JOHN VENN E I SUOI DIAGRAMMI

Se doveste chiedere ad un passante di parlare almeno 30 secondi riguardo ad Einstein, Pitagora, Newton o Gauss ci sarebbe una discreta probabilità che qualche minima parola su un aneddoto biografico, citazione o contributo più particolare che li riguarda venga fuori.

Se, invece, chiedeste di parlare di John Venn sono abbastanza convinto che nel migliore (e forse raro) dei casi, a meno che non becchiate un vero appassionato di matematica, la risposta sarebbe "Ah Venn, forse quello dei diagrammi con gli insiemi" e stop!

Trovo abbastanza singolare che di un matematico (ma anche logico e filosofo) che abbia introdotto un concetto così essenziale e semplice (almeno nelle sue fondamenta), tanto da essere studiato ancora oggi generalmente sin dalla prima media, si sappia, ad eccezione degli esperti o patiti di storia della matematica, praticamente nulla.

Questo post sarà incentrato dunque sulla biografia di Venn e poi su qualche aspetto più particolare riguardante i celebri diagrammi.

Innanzitutto, per chi non ricordasse molto riguardo i diagrammi di Venn e le operazioni insiemistiche basilari, ecco di seguito un buon video riassuntivo presente sul canale YouTube di Agostino Perna. 

Siamo ora pronti per tornare nell'Inghilterra del XIX secolo e scoprire la vita di Venn.
John Venn nacque il 4 agosto 1834 nella città portuale inglese Kingston upon Hull (o semplicemente Hull). Aveva una sorella, Henrietta, nata quasi 2 anni prima, nello specifico l'8 ottobre 1832.

La madre, Martha Sykes, morì nel 1840, quando il bimbo era ancora molto piccolo. 

Per quanto concerne il padre, il reverendo Henry Venn, questi era il rettore della parrocchia di Drypool, vicino a Hull, ai tempi della nascita del figlio.

È interessante notare come la famiglia Venn provenisse da una lunga eredità gemella di natura clericale ed evangelica.

Infatti il nonno paterno, anch'esso chiamato John Venn, fu ministro alla famosa confraternita nota come Clapham Sect; un altro Henry Venn, suo bisnonno, fu l'autore di The Complete Duty of Man, un trattato del XVIII secolo che per molte generazioni costituì un manuale pratico fondamentale per il sistema evangelico dei valori cristiani.

Più o meno all'epoca della nascita del futuro matematico, suo padre Henry Venn aggiunse due sermoni alla biografia del proprio nonno (scritta da John Venn di Clapham, ma lasciata incompiuta), sermoni che hanno ulteriormente stabilito l'importanza della religione di famiglia e le responsabilità religiose reciproche di tutti i membri della famiglia.

Con una premessa del genere è lecito aspettarsi che il nostro John ricevette un'educazione molto rigorosa ed indirizzata in prospettiva di un futuro percorso sacerdotale
Egli frequentò prima la Sir Roger Cholmley's School di Highgate, poi la Islington Preparatory School, una scuola privata.

Durante la prima metà dei suoi circa 6 anni trascorsi a scuola, ossia tra il 1846 e il 1853, Venn non fu proprio uno studente modello: era inattivo, aveva cattivi compagni, non mostrava nessun interesse per nessuna materia e restò in una classe bassa nonostante il livello di rendimento della scuola fosse tutt'altro che alto.

In un giorno d'estate del 1850 Venn cominciò ad interessarsi all'algebra e ben presto fece straordinari progressi in matematica, arrivando a leggere una quantità di testi decisamente fuori dal comune per un normale studente.

Tuttavia gli stimoli esterni per continuare in tale direzione non furono molti, giacché non aveva concorrenti che sfidassero il suo talento matematico e nessuno degli alunni più grandi sembrava mostrare alcun interesse per la materia.

Il suo nuovo zelo accademico non passò però inosservato. Ne conseguì infatti un suo trasferimento alle classi superiori, ove strinse peraltro amicizie durature.

Per completezza va detto che, accanto all'istruzione formale appena descritta, Venn ricevette anche una notevole "istruzione informale", a casa, da parte di insegnanti privati.

Quando Venn fu ammesso al Gonville and Caius College il 25 giugno 1853, e immatricolato a Cambridge nell'ottobre dello stesso anno, rappresentò l'ottava generazione della dinastia dei Venn a conquistare l'accesso all'università.

Dopo aver vinto una borsa di studio in matematica al secondo anno di studi, si laureò (a seguito di una prova che consistette in circa 27 ore di risoluzione di 113 problemi) come "sixth Wrangler" nei Mathematical Tripos del 1857, ovvero si classificò al sesto posto tra quegli studenti che avevano conseguito una laurea di prima classe in matematica.

Durante i suoi anni universitari le simpatie evangeliche di Venn, coltivate all'interno della casa di famiglia e ancorate dal timore reverenziale e dal rispetto che provava nei confronti di suo padre, rimasero saldamente al loro posto.

Alla fine degli anni '50 Venn apparteneva ancora al partito evangelico anche se a quel tempo si era fatto altri amici al di fuori delle loro fila, con i quali era solito trascorrere molto tempo.

Inoltre, poco dopo essersi laureato, venne eletto Fellow del Gonville and Caius College, dopodiché, nei 2 anni successivi, fu ordinato sacerdote. 

Già nel 1858 era stato ordinato diacono a Ely, poi, dopo la sua ordinazione sacerdotale, aveva prestato servizio dapprima come curato a Cheshunt, nell'Hertfordshire, e successivamente per un anno come curato a Mortlake, Surrey.

E giungiamo così al 1862. È sicuramente curioso notare come, a differenza di alcuni dei suoi contemporanei più prodigiosi che produssero i loro primi articoli da studenti, all'età di 27 anni Venn non aveva scritto nulla, né per uso privato né per la pubblicazione, a parte lettere settimanali e sermoni.

Tuttavia, ad un certo punto, nel 1861, Venn decise di approfondire circa una questione che lo aveva colpito due anni prima durante la lettura del libro VI ("Sulla logica delle scienze morali") dell'opera, datata 1843, Sistema di logica raziocinativa e induttiva, in cui John Stuart Mill discuteva della "possibilità astratta di una scienza della sociologia, e in particolare di predire il corso delle azioni umane".

Tale ricerca si concretizzò appunto nella prima opera pubblicata, proprio nel 1862, da Venn, cioè Science of History.

Sempre in quell'anno lo studioso fece ritorno all'Università di Cambridge come docente di scienze morali, studiando e insegnando logica e teoria della probabilità.

Oltre al sopracitato trattato di Mill, Venn si era interessato in quegli anni alla logica, filosofia e metafisica, leggendo le opere pure di De Morgan, Boole (di lui abbiamo parlato qui) e John Austin.

Nel primo periodo da docente universitario Venn era preoccupato di non riuscire ad attirare studenti verso le sue lezioni sulle scienze morali e dubitava delle proprie abilità nell'insegnamento.
Ma presto, in particolare a partire dal 1867, le cose cambiarono in suo favore, ottenendo addirittura il permesso di accettare studenti di altri college alle sue lezioni.
Nel 1867 anche la vita privata del matematico ricevette un bello scossone: sposò infatti Susanna Carnegie Edmonstone, la figlia del reverendo Charles Edmonstone.
La coppia ebbe un figlio, John Archibald Venn (1883-1958), che divenne presidente del Queen's College di Cambridge nel 1932 e collaborò col padre alla redazione dell'opera in 10 volumi (pubblicati tra 1922 e 1953) Alumni Cantabrigienses, ossia un registro biografico degli ex membri dell'Università di Cambridge.

GRASSMANN E LE SUE VARIABILI

Il presente post sarà focalizzato nella spiegazione di un concetto matematico molto utile nell'ambito della teoria quantistica dei campi: le variabili di Grassmann.

Esse infatti sono fondamentali per il calcolo delle cosiddette funzioni di correlazione di campi fermionici e, in particolare, per la definizione degli integrali funzionali per i fermioni. 

Per inciso ricordiamo che i fermioni sono quelle particelle (tra cui, per esempio, l'elettrone) che, in base al teorema spin-statistica, presentano spin semi-intero e obbediscono al principio di esclusione di Pauli.

Non abbiate troppa paura, il post non richiederà prerequisiti di teoria quantistica dei campi per la comprensione, ma "solo" il generico background matematico tipico dei post un po' più tecnici presenti in questo blog.

Possiamo però cominciare molto dolcemente anche per il lettore totalmente a digiuno di matematica avanzata, inquadrando in primis l'interessante biografia del matematico, fisico e linguista tedesco Hermann Günther Grassmann, che sono sicuro vi sorprenderà notevolmente.

Terzo di dodici figli, Grassmann nacque il 15 aprile 1809 a Stettino da Justus Günter Grassmann (consacrato ministro del culto, ma poi divenuto docente di matematica e fisica presso il liceo di Stettino) e Johanne Luise Friederike Medenwald (figlia di un ministro del culto di Klein-Schönfeld).

Justus scrisse diversi libri scolastici di fisica e matematica e intraprese anche ricerche inerenti alla cristallografia.

Anche il fratello di Hermann, Robert, divenne un matematico e i due collaborarono a svariati progetti.

Ma focalizziamo la nostra attenzione su Hermann.

L'istruzione primaria di Hermann si dovette alla madre, donna decisamente saggia e colta.

Dopodiché frequentò una scuola privata prima di entrare nel ginnasio di Stettino dove insegnava suo padre.

Ecco, molti sono abituati a pensare ai grandi matematici e scienziati della storia come studenti brillantissimi, geni, "mostri", "alieni" in grado di ridicolizzare anche i propri insegnanti.

Questo non fu assolutamente il caso di Grassmann, quantomeno inizialmente!

Infatti costui, nonostante avesse eccellenti opportunità di coltivare la sua istruzione in una famiglia con un'ampia mentalità educativa, non eccelse durante i suoi primi anni di ginnasio.

Magari non ci crederete, ma suo padre ad un certo punto pensò addirittura che il figlio dovesse indirizzarsi più su un lavoro manuale (come per esempio fare il giardiniere o l'artigiano) piuttosto che focalizzarsi su studi difficili apparentemente non alla sua portata.

Hermann si appassionò alla musica e imparò a suonare il pianoforte. 

Man mano che progredì nella scuola, migliorò a piccoli passi e nel momento degli esami finali di scuola secondaria, all'età di diciotto anni, si classificò al secondo posto nella scuola.

Insomma un bruco diventato farfalla!

Questa vicenda dovrebbe far riflettere sul fatto che un brutto voto scolastico o un periodo di rendimento negativo non definiscono in toto l'intelligenza e le capacità di una persona. Sarebbe bello che imparassimo tutti quanti a non giudicare un libro dalla copertina o dalle prime pagine.

Tornando al nostro racconto biografico, Hermann decise che avrebbe studiato teologia e si recò a Berlino nel 1827 con il fratello maggiore per studiare nella prestigiosa Università ivi presente. 

Seguì corsi di teologia, lingue classiche, filosofia e letteratura, ma pare che non abbia mai seguito corsi di matematica o fisica.

Sebbene non possedesse una preparazione universitaria formale in matematica, fu tale argomento che lo interessò al suo ritorno a Stettino nell'autunno del 1830 dopo aver completato gli studi universitari a Berlino. 

L'influenza del padre risultò determinante nel portarlo sulla strada della matematica; Hermann decise che sarebbe diventato un insegnante di scuola, ma era determinato a intraprendere ricerche matematiche per conto proprio. 

Dopo un anno di ricerca matematica e di studio utile nella preparazione degli esami necessari per insegnare nei ginnasi, si recò a Berlino nel dicembre 1831 per sostenere i suddetti esami.
Le sue prove scritte non ebbero tuttavia una buona valutazione, dal momento che i suoi esaminatori gli diedero la licenza di insegnare solo ai livelli più bassi del liceo. 

Gli fu in particolare detto che, prima di poter insegnare ai livelli superiori, avrebbe dovuto sostenere nuovamente gli esami e dimostrare una maggiore conoscenza degli argomenti per cui si era presentato. Nella primavera del 1832 fu nominato insegnante assistente al liceo di Stettino.

Come racconta Grassmann stesso nella prefazione della sua fondamentale opera, pubblicata nel 1844, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik ("Teoria dell'estensione lineare, un nuovo ramo della matematica"), fu in questo periodo (cioè a partire dal 1832 circa) che fece le sue prime significative scoperte matematiche che lo avrebbero condotto alle rilevanti idee che avrebbe sviluppato pochi anni dopo.

Nel 1834 Grassmann sostenne gli esami di teologia (di primo livello) fissati dal Consiglio della Chiesa luterana di Stettino ma, sebbene questo potesse rappresentare il suo primo passo per diventare ministro nella Chiesa luterana, decise di recarsi invece a Berlino nell'autunno di quell'anno per accettare un incarico come insegnante di matematica alla Gewerbeschule.

Era infatti rimasto vacante un posto da quando il precedente insegnante, Jakob Steiner (1796-1863), sì proprio quello del celebre teorema di Huygens-Steiner inerente al calcolo del momento di inerzia di un corpo rigido, era stato nominato ad una cattedra di matematica all'Università di Berlino. 

Grassmann trascorse solo un anno alla Gewerbeschule prima che si presentasse una nuova opportunità nella sua città natale di Stettino. 

Una nuova scuola, la Otto Schule, era infatti appena stata aperta e Grassmann fu incaricato di insegnare matematica, fisica, tedesco, latino e religione. Si era qualificato solo per insegnare a un livello basso, e ciò fa ben capire l'ampia varietà di argomenti che insegnava.

Nei 4 anni successivi il nostro studioso prese molto sul serio il suo insegnamento, ma non trascurò per questo la ricerca matematica, oltre a concentrarsi sulla preparazione di ulteriori esami. 

Nel 1839 superò gli esami di teologia, di secondo livello, fissati dal Consiglio della Chiesa luterana di Stettino, e nel 1840 si recò a Berlino per sostenere gli esami che gli avrebbero permesso di insegnare alcune materie al più alto livello di ginnasio. Da quel momento poté finalmente insegnare matematica, fisica, chimica e mineralogia a tutti i livelli delle scuole secondarie.

Interessante notare come gli esami che Grassmann sostenne nel 1840 furono per lui significativi anche in un altro senso. 

Nello specifico, tra le richieste dell'esame vi era la presentazione di un saggio sulla teoria delle maree. Egli prese allora la teoria di base dalle celebri Méchanique céleste di Laplace e Méchanique analytique di Lagrange, tuttavia si rese presto conto di poter applicare i metodi vettoriali che aveva sviluppato fin dal 1832 per dar vita ad un approccio non solo originale ma pure semplificato.

Il suo saggio Theorie der Ebbe und Flut era lungo 200 pagine e introduceva per la prima volta un'analisi basata sui vettori, tra cui addizione e sottrazione di vettori, differenziazione di vettori e teoria delle funzioni vettoriali. 

Sebbene il suo saggio venne accettato dagli esaminatori, questi non furono assolutamente in grado di comprendere l'importanza delle innovazioni introdotte da Grassmann. 

In altre parole, Grassmann, senza aver ricevuto alcuna educazione matematica di tipo universitario, aveva gettato le basi della moderna algebra lineare e dell'importantissimo concetto di spazio vettoriale, ma i suoi esaminatori non seppero riconoscere un vero "diamante matematico" pur avendolo di fronte agli occhi. Cliccando qui gli interessati potranno leggere lo splendido testo Linear Algebra Done Right di Sheldon Axler, molto utile per rinfrescare i fondamentali concetti e scoprire un approccio piuttosto originale rispetto ai tipici libri presenti sull'argomento. 

Riporto inoltre a tal proposito un interessante passo tratto dal libro Dio è un matematico di Mario Livio:

"Uno dei suoi biografi ha scritto: «Sembra che il destino di Grassmann sia quello di essere riscoperto di tanto in tanto, ogni volta come se fosse stato dimenticato dopo la morte». Eppure a Grassmann si deve la creazione della scienza astratta degli «spazi» al cui interno la geometria convenzionale rappresentava solo un caso particolare. Grassmann pubblicò le sue idee pionieristiche (dando origine alla branca della matematica che prende il nome di «algebra lineare») nel 1844, in un libro noto generalmente con il titolo di Ausdehnungslehre[...]Nella prefazione, Grassmann scrisse:

‘La geometria non può in alcun modo essere considerata [...] una branca della matematica; la geometria riguarda invece qualcosa che è già dato in natura, ovverosia lo spazio. Mi ero inoltre reso conto del fatto che deve esserci una branca della matematica che produce in modo puramente astratto leggi simili a quelle della geometria.’

Era una concezione radicalmente nuova della natura della matematica. Per Grassmann la geometria tradizionale - eredità degli antichi greci - riguarda lo spazio fisico e pertanto non può essere considerata una vera branca della matematica astratta. Per lui la matematica era infatti una creazione astratta della mente umana che non necessariamente ha applicazioni nel mondo reale.

È affascinante seguire il filo di pensieri apparentemente banali che mise Grassmann sulla strada che l'avrebbe condotto alla sua teoria di un'algebra lineare.

Egli prese spunto dalla semplice formula $AB + BC = AC$, che compare in ogni manuale di geometria in riferimento alle lunghezze dei segmenti di retta (figura 46a).

Grassmann notò però qualcosa di nuovo nella formula. Scoprì che essa resta valida indipendentemente dall'ordine di $A$, $B$ e $C$, a condizione che non si interpretino $AB$, $CD$ e $AC$ come mere lunghezze, ma si assegni loro anche una «direzione», cosicché risulti, per esempio, $BA = -AB$. In tal caso, se $C$ sta tra $A$ e $B$ (figura 46 b), risulterà $AB = AC + CB$; ma poiché $CB = -BC$, avremo $AB = AC - BC$ e la formula iniziale potrà essere ripristinata semplicemente aggiungendo $BC$ a destra e a sinistra del segno d'uguaglianza.

Ciò era piuttosto interessante di per sé, ma l'intuizione di Grassmann conteneva altre sorprese. Notate che se fossimo nell'ambito dell'algebra invece che in quello della geometria, allora un'espressione come $AB$ denoterebbe in genere il prodotto $A \times B$. In questo caso, la proposta di Grassmann di porre $AB = -BA$ violerebbe una delle leggi fondamentali dell'aritmetica, ovvero che due quantità moltiplicate tra loro producono lo stesso risultato indipendentemente dall'ordine dei termini. Grassmann affrontò di petto quest'inquietante possibilità inventando una nuova algebra dotata di coerenza interna (chiamata «algebra esterna») che consentiva di utilizzare diversi procedimenti di moltiplicazione e al contempo di manipolare la geometria in un numero qualsiasi di dimensioni."

Desmond Fearnley-Sander, nell'articolo del 1979 intitolato Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, scrisse peraltro che Grassmann

"Cominciando con una collezione di 'unità' $e_1, e_2, e_3$,...effettivamente definisce lo spazio lineare libero che essi generavano; in altri termini, egli considera la combinazione lineare formale $a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 +...$, dove $a_j$ sono numeri reali, definisce l'addizione e la moltiplicazione di numeri reali [nel modo attualmente in uso] e dimostra formalmente le proprietà di spazio lineare per queste operazioni. ... Sviluppa poi la teoria dell'indipendenza lineare in un modo straordinariamente simile alla presentazione che si trova nei moderni testi di algebra lineare. Definisce la nozione di sottospazio vettoriale, indipendenza, lunghezza, span, dimensione, unione e intersezione di sottospazi, e proiezione di elementi nei sottospazi.
Tra gli altri risultati, mostra che ogni insieme finito ha un sottoinsieme indipendente con lo stesso span e che ogni insieme indipendente si estende a una base, e dimostra l'importante identità [oggi chiamata formula di Grassmann]

$\mathrm{dim} (U+W) = \mathrm{dim} (U) + \mathrm{dim} (W) - \mathrm{dim} (U \cap W)$."

D'altra parte le ricerche (poi raccolte nel saggio del 1844) avevano dimostrato a Grassmann che la sua teoria risultava ampiamente applicabile, pertanto egli decise che avrebbe dedicato d'ora in avanti tutto il tempo che poteva risparmiare al fine di sviluppare ulteriormente le sue idee innovative sugli spazi vettoriali.

Si noti tuttavia che tale tempo non poteva essere molto giacché Grassmann era un insegnante scrupoloso che mirava a svolgere quel lavoro al meglio delle sue capacità. Scrisse numerosi libri di testo, due dei quali furono pubblicati nel 1842: uno era sul tedesco parlato, l'altro sul latino. 

Dopo aver scritto questi libri di testo, rivolse tutta la sua attenzione alla stesura della già citata Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik.

Cominciò nella primavera del 1842 e completò il manoscritto nell'autunno del 1843. 

Esso, come già più volte detto, venne pubblicato l'anno successivo. Nella suddetta opera, un vero e proprio capolavoro di originalità, ha sviluppato l'idea di un'algebra in cui i simboli che rappresentano entità geometriche come punti, linee e piani, risultano manipolati secondo determinate regole.

Ha rappresentato i sottospazi di uno spazio mediante coordinate che portano alla mappatura dei punti di una varietà algebrica ora chiamata, non a caso, Grassmanniana.

Grassmann era un po' risentito del fatto stesse producendo matematica decisamente innovativa ed importante, ma fosse ancora costretto ad insegnare nelle scuole secondarie. 

Infatti, sebbene fosse stato a Stettino sin dalla prima nomina alla Otto Schule, era stato trasferito prima al Ginnasio di Stettino, poi alla Friedrich Wilhelm Schule a causa della riorganizzazione scolastica della città. 

Nel maggio 1847 ricevette il titolo di Oberlehrer alla Friedrich Wilhelm Schule e nello stesso mese scrisse al Ministero dell'Istruzione prussiano chiedendo di essere inserito in un elenco di quelli da considerare per posizioni universitarie. Il Ministero dell'Istruzione chiese a Kummer la sua opinione su Grassmann, che lesse il suo premiato saggio Geometrische Analyse e riferì che conteneva:

"materiale lodevolmente buono espresso in una forma carente".

Il rapporto di Kummer cancellò definitivamente le speranze di Grassmann per un posto universitario.
È davvero curioso constatare quanti eminenti matematici non siano riusciti a riconoscere che la matematica presentata da Grassmann sarebbe diventata il fondamento di base della materia nei 100 anni successivi.

Il 12 aprile 1849 Grassmann sposò Therese Knappe, la figlia di un proprietario terriero.

La coppia ebbe la bellezza di 11 figli di cui sette raggiunsero l'età adulta. Uno dei loro figli, Hermann Ernst Grassmann, ricevette un dottorato nel 1893 per la sua tesi Anwendung der Ausdehnungslehre auf die Allgemeine Theorie der Raumkurven und Krummen Flächen scritta sotto la supervisione di Albert Wangerin presso l'Università di Halle-Wittenberg. Questi diventò successivamente professore di matematica presso l'Università di Giessen.

Nel marzo 1852 il padre di Grassmann, Justus, morì e nello stesso anno Grassmann fu nominato per ricoprire la precedente posizione di suo padre allo Stettin Gymnasium. 

Ciò significava che, pur insegnando ancora in una scuola secondaria, ora possedeva il titolo di professore. Non essendo riuscito a ottenere un vero riconoscimento per la sua matematica innovativa, Grassmann si dedicò poi a un'altra delle sue materie preferite, lo studio del sanscrito e del gotico. 

Ebbe un buon riconoscimento come linguista per aver dimostrato che il germanico in realtà risultava "più antico" in un modello fonologico rispetto al sanscrito.

Neanche la fisica venne trascurata dallo studioso. Nello specifico, egli pubblicò nel 1853 una teoria della mescolanza dei colori che contraddiceva quella proposta da Helmholtz. 

Entro la metà dell'anno successivo, tuttavia, fece ritorno alla matematica e alla sua teoria dell'estensione decidendo che, invece di scrivere un secondo volume, come aveva originariamente previsto, avrebbe riscritto completamente l'opera nel tentativo di farne riconoscere il significato. 

Infatti, sebbene abbia scritto un'opera che oggi ci appare nello stile di un moderno libro di testo, Grassmann non riuscì mai a convincere i matematici del suo tempo. 

Forse era così sicuro dell'importanza dell'argomento da non riuscire a decidersi a venderlo a lettori scettici.
Certamente il libro Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet, da lui pubblicato nel 1862, non se la cavò meglio della prima versione del 1844.

Le delusioni provocate dal mancato apprezzamento del suo contributo matematico lo spinsero a dedicarsi nuovamente alla ricerca in linguistica. Qui se la cavò davvero molto meglio (almeno per il pubblico dell'epoca) e fu onorato per i suoi contributi filologici con l'elezione all'American Oriental Society e con il conferimento, nel 1876, di una laurea honoris causa da parte dell'Università di Tubinga. 

Tornò ancora una volta a concentrarsi sulla matematica negli ultimi due anni della sua vita e, nonostante la salute cagionevole, preparò un'altra edizione dell'Ausdehnungslehre per la pubblicazione. Questa apparve, ma soltanto postuma. 

Grassmann esalò l'ultimo respiro il 26 settembre 1877 a Stettino, una morte dovuta a problemi cardiaci presentatisi dopo un periodo di lenta decaduta della salute.

A conclusione di questa biografia, riportiamo il seguente emblematico e riassuntivo pensiero di Fearnley-Sander:

"Tutti i matematici stanno, come disse Newton, sulle spalle dei giganti, ma pochi si sono avvicinati più di Hermann Grassmann alla creazione, in solitario, di una nuova disciplina."

Passiamo ora finalmente ad illustrare le variabili di Grassmann.

STEFAN BANACH: IL FONDATORE DELL'ANALISI FUNZIONALE

Il presente post è dedicato a ricordare uno straordinario matematico polacco, Stefan Banach (1892-1945), considerato non solo il padre della moderna analisi funzionale, ma anche uno dei matematici più influenti del XX secolo (nonostante fosse praticamente autodidatta!).

Ma partiamo dalle origini.

Stefan Banach nacque il 30 marzo 1892 al St. Lazarus General Hospital, presso Cracovia, da Stefan Greczek e Katarzyna Banach.

Il lettore attento avrà immediatamente notato che egli ereditò il nome dal padre ma il cognome dalla madre, madre che lo abbandonò appena dopo il battesimo, ovvero quando aveva solo 4 giorni di vita!

Il padre mantenne sempre il segreto sull'identità della madre, nonostante il desiderio del figlio di saperne di più.

Il bambino venne portato a Ostrowsko (piccolo villaggio situato circa 50 km al di sotto di Cracovia), paese di origine del padre, ed affidato, quantomeno per il primo periodo, alla nonna.
Tuttavia dopo pochi anni la nonna si ammalò e, di conseguenza, Greczek decise di affidare suo figlio a Franciszka Plowa, la quale viveva a Cracovia assieme a sua figlia Maria.
Interessante dettaglio sta nel fatto che il tutore di Maria fosse un intellettuale francese, Juliusz Mien, il quale percepì immediatamente il grande potenziale del giovane Banach e decise di istruirlo riguardo alla lingua francese, oltre a spingerlo probabilmente verso la matematica.
Banach frequentò la scuola primaria a Cracovia, dopodiché, all'età di 10 anni, ossia nel 1902, si iscrisse al IV Ginnasio.

Sebbene si trattasse di una scuola indirizzata fortemente verso un'educazione di tipo umanistico, il giovane ebbe la fortuna di avere come compagno di classe (e suo migliore amico) Witold Wiłkosz (1891-1941), anch'egli futuro matematico!
Durante le pause e nei dopo scuola i 2 ragazzi trascorrevano gran parte del tempo a divertirsi nel risolvere problemi matematici.
Tale scuola non si dimostrò però particolarmente stimolante al punto che Wiłkosz decise di abbandonarla nel 1906 per iscriversi ad un miglior Ginnasio; Banach invece resto lì ma si mantenne in stretto contatto con l'amico.

In ogni caso l'interesse del giovane studente era totalmente rivolto alla matematica; le altre discipline non lo interessavano affatto, al contrario di Wiłkosz che mostrava passione e talento anche per la fisica.

Banach superò l'esame finale di Ginnasio nel 1910, ma non con la lode, dato che i suoi voti erano man mano calati durante il suddetto percorso scolastico secondario.

Si potrebbe ora pensare che l'ovvia scelta nel proseguimento degli studi di Banach e di Wiłkosz fosse la matematica universitaria.

In realtà il corso degli eventi non fu così banale; infatti, i 2 amici, seppur appassionati di matematica, ritenevano che nulla di nuovo potesse essere scoperto in quel settore e dunque Banach si incamminò verso l'ingegneria (nello specifico alla Lemberg Technical University, nell'attuale Leopoli in Ucraina), mentre Wiłkosz verso le lingue orientali.

Probabilmente tale scelta controversa si dovette anche al fatto che non ci fu la presenza di particolari figure di supporto e di sprone nei confronti della loro vera passione, qualcuno magari in grado di renderli consci del fatto che, in verità, la matematica costituiva ancora un "mondo intero" da esplorare e rinnovare.

Al giorno d'oggi siamo infatti ancora pieni di rilevanti problemi irrisolti in matematica (come i noti "Problemi del millennio") e l'espansione della matematica in svariate branche, alcune totalmente nuove, ha fatto sì che ormai sia difficile parlare di persone che possano vantare una conoscenza a tutto tondo della matematica (l'ultimo matematico a cui spesso si attribuisce una "conoscenza matematica universale" fu Poincaré e talvolta anche von Neumann, due veri giganti della disciplina).

Con buona probabilità, dato che non poteva contare su un solido sostegno economico, Banach dovette mantenersi facendo del tutoraggio, cosa che gli comportò una grossa perdita di tempo, portandolo a laurearsi un po' in ritardo nel 1914.

Allo scoppio della Prima guerra mondiale, Banach venne esonerato dal servizio militare poiché era mancino e la sua vista non risultava molto buona.

Quando poi l'esercito russo occupò Leopoli, Banach si trasferì a Cracovia, ove rimase per tutto il periodo restante della guerra e ivi riuscì a frequentare anche delle lezioni di matematica alla Jagiellonian University.

Se per Einstein, come ben noto, il 1905 fu l'annus mirabilis, l'anno in cui la sua figura divenne leggendaria grazie a ben 4 straordinari articoli pubblicati sulla rivista Annalen der Physik, l'anno in cui la vita e la carriera di Banach svoltarono fu sicuramente il 1916, in particolare la primavera.

Quello che leggerete ora potrebbe sembrare un aneddoto di fantasia ma è ciò che accadde realmente.

Il grande matematico polacco Hugo Steinhaus (1887-1972) viveva proprio a Cracovia in quel periodo.

Una sera, camminando per le strade della città polacca, si ritrovò ad ascoltare per puro caso, al Planty Park, le parole "misura di Lebesgue".

Planty Park (immagine presa da Wikipedia)

Incuriosito (visto che a quei tempi tale concetto risultava piuttosto nuovo ed originale), Steinhaus si avvicinò alla panchina del parco e si presentò a 2 giovani che discutevano di matematica: erano Banach e Otto Nikodym.

Il suddetto incontro fortuito portò alla creazione (il 2 aprile 1919) di un'importante società matematica, la Polish Mathematical Society.

Oltre a ciò, Steinhaus sottopose all'attenzione di Banach un problema a cui non riusciva a trovare una soluzione.

La mente geniale di Banach gli consentì di pervenire alla soluzione in una settimana! Il risultato finale di quel proficuo scambio culturale fu un articolo congiunto di Steinhaus e Banach intitolato Sur la convergence en moyenne de séries de Fourier (ovvero "Sulla convergenza in media della serie di Fourier"), sottoposto all'attenzione di Stanisław Zaremba per la pubblicazione (avvenuta nel 1918).

Anche per quanto concerneva l'aspetto sentimentale della sua vita Banach doveva molto a Steinhaus; infatti tramite il collega conobbe quella che sarebbe stata la sua futura moglie, ossia Łucja Braus, con cui convolò a nozze nel 1920.

La produzione di articoli matematici di Banach dal momento del sodalizio con l'altro grande matematico polacco crebbe in maniera assai celere.

Il suo appoggio gli consentì persino di ricevere un dottorato in matematica (ricordiamo infatti che Banach non era laureato in matematica bensì in ingegneria!).

La sua tesi di dottorato, accettata da quella che è l'attuale Università di Leopoli (fondata nel 1661 da Giovanni II Casimiro di Polonia) nel 1920 e pubblicata nel 1922, poneva le basi di una nuova branca della matematica: l'analisi funzionale.

Per correttezza è necessario specificare che ricerche in tal ambito vennero compiute anche qualche anno prima del fatidico contributo di Banach.

Infatti, già a partire dal 1906, il matematico statunitense E.H. Moore (1862-1932) tentò di dar luce ad una teoria astratta dei funzionali (abbiamo parlato di tal concetto un po' qui) e degli operatori lineari.

Altri contributi in tal direzione giunsero in particolare da Erhard Schmidt, Maurice Fréchet, Frigyes Riesz, Hans Hahn, Eduard Helly e Norbert Wiener.

Ma perché tra tutti questi nomi rilevanti spicca proprio quello di Banach, ritenuto ufficialmente il fondatore dell'analisi funzionale?

Innanzitutto Banach desiderava stabilire una generalizzazione delle equazioni integrali, nello specifico il suo obiettivo era costruire una teoria astratta in grado di fornire un'alternativa valida e migliore rispetto al calcolo delle variazioni.

Per pervenire a tal obiettivo Banach introdusse uno spazio dotato di una norma, ma che non fosse definita facendo riferimento al prodotto scalare.

Cerchiamo di capire un pochino meglio almeno gli aspetti basilari della questione.

Prendiamo un generico spazio lineare (cioè spazio vettoriale) $L$ di elementi $x, y, z, ...$

Possiamo chiamare norma (denotata mediante il tipico simbolo $\left \|  \right \|$) in $L$ un funzionale che soddisfa 4 condizioni essenziali:

1) $\left \| x \right \| \geq 0$;

2) $\left \| x \right \| = 0$ se e solo se $x = 0$;

3) omogeneità: $\left \| ax \right \| = |a| \cdot \left \| x \right \|  $, ove $a$ è uno scalare;

4) disuguaglianza triangolare: $\left \| x + y \right \| \leq \left \| x \right \| +  \left \| y \right \| $.

Naturalmente uno spazio lineare $L$ in cui è definita una norma viene anche detto spazio normato.

Ogni spazio normato può esser visto come uno spazio metrico (ne parlammo, tra le altre cose, qui) se definiamo la distanza come $\rho(x,y) = \left \| x - y \right \| $.

Per arrivare tuttavia alla definizione vera e propria di spazio di Banach, concetto a dir poco fondamentale nell'ambito dell'analisi funzionale, manca un piccolo tassello nel nostro puzzle: la completezza!

A tal proposito abbiamo bisogno di introdurre la nozione di successione di Cauchy (o successione fondamentale).

Dato un generico spazio metrico $R$, una successione $\left \{ x_n \right \}$ è detta di Cauchy se, $\forall \varepsilon > 0$, esiste un numero $N_{\varepsilon}$ tale che la distanza $\rho(x_{n'}, x_{n''}) < \varepsilon$   $\forall n' > N_{\varepsilon}$ e $\forall n'' > N_{\varepsilon}$.

Ora aggiungiamo che se ogni successione di Cauchy risulta convergente in $R$, allora questo spazio metrico è completo.

Giacché le proprietà degli spazi metrici si possono estendere anche agli spazi normati, la conclusione di questo importante discorso è che uno spazio di Banach non è altro che uno spazio normato completo!

Un'importantissima osservazione che possiamo compiere relativamente agli spazi di Banach sta nel fatto che uno spazio di Banach rappresenta un concetto più generale rispetto ad uno spazio di Hilbert (nozione su cui si poggia, tra le altre cose, in maniera massiva la meccanica quantistica), proprio perché abbiamo constatato che per definire una norma non abbiamo necessariamente bisogno di un prodotto scalare, cosa di cui invece abbiamo certamente bisogno quando parliamo di spazi di Hilbert.

In altri termini, ogni spazio di Hilbert è sicuramente uno spazio di Banach. Viceversa, uno spazio di Banach è anche uno spazio di Hilbert se, e solo se, la sua norma è indotta da un prodotto scalare!

Se considerassimo uno spazio di Banach che non sia anche di Hilbert esso perderebbe sostanzialmente il concetto essenziale di ortogonalità di 2 elementi.

A seguito di questo doveroso excursus, facciamo ora ritorno all'ultima parte della biografia di Banach.

La poderosa tesi inerente all'analisi funzionale venne discussa all'interno dei circoli accademici e rappresentò la spinta definitiva utile al matematico per venir nominato professore presso il Politecnico di Leopoli.

Allo stesso tempo, ottenne pure la la seconda Cattedra di Matematica dell'Università di Leopoli.

Il periodo di mezzo tra le 2 guerre mondiali fu estremamente impegnativo per Banach: oltre a continuare nella produzione continua di paper di ricerca, si dedicò alla scrittura di manuali scolastici di aritmetica, geometria ed algebra.

Nel 1929, assieme a Steinhaus, fondò una nuova rivista matematica, Studia Mathematica, dedicata principalmente alla ricerca nel campo dell'analisi funzionale ed argomenti affini.

Sempre in quel periodo Banach incominciò a produrre quella che è considerata la sua opera più famosa, la prima monografia concernente la teoria generale dello spazio lineare-metrico, intitolata Teoria operacji liniowych (pubblicata nel 1931).

L'opera venne tradotta l'anno dopo in francese, traduzione che contribuì a farle ottenere un più ampio riconoscimento da parte dei circoli accademici europei.

Essa costituì peraltro la prima di una corposa serie di monografie a cura di Banach e della sua cerchia di matematici, la cosiddetta "Scuola di Leopoli", i quali erano soliti riunirsi al Caffè Scozzese nel centro storico di Leopoli.

Vediamone la magnifica immagine tratta da Wikipedia.

Purtroppo sappiamo bene che nel 1939 scoppiò la Seconda guerra mondiale e Leopoli finì sotto il controllo dell'Unione Sovietica per quasi 2 anni.

Intanto Banach divenne membro corrispondente dell'Accademia delle scienze dell'Ucraina e, in buoni rapporti con i matematici sovietici, si trovò costretto a promettere di imparare l'ucraino per poter mantenere la sua cattedra e continuare le sue attività accademiche.

Ma la situazione non restò così a lungo. Infatti, per via dell'Operazione Barbarossa, nel giugno 1941 i tedeschi conquistarono Leopoli e tutte le università vennero di conseguenza chiuse.

Banach fu arrestato con l'accusa di traffico di valuta tedesca ma rilasciato dopo poche settimane. Sopravvisse a un periodo in cui vennero assassinati accademici polacchi e il suo supervisore di dottorato Lomnicki morì nella tragica notte del 3 luglio 1941 quando si verificarono molti massacri.

Verso la fine del 1941 Banach lavorò (assieme a diversi colleghi e a suo figlio) come "alimentatore di pidocchi" nell'istituto tedesco che si occupava di malattie infettive (in particolare era in corso una ricerca sul tifo epidemico). Nutrire i pidocchi rappresentò sostanzialmente la sua vita durante il resto dell'occupazione nazista di Leopoli fino al luglio 1944.

Non appena le truppe sovietiche presero nuovamente possesso di Leopoli (nella cosiddetta "Offensiva Leopoli-Sandomierz"), Banach rinnovò i suoi contatti all'Università.

Tuttavia, poiché i sovietici stavano rimuovendo i polacchi dai territori annessi precedentemente della Polonia, Banach cominciò a prepararsi a lasciare la città e a stabilirsi a Cracovia, dove gli era stata promessa una cattedra all'Università Jagellonica. 

Fu anche considerato come candidato alla carica di ministro dell'Istruzione della Polonia. 

Nel gennaio 1945 gli fu però diagnosticato un cancro ai polmoni e gli venne concesso di rimanere a Leopoli. 

Banach esalò l'ultimo respiro il 31 agosto 1945, all'età di 53 anni. Al suo funerale, al cimitero di Lychakiv, parteciparono centinaia di persone.

Concludiamo ricordando che, oltre all'introduzione del fondamentale concetto di spazio di Banach e ai suoi lavori pionieristici nell'ambito dell'analisi funzionale, Banach diede anche importanti contributi alla teoria degli spazi vettoriali topologici, alla teoria della misura, alla teoria degli insiemi e alla teoria dei polinomi ortogonali, e il suo nome è associato anche alla cosiddetta algebra di Banach e al celebre paradosso di Banach-Tarski relativo alla decomposizione di una singola sfera in 2 sfere.

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Fonti essenziali:

- https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Banach/

- https://en.wikipedia.org/wiki/Stefan_Banach

- Storia del pensiero matematico (II. Dal Settecento a oggi) di Morris Kline

MERAVIGLIE MATEMATICHE: LO SPAZIOTEMPO DI MINKOWSKI

La matematica è spesso fonte di stupore e meraviglia.
Pochi mesi fa abbiamo per esempio osservato (cliccate qui) come singolari forme geometriche quali le pseudosfere possano ispirare spettacolari costruzioni artistiche.
In questo post analizzeremo (nel modo più semplice possibile, ma comunque rigoroso) una meraviglia matematica meno appariscente, ma sicuramente dotata di grande fascino: lo spaziotempo di Minkowski.
I concetti di spazio e tempo sono sempre stati al centro di riflessioni filosofiche e scientifiche.
Se ricordate, ne parlammo un po' nel post intitolato "Spazio e Tempo: Le "forme a priori" della conoscenza".
Abbiamo anche avuto modo di ospitare, proprio qui su Scienza e Musica, un Carnevale della Fisica dedicato allo spazio (cliccate qui) e un Carnevale della Letteratura dedicato al tempo (cliccate qui).
Per introdurre lo spaziotempo per bene dobbiamo compiere una piccola premessa.
Sapete bene che nel 1905 Albert Einstein diede alla luce la sua teoria della relatività ristretta (o speciale).
Qualcuno ricorderà anche che la base matematica della suddetta teoria è fondata sulle cosiddette trasformazioni di Lorentz (chi non ricordasse bene può leggere qui).
Ricordiamo poi che la relatività ristretta assume 2 postulati fondamentali:

1) l'invarianza di forma delle leggi fisiche in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
2) la luce si propaga (nel vuoto) a velocità costante (denotata con c), indipendentemente da quale sia lo stato di moto della sorgente o dell'osservatore.

Le conseguenze fondamentali di tutto ciò sono 3:

1) la relatività della simultaneità;
2) la contrazione delle lunghezze;
3) la dilatazione dei tempi.

Rinfreschiamo brevemente cosa significano tali concetti.
Quando parliamo normalmente di eventi simultanei, pensiamo chiaramente ad eventi che accadono nello stesso istante temporale.
Ciò è palesemente corretto nell'ambito della fisica classica newtoniana.
Il problema sorge quando si considerano velocità abbastanza vicine a quella della luce.
Supponiamo infatti ci sia un osservatore S, fermo, inerziale, che stia osservando due eventi simultanei:






Adesso però supponiamo ci sia un osservatore S' (sempre inerziale) in movimento rispetto ad S lungo l'asse x con velocità costante V.
Per quest'ultimo, sulla base delle trasformazioni di Lorentz, le coordinate dei 2 eventi saranno:
Primo evento













Secondo evento













ove γ è naturalmente il fattore (o termine) di Lorentz, esprimibile esplicitamente attraverso la relazione:

Avrete notato che per l'osservatore S' tra i 2 eventi risulterà una differenza temporale pari a:





Ecco perché si parla di relatività della simultaneità: eventi simultanei per un osservatore (inerziale) non lo sono per un altro!
La simultaneità è dunque relativa per i sistemi di riferimento inerziali.
Se consideriamo il caso in cui V sia davvero molto piccola comparata alla velocità della luce c, avremmo che:







e pertanto ritroveremmo la simultaneità della fisica classica.
Se andassimo invece a considerare la velocità V davvero vicinissima a quella della luce, l'intervallo temporale misurato da S' tenderebbe ad infinito.
È inoltre palese che gli eventi risultano simultanei per entrambi gli osservatori anche nella teoria della relatività quando x₁ = x₂.
L'altra conseguenza fondamentale della relatività ristretta è la contrazione delle lunghezze (o contrazione di Lorentz-Fitzgerald): il risultato della misura della lunghezza L di un corpo da parte di un osservatore mobile S (con velocità V) è inferiore alla lunghezza L₀ che S' misura nel sistema di riferimento a riposo del corpo considerato.




















La formula alla base del fenomeno è:





Una roba abbastanza simile accade per quanto concerne il tempo: la dilatazione dei tempi.
In particolare, la misura della separazione temporale (t₂' - t₁') tra 2 eventi da parte di un osservatore mobile fornisce intervalli di tempo più lunghi rispetto ad un osservatore solidale con l'orologio.
La legge matematica che sta alla base del fenomeno è:




La prima diretta evidenza sperimentale della dilatazione dei tempi si è manifestata con gli esperimenti di rilevazione dei muoni prodotti nella fasce esterne dell'atmosfera terrestre, ad opera dei raggi cosmici.
I muoni sono particelle elementari che fanno parte, assieme all'elettrone, al tauone e al neutrino, della famiglia di particelle chiamata dei leptoni.
Inoltre sono particelle dotate di spin semintero (di spin abbiamo parlato un po' qui), dunque sono classificate come fermioni.
La loro peculiarità più interessante in tal contesto è data però dal fatto che sono particelle altamente instabili, che decadono dando vita ad altre particelle, con un tempo di dimezzamento di circa




tempo questo misurato nel sistema di riferimento a riposo dei muoni.
Nel 1941 un rilevatore posto sul monte Washington, nel New Hampshire, a circa 1850 metri rispetto al livello del mare, misurò un flusso di circa 570 muoni all'ora.
Gli scienziati inizialmente pensarono che posizionando il rilevatore ad altitudini inferiori si sarebbe dovuto riscontrare un flusso meno intenso.
Si stimava che a livello del mare si sarebbe dovuto riscontrare un flusso di circa 35 muoni all'ora.
ATTENZIONE: se ne osservarono ben 400 di muoni all'ora!
Perchè tale enorme disparità rispetto a quanto si pensava? Come potevano essere sopravvisuti così tanti muoni in un viaggio decisamente lungo se confrontato alla loro vita media?
La risposta sta nel fatto che nel sistema di riferimento dei muoni il tempo trascorso è assai minore a quello misurato da un osservatore solidale con la Terra.
Abbiamo dunque osservato brevemente le conseguenze fondamentali della teoria della relatività ristretta.
Addentriamoci ora nel nocciolo della questione: lo spaziotempo.

IL SISTEMA ASSIOMATICO DI HILBERT PER LA GEOMETRIA

David Hilbert (1862-1943) è considerato uno dei matematici più influenti di sempre.

Il suo nome appare in svariati ambiti rilevanti della matematica, oltre che in fisica, ove l'introduzione degli spazi di Hilbert è stata fondamentale per lo sviluppo matematico della meccanica quantistica.
Leggendo il libro Hilbert, Alla ricerca di assiomi universali (della collana Geni della Matematica) di Carlos M. Madrid Casado, mi sono imbattuto in un interessantissimo passo relativo al sistema assiomatico introdotto da Hilbert.
Il presente post è un riassunto dei concetti fondamentali illustrati nel libro sopracitato.

CAMILLE JORDAN E LA MISURA DI PEANO-JORDAN

Oggi andiamo a scoprire la figura di un matematico francese molto importante vissuto tra il XIX e il XX secolo.

Il giovane Camille Jordan

Stiamo parlando di Marie Camille Ennemond Jordan (1838-1922), colui a cui si devono notevoli contributi in disparati ambiti della matematica, tra cui:

• il teorema della curva di Jordan (in topologia);
• la forma canonica di Jordan (in algebra lineare);
• il lemma di Jordan (che sarà l'argomento principale della prossima puntata della nostra serie di post dedicata all'analisi complessa);
• la misura di Peano-Jordan, che osserveremo nel dettaglio a breve.

Camille Jordan nacque a Lione il 5 gennaio 1838.
Suo padre, Esprit-Alexandre Jordan (1800-1888), era un ingegnere che si era istruito al prestigioso École Polytechnique di Parigi, mentre sua madre, Joséphine Puvis de Chavannes, era la sorella del famoso pittore Pierre Puvis de Chavannes, uno dei maggiori rappresentanti della pittura francese del XIX secolo.

La Fantasia di Pierre Puvis de Chavannes

La famiglia del padre godeva anch'essa di una buona fama: il prozio del matematico, Ennemond-Camille Jordan (1771-1821), ottenne una rispettabile posizione politica e un cugino, Alexis Jordan (1814-1897), era un celebre botanico.
Inizialmente il nostro Jordan studiò al Lycée de Lyon e al Collège d'Olluins.
Successivamente, come il padre, nel 1855 entrò all'École Polytechnique per intraprendere gli studi di matematica.
Qui, tuttavia, Jordan si assicurò di ottenere importanti conoscenze in campo ingegneristico (lavorò a lungo alla stregua di ingegnere nel corso della sua vita), come molti altri matematici del suo tempo, fra cui il grande Cauchy.
Al politecnico francese Jordan si distinse per ingegno, intuizione, ma soprattutto per l'originalità delle sue notazioni, aspetti che si possono ritrovare in tutta la sua attività di matematico come ben documentato dai propri lavori scientifici.
La conclusione dell'attività di studente di Jordan si realizzò con la magistrale tesi (esaminata da Duhamel, Serret e Puiseux) del 1861, costituita da 2 parti:

1) Sur le nombre des valeurs des fonctions, di carattere algebrico;
2) Sur des periodes des fonctions inverses des intégrales des différentielles algebriques, che riguardava gli integrali della forma ∫ u dz, dove u è una funzione la quale va a soddisfare l'equazione algebrica f (u, z) = 0.

A seguito della discussione della tesi, Jordan continuò a lavorare per un po' di tempo come ingegnere, prima a Privas, poi a Chalon-sur-Saône ed infine a Parigi.
Nel 1862 convolò a nozze con Marie Isabelle Munet, figlia del vicesindaco di Lione, dalla quale ebbe ben 8 figli.
Nel 1873 Jordan divenne esaminatore all'École Polytechnique e, sempre qui, il 25 novembre 1876 gli fu affidata la cattedra di analisi.
Qualche anno dopo, precisamente nel 1883, diventò pure professore al Collège de France e il suo Cours d'analyse de l'École Polytechnique (pubblicato per la prima volta in 3 volumi tra il 1882 e il 1887) si impose come un testo di riferimento in quel periodo.
Come abbiamo già anticipato, Jordan si interessò ad un'ampia gamma di ambiti matematici, a cui apportò significativi contributi, tra cui, per citarne alcuni, la teoria dei gruppi finiti, l'algebra lineare e multilineare, la teoria dei numeri, la topologia dei poliedri, le equazioni differenziali e la meccanica.
Nel 1912 Jordan abbandonò la carriera accademica, tuttavia continuò a dirigere fino alla sua morte il Journal de Mathématiques Pure et Appliquées, fondato nel 1836 da Liouville (incarico che aveva assunto nel 1885).
Il Journal rappresentava uno dei principali giornali di matematica del tempo e giocò una notevole importanza nello sviluppo della matematica del XIX secolo.
Fra gli onori conferiti a Jordan annoveriamo la sua elezione all'Académie des Sciences nel 1881; nel 1890 divenne poi ufficiale della Légion d'honneur.
Fu inoltre presidente onorario del Congresso Internazionale dei Matematici a Strasburgo nel 1920.
Jordan esalò l'ultimo respiro a Parigi il 22 gennaio 1922.
In suo onore sono stati intitolati l'asteroide 25593 Camillejordan e l’Institute Camille Jordan.
Va assolutamente sottolineato che Camille Jordan non deve essere confuso con il geodeta tedesco Wilhelm Jordan (1842-1899), da cui prende il nome il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan (di cui abbiamo parlato qui) e con il fisico matematico tedesco Pascual Jordan (1902-1980) a cui si deve l'algebra di Jordan.
Prima di andare a scoprire cosa sia la misura di Peano-Jordan, leggiamo cosa scrive il bravissimo Ian Stewart, nel libro Domare l'infinito, a proposito di Jordan e gruppi (per una prima leggera "infarinatura" sulla nozione matematica di gruppo, vedere qui e qua):

"Il concetto di gruppo fu introdotto esplicitamente per la prima volta nel lavoro di Galois, anche se alcuni primi accenni si trovano nell'opera epica di Ruffini e nelle eleganti ricerche di Lagrange. Nell'arco di un decennio dalla diffusione delle idee di Galois, per opera di Liouville, la matematica poté contare su una teoria dei gruppi ben formata. L'artefice principale di questa teoria fu Camille Jordan, la cui opera in 667 pagine, Traité de substitutions et des équations algébrique, fu pubblicata nel 1870. Jordan sviluppò tutto l'argomento in una maniera sistematica ed esauriente. L'interesse di Jordan per la teoria dei gruppi aveva avuto inizio nel 1867, al tempo in cui ne aveva mostrato in maniera esplicita il profondo collegamento con la geometria, classificando i tipi fondamentali di movimento di un corpo rigido nello spazio euclideo. Un contributo ancora più importante venne dal suo ottimo tentativo di classificare la maniera di combinare questi movimenti in gruppi. Lo stimolo principale gli veniva dal lavoro di Auguste Bravais, che aveva intrapreso uno studio matematico delle simmetrie cristalline, e in particolare del reticolo atomico sottostante. Gli articoli di Jordan generalizzavano le ricerche di Bravais: egli annunciò la sua classificazione nel 1867, e ne pubblicò i particolari negli anni 1868-1869. Dal punto di vista tecnico, Jordan trattava soltanto gruppi chiusi, in cui il limite di qualunque successione di movimenti nel gruppo è anche un movimento nello stesso gruppo. Questi comprendono tutti i gruppi finiti, per ragioni banali, e anche gruppi come tutte le rotazioni di una circonferenza attorno al suo centro. Un tipico esempio di gruppo non chiuso, che non fu preso in considerazione da Jordan, potrebbe essere quello di tutte le rotazioni di una circonferenza attorno al suo centro per multipli razionali di 360°. Questo gruppo esiste, ma non soddisfa la proprietà del limite (perché, per esempio, non include la rotazione per 360 × √2 gradi, dal momento che √2 non è razionale). I gruppi di movimenti non chiusi sono incredibilmente vari e quasi certamente vanno oltre ogni classificazione ragionevole. Quelli chiusi sono trattabili, ma difficili. I principali movimenti rigidi nel piano sono le traslazioni, le rotazioni, le riflessioni e le glissoriflessioni (riflessioni con scorrimento). Nello spazio tridimensionale, incontriamo anche il movimento a vite, come quello di un cavatappi: l'oggetto trasla lungo un asse fissato e simultaneamente ruota attorno allo stesso. Jordan iniziò con i gruppi di traslazioni, e ne elencò 10 tipi, tutti combinazioni di traslazioni continue (di una distanza a piacere) in certe direzioni e traslazioni discrete (per multipli interi di una distanza fissata) in direzioni diverse. Elencò anche i principali gruppi finiti di rotazioni e riflessioni: ciclico, diedrale, tetraedrale, ottaedrale e icosaedrale. Distinse il gruppo O(2) di tutte le rotazioni e riflessioni che lasciano fissa nello spazio una retta, l'asse, e il gruppo O(3) di tutte le rotazioni e riflessioni che lasciano fisso nello spazio un punto, il centro.  In seguito divenne chiaro che il suo elenco era incompleto. Per esempio, Jordan non aveva considerato alcuni dei più particolari gruppi cristallografici nello spazio tridimensionale. Il suo lavoro rappresentò comunque un importante progresso verso la comprensione dei movimenti rigidi euclidei, che sono importanti in meccanica, come anche nel corpus principale della matematica pura. Il libro di Jordan è davvero di vasta portata. Parte dall'aritmetica modulare e i campi di Galois, i quali oltre a fornire esempi di gruppi rappresentano anche il requisito fondamentale per ogni altro argomento contenuto nell'opera. La parte centrale tratta i gruppi di permutazioni, che Jordan chiama sostituzioni. Espone i concetti fondamentali dei sottogruppi normali, cioè quelli usati da Galois per dimostrare che il gruppo di simmetria dell'equazione di 5° grado è incoerente con una soluzione per radicali, e dimostra che questi sottogruppi possono essere usati per scomporre un gruppo generale in parti più semplici. Dimostra che le dimensioni di queste parti non dipendono dal modo in cui è scomposto il gruppo originario. Nel 1889 Otto Hölder migliorò questo risultato, interpretando le parti come gruppi a sé, e dimostrò che la loro struttura di gruppo, non soltanto la loro dimensione, è indipendente dal modo in cui è scomposto il gruppo. Oggi questo risultato è noto come teorema di Jordan-Hölder. Un gruppo è semplice se non si scompone in questo modo. Il teorema di Jordan-Hölder di fatto ci dice che i gruppi semplici hanno con i gruppi generali la stessa relazione che gli atomi hanno con le molecole in chimica. I gruppi semplici sono i costituenti atomici di tutti i gruppi. Jordan dimostrò che il gruppo alternante A_n, che comprende tutte le permutazioni di n simboli che cambiano un numero pari di coppie di simboli, è semplice per n ≥ 5. Questa è la principale motivazione della teoria di gruppi per cui l'equazione di 5° grado non è risolvibile per radicali."

Dopo questa esemplare spiegazione, la quale ci ha fatto comprendere, senza entrare in un tecnicismo esagerato, i principali contributi di Jordan nell'ambito della teoria dei gruppi, ora avviciniamoci al concetto protagonista del post, ovvero quello di misura (di Peano-Jordan).

VON NEUMANN E BACH: ARCHITETTURA DEL COMPUTER ED ARTE DELLA FUGA

L'ungherese (poi naturalizzato statunitense) John von Neumann (1903-1957) è stato uno dei matematici più proficui del XX secolo, fornendo decisivi contributi in svariati campi della matematica, ma anche in fisica, in economia e in informatica.
Si dice infatti di lui che fu probabilmente l'ultimo dei matematici ad avere una visione completa di tutta la matematica.
Per farsi un'idea delle capacità mostruose della mente di von Neumann, basta leggere l'aneddoto di cui ho parlato qui.
Ma che c'entra von Neumann con Johann Sebastian Bach (1685-1750), il grandissimo compositore tedesco, noto anche ai non patiti di musica classica grazie alla celebre Aria sulla quarta corda, divenuta sigla del programma Superquark?



Il nonno di von Neumann era un grande appassionato di musica e ai tempi era una delle poche persone a possedere un grammofono.
Nelle famiglie borghesi dell'epoca si era soliti formare, nei limiti delle possibilità, piccole orchestre da camera familiari.
Il piccolo János (nome di von Neumann all'anagrafe) imparò a suonare il violino e, anche se alla fine abbandonò l'intento di una carriera da musicista per sviluppare le sue notevoli doti da matematico, non perse mai la sua passione per la musica.
Una delle opere musicali che suscitò maggiormente l'interesse di von Neumann fu appunto L'arte della fuga, un insieme di 14 fughe e 4 canoni che Bach compose al fine di esemplificare le tecniche del contrappunto.
Secondo la testimonianza del fratello Nicholas, L'arte della fuga di Bach fu la fonte di ispirazione che, anni dopo, fece pensare von Neumann alla possibilità che un computer non avesse un programma previo assegnato, spingendolo così verso la realizzazione dell'archittetura dei computer che porta il suo nome.
Ci proponiamo dunque di spiegare in modo semplice la storia e le basi dell'architettura di von Neumann e poi L'arte della fuga di Bach.
Nel luglio 1943 alla Moore School of Electrical Engineer dell'Università della Pennsylvania, situata a Philadelphia, si incominciò a costruire un computer che avrebbe segnato una vera e propria pietra miliare nella storia della computazione: l'ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer).
Si trattava di un progetto top secret, il cui nome in codice era PX.
L'ENIAC viene ritenuto da alcuni il primo vero computer della storia, anche se forse il primato andrebbe attribuito al Colossus, attivato verso la metà di febbraio del 1944 e progettato dal matematico Max Newmann, ispiratosi ai lavori del padre dell'informatica, Alan Turing, di cui abbiamo parlato approfonditamente qui.
L'ENIAC costò circa 8.000 dollari e venne finanziato dall'esercito.
Misurava 30 metri di lunghezza e pesava 32 tonnellate.
Funzionava grazie a 17.468 valvole a vuoto che dissipavano così tanto calore che la temperatura della stanza in cui la macchina lavorava spesso e volentieri si innalzava sino a 50 °C.
L'ENIAC era in grado di memorizzare soltanto 20 numeri, ma il suo difetto principale consisteva nel fatto che per cambiare un programma bisognava riconfigurare i suoi circuiti, operazione che poteva durare anche svariati giorni.
Un ulteriore grosso problema del suddetto computer era il fatto che il tempo in cui funzionava correttamente era assai inferiore al tempo in cui era guasto.
Nonostante tutte queste problematiche non di poco conto, l'ENIAC fu utilizzato per 10 anni, compiendo in quel lasso di tempo più calcoli matematici di quelli realizzati fino ad allora nella storia dell'umanità.
E von Neumann?
Il suo contatto con l'ENIAC fu del tutto casuale.
Il matematico statunitense Herman Heine Goldstine (1913-2004) si arruolò nell'esercito all'inizio della Seconda Guerra Mondiale.
Lavorò con il grado di tenente nel BRL, ovvero il laboratorio di ricerca balistica di Aberdeen, nel Maryland.
Da esperto nella preparazione di tavole da tiro si era reso conto dell'impellente necessità di rendere automatici i noiosi e lunghi calcoli attraverso un qualche tipo di calcolatore elettronico.
Non sorprende dunque che costui accettò di fare da intermediario tra la Moore School (a Philadelphia), incaricata della costruzione dell'ENIAC, e Aberdeen.
Nell'estate del 1944, Goldstine incontrò per caso von Neumann nell'atrio della stazione ferroviaria di Aberdeen.
Goldstine non lo conosceva di persona, tuttavia aveva partecipato a diverse sue conferenze e decise perciò di avvicinarlo.
Gli argomenti iniziali della conversazione furono di poca importanza, sino a quando Goldstine non si lasciò sfuggire che stava lavorando alla costruzione di un nuovo computer.
A questo punto l'atteggiamento di von Neumann mutò improvvisamente e, secondo quanto racconta lo stesso Goldstine, gli fece il terzo grado.
Dallo stile delle domande, Golstine capì che aveva di fronte un esperto in quel campo, così decise di invitare von Neumann al centro di ricerche di Moore per metterlo direttamente in contatto con gli ingegneri John Mauchly e Prosper Eckert, coloro che si stavano occupando della progettazione dell'ENIAC.
Di fronte al nuovo computer, von Neumann chiese a Eckert la struttura logica del sistema, una domanda chiave affinché gli ingegneri dell'ENIAC gli aprissero le porte a una collaborazione duratura.
Von Neumann ragionò sulla possibilità di progettare un insieme di istruzioni che fossero un riflesso fedele di tutti i passaggi che si facevano con carta e penna nella risoluzione di un problema e che, a sua volta, tale insieme di istruzioni potesse venir memorizzato nella memoria centrale.
Per consentire che questo insieme di dati potesse entrare in un computer, bisognava dotarlo di una nuova unità, differente da quella dedicata ai calcoli, di modo che da un lato si potessero far entrare indistintamente dati e programmi e dall'altro raccogliere i risultati.
Un'idea questa di von Neumann che anticipò il concetto a noi molto familiare di software.
Pertanto, nel 1945, nel Laboratorio Nazionale di Los Alamos si incominciò a lavorare al progetto di un nuovo computer che avesse dei programmi memorizzati.
L'architettura di von Neumann corrisponde nientemeno che al concetto di programma memorizzato.
Oggi esistono computer con programmi memorizzati, per esempio una calcolatrice tascabile con cui è possibile eseguire una serie di calcoli complessi, ma con cui non si può scrivere un testo.
In un pc, invece, se abbiamo bisogno di un determinato programma che ci consenta di scrivere testi, è sufficiente installarlo e lavorarci sopra.
Ma non è stato sempre così.
Abbiamo infatti già osservato come nei primi computer, ENIAC compreso, cambiare programma significava cambiare la struttura, e per farlo si doveva realizzare uno schizzo con carta e penna per poi cambiare il cablaggio della macchina.
Von Neumann eseguì numerose tipologie di rifacimento del cablaggio al fine di rendere più scorrevoli le operazioni dell'ENIAC, tuttavia era conscio che per quanto ottimizzasse il sistema, avrebbe avuto sempre dei seri limiti.
La geniale ideale di von Neumann fu che i dati del programma, i quali potevano essere espressi in bit come 0 e 1, fossero memorizzati nella memoria insieme agli altri dati.
Ciò permetteva di modificare gli indirizzi di memoria e pure gli stessi programmi durante la loro esecuzione.
Gran parte dei computer moderni si basa proprio sulla suddetta architettura.
5 sono i componenti fondamentali di questa architettura:

1) CPU (o unità di lavoro o processore centrale) a sua volta suddivisa in:

- unità operativa, che comprende l'unità aritmetico-logica (ALU);
- unità di controllo.

2) Memoria;
3) Unità di input:
4) Unità di output;
5) Bus di sistema (un canale che collega tutti i componenti tra loro).

Vediamo brevemente gli aspetti fondamentali di tali componenti, incominciando dalla memoria.