LA SUBLIME SEZIONE AUREA

Esistono moltitudini di costanti matematiche, alcune molto famose, come pi greco e il numero di Nepero, altre poco conosciute, come la costante di Landau-Ramanujan.
In tutto questo oceano di costanti, probabilmente la più suggestiva è rappresentata dal numero aureo, chiamato anche sezione aurea, rapporto aureo o, addirittura, proporzione divina.
Lo scopo di questo post è proprio compiere una piccola analisi a 360 gradi di questo particolare numero.
Per comprendere qual è il valore del numero a cui stiamo alludendo, incominciamo immaginando un foglio di carta A4, le cui dimensioni sono 210 mm (lato minore) per 297 mm (lato maggiore).
Se ora facciamo il rapporto tra la lunghezza e la larghezza del suddetto foglio, otteniamo:




Questo numero (che non è altro che l'approssimazione della radice quadrata di 2) definisce appunto il formato internazionale A per i fogli di carta.
Un foglio di formato internazionale A e di larghezza b sarà sempre lungo:



Per quanto concerne il formato A4, come detto in precedenza, b = 210 mm, mentre (ad esempio) nel caso A5, b = 148 mm.
Questi fogli di formato internazionale A vantano una singolare peculiarità, rispetto ad un qualsivoglia foglio: piegandoli a metà si ottengono 2 rettangoli più piccoli che risultano proporzionali a quello di partenza, ovvero 2 versioni in miniatura del rettangolo iniziale.
Ad esempio, piegando a metà un foglio A4 si ottengono 2 fogli A5, ognuno dei quali può essere a sua volta suddiviso in modo da generare 2 fogli A6.
In particolare, la larghezza del rettangolo di partenza diviene lunghezza dei rettangoli ottenuti con la suddivisione a metà del foglio.
Questa è l'immagine illustrante tale particolare:

I lettori forse si staranno chiedendo come si faceva a sapere, a priori, che il numero 1,4142 avrebbe funzionato ottimamente.
Allora ragioniamo in questi termini: immaginiamo di piegare in 2 un rettangolo, tuttavia supponendo che questa volta non ne conosciamo la lunghezza, la quale è dunque un'incognita x.
Se ammettiamo (per semplicità) che tale rettangolo abbia larghezza unitaria, il rapporto tra lunghezza e larghezza equivarrà a x/1.
Ora, piegandolo effettivamente a metà, il rapporto tra la lunghezza e la larghezza del rettangolo più piccolo deve essere uguale al rapporto tra la larghezza del rettangolo iniziale e metà lunghezza (sempre del rettangolo di partenza).
In simboli, abbiamo il rapporto:





Siccome i fogli di formato A hanno la peculiarità di mantenere una proporzione costante fra i 2 rapporti, si può scrivere l'equazione:




Ergo, si ottiene radice quadrata di 2, appunto approssimativamente 1,4142.
Tuttavia, per quanto strabilianti possano essere i rettangoli dei fogli di formato A, sussiste una categoria di rettangoli ancor più straordinaria, quella dei rettangoli aurei.

Immaginiamo un rettangolo che viene piegato lungo una linea in maniera tale che una delle 2 figure risultanti sia un quadrato, come si può vedere nella seguente immagine:
















La peculiarità principale del rettangolo aureo sta nel fatto che, pur non essendo frutto di una suddivisione a metà, il rettangolo più piccolo (in figura, quello indicato dalla lettera B) risulta proporzionale a quello più grande, ossia quello di partenza.
In altre parole, ciò che rimane dall'operazione di piegatura dovrebbe essere una versione in miniatura del rettangolo iniziale.
Ora, come prima, per andare a valutare la matematica alla base del rettangolo aureo, assumiamo (per semplicità) che la larghezza a del rettangolo più grande risulti unitaria e indichiamo con x la sua lunghezza.
Pure in tal caso il rapporto tra lunghezza e larghezza è pari a x/1.
La larghezza del rettangolo più piccolo, tenendo come riferimento l'immagine precedente, è invece equivalente a:



ovvero (riscrivendola sulla base della nostra incognita x):



Pertanto, per quanto concerne il rettangolo più piccolo, il rapporto tra lunghezza e larghezza è pari a:

 


Non ci resta che uguagliare i 2 rapporti ottenuti:




Il che porta alla seguente equazione di 2° grado:



Basta quindi sfruttare la celebre formula





per constatare che la soluzione positiva dell'equazione sia:

Questo è proprio il numero aureo!
È semplice notare come sia un numero irrazionale, giacché trattasi della metà della somma di 1 e della radice quadrata di 5.
Ma le eccezionali proprietà del rapporto aureo non finiscono qui.
Prendete una calcolatrice!
Fatto?
Bene, ora digitate 1,6180339887... e premete il tasto per elevarlo al quadrato.
Non notate qualcosa di stupefacente?
Dovreste aver osservato che il risultato è pari a 2.61803398...
Incredibile, vero?
Adesso un altro piccolo giochino con la calcolatrice.
Prendete la sezione aurea e calcolatene il reciproco (in parole povere, dovete fare 1 diviso il numero aureo).
Qualcuno dei lettori forse sarà rimasto per qualche secondo in questo stato:

 
















In effetti




È magia? No, è Matematica!
Le cifre dopo il punto decimale sono esattamente le stesse!
Il numero aureo è il solo numero a possedere l'incredibile peculiarità di avere un quadrato uguale a se stesso più 1, e un reciproco uguale a se stesso meno 1.
Su questo stupefacente particolare è stata scritta persino una poesia.
Infatti, Paul S. Bruckman, di Concord in California, ha pubblicato nel 1977, all'interno del periodico "The Fibonacci Quarterly", una deliziosa poesia dal titolo Media costante.
Chiamando il numero aureo "media aurea", la prima strofa recita così:

La media aurea non è affatto banale
Tutt'altra cosa che un comune irrazionale.
Capovolta, pensate un po',
Resta se stessa meno l'unità.
Se poi di uno la aumentate
Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato.

A sottolineare ulteriormente il fascino del numero aureo e, conseguentemente, del rettangolo aureo vi sono addirittura esperimenti psicologici.
Infatti, lo psicologo sperimentale tedesco Gustav Fechner (1801-1887), ispirato da un libro di Adolf Zeising, Der goldene Schnitt (La sezione aurea), cominciò una ricerca mirata a capire se il rettangolo aureo avesse effettivamente un fascino estetico-psicologico particolare.
Pubblicò i risultati dell'indagine, nel 1876, all'interno dell'opera Zur experimentalen Ästhetik (Sull'estetica sperimentale).
Nel suo esperimento, Fechner aveva mostrato una serie di rettangoli a 228 uomini e 119 donne, chiedendo loro quale fosse esteticamente più piacevole.
Costui ottenne i risultati illustrati dal seguente istogramma:

Ebbene, il 35% delle persone coinvolte nell'esperimento ha trovato più gradevole il rettangolo che aveva un rapporto tra i suoi lati pari al numero aureo.
Questo esperimento è stato ripetuto numerose volte, introducendo diverse varianti, sempre con il medesimo esito.
Ad esempio, nel 1917, Edward Lee Thorndike (1874-1949), psicologo ed educatore americano, condusse esperimenti simili, con risultati analoghi.
In generale, quello preferito dalla maggior parte degli individui era il rettangolo con le proporzioni 21:34, un rapporto che approssima il reciproco del numero aureo.
Allontanandoci dalla psicologia, possiamo dire che possedendo la formula che definisce il rapporto aureo, allora, così come per il pi greco, si può scavare sempre più in fondo alla ricerca delle sue cifre decimali.
Questo è proprio ciò che fece M. Berg nel 1966; costui, utilizzando per 20 minuti un elaboratore mainframe IBM 1401, riuscì a determinare la sequenza dei decimali sino alla 4599esima posizione (un risultato pubblicato sempre su "The Fibonacci Quarterly").
Nel dicembre dello stesso anno si arrivò perfino a determinare 10 milioni di decimali del "magico" numero.
Ma questo numero ha un particolare simbolo che lo indica, così come e rappresenta il numero di Nepero?
Certo!
In matematica, sino al sopraggiungere del XX secolo, il numero aureo era indicato con la lettera greca tau (τ), dal greco tomé, che significa "taglio", "sezione".
Oggi però il numero aureo ha un altro simbolo, di ispirazione antica ed artistica.
Infatti, all'inizio del XX secolo, il matematico americano Mark Barr introdusse l'uso della lettera greca phi (Φ) in onore del superlativo scultore Fidia (490 a.C. circa - 430 a.C. circa), famoso per le sue sculture del Partenone.

Il Partenone (letteralmente "luogo della Vergine"), tempio dedicato ad Athena Parthenos (Atena Vergine), venne innalzato, in onore alla dea protettrice, sull'acropoli (la parte elevata) di Atene.
L'edificio fu realizzato per mano degli architetti Ictino e Callicrate, mentre le straordinarie sculture sono opera appunto di Fidia e dei suoi allievi.
Inoltre, Fidia era il supervisore di tutto quanto il progetto.
Come si può notare nella seguente immagine

Fidia e i suoi colleghi avevano applicato (pure secondo l'opinione di diversi storici dell'arte) consciamente e con elevata precisione il numero aureo nella realizzazione del monumentale tempio.
Ciò spiega il motivo per cui Barr non ci ha pensato 2 volte ad indicare con phi la sezione aurea.
Comunque, la prima chiara definizione di questo straordinario rapporto si deve nientemeno che ad Euclide.
Il grande matematico greco era rimasto folgorato da un particolare rapporto di lunghezze, ottenibile semplicemente dividendo una linea secondo quella che egli denominò la sua "proporzione estrema e media".
Euclide scrisse quanto segue:

"Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l'intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore."

Ciò che descrive Euclide è chiaramente spiegato dall'immagine appena riportata.
Praticamente, data una linea, se un segmento (a) risulta medio proporzionale tra l'intera linea (a+b) e il residuo della suddivisione (b), allora la suddetta linea è stata divisa secondo la "proporzione estrema e media", cioè secondo il rapporto aureo.
In simboli, questo fatto si esprime con la seguente proporzione:



Si narra inoltre che, quando il matematico greco Ippaso di Metaponto scoprì, nel V secolo a.C., che il numero aureo non è né un numero intero, né risulta esprimibile per mezzo di una frazione di interi, tale scoperta fu un vero e proprio shock per i pitagorici!
Per essi, ricordiamo, il numero era il principio alla base dell'ordine del mondo; dunque lo scoprire che esistevano dei numeri (irrazionali) che si prolungavano indefinitamente (con le loro cifre decimali) senza un punto d'arrivo aveva scatenato una crisi filosofica.
È infatti probabile che considerassero tutto ciò (così come la scoperta della radice quadrata di 2) un segno di imperfezione cosmica, da tenere il più possibile occultata.
Alla scoperta del numero aureo seguì conseguentemente quella dell'incommensurabilità.
Ricordiamo che il numero aureo è irrazionale, ovvero non esprimibile come rapporto di interi.
2 grandezze si dicono incommensurabili proprio quando non esiste alcuna frazione in grado di esprimere il loro rapporto.
Questa sconvolgente novità viene descritta, nella Silloge delle dottrine pitagoriche (300 a.C. circa), dal filosofo e storico Giamblico, il quale asserisce:

"Dicono che il primo che divulgò la natura della commensurabilità e incommensurabilità a chi non era degno di conoscere tale teoria si attirò un tale disprezzo che non solo lo si bandì dalla vita in comune e dalle associazioni [pitagoriche], ma fu costruita la sua tomba, come se l'ex affiliato si fosse posto al di fuori dell'intera comunità dei viventi."

Comunque, l'interesse dei greci per la sezione aurea non si esaurì con Euclide, il quale si era focalizzato nell'impiego della suddetta nella costruzione del pentagono e di alcuni solidi platonici.
Significativi passi in avanti vennero compiuti da Erone (I secolo d.C.), Tolomeo (II secolo) e Pappo (IV secolo).
In particolare, Pappo, nell'opera Synagoge, fornì un nuovo metodo per la costruzione del dodecaedro e dell'icosaedro, e fece alcuni confronti relativi ai volumi dei solidi platonici, sempre servendosi del numero aureo.
Dopo Pappo, tuttavia, per la matematica greca giunse il periodo noto come "età oscura", un periodo di decadenza della cultura scientifica e filosofica, avente come emblema la distruzione della maestosa biblioteca di Alessandria d'Egitto.
La cultura matematica avrebbe avuto infatti un nuovo polo di riferimento: l'Arabia.
Il più famoso tra i matematici persiani dell'antichità è sicuramente al-Khwãrizmī, colui a cui si devono peraltro (come abbiamo visto nell'introduzione al Carnevale della Matematica n.56) gli importanti termini "algebra" e "algoritmo".
Come sappiamo, egli scrisse la fondamentale opera Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala, in cui troviamo le primi radici dell'algebra (elementare) sotto forma di problemi.
Uno di questi problemi recita quanto segue: "Ho diviso 10 in 2 parti; una l'ho moltiplicata per 10, l'altra per se stessa, e i prodotti erano uguali".
Tutto ciò si traduce nell'equazione:



Ebbene, tale formula corrisponde al segmento minore di una linea di lunghezza 10 divisa sulla base del rapporto aureo.
Non è però certo che al-Khwãrizmī abbia effettivamente pensato alla sezione aurea mentre si accingeva ad enunciare tale quesito.
Un altro matematico arabo che si imbatté nel numero aureo è Abu Kamil Shuja, noto anche come al-Hasib al-Misri, "il matematico venuto dall'Egitto".
Pare che egli nacque attorno al 850, probabilmente in Egitto, e sia deceduto nel 930 circa.
Redasse numerosi libri sull'algebra e la geometria, e fu probabilmente il primo matematico che, invece di rinvenire semplicemente la soluzione ad un problema, si dilettava ad elencare tutte quelle possibili.
Addirittura, nell'opera Libro delle rarità nell'arte dei calcoli, descrive un problema per il quale ha riscontrato ben 2678 soluzioni!
Per quanto concerne il rapporto aureo, nel trattato Su pentagono e decagono, il matematico egiziano si serve del numero aureo per pervenire alla soluzione di diversi problemi di carattere geometrico.
C'è di più: le sue opere furono un punto di riferimento per gli studi e le ricerche di Fibonacci.
È innegabile constatare come Leonardo Pisano (detto Fibonacci) sia noto al grande pubblico anche e soprattutto per la sua strabiliante successione, presente persino nel Codice da Vinci di Dan Brown:



Osserviamo la successione in maniera leggermente più estesa:

Come noto, la peculiarità di tale successione sta nel fatto che ogni termine successivo è il risultato della somma dei 2 precedenti.
Ma come si può scrivere ciò in modo maggiormente rigoroso?
Possiamo descrivere la successione di Fibonacci attraverso una specifica relazione di ricorrenza:



con valori iniziali prefissati:



Precisiamo che, nella magistrale opera Liber abaci (1202), Fibonacci parte dal numero 1, escludendo lo 0 dalla successione.
Per chi non lo sapesse, la successione scaturì da un problema riguardante i conigli!



Il problema, tratto dal 12° capitolo del Liber abaci, è il seguente:

"Un uomo mise una coppia di conigli in un luogo circondato da tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli possono essere prodotte dalla coppia iniziale in un anno supponendo che ogni mese ogni coppia produca una nuova coppia in grado di riprodursi a sua volta dal secondo mese?"

La soluzione dell'enigma è che a fine anno si avranno ben 377 coppie di conigli!
Come vedete, il numero di coppie di conigli che si manifesta con il passare dei mesi segue pedissequamente la successione di Fibonacci.
Ora constatiamo una peculiarità concernente i quadrati dei numeri di Fibonacci.
Intanto elenchiamoli in ordine (assieme alla successione di Fibonacci):

Ora scriviamo la successione data dalla somma di tutti i quadrati:

Cosa c'è di tanto particolare?
Direi che il fatto che la somma di tutti i quadrati sino all'n-esimo termine della successione sia equivalente al prodotto dell'n-esimo numero di Fibonacci per il successivo è qualcosa di straordinario.
Ecco un esempio:



Praticamente, sommando tutti i quadrati sino al numero 169 (ovvero 13²) si ottiene 273, il quale è il prodotto appunto di 13 e del numero di Fibonacci successivo (21).
Se invece sommiamo semplicemente 10 numeri di Fibonacci consecutivi, otteniamo un'altra curiosa proprietà: la somma dei numeri di qualsivoglia decina risulta sempre divisibile per 11.
Vi starete tuttavia ormai chiedendo: cosa diavolo ha a che fare la sezione aurea con la successione di Fibonacci?
Ebbene, prendiamo il rapporto




e facciamone il limite per n che tende a + infinito.
Cosa si ottiene?





No, non ho sbagliato a scrivere: il rapporto tra un numero di Fibonacci e quello precedente tende, man mano che i numeri si fanno più grandi, al rapporto aureo!
Tale proprietà venne compresa nientemeno che da Keplero nel 1611, ma si dovette aspettare il XVIII secolo per avere la dimostrazione rigorosa compiuta dal matematico scozzese Robert Simson (1687-1768).
Poi, a metà del XIX secolo, il matematico francese Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856) riuscì a determinare una formula (forse nota, un secolo prima, anche ad Eulero), basata totalmente sul rapporto aureo, in grado di consentire il calcolo di qualunque numero di Fibonacci, purché sia noto il suo posto nella successione.
La strabiliante formula è questa:

Praticamente, trattasi di una formula che ad un imput dato da un qualsiasi numero n fa corrispondere un numero di Fibonacci (output). 
Come detto, tale formula si basa sul rapporto aureo, dato che:





mentre




è la soluzione negativa dell'equazione da cui si ricava il numero aureo, equivalente a:




Facciamo una prova con la formula di Binet.
Poniamo n = 2 e vediamo cosa succede.

Effettivamente, nella successione di Fibonacci, F₂ = 1. Come volevasi dimostrare!
Tale formula vale per tutti quanti gli n interi positivi.
Ad esempio, per n = 10 si ottiene il risultato 55, il decimo numero di Fibonacci appunto.
I numeri di Fibonacci (e dunque la sezione aurea) saltano fuori spesso nelle situazioni più inaspettate: li ritroviamo, per esempio, in alcune specie di girasoli, per quanto concerne la disposizione dei semi.
In effetti, in questi fiori i semi risultano disposti lungo spirali logaritmiche contrapposte.
In particolare, il numero delle spirali orarie e di quelle antiorarie è diverso, ed è dato proprio da 2 numeri consecutivi della successione di Fibonacci.
















Ergo, anche nelle spirali logaritmiche è possibile riscontrare contemporaneamente la sezione aurea e i numeri di Fibonacci.
Una generica spirale logaritmica è la seguente:

Se siete curiosi di conoscere l'equazione descrivente una spirale logaritmica, eccola a voi:

dove a e b sono numeri reali.
Una cosa importante: quest'equazione è scritta in coordinate polari (r, θ).
Che significa?
Niente di complicato: invece di avere un sistema cartesiano tradizionale, abbiamo un sistema di coordinate in cui ogni punto del piano è individuato da un angolo (θ) e dalla distanza (r) del suddetto punto da un punto fisso chiamato polo.

Un suggestivo esempio di spirale logaritmica è costituito dal Nautilus, un mollusco dalla straordinaria conformazione.

Sezione della conchiglia di un Nautilus

Quest'immagine l'avevamo già vista nel post "Frattali e Musica".
D'altronde, molto spesso, nell'analisi dei frattali compaiono come per magia i numeri di Fibonacci, e quindi pure la sezione aurea!
Se desiderate leggere qualcosa di veramente bello su Fibonacci e la sua successione, allora vi consiglio il magnifico racconto, intitolato "Rondine di mare", scritto da Spartaco Mencaroni sul blog Il coniglio Mannaro.
Adesso una piccola galleria di particolari rappresentazioni del numero aureo.

Andiamo ora a scoprire una cosa che avevamo tralasciato: le origini delle denominazioni "proporzione divina" e "sezione aurea".
Colui che coniò il termine "proporzione divina" fu il matematico Luca Pacioli.
Descriviamo brevemente la sua figura.
Pacioli nacque nel 1445 a Borgo San Sepolcro, cittadina toscana dove era nato anche il pittore Piero della Francesca.
Anzi, proprio la bottega di tal pittore era stata la prima "scuola" frequentata dal Pacioli.
Tuttavia, molto presto, egli si rese conto che il suo principale talento riguardava non l'arte, bensì la matematica.
Relativamente giovane, Pacioli si trasferì a Venezia come tutore dei 3 figli di un ricco mercante, continuando ad approfondire i propri studi matematici, in particolare con Domenico Bragadino.
Negli anni '70 del Quattrocento Pacioli studiò teologia ed entrò nell'Ordine francescano, diventando noto come fra Luca Pacioli.
Pacioli è, tra l'altro, il soggetto di uno dei più bei ritratti fatti ad un matematico, quello realizzato da Jacopo de' Barbari (1440-1515), che lo raffigura mentre tiene una lezione di geometria a un allievo sconosciuto.

 















Nel 1494, a seguito di diversi viaggi in giro per l'Italia, si recò nuovamente a Venezia al fine di pubblicare la Summa, un'opera enciclopedica per dimensioni, la quale riassumeva tutte le conoscenze matematiche del tempo, spaziando tra le varie discipline (aritmetica, algebra, geometria e trigonometria).
Intanto, nel 1480, Ludovico Sforza detto il Moro diventò duca di Milano.
Desideroso di rafforzare il prestigio della corte dando ospitalità ad artisti ed intellettuali, Ludovico invitò a Milano, nel 1482, Leonardo da Vinci in veste di "pittore e ingegnere del duca".
Ed è assai probabile che sia stato proprio Leonardo a convincere il duca a invitare a corte il Pacioli, nel 1496, affinché insegnasse la dottrina dei numeri.
Proprio a Milano Pacioli portò a compimento il magistrale trattato in 3 volumi intitolato De divina proportione, pubblicato tuttavia a Venezia nel 1509.
Il primo volume (dedicato a Ludovico il Moro), Compendio de divina proportione, contiene una sintesi dettagliata delle proprietà del rapporto aureo (definito appunto "divina proporzione"), e una disquisizione circa i solidi platonici e i poliedri in generale.
Il 5° capitolo è assai significativo, poiché, in esso, vengono elencati dall'autore 5 ragioni per cui l'espressione che dà il titolo all'opera è, a suo giudizio, la più adeguata a definire la sezione aurea:

1) il rapporto aureo è uno soltanto, così come Dio;
2) la presenza di 3 lunghezze nella definizione di sezione aurea richiama la definizione di Dio come Uno e Trino;
3) l'irrazionalità del rapporto aureo è incomprensibile per l'intelletto umano così come il divino;
4) il fatto che il numero aureo si presenti sempre uguale e non dipenda dalla lunghezza della linea da dividere rinvia all'onnipresenza e invariabilità di Dio;
5) come Dio ha conferito l'essere all'intero cosmo tramite la quint'essenza, allo stesso modo il rapporto aureo è alla base dell'esistenza del dodecaedro, che ne dipende per la propria costruzione.

La denominazione "sezione aurea" sembra che sia stata, invece, introdotta diversi secoli dopo; la ritroviamo per la prima volta precisamente nel 1835.
Infatti, il matematico tedesco Martin Ohm (fratello di Georg Simon Ohm, sì quello delle leggi sull'elettricità), in una nota a piè di pagina della 2° edizione dell'opera Die Reine Elementar-Mathematik (La matematica elementare pura), scrisse:

"Solitamente, questa divisione di una linea arbitraria in 2 parti cosiffatte è chiamata "sezione aurea.""

Da ciò si può intuire che probabilmente l'inventore di tale denominazione è più antico, ma completamente ignoto.
Risulta invece certo che dopo la pubblicazione del libro di Ohm essa cominciò ad apparire piuttosto frequentemente negli scritti in lingua tedesca inerenti alla matematica e alla storia dell'arte.
Immergiamoci adesso in una breve osservazione di qualche esempio dove la sezione aurea fa capolino nell'arte e nella musica.
Innanzitutto, essa è celata nella Grande Piramide di Cheope.

 










In particolare, è nascosta nel rapporto tra l'altezza delle facce triangolari e la metà del lato della base quadrata.













Tale curiosità fu scoperta, per puro caso, fraintendendo le Storie di Erodoto (485 a.C. circa - 425 a.C. circa), colui che Cicerone definì "il padre della storiografia".
In un brano, infatti, sembrava che lo storiografo asserisse che le facce triangolari erano uguali al quadrato costruito sull'altezza.
In verità, Erodoto non affermò ciò, ma la Piramide rimane fatta così.
Un esempio significativo di presenza del numero aureo in arte è dato dalla Madonna di Ognissanti (o Madonna in Gloria) di Giotto (1267-1337).

Trattasi di una pala, realizzata fra il 1306 e il 1310, nella quale viene raffigurata la Madonna assisa in trono, lievemente sorridente, con una mano posata su un ginocchio di Gesù Bambino.
Diversi studiosi hanno affermato che sia il dipinto nella sua interezza sia le figure centrali sono perfettamente inscrivibili in rettangoli aurei.
Passiamo ora alla musica!
La sezione aurea si ritrova spesso nelle composizioni dell'ungherese Béla Bartok (1881-1945).
Ad esempio, il musicologo ungherese Ernö Lendvai, analizzando il primo movimento (una "fuga") della Musica per archi, percussioni e celesta di Bartok, ha individuato che le 89 battute del movimento risultano suddivise in 2 parti, rispettivamente di 55 e 34 (numeri di Fibonacci) battute, dal punto di massima intensità sonora.
Un altro compositore che (probabilmente) inconsciamente introdusse il rapporto aureo nei suoi brani fu il francese Claude Debussy, famoso ai più per il brano Clair de Lune.



Nella composizione per pianoforte Reflets dans l'eau, contenuta nella serie intitolata Images, la prima ripresa del rondò arriva dopo 34 battute, che designano il punto di sezione aurea tra l'inizio del brano e la sua parte culminante a partire dalla 55esima battuta.



Analoghe divisioni si possono riscontrare in ulteriori brani di Debussy, come i 3 schizzi sinfonici denominati La mer.



Non deve sorprendere una composizione con questo titolo, dato che, come scrisse Debussy nel 1903, in piena stesura del brano, ad André Messager:

"Voi forse non sapete che ero destinato all'ottima carriera del marinaio e che ne fui distolto soltanto dalle vicissitudini della vita"

Con La mer il compositore metteva a fuoco un mondo di suggestioni pittoriche, in un complesso intreccio sonoro che alludeva alla vastità degli orizzonti e al movimento del mare.
I 3 schizzi sono intitolati rispettivamente:

1) Dall'alba a mezzogiorno;
2) Giochi di onde;
3) Dialogo del vento e del mare.  

L'opera venne accolta con un misto di incredulità e favore alla prima del 15 ottobre 1905, per i Concerts Lamoureux, sotto la direzione di Camille Chevillard.
Adesso 2 ultimissime curiosità relative alla sezione aurea.
Nel 1974 il matematico e fisico britannico Roger Penrose scoprì, utilizzando figure legate al rapporto aureo, la possibilità di una tassellatura a simmetria quintupla (la stessa tipologia di simmetria che caratterizza la stella a 5 punte): la tassellatura di Penrose.
Cos'è una tassellatura?
Trattasi di una disposizione di forme o piastrelle che si possono far combaciare accostandole su una superficie piana.
In particolare, con tassellature di Penrose si fa riferimento a 2 semplici forme geometriche che, affiancate l'una all'altra, possono ricoprire un piano con uno schema privo di vuoti e sovrapposizioni e che non si ripete periodicamente, al contrario delle tradizionali tassellature (ad esempio quelle esagonali) che si ritrovano nei pavimenti delle case, le quali esibiscono schemi ripetitivi.
L'esempio maggiormente significativo di tassellatura di Penrose è quello basato sulle singolari forme dell'aquilone e del dardo, entrambe costruite a partire da un rombo.

Tassellatura di Penrose

 

  
















Ebbene, i lati dell'aquilone e del dardo hanno il pregio di essere tra loro in rapporto aureo!
La seconda curiosità è associata a un problema (simile a quello dei conigli) riguardante la popolazione di una mandria di bovini.
A differenza della coppia di coniglietti (che diveniva adulta e si riproduceva dopo il trascorrere di un singolo mese), in questo differente caso il processo di crescita presenta uno stadio intermedio: le coppie di cuccioli si trasformano prima in coppie adulte ma non ancora fertili, e poi in coppie fertili, capaci di riprodursi.
La successione concernente la popolazione dei bovini sarà:

In tal caso, la generazione salta un valore.
Per esempio, 41 = 28 + 13, mentre 60 = 41 + 19.
Se, come nel caso della successione di Fibonacci, eseguiamo il rapporto tra ciascun termine della successione e l'antecedente, allora tale rapporto, portato al limite, tende a una certa quantità:



Questa quantità indicata con la lettera greca psi (ψ) rappresenta la cosiddetta "sezione superaurea".
Vi lascio con questo classico d'animazione:



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Fonti principali:

- La sezione aurea di Mario Livio
- I (favolosi) numeri di Fibonacci di Alfred S. Posamentier e Ingmar Lehmann