mercoledì 7 novembre 2012

NEPERO E LA STORIA DEI LOGARITMI

I logaritmi, fondamentali nozioni matematiche, sono il frutto della mente e degli studi del matematico scozzese John Napier, italianizzato in Giovanni Nepero.

Ci avventureremo dunque all'interno dell'interessante storia dei logaritmi, soffermandoci anche sulla vita di Napier.
Prima di compiere tale escursione, illustriamo brevemente (specialmente per il lettore che non conosce o non ricorda precisamente cos'è un logaritmo) che cos'è effettivamente un logaritmo e le sue proprietà chiave.
Immaginate di avere un numero elevato ad una certa potenza.
Prendiamo, ad esempio, 10², che non è altro che 100.
Se considerassimo il noto meccanismo di radice quadrata, la radice quadrata di 100 non è altro che il numero che elevato all'esponente 2 fornisce 100, cioè 10.
Il concetto di logaritmo (dal greco logos = "ragione", "rapporto" e arithmos = "numero") è abbastanza similare a quello di radice quadrata.
Il logaritmo, però, non ci restituisce il numero di partenza a cui abbiamo applicato la potenza, bensì l'esponente.


In termini rigorosi:

 

Come potete osservare, il logaritmo in base 10 di 100 è proprio 2, l'esponente della nostra potenza dal quale siamo partiti!
Facciamo un altro semplicissimo esempio, prima di trattare l'argomento in maniera più generale.
Prendiamo come riferimento 3³ = 27.
Ora guardiamo tale uguaglianza da una "prospettiva logaritmica":



Capito?
Il logaritmo di un numero (detto argomento del logaritmo), data una certa base, non è altro che l'esponente a cui bisogna elevare la base per ottenere il numero considerato.
Generalizzando, prendendo una generica espressione esponenziale come la seguente:



essa risulta equivalente a scrivere:



Proviamo adesso a fare un altro esempio, ma, questa volta, senza conoscere il risultato del logaritmo, ovvero l'esponente, che diventa la nostra incognita.
Quanto vale il logaritmo in base 2 di 16?
Riscritto in termini formali, il quesito equivale alla seguente equazione:



Beh, è facile dai!
La domanda da porsi per risolvere il quesito è: qual è quel numero a cui devo elevare la mia base 2 per ottenere 16?
La risposta è ovviamente 4, dato che 2⁴ = 16.
Un esempio del genere conferma ancor più che logaritmi ed esponenziali sono la stessa cosa, scritta in 2 modalità differenti.
Infatti, il medesimo quesito si poteva anche porre nella forma:



Per risolvere tale equazione, un'equazione esponenziale, bisogna procedere nel seguente modo:



Un'equazione esponenziale si può quindi spesso risolvere cercando di porre i numeri presenti nei 2 membri dell'equazione mediante la stessa base (nel nostro caso 2) e, una volta ottenuta l'uguaglianza tra le basi, si possono eguagliare gli esponenti, scoprendo così l'incognita cercata.
Possiamo passare molto facilmente dagli esponenziali ai logaritmi (e viceversa), cosa molto utile in certe situazioni, come quando abbiamo provato a ricavare la legge di Rutherford-Soddy nell'articolo "Cos'è la datazione al carbonio 14?".
Specifichiamo che sia l'argomento sia la base di un logaritmo devono essere numeri reali positivi.
Per quanto concerne la base, si assume ovviamente che sia diversa da 1, in quanto 1 elevato a qualsiasi esponente fornisce sempre 1; il concetto di logaritmo non avrebbe senso in tal caso.
Descriviamo brevissimamente le proprietà fondamentali dei logaritmi, con relative dimostrazioni.

LOGARITMO DEL PRODOTTO

Il logaritmo del prodotto di 2 o più numeri positivi corrisponde alla somma dei logaritmi dei singoli fattori:



DIMOSTRAZIONE:

Consideriamo le seguenti espressioni:





Passando agli esponenziali, tali espressioni si possono scrivere rispettivamente come:





Moltiplicando membro a membro le 2 espressioni appena scritte otteniamo:



Ripassando ai logaritmi:



Se vi ricordate, avevamo definito x e y in maniera precisa.
Andiamo dunque a sostituire, nell'ultima espressione ricavata, le definizioni di x e y:



Come volevasi dimostrare!

LOGARITMO DEL QUOZIENTE

Il logaritmo del quoziente di 2 numeri positivi è eguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore:




DIMOSTRAZIONE:

Anche qui ci conviene considerare le 2 espressioni





che possiamo trascrivere, come prima, in forma esponenziale:




Se nella precedente dimostrazione, giunti a questo punto, abbiamo moltiplicato membro a membro le 2 espressioni precedenti, ora dovremo ovviamente operare con la divisione:




Ripassando ai logaritmi:




Ovvero:




Come volevasi dimostrare!


LOGARITMO DELLA POTENZA

Il logaritmo della potenza a esponente reale di un numero positivo è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero:



DIMOSTRAZIONE:

Consideriamo l'espressione



che si traduce, in forma esponenziale, come



Eleviamo entrambi i membri alla n:



Passando nuovamente ai logaritmi:



Come volevasi dimostrare!

Prima di "aprire un cunicolo spazio-temporale" per andare ad indagare sull'origine dei logaritmi, facciamo giusto qualche semplice esempio di applicazione delle proprietà sopra descritte, tenendo presente che la scrittura "log" designa il logaritmo in base 10:









Il momento della storia è finalmente arrivato!
Preparatevi; stiamo per recarci, almeno con la mente, nel XVI e specialmente nel XVII secolo.
Alla fine del '500 si sviluppò un notevole interesse, da parte dei matematici, per la trigonometria.
Ad evidenziare tale fatto concorre una sfida proposta dal matematico belga Adriaan van Roomen (1561-1615), detto anche Romanus, il quale aveva appunto sfidato tutti i matematici dell'epoca a risolvere la seguente equazione di 45° grado:



L'ambasciatore dei Paesi Bassi presso la corte di Enrico IV asserì, con toni superbi, che la Francia non possedeva nessun matematico in grado di risolvere la spinosa questione sollevata dal suo connazionale.
A difendere l'onore dei francesi ci pensò però, nel 1593, François Viète (1540-1603).
Costui si rese conto che tale complessa equazione rappresentava una di quelle che nascevano quando si voleva esprimere K = sin 45 θ in termini di x = 2 sin θ, riuscendo a rinvenire subito le radici positive, ovvero le soluzioni dell'equazione.
Romanus rimase talmente stupefatto da desiderare un incontro di persona (che si concretizzò nel 1597 presso una piccola cittadina francese, Fontenay-le-Comte) con il matematico francese.
Nello stesso periodo in cui la trigonometria rivestiva un ruolo fondamentale all'interno della ricerca matematica vennero "inventati" i logaritmi, che da allora in poi rimasero sempre a stretto contatto con la stessa trigonometria.
Come già anticipato, colui che portò alla luce i logaritmi fu Nepero.
John Napier (Giovanni Nepero) nacque nel 1550 all'interno del Merchiston Castle ad Edinburgo, in Scozia.
 



















Suo padre, Sir Archibald Napier, era un ricco proprietario terreriero, mentre sua madre, Janet Bothwell, era la figlia di un importante politico e giudice, Francis Bothwell.
Un piccolo pettegolezzo: Archibald Napier aveva solamente 16 anni quando concepì il genio matematico di famiglia, suo figlio John.
Ergo, John nacque in una famiglia benestante, vivendo una vita agiata, tanto da non frequentare la scuola sino ai 13 anni di età.
Appunto nel 1563 cominciò a frequentare la St Andrews University; poco tempo dopo la sua immatricolazione, accadde un gravissimo evento: la morte della madre.
Sappiamo che John trascorse le sue giornate all'università e, diversi anni dopo, egli scrisse che nella stessa incominciò ad appassionarsi alla teologia.
Tuttavia, il nome di Nepero non appare nel registro di coloro che si sono laureati alla St Andrews University.
Di conseguenza, è molto probabile che abbia abbandonato questa università, completando i suoi studi altrove in Europa.
Una cosa certa è il fatto che Napier non acquisì le sue conoscenze di matematica avanzata alla citata università e neppure la sua ampia cultura in campo di letteratura classica.
Tutte queste conoscenze devono essere state acquisite durante i suoi studi in Europa, ma non sussistono documenti ufficiali attestanti dove costui abbia effettivamente proseguito i suoi studi, anche se è molto probabile che abbia frequentato l'Università di Parigi e abbia avuto esperienze in Italia e Olanda.
Nel 1571 Nepero fece il suo ritorno in Scozia per essere presente alle seconde nozze del padre.
Nel medesimo anno Giovanni incominciò i preparativi per il suo matrimonio, che però si concretizzò solamente 2 anni dopo.
Nel 1574 Nepero e sua moglie si sistemarono nel castello a Gartness, luogo da cui Giovanni decise di amministrare e far fruttare i propri vasti possedimenti, dedicandosi persino all'agricoltura in modo scientifico.  
Napier prese inoltre parte alle controversie religiose del tempo.
Egli era un fervente protestante e pubblicò, nel 1593, quella che lui stesso riteneva la sua opera più importante, ossia Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John.
Paradossalmente, la Matematica era solo un hobby e, nelle sue opere matematiche, egli scrisse persino che trovava difficilmente del tempo da dedicare alla Matematica, in quanto estremamente focalizzato sulla teologia.
Tra gli aspetti che più gli interessavano della Matematica ritroviamo sicuramente il computo e la trigonometria.
A dimostrazione di ciò, si può asserire che nel 1617 fu pubblicato postumo, nell'opera Rabdologiæ seu Numerationis per Virgulas libri duo, il suo metodo basato sui cosiddetti "bastoncini di Nepero", detti anche "ossi di Nepero" o "virgulae numeratrices", cioè un insieme di asticelle (spesso d'avorio) sulle quali erano incisi dei numeri che potevano essere usati per eseguire velocemente e correttamente le moltiplicazioni, simulando così il metodo con carta e penna.
Nello specifico, su ciascuna delle asticelle erano incisi i primi multipli di un numero, con le decine e le unità separate da una barra obliqua.



Immaginiamo ora di voler moltiplicare un numero abbastanza grande, prendiamo 46.785.399, con un numero molto piccolo, prendiamo 7, attraverso i bastoncini di Nepero.
Come dobbiamo procedere?
Innanzitutto dovremo crearci una tabella analoga alla seguente:













Siccome stiamo moltiplicando quel "numerone" per 7, dovremo andare a considerare la riga "comandata" dal 7 posto sul bordo della tabella, la riga che vedete appunto evidenziata con un colore leggermente diverso.
Una volta estratta tale riga, il risultato della moltiplicazione è molto facile da ottenere:








Praticamente si devono sommare tra loro i numeri posti in diagonale e le cifre ottenute comporranno letteralmente il risultato della moltiplicazione.
Si devono perciò effettuare le seguenti operazioni, partendo dal lato destro della riga:
  • 6 + 3 = 9
  • 6 + 1 = 7
  • 2 + 5 = 7
  • 3 + 6 = 9
  • 5 + 9 = 14
  • 4 + 2 = 6
  • 4 + 8 = 12
E' tutto molto semplice; l'unica perplessità potrebbe scaturire dalle operazioni, tipo 5 + 9, ove raggiungiamo un numero composto da 2 cifre.
In tal caso, come fanno i bambini alle elementari, dobbiamo ricordarci di segnare la cifra dell'unità (nel caso considerato, 4) e "tenere in latenza" la cifra delle decine (1) per la seguente addizione (nel nostro caso abbiamo 4 + 2 a cui dobbiamo aggiungere l'1 riportato dalla precedente addizione, dunque 7).
Pensate che Nepero riuscì a sviluppare diverse varianti di questa tecnica, utili per calcolare divisioni, radici quadrate e perfino radici cubiche!
Probabilmente attorno al 1594, Nepero cominciò invece a lavorare ad un metodo maggiormente teorico, pubblicato solamente 20 anni dopo.
Potrebbe essere partito dalle progressioni geometriche, ovvero successioni di numeri in cui ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per un numero ben determinato.
In altre parole, una progressione geometrica è una successione di numeri in cui il rapporto tra un numero e il suo precedente è sempre il medesimo, una costante detta ragione.
Un semplice esempio di progressione geometrica è dato da quella costituita dalle potenze di 2:

 

Un altro esempio è dato da quella formata dalle potenze di 10:



Si sapeva già da tempo che sommare gli esponenti era equivalente a moltiplicare le potenze (posto che la base fosse la medesima), nozione che era stata diverse volte oggetto di pubblicazioni, come l'Arithmetica integra (1544) di Michael Stifel (1487-1567), e, addirittura, compare nelle opere di Archimede (sulla cui figura vi rimando all'articolo capolavoro dei Rudi Matematici).
Ciò, pertanto, andava molto bene se si volevano moltiplicare due potenze intere, per esempio, di 2 oppure di 10.
Sussistevano tuttavia ampi intervalli (spaziature) fra questi numeri, e le potenze di 2 o di 10 non sembravano di grande aiuto quando ci si trovava di fronte ad operazioni quali 63,389 × 31,443.
Mentre il barone Nepero stava remuginando sulla spinosa questione, il dott. John Craig, medico personale di Giacomo VI di Scozia, gli fece visita e gli riferì relativamente a un'importante scoperta matematica in Danimarca, nota con la denominazione di "prostaferesi".
Vi racconto un simpatico aneddoto personale inerente alle formule di prostaferesi.
Mio zio, una volta, mi ha raccontato un singolare episodio accaduto mentre frequentava il liceo scientifico e, in particolare, durante un'ora di matematica.
Il professore chiamò alla lavagna un alunno, mostrandogli una formula analoga alla seguente:




Il prof. chiese allo scolaro il nome di tale formula.
Niente, l'alunno rimase muto come un pesce!
Il professore provò allora a fornirgli un piccolo suggerimento, indicando che il nome di tale formula cominciava con la lettera "p".
Niente da fare; ancora scena muta da parte dello studente!
Il prof. decise infine di estendere il suo suggerimento, cominciando ad esclamare: "prost.......,prost......,prost......".
Il ragazzo finalmente rispose, dicendo: "formula di prostituzione"!!!!
Al che il prof., abbastanza adirato, lo sgridò con le seguenti parole: "Esca subito fuori, lei mi sta prostituendo la matematica"!!!!!!
Cerchiamo ora di tornare seri! ;)
Probabilmente Craig era stato membro della delegazione che nel 1590 aveva accompagnato Giacomo VI nel suo viaggio in Danimarca per incontrare la futura moglie, Anna di Danimarca.
Una tempesta aveva poi costretto la delegazione a sbarcare in un punto della costa danese non lontano dall'osservatorio di Tycho Brahe e, mentre aspettavano che le condizioni meteorologiche migliorassero, furono intrattenuti dal celebre astronomo.
Sembra che costui accennò alla straordinaria tecnica matematica della prostaferesi, spesso utilizzata in quell'osservatorio per compiere calcoli.
Questo nuovo metodo della prostaferesi si basava principalmente su una formula scoperta dal già citato Viète:




Ah, dimenticavo, non siete curiosi di sapere perché tali formule vengano chiamate "di prostaferesi"?
No, non esiste un matematico che faceva di cognome "Prostaferesi".
In realtà, il termine prostaferesi deriva da una giustapposizione di 2 parole di origine greca, prosthesis e aphairesis, che significano rispettivamente "somma" e "sottrazione"
D'altronde, le formule di prostaferesi, studiate ancor oggi nei licei, consentono di trasformare la somma o la differenza di seni, coseni, tangenti e cotangenti in prodotti.
Ma a cosa sarà mai servito il metodo di prostaferesi a Nepero?
Ebbene, proprio partendo dall'idea alla base del suddetto metodo (la conversione del prodotto in somma) e sviluppandola ulteriormente, Nepero riuscì ad arrivare alla creazione del concetto di logaritmo.
L'introduzione dei logaritmi si ebbe nell'opera, risalente al 1614, intitolata Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi).
Nepero costruì una serie geometrica di ragione molto vicina a 1, cioè, al posto di 2 o di 10, utilizzò potenze di numeri simili a 1,0000000001.
Le potenze successive di un numero di cotal genere risultano estremamente ravvicinate, e ciò è sufficiente per eliminare quelle fastidiose spaziature a cui facevamo riferimento in precedenza.
Per qualche motivo Nepero scelse un rapporto leggermente inferiore a 1, ossia 0,9999999.
In questo modo la sua successione geometrica "si spostava all'indietro" da un numero grande a numeri sempre più piccoli.
Egli partì da 10.000.000 e poi moltiplicò il suddetto numero per potenze successive di 0,9999999.
Se indichiamo con Neplog x il logaritmo di Nepero di x, questo possiede le seguenti singolari proprietà:

Neplog 10.000.000 = 0
Neplog 9.999.999 = 1

e così via.
Forse scritte in tale maniera non si capisce molto!
Cerchiamo di chiarire meglio il procedimento di Nepero.
Questi ha considerato come base del logaritmo 0,9999999, numero equivalente all'espressione




In questo modo, però, i termini della progressione delle potenze sono troppo vicini fra loro.
Per ottenere un maggior equilibrio e per evitare fastidiose cifre decimali, Nepero moltiplicò, come già detto, ciascuna potenza per 10.000.000 (ovvero 10⁷).
Se



Allora L è il "logaritmo neperiano" del numero N.
Da ciò si può concludere che il logaritmo neperiano di 10⁷ è 0.
Infatti, ponendo N = 10⁷, abbiamo:




Qual è quell'unico esponente a cui devo elevare (1 - 1/10⁷) per ottenere 1?
La risposta è ovviamente L = 0.
Ecco giustificata l'espressione:

Neplog 10.000.000 = 0

Il medesimo ragionamento vale per l'espressione

Neplog 9.999.999 = 1

In tal caso avremo infatti:




Il logaritmo di Nepero soddisfa inoltre la seguente equazione:



Curiosità: se Nepero avesse diviso per 10⁷ i numeri e i logaritmi, si sarebbe virtualmente ottenuto un sistema di logaritmi aventi come base 1/e, ove e (2,718....) designa proprio quell'importantissima costante nota con il nome di "numero di Nepero.
Infatti




risulta molto vicino a


 


Invece, per completezza, il limite della successione che ci conduce proprio al numero di Nepero è il seguente:





In realtà, la costante e, a volte, viene chiamata anche "numero di Eulero", in quanto appunto Eulero fu il primo a far uso della lettera "e" per indicare tale numero, come si può riscontrare nell'opera Mechanica (1736) dello stesso matematico.
Il logaritmo in base e di un numero x viene chiamato "logaritmo naturale" e indicato con ln x.
Assieme alla base 10, la base e rappresenta sicuramente la più utilizzata in assoluto.













A proposito di base 10, colui che la introdusse (e che, allo stesso tempo, semplificò notevolmente il concetto di logaritmo) fu Henry Brigss (1561-1630), il primo professore saviliano di geometria all'Università di Oxford.
Briggs, nel 1615, fece visita proprio a Nepero in Scozia, con cui discusse in merito a modifiche da introdurre nel metodo dei logaritmi.
Nepero, confessando di averci già pensato, dichiarò di essere d'accordo con le idee del collega.
Purtroppo, però, prima che tali idee potessero essere diffuse, Nepero morì.
La morte dell'inventore dei logaritmi avvenne il 4 aprile 1617, anno in cui uscì la sua già citata opera Rabdologiæ.
Briggs si prese la briga di calcolare una tavola di logaritmi "briggsiani" (cioè in base 10), partendo da log 10 = 1 e considerando radici quadrate successive.
Nel 1617 pubblicò Logarithmorum chilias prima, i logaritmi degli interi da 1 a 1000, calcolati sino a 14 cifre decimali.
Il suo lavoro del 1624 Arithmetica logarithmica conteneva i logaritmi in base 10 dei numeri da 1 a 20.000 e da 90.000 a 100.000, sempre con 14 cifre decimali.
L'idea si diffuse molto rapidamente per l'Europa.
John Speidell determinò i logaritmi delle funzioni trigonometriche (come log sin x), pubblicandone le tavole nei suoi New Logarithmes nel 1619
Curiosità: l'orologiaio svizzero Jobst Bürgi pubblicò i suoi risultati sui logaritmi nel 1620 e, tra l'altro, sembra che egli ne avesse scoperto l'idea di base nel 1588, persino prima di Nepero.
Tuttavia, nella storia della Matematica, ciò che ha un'importanza cruciale è quello che è stato effettivamente pubblicato e non ciò che è rimasto confinato all'interno della vita privata di una singola persona.
Dunque, da questo punto di vista, è lecito attribuire l'invenzione dei logaritmi a Nepero, seppur tenendo sempre in mente che, probabilmente, il sopracitato orologiaio svizzero è pervenuto alla fantastica idea ben prima di lui.
Concludiamo sottolineando l'importanza dei logaritmi nel mondo odierno.
Strumenti e nozioni importantissime come la scala del pH in Chimica, il decibel usato nell'ambito dell'acustica, la scala Richter atta a misurare la magnitudo dei terremoti, si poggiano letteralmente sui logaritmi.
Tirando le fila del discorso, i logaritmi hanno segnato una vera e propria rivoluzione all'interno della Matematica del XVII secolo e hanno aperto involontariamente le porte alla nascita di fondamentali concetti scientifici, come quelli riportati nel seguente video.


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