CARNEVALE DELLA MATEMATICA #129: LA MATEMATICA DEL XVIII E XIX SECOLO

"In matematica, le rivoluzioni sono eventi silenziosi. Nessuno scontro, nessun clamore. La notizia viene comunicata in qualche trafiletto ben lontano dalle prime pagine." 
Donal O'Shea, autore del libro La congettura di Poincaré.



Benvenuti alla 129ª edizione del Carnevale della Matematica, la terza che ha l'onore di ospitare il blog Scienza e Musica!
Tale edizione ha nome in codice (dovuto al sommo Popinga) "il merlo intrepido" e cellula melodica (grazie a Dioniso Dionisi, che ritroveremo come partecipante):



La tematica scelta come filo conduttore del presente evento è, come tradizione nei carnevali ospitati su questo blog, davvero ad ampio respiro: "La matematica del XVIII e XIX secolo".
Naturalmente, apriremo la kermesse con una ricca introduzione sul tema (va specificato, sì ricca, ma comunque assai sintetica e incompleta rispetto alla colossale vastità della tematica affrontata), oltre alla consueta presentazione del numero della suddetta edizione, ovvero il 129.
Incominciamo dicendo che nelle università del Seicento il termine "matematiche" designava un'ampia varietà di discipline diverse, tra cui l'astrologia, la balistica, l'ottica e la meccanica.
Le università di quel tempo erano in grado di fornire i mezzi di sussistenza soltanto a un'élite ristretta di matematici.
Particolarmente significativo in tal senso è l'esempio della Svizzera di fine Seicento.
Qui era presente una singola università in tutto il paese e dunque anche la cattedra di matematica era una sola, quella di Basilea, ricoperta dal 1687 al 1705 da Jacob Bernoulli e poi, dal 1705 al 1748, da suo fratello Johann (per saperne di più sull'incredibile famiglia Bernoulli, cliccate qui).

Nel corso della seconda metà del XVII secolo si svilupparono tuttavia alcune alternative, per mezzo dell'allestimento di nuovi luoghi di elaborazione e trasmissione del sapere.
Tra questi luoghi spiccavano le accademie, tra cui particolare importanza ebbe l'Académie Royale des Sciences a Parigi per opera di Jean-Baptiste Colbert, il potente ministro di Luigi XIV.
Quale era la sostanziale differenza tra questa Accademia francese e, per esempio, la Royal Society di Londra?
L'originalità del modello di Accademia francese stava nel fatto che questa veniva direttamente finanziata dallo Stato!
Nel XVIII secolo l'istituzione di accademie ispirate al modello francese offriva a qualche matematico la prospettiva di un lavoro remunerato, tuttavia i posti stipendiati rimanevano ancora esclusiva di una piccola cerchia privilegiata.
Per esempio, il tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), uno dei padri dell'analisi matematica assieme a Newton (1642-1727), si impegnò tutta la vita a promuovere la creazione di società scientifiche, attraverso memoranda e programmi da sottoporre ai principi europei e non.
Negli ultimi anni del XVII secolo Leibniz si era sempre più interessato alla Russia e al suo zar, Pietro il Grande (1672-1725), il quale riteneva fondamentale il ruolo delle scienze nel processo di modernizzazione del suo gigantesco impero.
Dopo la morte del grande matematico tedesco, lo zar cercò di mandare avanti, attraverso intermediari, tale processo di collaborazione scientifica con gli intelletuali europei.
L'8 febbraio 1724, il Senato russo approvò poi il progetto di Accademia (a San Pietroburgo) proposto dal medico di corte, Laurentius Blumentrost, che ne divenne il primo presidente.
L'Accademia si sarebbe dovuta basare su 3 elementi costitutivi:

1) l'istituto accademico di ricerca (ispirato al modello delle Accademie di Parigi e Berlino);
2) l'università;
3) il ginnasio.

Gli ultimi 2, però, ebbero un fulmineo declino.
Al suo esordio, l'Accademia russa contava 23 membri, 7 dei quali matematici.
Tra questi era presente Jacob Hermann, allievo di Jacob Bernoulli, pupillo di Leibniz e professore di matematica a Francoforte sull'Oder.
L'invito ad unirsi all'Accademia venne inviato pure a Johann Bernoulli, ma quest'ultimo rifiutò.
Tuttavia, egli convinse 2 dei suoi figli, Daniel e Nicolaus (II), a mettersi al servizio dello zar.
Sfortunatamente Pietro il Grande, morto il 18 gennaio 1725, non poté vedere compiuta l'opera che tanto bramava, la quale fu portata a termine con successo dalla sua vedova, Caterina I.
Al termine dell'estate del 1725 un certo numero di accademici si era già stabilito a San Pietroburgo.
Tra questi c'era nientemeno che Christian Goldbach (noto per la celebre congettura ancora irrisolta che porta il suo nome), il quale fu incaricato di redigere i verbali in latino e di occuparsi delle pubblicazioni e della corrispondenza.
Alla fine, Jacob Hermann ricoprì la cattedra di matematica, Nicolaus Bernoulli quella di meccanica, Daniel Bernoulli fu professore di fisiologia ed anatomia sino a quando, nel 1731, a seguito della partenza di Hermann, ottenne la cattedra di matematica.
La cerimonia di inaugurazione dell'Accademia ebbe luogo il 7 gennaio 1726, in assenza dell'imperatrice.
Una seconda seduta pubblica (questa volta in presenza di Caterina I) si concretizzò il 12 agosto.
In tal occasione, Hermann presentò una dissertazione in latino (pubblicata però nel 1735) concernente l'origine e lo sviluppo della geometria.
La prima parte della presentazione di Hermann riguardò la storia della geometria dall'antichità al XVIII secolo.

Questi distinse 3 epoche fondamentali:

1) l'infanzia della geometria: inizia con Talete e Pitagora, culminando poi con Euclide, Archimede e Apollonio;
2) la fase medium ævum (che seguì uno hiatus, ossia un periodo di ristagno della geometria): si apre con Viète e risulta dominata dalla figura di Descartes;
3) l'epoca della geometria sublimior: inaugurata dalla pubblicazione della Nova methodus (1684) di Leibniz e ancora in corso.

Hermann mise in evidenza il rigore dei metodi degli antichi, tuttavia li reputò goffi se comparati ai potenti e rapidi metodi del calcolo differenziale e integrale, arrivando persino ad asserire che la scrupolositas in demonstrando della geometria greca rappresentò un ostacolo all'innovazione.
Anche il grandissimo Leonhard Euler (1703-1783) [noi italiani spesso lo chiamiamo Eulero], grazie all'invito di Daniel Bernoulli, prese posto all'Accademia di San Pietroburgo, precisamente a partire dal giugno 1727.
Il primo periodo trascorso da questi in Russia fu davvero molto produttivo: si contano infatti una cinquantina di memorie ed opere apparse nel periodo compreso tra il 1727 e il 1741.
In particolare, meritevole di menzione è la sua Mechanica, sive motus scientia analytice exposita in 2 tomi del 1736.
Quest'opera rappresentò un capisaldo nella storia della meccanica, oltre al fatto che permise al giovane matematico di ottenere numerosi riconoscimenti.
Nel 1741, l'incertezza sul destino dell'Accademia russa legato alla situazione politica di quel momento portò Eulero ad accettare l'offerta di Federico II di Prussia.
Quest'ultimo era desideroso di innestare una riorganizzazione dell'Accademia di Berlino.
Non a caso il suddetto sovrano amava circondarsi di persone colte, tra cui brillanti filosofi e abili poeti.
Tuttavia sussisteva un conflitto di opinioni tra il sovrano e il matematico inerente all'utilità delle "matematiche superiori", ovvero l'analisi matematica.

A difesa delle proprie convinzioni, Eulero propose l'esempio delle macchine.
Egli scrisse quanto segue in una breve memoria intitolata De matheseos sublimioris utilitate (1746):

"Se volete perfezionare la teoria delle macchine, studiate il movimento che si manifesta dopo che si è rotto l'equilibrio; determinate la forza che agisce sul mobile e soprattutto le cause esterne che si oppongono al movimento; cioè l'attrito e la resistenza dell'aria. Bisogna dunque ricorrere alla meccanica superiore; a quella che analizza i movimenti più complicati. È proprio qui che c'è bisogno del calcolo infinitesimale e dell'analisi più sofisticata."

Nonostante tale memoria venne redatta per persuadere Federico II, non gli fu mai esplicitamente indirizzata o dedicata.
Eulero cercava solamente di creare, nell'istituzione che gli dava da vivere, le condizioni necessarie affinché potesse proseguire il proprio lavoro scientifico.
Questa fase berlinese non fu infatti meno importante di quella pietroburghese, visto che è sufficiente pensare che in questo periodo venne scritta la monumentale Introductio in analysin infinitorum in 3 volumi, pubblicata a Losanna nel 1748.
Parlare dei contributi fondamentali di Eulero alla matematica richiederebbe probabilmente diversi post a parte, dunque quanto appena raccontato è giusto un interessante assaggio dei lavori di uno dei matematici più importanti di sempre (produsse nell'arco della sua vita oltre 886 pubblicazioni spazianti su qualsivoglia ramo della matematica)!
Aggiungiamo solamente che il XVIII secolo vide la nascita della topologia e della teoria dei grafi proprio grazie alle ricerche di Eulero, che risolse nel 1736 il noto problema dei 7 ponti di Könisberg.
Sempre riguardo la meccanica nell'arco del Settecento, leggiamo un breve ma interessante passo tratto dal libro Il Computer di Kant di Luigi Borzacchini:

"All'inizio del Settecento non vi era una generale consapevolezza che tutta la meccanica fosse riducibile alle leggi di Newton, ad esempio per lo studio dei fluidi. Questo sarà merito di Euler, che dà alla meccanica la sua forma attuale: l'approccio ritorna quello di Newton, la cui seconda legge appare un principio generale, una legge necessaria, riscritta nella forma differenziale F_x = ma_x, F_y = ma_y, F_z = ma_z in 3 equazioni differenziali del II ordine, anche se talora scomposta, per ragioni fisiche, nelle componenti tangenziali e normali...La meccanica assume una forma analitica, basata sull'azione tra masse infinitesime puntiformi e sull'analisi in termini di quantità geometriche intese (diremmo noi) come vettori (Euler, 1736), e così nasceva una idrodinamica newtoniana. Euler studia nello stesso contesto il moto dei corpi rigidi, caratterizzati dall'invarianza delle mutue distanze tra gli elementi, e ha anche l'idea di scindere in un corpo l'interno e l'esterno, nonché l'idea di un modello cinetico per la termodinamica dei gas. Tuttavia, se da un lato le leggi di Newton si rivelano applicabili universalmente, dall'altro la formulazione della meccanica abbandona con d'Alembert il paradigma newtoniano completamente basato sul concetto di 'forza', e finalmente scompare l'idea di una vis inertiae: Euler esplicitamente considera inerzia e forza come concetti contrari e vede l'origine delle forze nell'impenetrabilità dei corpi, e così anche lui fonda la meccanica non più sulle forze ma su materia e moto, determinando infine le forze tramite il 'principio di minima azione'."

Jean Baptiste Le Rond d'Alembert (1717-1783) fu un importante matematico francese che si occupò di svariati ambiti della matematica, tra cui appunto la meccanica.
A lui si deve infatti il cosiddetto principio di d'Alembert, che stabilisce quanto segue:

"Durante il moto di un sistema materiale, comunque vincolato o sollecitato, si fanno, istante per istante, equilibrio (per effetto dei vincoli) le forze perdute F_s - ma_s e le reazioni vincolari."

In altri termini, tale principio riduce l'impostazione di una qualsiasi questione dinamica ad una statica e fu alla base del successivo sviluppo della fondamentale meccanica lagrangiana.
Sempre nel XVIII secolo si possono riscontrare gli illuminanti contributi di Saccheri, Lambert ed altri relativi al tentativo di dimostrare il V postulato di Euclide, tentativi che portarono successivamente alla nascita delle geometrie non euclidee.
Per approfondire la questione, potete leggere qui e qui.
In tal secolo ci fu anche un ampio sviluppo del calcolo delle probabilità, grazie in particolare a Thomas Bayes e al suo teorema (che abbiamo illustrato, tra le altre cose, qui), e a Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon, il quale fornì la spinta necessaria alla creazione del metodo Monte Carlo, grazie al celebre problema dell'ago di Buffon (ne abbiamo parlato qui).
Nella seconda metà del XVIII secolo il centro pulsante dell'attività matematica divenne Parigi.
Nella capitale francese furono attivi straordinari matematici del calibro di Lagrange e Laplace, oltre al fatto che vennero istituite scuole di alta formazione in ambito scientifico come l'École Polytechnique e l'École normale supérieure.
Leggiamo un significativo stralcio introduttivo sul noto Politecnico francese di Ivor Grattan-Guinness, tratto dal volume La matematica, i luoghi e i tempi, a cura di Claudio Bartocci e Piergiorgio Odifreddi:

"Negli anni successivi al 1789, la Rivoluzione francese presentò conseguenze che si ripercossero anche sulla professione di ingegnere. Innanzitutto, specie dopo il caos sociale del 1790-93, vi fu una notevole fuoriuscita di ufficiali dall'Esercito e dalla Marina; nacque quindi l'esigenza di reintegrare rapidamente le fila degli ufficiali. In secondo luogo, nel 1793 vennero chiusi tutti gli istituti di educazione superiore; anche se le scuole di ingegneria furono riaperte poco dopo senza grossi cambiamenti, il loro ruolo doveva essere riconsiderato. Da ultimo, il sistema di trasporti del paese, dopo anni di abbandono, richiedeva opere di manutenzione e di miglioramento...Quindi «la repubblica aveva bisogno di accademici». Queste difficoltà portarono alla convocazione di un consiglio d'emergenza a Parigi. La decisione principale che ne emerse fu la creazione di una nuova scuola, l'École Centrale des Travaux Publics, con sede a Parigi, che fu inaugurata nel dicembre 1794. Con la guida di sostenitori quali il chimico François Fourcroy (1755-1809), fu concepita, a quanto pare, come l'unica istituzione per la formazione di ingegneri, sia civili sia militari. A tal fine, furono rapidamente immatricolati 400 studenti e si istituirono «corsi rivoluzionari» di matematica e chimica, con l'aiuto di decine di funzionari reclutati in tutta fretta...In breve tempo, tuttavia, divenne chiaro che si trattava di un progetto irrealizzabile; per citare uno dei problemi, la maggior parte delle scuole militari si trovava fuori Parigi e nessuna scuola navale avrebbe potuto funzionare in città. Il ruolo della scuola fu quindi trasformato in quello di istituzione preparatoria per le altre scuole, con un programma di studi triennale. Il cambiamento si rifletté nella modifica del nome, che nel settembre 1795 divenne École Polytechnique...L'École Polytechnique si salvò dalla chiusura grazie ai suoi «corsi regolari», che costituivano il programma triennale. Poiché la scuola doveva soddisfare le esigenze militari e civili, il controllo del suo governo era affidato al ministero della Guerra e al ministero degli Interni. Le immatricolazioni annuali furono abbassate al livello più realistico di circa 120 studenti...La direzione della scuola, una carica a rotazione, fu affidata inizialmente a Élie Lamblardie (1747-1797)...Lagrange (1736-1813) e Gaspard Riche de Prony (1755-1843), tra i fondatori della scuola, furono rispettivamente il primo professore di analisi e meccanica e il primo professore di meccanica - un netto contrasto tra il più insigne matematico puro di quei tempi e un ingegnere tenace e risoluto...La geometria descrittiva e differenziale fu affidata a Gaspard Monge (1746-1818)...Ciascun professeur era assistito da un répétiteur, che a tempo debito poteva diventare egli stesso professeur. Un personaggio insigne tra i primi répétiteurs fu Jean-Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830), assunto dopo essersi distinti come uno dei pochi studenti brillanti dell'École Polytechnique. Una delle caratteristiche principali della scuola era la distinzione tra l'insegnamento e gli esami; anche gli esaminatori venivano quindi nominati. Per la meccanica e l'analisi, la coppia iniziale fu costituita da Charles Bossut (1730-1814) e Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), il matematico più insigne dopo Lagrange, che ebbe una grande influenza sui primi sviluppi della scuola, anche se non vi insegnò mai. L'importanza della meccanica e dell'analisi fu sottolineata dalla decisione di chiamare «permanenti» gli esaminatori di queste materie, mentre gli esaminatori di tutte le altre erano «provvisori», anche se accadeva che rimanessero in servizio a lungo."

Piccola nota; Laplace è noto anche per le sue trasformate, alla cui vista qualcuno reagisce così:

Tornando seri, un altro matematico del suddetto periodo che merita assolutamente menzione è Adrien-Marie Legendre (1752-1833).
Chi fosse interessato alla sua vita e ai suoi contributi fondamentali, può vedere qui.
Bene, già per quel poco che abbiamo potuto osservare, il XVIII secolo fu davvero denso di eminenti matematici e fondamentali contributi.
Vi starete magari chiedendo: "ma il XIX secolo fu altrettanto fecondo?".
Ebbene sì; anzi, a dirla tutta, il XIX secolo viene spesso denominato "L'età d'oro della matematica".
Cerchiamo di capire, senza dilungarci in maniera eccessiva, il perché.
All'inizio dell'Ottocento è ancora Parigi il centro della matematica mondiale.
Nella Francia dell'inizio di tale secolo la figura di un dinamico professore universitario, inserito in un preciso ambiente socioculturale e che aveva l'esigenza, oltre all'attività di ricerca, di redigere trattati che fossero utilizzabili dagli studenti, sostituì quella del savant del Settecento, figura invece affiliata a questa o a quella Accademia.
I matematici cominciarono pertanto a riunirsi nelle facoltà universitarie e vennero stampate migliaia di copie di manuali di algebra, geometria ed analisi, come quelli di Sylvestre-François Lacroix (1765-1843) e del già citato Legendre.
In tal periodo vennero alla luce pure i primissimi periodici matematici, tra cui il Journal di Crelle e il Journal di Liouville.
La risposta tedesca all'egemonia francese in ambito matematico venne rappresentata giusto da qualcuno che prese l'appellativo di "principe dei matematici", il mitico Carl Friedrich Gauss (1777-1855), e dalla città di Gottinga, che presto divenne un polo matematico d'eccellenza.
Anche per parlare ad ampio spettro di Gauss servirebbero numerosi post a riguardo.
Per esempio, abbiamo trattato del metodo di eliminazione di Gauss-Jordan inerente all'algebra lineare qui.
Ian Stewart, nel suo libro Domare l'infinito, ci presenta sinteticamente e in modo superbo la figura di Gauss; di seguito dunque riporto questo splendido passo tratto dal sopracitato testo:

"Gauss fu molto precoce, e a quanto si racconta cominciò a correggere l'aritmetica del padre all'età di 3 anni. Nel 1792, con il supporto economico del duca di Brunswick-Wolfenbüttel, Gauss entrò nel Collegium Carolinum di Brunswick. Qui fece diverse importanti scoperte matematiche, tra cui la legge della reciprocità quadratica e il teorema dei numeri primi, ma non le dimostrò. Nel periodo 1795-1798 studiò a Göttingen, dove scoprì come costruire con riga e compasso un poligono regolare con 17 lati. Le sue Disquisitiones arithmeticae, ad oggi l'opera più importante nel campo della teoria dei numeri, furono pubblicate nel 1801. La notorietà di Gauss, ad ogni modo, è dovuta alle previsioni astronomiche. Nel 1801 Giuseppe Piazzi aveva scoperto il primo asteroide: Ceres. Le osservazioni erano così rare che gli astronomi temevano di non riuscire a individuarlo nuovamente quando fosse riapparso non più coperto dal Sole. Molti astronomi predissero dove sarebbe riapparso, e lo stesso fece Gauss. Soltanto Gauss aveva ragione. In effetti, Gauss aveva usato un metodo di sua invenzione, ora chiamato «metodo dei minimi quadrati», per ricavare risultati accurati da osservazioni limitate. All'epoca Gauss non rivelò la sua tecnica, ma da allora questa è diventata fondamentale nella scienza statistica e delle osservazioni. Nel 1805 Gauss sposò Johanna Ostoff, che amò profondamente, e nel 1807 lasciò Brunswick per accettare la direzione dell'osservatorio di Göttingen. Nel 1808 suo padre morì, e nel 1809 morì Johanna dopo aver dato alla luce il loro secondo figlio. Poco tempo dopo morì anche il figlio. Nonostante queste tragedie personali, Gauss proseguì i suoi studi, e nel 1809 pubblicò la sua Theoria motus corporum cœlestium in sectionibus conicis solem ambientium, un contributo fondamentale alla meccanica celeste. Si sposò di nuovo, con Minna, una cara amica di Johanna, ma il matrimonio fu più di convenienza che di amore. Intorno al 1816 Gauss scrisse una rassegna di deduzioni dell'assioma delle parallele dagli altri assiomi di Euclide, in cui accennava a un'idea che aveva probabilmente sviluppato già dal 1800, cioè la possibilità di una geometria coerente dal punto di vista logico, e diversa da quella di Euclide.
Nel 1818 fu incaricato di eseguire un rilevamento geodetico di Hannover, e contribuì notevolmente ai metodi usati nelle misurazioni. Nel 1831, dopo la morte di Minna, Gauss intraprese, in collaborazione con il fisico Wilhelm Weber, gli studi sul campo magnetico terrestre. Scoprirono quelle che sono ora note come leggi di Kirchhoff per i circuiti elettrici, e costruirono un telegrafo rozzo ma funzionante. Quando nel 1837 Weber fu costretto a lasciare Göttingen, il lavoro scientifico di Gauss ebbe una battuta d'arresto, anche se il matematico mantenne l'interese per il lavoro di altri, in particolare Ferdinand Eisenstein e George Bernhard Riemann. Morì tranquillamente nel sonno."

Aggiungiamo un piccolo particolare: Gauss sebbene si fosse effettivamente accorto della possibilità di sviluppare modelli coerenti di geometrie non euclidee, si retrasse dal dare alla stampa esplicite pubblicazioni relative a tali argomenti, al fine di evitare di ascoltare, a detta sua, «le strida dei beoti».
Infatti, furono altri 2 matematici (Bolyai e Lobačevskij) nella prima metà dell'Ottocento a fornire il vero e proprio atto di nascita delle geometrie differenti da quella euclidea, come abbiamo raccontato qui.
Gauss è noto anche per la distribuzione gaussiana, detta pure distribuzione normale. Sapevate dell'esistenza di una "distribuzione paranormale"? 😂

Facendo ritorno al rigore della narrazione, Gauss aprì la strada allo sviluppo dell'algebra con la sua dimostrazione, datata 1799, del teorema fondamentale dell'algebra (in verità, la sua dimostrazione presentava lacune di carattere topologico, risolte nel 1920 dall'ucraino Ostrowski):

"Ogni polinomio complesso P(z) di ordine arbitrario ha almeno una radice complessa."

Nell'ambito dell'algebra 2 grandi figure, entrambe morte giovanissime, diedero un grosso scossone nel XIX secolo.
Ci stiamo riferendo a Niels Abel (1802-1829) ed Évariste Galois (1811-1832).
Abel è famoso soprattutto per aver dimostrato il teorema di Abel-Ruffini, stabilendo così l'impossibilità di risolvere (mediante radicali) le equazioni di 5° grado.
Galois è invece colui che ha dato il via all'importantissima teoria dei gruppi, che fa parte di quella branca che si definisce algebra astratta.
Per chi volesse approfondire relativamente alla vita di Galois, ne abbiamo parlato qui.
Naturalmente l'Ottocento fu anche un secolo fecondo per l'analisi matematica.
Un nome tra tutti spicca: Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).
La sua biografia la trovate qui.
Ci limitiamo in questa introduzione ad aggiungere che Cauchy fu colui che, oltre ad aver definito rigorosamente il concetto di derivata (alla stregua di limite di rapporto incrementale) e pure quello di funzione continua, compì l'importante passo di estendere tutto quanto stabilito per le funzioni di variabili reali alle funzioni di variabile complessa.
A tal proposito riporto la mia sintetica libera traduzione di un breve passo tratto dal testo The real and the complex: A history of analysis in the 19th Century di Jeremy Gray, che ci fa comprendere cosa succedeva negli anni precedenti allo sviluppo dell'analisi complessa:

«I matematici negli anni successivi al 1810 non immaginavano potesse svilupparsi una disciplina che poteva essere chiamata teoria delle funzioni complesse.
Infatti, in quel periodo, essi erano concentrati per esempio nello studio di integrali multipli, funzioni di più variabili reali, trasformazioni da ℝ² a ℝ².
In tutti questi argomenti le variabili complesse potevano essere sì utilizzate, ma solo come utile notazione per coppie di variabili.
Il primo coinvolgimento di Cauchy in tali questioni avvenne nella sua Mémoire del 1814 sulla valutazione degli integrali doppi.
Entro il decennio del 1820 costui aveva cominciato a ragionare sul fatto che potesse svilupparsi una teoria coinvolgente funzioni complesse di una variabile complessa.
Nella grande Mémoire (1825) egli pervenne ai famosi teorema integrale e rappresentazione integrale che portano il suo nome, tuttavia non riuscì a comprendere la profondità della propria scoperta, forse perché non stava ancora pensando geometricamente alle variabili complesse...
Una caratteristica curiosa dell'analisi matematica negli anni vicini al 1800 fu l'uso delle variabili complesse per valutare integrali definiti reali.
Tale pratica incominciò con Eulero e continuò con Laplace, Poisson e Legendre, nei suoi Exercices de calcul intégral (1811).
Nella Mémoire del 1814, Cauchy commentò che svariati integrali sono stati valutati per la prima volta "per mezzo di una sorta di induzione" basata sul "passaggio dal reale all'immaginario".
Inoltre, affermò che uno del calibro di Laplace aveva osservato che "purtroppo il metodo, sebbene attentamente impiegato, lasciava a desiderare nelle dimostrazioni dei risultati".
Dunque Cauchy si pose l'obbiettivo di trovare una "diretta e rigorosa analisi" del suddetto passaggio dubbio.»

Eravate a conoscenza che Cauchy ha un sosia famoso nel mondo attuale? Guardate:

Ricomponiamoci e osserviamo che sempre nell'Ottocento spuntarono i contributi dello straordinario matematico e insegnante Karl Weierstrass (1815-1897), il quale formalizzò in modo rigoroso il concetto di limite già chiarito da Cauchy (quello vero, non l'altro!).
Leggiamo un altro interessante passaggio (questa volta di Rossana Tazzioli) tratto dal libro La matematica, i luoghi e i tempi:

"Ernst Eduard Kummer (1810-1893), Leopold Kronecker (1823-1891) e Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) sono i membri del «triumvirato» che dominò la matematica a Berlino per tutta la seconda metà dell'Ottocento. Nessuno dei tre ebbe la tipica formazione accademica; Kummer e Weierstrass furono a lungo insegnanti di scuola secondaria, mentre la carriera di Kronecker si svolse in maniera completamente diversa. Kummer studiò a Halle dove conseguì il dottorato nel 1831; le sue brillanti ricerche sulla teoria delle funzioni, in particolare sulle serie ipergeometriche, gli consentirono di diventare nel 1839 membro dell'Accademia di Berlino e nel 1842 professore a Breslavia. Nella nuova sede, cambiò indirizzo di ricerca dedicandosi alla teoria dei numeri, nella scia dei lavori di Gauss e di Jacobi: uno dei suoi più importanti risultati riguarda l'estensione della legge di reciprocità quadratica per potenze maggiori di 2. Inoltre, è a partire dallo studio della classe dei numeri algebrici che Kummer ottiene il suo più famoso risultato, ossia la creazione della teoria dei «numeri primi ideali» che il lettore di oggi può riconoscere (non senza fatica) come la «teoria degli ideali». Come conseguenza di queste ricerche, Kummer fu in grado di provare l'ultimo teorema di Fermat per tutti i numeri primi minori di 100. Nel 1855, quando Dirichlet lasciò Berlino per Gottinga, fu Kummer a prendere il suo posto. Kronecker frequentò dapprima il ginnasio a Liegnitz dove ebbe come insegnante di matematica proprio Kummer, che riconobbe subito il suo talento e lo incoraggiò allo studio della matematica. Si iscrisse nel 1841 all'Università di Berlino dove fu allievo di Steiner e Dirichlet; ottenne il dottorato con Dirichlet nel 1845 sulla teoria analitica dei numeri (che restò sempre il suo argomento di ricerca preferito) ma non si dedicò da principio alla carriera accademica. Kronecker apparteneva infatti a una famiglia ricchissima e per tanti anni preferì dedicarsi agli affari di famiglia, mostrando un eccezionale fiuto per gli affari. In ogni modo, nel 1855 decise di abbandonare la propria tenuta presso Liegnitz per trasfersi a Berlino, dove visse nel lusso con mezzi propri; nel 1861 fu eletto membro dell'Accademia Prussiana delle Scienze, acquisendo così il diritto di tenere corsi all'università (un diritto di cui Kronecker usufruì per 22 anni) e solo nel 1883, quando Kummer andò in pensione, fu nominato professore all'Università di Berlino. Nello stesso periodo in cui troviamo Kummer e Kronecker, divenne professore a Berlino Weierstrass."

Per maggiori dettagli su Weierstrass cliccate qui.
Altra figura di spicco del XIX secolo è sicuramente quella di Bernhard Riemann (1826-1866).
A costui non solo dobbiamo la più comune e semplice definizione di integrale definito, il cosiddetto integrale alla Riemann, ma diede fondamentali contributi pure nell'ambito della teoria dei numeri e della geometria.
Infatti, nel primo ambito introdusse (nel 1859) la funzione zeta e congetturò la famosissima ipotesi di Riemann, forse il più importante problema matematico ancora irrisolto.
Nel campo della geometria, Riemann fornì un contributo essenziale allo sviluppo delle geometrie non euclidee, introdusse le superfici che portano il suo nome ed anticipò i concetti di metrica e tensore, che successivamente sarebbero stati essenziali per la nascita della Relatività Generale einsteiniana.
Riemann fu il successore di Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) a Gottinga.
Dirichlet, a sua volta, era stato il successore di Gauss.
A lui si deve ad esempio un rilevante teorema (detto non a caso teorema di Dirichlet) secondo cui in tutte le progressioni aritmetiche si trovano infiniti numeri primi.
Sempre nell'ambito della teoria dei numeri, Joseph Liouville mostrò, nel 1844, l'esistenza dei numeri trascendenti.
Più tardi Hermite provò la trascendenza del numero di Nepero ℯ, mentre von Lindemann quella del nostro amato π.
Siccome il numero di protagonisti e contributi matematici di questo secolo è davvero troppo ampio per essere affrontato interamente in un'introduzione (o, come direbbe Fermat, "nel margine troppo ristretto della pagina"), ci limitiamo, per concludere, a stilare una sintetica lista (Wikipedia mi è di grosso aiuto qui) di alcuni dei fondamentali avvenimenti che ancora non abbiamo citato:

• Cauchy e Jacobi chiarirono il concetto di determinante di una matrice, oltre a dimostrare fondamentali teoremi relativi all'algebra lineare;
• Jacobi introdusse il concetto di matrice jacobiana;
• Fourier studiò in maniera approfondita le onde e il calore, introducendo la serie e la trasformata che portano il suo nome;
• Möbius introdusse la funzione che porta il proprio nome e il celebre nastro;
• Poincaré, Klein e Beltrami dimostrarono la coerenza e l'indipendenza dal V postulato delle geometrie non euclidee;
• Poincaré descrisse la sua famosa congettura, dimostrata nel 2002 da Perel'man;
• Hamilton introdusse i quaternioni, formulò una nuova visione della meccanica (la meccanica hamiltoniana) e dimostrò il teorema di Cayley-Hamilton;
• Boole introdusse la nota algebra che porta il suo nome, che fornì le basi per lo sviluppo della logica matematica e della teoria dell'informazione;
• Weierstrass e Dedekind definirono il concetto di numero reale partendo da quelli di numero naturale e razionale;
• Frege cercò di definire il concetto di numero naturale su basi logiche, andando così a ricondurre l'intera matematica alla logica. Ma le sue idee basate sul concetto di cardinalità erano destinate a fallire.
• Peano descrisse 5 assiomi (gli assiomi di Peano) atti a descrivere il concetto di numero naturale. Anche costui era destinato a fallire.
• Dedekind fu il primo a definire l'infinità di un insieme come il fatto che un suo sottoinsieme potesse essere messo in corrispondenza biunivoca con esso. Sulla base di tutto ciò, Cantor mostrò che i numeri interi sono tanti quanti i numeri razionali, ma lo stesso non si può dire sul rapporto sussistente tra numeri reali e razionali. Cantor arrivò a tal proposito a congetturare la celebre ipotesi del continuo;
• Negli ultimi 20 anni del XIX secolo nacque un forte interesse per l'idea di assiomatizzare la geometria, andando a scatenare un periodo storico noto come crisi dei fondamenti (che culminò con i teoremi di incompletezza di Kurt Gödel del 1931). A tal proposito vi consiglio di leggere un post (pure abbastanza recente) di Marco Fulvio Barozzi sul blog Popinga; cliccate qui.  

D'altronde a colmare un po' le naturali grosse lacune (su ciascuno degli argomenti citati si potrebbe scrivere un post, se non addirittura un libro!) di questa introduzione alla matematica del XVIII e XIX secolo ci penseranno i contributi in tema dei partecipanti al Carnevale.
Passiamo ora a presentare finalmente il numero dispari 129.
Innanzitutto va detto che è un numero difettivo, ovvero se sommiamo i suoi divisori propri (1, 3, 43) otteniamo 47, il quale chiaramente è inferiore a 129.
Una proprietà assai interessante è la seguente: 129 è il più piccolo numero esprimibile come somma di quadrati in 4 modalità distinte:

129 è pure la somma dei primi 10 numeri primi.
Oltre a quanto detto, 129 è:

• un numero semiprimo: è cioè esprimibile come prodotto di due numeri primi (non necessariamente distinti);
• un numero nontotiente. Si definisce in tal modo un numero intero n se l'equazione 

non possiede soluzioni. φ(x) è la cosiddetta funzione φ di Eulero o toziente. Di seguito il grafico dei primi 1000 valori di φ tratto da Wikipedia.

• un numero intero di Blum;
• un numero felice ed è pure un numero fortunato;
• un numero palindromo nel sistema di numerazione binario e in quello posizionale a base 6;

In ambiti al di fuori della matematica abbiamo ovviamente la presenza del numero 129:

• l'E-129 Rosso allura AC è un addittivo alimentare, in particolare un colorante;
• 129P/Shoemaker-Levy è la terza tra le 9 comete periodiche del Sistema Solare che portano la denominazione "Shoemaker-Levy";
• 129 Antigone è un grosso asteroide della fascia principale del Sistema Solare, che deve la sua denominazione al personaggio mitologico Antigone, principessa di Tebe, figlia di Edipo;
• 129 è il numero atomico dell'elemento della tavola periodica (ancora da scoprire!) Unbiennium;
• il sonetto n. 129 è uno tra i più famosi fra i 154 scritti dal grande poeta inglese William Shakespeare e ha come argomento centrale la mente umana e i suoi istinti primordiali. Di seguito la traduzione italiana:

 È spreco di spirito in triste scempio
la lussuria in atto e fintanto che lo è
di spergiuro, assassinio, sangue è esempio,
selvaggia, infida, brutale ed empia essa è;
appena goduta, subito odiata;
rincorsa senza senso, ma raggiunta
odiata senza senso, esca ingoiata
per rendere la ragione defunta;
folle sia a cacciare che a possedere;
avendo, avendo avuto e volendo avere,
gioia alla prova, ma provata penosa,
prima una festa, poi sognata cosa.
Tutto ciò il mondo lo sa, ma nessuno sa
evitar la via che fra Cielo e Inferno sta.

• Rage Over a Lost Penny, Op. 129 è il titolo di una straordinaria composizione di Ludwig van Beethoven (1770-1827), che si può datare tra il 1795 e il 1798. Risulta necessario specificare che Beethoven non solo lasciò incompleto il brano, ma non lo pubblicò neppure! La pubblicazione, risalente al 1828, si deve al compositore Anton Diabelli (1781-1858). Un altro esemplare compositore, Robert Schumann (1810-1856), scrisse a proposito del suddetto pezzo: ""it would be difficult to find anything merrier than this whim... It is the most amiable, harmless anger, similar to that felt when one cannot pull a shoe from off the foot". Proponiamo qui la sublime interpretazione fornita dalla nota pianista "aliena" ucraina Valentina Lisitsa: 

• Syrinx, L. 129 è un brano per flauto solista composto da Claude Debussy nel 1913, un vero e proprio classico nel reportorio di qualsivoglia flautista professionista. Ne ascoltiamo la versione di uno dei più grandi flautisti viventi, l'irlandese James Galway:  

• la Sinfonia n.17 in Sol maggiore, K. 129 è la seconda delle 3 sinfonie completate da Mozart nel maggio 1772, quando costui (appena sedicenne!) si trovava a Salisburgo. Ascoltiamo il meraviglioso primo movimento, l'Allegro, nell'esecuzione della Berliner Philharmoniker diretta da Karl Böhm: 

• il Concerto per violoncello e orchestra, Op. 129 fu realizzato dal già citato Schumann nell'ottobre 1850. Ascoltiamo qui il terzo movimento, Sehr lebhaft, nella spettacolare interpretazione dell'eccezionale violoncellista Mstislav Rostropovich, accompagnato dall'Orchestre national de France, diretta da Leonard Bernstein:

Direi che, dopo tali delizie musicali, possiamo concludere la parte introduttiva della kermesse, che spero sia stata di vostro gradimento e vi abbia magari fatto anche divertire.
È giunto il momento di entrare nel vivo del Carnevale e osservare la sfilata di interessantissimi contributi pervenuti dagli svariati partecipanti, che troverete sempre sottolineati e colorati in verde chiaro per rimandare ai link.
Bando alle ciance! Entrino i gladiatori!




LA MATEMATICA DEL XVIII E XIX SECOLO

La prima partecipante è una vecchia conoscenza dei Carnevali scientifici e della matematica. Stiamo parlando nientemeno che della "Regina dei Carnevali", la professoressa Annarita Ruberto. È mancata per un po' di tempo dai lidi della divulgazione matematica sul web, ma il suo graditissimo ritorno si manifesta qui con ben 4 ottimi contributi. Innanzitutto ci vengono segnalati 3 post d'archivio, in tema, dal suo blog Matem@ticamente.
Si parte con un interessantissimo articolo dedicato a uno dei matematici (per lo più italiano!) le cui ricerche furono alla base dello sviluppo della teoria della Relatività Generale da parte di Einstein: "Gregorio Ricci Curbastro, Il gentiluomo padre della teoria dei tensori". Ne riportiamo l'incipit:

"A Lugo di Romagna, il Liceo Scientifico si chiama Ricci Curbastro, ed a pieno titolo dato che Gregorio Ricci Curbastro è stato uno dei suoi più insigni cittadini. Molti dei miei ex-alunni, che amano la Matematica e le materie scientifiche, hanno frequentato e frequentano questo glorioso Liceo, che tiene alto l'orgoglio di chiamarsi Ricci Curbastro. Gregorio Ricci Curbastro nacque a Lugo di Romagna, il 12 gennaio 1853. La sua famiglia di origine, profondamente cattolica, era tra le più nobili e antiche della città. Antonio suo padre ed il nonno Giuseppe furono brillanti ingegneri, la madre Lidia Vecchi fu figlia di Gregorio Vecchi, il primo insegnante di idrometria nella Scuola Pontificia degli ingegneri a Roma, e poi ingegnere capo della provincia di Bologna. L'ambiente fu indubbiamente adatto a sviluppare le doti del giovane Gregorio, che, secondo la tradizione delle famiglie agiate dell'epoca, compì gli studi elementari, e successivamente quelli classici superiori, privatamente; per i secondi ebbe come insegnante il sacerdote don Francesco Taglioni. Dal campo delle Lettere classiche, Gregorio passò ad esplorare l'impervio campo della Filosofia, mentre apprese, sempre privatamente, le basi dell’algebra, della geometria, della trigonometria, della fisica e dell’astronomia sotto la guida di Giuseppe Manzieri, insegnante di matematica e fisica nel liceo di Lugo. In ogni ambito di studio, egli dimostrò grandi doti di intelligenza, tenacia, acutezza di ingegno, curiosità e desiderio di apprendere. La sua formazione si compì con gli studi accademici: nel 1869, frequentò per un solo anno il corso filosofico matematico dell’allora Pontificia Università della Sapienza a Roma. Verso la fine dell'estate del 1870, richiamato a Lugo dal padre, preoccupato a causa degli eventi politici e militari del momento, si iscrisse nel 1872 all'ateneo bolognese, ma nel 1873 entrò alla Scuola Normale Superiore di Pisa, dopo aver vinto il concorso di ammissione. A Pisa, Ricci Curbastro si avvalse dell'insegnamento di due fra i più grandi matematici dell’epoca: Enrico Betti, per il corso di Meccanica celeste, e Ulisse Dini, per il corso di Analisi superiore..."

Il secondo contributo di Annarita riguarda una tematica assai particolare: le reti geometriche.
Nel post "Sulle reti geometriche" la prof. va ad illustrare innanzitutto cosa siano (riportando pure un teorema dovuto a qualcuno che ormai dovreste conoscere bene, Eulero) le suddette reti, dopodiché passa all'analisi di ben 2 esercizi. Di seguito la breve introduzione del post:

"Per Giovanni, studente liceale, che me ne ha fatto richiesta, ho svolto una ricerca sulle reti geometriche, trovando su Wikisource "Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane", un libro di Luigi Cremona (7 dicembre 1830 - 10 giugno 1903, matematico e politico italiano) che dedica l'art. 15 alle reti geometriche.
Il tema non è molto diffuso in rete, così, spulciando in qua e in là, mi sono imbattuta in due interessanti esercizi sulle reti geometriche che riporto dai "Quadrati magici di Fermat" di Édouard Lucas (Amiens, 4 aprile 1842 - Parigi, 3 ottobre 1891, matematico francese)." 

Leggendo questo post ho immediatamente pensato che l'articolato e vasto "skill tree" alla base del videogame Path of Exile potrebbe essere visto come una bella versione moderna di rete geometrica! Giudicate voi stessi:


















Non vi anticipo altro. Passiamo al terzo articolo. Questo riguarda una tra le figure fondamentali della matematica del XIX secolo (che abbiamo già citato nell'introduzione al Carnevale): "Felix Klein, Dentro la storia della matematica".

E non è finita qui! Annarita ci propone anche un contributo nuovo di zecca. Come avrete modo di leggere, questo è dedicato, in particolare, alla teoria dei numeri. Il post si intitola infatti "Teoria dei numeri: la regina della matematica", prendendo spunto da un'affermazione del sommo Gauss:

«La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica». 

Dunque la brava prof. traccia una sintetica ma interessante presentazione di tale disciplina, segnalandoci a fine post pure ottimi link di approfondimento.
Riportiamo un miniscolo frammento:

"La teoria dei numeri è un'antica disciplina. Le prime formulazioni dei problemi della teoria dei numeri, e le soluzioni di alcuni di essi, risalgono, infatti, a Pitagora e alla sua scuola e sono enunciate negli Elementi di Euclide. Euclide ha dimostrato l'infinità dei numeri primi con il metodo della reductio ad absurdum, un metodo di dimostrazione che procede con la formulazione di una proposizione che poi si risolve in una contraddizione, dimostrando così che la proposizione è falsa. Un altro problema è, sin dai tempi più antichi, quello della risoluzione di equazioni a coefficienti interi: Pitagora risolveva equazioni quadratiche legate ai triangoli rettangoli, Euclide utilizzava equazioni lineari per calcolare il massimo comun divisore di due numeri interi e Archimede studiava equazioni quadratiche, note oggi come equazioni di Pell."

Un ammonimento: procedete nella lettura o qualche regina vi potrebbe tagliare la testa!



Flavio Ubaldini (conosciuto sul web come Dioniso Dionisi), oltre alla cellula melodica che avete potuto apprezzare all'inizio del Carnevale, ci invia, dal blog Pitagora e dintorni, un contributo che rientra in tema, pensate un po', per soli 3 anni! Trattasi infatti della seconda parte di un post dedicato ai cosiddetti numeri p-adici. Questi furono introdotti, nel 1897, dal matematico tedesco Kurt Hensel (1861-1941), allievo di Kronecker e mostrano un'importante utilità nell'ambito della teoria dei numeri. Ripartendo dalla segnalazione della 1° parte, il nostro Dioniso, in "La medaglia Fields e i numeri p-adici - seconda parte", ci regala una stimolante chiacchierata esplicativa, concludendo alla fine con diverse feconde risorse per approfondire il tema trattato. Ecco l'incipit del post:

"– Allora, dicevamo che … non mi ricordo più…
– E certo! Dopo così tanto tempo! Avevamo concluso con la mia domanda. "Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E comunque, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico."

Aspettate; c'è pure un secondo contributo di Flavio. Trattasi di una libera traduzione, come l'ultima volta, di un passo tratto dal libro What Is Mathematics, Really? di Reuben Hersh inerente al platonismo in matematica. Il post in questione cerca di rispondere alla domanda: "I numeri naturali sono stati scoperti o inventati?". L'ho inserito nella sezione dei contributi in tema giacché lo spunto di riflessione sulla suddetta domanda scaturisce da una celebre affermazione di Leopold Kronecker:

"Dio fece i numeri interi; tutto il resto è opera dell'uomo."

Per saperne di più proseguite la lettura su Pitagora e dintorni.

Roberto Zanasi, aka zar, ci propone, dal suo blog Gli studenti di oggi, un contributo concernente i "Nodi di carta" a forma di pentagono. Stando a Wikipedia:

"Un primo accenno di sistematizzazione della teoria dei nodi venne fatto da Vandermonde (1735-1796), il matematico che introdusse il determinante, nel XVIII secolo, ma a parte rari sprazzi, si dovette attendere la fine del XX secolo per vedere la teoria dei nodi trovare una formalizzazione, anche in conseguenza della sua importanza in fisica teorica, per l'elaborazione delle teorie note collettivamente come teoria delle stringhe.
Il primo impiego in fisica è però dovuto a William Thomson, ossia Lord Kelvin: in pieno dibattito tra teoria ondulatoria e corpuscolare, egli propone nel 1867 gli atomi vortice. Essi sono formati da un'onda intrecciata in un nodo chiuso."

Per tali ragioni il contributo di Roberto si può considerare in tema. Il post non si propone tuttavia di trattare definizioni articolate di nodo, bensì rimane su un livello relativamente semplice. Leggiamo un breve passo dall'accattivamente scritto:

"questo non è un nodo”. “E perché no?”.
“Perché non è una curva chiusa. Un finto nodo come questo puoi sempre scioglierlo, mentre un nodo vero come quello della prima immagine non può essere sciolto, in modo da formare una circonferenza non annodata. Devi tagliarlo”.
“Ah, ecco. Ammesso che gli estremi non siano collegati in qualche modo, questo puoi scioglierlo, e farlo diventare un segmento”.
“Proprio così. Ricordi che abbiamo lavorato con una striscia di carta, un po' di tempo fa?”.
“Ricordo”.
“Ora proviamo a annodarla con un nodo semplice, ma non incolliamo gli estremi”.
“Insomma, proviamo a fare una cosa che tutte le persone appartenenti al mondo normale, eccetto quindi i Veri Matematici, chiamano nodo”.

Ok basta così, lasciamo un po' di suspance, che eliminerete soltanto recandovi subito su Gli studenti di oggi.

Dai nodi passiamo ai grafi con Stefano Pisani di MaddMaths!. Il termine "grafo" fu coniato (per indicare il preciso oggetto matematico) nel 1878 dal matematico James Joseph Sylvester (1814-1897). Abbiamo già potuto osservare, nell'introduzione al Carnevale, la nascita della teoria dei grafi grazie ad Eulero e qualcosa di similare con le reti geometriche raccontate prima da Annarita Ruberto. Pisani ci parla invece di un'applicazione moderna del concetto di grafo nell'articolo denominato "Chi è l'autore di questo testo? Lo rivelano...i grafi". Vediamone subito l'abstract:

"Trovare l’autore di un testo, di solito, non è difficile, se si ha a disposizione la firma. Quando invece la firma non è stata conservata, è deteriorata dal tempo, è stata deliberatamente omessa dall’autore o abbiamo a che fare con uno pseudonimo, l’attribuzione della paternità di uno scritto può diventare una faccenda molto complicata. Questo argomento è al centro della “stilizzazione”, ossia l’applicazione dello studio dello stile linguistico (di solito alla lingua scritta) spesso utilizzata per attribuire la paternità a documenti anonimi o contestati."

Sempre da MaddMaths! Roberto Natalini ci segnala un bel articolo scritto da Fulvio Ricci, professore ordinario di Analisi Matematica presso la Scuola Normale Superiore di Pisa, dedicato al grande matematico statunitense (ma nato in Belgio), scomparso da pochi mesi, Elias Menachen Stein, di cui Ricci è stato collaboratore per molti anni. Il post in questione ha come titolo "Eli, per tutti quelli che lo hanno conosciuto" e, a detta dell'autore, Stein

"ha profondamente innovato, nel corso dell’ultimo mezzo secolo, l’intero settore dell’analisi armonica, offrendo nuove visuali e nuove prospettive di approfondimento e di applicazione.... L’analisi armonica nasce alla fine del XVIII secolo con la teoria delle serie di Fourier e le loro applicazioni allo studio delle equazioni differenziali, a cominciare da quelle che regolano la diffusione del calore su un anello e il moto della corda vibrante.  Già nel corso del XIX secolo emerge chiaramente la duttilità del metodo di Fourier attraverso il passaggio dalla serie all’integrale di Fourier, con la possibilità di rappresentare funzioni non periodiche come sovrapposizione di un continuo di oscillazioni elementari (rappresentate dagli esponenziali immaginari eitx  con t∈ℝ)."

Naturalmente i contributi della grande banda dei MaddMaths! non finiscono qui; li rivedremo nella prossima sezione del Carnevale!

Mauro Merlotti, dal blog Zibaldone Scientifico, riparte da un argomento che ho affrontato 5 anni fa sul blog Al Tamburo Riparato, la spugna di Menger, e ne fa scaturire nuove interessanti prospettive. Infatti, nel suo post intitolato "Sezione di una spugna di Menger", va a porre in evidenza cosa succederebbe se andassimo a sezionare il suddetto singolare oggetto matematico (che è un frattale). Ebbene, il risultato di tale operazione è una straordinaria figura piena zeppa di stelle! Vi starete magari chiedendo: "Come mai questo articolo di Mauro è nella sezione dei post in tema, se la spugna di cui si parla è un oggetto descritto da Menger nel 1926?". Ebbene, il collegamento sta nel fatto che i primi lavori sui frattali (o meglio che anticiparono l'introduzione della denominazione "frattale" da parte di Mandelbrot nel 1975) vennero effettuati nel corso del XIX secolo da grandi matematici quali Weierstrass e Cantor, e l'insieme di Cantor viene pure descritto nel post.
A proposito di stelle, ascoltiamoci, come accompagnamento all'ottimo post di Mauro, l'esemplare versione di Stardust eseguita da Lionel Hampton nel 1947:



Gianluigi Filippelli, divulgatore scientifico nonché grande appassionato di fumetti, entra in questa sezione del Carnevale con 2 contributi provenienti dal blog DropSea.
Il primo riguarda un personaggio della storia della matematica che abbiamo già avuto modo di scoprire in questo Carnevale. Infatti, in "Ritratti: Felix Klein", ci viene fornita una panoramica sulla biografia e sui lavori fondamentali di questo straordinario matematico, bottiglia inclusa! Vi anticipo un breve stralcio dal bel post in questione:

"Klein è famoso per due risultati, uno di stampo popolare, la famosa bottiglia di Klein, l'altro nel campo della geometria. In particolare le sue principali scoperte in questo campo risalgono al 1871, durante il suo periodo in cui era a Gottinga (Göttingen). Pubblicò due articoli, che mostravano come le geometrie euclidee e non euclidee potevano essere considerate come spazi metrici determinati dalla loro particolare metrica. Una consegenza del lavoro di Klein era che la consistenza della geometria non euclidea era tale se e solo se anche la geometria euclidea fosse consistente.
In sintesi il programma di Erlangen intendeva la geometria come lo studio delle proprietà dello spazio e delle sue invarianti sotto l'azione di un gruppo di trasformazioni."

Il secondo contributo, "Wikiritratti: Evelyn Boyd", non è prettamente a tema, giacché è incentrato su un'eccezionale matematica (ancora in vita) che ha svolto, nel corso del XX secolo, lavori pionieristici nel campo della programmazione, oltre a fornire un significativo contributo alle missioni Apollo. Tuttavia nel post di Gianluigi è presente un diretto riferimento a degli sviluppi matematici compiuti da Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886), dunque, anche se per poco, la tematica portante del Carnevale viene toccata! Di seguito l'incipit del post:

"Evelyn Boyd è stata la seconda donna afroamericana, dopo Euphemia Lofton Haynes, a ricevere un dottorato in matematica presso un'università statunitense. Ottenne il titolo presso la Yale University diventando successivamente una pioniera nella programmazione.
Seconda figlia di William e Julia Walker Boyd, è nata a Washington l'1 maggio del 1924. Insieme con la sorella maggiore, crebbe con la zia e la madre, che si era separata dal marito quando Evelyn era in tenera età.
Studiò presso la Dunbar High School che, nonostante i problemi di segregazione razziale, era particolarmente competitiva per gli studenti afroamericani di Washington. Successivamente, grazie al sostegno economico della zia e di una piccola borsa di studio della Phi Delta Kappa, Evelyn Boyd entrò allo Smith College nell'autunno del 1941, dove si laureò magna cum laudee nel 1945 in matematica e fisica."

Non vi resta che continuare la lettura su DropSea! Per il momento i contributi di Gianluigi terminano qui, ma lo riaccoglieremo nella prossima sezione, dedicata ai post fuori tema, della presente kermesse.

Altro gran contributo, "Newton e Treviso: una storia di attrazione fatale",  è quello che ci propone Paolo Alessandrini dal blog Mr. Palomar. Cosa potrebbe mai legare il grande fisico/matematico inglese alla città italiana Treviso? Ebbene sussistono svariati collegamenti tra Newton e Treviso relativi alla storia della matematica e della scienza nel Settecento. Vi regalo sin da ora un breve passo dall'interessante e davvero originale articolo:

"Verso la fine del Seicento, l’opera di Newton si diffuse anche in Italia. Uno dei primi a leggerla e, cosa non certo scontata, a capirla, fu Jacopo Riccati, il diciottenne rampollo di una famiglia aristocratica di Castelfranco Veneto. Riccati era iscritto alla facoltà di legge dell’Università di Padova, ma il suo vero interesse era la matematica, e per questo seguiva le lezioni di padre Stefano degli Angeli, matematico e astronomo gesuita. Grazie all’incoraggiamento dell’anziano frate, Riccati diventò rapidamente uno dei principali divulgatori delle nuove idee matematiche e scientifiche newtoniane in Italia, contribuendo così a contrastare l’immobilità e la chiusura che dominavano il panorama scientifico dell’epoca in buona parte della Penisola. La fama di Riccati come illustre matematico si estese rapidamente in tutta Europa, soprattutto grazie ai suoi carteggi con i più grandi scienziati dell’epoca.
Con la nascita del calcolo infinitesimale, nacque in particolare un nuovo tipo di problema matematico: la risoluzione di equazioni differenziali. In un'equazione differenziale l'incognita da determinare è una funzione, che compare nell'equazione stessa anche sotto forma di sue derivate.
Riccati fu uno dei pionieri di questo settore e il suo nome venne legato a una particolare equazione differenziale da lui studiata, oggi centrale nella fisica quantistica e nell’automazione: si tratta di un'equazione differenziale ordinaria quadratica nella funzione incognita, ovvero del tipo

Dato che Paolo, tra le altre cose, va a citare il famoso album dei Pink Floyd The Dark Side of the Moon del 1973, ascoltiamo qui la bellissima The Great Gig In The Sky (ove spicca l'assolo vocale della cantante britannica Clare Torry), tratta proprio dal suddetto album:



Dal presente blog, Scienza e Musica, pervengono 4 contributi. Il primo deriva da una segnalazione da parte dell'australiano Paul Walker. Questi, infatti, contattandomi sulla pagina Facebook del blog, mi invia delle foto e dei video di alcune sue spettacolari creazioni artistiche ispirate alla pseudosfera di Beltrami. A tal proposito, Walker ha redatto anche una bozza di articolo in cui descrive le proprietà delle forme ottenute, oltre al procedimento per realizzarle. Mi ha chiesto espressamente di tradurre l'articolo per poter partecipare al Carnevale e io ho accolto la richiesta. Ho tradotto le parti essenziali del suo articolo, aggiungendo piccole precisazioni laddove necessario e ne è uscito fuori il post che ho intitolato "L'arte della matematica di Paul Walker". Di seguito un breve passo dal suddetto contributo:

«Non molti hanno potuto ammirare i miei modelli a vortice/tornado, ma chi ha visto i pezzi della dimostrazione li ha trovati interessanti ed esteticamente appaganti.
Oltretutto, questi possono diventare incantevoli se messi in mostra appesi.
Le mie forme a vortice dovrebbero essere presenti in ogni dipartimento scientifico!
Trattasi di una semplice scoperta e di una possibile "forma con cui giocare" nella creazione di energia.
Questi vortici ricordano un po' quelli utilizzati dal naturalista e inventore austriaco Viktor Schauberger (1885-1958)»

Oltre a contribuire direttamente con il suo articolo, lo scambio intellettuale con Paul Walker mi ha ispirato per la realizzazione di un originale contributo. Infatti, il sottoscritto, Leonardo Petrillo, ha realizzato un post intitolato "La magnifica superficie di Dini", focalizzato nella breve illustrazione di tale superficie ottenuta nientemeno che dalla torsione di una pseudosfera! Oltre a ciò, il post in questione va a tracciare la biografia di un eccezionale matematico italiano del XIX secolo: Ulisse Dini. Riporto un breve stralcio dal post:

"Figlio di Pietro Dini e di Teresa Marchionneschi Dini, Ulisse Dini, nato a Pisa nel 1845, non proveniva certo da una famiglia benestante, tuttavia gli fu impartita una buona educazione.
Fu allievo di Enrico Betti (1823-1892) alla celebre Scuola Normale Superiore e ne continuò le ricerche.
Nel 1865 Dini vinse una competizione che gli permise di continuare i suoi studi all'estero, in particolare a Parigi, sotto la guida di Bertrand ed Hermite.
Il periodo parigino fu decisamente fecondo da un punto di vista matematico per il giovane Ulisse; scaturirono infatti ben 7 pubblicazioni.
Nel 1866 il matematico italiano fece ritorno a Pisa, ove fu nominato professore all'Università e diede lezioni inerenti ad argomenti avanzati di algebra e pure sulla teoria della geodesia.
Nel 1871 ottenne poi la cattedra di analisi e geometria, sino a quel momento tenuta da Betti."

E adesso il terzo contributo, denominato "Le funzioni gamma e beta di Eulero". Sì, ancora lui; Eulero è "come il prezzemolo" in questo Carnevale! Scherzi a parte, tale articolo continua e termina la lunga serie di post dedicati all'analisi complessa andata avanti per mesi su Scienza e Musica, ma allo stesso tempo è pienamente focalizzato sulla tematica centrale del presente Carnevale della Matematica. Infatti ,il post in questione non solo cerca di presentare le peculiarità essenziali di tali 2 importanti funzioni, ma ci racconta anche i retroscena storici che ne stanno dietro! Ve ne anticipo subito un piccolo passo introduttivo:

Questa puntata è dedicata a 2 particolari funzioni introdotte da Eulero (1707-1783) e, al fine di illustrarle, faremo uso di alcuni dei concetti spiegati nei post passati.

Cominciamo dicendo che nel 1727 Eulero venne chiamato da Daniel Bernoulli a ricoprire una cattedra di medicina prima, e matematica poi, presso l'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo.

I 2 divennero stretti collaboratori fino alla dipartita di Bernoulli nel 1733.

L'autodidatta Christian Goldbach era anch'egli, in quegli anni, professore presso la suddetta Accademia.

Pare che fu proprio Goldbach a proporre ad Eulero di trovare una funzione che estendesse il fattoriale ai numeri non interi.

Ne seguì una corrispondenza tra i 2 (che continuò poi su innumerevoli questioni per ben 35 anni) durante la quale, in una celebre lettera di Eulero a Goldbach del 13 ottobre 1729, comparve per la prima volta la funzione gamma sotto forma di limite di un prodotto e di prodotto infinito:

Questa è appunto la cosiddetta rappresentazione di Eulero per la funzione gamma. 

In verità, tale funzione si può definire in modo più semplice mediante "l'integrale euleriano di II tipo":

L'ultimo contributo non è di tipologia usuale, ovvero un post di divulgazione, bensì un racconto ideato dal sottoscritto. Un racconto, dal titolo "Il fantastico zoo della geometria", con elementi stravaganti e fuori dalla realtà, ma allo stesso tempo un tentativo di spiegare le proprietà di alcune forme geometriche in modo semplice e divertente. In questo fantomatico zoo troverete infatti figure geometriche parlanti (dai semplici cerchi e quadrati, sino a pseudosfere e varietà di Calabi-Yau), che si vanteranno un po' delle loro straordinarie peculiarità. Una lettura alla portata di chiunque, pure di ragazzi curiosi come il protagonista della storia, Bernardo R. Chissà chi mi avrà mai ispirato il suddetto nome! Eccone un breve assaggio per i curiosi:

"Ad un tratto una voce da bambino esclamò: "Ciao, io sono un cerchio. Sono modestamente la figura piana più bella ed importante. A me sono collegati concetti come il pi greco, le rotazioni, i moti angolari, oltre al fatto che sin dall'antichità il grande Aristostele riteneva noi circonferenze le uniche in grado di rappresentare degnamente il moto dei corpi celesti, oggetti perfetti ed incorruttibili, pervasi dal cosiddetto etere o quintessenza."
"Finitela di pavoneggiarvi!" intervenì un quadrato. "Noi quadrati non siamo da meno. Rappresentiamo il prototipo di poligoni regolari e se voi avete il pi greco, beh noi abbiamo la radice di 2 dalla nostra parte. Risulta sufficiente infatti considerare il nostro lato unitario per far uscire quel meraviglioso numero, che ha dato il via alla scoperta dei numeri irrazionali. Caro cerchio e il tuo idolo da strapazzo pi greco, voi non siete certo meglio di noi!""

Prima di passare alla prossima sezione di contributi, prendiamoci una breve pausa, un interludio lo chiamerei, per leggere una magnifica poesia di Paul Walker scritta nel 2003, che lo stesso Walker mi ha permesso di condividere con tutti voi. Essa si intitola "Harmony" ed è dedicata alla nostra adorata musica:

«A solo voice was singing
quite a pretty little song.
Another voice who knew the tune
joined in and sang along.
The duet sang in unison
their voices side by side.
One bass voice one soprano
on the same melodic ride.

Another singer joined them.
counter pointed to their sound.
As this voice descended theirs would climb
and the other way around.
The tune got woven, twisted, plaited
in a tapestry to hear.
Building to a pretty picture
that grabbed people by the ear.

Now each singer had to listen
to the others singers parts
to stay in time and stay in tune
with all their fellow singers hearts.
They had to work with common purpose
if they all would get along
and welcome other different voices
to build the richest fullest song.

All the voices, joined together
had the audience entranced.
Folk were swaying to the rhythm
while some other people danced.
And they sang about community
but with a common ground
where each one had a part to play
so that harmony was found.»

La prima volta che lessi questi versi, subito nella mia mente è affiorata l'immagine di un fantastico gruppo di voci, i Voces8.
Ascoltiamo a tal proposito la famosissima canzone "Maria", tratta dal musical West Side Story del grande direttore d'orchestra e compositore Leonard Bernstein (1918-1990), interpretata proprio dal sopracitato gruppo:



Subito dopo ho pensato: ma se tutte queste voci raccontate dalla poesia si potessero in qualche modo riunire in una sola? Impossibile?
La risposta è NO!
Esiste infatti qualcuno che è in grado di racchiudere in sé praticamente tutti i registri della voce umana esistenti.
Trattasi del giovane artista kazako Dimash Kudaibergen.
Andiamoci allora ad ascoltare il brano "The Love of Tired Swans", scritto da Igor Krutoy (e originariamente splendidamente interpretato nientemeno che da Lara Fabian), nella versione di Dimash (spettacolare anche il video di presentazione):

 

A seguito di colui che è spesso chiamato "The Best Voice In The World" (e avete potuto capire il perché), mettiamo in scena l'atto II di questa meravigliosa sfilata di prelibatezze matematiche!

EXTRA MOENIA

Ebbene sì, non ci sarebbe Carnevale della Matematica se non fossero presenti quei contributi che non rientrano nel tema dell'edizione, quelli che sono abituato a chiamare contributi "extra moenia".



No, non pensate che questa sia una lista nera dei partecipanti al Carnevale "cattivi" perché non hanno seguito pedissequamente le direttive.
Tutt'altro, le regole della kermesse stessa favoriscono l'entrata di qualsivoglia tipologia di post, a patto che abbia in qualche modo a che fare con la matematica! 

La prima partecipante in tale sezione è Annalisa Santi, che mostra una grandissima passione non solo per la matematica ma pure per il tango. Non a caso il suo blog si chiama Matetango. C'è da dire che Annalisa non è rientrata "per un pelo" con i 2 suoi contributi nella categoria «in tema». Infatti i suddetti risultano sfasati rispettivamente di un secolo prima e un secolo dopo rispetto all'intervallo temporale del XVIII-XIX secolo. Il primo dei suoi articoli si promette di approfondire circa un personaggio il cui nome è sicuramente conosciuto da chi abbia appreso i rudimenti minimi di analisi matematica alle superiori o all'università. Ci stiamo riferendo a "Michel Rolle e il vitalizio di Colbert". In particolare, il post va a trattare, stando alle parole della stessa Annalisa:

"una curiosità legata al problema di Ozanam-Rolle e al vitalizio di Jean-Baptiste Colbert che ne seguì alla dimostrazione. Sì perché i vitalizi, tanto di attualità negativa oggi, esistevano anche nel XVII secolo! Anche se non erano dati alla "casta" politica, ma assegnati per merito!"

Anticipiamo per i curiosi una stuzzicante piccola porzione del post:

"In tutti i testi elementari di analisi matematica infatti si trova dimostrato questo teorema, il teorema di Rolle.
Si tratta dunque di un teorema molto noto che si porta nel programma di Analisi già nell'ultimo anno del Liceo Scientifico e negli esami di Analisi 1 o Matematica 1 delle facoltà scientifiche,  che però, a ben vedere, non nacque per essere applicato a funzioni bensì Rolle trovò il teorema, che oggi porta il suo nome, nel quadro delle ricerche finalizzate ad ottenere un metodo di risoluzione numerica per le equazioni di grado qualsiasi.
Il suo obiettivo era infatti quello di localizzare le radici di un polinomio p(x), cioè trovare intervalli della retta reale all’interno dei quali si è certi dell’esistenza di una o più radici del polinomio.
Tant'è che Rolle pubblicò nel 1691 un opuscolo dedicato alla dimostrazione del metodo, la "Démonstration d’une methode pour resoudre les égalitez de tous les dégrez".
Le equazioni considerate da Rolle erano a coefficienti reali ed il metodo era propedeutico al calcolo delle radici reali, mentre un’estensione al caso complesso fu enunciata molto tempo dopo da Gauss, nel 1816."

Per saperne di più, proseguite la lettura su Matetango! Passiamo al secondo contributo: "MacWilliams, un matematico donna". Questo splendido post infatti, partendo dalla considerazione che lo stereotipo del "matematico" è sicuramente un uomo, narra di un "matematico" donna, Jessie MacWilliams (1917 - 1990), e dei suoi contributi alla Teoria dei Codici (riguardo alla quale ci viene oltretutto segnalata un'ottima dispensa). Già dall'incipit Annalisa crea un grandissimo spunto di riflessione:

"Cosa immagini quando senti un nome legato a un teorema?  La probabilità è che la prima immagine che viene in mente sia quella di un matematico uomo, perché certi stereotipi prevalgono.
 E' capitato anche a me quando mi sono imbattuta nel Teorema di MacWilliams.  Ho immediatamente immaginato MacWilliams come un uomo, ma ho piacevolmente poi scoperto, anche attraverso un simpatico aneddoto, che Jessie MacWilliams, in realtà, era una donna incredibilmente talentuosa.  Questo conferma che l'immagine tipica di un "matematico" è dipinta come l'immagine di un uomo. Lo stereotipo ha influenzato persino me, matematica, a immaginare un matematico come un uomo ogni volta che sento un nuovo nome.  Questo nonostante fin dalle medie (la mitica prof.ssa Massarani), quindi al liceo (prof.ssa  Carniello) e all'università (prof.ssa Marchionna di Algebra, prof.ssa Roux di Istituzioni di Analisi o prof.ssa De Socio di Meccanica Razionale...) abbia avuto, come docenti delle bravissime "matematiche" donne!  Va anche notata la mancanza (o mancanza di conoscenza) di modelli femminili in matematica, che contribuisce a questa disparità.  Tutti sanno quanto siano importanti i modelli di ruolo per bambini e adolescenti, soprattutto quando iniziano a pensare ai loro progetti per il futuro. 
"La matematica può essere meravigliosa, in quanto ha così tante applicazioni e penso che queste dovrebbero essere mostrate agli studenti in giovane età. Tuttavia, la maggior parte delle ragazze semplicemente non la considera, dato che spesso non conoscono nessun "matematico" donna."

Fiondatevi dunque su Matetango per scoprire la vita e le ricerche della grande matematica del XX secolo MacWilliams.

Il grande capo fondatore del Carnevale della Matematica, Maurizio Codogno o, in breve, .mau., ci regala tante sorprese di carattere matematico da 2 suoi blog.
Cominciamo dal blog Il Post:

• "Problemini per Pasqua 2019", tratti dal libro The Ultimate Mathematical Challenge. Naturalmente .mau. fornisce anche le risposte ai vari quesiti. Riporto il testo di un quesito molto particolare:

"Giornata dello Sport nel Paese delle Meraviglie
Oggi c’è stata la Giornata dello Sport nel Paese delle Meraviglie. I partecipanti erano tre: Alice, la Falsa Tartaruga e la Lepre Marzolina. Quest’ultima ha naturalmente vinto la corsa nei sacchi: in generale, tutti i contendenti hanno partecipato a tutte le gare, in ciascuna delle quali veniva assegnato un certo numero positivo di punti al primo, un altro numero al secondo e un numero ancora diverso al terzo. (Anche se siamo nel Paese delle Meraviglie, il primo prende comunque più punti del secondo e il secondo più del terzo). Il risultato finale della giornata ha visto Alice vincere con 18 punti, mentre la Falsa Tartaruga ne ha ottenuti 9 e la Lepre Marzolina 8. Sapendo che non ci sono stati ex aequo, quante sono state le prove? E chi è arrivato ultimo nella corsa col cucchiaio?"

• "Raffreddamento globale e giochi di azzardo". Trattasi di un intrigante articolo che compie un paragone (forse, a detta di .mau., un po' azzardato) tra la grossa ondata di freddo di questo inizio maggio e i gratta-e-vinci. Ve ne propongo sin d'ora un breve assaggio:

 "In questi giorni c’è stata un’incredibile ondata di maltempo in mezza Europa. In Italia abbiamo avuto nevicate a meno di 500 metri di altezza sull’appennino emiliano, nonostante siamo in maggio: pare che un avvenimento simile non capitasse da più di sessant’anni. Subito si sono alzate diverse voci per sbeffeggiare chi si preoccupa del riscaldamento climatico, chiedendo loro che ne pensavano di questo “caldo”. La risposta è molto semplice, e ha parecchio a che fare con il gioco d’azzardo."

Sì fa proprio freddo qui fuori!



Per quanto concerne il blog Notiziole di .mau., abbiamo la seguente carrellata di contributi:

• La recensione del libro "Tutto l'universo per chi ha poco spazio-tempo" di Sandra Savaglio. Come evidenzia Maurizio a fine post, "una lettura consigliata per tutti i curiosi e anche per chi troppo curioso non è". 

• "Quizzino della domenica: la giusta posizione". Un problema riguardante 3 semicirconferenze.
• "Quizzino della domenica: "niente vicini". Qui abbiamo a che fare con 6 caselle!
• "Quizzino della domenica: E pluribus unum", ove ci viene chiesto di sostituire dei numeri agli asterischi in una certa uguaglianza.
• "Quizzino della domenica: THOG". Nel suddetto abbiamo a che fare con quadrati e cerchi bianchi e neri (no, niente Juventus!).
• "Quizzino della domenica: "Lancia l'euro". Qui abbiamo una moneta, una griglia quadrettata e una certa probabilità da rinvenire.

•  "Classifiche buttate lì", che spiega come dare dati "precisissimi" non ha un grande senso e soprattutto dovrebbe essere fatto in modo diverso.  

Maurizio ci tiene inoltre a segnalare un bel post di Francesco Polizzi, il quale, anche se ufficialmente non partecipa al Carnevale, merita comunque una menzione (e mi trovo perfettamente d'accordo).
Il titolo del post in questione è "Le due culture in Matematica". Partendo dalla considerazione che spesso e volentieri la matematica non viene considerata parte del patrimonio culturale (a differenza della letteratura, della poesia e della filosofia, e specialmente in Italia, come illustra un post di Stefano Marcellini), Polizzi compie un'interessante analisi sul fatto che sussistano appunto due culture differenti restando nel campo della matematica. Il post si prefigge di mettere tuttavia bene in chiaro che in matematica non si può fare una classifica e dire, per esempio, "questa è matematica di grado A" e "questa è matematica di grado B", giacché anche quei rami (come la matematica discreta e combinatoria) che vengono da qualcuno considerati inferiori, citando le parole dell'autore, "contengono al loro interno principi generali di vasta applicabilità".
Di seguito una carina infografica dei rami fondamentali della matematica, che potete vedere ingrandita qui.

Roberto Natalini, Direttore dell'Istituto per le Applicazioni del Calcolo del CNR, ci fa pervenire per questa sezione una grande quantità di contributi dal sito MaddMaths!, di cui è amministratore:

1) Videogames e matematica un abbinamento impossibile? Abbiamo già avuto modo, qui su Scienza e Musica, di constatare in passato quanto questi mondi siano più vicini di quanto si pensi. Roberto ci presenta un ulteriore passo in avanti nel contributo intitolato "Un premio per Maggie, l'app per giocare con la matematica". Questo parla infatti di un'app in cui risultano presenti enigmi matematici sotto forma di gioco. Ecco l'incipit del post:

"L’app educativa Maggie – il tesoro di Seshat è stata premiata. Sviluppata per contrastare gli stereotipi di genere e inserita nel portale NoiSiamoPari del MIUR, l’app (gratuita e supportata da tablet e cellulari) fa giocare bambine e bambini con la matematica attraverso le avventure della protagonista Maggie (il nome è un tributo a Margherita Hack), e adesso ha vinto a Roma il premio dedicato alle eccellenze del mondo dei videogiochi “Best Applied Game” organizzato da AESVI-Associazione editori Sviluppatori Videogiochi Italiani, assegnato a Cinecittà durante il RomeVideoGameLab19."

2) "Olimpiadi Nazionali di Matematica - XXXV Edizione - Cesenatico 2019: risultati principali e foto". Ecco la presentazione del post di Roberto:

"La finale nazionale delle Olimpiadi di Matematica si è svolta a Cesenatico anche nel 2019, dal 2 al 5 maggio. Hanno partecipato circa 300 studenti da tutta Italia, più alcuni ospiti stranieri. Riportiamo in tempo (quasi) reale i principali risultati e una prima gallery dei vari momenti della manifestazione (in collaborazione con Piermarco Cannarsa e Luigi Amedeo Bianchi, nostri inviati sul posto)."

3) Roberto Natalini ci fa giungere pure un breve ritratto, scritto da Adam Atkinson, del cantautore-pianista-satirico-matematico americano Tom Lehrer, che poco più di 1 mese fa ha compiuto 91 anni. Ne riporto un piccolo frammento:

"Una conoscenza di base di Tom Lehrer può essere utile se frequentate anche minimamente ambienti con matematici o scienziati di madrelingua inglese, più o meno per lo stesso motivo per cui per me è opportuno capire che “E io pago” e “come se fosse antani” sono riferimenti culturali di base per qualsiasi italiano adulto. Non saprei dirvi quanto sia conosciuto in generale nei paesi di lingua inglese, ma Cameron Mackintosh (quello di “Cats”) ha fatto uno spettacolo con le sue canzoni, “Tom Foolery” all’inizio degli anni 80. “The combined profits of Cats and Tomfoolery made Cameron into the man he is today”, dice Lehrer. La sua citazione più nota è forse “It is a sobering thought, for example, that when Mozart was my age, he had been dead for two years.” (Ti dà da pensare, per esempio, che quando Mozart aveva la mia età, era già morto da due anni.) Questa frase si trova dall’introduzione di “Alma” che si può vedere in questo video:



4) Sempre tramite Roberto ci giunge il contributo di Stefano Finzi Vita, della Sapienza Università di Roma, intitolato "Pile di sabbia, frattali e dune nel deserto". L’8 febbraio 2019 il sito EurekAlert!, citando una ricerca appena pubblicata su PNAS  da Moritz Lang e Mikhail Shkolnikov dell’Institute of Science and Technology of Austria, annuncia: il famoso ’sandpile model’ mostra di muoversi come una duna viaggiante! Di cosa si tratta? Lo scoprirete solo leggendo il post su MaddMaths!

5) Nicola Parolini ci racconta, nel post "Dalla magia delle onde alla radio", un bellissimo progetto proposto da Gianluigi Boccalon nella rubrica Esperienze Transdisciplinari di Matematica. Trattasi di un percorso laboratoriale sui principi fisici e matematici legati all'elettromagnetismo ed ai circuiti elettrici. Infatti, nella prima parte del documento posto in coda all'articolo, vengono illustrati in modo chiaro i concetti fondamentali relativi alle onde elettromagnetiche (ad un livello naturalmente perfettamente comprensibile per ragazzi di scuola media). Dopodiché il documento di Boccalon fornisce un vero e proprio manuale di autocostruzione di una semplice radio!

6) Ritorna Stefano Pisani che ci spiega, nel contributo intitolato "Modello matematico permette di creare pesticida che rispetta le api e l'ambiente", come matematici e biologi abbiano unito le forze, in difesa del grano, contro i parassiti, senza danneggiare l’ambiente o le api. Infatti, stando all'abstract dell'articolo di Pisani:

"Un matematico dell’Università del Sussex, Konstantin Blyuss, ha messo a punto un pesticida che rispetta l’ambiente. Blyuss ha collaborato con biologi dell’Accademia Nazionale delle Scienze dell’Ucraina sviluppando un metodo genico in grado di colpire i nematodi, microscopici vermi parassitari che distruggono le colture di grano. Si stima che, ogni anno, vengano persi circa 130 miliardi di dollari di colture a causa dei nematodi."

7) Sempre Pisani illustra, in "Il successo di un tweet? Si capisce dai primi 50 retweet", una news inerente alla matematica alla base della popolarità di un tweet. Riporto l'incipit del post:

"Quanto può durare la “vita” di un tweet? Ovvero: per quanto tempo un può “far parlare di sé”, suscitando cuoricini e retweet, prima di entrare nell’oblìo? Secondo Li Weihua e colleghi dell’Università cinese di Beihang, la vita di un tweet dipende strettamente dai primi 50 retweet: la sua viralità è modulata principalmente dal suo tasso di diffusione iniziale e caratterizzata da una successiva, graduale perdita di interesse nel tempo. La ricerca è stata pubblicata sulla rivista PLOS ONE."

8) Barbara Nelli segnala un contributo scritto da Riccardo Aragona, ricercatore di tipo A presso l'Università dell'Aquila, riguardante la "Crittografia: opposti che si attragono". Vediamone subito un minuscolo frammento dell'introduzione:

"La crittografia è l’insieme delle teorie e delle tecniche che rendono sicura la comunicazione di messaggi segreti. Sin dalla sua antichissima origine, essa è sempre in bilico tra aspetti che nell’immaginario collettivo sono considerati contrapposti: il costruire e il distruggere, i buonie i cattivi, la teoria e la pratica. Tutti concetti a priori antitetici, che però nella crittografia rappresentano due facce della stessa medaglia. Per molto tempo la crittografia è stata utilizzata soprattutto in ambito governativo e militare o vista al massimo come materiale per la sceneggiatura di film o la trama di romanzi incentrati su spionaggio, codici segreti o misteri in genere. Ormai il problema di scambiarsi informazioni private, che risultino indecifrabili da terze persone, è più che mai attuale. Solo alcuni esempi sono chiamare con il cellulare, aprire l’auto con il telecomando, ritirare contante al bancomat o utilizzare le applicazioni del nostro smartphone."

Silenzio!



Arriva un'altra big band di matematici, quella dei Rudi Matematici.  Costoro ci propongono 4 contributi dall'omonimo blog sul sito de Le Scienze:

1) "Trattasi di decidere". È un problema che riguarda geodetiche e solidi platonici. Ne riporto una piccola anticipazione per capire meglio di cosa si stia parlando:

"Una volta tanto, partiamo dal caso complicato. Prendete un icosaedro.Si vede facilmente che in ogni vertice si incontrano cinque triangoli; se poi guardate una qualsiasi suddivisione di quelle mostrate in Figura 2, estendendola a tutti i triangoli dell’icosaedro, vi accorgete subito che queste nuove suddivisioni fanno convergere in ogni vertice sei segmenti, e quindi quando gonfiamo il nostro icosaedro suddiviso otterremo un qualcosa che rassomiglia vagamente ad una sfera con alcuni vertici in cui convergono cinque segmenti e altri vertici in cui ne convergono sei.







La cattiva notizia è che quindi il nostro aggeggio non è perfettamente regolare, la buona notizia è che questo fatto ci permette di inventarci una nuova catalogazione. Infatti se prendete i vertici in cui convergono cinque segmenti avete il vostro icosaedro di partenza, e quindi se ne prendete due vicini e contate quanti vertici con sei segmenti convergenti ci sono sulla “linea” (mettiamo il termine tra virgolette, ma se ci riferiamo alla nostra struttura questa è una linea a tutti gli effetti; non solo, è anche una geodesica), sapete subito in quante parti avevate diviso il vostro triangolo iniziale; siccome quelli che avete contato sono vertici, le diverse cupole geodesiche vengono solitamente indicate con i termini 2V, 3V, 4V, eccetera; questo significa, tra l’altro, che in una qualsiasi cupola geodesica avete sempre e solo dodici vertici in cui si incontrano cinque spigoli. In Figura 3 ve ne mettiamo tre, giusto per esercitarvi scoprite di “quante V” sono."

 2) La soluzione de "Il problema di Aprile (608) - Equilibrio felino del terrore". Come preannuncia il titolo, trattasi della soluzione del problema proposto nel numero di aprile della nota rivista Le Scienze. In realtà, vengono discusse pure alternative interpretazioni al suddetto problema. Di seguito l'incipit del post:

"La logica felina è strana almeno tanto quanto il calendario felino. Ad esempio, secondo buona parte del mondo oggi (o meglio: il giorno in cui questo post viene pubblicato e reso visibile agli esseri umani) è il 4 maggio, ma per il mondo dei gatti è ancora il 28 Aprile, giorno in cui era prevista la pubblicazione del post di soluzione al problema pubblicato nel numero di Aprile di Le Scienze.

"La logica felina è strana almeno tanto quanto il calendario felino. Ad esempio, secondo buona parte del mondo oggi (o meglio: il giorno in cui questo post viene pubblicato e reso visibile agli esseri umani) è il 4 maggio, ma per il mondo dei gatti è ancora il 28 Aprile, giorno in cui era prevista la pubblicazione del post di soluzione al problema pubblicato nel numero di Aprile di Le Scienze.
Ci ritroviamo così nell'insolita situazione che potrebbe condurci immediatamente ad una profonda analisi del metodo gattesco di conteggio del giorni (che abbiano un calendario a mezza via tra quello Giuliano e quello Gregoriano?) o, ancora più direttamente a un confronto curioso e spietato sulle differenze tra le soluzioni proposte dai lettori e quella redazionale, visto che il numero di Maggio di Le Scienze - con relativo box di soluzione all'enigma di Aprile - è già trionfalmente in edicola. I nostri lettori sono esperti e smaliziati, e soprattutto sanno benissimo che non è affatto dette che le soluzioni della redazione siano necessariamente più affidabili di quelle dei lettori, e così le occasioni di dibattito possono fiorire qual gemme in questa matura primavera.

Ma veniamo ai termini del problema. Ecco il tradizionale riassunto in corsivo:

Due gatti antagonisti si sono piazzati nell’aiuola circolare, su un diametro, alla distanza di un terzo di diametro dal bordo e tra di loro, controllando così esattamente metà dell'area circolare ed in equilibrio stabile. Gaetanagnesi si avvicina all'aiuola, come deve procedere e dove deve piazzarsi per mantenere l'equilibrio stabile?"

3) "5 maggio 1889: Buon compleanno René!". Gli articoli sui compleanni di grandi matematici da parte dei Rudi rappresentano sempre delle pietre miliari nell'ambito della divulgazione storico-matematica. Questa volta l'introduzione al post è dedicata alla Prima Guerra Mondiale e, nello specifico, al maggio del 1915, periodo che vide l'Italia entrare in guerra. A seguito di una profondissima analisi storica, si passa al nocciolo della questione: la vita di una mente brillantissima, quella del francese René Gateaux, scomparsa troppo precocemente proprio nel bel mezzo delle trincee. È una storia davvero triste, ma che merita di essere conosciuta. Eccovi un lillipuziano frammento da questo gioiellino di post:

"Non è possibile, non lo è mai, anche solo azzardare un bilancio della perdita culturale causata dalla scomparsa precoce di tante menti brillanti. Se la matematica è, come crediamo che sia, una costruzione intellettuale grandiosa e condivisa da tutta l’umanità, possiamo forse consolarci pensando che l’edificio matematico ha continuato e continuerà a crescere anche senza i contributi di molti geni matematici falciati dalle mitragliatrici e crocifissi sul filo spinato, ma la verità è che non lo sapremo mai, se è davvero così. Per contro, sappiamo per certo che le cannonate e le trincee hanno di certo ucciso delle menti geniali, come quella di René Gateaux...

René Eugène Gateaux nasce il 5 Maggio 1889 in un piccolo paese tra lo Champagne e le Ardenne che sembra essere predestinato a generare matematici: Vitry-le-François. La cittadina non arriva a contare neppure ai giorni nostri quindicimila abitanti, ma è qui che vede la luce anche Abraham de Moivre, nel 1667, e François Jacquier nel 1711. René non è di famiglia particolarmente agiata, e quando il padre Henri muore nel 1905 a soli 44 anni, è immaginabile che il sedicenne René, suo fratello dodicenne Georges e la madre Marie Alexandrine passino dei momenti veramente difficili.

Gateaux è, molto probabilmente, uno studente brillante fin dall’adolescenza: per quanto non si abbiano notizie precise sulla sua carriera scolastica prima del suo arrivo a Parigi, si possono dedurre alcune cose sulla sua vita dal primo documento scritto di pugno dal giovane medesimo. Si tratta della lettera con la quale Gateaux richiede l’ammissione alla sezione scientifica della Ecole Normale di Parigi. La domanda è relativa all’anno 1906, ed è prematura, perché René ha ancora solo diciassette anni: proprio per questo si immagina che il giovane liceale di Reims sia con ogni probabilità uno studente molto brillante nelle materie scientifiche. Altra informazione deducibile dal documento: si capisce anche che René apparteneva alle cosiddette “Classi Preparatorie” del Liceo di Reims, e queste “classi” erano corsi elitari che i licei organizzavano proprio per consentire ai migliori studenti l’accesso alle grandi e prestigiose scuole nazionali francesi, come la Scuola Normale Superiore o il Polytechnique."

4) "Quick & Dirty: Originali misuratori di tempo". Un divertente Quick & Dirty per misurare il tempo.

Oltre a tutto ciò, mi giunge la segnalazione del numero di Maggio dell'e-zine RM244, che potrete leggere cliccando qui.

 

Compie il suo ritorno, come anticipato, Gianluigi Filippelli. Per la nostra sezione extra moenia ci fa pervenire altri 4 contributi dal suo blog DropSea:

• "I rompicapi di Alice: L'arte di proiettare oggetti". Trattasi di un breve ma gradevolissimo articolo relativo all'arte anamorfica, iniziata da Leonardo da Vinci (da pochi giorni si sono celebrati i 500 anni dalla sua morte), e le sue connessioni con la geometria. Leggiamo sin da ora che:

"Il termine anamorfico è costituito dalle due parole greche ana, di nuovo, e morphe, forma. Viene utilizzato per indicare una particolare forma d'arte, l'arte anamorfica, ovvero una particolare distorsione delle forme prodotta attraverso un'opportuna trasformazione di proiezione. Per ripristinare l'oggetto deformato si utilizza uno specchio particolare, generalmente di forma cilindrica, posto al centro dell'immagine distorta. In questo modo l'immagine riflessa sullo specchio cilindrico coincide con quella originariamente distorta."

• "Le grandi domande della vita: il buco nero e il gravitone". Qui Gianluigi affronta diverse tematiche. La prima parte del post è infatti dedicata alla matematica del buco nero con il raggio di Schwarzschild e al buco nero al centro della galassia M87. La seconda parte è invece atta a risolvere un'equazione esponenziale (x^x = 4096) e un'equazione diofantea (x + y = xy). Riporto un piccolo "assaggio" dal post:

 "Nel frattempo nel 1916 Karl Schwarzschild scopre che all'interno della relatività generale è prevista l'esistenza di singolarità in grado di curvare lo spaziotempo così tanto che neanche la luce è in grado di sfuggirvi. La possibile esistenza delle singolarità di Schwarzschild non andava a genio al buon Einstein, che scrisse un articolo di 16 pagine per dimostrare come tali singolarità non possono esistere nella realtà fisica, affermazione che in qualche modo sembra riecheggiare l'obiezione che il famoso fisico teorico rivolse alla meccanica quantistica.
All'interno della trattazione di Schwarzschild è possibile determinare una grandezza, quello che è oggi noto come il raggio di Schwarzschild"

•  "Cosa resta dentro un buco nero". Trattasi di un conciso post ispirato alla copertina di un album surf rock della band Man or Astro-man?. Nel tutto vengono illustrate, in poche parole, le nozioni di diagramma di incorporamento e di paraboloide di Flamm, figure geometriche utilizzate appunto per la rappresentazione di buchi neri e deformazioni gravitazionali.  

• "Residui gravitazionali". Ancora una volta sono i buchi neri protagonisti. In particolare, il post è una breve rassegna di alcuni paper che raccontano di come i gravitoni potrebbero acquisire massa nelle vicinanze dell'orizzonte degli eventi. 

Pensavate che fosse tutto finito qui? Invece no! Dall'altro suo blog, Al Caffé del Cappellaio Matto, Gianluigi ci fa giungere altri 2 articoli, legati al mondo dei fumetti.
Il primo di questi è denominato "Topolino e il gioco del mondo: Paperi palindromi". Come fa sottintendere il titolo, partendo da una storia recentemente ristampata, paperi palindromi, si giunge ad un piccolo ma ottimo approfondimento concernente i numeri palindromi. Vi riporto l'incipit:

"Giusto oggi è iniziato il Salone del Libro di Torino, che si concluderà lunedì 13 maggio. Come ogni anno Topolino propone una serie di iniziative dedicate al Salone, come la storia d’apertura, La grande barriera di Tito Faraci e Paolo Mottura, oppure lo speciale cartonato, quest’anno acquistabile insieme con Topolino #3311. Il volumetto, introdotto da Nicola Lagioia, direttore editoriale del Salone, si apre con Paperi palindromi, una particolare matematica di 9 pagine scritta da Marco Bosco per i disegni di Claudio Sciarrone pubblicata nel 2012 su Topolino #2940."

Il secondo contributo riguarda una tematica di recente attualità: gli Avengers! Al momento in cui scrivo, l'ultimo film prodotto dalla Marvel Studios, Avengers: Endgame, è il 2° film con maggiori incassi mondiali al cinema di sempre (avendo superato Titanic) e potrebbe presto raggiungere il primato detenuto da Avatar. Nel post (della serie sulla fisica dei supereroi) "Il primo vendicatore", Gianluigi ci racconta infatti dei principi fisici in alcuni fumetti dedicati nientemeno che a Capitan America! Di seguito un significativo frammento dal sopracitato pezzo:

"Nella prima storia del numero, Capitan America e la sua spalla Bucky affrontano i così detti Giganti Orientali. Durante il loro primo incontro il Capitano salta superando agilmente un traliccio dell’alta tensione. Valutando l’altezza del traliccio in 30 metri, è possibile ricavare la velocità verticale minima con cui Capitan America deve staccarsi dal suolo per superare un ostacolo di tale altezza:



che può essere ricavata sia utilizzando le equazioni del moto parabolico sia utilizzando la conservazione dell’energia.
Capitan America, però, prima di saltare corre orizzontalmente, quindi deve anche applicare una forza in maniera tale da modificare il moto orizzontale in uno parabolico. Per valutare tale forza, sebbene non in modo preciso, basta utilizzare il moto circolare uniforme. In questo caso la forza è data dalla formula

 

Per determinarne il valore minimo utilizziamo questi dati: per la massa prendiamo all’incirca 100 kg, per la velocità utilizziamo quella che abbiamo appena calcolato e come raggio di curvatura l’altezza che il Capitano deve superare, in questo caso 30 metri.
Utilizzando questi dati otteniamo come valore della forza 1962 N che corrisponde alla forza necessaria per sollevare circa 200 kg."

Prima di giungere alla conclusione del Carnevale e ai dovuti ringraziamenti, ammiriamo, per riposare gli occhi dalla lunga lettura, alcune bellissime animazioni geometriche create dall'abile Paul Walker:

Ed eccoci dunque ai "titoli di coda" di questo Carnevale.
Come sempre, è stato un grande piacere per me poter ospitare questo entusiasmante evento.
Un allestimento del genere richiede un po' di tempo, ma ne vale la pena!
Spero di essere stato all'altezza di un evento del genere e di una tematica trattata così vasta ed importante.
Mi auguro abbiate apprezzato questa full immersion in un preciso periodo storico della matematica, contornata da brevi momenti di leggero intrattenimento e di musica, e che magari anche il lettore esperto abbia appreso qualche dettaglio o curiosità nuova.
Naturalmente i miei più grandi ringraziamenti vanno al gruppo di Carnevalisti, i quali ci hanno deliziato con contributi matematici di variegato genere.
Ringrazio Paul Walker per avermi concesso il permesso di arricchire questo "chilometrico" post (forse record di lunghezza per un Carnevale!) con le sue creazioni matematico-artistiche e poetiche, oltre che per gli stimoli intellettuali dovuti alle conversazioni con lui nell'ultimo periodo.
Un ultimo doveroso ringraziamento va ad ogni singolo lettore che si fermerà a leggere, attirato da chissà quale curiosità che il meraviglioso mondo matematico è in grado di regalarci.
Riporto un elenco sinottico dei partecipanti:

Annarita Ruberto
Flavio Ubaldini (Dioniso Dionisi)
Roberto Zanasi
Stefano Pisani
Fulvio Ricci
Mauro Merlotti
Gianluigi Filippelli
Paolo Alessandrini
Paul Walker
Annalisa Santi
Maurizio Codogno
Roberto Natalini
Adam Atkinson
Stefano Finzi Vita
Nicola Parolini
Riccardo Aragona
Rudi Matematici
Leonardo Petrillo

Ecco gli ottimi numeri di questa edizione: 18 partecipanti, 46 contributi + qualche extra.
Arrivederci al prossimo Carnevale!