Tolomeo, teorema del coseno, teorema del coseno via teorema di Tolomeo). Il post, ovviamente, ha come denominazione "Dimostrazioni senza parole: il teorema di Tolomeo e la legge dei coseni". Inoltre, come precisa Gianluigi, il post è stato ispirato dalle dimostrazioni senza parole di Roberto Zanasi, altro contributore del Carnevale della Matematica.


Lupus in fabula! Ecco proprio Roberto Zanasi, dal blog Gli studenti di oggi, che ci propone la bellezza di 4 post, di cui i primi 2 risultano (come uno di .mau.) non a tema ma, allo stesso tempo, a tema (riguardano la Musica!):

1) "Ma perché proprio le frequenze? - sinusoidi": descrive in dettaglio il suono più semplice (ma, allo stesso tempo, "il più noioso da ascoltare"), quello rappresentato dall'onda sinusoidale, caratterizzata da 3 parametri chiave: frequenza, ampiezza e fase. Alla fine del post, troverete un'incantevole animazione realizzata con GeoGebra.

2) "Ma perché proprio le frequenze? - somme di sinusoidi": approfondisce i concetti introdotti nell'articolo precedente. In particolare, il post cerca di rispondere alle cruciali domande: "come si generano suoni diversi? E note diverse?". Che c'è di meglio che scoprire la Matematica alla base della Musica?

Roberto ci avvisa inoltre che sono in fase di preparazione ulteriori post (da non perdere assolutamente) inerenti a questo bellissimo rapporto matematica-musica!

3) "Nuove frontiere dell'animazione digitale": è un post contenente un'animazione, realizzata sempre con GeoGebra, che permette la visualizzazione dell'aberrazione della luce, con tanto di fotone che scende e telescopio in movimento.

4) "Enigma": trattasi della recensione di Roberto relativa al fumetto Enigma, quello osservato in precedenza! Ve ne riporto un breve ma significativo "assaggio":

"È una storia a fumetti che racconta di Alan Turing, della sua vita, delle sue scoperte, del suo genio e della sua triste fine. La biografia è molto dettagliata, ma non è un testo matematico (non temete): vengono citate alcune pietre miliari della storia della matematica, come il paradosso di Russell, il programma di Hilbert, il teorema di Gödel, la macchina di Turing e l'omonimo test. Viene poi descritta l'attività di Bletchley Park, e vengono citate le macchine Enigma e Colossus."

Ah, dimenticavo, eccola riapparire:

Da Grimilde ritorniamo ai nostri carnevalisti, con i 3 favolosi contributi di Paolo Alessandrini, curatore del blog Mr. Palomar:

1) Indovinate un po'? Si parla ancora di Musica. Infatti, il titolo del primo post proposto da Paolo è "La scala "naturale" da Tolomeo a Zarlino" ed esso fa parte di una serie più ampia, relativa alle scale musicali da Pitagora ai giorni nostri. Pitagora è sicuramente il protagonista indiscusso della prima parte della storia delle scale musicali, tuttavia, come sottolinea giustamente Paolo:

"I pregi della scala pitagorica sono evidenti, [...] (ma essa) è affetta da un problema legato al cambio di tonalità: se uno strumento è accordato pitagoricamente in una certa tonalità, è probabile che diventi scordato se suonato in una tonalità diversa."

Ecco allora un excursus sulle eminenti figure di Claudio Tolomeo (noto soprattutto per il suo modello cosmologico geocentrico) e Gioseffo Zarlino. Il contributo si sofferma pertanto sulle caratteristiche del cosiddetto sistema "naturale" tolemaico-zarliniano. Un articolo da non perdere!

2) Il post "Il desiderio di spiegare" illustra delle riflessioni circa la divulgazione scientifica. La scintilla che innesca tale profonda e giustissima riflessione è rappresentata da una frase presente nell'introduzione del libro Civiltà extraterrestri dello straordinario Isaac Asimov:

"Ardo dal desiderio di spiegare, e la mia massima soddisfazione è prendere qualcosa di ragionevolmente intricato e renderlo chiaro passo dopo passo. È il modo più facile per chiarire le cose a me stesso."

Proseguite la lettura di questo delizioso contributo!

3) Continua una particolare serie di post tipici del blog Mr. Palomar: quelli concernenti le parole informatiche. Per la presente occasione, Paolo ci parla a riguardo del termine "euristico", il quale "deriva dal verbo greco εὑρίσκω, che significa "trovare", "scoprire"". Riporto un breve frammento dal contributo:

"Il termine "euristico", quindi, ha a che fare con il "trovare" e con lo "scoprire".
Si parla infatti di metodo euristico, non solo in informatica, ma anche nell'ambito della filosofia e della psicologia, per indicare un approccio alla soluzione di un problema che non procede secondo un percorso predefinito, "a colpo sicuro", ma che si basa su procedimenti più creativi, innovativi, che di volta in volta si adattano alle circostanze e sono in grado di generare nuova conoscenza."

Beh, che aspettate? La parola "euristico" è degna di essere conosciuta per bene!


Chiudiamo in bellezza questa esposizione di articoli con il ritorno dei Rudi Mathematici! Ecco allora 3 meravigliosi contributi:

1) "In media, ho sempre ragione - Seconda parte": trattasi della seconda parte di un lungo articolo scritto, "millenni fa", dai Rudi in collaborazione con un'altra star della blogosfera scientifica: il chimico Dario Bressanini. Come annuncia già il titolo, esso riguarda le medie, anzi un numero esorbitante di medie, di ogni tipologia (di Erone, di Holder, di Minkowsky, di Lehmer e tantissime altre). D'altronde, come afferma una nota locuzione latina, in medio stat virtus.

2) "Le isole Ünpøstrånæ": è una rivisitazione della perversa logica del matematico, filosofo, scrittore, pianista e prestigiatore Raymond Smullyan. Riporto un brevissimo frammento, giusto per farvi capire meglio di cosa si tratta:

"Nel nostro ultimo viaggio, siamo arrivati su una strana isola, appartenente all’arcipelago delle Isole Ünpøstrånæ: ci sentivamo quasi a casa, visto che gli abitanti erano o Bugiardi o Sinceri (senza variazioni sul tema tipo la pazzia o quant’altro)"

Tutto il resto lo trovate ovviamente nel blog dei Rudi!

3) "L'abbuffata delle tigri": Un contributo dove si parla di un gioco di origine indiana in cui, in una scacchiera abbastanza bizzarra, pensate un po', convivono caprette e tigri! Roba da pazzi? No, da Rudi!












Nota aggiuntiva: i nostri Rudi ci segnalano che non hanno elaborato il loro solito post della categoria "compleanni" (ovvero un corposo articolo dedicato ad un'importante figura della storia della Matematica), a causa di una sfasatura (nel senso che qualche altro carnevale ne ha avuti 2).
Tuttavia, per farsi perdonare, annunciano che subito dopo l'uscita del presente Carnevale sarà diffuso (via Newsletter, e scaricabile come sempre dal loro sito) il loro leggendario Calendario 2013, un calendario che si preannuncia ancor più epico dato che la guest-star è nientepopodimeno che Popinga!


E adesso il momento musicale:





Non posso non concluderlo con la bellissima interpretazione di "Silent Night" eseguita da Dave Brubeck, straordinario pianista jazz scomparso lo scorso 5 dicembre all'età di 91 anni:

Siamo giunti ai "titoli di coda" del Carnevale!

Per me è stata un'esperienza stupenda organizzare la presente edizione di questa magnifica iniziativa.
Spero di essere stato all'altezza del compito!
Spero inoltre che vi siate, oltre che acculturati ancor più di Matematica in tutte le sue sfaccettature, anche divertiti!
Ringrazio tutti i Carnevalisti che hanno partecipato e arricchito il Carnevale con i loro straordinari e così variegati contributi!
Sono veramente felice che la partecipazione sia stata così numerosa: ben 61 contributi!
Un ultimo doveroso ringraziamento va ovviamente a coloro che si fermeranno a leggere il tutto, e che magari scopriranno qualcosa di nuovo ed interessante in merito all'algebra o alla Matematica in generale.
Signore e signori, è arrivato il momento di calare il sipario!
Ah, un'ultimissima cosa: l'edizione n.57 del Carnevale della Matematica verrà ospitata (Maya permettendo! Ovviamente scherzo!) il 14 gennaio dalla straordinaria Annarita Ruberto, su Matem@ticamente, con tema: "Matematica e nuove tecnologie".