UNA FAMIGLIA DI MATEMATICI: I BERNOULLI

Questa è la storia di una famiglia di matematici e fisici svizzeri che, a cavallo tra il XVII e XVIII secolo, ha fornito importantissimi contributi a tali discipline: trattasi della famiglia Bernoulli.
Come racconta Eric Bell nel suo noto saggio "I grandi matematici":

"[La] famiglia Bernoulli nel corso di 3 generazioni ha dato 8 matematici, di cui diversi eminenti, che a loro volta hanno avuto una discendenza d'intelletti superiori alla media, almeno per ciò che concerne la metà di essi, fino ai giorni nostri. È stato studiato un albero genealogico con non meno di 120 discendenti dei Bernoulli matematici, e fra loro si contano numerose personalità che si sono distinte, spesso in modo eccezionale, nel diritto, nell'erudizione, nella scienza, nella letteratura, nelle libere professioni, nell'amministrazione e nelle arti. Non ci furono fallimenti. La caratteristica della maggior parte dei matematici della seconda e terza generazione, è che essi non hanno scelto direttamente la matematica come professione, ma sono stati attratti verso di essa come un ubriacone inveterato verso l'alcol. La famiglia Bernoulli ha avuto una parte di primo piano nel progresso del calcolo infinitesimale e delle sue applicazioni nel corso del XVII e XVIII secolo...Infatti, i Bernoulli ed Eulero sono stati veramente coloro che, dominando gli altri, hanno condotto il calcolo infinitesimale a un punto tale che anche le intelligenze comuni possono utilizzarlo per arrivare a certi risultati ai quali i sommi Greci non avrebbero mai potuto attingere...I Bernoulli discendono da una famiglia protestante che fuggì da Anversa nel 1583 per sottrarsi ai massacri degli ugonotti da parte dei cattolici (come quello della notte di San Bartolomeo); questa famiglia si rifugiò a Francoforte e si trasferì in seguito in Svizzera, dove si stabilì a Basilea. Il fondatore della dinastia dei Bernoulli si unì, attraverso il matrimonio, a una delle più vecchie famiglie di Basilea e diventò un gran commerciante. Nicolaus il Vecchio, capostipite della tavola genealogica, fu pure un gran commerciante, come erano stati suo nonno e il suo bisnonno; tutti questi uomini avevano sposato delle figlie di commercianti e, tranne il bisnonno, avevano accumulato delle grosse fortune. Il primo che si allontanò dalla tradizione si fece medico; il genio matematico era probabilmente latente da qualche generazione e si manifestò improvvisamente a un dato momento."

A seguito di questo excursus storico sulla famiglia Bernoulli, andiamo ad analizzare alcuni dei più importanti risultati ottenuti da esponenti della suddetta famiglia nei campi della matematica, della fisica e della statistica.
Partiamo dal Teorema (o Equazione) di Bernoulli inerente la fluidodinamica.
Per la trattazione specifica di questo teorema vi rimando all'articolo "Il teorema di Bernoulli e il gioco del calcio".
Tuttavia, in questa sede, andiamo a capire chi ha elaborato il suddetto teorema: il suo nome è Daniel (I) Bernoulli (1700-1782).
Figlio di Johann I, cominciò all'età di 11 anni a prendere lezioni di matematica dal fratello maggiore Nicolaus, che era 5 anni più grande.
Daniel ebbe una relazione di amicizia/rivalità con il grande Eulero e come quest'ultimo, Daniel ottenne per la bellezza di 10 volte il premio dell'Accademia delle scienze di Parigi.
Nel 1725, all'età di 25 anni, Daniel fu nominato professore di matematica a San Pietroburgo, ma l'atmosfera per niente accogliente di quella città lo spinse 8 anni più tardi a ritornare a Basilea, nella quale insegnò anatomia, botanica e fisica. 

I suoi contributi in matematica riguardano il calcolo infinitesimale, le equazioni differenziali, il calcolo delle probabilità, la teoria delle corde vibranti, la teoria cinetica dei gas e numerosi altri problemi di matematica applicata (oltre al celebre teorema sulla fluidodinamica).

Per tali indubbie ragioni è stato chiamato il fondatore della fisica matematica.
Dopo la trattazione sulla biografia di Daniel Bernoulli, andiamo ad analizzare le seguenti importanti scoperte dovute ad un Bernoulli:

• Disuguaglianza di Bernoulli;
• Legge dei grandi numeri;
• Distribuzione di Bernoulli.

La scoperta di queste importanti nozioni e leggi matematiche si deve a Jacob (I) Bernoulli (1654-1705).
Fu proprio egli il primo della famiglia Bernoulli a raggiungere un ruolo molto significativo nel campo della matematica.
Era nato a Basilea, nella quale morì, ma nel corso della sua vita intraprese numerosi viaggi per incontrare colleghi scienziati di altri paesi.
I suoi interessi erano stati orientati verso le ricerche sugli infinitesimi dalla lettura delle opere di Wallis e Barrow.
Inoltre, la lettura degli scritti di Leibniz risalenti agli anni 1684-1686 gli consentì di far propri alcuni nuovi metodi, al punto che, nel 1690, suggerì a Leibniz il termine di "integrale" e pubblicò degli scritti propri sull'argomento nell'opera Acta Eruditorum.
Si interessò fin da subito anche alle serie infinite e nel suo primo scritto sull'argomento, risalente al 1689, presentò la celebre "disuguaglianza di Bernoulli":




Bisogna specificare che essa vale per ogni numero reale x maggiore o uguale a -1 e per ogni numero intero n maggiore o uguale a 0.
In simboli, tali condizioni si traducono in questa maniera:

∀x ∈ R : x ≥ -1  e  ∀n ∈ Z : n ≥ 0

Tale importante disuguaglianza si dimostra per induzione.
Ma come funziona la dimostrazione per induzione?
Essa segue 2 passi:

1) dobbiamo dimostrare che una proposizione dipendente da un indice n appartenente (∈) all'insieme dei numeri naturali (N) sia vera per n=1;

2) dobbiamo dimostrare che la medesima proposizione ipotizzata vera per n, rimanga vera anche per il successivo n+1.

Se vengono dimostrate entrambe le condizioni, allora la proposizione di partenza è vera ∀n ∈ N.
A proposito di principio di induzione, andiamo a capire da dove deriva, attraverso la splendida narrazione di Carl Boyer in Storia della Matematica:

"Negli ultimi anni del XIX secolo vi furono alcuni matematici italiani che si interessarono profondamente alla logica matematica. Il più noto era Giuseppe Peano (1858-1932), il cui nome viene ancor oggi ricordato in relazione ai cosiddetti assiomi di Peano, dai quali dipendono molte costruzioni rigorose dell'algebra e dell'analisi...Nel suo Formulario di matematica (1894 e ss.) egli si proponeva di sviluppare un linguaggio formalizzato che potesse contenere non solo la logica matematica, ma tutti i risultati dei più importanti settori  della matematica...Per i suoi fondamenti dell'aritmetica Peano scelse 3 concetti primitivi (zero, numero, ossia numero intero non negativo, e la relazione di "essere il successivo di"), i quali soddisfano 5 postulati:

1) Zero è un numero;

2) Se a è un numero, il successivo di a è un numero;

3) Zero non è il successivo di nessun numero;

4) Due numeri, i cui successivi sono uguali, sono essi stessi uguali;

5) Se un insieme S di numeri contiene zero e contiene anche il successivo di ogni numero contenuto in S, allora ogni numero è contenuto in S.

L'ultimo postulato è, naturalmente, l'assioma di induzione. Gli assiomi di Peano, formulati per la prima volta nel 1889 negli Arithmetices principia nova methodo exposita, rappresentano il tentativo più singolare fatto nel XIX secolo di ridurre l'aritmetica comune, e di conseguenza in ultima istanza la maggior parte della matematica, alla pura essenzialità di un simbolismo formale. (Va ricordato che egli presentò i suoi postulati esprimendoli in simboli, e non con le parole che abbiamo qui usato)."     

Ergo, dopo l'excursus sul principio di induzione e su Giuseppe Peano, ora possiamo passare alla dimostrazione della disuguaglianza di Bernoulli.

DIMOSTRAZIONE

Verifichiamo la condizione n.1 (base dell'induzione): per n = 1 la proposizione è vera (si ottiene infatti un'uguaglianza):

1+ x = 1 + x

Verifichiamo la condizione n.2 (passo induttivo): supponiamo vera la disuguaglianza di Bernoulli originaria; dobbiamo provare che risulti ancora vera se al posto di n ci sta (n + 1).
A tal proposito moltiplichiamo entrambi i membri per (1 + x), che rappresenta una quantità ≥ 0:

Adesso, poiché nx² ≥ 0, possiamo ometterlo dalla nostra espressione, perchè tale azione renderebbe solo più forte la relazione di disuguaglianza.
Ergo, alla fine otteniamo:





In questa maniera siamo riusciti ad ottenere la proposizione con (n+1) al posto di n.
Pertanto, in accordo con il principio di induzione, abbiamo dimostrato la disuguaglianza di Bernoulli!
Essa è fondamentale per la dimostrazione di altre disuguaglianze in analisi matematica.
Un altro importante contributo di Jacob Bernoulli è la famosa "Legge dei grandi numeri".
A cosa si riferisce e soprattutto, che cos'è?
Innanzitutto, essa riguarda il calcolo delle probabilità.
Ricordiamo intanto che la definizione "classica" di probabilità ci dice che essa equivale al rapporto fra i casi favorevoli e quelli possibili di un evento casuale.
Per fare un semplice esempio, quante sono le probabilità che esca un numero pari lanciando un dado?
Il dado ha 6 facce, 3 rappresentano numeri pari, le restanti 3 numeri dispari.
Essendo la probabilità il numero dei casi favorevoli diviso il numero dei casi possibili, otteniamo che:

Ppari = 3/6 = 1/2 = 50%

Dalla definizione di probabilità classica ci accorgiamo che essa è valutata a priori, cioè prima che l'evento (nell'esempio il lancio del dado) accada.
La definizione classica di probabilità non è quindi applicabile a tutte le situazioni.
Inoltre, la stessa definizione è oggetto di critiche, le quali partono dalla considerazione che affermare che tutti i casi sono ugualmente probabili significa fare appunto a priori una supposizione sulla loro probabilità di verificarsi, utilizzando così nella definizione lo stesso concetto che si vuole definire: una sorta di paradosso!
A partire da queste considerazioni si è sviluppato un nuovo concetto di probabilità, la concezione statistica o frequentistica, la quale può essere chiamata in causa nel momento in cui sono disponibili rilevazioni statistiche relative a un certo fenomeno oppure quando, riguardo a un determinato evento, si possono eseguire numerose prove.
La concezione statistica della probabilità si regge sulla definizione di frequenza relativa di un evento.

La frequenza relativa f(E) di un evento sottoposto a n prove (o esperimenti), effettuati tutti nelle medesime condizioni, è il rapporto tra il numero v delle volte in cui si è verificato l'evento e il numero n delle prove effettuate:

f(E) = v/n

Facciamo un esempio: consideriamo il lancio di una moneta: la probabilità classica teorica che si verifichi l'evento E = esce testa, è pari a p(E) = 1/2 = 50%.
Se operativamente si lancia la moneta un numero molto elevato di volte, si può constatare che il numero di volte in cui si presenta testa è quasi uguale al numero di volte in cui si manifesta croce.
In altri termini, la frequenza relativa dell'evento E si avvicina al valore teorico p(E) = 1/2.
In generale, la frequenza relativa varia tra 0 e 1.
Essa vale:

• 0: nel caso in cui, negli esperimenti eseguiti, l'evento non si sia mai verificato;
• 1: se l'evento si è sempre verificato.

Le considerazioni precedenti si possono generalizzare proprio attraverso la Legge dei grandi numeri (o Legge empirica del caso o Teorema di Bernoulli):

⎛Dato un evento casuale E, sottoposto a n prove eseguite tutte nelle stesse condizioni, il valore della frequenza relativa f(E) = v/n tende al valore della probabilità (classica) p(E) all'aumentare del numero di prove effettuate⎞.

La probabilità statistica è proprio diretta conseguenza di tale legge.
Essa, a differenza di quella classica, è valutata a posteriori.
La definizione rigorosa di probabilità frequentistica di un evento proviene da Richard von Mises, che la definì come "il limite cui tende la frequenza relativa dell'evento al crescere del numero degli esperimenti".
In simboli:





dove nA/n è la frequenza relativa.
Un'ulteriore scoperta di Jacob Bernoulli è la "Distribuzione di Bernoulli".
Essa vale per le variabili casuali (o aleatorie o stocastiche) discrete.
Ma cosa sono le variabili casuali?

Una variabile casuale X è una funzione definita sullo spazio campionario Ω che associa ad ogni evento E appartenente (∈) a Ω un unico numero reale.

Le variabili aleatorie si suddividono in 2 classi:

1) discrete: possono assumere un insieme discreto (ossia finito, limitato, numerabile) di numeri reali;
2) continue: possono assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale.

Siccome si può associare una misura di probabilità a tutti gli eventi E inclusi (⊂) in Ω, allora si può associare una probabilità anche ai valori che può assumere la variabile casuale X.

Nel caso della variabili casuali discrete (quelle che ci interessano in tale contesto) si può definire la funzione di probabilità: essa associa ad ognuno dei possibili valori xi della variabile, la corrispondente probabilità P(X = xi).
Prima di andare a vedere cos'è la distribuzione di Bernoulli, dobbiamo definire 2 importanti concetti per le variabili discrete:

1) valore medio;
2) varianza.

Il valore medio, chiamato anche valore atteso o speranza matematica, è la somma di tutti i valori assunti dalla variabile, ciascuno moltiplicato per la propria probabilità.
In simboli:





La varianza, che ci fornisce una misura di come varia la variabile casuale, è definita come la somma degli scarti al quadrato del valore atteso, con ognuno dei valori moltiplicato per la propria probabilità.
In simboli è decisamente più facile da comprendere:

Ricordiamo che il simbolo Σ, che rappresenta la lettera greca "sigma maiuscola", significa "sommatoria" e che gli scarti del valore atteso si possono identificare come la differenza tra i singoli valori che assume la variabile e il valore medio.
Detto ciò, passiamo al nocciolo della questione: la Distribuzione di probabilità di Bernoulli (o bernoulliana).
Una distribuzione, in parole semplici, ci dice (anche mediante un grafico specifico) come sono appunto distribuite le misure della variabile tra i diversi valori possibili.

La distribuzione di Bernoulli è interessante nel caso si possa verificare solo se un certo evento si è o non si è verificato.

La variabile casuale generata da tale prova assumerà, per convenzione, il valore: 

• 1: se l'evento si è verificato; 
• 0: nel caso in cui non si sia verificato. 

Tale variabile è detta variabile casuale di Bernoulli.
Essa può assumere il valore 1 con probabilità π e il valore 0 con probabilità 1-π.
La sua funzione di probabilità può essere espressa come:

La media di questa distribuzione è:

E(X) = π

La varianza è invece:

V(X) = π(1-π)

Pertanto, tutte le prove/esperimenti che producono solo 2 possibili risultati danno vita a una variabile casuale di Bernoulli come, ad esempio:

- il lancio di una moneta;
- il sesso del nascituro;
- il verificarsi di un "doppio 6" nel lancio di 2 dadi;
- la presenza/assenza di una certa caratteristica, ecc.

Un'ultima curiosità matematica legata a Jacob Bernoulli: egli, nel 1694, ha descritto una curva estremamente singolare, denominata "lemniscata di Bernoulli".
Si tratta di una curva algebrica a forma di 8 coricato, che risponde, in coordinate cartesiane, all'equazione:





Dunque, il grafico della suddetta funzione produce una forma simile a quella del simbolo dell'infinito:

La lemniscata fu descritta da Bernoulli come una modificazione dell'ellisse.
Infatti, se quest'ultimo è il luogo dei punti per i quali la somma delle distanze da dei punti fissi chiamati fuochi è costante, nel caso della lemniscata si ha la medesima definizione, ma ci si riferisce al prodotto delle distanze che risulta costante.
Il nome originario latino che Bernoulli assegnò a tale figura è lemniscus, che sta a significare "fiocco pendente".
In conclusione, riporto una frase di J. Bernoulli a proposito della famiglia Bernoulli:

"Questi uomini hanno certamente compiuto molte opere e hanno meravigliosamente raggiunto lo scopo che si erano prefissi".