UN GENIO DELLA MATEMATICA E DELL'INSEGNAMENTO: KARL WEIERSTRASS

Ci siamo già imbattuti, all'interno di diversi post, in personaggi che hanno rivoluzionato quella branca della Matematica nota come analisi matematica.
Ad esempio, abbiamo osservato la vita e le scoperte del più grande matematico italiano del XVIII secolo, Lagrange, abbiamo scoperto curiosità relative al "Don Chisciotte" della Matematica, Cauchy, abbiamo ammirato la serie di Fourier assieme alla singolare biografia del suo scopritore, abbiamo conosciuto il più grande matematico dilettante della storia, Fermat.
Ora ci accingiamo a indagare meglio su colui che viene generalmente denominato "padre dell'analisi moderna": Weierstrass.



















Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (o Weierstraß) nacque il 31 ottobre 1815 (l'anno della battaglia di Waterloo) a Ostenfelde, nel distretto di Münster, in Germania.
Karl era il maggiore dei 4 figli (Karl appunto, Peter, Klara e Elise) di Wilhelm Weierstrass, un funzionario di dogana al servizio dei francesi, e Theodora Vonderforst.
La famiglia Weierstrass era cattolica liberale praticante; in particolare, il padre aveva abiurato il protestantesimo probabilmente nel periodo delle sue nozze.
La madre Theodora perse la vita nel 1826, poco dopo la nascita dell'ultima figlia Elise.
Il padre si risposò allora l'anno successivo con una massaia tedesca, una donna che non ebbe alcuna influenza sullo sviluppo culturale ed intellettuale dei figliastri.
Al contrario, il padre era un uomo che poteva vantare una gran cultura e che addirittura, in gioventù, era stato insegnante.
Tuttavia, costui aveva un atteggiamento che si potrebbe definire tirannico nei confronti dei figli, specialmente verso Peter, incessantemente preso di mira dal padre mediante pungenti prediche e intromissioni nella vita privata, anche quando costui aveva raggiunto l'età adulta.
Ma Karl non mostrava il medesimo atteggiamento remissivo del fratello, tanto da "combattere" il padre sabotando la strada che costui aveva deciso prepotentemente per lui.
Comunque, facendo luce sulla formazione del giovane Karl, egli frequentò il Ginnasio Cattolico a Paderborn, luogo in cui incominciò a nutrire interesse per la matematica.
Karl si affezionò molto a tale scuola, tanto che i suoi maestri divennero perfino suoi amici.
Completò il ginnasio a 19 anni (in netto anticipo rispetto alla normale tempistica), dopo aver brillato negli studi e aver ricevuto svariati premi (un anno ne ricevette addirittura 7) per il tedesco, il latino, il greco e (ovviamente) la matematica.
Paradossalmente, non venne mai insignito di premi per la calligrafia, sebbene fosse destinato a trascorrere diversi anni della sua vita insegnando a scrivere ai fanciulli.
Aspetto strambo della sua personalità è il fatto che Weierstrass non mostrava alcun interesse per la musica di qualsivoglia genere, tanto che, da adulto, spesso soleva entrare nel mondo dei sogni durante un concerto o un'opera lirica!
Forse anche Weierstrass avrebbe mostrato un minimo interesse per il video che segue, nel quale ascolterete e visionerete la straordinaria, superlativa, mostruosa, "aliena" pianista ucraina Valentina Lisitsa mentre esegue (al solo piano) il 1° movimento del Concerto per Pianoforte e Orchestra n.3 di Rachmaninov (forse la composizione più complicata in assoluto scritta da tale autore; un vero capolavoro):



Ritornando alla nostra biografia, a 15 anni Karl lavorava per mezza giornata alla stregua di contabile presso una donna che aveva un fruttuoso commercio di burro e prosciutto.
Padroneggiava così bene i numeri che il dispostico padre pensò di farne un contabile governativo.
Ed è per questo motivo che egli lo esortò affinché studiasse, all'Università di Bonn, legge, contabilità e finanza (che barba, che noia!).



Ma, come sappiamo, Karl era interessato a ben altro: era la matematica astratta la sua grande passione.
Le materie che questi era obbligato a studiare lo annoiavano profondamente; ergo trascorreva il suo tempo libero studiando matematica da autodidatta oppure tirando di scherma o bevendo birra con gli amici.
Forse potrebbe sorprendere appurare che Weierstrass era un abile schermidore (si narra che egli non avesse mai perso nemmeno un incontro; anzi sembra che egli non venne mai toccato e non perse alcuna goccia di sangue nei duelli!), ma bisogna tener presente che costui era un giovane di possente corporatura ed era assai rapido e agile nei movimenti.
Dalle esperienze di Bonn Weierstrass ricavò 3 benefici fondamentali:

1) si liberò, come abbiamo accennato, dell'idea fissa del padre, a differenza del fratello Peter;
2) acquisì la capacità di capire le vaghe speranze e le aspirazioni di altri individui meno dotati di lui, ovvero i suoi allievi (o meglio, la maggior parte), cosa che contribuì notevolmente al suo successo come professore di matematica (uno dei più bravi e importanti di tutti i tempi; sicuramente il migliore della sua generazione);
3) non abbandonò mai l'allegria ricca di umorismo della sua giovinezza, la quale divenne in lui una sorta di seconda natura.

Se dalla prospettiva dei familiari osserviamo un Karl che ha letteralmente sperperato gli anni trascorsi (insieme ad una significativa quantità delle limitate risorse economiche familiari) a Bonn (non conseguì infatti alcuna laurea!), dal proprio punto di vista quegli anni, come appena detto, furono densi di esperienze e spunti importantissimi. 
I familiari, al suo ritorno dopo 4 anni, lo rimproverarono continuamente di essere "malato di corpo e di spirito" e organizzarono una sorta di consiglio di famiglia in sua presenza, nel quale si misero a parlare di lui come se fosse deceduto!

   










 


D'altronde, vedere che il figlio più intelligente, quello che aveva avuto maggiori chance di intraprendere una carriera remunerativa e di successo, aveva passato 4 anni della sua esistenza senza concludere nulla di buono fu un duro colpo da sopportare.   
Inoltre, per quanto significativa l'esperienza a Bonn, tale città non era certamente un centro di spicco per la matematica: infatti, questa facoltà praticamente non esisteva lì e l'unico professore di un certo spessore, Julius Plücker, era talmente preso dalle sue svariate funzioni da non poter dedicare parte del suo tempo ai singoli allievi.
Pertanto, Weierstrass non apprese assolutamente nulla di proficuo da costui.
Ma, studiando da autodidatta, aveva scoperto e ammirato le opere dei grandi maestri, con particolare riferimento alla Meccanica celeste di Laplace, testo che aveva assorbito tra un colpo di spada e una bevuta!
Dopo molte settimane trascorse dal suo ritorno in famiglia (che abitava a Westernkotten, in Vestfalia), un amico propose una buona soluzione per districare la delicata situazione della famiglia Weierstrass: egli propose a Karl di studiare per diventare un insegnante scolastico.
Weierstrass avrebbe potuto quindi prepararsi da solo al fine di sostenere l'esame di ammissione al corso d'insegnante statale presso la vicina Accademia di Münster.
Non gli restava che implorare il padre a concedergli un'ulteriore possibilità, ottenendo una risposta positiva.
Dunque, Karl si iscrisse all'Accademia e cominciò la preparazione necessaria per il superamento del suddetto esame.
Certo, con tali studi Weierstrass non avrebbe ottenuto un dottorato, ma le sue occupazioni gli avrebbero poi consentito di dedicarsi la sera totalmente alla matematica.
In particolare, egli fu immatricolato all'Accademia di Münster il 22 maggio 1839.
Proprio qui a Münster, Weierstrass ebbe la fortuna di conoscere Christof Gudermann (1798-1852) e di poterne seguire i corsi di matematica.

Le idee di Gudermann indirizzarono Weierstrass verso nuove teorie matematiche, quelle per cui conquistò la sua fama.
In particolare, gli studi di Gudermann erano focalizzati sulle funzioni ellittiche.
Diciamo solo che le funzioni ellittiche sono particolari funzioni, definite sul piano complesso (o piano di Argand-Gauss, ossia quello in cui sull'asse delle ascisse sono posizionati i numeri reali, mentre sulle ordinate i numeri immaginari), simili alle funzioni trigonometriche.

Piano di Argand-Gauss

In effetti, se le funzioni trigonometriche sono periodiche in una singola direzione, le funzioni ellittiche lo sono in ben 2.

Funzione ellittica di Weierstrass

Limitiamoci a quanto detto, per il momento, poiché l'argomento è abbastanza complicato.
Facendo ritorno al nostro racconto storico, abbiamo affermato che Gudermann aveva concentrato i suoi studi sulle funzioni ellittiche, ma non abbiamo detto che il suo approccio era assai differente da quello degli altri matematici: egli trattava la teoria delle funzioni ellittiche basandosi sull'espansione di serie di potenze.
Queste espansioni (o sviluppi) erano state già ampiamente utilizzate in altri ambiti da Brook Taylor (1685-1731), Colin Maclaurin (1698-1746) ed altri matematici.
Abbiamo già brevemente osservato cos'è uno sviluppo di Taylor-Maclaurin nel post "Alan Turing: un genio fra scienza, codici e segreti".
Ricordo che trattasi di un modo di scrivere una data funzione (ad esempio il seno) come una somma infinita di funzioni speciali, una somma che va ad approssimare sempre meglio la funzione di partenza più si va avanti con lo sviluppo.

Sviluppo di Taylor-Maclaurin di sen x

  
Gudermann, tuttavia, ricorreva all'idea di infinito potenziale degli antichi greci per assumere che una funzione si comporta al limite come si comporterebbe una somma "infinita" i cui termini sono delle potenze.
Ad ogni modo, questa ottima idea di sfruttare le serie di potenze allo scopo di studiare funzioni complicate diventò in seguito una delle peculiarità del lavoro di Weierstrass nell'ambito dell'analisi matematica, al punto che una volta egli asserì: "Non c'è nulla di tanto importante quanto le serie di potenze".
Segnaliamo inoltre che nel 1829 era stata pubblicata l'importante opera Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum del matematico Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851), opera che Weierstrass ammirò sin dal suo soggiorno a Bonn.
Alla lezione di apertura del corso di Gudermann sulle funzioni ellittiche erano presenti 13 studenti.
Completamente coinvolto dall'argomento, il professore aveva velocemente abbandonato la chiarezza espositiva per spingersi, praticamente da solo, nelle regioni eteree del pensiero puro ed astratto.
Non bisogna allora stupirsi se alla seconda lezione si presentò un solo uditore; indovinate chi?
Weierstrass, naturalmente!
Nessuno osò mai più intromettersi in ciò che era diventato molto più che una lezione: una sorta di "santa comunione" (termine azzeccato in quanto entrambi cattolici) tra il maestro e il suo unico discepolo.
Weierstrass imparò così tanto che, anche dopo esser diventato uno dei più grandi matematici sulla faccia della terra, non perdeva mai occasione per riconoscere il grosso debito nei confronti del professor Gudermann.
Nel 1841, all'età di 26 anni, Weierstrass si presentò agli esami per ottenere l'abilitazione all'insegnamento.
Il suddetto esame consisteva di una prova scritta e di una orale.
Per superare lo scritto, il candidato doveva redigere 3 svolgimenti in 6 mesi, su tematiche concordate con gli esaminatori.
In particolare, il terzo argomento suscitò una superlativa dissertazione sul metodo d'insegnamento di Socrate applicato alle classi secondarie; Weierstrass seguì questo metodo riscuotendo moltissimo successo quando divenne il più celebre professore di matematica del mondo.
Un professore dovrebbe essere sempre giudicato in base ai suoi allievi: se questi rimangono estasiati dalle "lezioni meravigliosamente chiare" del loro docente, seguono con passione i corsi e prendono volentieri appunti, allora l'insegnante ha svolto ottimamente il proprio compito.
Ma Weierstrass possedeva quel qualcosa in più che lo distingueva dai bravi professori di scuola superiore: le sue lezioni non solo erano veri e propri modelli di perfezione, ma costui aggiungeva un qualcosa di impalpabile che si chiama ispirazione.
Egli infatti, pur non lanciandosi in orazioni sulla sublimità della matematica, aveva così "stregato" i suoi studenti al punto che una percentuale molto alta di essi sarebbe diventata un vero matematico creativo.
Se non ci credete, basta visionare la lista dei suoi allievi; ve ne cito giusto qualcuno: Georg Cantor, Felix Klein, Sophus Lie, Hermann Minkowski, Gösta Mittag-Leffler e persino uno straordinario talento femminile, Sof'ja Vasil'evna Kovalevskaja.
Focalizzando nuovamente la nostra attenzione sull'esame per l'abilitazione all'insegnamento, quello di Weierstrass fu davvero unico nel suo genere.
Perché?
Come riterreste un esame in cui è il candidato stesso a pregare il professore (in questo caso Gudermann) a fargli una domanda non difficile, di più? Un enigma (fino ad allora irrisolto) solo per abilissimi matematici.
Il quesito richiedeva di trovare nientemeno che gli sviluppi in serie di potenze delle funzioni ellittiche!
Infatti, Gudermann, in un poscritto al rapporto ufficiale, aveva asserito che "questo problema, che in generale sarebbe troppo difficile per un giovane analista, è stato proposto al candidato su sua espressa richiesta, col consenso della commissione".
Ovviamente, Weierstrass superò con successo l'esame e Gudermann fece in modo che il suo straordinario studente ricevesse un certificato speciale in cui si attestava che aveva risolto un problema aperto e che nel farlo aveva fornito un contributo originale al suo campo di ricerca.
Anzi, il professore arrivò persino ad affermare che il risultato ottenuto era talmente importante che, per il bene della Matematica, Weierstrass non doveva assolutamente diventare un insegnante di scuola, bensì gli si doveva permettere di divenire membro di un'istituzione accademica.
Le osservazioni di Gudermann vennero però cancellate nel rapporto ufficiale, con la conseguenza che Weierstrass fu costretto a restare docente di scuola superiore sino all'età di 40 anni, insegnando (paradossalmente) tedesco, geografia, calligrafia e persino ginnastica!
Nei villaggi in cui insegnava non erano reperibili buoni libri e le conversazioni difficilmente risultavano stimolanti.
Per quasi 15 anni, totalmente isolato dalla comunità matematica internazionale, Weierstrass condusse una doppia esistenza: lavorava ufficialmente il giorno, mentre la notte dava vita alla formulazione dell'analisi matematica moderna.
Il suo stipendio era tuttavia così esiguo che gli mancava il denaro per acquistare i francobolli necessari per inviare i suoi articoli di ricerca alle riviste accademiche!
La sua prima pubblicazione, risalente al 1842-43, fu un articolo con delle Osservazioni sui fattoriali analitici, stampato nel borgo di Deutsch-Krone e redatto per una rivista scolastica che qualche volta ospitava contributi provenienti da vari docenti.
Nel 1854 arrivò però la svolta: il Journal für die reine und angewandte Mathematik, più noto come Crelle's Journal, una delle più importanti riviste tedesche di matematica, pubblicò nel volume XLVII una memoria di Weierstrass inerente alle funzioni abeliane.
Tale articolo, intitolato Zur Theorie der Abelschen Funktionen, rese nel giro di una notte l'ignoto insegnante di scuola superiore una celebrità nel mondo della Matematica.
I matematici che lessero l'articolo non furono soltanto folgorati dalla natura monumentale degli sviluppi matematici raggiunti, ma soprattutto dal fatto che non sussistessero risultati preliminari che potessero annunciare l'avvento delle scoperte di Weierstrass.
Weierstrass, peraltro, attese che il suo lavoro fosse completato prima di darlo alle stampe, proprio in versione integrale.
Se prima nessuno, a parte Gudermann, voleva fornire un riconoscimento adeguato ad un tale genio, ora tutti notarono l'eccezionale talento di Weierstrass, che ricevette persino il dottorato ad honorem in Matematica!
Una frase azzeccata per tale vicenda potrebbe essere: dalle stalle alle stelle!
Prima di andare a scoprire cosa accadde in seguito, vorrei avviare un brevissimo flashback per osservare qualche curiosità relativa ai suoi 15 anni di isolamento dalla comunità matematica.
Innanzitutto, come si può intuire dall'argomento della sua memoria rivoluzionaria del 1854, si era appassionato alle opere di Niels Henrik Abel (1802-1829), che lo tenevano sveglio la notte!
Weierstrass nutriva per il matematico norvegese una sconfinata ammirazione, senza mostrare alcun segno di gelosia.
Egli soleva infatti asserire: "Abel! che uomo fortunato! Egli ha fatto qualcosa di eterno. Le sue idee eserciteranno sempre una feconda influenza sulla nostra scienza".
Nel 1842, a 27 anni, Weierstrass aveva applicato con rigore matematico e maturità d'ingegno i suoi metodi a sistemi di equazioni differenziali, i quali si possono riscontrare ad esempio nel problema newtoniano dei 3 corpi.
Tuttavia, questa ricerca era stata compiuta per puro diletto, non per darla alle stampe, in quanto l'opera che Weierstrass avrebbe desiderato pubblicare sarebbe stata appunto quella sulle funzioni abeliane.
Nel 1848, a 33 anni, Weierstrass era stato nominato titolare al Gymnasium di Braunsberg, una leggerissima promozione.
Il "programma" della scuola per l'anno scolastico 1848-49 contiene una memoria di Weierstrass che probabilmente meravigliò i lettori locali: Contributi alla teoria degli integrali abeliani.
Se questo studio fosse capitato sotto gli occhi di un matematico di professione, allora sicuramente Weierstrass avrebbe avuto i riconoscimenti e la gloria che meritava, ma, come fece notare il suo allievo e biografo Mittag-Leffler, nessuno pensa a cercare le memorie di matematica pura nei "programmi" delle scuole secondarie, tanto che Weierstrass avrebbe potuto benissimo servirsi della sua per accendere la pipa!
Weierstrass passò le vacanze estive del 1853 dal padre, a Westernkotten, vacanze di cui approfittò per incominciare a scrivere la rivoluzionaria memoria sopra citata.
Sussiste persino un curioso aneddoto su tal avvenimento.
Una mattina il direttore della scuola a Braunsberg sentì un fracasso infernale provenire dall'aula dove Weierstrass avrebbe dovuto tenere la sua lezione; corse dunque a vedere cosa stava succedendo, ma non trovò Weierstrass nell'aula!
Si precipitò allora in camera sua e lo trovò seduto alla scrivania, con il lume acceso e le persiane chiuse; il professore aveva lavorato tutta la notte e non si era reso conto del sorgere dell'alba.
Quando il direttore lo avvertì che era mattina, Weierstrass rispose che era sulla strada di una fondamentale scoperta che avrebbe suscitato un grande interesse nel mondo scientifico, e che non poteva interrompere per nessun motivo il suo lavoro!
Un lavoro che lo consacrò innanzitutto come grande matematico all'Università di Königsberg, università in cui Jacobi aveva compiuto le sue magnifiche scoperte (nel campo in cui Weierstrass era ormai diventato maestro), dove poi era professore Friedrich Julius Richelot (1808-1875), degno successore di Jacobi nella teoria delle funzioni periodiche multiple.
Quest'ultimo persuase la sua università a concedere, come anticipato, il dottorato ad honorem a Weierstrass.
Inoltre, Carl Wilhelm Borchardt (1817-1880), che allora era direttore proprio del Crelle's Journal, si recò personalmente a Braunsberg per congratularsi con il più grande analista del mondo, e questo incontrò sancì una solida amicizia fra i 2.
Nel 1856 Weierstrass venne nominato professore di Matematica alla Regia scuola politecnica di Berlino, incarico diventato ufficiale a partire dal 1° luglio del suddetto anno.
Inoltre, nell'autunno del medesimo anno, egli fu nominato professore aggiunto all'Università di Berlino ed eletto membro dell'accademia berlinese.
A Berlino Weierstrass proseguì le sue ricerche e tenne delle lezioni sulla teoria delle funzioni analitiche così straordinarie che ogni matematico che avesse desiderato affrontare questa branca della disciplina doveva assolutamente assistervi.
Tuttavia, a partire dal 1859, l'eccessivo stress dovuto ai suoi nuovi incarichi scatenò dei disturbi che lo afflissero periodicamente per il resto della sua vita (nel marzo 1860 era addirittura svenuto durante una lezione).
Quando ebbe ripreso, dopo dei periodi di riposo, il suo lavoro (come professore titolare con un incarico decisamente più leggero), non si azzardò mai a scrivere le sue formule alla lavagna.
Aveva infatti l'abitudine di sedersi in un punto da dove poteva osservare al tempo stesso gli uditori e la lavagna e soleva dettare a uno studente quello che c'era da scrivere.
Delle volte capitò che uno di questi "portavoce" iniziava a scrivere di sua iniziativa, con l'obiettivo di migliorare quello che il professore gli dettava: la reazione di Weierstrass era immediata.
Il prof. si alzava, cancellava le elucubrazioni del giovane allievo e lo obbligava a scrivere esattamente secondo la dettatura.
Usciva solamente un vincitore in tali battaglie maestro-studente: Weierstrass aveva sempre l'ultima parola!
Ma non per questo va immaginato come un professore burbero e severo.
Anzi, questi era sempre super disponibile alle esigenze dei suoi allievi e si interessava alle loro difficoltà, matematiche ed umane; basti pensare che accettò di fornire lezioni private ad una donna, la già citata Sofia Kovalevskaya, dato che le ragazze, a quei tempi, non potevano iscriversi all'università.
Era davvero contento quando poteva sedersi a tavola, davanti a un buon bicchiere di vino, circondato da un piccolo gruppo di allievi devoti.
La passione di Weierstrass per la Matematica e l'insegnamento era così forte che costui continuò a tenere lezioni all'università anche dopo che la malattia lo aveva ridotto su una sedia a rotelle.
Karl Weierstrass morì il 19 febbraio 1897, a Berlino, a causa di una polmonite.
Oggi Weierstrass è prevalentemente ricordato per i suoi teoremi concernenti l'analisi matematica.
In effetti, è celebre il teorema chiamato proprio teorema di Weierstrass, il quale afferma che se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora la funzione ammette massimo e minimo assoluti all'interno dell'intervallo [a, b].
Ricordo che, in parole povere, una funzione è continua quando per disegnare il suo grafico non è mai necessario staccare la matita (o la penna) dal foglio.
Esiste poi l'altrettanto importante teorema di Bolzano-Weierstrass.
Di questo vorrei fornirvi non solo l'enunciato, ma anche la dimostrazione.
Devo tuttavia compiere una premessa.
Innanzitutto, esso riguarda le successioni.
Le successioni sono particolari funzioni che associano ad un numero naturale un corrispettivo numero reale.
Ne abbiamo incontrata una poco tempo fa, nel post "La sublime sezione aurea": la successione di Fibonacci.
Come potete osservare nella seguente tabella, ad ogni numero naturale (colonna B), un imput, è associato un output (nella colonna C) rappresentato da un numero di Fibonacci:

  






Però la successione di Fibonacci è un caso molto particolare di successione in cui ad un numero naturale è associato un altro numero naturale (che poi ha la peculiarità di essere la somma dei 2 numeri precedenti).
Un esempio più classico (ma semplice) di successione è il seguente:

Praticamente, ad ogni imput fornito da un qualsivoglia numero naturale n si genera un output dato da un numero razionale (ricordo che i numeri razionali, così come i numeri naturali o interi, fanno sempre parte della più larga famiglia dei numeri reali) del tipo 1/n.
Dunque, si ha:

Domanda importante: cosa succede quando n tende ad infinito?
Ebbene, il limite di tale successione è ovviamente:




Una successione, come questa, che ammette limite finito si dice convergente.
Nel caso in cui una successione ammettesse, al contrario, limite infinito, allora verrebbe chiamata divergente.
Una successione può avere fondamentali caratteristiche.
Innanzitutto, può essere monotòna, ovvero può crescere o decrescere man mano che l'imput n diventa più grande.
Inoltre, può essere limitata; in tal caso significa che esistono 2 numeri reali A e B tali che:



Esiste un particolare teorema il quale stabilisce che ogni successione monotòna ammette limite e, nel caso particolare di una successione monotòna e limitata, questo limite è finito (faremo uso di tale teorema tra poco).
Detto ciò, possiamo anche affermare che esistono le cosiddette successioni estratte o sottosuccessioni.
Cosa sono?
Cerchiamo di capire.
Prendiamo una successione di numeri reali (la indichiamo come an) e una successione di numeri naturali crescente (che indichiamo come nk, con k naturale).
Si definisce successione estratta dalla successione an, di indici nk, la successione



definita dalla relazione:

 

Facciamo degli esempi, per chiarire le idee.
Se abbiamo che la nostra successione di numeri naturali crescente è



allora la successione estratta da an di indici 2k (ossia di indici pari), sarà:



Se invece



allora la sottosuccessione risultante (di indici dispari) sarà:



Volete un esempio maggiormente concreto? Vi accontento subito.
Prendiamo la successione (oscillante):



e prendiamo la successione crescente di numeri naturali



Ne consegue che la successione estratta da an di indici nk è:

Finalmente possiamo passare ad enunciare e dimostrare il teorema di Bolzano-Weierstrass.

ENUNCIATO:

Sia an una successione limitata. Allora esiste almeno una sua estratta convergente.

DIMOSTRAZIONE:

Il primo passo da compiere per dimostrare la nostra tesi, cioè che esiste almeno una successione estratta convergente (ricordo che significa con limite finito), è partire proprio da una parola chiave dell'enunciato: "limitata".
Abbiamo detto che una successione si dice limitata se esistono 2 numeri reali A e B tali che:



Dunque, è ovvio che i termini di una successione limitata si trovano confinati dentro quello che si può immaginare alla stregua di una prigione: l'intervallo chiuso [A, B].

   







Nessuno però, almeno in Matematica, ci vieta di suddividere quest'intervallo in 2 metà, mediante il punto di mezzo C, definito come:




Abbiamo creato pertanto 2 sottointervalli, cioè [A, C] e [C, B].
Si può notare un particolare importante: almeno uno di questi 2 sottointervalli deve contenere termini della successione per infiniti indici.
Mi spiego meglio; se abbiamo che la nostra successione an è limitata, allora significa che gli infiniti suoi termini o, se preferite, output (d'altronde i numeri naturali di imput sono infiniti) sono tutti confinati nell'intervallo [A, B].
Dividendo tale intervallo in 2 metà, per forza, almeno in una di esse, ci devono essere sempre infiniti termini della successione: l'infinito, se diviso a metà, rimane sempre infinito!
Più precisamente, vengono generati 2 sottoinsiemi dell'insieme dei numeri naturali:

N.1:



N.2:


  
Consideriamo che sia il primo sottoinsieme (può essere benissimo anche il secondo) a contenere termini della successione per infiniti indici.
Questo intervallo [A, C], che può esser visto anche come [A, (A+B)/2], lo indichiamo genericamente (capirete presto il perché) con il simbolo [A₁, B₁].
Quali sono le caratteristiche di tale intervallo?
Ebbene, abbiamo che:



D'altronde, il numero A può essere considerato come un muro invalicabile (è l'estremo minimo dell'intervallo di partenza) dietro la successione e, di conseguenza, il numero A₁ deve essere per forza maggiore-uguale ad esso (a dir la verità, è proprio uguale per via della costruzione dell'intervallo).

  













Analogamente, abbiamo che:



Questa volta il muro invalicabile B è posto davanti alla successione.
Ecco il grafico di una successione limitata (i "muri" sono rappresentati dalle linee tratteggiate in arancione):

Inoltre, vale il fatto che:

Non ci credete?
Proviamolo!
Sappiamo che A₁ = A per come abbiamo costruito l'intervallo [A₁, B₁], mentre B₁ = C = (A+B)/2.
Ergo:

Da cui segue appunto la conclusione che:




Vi starete forse chiedendo: cosa diavolo ci facciamo di tutta questa roba?
Calma; presto l'arcano verrà svelato e luce sarà fatta!
Sapete che cosa combiniamo ora?
Andiamo a ripetere esattamente il medesimo procedimento appena illustrato.
Ripartiamo da [A₁, B₁] e suddividiamolo (stiamo dunque utilizzando il cosiddetto metodo di bisezione) tramite il punto di mezzo




Come prima, scaturiscono 2 sottointervalli, [A₁, C₁] e [C₁, B₁], di cui almeno uno deve contenere termini della successione an per infiniti indici.
Scegliamo il primo sottointervallo e lo indichiamo come [A₂, B₂].
Abbiamo (per i motivi precedentemente chiariti) che:





Inoltre:




Proviamo quest'ultima affermazione.
Abbiamo costruito il nostro intervallo [A₂, B₂] praticamente ponendo A₂ = A₁ e B₂ = C₁ = (A₁+B₁)/2.
Pertanto:

Provato!
Una domanda: cosa succede se iteriamo il suddetto procedimento k volte?
Si ottengono 2 successioni Ak e Bk tali che:






Inoltre:

Ah, anche in questo caso si determina un particolare intervallo [Ak, Bk] che contiene termini della successione an per infiniti indici.
Ora però facciamo un salto indietro e torniamo all'intervallo [A₁, B₁].
Abbiamo asserito che esso contiene termini della successione an per infiniti indici; dunque, a maggior ragione, si può benissimo affermare che esiste un primo intero n₁ tale che esso funga da indice in questo modo:



Per la medesima ragione, esiste anche un primo intero n₂, fra tutti i numeri naturali più grandi di n₁, per cui:



Compiendo un'iterazione anche qui, possiamo asserire che esiste un primo intero nk, fra i naturali più grandi di nk-1, per cui:



Vi ricorda qualcosa questa scrittura?
Trattasi proprio di una successione estratta!
Sappiamo inoltre che essa, essendo i suoi termini contenuti nell'intervallo [Ak, Bk], è limitata.
Quindi:



Focalizziamoci ora su un particolare importante, che forse qualcuno avrà già colto: la successione Ak (così come Bk) è monotòna e limitata.
In effetti, vale la relazione:

Nello specifico, dunque, Ak è una successione crescente mentre Bk è decrescente.
Vi ricordate che avevamo osservato un teorema che diceva che ogni successione monotòna e limitata ammette limite finito?
Ebbene, sfruttando questo teorema possiamo certamente affermare che Ak ammette limite finito per k → + ∞.
Designiamo con l il valore di tale limite.
Ora riprendiamo la relazione



Nessuna ci vieta di aggiungere e sottrarre una stessa quantità in una disuguaglianza.
Risulta dunque consentita la seguente scrittura:

Se ricordate, la parte colorata di rosso della disuguaglianza l'avevamo trovata per mezzo delle iterazioni:




Andando perciò a sostituire tale equazione all'interno della disuguaglianza otteniamo:




Passando ora ai limiti di tali successioni per k tendente ad infinito, constatiamo le seguenti cose:

• Ak, come visto prima, tende a l per il teorema sulle successioni monotòne e limitate;
• Portata al limite, la quantità

diviene 0, dato che trattasi di un rapporto tra qualcosa di finito (B‑A) e qualcosa di tendente a infinito (2 elevato alla k).

Ne deriva che rimane la disuguaglianza:



Adesso basta tener presente un particolare teorema, noto come teorema dei carabinieri, ed il gioco è fatto!
Infatti, esso afferma che date 3 successioni (il medesimo vale per le funzioni) an, bn, cn tali che



allora, se




anche la successione cn risulta convergente, con limite finito pari a l.
Questo teorema viene chiamato teorema dei carabinieri perché è come se 2 successioni (o funzioni) si comportassero come dei carabinieri che costringono un prigioniero (un'ulteriore successione o funzione) a seguire la loro via (il loro limite).

   













Nella nostra dimostrazione abbiamo che Ak, da entrambe le parti, tende al numero finito l.
Ergo, applicando il teorema dei carabinieri, la successione estratta, la quale si trova nel mezzo, è costretta a tendere a l.
Abbiamo pertanto effettivamente dimostrato che esiste almeno una sottosuccessione convergente della successione limitata di partenza an.
Precisiamo che il teorema di Bolzano-Weierstrass esiste anche per le funzioni (limitiamoci qui a quelle di una singola variabile reale) con una formulazione (che sarebbe tra l'altro la versione originale) leggermente differente ma equivalente: se E è un sottoinsieme limitato e infinito di numeri reali, allora esiste almeno un punto di accumulazione per E nell'insieme R (insieme di tutti i numeri reali).
Forse però non sapete cos'è un punto di accumulazione.
Praticamente, dato un insieme E di numeri reali e un numero x₀ reale (non importa se appartiene o no all'insieme E), il numero x₀ viene chiamato punto di accumulazione se in ogni intorno di x₀, ovvero in ogni intervallo del tipo [x₀ - δ, x₀ + δ], con δ positivo, esiste un elemento x diverso da x₀ ed appartenente all'insieme E.
Che significa tutto ciò?
Significa che se x₀ è un punto di accumulazione per l'insieme E, allora, "zoomando" sempre di più in prossimità di questo x₀, noteremo sempre dei punti di E che sono diversi da x₀.
Il teorema di Bolzano-Weierstrass non è soltanto fondamentale in analisi matematica, ma anche in topologia.
Esso fu dimostrato per la prima volta, nel 1817, dal matematico boemo Bernard Bolzano, ma costui non ricevette alcun riconoscimento per tale risultato.
Fu proprio Weierstrass a riscoprire l'idea di Bolzano, portandola all'attenzione della comunità matematica.
Egli fornì una nuova dimostrazione del teorema mezzo secolo dopo la primissima di Bolzano.
Concludiamo la trattazione con un "oggetto" curioso scoperto proprio da Weierstrass: la funzione di Weierstrass.
Agli inizi del XIX secolo i matematici pensavano che una funzione continua f(x) ammettesse derivata definita nella maggior parte dei punti della curva.
Già che ci siamo, vediamo un attimo cosa significa, in modo rigoroso, che una funzione è continua in un punto (ormai possiamo spingerci oltre l'analogia della matita che non si stacca mai dal foglio).
Prendiamo una funzione generica f(x) definita in un intervallo [A, B].
Tale funzione è continua nel punto x₀ interno all'intervallo se:




In altre parole, f(x) è continua nel suddetto punto se il suo limite per x tendente al punto x₀ risulta equivalente alla funzione valutata direttamente in x₀.
Ovviamente, una funzione si dice continua in un intervallo se risulta continua in ogni punto dell'intervallo stesso.
Stavamo dicendo che fino a poco più di un secolo fa i matematici ritenevano le funzioni continue come derivabili nella maggior parte dei punti (del concetto di derivabilità abbiamo parlato qui).
Tuttavia, nel 1872, il nostro Weierstrass suscitò lo stupore dei suoi colleghi dell'Accademia di Berlino, dimostrando che tale convinzione era falsa.
Egli aveva infatti trovato una particolarissima funzione che risultava continua ovunque, ma non derivabile in alcun punto!
Eccola:

 



dove:

• a è un numero reale compreso tra 0 e 1;
• b è un intero positivo dispari
• inoltre:

Il simbolo di sommatoria ∑ ci fa capire che la funzione è costruita a partire da un numero infinito di funzioni trigonometriche, in modo tale da ottenere una struttura ricorsiva e nidificata in maniera continua.
Il grafico di tale funzione è infatti il seguente:

Certamente, prima dell'arrivo di Weierstrass, i matematici conoscevano funzioni non derivabili in alcuni punti critici; l'esempio più semplice è sicuramente rappresentato dalla funzione



ovvero la funzione valore assoluto (o modulo).
Essa si sviluppa in questa maniera:

Ciò significa che, se andiamo a calcolare la derivata destra e quella sinistra nel punto x = 0, le troveremo differenti (nello specifico, quella destra pari a +1, quella sinistra pari a -1).
Dunque la suddetta funzione non risulta derivabile nel punto x = 0; un punto di questo genere viene chiamato punto angoloso.

Tuttavia, dopo che Weierstrass dimostrò l'esistenza di una curva non differenziabile in alcun punto, i matematici si trovarono di fronte a qualcosa di assolutamente sconvolgente.
Nel 1893 il matematico Charles Hermite scrisse infatti a Thomas Joannes Stieltjes quanto segue: "Distolgo lo sguardo con paura e orrore dalla piaga deplorevole delle funzioni continue prive di derivate...".
Inoltre, nel 1875, Paul du Bois-Reymond pubblicò la funzione di Weierstrass in un articolo: fu la prima funzione di tal genere a venir pubblicata.
2 anni prima aveva fornito a Weierstrass la bozza dell'articolo affinché la leggesse.
Però, vi era presente una funzione un tantino diversa (poi modificata per la pubblicazione), ovvero:





con




Un altro particolare molto interessante: la funzione di Weierstrass è un frattale!
Effettivamente, essa esibisce la medesima struttura ad ogni grado di ingrandimento.
Inoltre, fra i frattali, esiste persino un'altra curva con la caratteristica di essere ovunque continua ma non derivabile: la curva di Koch.

 








La narrazione è finita; è giunto il momento di un po' di sano relax, sia per i lettori che per l'autore del post! ;)
Concludiamo appunto con 2 brani eseguiti dalla superlativa violinista Ikuko Kawai:





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Fonti principali:

- I grandi matematici di Eric T. Bell
- Il mistero dell'alef di Amir D. Aczel
- Il libro della Matematica di Clifford A. Pickover