CARNEVALE DELLA MATEMATICA #81: STORIA, PERSONAGGI E APPLICAZIONI DELL'ANALISI MATEMATICA

"L'analisi matematica è una sinfonia coerente dell'universo." David Hilbert






Benvenuti alla 81ª edizione del Carnevale della Matematica, la prima del 2015!
Tale edizione ha come nome in codice "il merlo, il merlo: il merlo? il merlo!" e, grazie a Dioniso Dionisi (che ha ospitato il Carnevale n.80 con tema "Matematica e irrazionalità"), ha come cellula melodica la n.81:

La tematica di questo mese è davvero vasta: "Storia, Personaggi e Applicazioni dell'Analisi Matematica".
Come consueto nei Carnevali ospitati su Scienza e Musica, la kermesse si aprirà con una ricca introduzione sul tema prescelto.
La storia dell'analisi matematica incomincia molto prima di quanto comunemente si possa pensare.
Sì, è vero, vengono considerati giustamente "padri" di tale disciplina le grandi menti di Isaac Newton e Gottfried Wilhelm von Leibniz (tra l'altro in accesa disputa fra loro), eminenti personalità scientifiche del XVII secolo, tuttavia la nostra introduzione partirà, come giusto che sia, da tempi molto più remoti.
Anzi, ci focalizzeremo proprio sulle origini antiche di questa branca della matematica, in quanto in tal contesto non sarebbe possibile affrontare tutti i numerosissimi e straordinari sviluppi che ci furono dopo i lavori di Newton e Leibniz (ci dovremmo dilungare davvero troppo e inoltre si rischierebbe di non poter fare a meno di un certo livello di tecnicismo, inadeguato per un'introduzione di un carnevale).

L'origine del calcolo (infinitesimale) si deve alle difficoltà logiche a cui si trovarono di fronte i matematici greci nel tentativo di esprimere alcune intuizioni sui rapporti o sulle proporzioni fra segmenti (riconosciuti come continui) in termini di numeri, ritenuti discreti.
Da ciò emerse per la prima volta la nozione di infinitesimo, logicamente sì poco soddisfacente, ma allo stesso tempo intuitivamente attraente.
Furono appunto i greci i primi ad analizzare in maniera sistematica l'idea di grandezza continua e a sviluppare quei concetti che molti secoli più tardi condurranno alla derivata e all'integrale.
È tuttavia possibile che già gli antichi egizi utilizzassero una primordiale forma di calcolo integrale per stabilire il volume di una piramide.
Infatti, nell'importante papiro noto come Papiro di Golenisčev o di Mosca (lungo circa 5,5 metri e largo circa 7,5 cm), scritto da un anonimo scriba della dodicesima dinastia (circa 1890 a.C.), viene riportato un interessante problema inerente al calcolo del volume di un tronco di piramide a base quadrata.

Oggi calcoleremmo semplicemente il suddetto volume riferendoci alla formula




dove h è l'altezza della piramide, mentre a e b designano i lati delle due basi (inferiore e superiore).
Ovviamente questa formula non viene esplicitamente riportata nel papiro!
Probabilmente gli egizi erano riusciti nell'ardua impresa immaginando di decomporre il tronco di piramide in parallelepipedi, prismi e piramidi e poi di sostituire le piramidi e i prismi con blocchi rettangolari uguali.
Ritornando alla matematica greca, Talete (640 a.C./625 a.C. – 547 a.C. circa) viene riconosciuto come il primo ad avviare la "rivoluzione intellettuale" che generò matematica elementare e fece emergere quelle difficoltà di carattere intellettuale, il cui studio e la cui risoluzione arrivarono a dar vita, nei successivi 25 secoli, alla moderna concezione di calcolo.
A Talete viene infatti attribuita la visione della matematica come disciplina deduttiva, sebbene egli non costruì mai un corpo organico di conoscenze, né tantomeno applicò il suo metodo all'analisi del problema del continuo, proposito che invece si premurò di realizzare Pitagora (570 a.C. circa – 495 a.C. circa) e i pitagorici.
I pitagorici ritenevano che tutta la geometria fosse immanente in natura, in altri termini pensavano che i concetti geometrici dovessero essere dotati di una consistenza effettiva nel mondo materiale.
Tale ricerca di un'unità fra la natura e la geometria portò alla teoria del calcolo delle aree, teoria fondamentale all'interno della geometria greca e precorritrice del metodo di esaustione, primitiva forma di calcolo integrale.
Il calcolo delle aree consentì di valutare se una figura limitata da linee rette fosse più grande, equivalente o più piccola di un'altra figura.
La sovrapposizione di un'area su una seconda rappresenta il primo piccolo ma importante passo verso una precisa definizione di area, affermando che un'unità di area è contenuta in una seconda area un certo numero di volte.
Va precisato che i matematici greci non fecero mai riferimento all'area di una singola figura, bensì sempre al rapporto tra 2 superfici considerate.
Sussisteva un problema però: l'incommensurabilità che spesso sorgeva nei rapporti numerici.
Due grandezze si dicono incommensurabili quando non è possibile esprimere il loro rapporto attraverso una frazione m/n, dove m e n sono numeri naturali.
Persino nel caso più semplice di applicazione del teorema di Pitagora sorge un problema di incommensurabilità.
Si consideri infatti un triangolo rettangolo (isoscele) di cateti entrambi di valore 1.
Applicando il famoso teorema, l'ipotenusa sarà equivalente a √2, un numero che non può appunto essere espresso come divisione di due numeri interi: un numero irrazionale!

Nonostante i pitagorici non vedessero assolutamente di buon occhio i numeri irrazionali e l'incommensurabilità delle grandezze (d'altronde il loro motto era "tutto è numero", ma intendevano numero intero o al massimo rapporti di numeri interi!), la sola scoperta di tutto ciò segnava un passo avanti nell'evoluzione dei concetti del calcolo.
In ogni caso, l'incommensurabilità dei segmenti restò sempre uno spinoso problema per la geometria greca.
I geometri greci, infatti, non pervennero mai a una definizione di numero irrazionale capace di superare tale grave difficoltà, sebbene implementarono la teoria delle grandezze irrazionali come parte della geometria.
A causa della non riuscita generalizzazione del loro sistema numerico, l'unica soluzione per i matematici greci fu abbandonare il sogno pitagorico di identificare l'ambito numerico con quello della geometria o delle grandezze continue.
Un'altra spinosa questione emerse nel frattempo: se non vi è alcun segmento finito così piccolo che la diagonale e il lato di un quadrato possono essere entrambi espressi nei suoi termini, non ci potrebbe essere una monade o unità indivisibile tale che un numero infinito di questa sia necessario per ottenere la diagonale e il lato?
Non si possiedono sufficienti informazioni per asserire che i pitagorici facessero appello all'infinitamente piccolo, tuttavia sappiamo che il concetto di infinitesimo era scaturito nel V secolo a.C con la nascita di una dottrina sulla natura del mondo fisico: l'atomismo.
Sull'atomismo non mi dilungherò molto; ne ho parlato in un Carnevale della Chimica e l'ho spiegato pure per le nonne!
Aggiungiamo qui che Democrito, il più famoso tra gli atomisti greci, fu anche un matematico e si interessò alla possibile applicazione della sua dottrina filosofica alla geometria.
Plutarco racconta che Democrito si focalizzò a lungo sul problema delle sezioni circolari di un cono tagliato da piani paralleli alla sua base.
Democrito si chiese nello specifico se tali sezioni (di cui il cono può esser considerato composto) fossero uguali o disuguali.
Se sono uguali, il cono dovrebbe essere equivalente al cilindro circoscritto.
Se invece sono disuguali, la totalità di esse dovrebbe generare un cono "a gradini", e non la figura con la superficie liscia che si ha in mente, una cosa paradossale insomma!
Non si sa con precisione come Democrito risolse questa controversa questione, ma si pensa che egli abbia fatto ricorso all'idea di lamine circolari infinitamente sottili o indivisibili per determinare i volumi di coni e cilindri, anticipando così, per i suddetti casi particolari, il principio di Cavalieri (detto anche metodo degli indivisibili).
Bonaventura Cavalieri (1598-1647), discepolo di Galileo, portò avanti le idee del suo maestro sugli indivisibili (figure geometriche di spessore infinitesimo) pubblicando nel 1635 un'opera sull'argomento intitolata Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota.
Costui riteneva appunto un'area come costituita da un numero indefinito di segmenti paralleli equidistanti e un volume come composto da un numero indefinito di aree piane parallele (rispettivamente chiamati indivisibili di area e di volume).
Cavalieri si rese conto che il numero di indivisibili costituenti un'area oppure un volume doveva essere indefinitamente grande, ma non si soffermò su tale questione.
In parole povere, gli indivisibilisti sostenevano, come asserisce Cavalieri nelle sue Exercitationes geometricae sex, datate 1647, che una retta è costituita da punti così come un rosario da grani; che un piano è composto da rette così come una stoffa da fili e che un volume è generato da aree piane così come un libro da pagine, tuttavia considerando un numero infinito di costituenti.
Il particolare, il principio di Cavalieri afferma che:

«Se 2 solidi hanno uguale altezza e se le sezioni tagliate da piani paralleli alle basi e ugualmente distanti da queste stanno sempre in un dato rapporto, allora anche i volumi dei 2 solidi avranno lo stesso rapporto».

Utilizzando il suddetto principio Cavalieri dimostrò che il volume di un cono è pari a 1/3 di quello del cilindro circoscritto, ma soprattutto gettò le basi per lo sviluppo del calcolo integrale.
Infatti, con queste tecniche geometriche Cavalieri dimostrò nella Centuria di variii problemi (1639) un importante teorema, equivalente nel calcolo infinitesimale alla fondamentale formula moderna:

Nel piano, ossia nel caso n = 1, per dimostrare tale formula Cavalieri confrontava le potenze dei segmenti di un parallelogramma paralleli alle basi con le corrispondenti potenze dei segmenti dell'uno o dell'altro dei 2 triangoli in cui la diagonale suddivide il parallelogramma.

 










Riferendoci alla figura di cui sopra, il parallelogramma AFCD viene diviso dalla diagonale CF in 2 triangoli.
Si consideri il segmento HE come indivisibile del triangolo CDF parallelo alla base CD.
Prendendo BC = FE e tracciando BM parallelo a CD si trova un indivisibile BM del triangolo ACF, il quale risulta sovrapponibile a HE e dunque eguale ad esso.
È possibile accoppiare tutti gli indivisibili contenuti nel triangolo CDF con i corrispettivi indivisibili uguali contenuti nel triangolo ACF; i 2 triangoli hanno pertanto aree equivalenti.
Ora siccome il parallelogramma è la somma degli indivisibili contenuti nei 2 triangoli, ne consegue che la somma delle prime potenze dei segmenti contenuti in uno dei 2 triangoli componenti è equivalente a metà della somma delle prime potenze dei segmenti contenuti nel parallelogramma.
Praticamente, in termini moderni:





Attraverso un ragionamento simile, ma decisamente più complesso, Cavalieri mostrò che la somma dei quadrati dei segmenti contenuti nel triangolo era 1/3 della somma dei quadrati dei segmenti contenuti nel parallelogramma, mentre per i cubi dei segmenti riscontrò che il rapporto era uguale a 1/4.
Nel 1647, nelle Exercitationes geometricae sex, egli pervenne all'enunciato generale per le potenze n-esime, con un rapporto equivalente a

 


Questo teorema generale era già noto ad alcuni matematici francesi, ma Cavalieri fu il primo a pubblicarlo.
Dopo questo doveroso excursus su Cavalieri, riconduciamo la nostra linea temporale all'antica Grecia.
A seguito del periodo pitagorico e democriteo, la nozione di infinitesimo non venne ben accolta all'interno della geometria greca, specialmente per la diffusione delle teorie elaborate dalla scuola filosofica sorta a Elea, nella Magna Grecia.
Gli eleati erano contrari all'idea pitagorica della monade infinitamente piccola e all'atomismo democriteo.
Zenone (489 a.C. – 431 a.C.), uno dei massimi esponenti di tale scuola, esclamò una volta contro gli infinitesimi:

"Ciò che, essendo aggiunto a un altro non lo rende più grande e, essendo tolto a un altro non lo rende più piccolo, è nullo"

Zenone è famoso per i 4 paradossi inerenti al moto.
I primi 2 (Dicotomia e Achille), forse i più noti, sono rivolti contro l'infinita divisibilità di spazio e tempo e si fondano sull'idea (errata) che una somma infinita di termini non possa convergere a un numero finito.
Questo può sembrare giusto intuitivamente, ma l'analisi matematica moderna risolve facilmente i primi 2 problemi elencati da Zenone (le somme infinite di termini possono infatti convergere).
Il terzo paradosso, quello della freccia in volo, è addirittura risolubile appellandosi alla moderna nozione di derivata!
Ovviamente per i Greci tali paradossi rimasero questioni davvero spinose, non potendo contare sui potenti strumenti matematici che sarebbero stati sviluppati millenni dopo.
La loro incapacità di superare i paradossi che Zenone aveva proposto li spinse a rinunciare di tentare di dare ai fenomeni di moto e di variabilità un'esposizione quantitativa.
Anche Platone (428 a.C./427 a.C. – 348 a.C./347 a.C.), sebbene non fosse propriamente un matematico, manifestò un profondo interesse verso i problemi geometrici.
L'eminente filosofo venne sicuramente influenzato sia dalla scuola pitagorica che dall'atomismo democriteo, tuttavia riteneva entrambe queste scuole di pensiero troppo condizionate dai dati dell'esperienza sensibile.
Il criterio interpretativo platonico della realtà non si fondava sull'esperienza, bensì sul pensiero razionale.
Platone fece in particolare ricorso alla nozione, alquanto astratta, di ápeiron o indeterminato illimitato, l'infinito eternamente in movimento congetturato dal filosofo ionico Anassimandro.
A detta di Platone, il continuo poteva essere meglio concepito come generato dallo scorrere dell'ápeiron rispetto all'essere concepito come un'aggregazione (comunque grande) di indivisibili, un'idea che quindi riuniva il continuo con il discreto, in maniera non molto differente dal moderno intuizionismo di Brouwer.
In questo modo, per cogliere l'infinitamente piccolo non era necessario effettuare una suddivisione continua, ma si poteva considerare qualcosa di simile all'infinitesimo generante di Leibniz.
Per Leibniz infinitesimo è, per definizione, un numero dx maggiore di zero e al tempo stesso minore di qualsiasi numero reale positivo per quanto piccolo sia.
In simboli:




dove N è un numero intero grande quanto si vuole.
Il concetto di infinitesimo leibniziano sembra dunque oscillare tra una concezione attuale (gli infinitesimi sono enti matematici effettivi) e potenziale (essi esprimono semplicemente un avvicinamento allo 0).
Il contributo dei greci sulla via di avvicinamento ai moderni concetti del calcolo infinitesimale andò certamente avanti con Eudosso (408 a.C. – 355 a.C.) e Archimede (287 a.C. circa – 212 a.C.).
Costoro implementarono il cosiddetto metodo di esaustione (un rudimentale metodo che si avvicina alla moderna integrazione definita), il quale consisteva nell'inscrivere e circoscrivere poligoni attorno a una certa figura geometrica piana ed aumentare progressivamente il numero di lati dei poligoni in maniera tale che essi approssimino sempre di più la figura considerata.

In questo modo si riusciva a determinare l'area della figura.
Va precisato che la procedura era già stata introdotta da Antifonte il sofista e, successivamente, da Brisone.
Costoro avevano inscritto in un cerchio un poligono regolare e, con successivi raddoppi del numero dei lati, ritenevano di pervenire a un poligono coincidente con il cerchio e di determinare così l'area ricercata.
Archimede, invece, grazie a questo metodo (migliorato rispetto a quanto fatto da Eudosso, includendo i poligoni circoscritti), è riuscito ad ottenere una stima straordinariamente precisa (per l'epoca) del valore di pi greco (qui maggiori dettagli).
È possibile, in sostanza, ritenere le varie procedure adottate da Archimede per calcolare aree e volumi di figure geometriche delle "integrazioni pratiche", non certo delle "vere integrazioni".
Infatti, la formulazione corretta dell'integrale richiede una valutazione di concetti come la variabilità, la funzionalità, il limite di una successione e così via, elementi che sicuramente non si riscontrano nell'opera archimedea, giacché furono del tutto estranei al pensiero matematico greco.
Inoltre, mai la geometria greca pervenne a una chiara consapevolezza della necessità del concetto di limite al fine di determinare le aree curvilinee e le tangenti alle curve.
Nessun matematico greco, comunque, si avvicinò di più al moderno calcolo infinitesimale quanto Archimede, ritenuto non a caso il più grande matematico dell'antichità.
Compiendo un salto temporale, durante il primo Medioevo, l'idea dell'indivisibile venne spesso assunta in modo più elementare rispetto a quanto fece Democrito secoli prima.
Pare che Capella, Isidoro di Siviglia, Beda e altri studiosi credessero che il tempo fosse composto da indivisibili, considerati alla stregua di "atomi di tempo".
Durante l'alto Medioevo, Thomas Bradwardine, arcivescovo di Canterbury e forse il più grande matematico inglese del XIV secolo, sostenne invece che le grandezze continue, benché comprendenti un numero infinito di indivisibili, non sono formate da questi atomi.
A tal proposito scrisse

«Nullum continuum ex indivisibilibus infinitis integrari vel componi»

utilizzando per la prima volta in tal contesto il termine che Leibniz adotterà (su suggerimento dei fratelli Bernoulli) per indicare nel suo calcolo la somma di un numero infinito di infinitesimi: l'integrale.
Per Bradwardine una grandezza continua risultava invece composta da un numero infinito di continui del medesimo tipo: l'infinitesimo aveva per lui (così come per Aristotele) soltanto un'esistenza potenziale.
Generalmente si ritiene che le principali acquisizioni scientifiche del periodo medioevale siano limitate a scoperte e applicazioni pratiche e che l'unico progresso significativo in campo matematico è stato compiuto da Fibonacci con la semplificazione, nel Liber Abbaci (1202), delle regole operazionali attraverso i numeri arabo-indiani.
Tuttavia, in questo periodo ci fu almeno un altro fatto davvero significativo: nel XIV secolo si andò sviluppando un progresso teorico che getterà le basi per la successiva introduzione del concetto di derivata, ossia l'idea di studiare il cambiamento da un punto di vista quantitativo.
In altre parole, nel Medioevo è stato introdotto in matematica il concetto di variazione.
Sì, è vero, Eraclito, Democrito e Aristotele avevano già ideato alcune congetture metafisiche qualitative sul moto e occasionalmente alcuni geometri greci le avevano immesse nelle loro teorie (ma non nelle dimostrazioni), però i greci non avevano mai pensato di rappresentare la variazione continua grazie a grandezze geometriche o a studiarla attraverso i numeri.
Si pensi inoltre che per i greci i moti dei corpi celesti erano tutti perfettamente uniformi e circolari, ergo non prendevano in considerazione il concetto di accelerazione, ovvero la variazione della velocità nel tempo (o in termini tecnici, la derivata della velocità rispetto al tempo).
Aristostele aveva concepito la matematica come riferita a «cose che non implicano il moto» e asseriva che la matematica studia gli oggetti in quanto continui, la fisica in quanto in movimento e la filosofia in quanto in essere.
Generalizzando, la matematica greca era lo studio di forme, non certo della variabilità.
L'origine della questione della variabilità delle forme (forma viene intesa in tal caso come qualsivoglia qualità che ammetta una variazione e che rimandi a nozioni come velocità ed accelerazione) non è ben delineata.
Uno dei primi ad essersi interessato all'aumento e alla diminuzione (intensio e remissio) delle forme sembra essere stato Duns Scoto, anche se accenni all'idea della variabilità delle forme si ritrovano anche in tempi precedenti, quando Henry Goethals aveva usato il termine latitudo a riguardo.
Nel XIV secolo le ricerche sulla matematica furono floride a Oxford, ove apparve ciò che viene ritenuto il "modello guida" dei trattati sulla variabilità delle forme: il Liber calculationum di Richard Suiseth (più noto come Calculator).
Nel secondo capitolo dell'opera pervenne a un importante risultato.
Considerando l'intensio in cose difformi riguardo problemi sul contenuto termico, arrivò alla conclusione che l'intensità media di una forma, il cui ritmo di cambiamento su un intervallo risulti costante, o di una forma tale da essere uniforme per la totalità di ciascuna metà dell'intervallo è la media delle sue intensità prima e ultima.
Per dimostrare un assunto del genere in modo rigoroso, servirebbe la nozione di limite; Calculator si basò invece su un ragionamento dialettico derivato dall'esperienza fisica del ritmo del cambiamento.
Costui asserì, riguardo a questo tipo di forma, che se l'intensità maggiore decresce uniformemente fino al valore medio, mentre quella minore aumenta al medesimo ritmo anch'essa fino al valore medio, allora il tutto non risulta né aumentato né diminuito.
Questi metodi vennero poi ampliati da Calculator nei capitoli successivi, applicandoli a concetti come la densità, la velocità e l'intensità dell'illuminazione.
A Calculator dobbiamo probabilmente il primo serio tentativo di rendere quantitativamente comprensibili questi concetti della fisica matematica.
Il suo studio inerente al cambiamento delle suddette quantità non solo ha anticipato la loro elaborazione scientifica, ma ha avviato la possibilità di introdurre in matematica nozioni come quantità variabile e derivata.
Infatti, i termini fluxus e fluens, che Calculator utilizzò a questo proposito, saranno, circa 3 secoli più tardi, usati da Newton quando nel suo calcolo parlò di una quantità matematica variabile "fluente" e denominò il suo ritmo di cambiamento "flussione".
Nicola Oresme, ispirato dai lavori di Calculator, nel suo Tractatus de figuratione potentiarum et mensurarum (scritto probabilmente prima del 1361), compì un passo in avanti associando lo studio della variazione con la rappresentazione mediante coordinate.
Oresme fu il primo studioso a rappresentare un cambiamento istantaneo mediante una linea retta.
Questi non poteva chiaramente fornire una definizione rigorosa di velocità istantanea, ma comunque sottolineò che maggiore è questa velocità, più grande dovrebbe essere la distanza percorsa se il moto prosegue uniformemente a questo ritmo.
Si ritiene comunemente che il concetto di accelerazione sia dovuto unicamente alla mente di Galileo Galilei (1564-1642).
In realtà, Oresme aveva una chiara concezione non solo della nozione di accelerazione in generale, ma pure dell'accelerazione uniforme.
Secondo costui infatti se la velocitatio (l'accelerazione) è uniformis, allora la velocitas (la velocità) è uniformiter difformis; se invece la velocitatio è difformis, allora la velocitas è difformiter difformis.
Oresme fu un precursore degli esperimenti galileiani sul moto uniformemente accelerato, dato che applicò le sue idee di ritmo di cambiamento uniforme e di rappresentazione grafica alla proposizione la quale afferma che la distanza percorsa da un corpo che parte da fermo e si muove con accelerazione costante è la stessa di quella che il corpo percorrerebbe se dovesse muoversi, per lo stesso intervallo temporale, con una velocità uniforme pari alla metà della velocità finale.
In termini moderni:

Oresme si occupò anche di un altro argomento chiave per lo sviluppo del calcolo: le serie.
Egli considerò infatti un corpo in moto con velocità uniforme per la metà di un certo periodo di tempo, con il raddoppio di questa velocità per il successivo quarto del tempo, con 3 volte questa velocità per il successivo ottavo, e così all'infinito.
Si rese conto che in tal caso la distanza percorsa sarebbe stata, in totale, equivalente al quadruplo di quella percorsa nella prima metà del tempo.
Anche il già citato Calculator si era interessato alle serie, tuttavia per giustificare i suoi risultati si era appellato a contorte argomentazione dialettiche.
Oresme, al contrario, adottò un metodo geometrico: il confronto delle aree corrispondenti alle distanze raffigurate nella rappresentazione grafica del moto.
Calculator e Oresme non furono i soli scolastici a manifestare interesse per le serie: infatti, alcuni dei loro risultati relativi ad esse vennero riportati nell'anonimo trattato A est unum calidum, redatto prima del 1390.
Nel 1509 lavori simili furono dati alle stampe a Parigi nel Liber de triplici motu di Alvarus Thomas.
Nel suddetto testo l'autore si propone di studiare casi di serie ancora più complessi di quelli analizzati da Calculator e Oresme; in particolare riuscì a calcolare:

le quali forniscono rispettivamente i valori 5/2 e 20/9.
Nel XV secolo il cardinale tedesco Nicola Cusano, influenzato sia dalle ricerche scolastiche sia dall'opera di Archimede, considerò le nozioni di infinitamente grande e di infinitamente piccolo come una componente fondamentale dell'oggetto di studio della matematica.
Il lavoro di Cusano è rilevante specialmente perché fece uso dei concetti di infinito e di infinitesimo intesi non solo come potenzialità (Aristotele docet), ma come fenomeni in atto costituenti i limiti inferiore e superiore di operazioni su grandezze finite.
Così come il triangolo e il cerchio erano per Cusano i poligoni con il numero più piccolo e più grande di lati, costui riteneva lo zero e l'infinito i limiti inferiore e superiore della successione dei numeri naturali.
Cusano concepì inoltre l'infinito come qualcosa a cui ci si può avvicinare solamente passando attraverso il finito, un'altra idea precorritrice del moderno concetto di limite in analisi matematica.
Il celebre Leonardo da Vinci, profondamente influenzato dal pensiero scolastico (e in particolare dalle idee di Cusano) e dai lavori pionieristici di Archimede e di altri matematici, probabilmente sfruttò considerazioni infinitesimali nella ricerca del centro di gravità di un tetraedro, da lui considerato come formato da un numero infinito di piani.
Questi contributi ebbero comunque un impatto minore sullo sviluppo del calcolo rispetto alle grandiose innovazioni tecnologiche introdotte dai matematici successivi.
Per esempio, nel 1586, Simon Stevin (Stevino) di Bruges introdusse un metodo che si avvicinava molto al moderno concetto di limite per dimostrare che il centro di gravità di un triangolo giace sulla sua mediana.
Innanzitutto, egli inscrisse in un triangolo ABC un numero di parallelogrammi di uguale altezza.
Il centro di gravità della figura inscritta giacerà sulla mediana, poiché vale il principio secondo cui le figure simmetriche bilateralmente risultano in equilibrio.
Stevino constatò che è possibile inscrivere nel triangolo un numero infinito di tali parallelogrammi, per ciascuno dei quali il centro di gravità si troverà su AD.
Inoltre, più è elevato il numero di parallelogrammi inscritti, più piccola sarà la differenza tra la figura inscritta e il triangolo ABC.
Se, quindi, i "pesi" dei triangoli ABD e ACD non fossero equivalenti, essi possederebbero una differenza fissa.
Tuttavia, tale differenza non può sussistere, in quanto si può far sì che ognuno di questi triangoli differisca in misura minore rispetto alle somme dei parallelogrammi inscritti in loro, i quali sono uguali.
Ergo, i "pesi" di ABD e ACD sono eguali e ne consegue che il centro di gravità del triangolo ABC giace sulla mediana AD.
Il metodo di esaustione dei greci non era certamente arrivato a concludere (come fece invece Stevino) che qualora si potesse dimostrare che (attraverso continue suddivisioni) la differenza poteva essere resa inferiore a ogni data quantità, allora si poteva avere come risultato l'assenza di qualsivoglia differenza.
Anche Keplero, grandissimo astronomo tedesco molto famoso per le leggi che prendono il suo nome, nel trattato Astronomia nova del 1609, fornisce alcune rilevanti anticipazioni alla moderna analisi matematica, come ad esempio un calcolo che espresso in notazione odierna corrisponderebbe a:





Alcuni calcoli contenuti in questa opera corrispondono persino ad approssimazioni di integrali ellittici.
Nel 1615, l'esigenza di redigere un saggio completo sulla determinazione dei volumi sembra che sia saltata fuori nella mente di Keplero dal prosaico problema di determinare le proporzioni migliori per una botte da vino!
Ne derivò l'opera intitolata Nova stereometria doliorum vinariorum o semplicemente Doliometria, la quale ha avuto una così imponente influenza sulle teorie infinitesimali che seguirono la sua pubblicazione, al punto che (forse esagerando un pochino) venne acclamata come la fonte di ispirazione di tutti gli sviluppi successivi del calcolo!
Il problema della misura delle botti da vino aveva portato l'astronomo a occuparsi di una serie di problemi relativi ai massimi e ai minimi.
Inoltre, sempre nella Doliometria, costui mostrò che tra tutti i parallelepipedi retti inscritti in una sfera e aventi base quadrata, il cubo è quello più grande.
Si dovettero aspettare solamente 20 anni per avere un lavoro, in Italia, della stessa caratura: la Geometria indivisibilibus di Cavalieri, di cui si è parlato approfonditamente prima.
Anche Evangelista Torricelli, amico di Cavalieri e discepolo di Galileo, si interessò al metodo degli indivisibili.
Questi arrivò persino a superare il maestro Cavalieri nella flessibilità e saggezza nell'utilizzo del suddetto metodo alla ricerca di risultati originali.
Si interessò ad esempio al moto dei proiettili, facendo uso dell'idea di direzione istantanea e implicando pertanto il concetto di limite.
Tuttavia Torricelli non si mostrò aperto alla possibilità di definire la velocità istantanea in termini di limiti.
Il 1647 fu un anno cruciale all'interno della storia dell'analisi: innanzitutto fu l'anno in cui morirono, entrambi prematuramente, Cavalieri e Torricelli.
In secondo luogo, in questo anno venne dato alle stampe l'opera Exercitationes geometricae sex di Cavalieri, ma anche l'Opus geometricum (o Problemum austriacum) del fiammingo Gregory di St. Vincent.
Egli, a differenza di Stevino, al posto dei parallelogrammi fece uso di infiniti rettangoli infinitamente sottili.
Gregory applicò inoltre i suoi concetti a problemi concernenti i volumi dei solidi tramite un processo che denominò ductus plani in planum (costruzione di un solido geometrico a partire da 2 figure piane date).
Il modo in cui costui costruì le sue figure solide lascia trasparire il fatto che pensasse in termini di indivisibili, però intensi non alla maniera di Cavalieri, ossia privi di spessore, bensì alla stregua di elementi a tutti gli effetti costituenti la figura geometrica (anche Keplero la pensava in modo analogo).
Nel suo trattato, Gregory, dopo aver inscritto in 2 figure tridimensionali alcuni parallelepipedi assai sottili, asserisce che:

"Questi parallelepipedi possono così essere moltiplicati in modo tale che esauriscano il corpo nel quale sono inscritti"

Sembrerebbe che questa sia stata la prima volta in cui i termini "esaustione, esausto" vanno a designare il fatto che una certa configurazione viene letteralmente "esaurita".
Nelle dimostrazioni greche che facevano uso del metodo di esaustione infatti la figura veniva immaginata semplicemente come approssimata (entro un certo grado di accuratezza) rispetto alla figura inscritta o circoscritta.
Dunque il metodo di esaustione nel vero senso della parola si deve a Gregory, con la sua suddivisione che si itera fino all'infinito, idea che più in là avrebbe portato all'introduzione della nozione di limite di una progressione geometrica infinita!
Tra le altre cose, lo studioso mostrò che il paradosso di Achille e la tartaruga di Zenone poteva essere spiegato in termini di limite di una successione.
Gregory affermò infatti che la velocità di Achille e della tartaruga devono avere una proporzione e determinò, mediante progressioni geometriche, il punto in cui le rispettive posizioni sarebbero coincise.
Il lavoro di Gregory, per quanto ovviamente non rigoroso relativamente alla terminologia adottata, va pertanto ricordato come il primissimo tentatitivo di formulare (seppur in termini ancora puramente geometrici) la dottrina del limite, implicitamente assunta da alcuni studiosi che lo hanno preceduto. 
Gregory fu maestro di altri grandi matematici, quali Guldino, André Tacquet e Charles de la Faille, che continuarono le sue ricerche sulle teorie infinitesimali.
Direi che possiamo stoppare qui la nostra introduzione al tema dell'edizione, altrimenti si rischia di non dar mai inizio alla kermesse!
Concludiamo dicendo che i lavori di Tacquet ebbero influenza su diversi matematici francesi, quali Roberval, Pascal e Fermat (di quest'ultimo abbiamo parlato approfonditamente qui).
E poi ovviamente arrivarono Newton e Leibniz, tra i quali si verificò una nota controversia, ma di questa vicenda abbiamo già parlato qui.
Sarebbe davvero complicato stendere anche solo una breve lista di ciò che accadde successivamente nella storia dell'analisi matematica!
Faccio prima a indirizzarvi verso questa bella cronologia della matematica che ho rinvenuto sul web, la quale non sarà certo esaustiva al 100%, ma può fornire un buon quadro generale di ciò che accadde.
Può essere utile anche una visita alla pagina wikipedia relativa all'analisi matematica per farsi un'idea della varie sottobranche di tale disciplina.
Aspettate un secondo: non si può terminare l'introduzione al Carnevale della Matematica senza aver dato una minima presentazione al numero dell'edizione, nel nostro caso 81.
81 innanzitutto non è un numero primo, bensì composto.
In parole povere, possiede altri divisori oltre l'1 e se stesso. I suoi divisori, escludendo se stesso, sono: 1, 3, 9 e 27.
Sommandoli ottieniamo 40, che è inferiore a 81. Ergo 81 è anche un numero difettivo, ossia, se non si fosse capito, un numero maggiore della somma dei propri divisori!
81 non è dunque un numero perfetto (non coincide con la somma dei suoi divisori), tuttavia è un numero perfetto totiente. Che diavolo significa?
Un numero naturale n si definisce perfetto totiente quando è pari alla somma dei suoi totienti iterati da n fino a che non si raggiunga il valore 1.
Eh?
Abbiate un po' di pazienza, sarà tutto chiaro fra poco.
I totienti di un numero non sono altro che i valori che la funzione φ di Eulero assume per gli imput forniti.
Dato un numero naturale n, la funzione di Eulero si può definire in questo modo:

ove p₁, p₂, p₃ e così via rappresentano i numeri primi divisori di n.
Il simbolo ∏ che sembra un grosso pi greco designa invece la "produttoria", cioè una maniera per scrivere sinteticamente un prodotto di più termini.
Prendiamo ad esempio il numero 54.
54 è divisibile per soli due numeri primi, ovvero 2 e 3.
Stabilito ciò, è sufficiente sostituire alla formula appena scritta il valore n = 54 e i valori p₁ = 2 e p₂ = 3 e troveremo un totiente:

Non è ancora chiaro? Prendiamo un numero maggiormente complesso, ad esempio n = 7020.
7020 è scomponibile come

Dunque i numeri primi divisori sono in questo caso p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5 e p₄ = 13.
Ergo il totiente sarà:

Ecco il grafico con i primi mille valori della funzione di Eulero:

Riprendiamo a questo punto il nostro 81.
La funzione di Eulero calcolata con n = 81, essendo p = 3 l'unico divisore primo, restituisce:





Dopodichè andiamo avanti con questo procedimento considerando il 54.
Abbiamo già calcolato che



Il procedimento continua finché non raggiungiamo il valore 1.
Abbiamo progressivamente:







STOP!
Sommiamo insieme i totienti ottenuti ed ecco la "magia":



Visto? Non era così complicato alla fine!
81 è poi un quadrato perfetto, dato che la radice quadrata di 81 restituisce 9 ed è, allo stesso tempo, la quarta potenza di 3.
Altra proprietà singolare dell'81 è il fatto di essere un numero ettagonale, cioè in grado di rappresentare un ettagono di n lati.
I numeri ettagonali rispondono alla formula:

I primi cinque numeri ettagonali

Il numero 81 possiede anche una certa "forza" matematica: trattasi infatti di un numero potente.
Per numero potente (o squarefull) si intende un numero intero positivo m tale che, per ogni numero primo p che divide m, anche p² divide m.
Nel caso dell'81, l'unico numero primo divisore è 3 e anche il quadrato di 3, cioè 9, è un divisore di 81.
Nell'usuale sistema di numerazione in base 10, l'81 è pure un numero di Harshad.
Significa semplicemente che risulta divisibile per la somma delle proprie cifre (8+1 = 9 e 9 è divisore di 81)!
Allontiamoci un po' dall'ambito matematico e scopriamo che 81 designa:

• il numero atomico del Tallio (TI);
• il numero di province nel quale è suddivisa amministrativamente la Turchia;
• il prefisso telefonico internazionale del Giappone.

M 81 è una galassia a spirale relativamente luminosa nella costellazione dell'Orsa Maggiore. Viene anche indicata come NGC 3031 o Galassia di Bode ed è distante ben 12 milioni di anni luce dalla Terra.

M81

Per quanto concerne la musica, il 4 dicembre 1881 venne eseguito per la prima volta, a Vienna, il meraviglioso e difficilissimo Concerto per violino e orchestra op.35 di Čajkovskij, l'unico concerto per violino mai scritto dall'eminente compositore russo.



Il 19 giugno 1981, quando aveva appena 13 anni, uscì il singolo di debutto "Ce n'était qu'un rêve" di una delle più grandi voci femminili della musica moderna, Celine Dion.



Terminiamo l'introduzione del numero 81 dicendo che tra il 18 agosto e l'8 ottobre del 1887 il compositore ceco Antonín Leopold Dvořák compose il bellissimo Quintetto per Piano N. 2 Op. 81 (gli altri strumenti oltre al pianoforte sono 2 violini, una viola e un violoncello), che potete ascoltare integralmente di seguito:




Sperando che abbiate gradito le introduzioni (per quanto la prima, per ovvi motivi, non possa essere stata esaustiva), è arrivato il momento clou della kermesse: la sfilata dei numerosi contributi partecipanti al Carnevale!
I contributi sono stati suddivisi in 2 ampie sezioni: la prima dedicata ai post a tema (o comunque che sfiorano il tema o si possono ricollegare per certi versi ad esso), la seconda è la classica sezione ove vengono presentati i contributi "fuori tema" (sia chiaro che il confine tra l'essere "a tema" o meno a volte è molto sottile).
Ogni sezione verrà terminata con una piacevole pausa musicale; non saremmo su Scienza e Musica altrimenti.
Bando alle ciance!  


STORIA, PERSONAGGI E APPLICAZIONI DELL'ANALISI MATEMATICA:

La prima partecipante è la Regina dei Carnevali scientifici, la prof. Annarita Ruberto, direttamente dal suo blog di carattere matematico Matem@ticamente!
Ultimamente è stata un po' meno attiva nella partecipazione, ma si fa subito perdonare con un articolo da manuale, dal titolo "Grothendieck, il genio che creava la matematica"!
Ebbene preparatevi a una lettura intensa e davvero interessante sulla vita e le ricerche del geniale matematico tedesco naturalizzato francese Alexander Grothendieck, deceduto ormai da 2 mesi.
Perché un contributo su Grothendieck risulta attinente col tema del presente Carnevale?
Innanzitutto perché durante i suoi anni da studente

"Lavorando da solo, riscoprì, non ancora ventenne, la misura di Lebesgue...Su consiglio di Cartan e André Weil, si trasferì all'Università di Nancy dove scrisse la sua tesi di dottorato in analisi funzionale."

Ma soprattutto perché Grothendieck ha operato un approccio unificatore alla matematica, rivoluzionandola letteralmente! Come infatti scrisse Luc Illusie:

"Ha avuto una visione di armonia globale. Il suo obiettivo era quello di trovare "il fermento universale", l'unità profonda della matematica, passando per gradi."


Il poliedrico Spartaco Mencaroni, medico di direzione ospedaliera, ma allo stesso tempo straordinario scrittore, sempre ricco di inventiva, ci invia dal suo blog Il Coniglio Mannaro un contributo che "tenta di essere a tema": "L'insostenibile incompletezza (e le margherite)". Infatti il racconto è una surreale interpretazione, in chiave floreale, del secolare confronto fra determinismo e libero arbitrio; senza pretesa di troppa verosimiglianza, la storiella fa l'occhiolino ad alcuni aspetti della meccanica quantistica e ai teoremi di incompletezza di Kurt Gödel (che pur essendo stato più un logico matematico che un analista, con i suddetti teoremi ha scosso le fondamenta dell'intera matematica!)...povere margherite! Come riporta Wikipedia:

"[Il secondo teorema di incompletezza] ebbe effetti devastanti in quell'approccio filosofico alla matematica noto come programma di Hilbert. David Hilbert riteneva che la coerenza di sistemi formali complessi, come ad esempio quello dell'analisi matematica sul campo dei reali, potesse essere dimostrata scomponendo il sistema in sistemi più semplici. In questo modo, il problema della coerenza di tutta la matematica si sarebbe potuto ricondurre alla coerenza dell'aritmetica elementare. Il secondo teorema di incompletezza di Gödel mostra che, dato che nemmeno un sistema particolarmente semplice come quello dell'aritmetica elementare può essere utilizzato per provare la propria stessa coerenza, così, a maggior ragione, esso non può essere utilizzato per dimostrare la coerenza di sistemi più potenti."

Eccovi giusto un assaggino del bel racconto:

"Un cielo limpido, screziato di rosa, era teso fra le cime delle montagne e incastonava lo splendore immacolato della neve. Il sole risaliva il fondovalle, in un silenzio maestoso, disegnando arabeschi dorati sul prato fiorito: per terra il vento intrecciava luci ed ombre al dondolio delle fronde, portando da lontano dolci profumi e piccole nuvole.

Quando l’alba la raggiunse, illuminandole i petali curvati dalla rugiada, lei rilassò le corolle e aprì i pistilli all’aurora, che risvegliava l’energia della vita. Benedisse il giorno caldo d’estate e si preparò ad attendere il volo delle piccole sorelle, lasciando uscire copiosi getti di nettare viscoso. Pregustò la sensazione di piacere che le avrebbero dato succhiandolo, e sentì la linfa formicolare lungo il gambo: era felice fino alle radici. Il calore aumentava e lei espanse le proprie sensazioni intorno alla sua zolla, sondando le altre piante del prato. Percepiva ovunque euforia e gioia: allegri messaggi chimici scianavano nell’aria, intrecciandosi alle rotte degli insetti, e diffondevano una serena sinfonia di prosperità e speranza: ovunque la vita fioriva, libera e meravigliosa.

 Con quello sguardo interiore che posseggono i fiori, osservò lo spettacolo delle pianticelle che, tutt’intorno, punteggiavano il piccolo pianoro alpino, ondeggiando alla brezza, un richiamo di irresistibile seduzione. Aveva da poco imparato a percepire anche sé stessa, la struttura del suo corpo, visualizzandola così come doveva apparire, ad esempio, alle api che suggevano le sue delizie: ammirò così un gruppo di otto splendide margherite, dalle corolle invitanti e succose, ciascuna coronata da tredici petali eleganti. Un turbine di potenziali d’azione percorse le delicate connessioni cellulari e una vibrazione coerente si generò nel medium elettrolitico dello spazio fra le loro pareti, assumendo la forma di un’onda-pensiero; questa, anziché annullarsi, prese forza e consistenza, fu ripresa e amplificata dagli appositi organuli e si diffuse lungo le emanazioni del campo elettromagnetico che irradiava dalla piccola pianta.

I miei fiori hanno tutti lo stesso numero di petali."

Ora terminate la lettura sul blog di Spartaco o lascerò che il Coniglio vi divori durante la prossima notte di luna piena! 
Uh aspettate un attimo, il Coniglio è ancora a lavoro. Ci fa pervenire infatti un bizzarro post, denominato "Perché la matematica può salvarci la vita", il cui collegamento con il tema dell'analisi matematica forse è un po' collaterale, ma può essere visto come un'analisi della discussione intorno alla scienza in generale (e matematica in particolare) e del suo contributo nell'attività medica. Prendendo spunto da un episodio di poco conto (del materiale didattico del Ministero), Spartaco cerca di rispondere ad alcune domande relative alla cultura scientifica in sanità, senza pensare al maiale! (capirete leggendo il post). Ve ne riporto un "assaggio":

"Oggi mi sono imbattuto in un documento che ha, a modo suo, fornito un certo tipo di risposta a queste domande. 

Si tratta del materiale didattico di un corso di formazione, messo a disposizione dalle istituzioni sanitarie centrali del nostro Paese nel lodevole intento di offrire della didattica gratuita, di buon livello, piena di contenuti verificati e di valore (no, non sono ironico. Non starete ancora pensando al maiale, vero?).

All'interno di questo eccellente materiale di studio, in un punto in cui si descrive uno dei percorsi diagnostici di cui parlavamo prima, si legge più o meno quanto segue riguardo all'analisi dei sintomi del paziente:

- Se si riscontra il dato "A", c'è il 40% di essere in presenza della malattia "X"

- Se si riscontro il dato "B", c'è di nuovo il 40% di essere in presenza della malattia "X"

- Il dato "C" dà il 20% di probabilità di trovarsi in presenza della malattia "X".

A questo punto, conclude trionfalmente il manuale in questione, se entrambe le prime ipotesi precedenti risultano vere, la probabilità passa all’80%. E se il sintomo descritto dal paziente soddisfa tutte e tre queste caratteristiche, la probabilità che la malattia sia "X" diventa quasi del 100%.

Ora, il lettore attento, quello che non riesce a togliersi dalla mente il maiale, si starà senz'altro chiedendo... perché quel "quasi"?"

La risposta soltanto sul blog Il Coniglio Mannaro! 


La prossima partecipante è Annalisa Santi, che nel suo blog Matetango cerca di conciliare 2 sue grandi passioni: la matematica e il tango! Per questo Carnevale presenta un bellissimo contributo, intitolato "Leibniz...dal calcolo infinitesimale all'angelologia", che ha come protagonista uno dei padri dell'analisi matematica. Tuttavia, non è tanto l'enorme mole di contributi matematici di Leibniz a venir analizzata nell'articolo di Annalisa, quanto un aspetto meno noto come l'interesse di costui nei confronti di ambiti quali l'angelologia. Infatti, riportando un piccolo frammento dal contributo:

"Leibniz non si può ritenere certo un seguace o sostenitore dell'esoterismo degli Angeli, ma anche lui ha sicuramente contribuito alla divulgazione di teorie "angeliche" che, riprese in periodi storici successivi, fine settecento/ottocento con il fiorire della massoneria (legata alle tradizioni segrete ebraiche) e periodicamente fino ai giorni nostri, trovano sostenitori, divulgatori e "credenti", in alternativa alle concezioni astrologiche."

Con un elegante passo di danza, dirigetevi subito su Matetango, se non volete attirarvi le maledizioni di Leibniz dall'oltretomba!

Dioniso Dionisi, dal blog Pitagora e Dintorni, ci fa pervenire un contributo, di carattere storico, non proprio a tema, ma che sicuramente tratta un argomento cardine per il successivo sviluppo dell'analisi: la trigonometria. In particolare, il periodo storico analizzato è quello del Rinascimento e i protagonisti sono un certo Copernico (sì quello che nel 1543, in punto di morte, ha pubblicato l'eretico modello eliocentrico dell'Universo) e il suo discepolo Rheticus. Non a caso l'interessante post è intitolato "Il Rinascimento: Copernico, Rheticus e la trigonometria - Numeri e Geometria attraverso la storia". Beh, che state aspettando? Non vorrete far attendere anche Pitagora? Sapete bene dal precedente Carnevale che è piuttosto irascibile!


Anche Roberto Zanasi, aka Zar, autore del blog Gli Studenti di Oggi, ci presenta una serie di contributi apparentemente non a tema, eppure si parla di misteriose cacce al tesoro, vettori e numeri complessi (anch'essi fondamentali in analisi, dato che c'è un'intera sottobranca dell'analisi matematica che si chiama analisi complessa e applica le tecniche del calcolo infinitesimale ai numeri complessi). Ma andiamo per ordine, non vorrei creare caos come il battito d'ali di una farfalla! Nell'edizione precedente del Carnevale, Roberto ci aveva appunto presentato "Il problema del tesoro nascosto di Gamow risolto senza parole". Per il presente Carnevale ha quindi preparato ben 3 deliziosi post in cui spiega nel dettaglio gli strumenti matematici utili alla risoluzione del suddetto problema.

1) Il post "Complesse rotazioni" è una straordinaria e chiarissima introduzione ai numeri complessi, sempre nel tipico stile di Zar, ossia sotto forma di un immaginario dialogo tra un professore di matematica e un suo studente. Ne riporto uno stralcio:

"“Definiamo quindi un nuovo numero che chiamiamo i e che ha questa proprietà: ruota i segmenti di 90 gradi in senso antiorario. O, se vogliamo stare fuori dalla geometria, tale che il suo quadrato sia uguale a −1”.

“Un numero che non esiste”.

“Se vuoi. Adesso comunque esiste”.

“E perché proprio i?”.

“Iniziale di immaginario”.

“Mi prendi in giro?”.

“No, no, è proprio così che lo chiamano i Veri Matematici. Questo i è l'unità immaginaria”.

“Come unità? Vuoi dire che ce ne sono altri?”.

“Ovviamente. Cosa ci impedisce di fare i + i?”.

“Che farebbe 2i?”.

“Già. O anche i + 1”.

“E quanto fa?”.

“i + 1”.

“Continuo a pensare che tu mi stia prendendo in giro”."

2) Il post "Tre aspetti complessi" ci va a spiegare come i numeri complessi possano essere usati in ben 3 modi diversi. Ecco un breve passo anche da questo contributo:

"All'inizio ti avevo detto che i numeri complessi possiamo vederli in tre modi diversi, ti ricordi?”.

“Sì”.

“Eccoli qua, i tre modi: i numeri complessi sono punti del piano, ma sono anche vettori, e sono pure quozienti”.

“E questa confusione è utile?”.

“Certo, e non è una confusione. È una specie di magia, le cose funzionano benissimo, tutto combacia, si ha proprio la sensazione che sia giusto così”.

“Uhm”."

3) Il post "Caccia al tesoro" fornisce finalmente la soluzione al problema! Riporto un simpatico frammento anche da questo post:

"“Facciamo come fanno i Veri Matematici: mettiamo la forca in un generico punto del piano”.  

“Ma se non sappiamo dov'è?”.  

“Per questo è generico, no?”.  
“Uhm”.  

“Usando i numeri complessi, la posizione della forca è identificata dal numero complesso Γ”.  

“Perché proprio una gamma maiuscola?”.  
“Perché ha la forma di una forca”.  

“…”.  

“Non mi puntinare^[1], anche Gamow nel suo libro fa così”.  

“Spiritosissimo”."


Gianluigi Filippelli, altro volto noto non solo del Carnevale della Matematica, ma anche dei Carnevali scientifici in generale (è peraltro ideatore del (non) Carnevale della Fisica), contribuisce alla presente kermesse, dal suo blog DropSea, con una recensione/biografia dal titolo "The Imitation Game: quando il cinema manca di coraggio". Dal 1° gennaio è stato infatti distribuito nei cinema italiani il suddetto film che tratta le vicende del grandissimo matematico Alan Turing, padre dell'informatica. Un film ben fatto sotto certi aspetti, ma che presenta difetti e incongrunze storiche,  le quali inficiano sulla qualità complessiva. Gianluigi fa infatti notare che:

"Cumberbatch è sicuramente un bravissimo attore, ma, seguendo la sceneggiatura, drammatizza eccessivamente una figura in cui i nodi drammatici sono probabilmente concentrati nell'inizio e nella conclusione della sua vita. In questo punto il film decide di non mostrare il suicidio di Turing, menzionato con delle didascalie nella scena finale.
Sia questa mancanza, sia l'assenza di una rappresentazione più coerente della diversità, anche sessuale, di Alan Turing, lasciata al massimo alla voce di Joan Clarke durante un litigio quasi sicuramente inesistente, mostra infine uno scarso coraggio da parte degli sceneggiatori, che evidentemente temevano di realizzare, alla fine, uno spot a favore della diversità."

Ma attenzione, il suddetto post non risulta interessante solo per chi abbia visionato tale pellicola e voglia avere chiari quali aspetti del film non rispecchiano la reale storia di Alan Turing. Il contributo ci fornisce infatti, nella sua parte conclusiva, una breve biografia sulla personalità femminile (interpretata da Keira Knightley) coprotagonista del film: Joan Clarke.












  
Dopo Grothendieck, Gödel, Leibniz, Copernico e Turing, eccovi altri 5 grandi scienziati/matematici...tutti in un singolo post! EH? Ebbene sì Mauro Merlotti, curatore del blog Zibaldone Scientifico, ci parla dei "4 Lorenz e 1 Lorentz". Detta così può sembrare un gioco di parole, ma il post è appunto una breve ma lucida analisi dei contributi di 5 grandi scienziati:

In particolare, quest'ultimo è stato il pioniere della teoria del caos e introdusse un "sistema di equazioni differenziali a bassa dimensionalità in grado di generare un comportamento complesso": l'attrattore di Lorenz.
Se volete scoprire meglio chi erano i vari Lorenz (e Lorentz) citati, non vi resta che recarvi presso lo Zibaldone!

 













Rullo di tamburi, squilli di tromba: è il momento dei mitici Rudi Matematici, dall'omonimo blog. Non posso non aprire la segnalazione dei loro contributi con un capolavoro dedicato a quell'alieno di John von Neumann, che già a 8 anni conosceva gli strumenti basilari dell'analisi matematica! L'incipit del lungo articolo, intitolato "28 dicembre 1903 - Buon Compleanno, John!", ci introduce alle particolarità del secolo passato: il Novecento. I Rudi evidenziano che:

"sembra davvero impresa impossibile riuscire a trovare un personaggio capace di rappresentare, di portare con sé tutte le folli caratteristiche e le devastanti contraddizioni del Novecento....Però possiamo avere delle ottime approssimazioni. La città di Budapest sembra essere un manifesto a favore della complessità, o quantomeno della “molteplicità”: è formata infatti dall’unione di tre città diverse, Buda e Obuda sulla riva destra e occidentale del Danubio, e Pest, situata invece sulla riva sinistra. E il Danubio stesso, in queste zone, sembra intenzionato a contraddire se stesso, visto che nell’immaginario degli Europei esso è il grande fiume che nasce ad Ovest per morire ad Est; ma in terra ungherese è una netta cesura azzurra e verticale che scende perfettamente da Nord verso Sud. L’attuale capitale d’Ungheria all’inizio del ventesimo secolo era una capitale condivisa, una delle due teste del bicipite regno austro-ungarico, nato nel 1867 dal “Compromesso”, che è la usuale traduzione del termine tedesco “Ausgleich” (e dell’ungherese “Kiegyezès”) con il quale è indicata la riforma costituzionale che trasformò l’Impero d’Austria nel complicato impero-regno austro-ungarico. Nell’Ottocento, Napoleone e soprattutto la Prussia tolgono all’Austria ogni residua speranza di diventare la nazione guida delle nazioni germaniche, ed è per questo che Vienna si rivolge ad Oriente, e celebra le nozze con l’Ungheria. Budapest assurge quindi al rango di capitale imperiale, anche se, fuori dall’ufficialità, sembra restare sempre mezzo passo indietro rispetto a Vienna; è infatti il lato orientale di una potenza che voleva essere occidentale, è la testa di ponte verso le terre slave e balcaniche di un impero che sognava d’unire sotto gli Asburgo le nazioni settentrionali ed europee di Germania. Ma quasi tutte queste tensioni di fine Ottocento si scioglieranno da sole, con il fluire del nuovo secolo, sotto il calor bianco di altre e ben più drammatiche tensioni. Ma nel 1903, la modernità del ventesimo secolo era ancora invisibile e imprevedibile, specie da una città come Budapest. Ed è in questa splendida e controversa città, proprio all’inizio di questo splendido e controverso secolo, che nasce Jànos (detto Jancsi) Neumann il 28 dicembre 1903, da una famiglia ungherese assai benestante di origine ebrea."

Egli non ebbe un "normale" percorso universitario, dato che:

"Per non farsi mancare nulla, né il dovere né il piacere, Jancsi frequenta in contemporanea le Università di Berlino e di Budapest e, per non rimanere troppo sfaccendato, anche il celeberrimo ETH di Zurigo. Ottiene la laurea in ingegneria chimica e il dottorato in matematica quando è ancora ventitreenne."

Contributi alla matematica di von Neumann? I Rudi ce ne snocciolano alcuni:

"La sua tesi di dottorato completa il processo dell’assiomatizzazione della Teoria degli Insiemi. In altri termini, completa il lavoro di Zermelo e di Fraenkel che avevano cercato di risolvere la crisi del settore iniziata da Bertrand Russell con il suo celebre paradosso, ottenendo risultati interessanti per la teoria delle misure e delle variabili reali. Pochi anni dopo, nel 1930, von Neumann è forse il primo a comprendere pienamente le conseguenze del Primo Teorema di Gödel, al punto che nel giro di qualche settimana scrive al logico per raccontargli come sia giunto ad elaborare, sulle basi del suo teorema, delle conseguenze che implicano una sorta di connaturata inconsistenza dei sistemi assiomatici. Quello cui allude è sostanzialmente il secondo (e più famoso) Teorema di Incompletezza di Gödel, che mantiene questo nome solo perché comunque il logico di Brno era già giunto ad elaborarlo per proprio conto, prima che von Neumann gli segnalasse l’implicazione. Basta, per la matematica? No, forse no: in fondo questa è soprattutto logica, disciplina consorella e fondatrice, ma non proprio matematica. Allora, forse è meglio considerare la teoria dei gruppi e la topologia, che devono al suo lavoro degli anni Trenta i loro fondamenti e la loro rapida evoluzione: già nel ’29 Jànos introduce le algebre auto-coniugate di operatori lineari limitati su uno spazio di Hilbert: forse per semplificarne la denominazione, da allora vennero chiamate W*-algebre o anche più esplicitamente “algebre di von Neumann”"

Stop alle anticipazioni, recatevi sul blog dei Rudi Matematici e prendetevi un po' di tempo per leggere con calma questa perla divulgativa.
Letto? Bene, passiamo ad un'altra portata segnalata dai Rudi: il post "To Three, and BEYOND!".
Esso descrive come si calcolano le radici a mano con vari metodi, l'incubo di ogni scolaro insomma! Ne riporto un breve passo:

"Oeu, ma allora come si calcola la radice quadrata?

Se proprio dovete farla a mano, il mio consiglio (posto che non vogliate usare il metodo delle frazioni continue di cui abbiamo già parlato) è di usare una cosina un po’ vecchiotta (risale ai Babilonesi, credo, anche se il buon Neugebauer non sembra molto convinto):

Per calcolare √N:

1. Prendete

2. Iterate:

Il motivo mi sembra abbastanza chiaro: i e quella che voi calcolate è la media aritmetica tra le due grandezze.

"E funziona?" Compito per le vacanze facile-facile: dimostrare (alla maestra) che si fatica meno...

Secondo alcuni, questa espressione deriva dalla forma:

[1]

E qui la parentela con le frazioni continue è qualcosa di più di un sospetto.

Si sa per certo che questa formula la conoscevano già i Greci, anche se non è sicuro come ci siano arrivati; a noi, comunque, basta notare che se è , allora la tesi è q → √N + k. Ma allora (q – k)² = N e quindi q² – 2kq – (N – k²) = 0 . Da cui, la sequenza s₀ = 1, s₁ = q, …, s_k = q^k soddisfa la prima delle [1]."

È ora il turno di un'altra banda di matematti, i MaddMaths!. Tramite Roberto Natalini, Direttore dell'Istituto per le Applicazioni del Calcolo del CNR, ci vengono segnalati infatti:

1) "Incontro con Roberto Natalini al Palazzo delle Esposizioni - I numeri del traffico (video)": In occasione della mostra "Numeri. Tutto quello che conta da zero all'infinito", curata da Claudio Bartocci e con il coordinamento scientifico di Luigi Civalleri, che si tiene in questi mesi a Roma presso i Palazzo delle Esposizioni, ha avuto luogo una serie di conferenze, denominate "Incontri con i numeri". Il post presenta un video, della durata di 54 minuti circa, della conferenza tenuta da Roberto sul ruolo fondamentale che gli strumenti matematici (compresi quelli dell'analisi) giocano nel cercare di comprendere meglio la complessità e la regolarità del traffico. Contributo che dunque centra in pieno la parte "Applicazioni" del tema portante del nostro Carnevale.

2) Il post "Tutto sotto controllo: intervista con Emmanuel Trélat" è appunto un'intervista compiuta da Roberto Natalini al matematico (specialista della teoria del controllo) vincitore, nel 2010, del premio Felix Klein dell'EMS, per i suoi studi sul controllo delle traiettorie dei vettori Ariane. In particolare, riportando un piccolo "assaggio" dell'intervista:

"Il contributo per cui sono stato premiato è un problema su cui ho lavorato in collaborazione con l'industria EADS, che recentemente è diventata Airbus Defence and Space, e nello specifico ho lavorato sul problema dei razzi vettori Ariane, Ariane 5, e in prospettiva Ariane 6: si trattava di realizzare per loro un codice numerico capace di calcolare in modo automatico e istantaneo la traiettoria ottimale di un razzo vettore per passare da un'orbita iniziale qualunque a una qualsiasi altra orbita finale desiderata, cercando di minimizzare il consumo di carburante."

3) un post di Emiliano Cristiani in cui si parla nientemeno che di stampanti 3D e matematica: "Madd-Spot #6, 2014 - Stampanti 3D: una nuova sfida per la modellistica matematica". Ne riporto un significativo passo:

"Stampare solidi "pieni" spesso non è conveniente perché richiede l'uso di una grande quantità di materiale. La matematica offre degli strumenti potentissimi per ottimizzare le forme. È sufficiente specificare il criterio rispetto al quale si vuole ottimizzare la forma di un oggetto e applicare uno dei tanti algoritmi esistenti che calcolano la forma ottimale sotto i vincoli voluti. I metodi di ottimizzazione di forme possono essere usati per "scavare" dall'interno il solido in modo intelligente, così da mantenere la rigidità desiderata e la stampabilità dell'oggetto ma allo stesso tempo minimizzare la quantità di materiale impiegato."

Beh, ancora qui? I MaddMaths! vi aspettano impazienti.


Dopo Annarita e Annalisa, ecco la terza presenza femminile del Carnevale. Marta Saponaro, autrice del blog LETTORENONPERCASO, ci presenta infatti la maestosa figura di Pitagora, ma da una prospettiva originalissima e inaspettata: il post si intitola infatti "Pitagora, il padre dei vegetariani". Ebbene sì, come fa notare Marta:

"Pitagora era solito affermare che solo gli uomini volgari placano il loro ventre uccidendo altre creature.

Si rivolgeva ai suoi amici affermando che: "ci sono campi di frumento, mele così abbondanti da piegare i rami degli alberi, uva che riempie le vigne, erbe gustose e verdure da cuocere, c'è il latte ed il miele odoroso di timo; la terra offre una gran quantità di ricchezze, che non provoca spargimento di sangue né morte". Il suo menù comprendeva a colazione pane e miele, verdura cruda alla sera. Quando incontrava i pescatori li pagava a patto che ributtassero in mare i pesci appena pescati.

Eudosso racconta che non solo non si cibava di carne ma non si avvicinava neppure ai macellai e ai cacciatori. Secondo Pitagora era possibile avvicinarsi a Dio mediante le pratiche rituali e se ci si asteneva dal cibarsi di carne e dall'uccidere altri esseri viventi. Ispirò nel vegetarismo molti altri personaggi nell'arco dei tempi come Plutarco, Ovidio, Seneca, Leonardo da Vinci, Shelley, Wagner, Tolstoi, Platone, Aristotele, Porfirio, Epicuro, Lambicco e Proclo."

Non perdetevi per nessun motivo questo interessantissimo contributo!


Il sottoscritto, Leonardo Petrillo, qui su Scienza e Musica, ha pubblicato un post intitolato "Legendre e la sua trasformata". Trattasi di un articolo che si prefigge di spiegare in maniera chiara il concetto di trasformata di Legendre, assai utile in campo fisico. Prima della trattazione matematica, viene però ripercorsa brevemente la vita dell'ideatore della trasformata: Adrien-Marie Legendre. Ne riporto l'incipit:

"Adrien-Marie Legendre fu uno dei più importanti discepoli di Eulero e Lagrange.
È particolarmente noto per alcuni contributi matematici che portano il suo nome, come i polinomi di Legendre, l'equazione di Legendre e la costante di Legendre.
Tuttavia in questo post focalizzeremo la nostra attenzione sull'importante procedimento matematico noto come trasformata di Legendre. Cercheremo di presentarla nel modo più semplice e chiaro possibile, ma prima compiremo un breve excursus andando a scoprire la vita di questo straordinario matematico francese. Legendre nacque a Parigi il 18 settembre 1752.
La sua famiglia era benestante e ciò gli garantì la migliore educazione possibile in fisica e matematica al Collège Mazarin di Parigi.
Nel 1770, all'età di 18 anni, difese la sua tesi al suddetto collegio, ma più che una vera tesi completa come la intendiamo oggi, si trattava di un piano che andava a indicare i futuri studi che avrebbe compiuto e i risultati che si era prefissato di mostrare."

Per saperne di più, leggete questo contributo che racchiude in sé tutte le sfaccettature del tema della presente kermesse.

Ecco il primo momento musicale: Consolazione n.3 di Liszt, eseguito dalla straordinaria Valentina Lisitsa.



EXTRA MOENIA:


Andrea di Science4Fun ci invia il contributo intitolato "Quanti ovetti scartare per finire la collezione?". Il post (con video annesso) si propone di fare "un esperimento al sapore di cioccolato, per capire al meglio la probabilità". In particolare, ci si chiede quanti ovetti Kinder natalizi serviranno per finire una collezione completa (basteranno 72?). "Questo problema viene chiamato tipicamente “Coupon collector’s problem” e descrive la dinamica probabilistica che deve affrontare ogni collezionista". Insomma un post gustoso ma molto interessante allo stesso tempo!


Dal Tamburo Riparato, il blog collaborativo dove il motto è "se non ti diverte, perché lo fai?", Juhan van Juhan (autore peraltro nei blog di ambito informatico OK, Panico e The Secrets of Ubuntu) ci segnala nel post "Tutti mathematti con MathPapa", illustrandoci 2 esempi, un recentissimo calcolatore algebrico molto interessante, MathPapa appunto. Andatelo a provare, facendo un salto sul simpatico Tamburo!

Continua a permanere nell'aria il suono di tamburi e squilli di tromba.



No, non è il principe Giovanni ad avvicinarsi, bensì i Rudi Matematici, che ritornano nella nostra sfilata matematica con un'ulteriore sfilza di contributi:

-  "Quick & Dirty - Solo quattro carte": uscito in corrispondenza del precedente Carnevale, ha fatto divertire i lettori dei Rudi per settimane con la probabilità.

-  "Quick & Dirty - Stabilità Poliedrica": per vedere se qualcuno riesce ad inventare il moto perpetuo (per il momento non c'è ancora riuscito nessuno, ma non si sa mai...)

-  "Il problema di dicembre (556) - (più o) Meno Tasse per Tutti": come ogni mese ecco la soluzione del classico problema proposto sulla rivista Le Scienze. Il testo del problema recitava così:

"Supponiamo di avere una popolazione di n individui, allineati in riga, in ordine di codice fiscale. La tassa si applica non sul reddito, ma sul capitale, e ogni contribuente paga la tassa non sul proprio suo capitale, ma pari al 100% di quello del tizio che lo precede nella fila. Se il vicino è più ricco, ci si indebita. Il primo della fila paga zero. Se il precedente è indebitato, per coerenza, si pagherà una tassa negativa: cioè lo Stato paga il contribuente (successivo). I nostri contribuenti hanno capitali vari, ci sono spiantati senza un euro e indebitati a capitale negativo. Sappiamo che il primo della fila, Aaron Aalto, ha solo un euro, e che i quattro alla fine della fila sono a zero. Presumendo che non ci siano transazioni finanziarie a parte quelle connesse alle tasse, nessun guadagno o perdita, nessuna nascita o morte, nessun cambiamento di posto o espatri e che dopo quattro anni virtuali, oltre ad Aaron Alto solo quattro persone abbiano ancora un capitale diverso da zero, detta "zeresima" la posizione di Aaron, i quattro superstiti con non-zero capitale si trovano nelle posizioni q, r, s, t. Quanto ha incamerato lo Stato in questi quattro anni?" 

Vedete, in fondo l'entrata del principe Giovanni ci sta proprio bene in questa parte del Carnevale (si parla di tasse XD).
Ah i Rudi ci segnalano inoltre che è uscito il loro mitico Calendario, disponibile anche in versione inglese e, se il Calendario non vi dovesse bastare, è online anche il numero 199 della rivista Rudi Mathematici, 32 pagine di prelibatezze matematiche!


Riecco i MaddMaths! con altri 2 ottimi contributi più una sorpresina:

1) Corrado Mascia, nel contributo dal titolo "I come Impacchettamento", ci spiega, facendoci compiere un viaggio nel bel mezzo di reticoli di Leech e congettura di Keplero (dimostrata recentemente), come riporre ordinatamente le palle di Natale, che abbiamo utilizzato per addobbare l'albero, nella scatola. Ecco uno stralcio dal contributo:

"In matematica, il problema dell’impacchettamento consiste nello stabilire una configurazione per inserire una classe di oggetti (non deformabili e non compenetrabili) all’interno di un contenitore, rispettando un qualche criterio di ottimalità. Ad esempio, minimizzare gli spazi vuoti, per utilizzare più spazio possibile. In tal caso, il valore che misura la bontà di una configurazione è la sua densità, cioè il rapporto tra il volume occupato dagli oggetti ed il volume totale del contenitore. Più grande è la densità, migliore è la configurazione. Se il contenitore è di area infinita, si è soliti considerare la densità media, ottenuta come limite di densità su una famiglia di contenitori limitati che approssimano l’eccessivo contenitore originale."

Le feste sono terminate, è tempo di rimettere in ordine le palle seguendo i consigli dell'autore! ;)

2) Qualche settimana fa il sito Phys.Org ha pubblicato un interessante articolo, "Quantum physics just got less complicated" in cui si adombrava una sorta di 'semplificazione' del complesso mondo della fisica quantistica. I MaddMaths! hanno dunque chiesto un commento a riguardo, riportato nel post "Il principio di indeterminazione e il dualismo onda-corpuscolo", al professor Claudio Dappiaggi, dell'Università di Pavia. Ecco l'incipit del contributo:

"Il XX secolo verrà ricordato per la formulazione di diverse, nuove e rivoluzionarie teorie fisiche. Fra queste, sicuramente va annoverata la meccanica quantistica che, assieme alla relatività generale, ha cambiato radicalmente il nostro modo di comprendere la realtà così come viene osservata. Due dei concetti fondamentali alla base di questa teoria, la cui formulazione matematicamente rigorosa è stata sviluppata a metà del secolo scorso,  sono da un lato il principio di indeterminazione, ossia l'impossibilità di effettuare una misura infinitamente precisa e simultanea di alcune grandezze osservabili (per esempio la posizione e l'impulso di una particella) e dall'altro il cosiddetto dualismo onda-corpuscolo. Quest'ultimo asserisce che una particella, per esempio un elettrone, descritta nell'ambito della meccanica quantistica ha un comportamento consistente in parte con quello di un'onda che si propaga e in parte con quello di un oggetto corpuscolare, che obbedisce alle leggi della meccanica classica."

E la sorpresina? Voilà: l'Almanacco MaddMaths! 2014, una selezione (in formato pdf) degli articoli che hanno avuto maggior successo durante l'anno appena trascorso, la quale consentirà una più agevole lettura offline (è possibile addirittura stamparlo su carta!).


Che Carnevale della Matematica sarebbe senza il suo papà, Maurizio Codogno, alias .mau.? Ecco allora una carrellata di contributi provenienti dai suoi 2 blog: Notiziole di .mau. e il Post.
Dalle Notiziole ci fa pervenire:

• quizzini della domenica:

- "Pulsanti": quesito relativo a una tavola 4×4 con 16 pulsanti illuminati in 2 colorazioni diverse.

 - "Altezze": semplice problemino geometrico sulle altezze.

- "Lettere": l'alfabeto viene riorganizzato secondo una regola da scoprire

• giochi:

 - "Gioco per Capodanno: Just Get 10": parla di un gioco che presenta delle somiglianze con 2048.

• recensioni:

- "Mathematical Puzzles for the Connoisseur_(libro)": recensione di un libro di giochi matematici datato 1962 (come è cambiata la concezione di gioco matematico!).

- "Winning Solutions_(libro)": libro descrivente tecniche per primeggiare alle Olimpiadi di Matematica, tuttavia un po' confusionarie, a detta di .mau.

 Dal Post invece arrivano i seguenti contributi:

- "Problemini per Natale 2014" tratti dall'appena citato Mathematical Puzzles for the Connoisseur di P.M.H. Kendall e G.M. Thomas.

- relative "Risposte ai problemini di Natale 2014".

- "Il computer che vince a poker [pillole]" è un commento alla recente notizia pubblicata su Nature.


Paolo Alessandrini, dal blog Mr. Palomar, ci invia un bellissimo post che continua la lunga serie dedicata ai premi Turing. L'articolo in questione, dal titolo "I premi Turing: Donald Knuth", ci introduce in modo chiaro la figura del padre della teoria degli algoritmi e dell'analisi rigorosa della complessità computazionale. Ecco un significativo frammento del post:

"Knuth è noto anche per avere creato il sistema tipografico TeX, adatto alla composizione di testi matematici e scientifici. Da questo sistema, Leslie Lamport,  vincitore del premio Turing nel 2013, derivò il popolare linguaggio di markup LaTeX...al si là dei suoi risultati nell'ambito della ricerca informatica, Donald Knuth è celebre per la sua poliedricità, per il suo umorismo e per certe scelte per così dire bizzarre."

Se siete curiosi di saperne di più su questo eclettico informatico e matematico, recarvi sul blog Mr. Palomar potrà colmare la vostra sete di conoscenza!

Arriva il secondo momento musicale: un altro incredibile pianista, Alexander Lonquich, nella Fantasia K 475 di Mozart:



Ed eccoci ai "titoli di coda" del Carnevale!
Come sempre, è stato un grande piacere per me poter ospitare questo straordinario evento.
Spero di esser stato all'altezza del compito!
Mi auguro inoltre che abbiate gradito questa "immersione" nel mondo dell'analisi matematica - e della matematica in generale - e che magari abbiate appreso qualcosa che non conoscevate prima!
Ringrazio tutti i Carnevalisti che hanno partecipato e ci hanno donato preziose e variegate perle di matematica.
Ultimo doveroso ringraziamento va a ogni singolo lettore che si fermerà a leggere ed entrare in contatto con le meraviglie della matematica qui allestite.
Riporto un elenco sinottico dei partecipanti:

Annarita Ruberto
Spartaco Mencaroni
Annalisa Santi
Dioniso Dionisi
Roberto Zanasi
Gianluigi Filippelli
Mauro Merlotti
Rudi Matematici
Roberto Natalini
Emiliano Cristiani
Marta Saponaro
Andrea di Science4Fun
Juhan van Juhan
Corrado Mascia
Claudio Dappiaggi
Maurizio Codogno
Paolo Alessandrini
Leonardo Petrillo

Ecco i numeri di questa edizione: 18 partecipanti, 34 contributi + sorpresine varie!
Signore e signori, è giunto il momento di calare il sipario!
Un'ultimissima segnalazione: l'edizione n.82 del Carnevale sarà affidata nelle mani dei superlativi Rudi Matematici.
Arrivederci al prossimo Carnevale! Goodbye!