giovedì 11 gennaio 2018

ORIGINI STORICHE E FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA PROIETTIVA

In geometria il risorger di un’attività creativa significativa venne in ritardo rispetto all’algebra.
A parte la creazione del sistema matematico della prospettiva e le ricerche geometriche incidentali degli artisti rinascimentali, pochissimi risultati degni di nota vennero ottenuti in geometria dai tempi di Pappo (290 d.C. circa - 350 d.C. circa) fino al 1600 circa.

Un certo interesse fu suscitato dalla pubblicazione di numerose edizioni a stampa delle Sezioni coniche di Apollonio, in particolare della notevole traduzione latina dei libri I-IV di Federigo Commandino (1509-1575) apparsa nel 1566.
Quelli che erano necessari, e che in effetti si presentarono, per dirigere le menti dei matematici entro nuovi canali erano dei problemi nuovi.

Uno di questi era già stato sollevato dall’architetto e matematico Leon Battista Alberti (1404-1472): quali proprietà geometriche hanno in comune 2 sezioni dalla stessa proiezione di una figura reale?
Un gran numero di problemi venne dalla scienza e dalle necessità pratiche.
L’uso fatto da Keplero delle sezioni coniche nella sua opera Astronomia nova, datata 1609, diede un enorme impulso al riesame di tali curve e alla ricerca di loro proprietà utili per l’astronomia.
L’ottica, che aveva destato l’interesse dei matematici fin dai tempi dei Greci, ricevette un’attenzione molto più viva dopo l’invenzione del telescopio e del microscopio avvenuta all’inizio del Seicento.
La progettazione delle lenti di questi strumenti divenne un problema fondamentale; esso implicava un aumento d’interesse per le forme delle superfici o, poiché si trattava di superfici di rotazione, per le curve che le generano.
Le esplorazioni geografiche avevano creato un gran bisogno di carte e un interesse per lo studio delle rotte navali quali sono rappresentate sulla sfera e sulla carta. 

L’introduzione del concetto del moto della Terra richiedeva nuovi principî di meccanica che dessero conto delle traiettorie degli oggetti mobili e anche questo implicava lo studio delle curve.
Fra gli oggetti mobili i proiettili diventarono sempre più importanti perché i cannoni potevano ora lanciare le loro palle a centinaia di metri di distanza ed era vitale essere in grado di predirne la traiettoria e la gittata.
Il problema pratico del calcolo delle aree e dei volumi incominciò ad attrarre un’attenzione sempre maggiore.
La
Nova stereometria doliorum vinariorum (1615) di Keplero diede inizio a una nuova esplosione di attività nel suddetto campo.

Un altro tipo di problemi si presentò come conseguenza dell’assimilazione delle opere greche.
I matematici cominciarono a rendersi conto che i metodi di dimostrazione greci mancavano di generalità, in quanto bisognava escogitare un metodo speciale quasi per ogni problema.

Questa osservazione era stata compiuta da Agrippa di Nettersheim (1486-1532) sin dal 1527, e da Maurolico, che aveva tradotto delle opere greche e aveva scritto libri sulle sezioni coniche ed altri argomenti matematici.
Molte delle risposte date ai nuovi problemi si ridussero a variazioni minime su vecchi temi. Infatti, la prima innovazione portatrice di rilevanti conseguenze venne solamente in risposta ai problemi sollevati dai pittori.

L’idea fondamentale nel sistema di prospettiva focale creato dai pittori è il principio di proiezione e sezione.
Una scena reale viene osservata dall’occhio considerato alla stregua di un punto.
I raggi di luce che vanno dai vari punti della scena all’occhio sono detti costituire una
proiezione.

Secondo il sistema, il quadro deve contenere una sezione di quella proiezione, laddove la sezione è definita matematicamente come ciò che risulta contenuto in un piano passante attraverso la proiezione.
Supponiamo ora che l’occhio in O guardi il rettangolo orizzontale ABCD. 




















  Le rette che vanno da O ai 4 lati di questo rettangolo costituiscono una proiezione di cui OA, OB, OC e OD sono rette tipiche.
Se si interpone ora un piano fra l’occhio e il rettangolo, le rette della proiezione taglieranno il piano e tracceranno su di esso il quadrangolo A’B’C’D’.

Dato che la sezione (ovvero A’B’C’D’) crea sull’occhio la stessa impressione del rettangolo originale, è ragionevole chiedersi, come fece Alberti, quali proprietà geometriche hanno in comune la sezione e il rettangolo originale.
È intuitivamente evidente che la figura originale e la sezione non sono né congruenti né simili, e neppure hanno la stessa area.

In effetti la sezione non è necessariamente un rettangolo.
Sussiste un’estensione di tale problema: si supponga di fare 2 sezioni diverse di una stessa proiezione mediante 2 piani distinti che tagliano la proiezione secondo angoli qualsiasi.
Quali proprietà hanno in comune le 2 sezioni?

Il problema può essere ulteriormente esteso.
Supponiamo che un rettangolo ABCD sia guardato da 2 punti diversi O’ e O’’. 


 













Vi saranno allora 2 proiezioni, una determinata da O’ e dal rettangolo, l’altra invece da O’’ e dal rettangolo. 
Se si fa una sezione di ciascuna proiezione, allora, poiché ogni sezione deve avere qualche proprietà geometrica in comune col rettangolo, pure le 2 sezioni devono avere delle proprietà geometriche in comune

Alcuni geometri del XVII secolo cercarono di dare una risposta a tali interrogativi.
Essi consideravano i metodi e i risultati da loro ottenuti come facenti parte della geometria euclidea.
In realtà, questi metodi e risultati, pur portando notevoli contributi alla geometria euclidea, si rivelarono essere le origini di una nuova branca della geometria, che nel XIX secolo divenne nota come
geometria proiettiva.

Colui che per primo affrontò direttamente i problemi descritti fu l’autodidatta Girard Desargues (1591-1661), un ufficiale dell’esercito divenuto in seguito ingegnere e architetto.
Desargues conosceva l’opera di Apollonio e sosteneva di poter introdurre nuovi metodi per dimostrare dei teoremi relativi alle coniche.
 

In effetti lo fece ed era pienamente consapevole della potenza di questi metodi.
Egli desiderava anche migliorare l’educazione e la tecnica degli artisti, degli ingegneri e dei tagliatori di pietre, mentre provava scarso interesse per la teoria in sé.
Incominciò presto a organizzare insieme numerosi teoremi utili e, almeno inizialmente, distribuì i propri risultati in lettere e biglietti.
Successivamente scrisse numerosi libri: il suo testo più importante, che fu preceduto nel 1636 da un opuscolo sulla prospettiva, è il
Brouillon project datato 1639.
Questo libro tratta di quelli che noi oggi chiameremmo metodi proiettivi in geometria. Desargues ne stampò circa 50 copie e le diffuse tra gli amici.
Dopo non molto tempo tutte le copie erano andate perdute.
Una copia manoscritta fatta da Philippe de La Hire venne trovata per caso nel 1845 da Michel Chasles e riprodotta da N. G. Poudra, il quale pubblicò le opere di Desargues nel 1864.
Una copia dell'edizione originale del 1639 venne poi rinvenuta attorno al 1950 da Pierre Moisy nella Bibliothèque Nationale di Parigi ed è stata ristampata. 
La suddetta recente copia contiene un’appendice e un’errata-corrige, di mano dell’autore,
assai importanti.
Il teorema fondamentale di Desargues sui triangoli e altri suoi teoremi furono pubblicati nel 1648 in un’appendice a un libro sulla prospettiva del suo amico Abraham Bosse (1602-1676).
In tale opera Bosse cercò di divulgare i metodi pratici di Desargues.
Il linguaggio impiegato e le strane idee contenute nel testo di Desargues resero ardua la lettura da parte dei suoi contemporanei, i quali (ad eccezione dei suoi amici padre Mersenne, Descartes, Pascal e Fermat) lo consideravano pazzo.
Perfino Descartes, quando seppe che Desargues stava introducendo un nuovo metodo per trattare le coniche, scrisse a padre Mersenne che non era in grado di vedere come si potesse fare nulla di nuovo sulle coniche, se non con l’aiuto dell’algebra.
Tuttavia, a seguito di una maggiore analisi e studio dell’opera, Descartes nutrì profondo rispetto per quanto compiuto dal suo collega.
Fermat considerava Desargues il vero fondatore della teoria delle sezioni coniche e trovò il suo libro ricco di idee.
Concludiamo dicendo che la nascita della geometria proiettiva come parte organica della matematica risale alla prima metà del XIX secolo grazie all’opera di
Gaspard Monge (1746-1818) e Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

Da questo momento in poi la trattazione si farà più tecnica; al lettore che non abbia un minimo bagaglio di nozioni geometriche e algebriche acquisite si consiglia di andare direttamente in coda al post, per una chicca musicale imperdibile.

DEFINIZIONI ED ASSIOMI DELLA GEOMETRIA PROIETTIVA

Prima di immergerci nel mondo della geometria proiettiva, è necessario fornire la definizione di spazio affine.

Sia A un insieme e sia φ : A × A V funzione a valori in un K-spazio vettoriale V.
(
A, φ) viene chiamato spazio affine se valgono le seguenti condizioni:

  1. 1)  per ogni punto P fissato appartenente ad A, l’applicazione che associa al punto Q A il vettore φ(P, Q) è una biiezione da A in V;
  2. 2)  per ogni terna di punti P, Q, R vale la cosiddetta relazione di Chasles:

φ(P, Q) + φ(Q, R) = φ(P, R

Gli elementi di A vengono detti punti affini (o semplicemente punti) mentre l’immagine φ (P, Q) è chiamata vettore applicato da P in Q e si indica generalmente con il simbolo PQ. 
Specifichiamo anche che uno spazio euclideo è uno spazio affine in cui valgono i postulati della geometria euclidea.
Possiamo pertanto definire lo
spazio proiettivo (reale) come l’ampliamento dello spazio affine (euclideo) reale mediante unione di un iperpiano formato dai punti all’infinito (punti impropri) delle rette affini.
Passiamo ora a illustrare varie definizioni inerenti alle operazioni di proiezione e sezione:

 
P1) Proiettare da un punto O (centro di proiezione) un punto P O o una retta proiettiva r non passante per O significa costruire la retta proiettiva congiungente O con P o il piano proiettivo congiungente O con r.
 

P2) Proiettare da una retta a (asse di proiezione) un punto P a significa costruire il piano proiettivo congiungente a con P.
 

S1) Intersecare (segare) con un piano ω (piano segante) un piano π ω o una retta r ω significa costruire la retta intersezione tra ω e π o il punto intersezione tra ω ed r.

 




 
S2) Intersecare (segare) con una retta S (retta segante) un piano π che non contiene S significa costruire un punto intersezione fra S e π.
 






 






Le proprietà geometriche studiate dalla geometria proiettiva sono quelle che restano invariate per operazioni di proiezione e sezione (invarianti proiettivi).
La
dualità nello spazio proiettivo P3 si ottiene sostituendo alla parola “punto” la parola “piano” e viceversa, al verbo “proiettare” il verbo “intersecare” e viceversa, lasciando invariato il termine “retta”, che risulta così autoduale.

Lo spazio proiettivo P3 (reale) è caratterizzato dai seguenti postulati (assiomi), a 2 a 2 tra loro duali: 




















Per ottenere in modo assiomatico i teoremi della geometria proiettiva dello spazio proiettivo reale, si devono aggiungere, agli assiomi precedenti, i cosiddetti assiomi proiettivi dell’ordine e della continuità

ASSIOMA PROIETTIVO DELL’ORDINE 

Su una retta proiettiva, esistono 2 ordinamenti circolari opposti, chiamati versi proiettivi, che soddisfano la seguente proprietà: 

“Dati 2 punti P1 P2 della retta proiettiva, esiste almeno un terzo punto P3, diverso da P1 e P2, tale che la terna (P1, P3, P2) risulta ordinata in modo circolare rispetto a un fissato verso proiettivo.
Questo decompone la retta proiettiva in 2 sottoinsiemi
X e Y tali che X Y = {P1, P2} e X Y = r.
Inoltre,P X,Q Y, si ha cheP Q (ossia P precede Q).”

 
ASSIOMA PROIETTIVO DELLA CONTINUITÀ

“Se un segmento proiettivo ordinato P 1P2 di una retta proiettiva si ripartisce in 2 classi di Dedekind (coppie di classi contigue, ovvero nel nostro caso la coppia (x,y)), esiste nel segmento un elemento di separazione tra le 2 classi”.

 Andando più nello specifico, una classe (o sezione o taglio di Dedekind) è una nozione introdotta dal matematico tedesco Richard Dedekind (1831-1916) alla fine del XIX secolo nell’intento di precisare il concetto di ordinamento continuo e fornire una costruzione formale dell’insieme R dei numeri reali a partire dai numeri razionali.
La sezione di Dedekind di un insieme X dotato di un ordinamento , è una partizione di X in 2 sottoinsiemi A e B tali che: 

a A,b B          a < b

Per esempio una classe di Dedekind dell’insieme Q dei numeri razionali, dotato
dell’ordinamento ordinario, è la coppia (A, B), dove 
 A = {x ∈ Q : x2 2 oppure x 0}
B = {x ∈ Q : x2 2 e x 0}


GLI ASSIOMI DELLA GEOMETRIA PIANA REALE (P2











A questi assiomi è necessario aggiungere quelli dell’ordine e della continuità visti prima. 


RAPPORTO SEMPLICE E BIRAPPORTO

Diciamo che dati 3 punti distinti A, B, C di una retta affine (euclidea) r, si dice rapporto semplice ( A, B, C ) = AC/BC, dove AC e BC sono segmenti orientati.
Vogliamo ora estendere tale concetto alla retta proiettiva r ̄ = r {C}.
Se CC(punto improprio di r) si pone(A,B,C) = 1.
Dunque si può parlare di rapporto semplice di 3 punti su una retta proiettiva.
Definiamo poi
birapporto di 4 punti distinti A, B, C, D di una retta proiettiva il numero






Se i punti sono propri, si ha:






ove ho considerato dei segmenti orientati.
Inoltre:






Siccome BD/AD tende a 1, si ha in definitiva che:





 
Ciò implica che se uno dei punti è all’infinito: 

 ( A, B, C, D) = (A, B, C )

PROPRIETÀ DEL BIRAPPORTO 

Il birapporto non si altera se si scambiano tra di loro 2 qualunque punti e contemporaneamente gli altri 2.
Ne consegue che
in un birapporto formato da 4 punti in un ordine qualsiasi, si può sempre ordinare le lettere in modo che A occupi il 1° posto (senza alterare il valore del birapporto).
Pertanto, in corrispondenza alle 24 permutazioni dei 4 punti, si hanno, al più, 6 valori distinti del birapporto, ovvero:




















 PROPRIETÀ DELLE QUATERNE ARMONICHE 

Una quaterna armonica è una quaterna di punti allineati A, B, C, D per cui vale

 


Se il birapporto non cambia modificando gli estremi, la quaterna è armonica. In simboli: 






Tuttavia k 1 poiché trattasi di punti distinti, il che implica: k = -1. Vediamo ora un paio di proposizioni rilevanti. 

1) Due punti propri A e B di una retta proiettiva r sono separati armonicamente dal loro punto medio M del segmento AB e dal punto all’infinito di r. 

2) Il quarto elemento di un birapporto di 4 punti distinti è sempre univocamente determinato.


PROIETTIVITÀ, PROSPETTIVITÀ E INVOLUZIONI 

Una proiettività tra 2 rette proiettive è un’applicazione biunivoca che conserva il birapporto.
Siano
r e r’ due rette proiettive e sia S (detto centro di prospettività) un punto fuori da esse.

Facendo corrispondere a un generico punto A r la sua proiezione A’ da S su r’, si genera un’applicazione da r in r’ chiamata prospettività.
Vale il seguente teorema: “Ogni prospettività è una proiettività”.
Osserviamo inoltre che il punto di intersezione tra le rette
r ed r’ è tale che in una prospettività risulta unito (ossia il suo corrispondente con se stesso). 


TEOREMA FONDAMENTALE DELLA PROIETTIVITÀ

Enunciato: “Tra 2 rette proiettive r ed r’, esiste una ed una sola proiettività ω : r r che fa corrispondere a 3 elementi distinti A, B, C, arbitrariamente fissati in r, 3 elementi A’, B’, C’, arbitrariamente fissati in r’.
Questa proiettività si costruisce mediante un numero
finito di operazioni di proiezione e sezione”.

Consideriamo ora una proiettività ω tra 2 rette proiettive sovrapposte, cioè ω :rr r.
Viene chiamato punto unito di ω un punto x r tale che ω (x) = x x.
La coppia
(A, A = ω(A)) di punti corrispondenti in ω : r r r si dice che ha elementi che si corrispondono in doppio modo se: 


A = ω ( A ) e ω ( A ) = A

In tal caso si dice che (A, A = ω(A)) è una coppia di elementi coniugati.

Di seguito un teorema. 

TEOREMA 

“Se in una proiettività tra rette proiettive sovrapposte esiste una coppia di elementi distinti coniugati, allora tutte le altre coppie di punti corrispondenti sono coniugate”.

Definiamo ora involuzione una proiettività tra rette proiettive sovrapposte che ammette almeno una coppia di elementi distinti coniugati.
Per il teorema precedente ogni altra coppia di punti corrispondenti in
ω involuzione sono coniugati, ossia data ω : r r r involuzione si ha che x r, ω(x) = x e quindi ω(x) =x.
Da ciò si ricava che: 


ω2(x)=ωω(x)=ω(x) =xωω=Idr  

ove Idr = identità su r.
Un’involuzione si dice poi iperbolica se ammette 2 punti uniti reali e distinti

TEOREMA 

“In una involuzione iperbolica, gli elementi uniti separano armonicamente ogni coppia di punti coniugati”.


TEOREMA 

“Un’involuzione è individuata quando sono date 2 coppie di elementi coniugati (ciascuna coppia formata da punti uniti o distinti)”.

I TEOREMI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA PROIETTIVA

TEOREMA DI DESARGUES SUL QUADRANGOLO PIANO COMPLETO 

“Le 3 coppie di lati opposti di un quadrangolo piano completo [vale a dire la figura piana formata da 4 punti di cui 3 non siano mai allineati, e dalle 6 rette che li congiungono a 2 a 2) individuano su una retta proiettiva r non passante per alcun vertice del quadrangolo 3 coppie di punti coniugati in una stessa involuzione”. 

Dimostrazione: 

- step 1: sia LKMNO il quadrangolo piano completo 



















 

- step 2: le 3 coppie di lati opposti del quadrangolo piano completo sono:
( M N , K L ) r ( A , A )  
( KM,LN)r (B,B)  
(LM,KN)r (C,C)

supponendo B B;
 
- step 3: ora proiettiamo i punti M, O, K, B da L su r e anche da N su r

L(M O K B) = (C B A B) N (MOKB)=(AB C B

Tali uguaglianze valgono su r

- step 4: ne consegue:




- step 5: sia ω : r r r individuata dalle 3 coppie di punti corrispondenti A A, B B, C C, allora esiste un’unica ω per il teorema fondamentale della proiettività. Nella suddetta proiettività ω si ha che B B, da cui, visto che questo è il 4°punto, la coppia (B,B) è una coppia di punti coniugati. Ne deriva pertanto che ω è un’involuzione.

TEOREMA DI PASCAL 

“Se un esagono semplice è inscritto in una conica, allora le 3 coppie di lati opposti si intersecano in punti allineati [cioè appartengono alla stessa retta, detta retta di Pascal della configurazione]”.

Come il teorema di Desargues, pure quello di Pascal rimane poco conosciuto fino all’inizio dell’Ottocento quando tutta la geometria proiettiva viene ripresa e ne viene riconosciuta la centralità.
Il teorema di Pascal verrà riformulato in forma moderna da un giovane matematico francese,
Charles Julien Brianchon (1783-1864), il quale, per di più, fu capace di dimostrare l’enunciato “duale”. 


TEOREMA DI BRIANCHON (TEOREMA DUALE DEL TEOREMA DI PASCAL) 

“Se un esalatero semplice è circoscritto a una conica, allora le 3 coppie di vertici opposti determinano 3 rette che passano per uno stesso punto”.
















OMOLOGIE PIANE 

Un’omologia piana è una corrispondenza biunivoca tra piani proiettivi sovrapposti π π π che porta punti in punti, rette in rette e subordina a 3 rette corrispondenti proiettività.
Inoltre, 2 qualsiasi punti corrispondenti sono allineati con un punto fisso O (centro dell'omologia) e 2 qualsiasi rette corrispondenti si intersecano su una retta a, luogo di punti uniti (asse dell'omologia)

TEOREMA (CARATTERISTICA DI UNA OMOLOGIA PIANA, O ∉ a

“In un’omologia piana il birapporto tra una coppia qualunque ( A, A = ω(A)) di punti corrispondenti, il centro O e l’intersezione H dell’asse a con la retta AA’ è costante, ovvero (A, A, O, H ) = k, dove k è chiamata caratteristica dell’omologia”.

 
TEOREMA DI DESARGUES SUI TRIANGOLI OMOLOGICI 

“Data una proiettività tra 2 piani proiettivi sovrapposti, siano A, B, C e A’, B’, C’ i vertici di 2 triangoli che si corrispondono nella proiettività.
Se i lati
a, b, c del primo triangolo segano i loro corrispondenti a’, b’, c’ nella proiettività in punti allineati, allora le rette congiungenti i vertici corrispondenti dei 2 triangoli si intersecano in un medesimo punto.
Inoltre, la proiettività è un’omologia piana”.

Dimostrazione:



















Tesi: A A, BB, CC si intersecano in S. 

- step 1: per il teorema fondamentale della proiettività, esiste un’unica proiettività
ω : π π π  
che realizza le corrispondenze (a, a’), (b, b’), (c, c’), (s, S);
- step 2: in tale proiettività
ω i triangoli ABC e A’B’C’ si corrispondono perché A a b, da cui segue  
ω(A) = A a b;
- step 3: L, M, N sono punti uniti in ω ;
- step 4: abbiamo che
L a L a, tuttavia L s (retta unita) e da ciò segue pure che L s;
- step 5: ne deriva:
L = a s = L e si procede in maniera analoga per gli altri 2 punti; 
- step 6: pertanto ω induce su s una proiettività con 3 punti uniti L, M, N. Dunque ω induce su s l’identità, cioè s è luogo di punti uniti (ovvero fatto tutto di punti uniti);
- step 7: ne consegue che
ω è una omologia piana e quindi le rette che congiungono coppie di punti corrispondenti passano per il centro dell’omologia S. Come volevasi dimostrare!

Chiudiamo, come promesso, in musica con una perla per inaugurare il nuovo anno, tratta da un Concerto di Capodanno da Vienna sì vecchio (datato 1987), ma sempre formidabile.
Ci riferiamo al valzer Voices of Spring Op. 410 di Johann Strauss II, in una particolare versione vocale sotto la direzione dell'unico e inimitabile Herbert von Karajan:

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