AUGUSTIN-LOUIS CAUCHY: IL RIFINITORE DELL'ANALISI

Come ben noto, l'analisi matematica, una delle branche più note ed importanti dell'intera Matematica, nacque ufficialmente nel XVII secolo, per mano di Newton e Leibniz.
Nel XVIII secolo numerosi personaggi, tra cui Lagrange (la cui figura è stata descritta nell'articolo "Il più grande matematico italiano del XVIII secolo: Lagrange"), hanno continuato a implementarla.
A detta del matematico statunitense William Waterhouse:

"Nel XIX secolo, il calcolo infinitesimale versava in uno stato curioso. Non c'era alcun dubbio che fosse corretto. I matematici di talento lo avevano utilizzato proficuamente per un secolo. Tuttavia, nessuno poteva spiegare chiaramente perché funzionasse...Poi arrivò Cauchy."

Si potrebbe definire Cauchy alla stregua di "rifinitore dell'analisi", in quanto, come afferma sempre Waterhouse, il suo contributo più importante non consistette nello sconvolgere tale branca con sconcertanti rivoluzioni o con l'introduzione di concetti totalmente originali, bensì nello spazzare via tutta la polvere che circondava l'analisi, portando alla luce l'intero edificio del calcolo infinitesimale, che già faceva leva su solidissime basi.
Non ci resta che andare a scoprire meglio la figura di Cauchy.
Augustin-Louis Cauchy nacque a Parigi il 21 agosto 1789, ossia circa 6 settimane dopo la famosissima presa della Bastiglia.
La vita di Cauchy è paragonabile a quella del Don Chisciotte descritto da Cervantes.
Il padre, Louis-François, un modello di virtù e pietà, scampò fortunatamente alla ghigliottina.
Pensate che questi era giurista parlamentare, uomo profondamente colto ed erudito, specialmente per quanto riguardava le materie classiche e bibliche.
Egli era persino il tenente di polizia a Parigi al momento della caduta della Bastiglia!
Compiendo un piccolo flashback, un paio di anni prima aveva sposato Marie-Madeleine Desestre, donna dalle non grandi capacità intellettive e bigotta come il marito.
Augustin era il maggiore di 6 figli, 2 maschi e 4 femmine.
Riprese dai genitori tutte le qualità confacenti a personalità profondamente religiose, che lo resero appunto il Don Chisciotte ostinato del cattolicesimo francese negli anni '30 e '40 del XIX secolo!
Egli era così profondamente devoto al cattolicesimo da assumere un comportamento un tantino irritante.
Ad esempio, un altro grande matematico del tempo, Niels Henrik Abel, che pure era figlio di pastore e onesto cristiano, espresse lo sdegno che suscitavano alcuni atteggiamenti di Cauchy, scrivendo le seguenti parole: "Cauchy è un cattolico bigotto, cosa strana in un matematico".
Come si può immaginare, Cauchy trascorse l'infanzia nel periodo più sanguinario della Rivoluzione.
Le scuole erano chiuse e tutti gli uomini colti venivano lasciati nella miseria o addirittura ghigliottinati.
Per cercare di sfuggire al pericolo, il padre di Cauchy portò la famiglia al suo paese, Arcueil, nella quale aspettò la fine del Terrore, morendo quasi di fame e nutrendo la propria moglie e i figli con quel poco che poteva coltivare, ovvero frutti e legumi.
La conseguenza di ciò fu che Cauchy crebbe come un bambino delicato e fisicamente poco sviluppato; la minuta alimentazione di Cauchy negli anni del Terrore comportò problemi per tutta la sua vita.  
Il ritiro ad Arcueil durò ben 11 anni, durante i quali il padre si assunse un compito estremamente importante: l'istruzione dei figli.
Egli scriveva di proprio pugno i testi scolastici, attingendo alle sue profonde conoscenze e ricorrendo spesso a scorrevoli versi.
Infatti, questi opinava che la poesia rendesse la grammatica, la storia e soprattutto la morale più divertente e facile da assimilare per le giovani menti.
Non stupisce allora il fatto che Cauchy coltivò per tutta la vita la passione per la poesia, componendo versi sia in francese che in latino.
A questo punto fa la sua comparsa nella suddetta vicenda un personaggio chiave, trattasi del marchese Pierre-Simon de Laplace (per informazioni su Laplace vi consiglio di recarvi all'articolo "Matrici: Il concetto di determinante"), la cui maestosa dimora si trovava molto vicino ad Arcueil.

La prima volta che Laplace si recò in visita dai Cauchy rimase letteralmente colpito dal giovane Augustin, troppo debole fisicamente per darsi ai passatempi della sua età, assorto negli studi con un'aria da frate!

Poco tempo dopo Laplace si rese conto delle grande predisposizione del giovane nei confronti della Matematica.
Negli anni successivi Laplace probabilmente si pentì di aver indirizzato Cauchy verso la Matematica.
Volete sapere perché?
Ebbene, divenuto matematico, Cauchy tenne delle conferenze sulle serie infinite, che Laplace seguì con un certo timore: infatti, Laplace aveva paura che le scoperte del giovane potessero sconvolgere le fondamenta della Meccanica Celeste, la passione primaria del marchese.
Ci mancò veramente poco che accadesse il disastro, cioè il crollo del "sistema del mondo": se l'orbita della Terra, quasi circolare, fosse stata un tantino più ellittica, le serie infinite alla base dei calcoli di Laplace sarebbero risultate divergenti (brutto problema!).
Ma per Laplace la ruota della fortuna girò in modo favorevole: la sua intuizione astronomica lo aveva salvato dall'imminente "catastrofe"; poté infatti esalare un sospiro di sollievo quando verificò, sfruttando i metodi di Cauchy, la convergenza di tutte le sue serie.
Adesso una data importante: 1° gennaio 1800.
Cosa successe?
Ebbene, in cotal giorno il padre di Cauchy (che aveva, nel corso di quegli infausti anni, conservato qualche relazione a Parigi) venne proclamato Segretario del Senato.
Vi starete probabilmente chiedendo: cosa c'entra tutto questo con l'attività matematica del giovane Augustin Cauchy?
Il padre ottenne, grazie alla sua prestigiosa carica, un gabinetto (non inteso come toilette!) personale al Palazzo del Lussemburgo, ove riservò un angolo al figlio come stanzo di studio.
Da quelle parti capitava spesso (per discutere d'affari con il segretario Cauchy) non uomo qualunque, bensì il più importante matematico del tempo: Joseph-Louis Lagrange.
Un giorno, in presenza di Laplace e di numerose altre personalità, Lagrange, indicando il piccolo studioso che lavorava nel suo angolo, asserì: "Lo vedete? Ebbene, vi dico che come matematico ci soppianterà tutti".
Lagrange impartì inoltre qualche buon consiglio al padre di Cauchy, temendo che, essendo il ragazzo cagionevole, il suo affaticamento risultasse eccessivo.
Tra i consigli dati da Lagrange al padre di Cauchy citiamo:

- "Non gli fate toccare un libro di matematica [superiore] prima dei 17 anni";
- "Se non vi affrettate a dare ad Augustin una solida educazione letteraria, le sue inclinazioni lo allontaneranno in seguito, e per sempre, dagli studi letterari, ed egli sarà un grande matematico, ma non saprà scrivere correttamente la propria lingua".

Il padre di Cauchy ovviamente si impegnò a rispettare i preziosi consigli forniti dal grande matematico, istruendo il figlio innanzitutto sotto il profilo letterario per poi lasciarlo libero di coltivare la sua passione per la Matematica.
Quando il giovinotto compì 13 anni, entrò alla Scuola centrale del Pantheon, con risultati strabilianti, soprattutto per quanto concerne il greco e la composizione latina.
In questo periodo fece anche la sua prima comunione, evento fondamentale per un cattolico.
All'età di 16 anni fu ammesso al Politecnico, classificandosi secondo.
Dopo il Politecnico fu il turno della Scuola di ingegneria civile: nonostante avesse solo 18 anni, si dimostrò superiore persino ai ragazzi che frequentavano tale scuola da già 2 anni.
Il suo talento non restò celato nell'ombra: ottenne infatti un importante incarico a Cherbourg da Napoleone: il governo voleva che egli diventasse un grande ingegnere militare.
4 furono i libri che si portò appresso:

1) la Meccanica celeste di Laplace;
2) l'Imitazione di Cristo di Tommaso da Kempis;
3) una copia delle opere di Virgilio;
4) la Teoria delle funzioni analitiche di Lagrange: fu il libro per mezzo del quale si concretizzò la "profezia" del suo autore. Infatti, rappresentò il testo che spinse Cauchy alla ricerca di una teoria delle funzioni, senza i difetti contraddistinguenti quella di Lagrange.

Cauchy trascorse circa 3 anni a Cherbourg, 3 anni di lavoro spasmodico e incessante.
Oltre al lavoro ufficiale per il governo francese, Cauchy, nel frattempo, compiva delle ricerche scientifiche, concernenti diverse branche del sapere, dalla Matematica all'Astronomia.
Il ritorno a Parigi avvenne nel 1813, quando egli aveva 24 anni e si era già fatto notare dai più illustri matematici francesi per i suoi studi sui poliedri e sulle funzioni simmetriche.
Nel 1816 Cauchy era diventato uno dei più importanti matematici viventi.
Il suo unico rivale era un certo Carl Friedrich Gauss, di 12 anni maggiore di lui.
Riporto un bel passo dal celebre testo Storia della Matematica di Carl Boyer, concernente il confronto tra le figure di Gauss e Cauchy:

"Gauss viene talvolta descritto come l'ultimo matematico in grado di abbracciare l'intero campo di questa scienza. Tale generalizzazione è inevitabilmente inesatta, ma serve comunque a mettere in rilievo l'ampia gamma di interessi da lui manifestata. Nel 1809 Gauss pubblicò un resoconto dei suoi metodi astronomici in un libro intitolato Theoria motus (Teoria del moto), dove faceva riferimento alla sua scoperta dei minimi quadrati. Legendre era convinto che questo principio fosse stato scoperto da lui e virtualmente accusò Gauss di plagio, comunicando la propria indignazione a Jacobi. Oggi sappiamo che Gauss era corretto; ma non si può evitare di dire che sarebbe stato augurabile che egli avesse reso pubbliche le sue scoperte con maggiore prontezza, o avesse comunicato con maggiore cortesia la notizia delle proprie scoperte a coloro che le avrebbero rifatte dopo di lui. Come Newton, Gauss fece ogni sforzo per essere onesto verso gli altri, ma talvolta si dimostrava poco compiacente verso le ricerche altrui, specialmente verso Cauchy, il matematico che più gli si avvicinava per l'importanza dei risultati matematici raggiunti, ma che non venne citato neppure una sola volta da Gauss. Per un aspetto Cauchy era molto dissimile da Gauss: pubblicava subito qualsiasi risultato non appena l'aveva raggiunto. Forse è questa una delle ragioni per cui la principale caratteristica della matematica del XIX secolo, ossia l'introduzione del rigore, viene attribuita a Cauchy piuttosto che a Gauss, nonostante l'alto modello di precisione logica che questi si prefisse. Può anche darsi che qui abbia avuto importanza la tradizione pedagogica dell'École Polytechnique: v'era infatti molta maggiore chiarezza e sistematicità pedagogica in Cauchy, che amava l'insegnamento, di quanta ve ne fosse in Gauss, che lo odiava. Gauss aveva annotato qua e là in un diario o in un libretto di appunti, tenendoli nascosti, parecchi teoremi sulle variabili complesse, ma fu Cauchy che continuò a riempire le pagine del Journal dell'École Polytechnique e dei Comptes Rendus dell'Académie con memorie sempre più lunghe. Queste toccavano gli argomenti più svariati, ma la maggior parte riguardavano particolarmente la teoria delle funzioni di una variabile complessa, branca della quale, fin dal 1814, Cauchy era stato l'effettivo fondatore...Non è facile trasportare definizioni e regole di differenziazione dal caso reale a quello complesso, e la derivata in quest'ultimo caso non viene più rappresentata come pendenza o coefficiente angolare della retta tangente a una curva. Senza il supporto di un riferimento visivo, si sente maggiormente l'esigenza di definizioni più precise e accurate dei concetti. Uno dei contributi di Cauchy al calcolo infinitesimale consistette appunto nel dare soddisfazione a questa esigenza di rigore, per quanto riguardava sia le variabili reali, sia le variabili complesse."   

Nonostante l'attività matematica incessante, che gli permise di conseguire prestigiosi e numerosissimi riconoscimenti, Cauchy trovò anche il tempo per innamorarsi di Aloise de Bure, anche lei fervente cattolica.
Le nozze si celebrarono nel 1818 ed gli sposini vissero insieme per quasi 40 anni, dando alla luce 2 figlie.
Il 1821 è un'altra data importante: Cauchy, esortato da Laplace, scrisse (per poi pubblicarlo) il suo corso di analisi al politecnico.
Il suddetto testo rappresentò per molto tempo il classico del rigore matematico.
Ancora oggi troviamo nei trattati rigorosi di analisi matematica le definizioni di limite e di continuità (e molti altri enunciati) forniti da Cauchy in tale magistrale opera.
Addentriamoci un po' nei dettagli.

Cauchy, tralasciando ogni riferimento alla geometria, agli infinitesimi e alla velocità, diede vita alla seguente definizione di limite:

"Quando i valori successivi attribuiti a una variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato così che finiscono con il differire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, quest'ultimo viene detto il limite di tutti gli altri."

Nel definire la derivata di una funzione y = f(x) rispetto a x, Cauchy assegnava alla variabile x un incremento Δx = i e andava a scrivere il seguente rapporto:




Il limite di questi rapporti incrementali quando i tende a 0 veniva da lui chiamato "derivata f'(x) di y rispetto a x".
Non è altro che la definizione di derivata che si trova comunemente in un qualsivoglia libro di analisi odierno. 

Il differenziale aveva per Cauchy un ruolo sussidiario, sebbene fosse conscio della sua facilità operativa.

Se dunque dx è una quantità finita, il differenziale dy della funzione y = f(x) è semplicemente definito dal matematico come f'(x)dx.
Ma la scrittura di un corso di analisi non bastava: la fecondità intellettuale di Cauchy era così straordinaria e fuori dal comune che egli dovette fondare una sorta di rivista tutta per sé: gli Exercises de mathématiques (1826-30), seguiti da una seconda serie denominata Exercises d'analyse mathématique et de physique. 
Nel 1830 la "tranquilla" esistenza di Cauchy fu turbata dalla Rivoluzione che causò l'esilio del re Carlo X.
Cauchy aveva stretto un giuramento solenne di fedeltà e impegno sacro nei confronti del sovrano: ergo, abbandonò Parigi (e tutti i suoi prestigiosi incarichi) per seguire la via dell'esilio volontario.
A dir la verità, il matematico non era così dispiaciuto di abbandonare temporaneamente Parigi, considerate le terribili condizioni in cui versava la città dopo la Rivoluzione di Luglio.
Quindi si recò in Svizzera, dove continuò i suoi studi, senza chiedere neanche il più piccolo favore al sovrano, che, secondo Cauchy, non sapeva nemmeno del sacrificio volontario a cui si era sottoposto per questione di principio.
Un po' di tempo dopo, il re di Sardegna, Carlo Alberto, venendo a conoscenza che il grande Cauchy era disoccupato, gli offrì la cattedra di professore di fisica matematica a Torino, offerta accettata senza tentennamenti dal matematico.
Pertanto, Cauchy apprese anche l'italiano, tanto da tenere le sue lezioni nella nostra lingua.
Poco tempo dopo, Cauchy attraversò un brutto periodo di malattia, dovuto probabilmente al forte stress a cui era sottoposto quotidianamente; si prese dunque un periodo di vacanza, durante il quale fece persino visita al Papa.
Al ritorno a Torino, tutto contento di poter riprendere i suoi studi e le sue ricerche, Cauchy si trovò di fronte a una spiacevole situazione.
Il re Carlo X, desideroso di ricompensare il suo leale partigiano, gli propose un compito per niente gratificante: l'educazione del duca di Borgogna, suo erede, avente 13 anni.
Invece di poter dedicare il suo tempo alla ricerca, Cauchy si trovò a dover fare da balia al ragazzino, cosa che certamente non lo rese felice.
Sicché si trasferì con tutta la famiglia a Praga, per onorare il suo compito di precettore del ragazzo. 
Cauchy riuscì a "sfuggire dalle grinfie" del suo allievo nel 1838: ormai aveva quasi raggiunto la veneranda età di 50 anni.
In quell'anno ritornò a Parigi, riottenendo il suo posto all'Académie des sciences.
Da quel momento in poi passò ancor più tempo nell'attività che più prediligeva: la ricerca.

Durante gli ultimi 19 anni della sua esistenza compose più di 500 studi inerenti a tutte le branche della Matematica e non solo!

Cauchy esalò l'ultimo respiro il 23 maggio 1857, all'età di 68 anni.
Infatti, per rimettersi da una bronchite, aveva deciso di trascorrere un po' di tempo in campagna, dove purtroppo accusò una fortissima febbre, che lo stroncò.
Poche ore prima del tragico evento, si trovava in compagnia dell'Arcivescovo di Parigi, a cui riferì le sue ultime parole: "Gli uomini passano, ma le loro opere restano".
Come dargli torto?
A mo' di conclusione, enunciamo e dimostriamo il noto teorema di Cauchy relativo al calcolo differenziale di una variabile reale.
Ecco l'enunciato: Se abbiamo 2 funzioni, f(x) e g(x), le quali risultano continue nell'intervallo [a, b] e derivabili in (a, b), e se g'(x) ≠ 0  ∀x ∈ (a, b), allora esiste sicuramente un punto c ∈ (a, b) tale che:
   
   
  


Ora passiamo alla dimostrazione!
Essa è veramente molto simile a quella effettuata per il teorema di Lagrange nel post "Il più grande matematico italiano del XVIII secolo: Lagrange".
A dir la verità, il teorema di Lagrange non è che una forma particolare del teorema di Cauchy, la quale si ha, nello specifico, quando g(x) = x per ogni x.
Riporto l'immagine che avevamo utilizzato per la dimostrazione del teorema di Lagrange:

















Avevamo, per quanto concerne Lagrange, una singola curva f(x) passante per i punti A(a, f(a)) e B(b, f(b)), così come (ovviamente) una retta.
Ricordando che la formula che descrive una retta passante per 2 punti è:





avevamo scritto l'equazione della retta che stiamo prendendo in considerazione come:

Dopodiché avevamo considerato una funzione ausiliaria pari alla differenza tra la funzione f(x) e la retta appena descritta:






Adesso dobbiamo effettuare una piccola modifica, visto che nel teorema di Cauchy abbiamo a che fare con 2 funzioni, f(x) e g(x).

Dunque, andiamo a riscrivere la funzione ausiliaria come:

Per dimostrare la tesi del teorema di Cauchy, dobbiamo innanzitutto dimostrare che la funzione appena riportata possieda 3 caratteristiche peculiari:

1) w(x) è continua;
2) w(a) = w(b) = 0, ovvero agli estremi dell'intervallo la funzione è nulla;
3) w(x) è derivabile.

DIMOSTRAZIONE PUNTO 1:

Banale! La funzione w(x) è fornita da una somma algebrica delle funzioni continue f(x) e g(x). La somma (o differenza) di 2 funzioni continue è ancora una funzione continua.

DIMOSTRAZIONE PUNTO 2:

Ci basta andare a verificare che w(a) e w(b) sono pari a 0.
Cominciamo con w(a):

Proseguiamo con w(b):

Ergo, w(a) = w(b) = 0. Come volevasi dimostrare!

DIMOSTRAZIONE PUNTO 3:

Banale! La funzione costituita dalla somma algebrica di 2 funzioni derivabili è ancora derivabile. Per completezza, la derivata della funzione w(x) è:





Dimostrati i suddetti 3 punti, possiamo applicare il teorema di Rolle, il quale ci dice che esiste un punto c ∈ (a, b) per cui w'(c) = 0.
Ciò implica che:





La dimostrazione è conclusa!
E' giunta la fine; un'ultimissima ma interessante informazione: nel corso della sua vita, Cauchy pubblicò un numero di articoli di ricerca in Matematica pari addirittura a 789!
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Fonti principali:

- I Grandi Matematici di Eric T. Bell

- Storia della Matematica di Carl B. Boyer