INTEGRALI CURVILINEI (DI SECONDA SPECIE), FORME DIFFERENZIALI E TEORIA DEL POTENZIALE

Nel precedente post (cliccate qui per leggerlo) abbiamo introdotto il concetto di curva regolare e abbiamo osservato cos'è un integrale curvilineo di prima specie.
Naturalmente esiste la nozione di integrale curvilineo di seconda specie, intimamente legata ad altri concetti tra cui le forme differenziali.
Prima però di parlare di tutto ciò è necessario focalizzarci ancora un attimo sulle curve.
L'altra volta avevamo detto che ad ogni curva γ è possibile associare un orientamento, tuttavia avevamo introdotto questo discorso facendo riferimento alla parametrizzazione della curva.
Per le applicazioni quali il calcolo del lavoro di un campo vettoriale lungo una curva (cioè, come vedremo, dell'integrale curvilineo di seconda specie), è decisamente più utile introdurre la nozione di orientamento di una curva in maniera intrinseca, cioè indipendente dalla parametrizzazione.
Diremo, nello specifico, che l'applicazione (vettoriale) continua




è un orientamento se:

1)



ove p è un punto del sostegno della curva γ. Questo significa che T è un versore.

2)

T(p) risulta tangente a γ in χ (lettera greca "chi"). In altri termini:





 funzione continua e derivabile, con I generico intervallo di ℝ, tale che:

Diremo inoltre che γ è una parametrizzazione compatibile con l'orientamento se:

T rappresenta, in sostanza, il versore tangente.
Si ricordi che gli orientamenti possibili sono naturalmente solo 2.
Dato che siamo praticamente pronti ad introdurre il concetto di integrale curvilineo di seconda specie, l'unico dettaglio che potrebbe essere utile ricordare è cos'è un campo vettoriale e per rinfrescare la memoria su tale argomento vi consiglio di cliccare qui.
Bene, consideriamo ora un campo vettoriale continuo



Sia poi γ curva orientata con orientamento T.
Nel dettaglio



con T tangente a γ.
Chiamiamo integrale curvilineo di seconda specie (detto pure integrale curvilineo lungo una curva orientata o anche lavoro del campo F lungo una curva orientata) del campo F lungo la curva γ il numero reale:






Nelle ultimi notazioni abbiamo voluto precisare con la freccia posta sopra F e il "cappello" sopra T il fatto che si trattassero rispettivamente di un vettore e di un versore, in modo da rendere chiaro che la notazione




denotasse il loro prodotto scalare, che produce appunto un numero (non un vettore).
Un'altra notazione tipica per indicare il suddetto integrale è la seguente:






 In maniera esplicita diciamo che se




è una parametrizzazione compatibile con l'orientamento, allora:

 
Ergo, l'integrale curvilineo di seconda specie si riduce al calcolo dell'integrale tra gli estremi a e b del prodotto scalare del campo vettoriale F (calcolato in γ(t)) per la derivata della curva γ parametrizzata.
Va specificato che l'integrale appena definito risulta indipendente dalla parametrizzazione compatibile con l'orientamento.
Una domanda legittima a questo punto potrebbe essere: cosa succede se cambiamo l'orientamento della curva?
Risposta: semplicemente cambia il segno dell'integrale. In simboli:

A questo punto la prassi sarebbe procedere con un chiaro esempio esplicativo di calcolo di un integrale curvilineo di seconda specie.
Prima di far ciò, tuttavia, vorrei procedere all'introduzione dell'importante concetto di forma differenziale, che, come vedremo, è intimamente legato ai campi vettoriali.
Cos'è una forma differenziale in parole povere?
È semplicemente un'integranda, cioè un'espressione che può essere integrata rispetto ad alcuni domini.
Per esempio, considerando l'integrale






in tal caso x² dx è una forma differenziale.
Naturalmente non tutte le integrande sono forme differenziali, come per esempio accade nel calcolo della lunghezza di un arco di curva o dell'area di una superficie.
Ottima è la spiegazione che Wikipedia fornisce relativamente alle forme differenziali:

Specifichiamo che una varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in dimensione arbitraria.
Le forme differenziali che ci interessano, nello specifico, nell'ambito dell'integrale curvilineo, sono dunque le 1-forme, chiamate a volte pure forme differenziali lineari.
Prima di entrare nei dettagli, è necessario richiamare alcune nozioni di algebra lineare.

Risulta in particolare necessario specificare cosa sia un funzionale.
In parole povere, un funzionale è una legge o corrispondenza tra funzioni e numeri (una "funzione di funzioni"), mentre una funzione è una legge o corrispondenza tra numeri e numeri.
In altri termini, un funzionale è una funzione che ha come argomento un'altra funzione e come risultato un numero.
Nel nostro contesto, tuttavia, è maggiormente utile la definizione (più vicina all'algebra lineare) fornita per esempio da Kolmogorov e Fomin nel testo Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale:

"Un funzionale è una funzione numerica f definita in uno spazio (vettoriale) lineare V".

Specificato ciò, andiamo a dire che un funzionale lineare è un'applicazione




che risulta lineare, cioè tale che:

L'insieme di tutti i funzionali lineari da ℝⁿ in ℝ viene chiamato spazio duale di ℝⁿ e si denota col simbolo




Si noti che lo spazio duale, dotato delle usuali operazioni di somma di funzioni e di prodotto di una funzione per uno scalare, è esso stesso uno spazio vettoriale di dimensione n.
Senza voler appesantire troppo il discorso, al lettore che non ricordasse la definizione facciamo presente che uno spazio vettoriale è, in parole povere, un insieme di vettori dotato delle 2 operazioni appena citate, le quali devono soddisfare un certo elenco di assiomi (che potete trovare qui su Wikipedia o in un qualsiasi libro di algebra lineare).
Consideriamo ora un insieme aperto A di ℝⁿ.
Possiamo definire in maniera più rigorosa una forma differenziale come un'applicazione

che ad ogni elemento x di A associa il funzionale lineare su ℝⁿ.
In simboli:






Le funzioni scalari a₁(x), a₂(x), ..., a_n(x) sono dette coefficienti della forma differenziale ω e l'espressione sotto forma di sommatoria è solo un'altra maniera di esprimere un funzionale lineare.
Andiamo un po' più nel concreto e vediamo come si scrive una generica 1-forma differenziale nello spazio euclideo tridimensionale:




L'aspetto molto interessante è che a tale forma differenziale è possibile associare il campo vettoriale

Osserveremo infatti tra pochissimo che parlare di 1-forme differenziali o di campi vettoriali è come riferirsi a due modalità diverse di dire la medesima cosa!
Andiamo a tal proposito a definire l'integrale di una 1-forma differenziale.
Consideriamo nuovamente un aperto A di ℝⁿ.
Sia inoltre






una 1-forma continua e sia





una curva regolare a tratti e orientata, allora si definisce l'integrale della 1-forma esteso alla curva γ come:

Se adesso consideriamo un generico campo vettoriale





è facile constatare come valga la seguente fondamentale relazione:

No, non è uno scherzo! L'uguaglianza appena scritta ci mostra che l'integrale curvilineo di seconda specie (ovvero il lavoro del campo vettoriale F lungo la curva γ) è esattamente uguale all'integrale della 1-forma differenziale ω associata, sempre lungo γ.
Dunque se noi abbiamo una data curva, con un dato orientamento, e andiamo a calcolare il lavoro del campo vettoriale lungo la curva oppure l'integrale della 1-forma differenziale associata, il risultato che otterremo utilizzando entrambi i metodi di calcolo sarà identico.
Non ci credete? Vediamo un semplice esempio (che avevo promesso poco fa).
Consideriamo la curva avente parametrizzazione




che è una semicirconferenza di raggio unitario e assumiamo l'orientamento del grafico che segue

ossia quello antiorario.
Ai fini del calcolo ci conviene già ricavarne la derivata:

Consideriamo poi il seguente campo vettoriale





e la 1-forma differenziale associata

Andiamo rispettivamente a calcolare il lavoro del campo lungo la nostra semicirconferenza (cioè l'integrale curvilineo di seconda specie) e subito dopo l'integrale associato alla 1-forma.
Per il lavoro dobbiamo impostare l'integrale

Dato che calcolare esplicitamente quest'ultimo integrale è un processo un po' lungo, la sua risoluzione completa la lascio a mo' di esercizio per il lettore.
Fornisco però alcuni suggerimenti utili per provare a risolverlo.
Innanzitutto conviene spezzare l'espressione in una somma di 2 integrali.
Per quanto concerne l'integrale






vi conviene sfruttare la formula di linearità inerente al seno elevato al quadrato:






e, nell'integrale che otterrete, andate a compiere una sostituzione del tipo 2t = u, ricordandovi di modificare conseguentemente gli estremi di integrazione.
Per quanto riguarda l'integrale






in tal caso vi conviene ricorrere a una sostituzione del tipo u = cos t e modificare conseguentemente gli estremi di integrazione.
Bene, vediamo cosa succede ora impostando l'integrale originario sulla base della 1-forma differenziale.
Dobbiamo perciò calcolare






Ricordandovi che in riferimento alla curva prescelta abbiamo






e






L'integrale della 1-forma diviene:

che è proprio lo stesso integrale a cui eravamo pervenuti prima (e lasciato come esercizio)!
Questo semplice esempio vi dimostra in modo palese che calcolare il lavoro di un campo vettoriale lungo una curva o l'integrale della 1-forma differenziale associata lunga la medesima curva è, alla fine, proprio la stessa cosa!

Asseriamo ora che se γ è una curva chiusa, allora






viene chiamato circuitazione del campo F su γ.
Trattasi di un concetto quello di circuitazione che vanta una grande varietà di applicazioni in fisica, ad esempio in fluidodinamica e in elettromagnetismo.
È giunto il momento di introdurre una tipologia di forme differenziali davvero molto importanti: le forme differenziali esatte.
Una 1-forma differenziale ω nell'aperto A di ℝⁿ si dice esatta se esiste una funzione differenziabile



chiamata primitiva di ω, tale che:




In altri termini, una funzione differenziabile f in un aperto A di ℝⁿ è una primitiva di una 1-forma ω, avente coefficienti

 


ovvero in simboli:

se risulta

 il che equivale alla condizione:






Quanto appena scritto si può esprimere anche con il linguaggio dei campi vettoriali.
Se infatti consideriamo il campo vettoriale continuo




con A aperto, diremo che F è conservativo se esiste una funzione scalare di classe C¹




detta potenziale, tale che





in A.
Dunque il gradiente (ricordiamo che tale operatore differenziale restituisce sempre un vettore) del potenziale U deve essere uguale al campo vettoriale conservativo F.
In termini espliciti, ciò significa che






con





L'idea di una "funzione potenziale" si deve a Lagrange nel 1773.
Tale funzione venne introdotta, senza una precisa denominazione, al fine di studiare l'attrazione gravitazionale tra i corpi.
Più tardi Legendre, precisamente nel 1782, introdusse i polinomi ortogonali che prendono il suo nome per lo studio del potenziale gravitazionale di Newton.
Nel medesimo anno, Laplace mostrò come trovare la funzione potenziale V per la forza gravitazionale dovuta ad uno sferoide arbitrario, assumendo che venisse soddisfatta la seguente equazione differenziale:




Questa è la famosa equazione di Laplace, che abbiamo incontrato qui pure nell'ambito dell'analisi complessa.
Nel 1784 Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) rese evidente ancor di più l'importanza del potenziale enunciando la famosa legge relativa alla forza elettrostatica.
Nei suoi tentativi di produrre una teoria matematica dell'elettrostatica, Siméon-Denis Poisson (1781-1840), nel 1813, andò poi a generalizzare l'equazione di Laplace nel modo seguente:




con ρ densità di un solido. Trattasi di una legge valida infatti pure nei punti interni di un solido.
I matematici citati hanno notato in generale che una forza F(p), esercitata su un'unità di massa nel punto p da una distribuzione di massa ρ(x), viene fornita dall'integrale:






Trattasi di un'espressione vettoriale complicata, ma la funzione potenziale di Lagrange corre in soccorso, essendo una molto più semplice funzione scalare:






 Un calcolo diretto mostra che




la quale è praticamente l'espressione che ritroviamo nell'ambito della meccanica classica, cioè la forza esprimibile come gradiente dell'energia potenziale cambiato di segno!
Ulteriori contributi allo sviluppo della teoria del potenziale vennero prodotti in primis da Ampère, il quale mostrò, nel 1826, che esiste una legge dell'inverso del quadrato pure in ambito elettrodinamico, e poi dai lavori teorici degli anni 30' e '40 del XIX secolo da parte di Gauss e Green.
Dopo questo breve excursus di carattere storico relativo alla teoria del potenziale, andiamo a scoprire un'interessante proprietà dei campi conservativi (o equivalentemente delle 1-forme).
Sia




un campo vettoriale conservativo, sia U un suo potenziale e sia




una curva regolare a tratti orientata semplice aperta.
Allora:

In particolare, se γ è chiusa, si ha:






In termini di forme differenziali si avrà naturalmente che

con f primitiva di ω.
La proprietà appena mostrata fa dedurre che il lavoro di un campo conservativo non dipende dalla curva ma soltanto dai suoi estremi.
Ciò ha un notevole impatto in fisica per quanto concerne le forze conservative.


















Concludiamo il discorso enunciando il fondamentale teorema di caratterizzazione delle forme esatte.
Sia

un insieme aperto connesso.
Specifichiamo che un insieme aperto A si dice connesso se NON esistono A₁, A₂ aperti, non vuoti e disgiunti tali che




Sia poi




una 1-forma continua.
Il teorema afferma che le seguenti 3 proprietà sono tra loro equivalenti:

1) ω è esatta;
2) per ogni curva regolare a tratti chiusa γ, contenuta in A, si ha:






3) per ogni γ₁, γ₂ curve regolari a tratti, contenute in A, i cui punti iniziali e finali coincidono, si ha:






Ovviamente, basterebbe adattare il teorema appena illustrato al linguaggio dei campi conservativi per ottenere una loro caratterizzazione.
Per il momento ci fermiamo qui con la narrazione. Nel prossimo appuntamento scaveremo più a fondo negli argomenti illustrati in questo post, andando a scoprire in particolare le forme differenziali chiuse (e lo stretto collegamento con i campi vettoriali irrotazionali), gli insiemi stellati, gli insiemi semplicemente connessi e l'omotopia.
Visto che abbiamo parlato tanto di lavoro, riferendoci adesso al "lavoro" nel senso ampio del termine, concludiamo in musica con "Nice Work If You Can Get It", brano del 1937 di George Gershwin & Ira Gershwin, interpretato dalla divina Sarah Vaughan (1924-1990):



-----------------------------------------------------------------------------------------
Fonti essenziali:

- Analisi matematica di Simonetta Abenda;
- https://it.wikipedia.org/wiki/Forma_differenziale
- Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin
- Analisi matematica 2 di Carlo Domenico Pagani e Sandro Salsa
- Analisi matematica vol. 2 di Barutello, Conti, Ferrario, Terracini, Verzini
- Analisi matematica due di Fusco, Marcellini e Sbordone
- The real and the complex: A history of analysis in the 19th century di Jeremy Gray 
- Lezioni di analisi matematica 2 (prima parte) di Ermanno Lanconelli