MATEMATICA ED ARTE: L'ELICA

La matematica e l'arte sembrano, a prima vista, 2 mondi totalmente differenti, uno dominato dalla pura razionalità, l'altro dalla fantasia e dall'immaginazione.
In realtà, spesso e volentieri, la matematica risulta una disciplina assai creativa mentre l'arte tende ad utilizzare le regole rigorose della matematica, come nel caso del principio di proiezione e sezione alla base della prospettiva focale, di cui abbiamo parlato qui.
Per far percepire l'attività creativa della matematica, riporto un breve passo da Récoltes et semailles, opera scritta, tra il 1983 e il 1986, dal grandissimo matematico Alexander Grothendieck (1928-2014), passo che traggo da un bel libro intitolato Matematica ribelle, le due vite di Alexander Grothendieck:

"La maggior parte dei matematici...hanno la tendenza a confinarsi in un quadro concettuale, in un ≪Universo≫ fissato una volta per tutte — quello, sostanzialmente, che hanno trovato ≪bell'e pronto≫ quando hanno fatto i loro studi. Possono essere paragonati a chi abbia ereditato una grande e bella dimora, arredata con tutte le comodità, con i suoi saloni, le sue cucine e i suoi laboratori, e le sue casseruole e attrezzi per ogni evenienza, con i quali c'è modo certamente di cucinare e di fare tanti bei lavoretti...Per quel che mi riguarda, sento piuttosto di appartenere alla stirpe dei matematici la cui vocazione spontanea, e la cui gioia, è di costruire senza posa case nuove. Strada facendo, costoro non possono sottrarsi anche al compito di inventare e di forgiare man mano tutti gli arnesi, utensili, mobili e strumenti che sono necessari tanto per costruire la casa dalle fondamenta fino al colmo del tetto, quanto per rifornire in abbondanza le future cucine e i futuri laboratori, e arredare la casa per viverci con tutti gli agi. Ciò nonostante, non appena tutto è sistemato fino all'ultima grondaia e all'ultimo sgabello, è raro che l'operaio si trattenga a lungo nei luoghi in cui ogni pietra e ogni trave reca traccia della mano che l'ha lavorata e posata. Il suo posto non è nella quiete degli universi bell'e pronti, per quanto armoniosi e accoglienti possano essere — non importa se siano stati congegnati dalle sue proprie mani o da quelle dei suoi predecessori. Altri compiti già lo chiamano su nuovi cantieri, sotto la spinta imperiosa di bisogni che è forse il solo a provare chiaramente, o (ancora più spesso) anticipando bisogni che è il solo a presagire."

L'interessante commento a seguito del suddetto passo presente nel testo Matematica ribelle è quello che segue:

"Il profano che si accosti all'opera matematica di Grothendieck dovrà dunque abbandonare l'idea comune secondo cui il matematico è un problem solver e provare a considerarlo come un demiurgo, o piuttosto come un artista. In questa prospettiva, la matematica diventa un'arte, seppure del tutto particolare, nella quale l'arbitrarietà delle invenzioni si concilia con il rigore delle dimostrazioni, e l'immaginazione si accorda con la ragione: le sue opere sono teorie in un intreccio, un disegno, che permette sempre di cogliere un'unità nella molteplicità."

Questa premessa ci serve per introdurre un argomento che è a cavallo tra matematica ed arte, una forma geometrica che ha e ha avuto tante applicazioni in campo artistico ed architettonico: stiamo parlando dell'elica!
Un'elica cilindrica è semplicemente una curva nello spazio tridimensionale, la quale viene rappresentata alla stregua di una linea avvolta con un angolo costante intorno ad un cilindro (a sezione circolare).


















Un'immagine suggestiva che potremmo far scaturire nella nostra mente per fissare bene il concetto di elica in geometria è quello di un contenitore a forma di cilindro attorno al quale si è avvolto un lungo serpente (naturalmente assumendo un arrotolamento perfetto ad angolo costante del rettile)!

Se proprio vogliamo essere rigorosi, dovremmo dire che l'elica è caratterizzata da un vettore tangente, il quale forma un angolo costante con una direzione ben precisa, che è la direzione definita dal proprio asse di rotazione.
Il fatto di essere una linea della superficie cilindrica a pendenza costante rende palese l'utilità della costruzione di scale proprio a forma di elica, le cosiddette "scale a chiocciola".




















Da un punto di vista puramente matematico, un'elica può essere poi descritta parametricamente dalle seguenti equazioni:






ove r è il raggio del cilindro, t è un parametro numerico reale, c è una costante denominata ≪passo≫ dell'elica.
In particolare, il passo designa la distanza minima tra 2 punti dell'elica che giacciono sulla medesima verticale, ossia che hanno le stesse coordinate x ed y.














È interessante constatare che, quando c = 0, le equazioni vanno a descrivere nientemeno che un cerchio, che è quindi una forma degenere di elica, mentre un'ulteriore forma degenere si ha ovviamente quando r = 0, imposizione che riduce il tutto a una linea retta!
Tra le proprietà dell'elica cilindrica, di particolare interesse è la seguente: dati 2 punti qualsiasi su un cilindro, ma non sulla stessa retta generatrice, il cammino più breve (chiamato geodetica) sul cilindro per andare da un punto all'altro è proprio un'elica!
Il segno positivo o negativo del passo c determina pure se l'elica è destrogira o levogira.

Tutto ciò fa dell'elica un oggetto chirale (si veda qui)!
Le viti a elica sono quasi tutte destrogire.
Le eliche cilindriche condividono una peculiarità con le rette e le circonferenze: sono infatti le curve che ammettono un gruppo di isometrie in sé.
In altre parole, presi 2 punti della linea considerata, esiste un'isometria del gruppo che trasforma la linea in sé, portando il primo punto nel secondo!
In particolare, si perviene alle trasformazioni che portano un'elica su se stessa andando a combinare una rotazione intorno all'asse della superficie cilindrica con una traslazione nella direzione delle rette della superficie.
Il termine "elica" fa subito pensare pure ad applicazioni tecnologiche di rilievo: in meccanica, un'elica è uno strumento che trasforma un movimento rotatorio in una spinta di direzione perpendicolare al piano di rotazione.
La mente brillante di Leonardo da Vinci (di cui abbiamo parlato qui) condusse poi alle eliche degli elicotteri, delle navi e degli aerei.
Tuttavia, già in tempi più antichi le peculiarità delle eliche cilindriche vennero riconosciute e sfruttate.
Oltre al torchio di legno impiegato sin dal I secolo a.C. nel Mediterraneo per spremere uva ed olive, va ricordata la cosiddetta pompa (vite) senza fine di Archimede, chiamata anche coclea (termine latino che sta per "chiocciola").
Essa è generalmente costituita da un tubo in cui scorre una vite cilindrica; posta in rotazione la vite, ogni avvolgimento porta acqua o altro materiale incoerente all'avvolgimento seguente, fino a quando l'acqua o il materiale raggiungono l'altro estremo del tubo, nel quale vengono raccolti o fatti espandere.











Al giorno d'oggi la vite è considerata una macchina semplice (ovvero non scomponibile in parti che siano a loro volta macchine) capace di trasformare un moto circolare in un moto rettilineo.
Molti attribuiscono l'origine della vite al grande matematico greco Archita di Taranto (428-347 a.C.).
Secondo lo storico e matematico Proclo di Costantinopoli (412-485 d.C.), le proprietà matematiche della vite sono dovute a un altro notevole esponente della matematica antica, cioè Apollonio di Perga (262-190 a.C), l'autore delle famose "coniche".
Successivamente, Erone di Alessandria (vissuto tra il I e il II secolo d.C.) giunse ad un metodo per creare viti cilindriche con la propria madrevite.
Le prime viti erano naturalmente costitute da legno; le viti metalliche apparvero in Europa nel XV secolo, tuttavia per una produzione di massa bisognerà aspettare il XVIII secolo.
Infatti, nel 1797, il giovane ingegnere britannico Henry Maudslay (1771-1831) inventò un apposito tornio per costruire viti.
L'anno successivo ci fu una del tutto analoga invenzione da parte di David Wilkinson (1771-1852), negli Stati Uniti.
Il vero e proprio boom delle viti metalliche, come le conosciamo oggi, si manifestò durante la Seconda guerra mondiale.
Negli anni '30 fu peraltro ideata la vite con testa a croce.
Vi starete ormai impazientemente chiedendo: "Sì, ma cosa c'entra l'elica con l'arte?".
Andiamo dritti al nocciolo della questione!

Innanzitutto diciamo che su uno stesso cilindro è possibile tracciare infinite eliche che a 2 a 2 non si incontrano (eccetto nell'eventuale punto di partenza comune).
Andando a sviluppare la superficie cilindrica su di un piano, ciascuna elica si sviluppa in una serie di segmenti.

















Naturalmente si può fare "rewind", partendo dallo sviluppo effettuato e tornando alla superficie di partenza, andando a raccordare i bordi "destro" e "sinistro" dello sviluppo; dunque la successione di segmenti si riallaccia in una linea connessa.
Nel suddetto sviluppo, 2 segmenti paralleli rappresentano eliche che non si incontrano.
Ed ecco che arriva l'arte: nei Musei Vaticani a Roma, ma pure nel Pozzo di San Patrizio a Orvieto, vi sono 2 scale a chiocciola di questo tipo.

Scala a chiocciola doppia, Musei Vaticani, Roma.

Scala a chiocciola doppia, Pozzo di San Patrizio, Orvieto.

Ma non finisce certo qui.
Infatti, certe colonne nei dipinti di Giotto presenti nella Basilica di San Francesco ad Assisi e nella Cappella degli Scrovegni a Padova mostrano proprio eliche!

Giotto, La liberazione dell'eretico Pietro di Alife, Basilica di San Francesco, Assisi.

Giotto, Presentazione di Gesù al tempio, Cappella degli Scrovegni, Padova.

Anche le colonne tortili, come quelle del baldacchino di San Pietro nella Città del Vaticano, presentano dinanzi agli occhi degli osservatori un incredibile cammino elicoidale.

Colonne del baldacchino di San Pietro, Città del Vaticano, Roma.

Sussiste inoltre una moltitudine di opere d'arte che raffigurano scale a elica.
Segnaliamo qui la famosa Filosofo in meditazione, datata 1632, opera che appartiene alla prima attività di Rembrandt ad Amsterdam:

Rembrandt Van Rijn, Filosofo in meditazione, Museo del Louvre, Parigi.

Spingendoci nei meandri dell'arte moderna, suggestiva è l'elica cilindrica che ispira l'opera, datata 1971, dello svedese Carl Magnus intitolata Scale di Chambord:

Carl Magnus, Scale di Chambord, collezione privata, Flandes (Colombia).

Torniamo brevemente, per porre fine alla narrazione, sulle ultime proprietà matematiche dell'elica.
Innanzitutto specifichiamo che la doppia elica è quella figura costituita da una coppia di eliche identiche, ma non coincidenti.
In particolare, una delle 2 si può pensare ottenuta dalla prima mediante una traslazione lungo l'asse z di lunghezza non multipla intera del passo dell'elica.
L'esempio più noto di doppia elica in natura è sicuramente la celebre struttura del DNA scoperta da Watson e Crick e apparsa per la prima volta sulla rivista Nature nel 1953.
Le eliche possono anche avvolgersi attorno a cilindri non circolari

• con direttrice ellittica: elica ellittica;
• con direttrice a forma di sezione di iperbole: elica iperbolica;
• attorno a coni circolari o no: elica conica.

Ecco la meravigliosa immagine di una pianta rampicante a forma di elica conica:




















Va poi detto che un'elica cilindrica è una curva sghemba, ossia non appartenente ad un piano.
Risulta possibile, tuttavia, rappresentarne delle proiezioni piane e, tra queste, particolarmente interessanti sono:

- quelle viste da un "punto all'infinito" di una retta ortogonale alle rette del cilindro (in sostanza, l'immagine prospettica da un punto di vista decisamente lontano);
- quella vista da un punto dell'asse del cilindro (per esempio, una scala a chiocciola osservata dal suo asse).

Ma cosa si dovrebbe vedere precisamente nelle 2 proiezioni appena citate?
Nel primo caso (quello del punto all'infinito), si avrebbe una sinusoide.

Un'elica e le sue componenti sinusoidali x e y

Nei dipinti di Giotto a volte si vede proprio una sinusoide, altre volte dei segmenti di rette, che costituiscono l'approssimazione di una sinusoide.
Nel secondo caso (cioè la visione dell'elica da un punto dell'asse), si vedrebbe una spirale iperbolica, curva descritta per la prima volta da Pierre Varignon nel 1704 e successivamente oggetto di studi da parte di Johann Bernoulli e Roger Cotes.

Dato che abbiamo parlato a lungo di scale, direi di terminare il post con il brano I'll Build A Stairway To Paradise di George Gershwin nella fantastica interpretazione di Larry Adler feat. Issy Van Randwyck:



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Fonti principali:

- Arte e matematica di Bruno D'Amore;
- Matematica Ribelle, Le due vite di Alexander Grothendieck (autori vari);
- Dalla geometria di Euclide alla geometria dell'Universo di Arzarello, Dané, Lovera, Mosca, Nolli e Ronco.