venerdì 14 gennaio 2022

CARNEVALE DELLA MATEMATICA #156: MATEMATICA DELLA VITA E VITA NELLA MATEMATICA


"La vita non si misura attraverso il numero di respiri che facciamo, ma attraverso i momenti che ci lasciano senza respiro." Maya Angelou





Benvenuti alla 156ª edizione del Carnevale della Matematica, la quarta che ha l'onore di ospitare il blog Scienza e Musica!
Tale edizione ha nome in codice (come ormai ben noto dovuto a Popinga) "canta il merlo, canta allegro" e cellula melodica (grazie a Dioniso Dionisi, cioè Flavio Ubaldini) seguente. 

La tematica selezionata come filo conduttore del presente evento è, come tradizione, ricchissima di spunti di riflessione: "Matematica della vita e vita nella matematica"
Prima di aprire la passerella ai vari interessanti contributi inviati dai carnevalisti per questa edizione, immancabile è un'introduzione dedicata al tema dell'edizione.
Come avevo già segnalato nella 1ª call for papers, il tema si presta ad una doppia lettura.
Da una parte abbiamo la matematica della vita e quindi inerente agli esseri viventi in generale, essere umano compreso. 
È un tema che apre spiragli verso l'attualità, dato che anche la matematica ha avuto e sta avendo un ruolo di analisi ed aiuto relativamente alla pandemia da Covid19 che sta creando grossi disagi (e purtroppo pure molti morti) sin dall'inizio del 2020 (si veda a tal proposito, ad esempio, l'articolo, pubblicato su Infectious Disease Modelling, Volume 6, 2021, di Gumel, Iboi, Ngonghala ed Elbasha cliccando qui). 

Illustrazione di Eunice Dhivya
















Dall'altra parte abbiamo la vita nella matematica, cioè, in generale, la nostra personale esperienza (e tempo trascorso) con la matematica o quella di coloro che in passato e nel presente hanno dedicato/dedicano la loro esistenza a contribuire allo sviluppo (più o meno grande) di tale meravigliosa disciplina. È pertanto un tema assai variegato e dalle mille sfaccettature, come avrete modo di scoprire nella sezione ad esso dedicata del Carnevale.
In questa introduzione ci focalizzeremo sulla prima grossa tematica, dato che si presta molto meglio ad essere analizzata in tal contesto, mentre lasceremo la seconda unicamente alla libera interpretazione (e anche alle esperienze e contributi personali) dei partecipanti.
Non c'è forse modo migliore di incominciare che riportare un estratto dalla Prefazione del libro (datato 2010) La matematica della vita del professore emerito di matematica all'Università di Warwick (e grande divulgatore scientifico) Ian Stewart:

"Nel vasto campo della matematica, la teoria e le applicazioni pratiche si sono storicamente sviluppate in parallelo, dal momento in cui i primi uomini hanno inciso tacche su pezzi di ossa per registrare il succedersi delle fasi della Luna fino alle recenti indagini sul bosone di Higgs condotte con il Large Hadron Collider. I calcoli di Isaac Newton ci hanno fornito precise informazioni sugli spazi dell'universo e le forze che vi interagiscono, e durante gli ultimi tre secoli i suoi successori hanno scoperto e imparato a trattare tutti i fenomeni della fisica, utilizzando gli strumenti della matematica: il calore (nella disciplina detta termodinamica), la luce (nell'ottica), il suono (nell'acustica), la meccanica dei fluidi e, più tardi, la relatività e la meccanica quantistica. Il pensiero matematico è diventato il paradigma (cioè l'insieme degli strumenti d'indagine e di argomentazione descrittiva) essenziale delle scienze fisiche. 
Fino a tempi relativamente recenti, per le scienze della vita la situazione era diversa. In questo settore la matematica era, nel migliore dei casi, una sorta di servo tuttofare: aveva, come si dice, un ruolo ancillare. Veniva utilizzata per eseguire calcoli di tipo tradizionale e per valutare l'attendibilità degli schemi statistici rilevabili nei dati sperimentali ottenuti. La matematica non forniva contributi importanti per formulare nuove ipotesi teoriche o semplicemente per concorrere alla comprensione dei fenomeni. Non era fonte d'ispirazione per grandi teorie o grandi esperimenti. In effetti, per un lungo periodo della storia della scienza la matematica avrebbe potuto semplicemente non esistere. Oggi la situazione sta cambiando. Recenti scoperte nel campo della biologia hanno dato il via alla formulazione di una quantità di importanti problemi, ed è improbabile che molti di questi possano essere risolti senza massicci contributi forniti dalla matematica. La varietà delle ipotesi matematiche oggi utilizzate nelle scienze della vita è enorme e le richieste che vengono dai vari settori della biologia stimolano lo sviluppo di procedure di calcolo e analisi del tutto nuove, specificamente adatte a descrivere i processi degli esseri viventi. I matematici e i biologi del nostro tempo lavorano insieme su alcuni temi, estremamente complessi, che la specie umana non aveva mai affrontato in precedenza: tra questi la natura e l'origine del fenomeno vita.
La biologia è destinata a diventare il grande territorio di frontiera per la matematica del XXI secolo."

È proprio così, la matematica si sta man mano prefigurando come linguaggio della scienza a 360°, mantenendo però contemporaneamente e chiaramente anche l'aspetto di disciplina a se stante, la cosiddetta matematica pura, in cui la ricerca non è puntata esplicitamente a trovare nuove applicazioni "concrete", bensì alla curiosità matematica in sé, che spinse e continua a spingere generazioni di matematici a "poggiarsi sulle spalle dei giganti" del passato e ampliare la nostra visione globale della matematica.
Recentemente, il 5 ottobre 2021, uno dei premi Nobel assegnati per la Fisica è andato ad un grande fisico teorico italiano, il Prof. Giorgio Parisi dell'Università "La Sapienza" di Roma, per i suoi studi inerenti ai sistemi complessi.
Tra i rilevanti sistemi complessi studiati da Parisi risultano anche le incredibili coreografie effettuate dagli storni nel cielo. Di seguito uno splendido video illustrativo con sottofondo musicale fornito dal meraviglioso Canone di Pachelbel.

Questo tipo di problemi viene affrontato, tra le altre cose, grazie alla meccanica statistica.




















Tornando seri, il lettore non addetto ai lavori potrebbe chiedersi cos'è nello specifico la meccanica statistica e perché ha avuto un ruolo rilevante negli studi compiuti da Parisi.
Per cercare di rispondere a tali interrogativi, partiamo dal fatto che anche coloro che hanno avuto esperienze scolastiche minime di fisica avranno magari nei loro ricordi i problemi che vanno ad analizzare un singolo corpo (il famoso punto materiale) o comunque situazioni in cui compare un numero relativamente basso di oggetti e vincoli.
Pure coloro più appassionati e/o coraggiosi che approcciano per la prima volta la meccanica quantistica (abbreviata MQ) in modo serio (per "serio" intendo con tutto il formalismo matematico associato e non solo raccontata come favoletta o romanzo in cui il gatto di Schrödinger è praticamente sempre protagonista!), in verità, si trovano ad affrontare quella che è una versione semplificata della MQ, ovvero la MQ degli stati puri.
La MQ degli stati puri va benissimo come base di partenza per svariati aspetti della fisica, ma se si volesse per esempio capire un po' nel dettaglio il singolare fenomeno dell'entanglement quantistico, allora questa non sarebbe sufficiente e infatti occorre introdurre il concetto di matrice o operatore densità, il quale si fonda a sua volta sul fatto che lo stato di un sistema fisico in MQ non è in generale totalmente determinato.
Potremmo conoscere alcune caratteristiche di quel sistema, ma è impossibile descrivere tutte le sue proprietà.
In termini tecnici, ciò che noi sicuramente conosciamo (a meno che il sistema non sia uno stato puro, il quale è completamente noto) è che il sistema si trova in uno stato appartenente ad un certo ensemble statistico $\left \{ | \psi_1 \rangle, | \psi_2 \rangle, ..., | \psi_l \rangle  \right \}$, con probabilità $\left \{p_1, p_2, ..., p_l  \right \}$, e che si verifichi l'ovvia condizione $\sum_{i = 1}^{l} p_i = 1$. 
Si parla nello specifico, in tal caso, di miscela statistica di stati $| \psi_k \rangle$ con peso $p_k$.
Tornando ad un livello di narrazione alla portata di chiunque e generalizzando il discorso, come ben riassume Wikipedia, "la meccanica statistica è la branca della fisica che utilizza la statistica e la teoria della probabilità per lo studio del comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un gran numero di particelle".
Nel caso vogliate approfondire, abbiamo incominciato, qui su Scienza e Musica, ad introdurre i primissimi elementi fondamentali della meccanica statistica qui, qui e qui.
Riporto ora un breve stralcio dall'ultimo libro dello stesso Giorgio Parisi, In un volo di storni, ove viene illustrata in sintesi la sua ricerca (compiuta assieme al suo team) a cavallo tra la fisica e la biologia:

"Anche se studiare il comportamento degli storni è ovviamente materia da biologo, lo studio quantitativo dei movimenti tridimensionali degli individui richiede un'analisi che può essere fatta solo da fisici. L'analisi contemporanea di migliaia di uccelli su centinaia di foto per ricostruire le traiettorie dei singoli esemplari nello spazio e nel tempo è un'attività tipica del nostro mestiere. Le tecniche adatte a queste analisi hanno molto in comune con quelle che abbiamo sviluppato per risolvere i problemi di fisica statistica o per analizzare quantità massicce di dati sperimentali. 
Dopo quasi due anni di lavoro eravamo gli unici al mondo a possedere le immagini tridimensionali di gruppi di storni...Quando guardiamo gli stormi a occhio nudo da terra, una delle caratteristiche più impressionanti è vedere come la loro forma cambi molto velocemente; è difficile descriverlo a qualcuno che non l'abbia mai visto: in cielo si muovono oggetti di forma variegata che all'improvviso diventano più piccoli, più schiacciati, poi si riallargano, cambiano, diventano quasi invisibili, poi più scuri. C'è un'enorme variazione nella loro forma e nella loro densità.
Molte simulazioni del volo, in cui si cercava di riprodurre al computer questo comportamento, partivano da stormi che erano sostanzialmente di forma sferica. Le prime foto tridimensionali ci hanno mostrato però che uno stormo assomiglia piuttosto a un disco. Proprio per questo motivo vediamo la forma variare rapidamente: un oggetto a forma di disco, a seconda della direzione da cui è osservato, può diventare molto grande e tondo se visto di piatto o decisamente più stretto se visto di taglio. L'enorme e velocissima variazione di forma e densità risulta quindi essere l'effetto tridimensionale del cambiamento dell'orientazione dello stormo rispetto a noi (spiegazione che era stata avanzata da Nicola Cabibbo prima di fare l'esperimento, ma senza i dati osservativi non potevamo dimostrare che l'intuizione era corretta). Siamo stati invece estremamente sorpresi nello scoprire che la densità al bordo rispetto alla densità al centro è maggiore di quasi il 30%." 

Questo piccolo assaggio dell'imponente lavoro dello straordinario fisico teorico italiano mostra pertanto come sia possibile andare a implementare nuovi standard, derivati dalla fisica (e quindi con alla base un massiccio uso di matematica), per indagare problemi estremamente complicati in ambito biologico e che con la sola biologia non sarebbero risolvibili.
Restiamo nell'ambito della ricerca italiana, segnalando pure il poderoso lavoro, pubblicato il 28 luglio 2021 sulla rivista Cerebral Cortex, effettuato dal noto neuroscienziato Prof. Giorgio Vallortigara (e colleghi) circa il senso del numero (o "numerosità") riscontrato in un'area del cervello dei pesci zebra: cliccate qui per leggere l'articolo di ricerca.
Riporto di seguito la mia traduzione libera dell'abstract:

"Abbiamo trovato una regione del pallio del pesce zebra che mostra un'attivazione selettiva al cambiamento nella numerosità degli stimoli visivi. I pesci zebra erano abituati ad insiemi di piccoli punti che cambiavano in dimensione, posizione e densità individuali, mantenendo al contempo la loro numerosità e la superficie complessiva. Durante i test di disabituazione, il pesce zebra ha affrontato un cambiamento nel numero (con la stessa superficie complessiva), nella forma (con la stessa superficie e numero complessivi), o nella dimensione (con la stessa forma e numero) dei punti, mentre, in un gruppo di controllo, il pesce zebra ha affrontato i medesimi stimoli incontrati durante l'assuefazione. La modulazione dell'espressione dei geni immediati precoci c-fos ed egr-1 e l'ibridazione in situ hanno rivelato un'attivazione selettiva della parte caudale della divisione dorso-centrale del pallio del pesce zebra al variare della numerosità. Tali risultati supportano l'esistenza di un meccanismo evolutivamente conservato per la grandezza approssimativa e forniscono un modo per comprendere i suoi correlati molecolari sottostanti." 

Immagine tratta dal paper di G. Vallortigara




















Compiendo un viaggio nel passato, è interessante notare come il geniale Galileo Galilei (1564-1642) abbia cercato di comprendere come fosse possibile l'esistenza di animali di grossa stazza, tra cui le balene.
A tal proposito riporto un significativo frammento tratto dal saggio Sorella Scimmia, Fratello Verme del ben conosciuto matematico, logico e divulgatore scientifico Prof. Piergiorgio Odifreddi

"Galileo le tira [le balene] doverosamente in ballo nella discussione dei Discorsi, notando che “sono grandi quanto dieci elefanti, eppure si sostengono”, e propone la seguente soluzione

Un animale gigante con la stessa struttura ossea di uno minore potrebbe esistere e muoversi allo stesso modo, o addirittura più agevolmente, se si diminuisse in maniera inversamente proporzionale il peso delle sue ossa e della sua carne. E questo è il trucco che la Natura ha usato nella creazione dei pesci, nei quali le ossa e la carne non sono soltanto molto leggere, ma non hanno alcun peso...
Il fatto che i pesci possano mantenersi immobili in immersione è una prova evidente che il loro peso uguaglia la spinta dell'acqua. Se dunque in essi ci sono parti più pesanti dell'acqua, allora ce ne devono essere altre meno pesanti, così da poter mantenere l'equilibrio. Se le ossa fossero più pesanti, la carne sarebbe più leggera, e si opporrebbe al peso delle ossa. Negli animali acquatici accadrebbe allora l'opposto che negli animali terrestri: in questi sono le ossa a sostenere il peso di sé stesse e della carne, e in quelli sarebbe la carne a sostenere il peso di sé stessa e delle ossa.

In ogni caso, lo scheletro delle balene è molto diverso da quello degli animali terrestri...Uno scheletro umano vestito assomiglia molto a un uomo, ma uno scheletro di balena rivestito non assomiglia affatto a una balena. Quest'osservazione di Melville [in Moby Dick] era puramente qualitativa, come d'altronde lo erano quelle di Galileo, ma tra l'uno e l'altro Leonhard Euler effettuò un'analisi quantitativa in tre storici articoli: La forza delle colonne (1759), L'altezza delle colonne sottoposte al proprio peso (1778) e I carichi che una colonna può sopportare (1780), nel primo dei quali stabilì una famosa formula per calcolare il carico critico che porta una colonna a inflettersi, con il rischio di spezzarsi e collassare."

Un'illustrazione di Moby Dick
























Nello specifico, la formula di Eulero a cui si fa riferimento è la seguente (ne riportiamo il caso più generale):





ove:
  • $P$ denota il carico critico che non deve essere superato affinché non subentri la flessione laterale;
  • $E$ è il modulo di elasticità;
  • $J$ indica il momento quadratico assiale minimo della sezione del solido;
  • $l$ rappresenta la lunghezza libera di inflessione dipendente dai vincoli. 

Restando nel mondo degli animali, molto celebre è l'associazione tra i conigli e la matematica.
Come ho accennato in un post relativo alla sezione aurea (cliccate qui), sussiste un famoso problema che mette in relazione la riproduzione dei conigli con la successione di Fibonacci.

Illustrazione dei "conigli di Fibonacci"

 


    


  


      






Tuttavia la presenza della successione di Fibonacci nel mondo degli esseri viventi va ben oltre l'esempio dei simpatici "divoratori di carote".
  

Anche le piante presentano eccezionali esempi di manifestazione spontanea di questa "magica" sequenza numerica.
A tal proposito vi segnalo un brillante contributo didattico della Prof.ssa Annarita Ruberto (nota su Twitter con lo pseudonimo di Nereide), che non solo può vantare una laurea magistrale in fisica e un numero impressionante di esperienze e ricerche originali in campo didattico (tra cui la collaborazione con la rivista Scuola e Didattica), ma pure svariati talenti in ambito artistico, letterario e della cultura in generale. 
L'articolo in questione sul blog Scientificando (cliccate qui per leggerlo) va ad illustrare un'attività laboratoriale per studenti di scuola media volta a verificare che la disposizione delle foglie sul fusto di una pianta (la cosiddetta fillotassi) non è lasciata al caso, ma conduce proprio alla successione di Fibonacci.  
Questo a dimostrazione che non è necessario far riferimento unicamente alla fantascienza per poter rimanere stupiti di fronte ad un fenomeno: la natura già mostra eventi straordinari e sbalorditivi di per sé. Con il giusto approccio didattico, si può sempre mostrare che la matematica e la scienza sono tutt'altro che discipline aride e noiose!
Come ulteriore intermezzo musicale, ascoltiamo l'esecuzione, da parte del pianista David Macdonald (anche noto come aSongScout), di un brano composto, a partire dalla sequenza di Fibonacci, assegnando numeri alla scala di Mi maggiore. 

Abbiamo compiuto una panoramica di vari interessanti collegamenti tra la matematica e la vita.
Una domanda che potrebbe sorgere spontanea è se la matematica possa avere un ruolo rilevante anche nello studio del corpo umano e in medicina (al di là dell'attuale questione pandemia).
La risposta è affermativa. Poniamo la nostra attenzione sul cuore
Alcuni dei problemi di ricerca di maggior rilevanza nell'ambito della cardiologia matematica hanno a che fare con la propagazione di onde elettriche nel tessuto cardiaco; si parla a tal proposito di elettrofisiologia.
Lo studio quantitativo dell'elettrofisiologia ha una storia decisamente affascinante, ricca di trionfi ma anche di tragedie.
Per esempio, il fisiologo inglese George Ralph Mines (1886-1914) sembrerebbe essere morto prematuramente a causa di esperimenti di stimolazione elettrica compiuti sul proprio stesso corpo.
Quasi mezzo secolo dopo la scomparsa di Mines, i fisiologi britannici Alan Hodgkin (1914-1998) ed Andrew Huxley (1917-2012) introdussero un modello di propagazione elettrica nell'assone gigante di calamaro.
È incredibile pensare come i due scienziati siano riusciti a sviluppare un modello matematico così sofisticato senza poter contare sull'ausilio dei moderni computer.
Il poderoso lavoro svolto valse loro il premio Nobel per la Fisiologia nel 1963.
Il concetto fondamentale alla base della suddetta ricerca è quello di potenziale d'azione, evento di breve durata in cui l'energia di una cellula si innalza rapidamente per poi decrescere, seguendo una traiettoria coerente.
Riporto da Wikipedia un'ottima immagine in cui, nella parte in alto (denotata con A), viene fornita una rappresentazione schematica del potenziale d'azione mentre, nella parte B, vediamo la registrazione effettiva di un potenziale d'azione in un neurone piramidale della corteccia dell'ippocampo di ratto.






 
 

















Tornando al caso specifico del cuore, l'idea fondamentale per uno studio di carattere matematico è quella di modellizzare la membrana cellulare cardiaca alla stregua di un circuito elettrico RC.
La membrana agisce sia come condensatore (giacché supporta un differenziale di carica) sia come resistore variabile (poiché può aprire e chiudere i canali ionici per regolare il flusso di corrente verso l'interno e verso l'esterno).
Sia $C_m$ la capacità elettrica di una membrana cellulare cardiaca e $v$ la tensione attraverso la membrana; la corrente capacitiva $C_m \frac{\mathrm{d}v}{dt}$ deve dunque bilanciare la corrente ionica totale $I_{\mathrm{ion}}$.
Deve pertanto valere l'equazione




Il ruolo della ricerca matematica è quello di cercare di determinare una forma specifica di $I_{\mathrm{ion}}$ al fine di pervenire ad un modello realistico, che poggi le sue fondamenta naturalmente sull'originale formalismo di Hodgkin-Huxley, e che si manifesta sotto forma di sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Si può citare, a titolo di esempio, la riduzione FitzHugh-Nagumo (descritta nell'articolo del 1961 di R. FitzHugh Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane) del modello di Hodgkin-Huxley, che consiste nel sistema di 2 variabili







ove $\epsilon, A, \alpha, \beta $ sono parametri positivi e, in particolare, $0 < \alpha < 1$.
Per maggiori dettagli si legga (cliccando qui) l'articolo Taking Math to Heart: Mathematical Challenges in Cardiac Electrophysiology (datato aprile 2011) di John W. Cain.
Di seguito un video illustrativo molto carino che fornisce altri collegamenti tra matematica e medicina.

Naturalmente il tema portante del Carnevale potrebbe teoricamente estendersi anche a possibile vita al di fuori della Terra.
A tal proposito, famosissima è l'equazione (con ben 7 variabili) formulata nel 1961 dall'astrofisico Frank Drake, la quale va a fornire una stima del numero $N$ di civiltà extraterrestri intelligenti che potrebbero abitare la nostra galassia:



dove:
  • $R^*$ è il tasso medio annuo di formazione stellare nella Via Lattea;
  • $f_p$ è la frazione di stelle che possiedono pianeti;
  • $n_e$ è il numero medio di pianeti per sistema planetario che possiedono le condizione adatte ad ospitare forme di vita;
  • $f_l$ è la frazione dei pianeti $n_e$ su cui si è effettivamente sviluppata la vita;
  • $f_i$ è la frazione dei pianeti $f_l$ su cui si sono evoluti esseri intelligenti;
  • $f_c$ è la frazione di civiltà extraterrestri in grado di comunicare;
  • $L$ è la stima della durata di tali civiltà evolute.



Vorrei concludere questa introduzione al tema "Matematica della vita" segnalandovi innanzitutto un articolo recentissimo (cliccate qui), scritto da Carrie Arnold su Quanta Magazine ed intitolato Evolution ‘Landscapes’ Predict What's Next for COVID Virus, e poi una breve panoramica degli articoli che ho avuto modo di scrivere in passato su altre interessanti sfaccettature della suddetta tematica:
  • "Il principio antropico", in cui, tra le altre cose, viene descritta la relazione tra il principio antropico debole e il teorema di Bayes inerente al calcolo delle probabilità;
  • "La fisica e le rane: Luigi Galvani", in cui, oltre a venir tracciata una biografia dello scienziato italiano, si analizza la celebre disputa Galvani-Volta circa l'elettricità animale, la quale ha avuto un risultato piuttosto sorprendente;
  • "Il gioco della vita", in cui si parla di un noto automa cellulare sviluppato dal matematico inglese John Horton Conway (1937-2020).

Questo non sarebbe un vero Carnevale della Matematica se non introducessimo come si deve il numero dell'edizione: il 156.

martedì 11 gennaio 2022

CARNEVALE DELLA MATEMATICA N. 156 - ULTIMA CHIAMATA

Questa è l'ultima chiamata per coloro che vogliano partecipare al Carnevale della Matematica n.156, che sarà ospitato su questo blog, il 14 gennaio, con tema (non vincolante) "Matematica della vita e vita nella matematica".















Ricordo che avete tempo sino alle 23:59 del 12 gennaio per inviare i vostri contributi all'indirizzo mail

leonardo92.universo@gmail.com

Vi rimando alla prima call for papers (cliccate qui) per ulteriori dettagli. 
Appuntamento al 14 gennaio per un'immersione totale nella matematica, con un po' di divertimento e di musica.
Leonardo Petrillo

mercoledì 5 gennaio 2022

CALCOLO DEL PROPAGATORE SCALARE IN CAMPO EM COSTANTE TRAMITE GLI INTEGRALI SUI CAMMINI DI FEYNMAN

Solo pochi mesi fa vi proponevo un articolo (cliccate qui per leggerlo) in cui ho cercato di introdurre, il più dolcemente possibile, il non banale concetto di integrale sui cammini (in inglese noto come path integral), sviluppato nell'ambito della meccanica quantistica da Richard Feynman nella sua tesi di PhD del 1942. 
Abbiamo anche analizzato un po' di storia di tale fondamentale concetto e accennato al cosiddetto “worldline formalism”.
Tutti questi argomenti estremamente interessanti sono stati il nocciolo della mia tesi di laurea triennale in Fisica (grazie alla quale mi sono laureato il 10 dicembre 2021), svolta con sommo piacere sotto la supervisione del Prof. Olindo Corradini (grande esperto di fisica teorica, oltre che straordinaria persona dal punto di vista didattico e umano) dell'Università di Modena e Reggio Emilia, intitolata Computation of the scalar propagator in a constant electromagnetic field using Feynman path integrals
Di seguito rendo disponibile la visione della suddetta tesi.

È scritta interamente in lingua inglese, con l'eccezione del Capitolo 4, volto a fornire un breve riepilogo degli aspetti essenziali in lingua italiana.
Trattasi di una tesi che naturalmente richiede dei buoni/ottimi prerequisiti di partenza di matematica e fisica (in particolare di meccanica quantistica e relatività ristretta) per poter essere letta con una buona/ottima comprensione.
Nel Capitolo 1 ho cercato, in primis, di introdurre quello che è il concetto protagonista della tesi, cioè il propagatore, partendo dalla sua strettissima relazione con la funzione di Green.
Ho poi ricollegato il tutto con la nozione di path integral, fornendo anche riferimenti storici, che avevo già accennato nel post prima linkato.
Dopodiché ho proposto una derivazione del concetto di path integral che si basa sostanzialmente sulla formula di Baker-Campbell-Haussdorff (inerente agli esponenziali degli operatori) e sulla formula di Trotter.
Alla fine del Capitolo 1 è stato analizzato un caso relativamente semplice, ma decisamente istruttivo, che è quello della particella libera non relativistica.
Nel Capitolo 2 sono partito dall'illustrare brevemente cosa si intenda per worldline formalism e, subito dopo, ho cercato di estendere quanto visto nel Capitolo 1 al caso relativistico.
Per far questo sono stati introdotti concetti assai rilevanti come quello di einbein e di gauge fixing.
Il Capitolo 3 è stato sicuramente quello più impegnativo dal punto di vista della realizzazione e probabilmente lo è anche dal punto di vista di un lettore esterno.
Se l'inizio è pressoché accessibile a chi possieda soltanto un buon bagaglio di fisica classica di livello universitario, dato che vengono richiamati concetti dell'elettrodinamica classica visti da una prospettiva un po' particolare, il salto verso l'elettrodinamica quantistica (abbreviata QED) richiede un formalismo più avanzato.
Si introducono infatti rotazioni di Wick, cambiamenti di variabile, condizioni al contorno particolari, la scelta del gauge di Fock-Schwinger e si arrivano a introdurre svariate funzioni di Green worldline "bosoniche".
Tutto questo solamente per affrontare il caso basilare del calcolo del propagatore scalare in campo elettromagnetico costante.
Ulteriori complicazioni giungono andando a considerare cosa succede se "mettiamo nella mischia" anche $N$ fotoni con i propri momenti e polarizzazioni generici.
L'ultima analisi è stata compiuta circa l'ampiezza di transizione, calcolabile a partire dall'espressione finale del propagatore che si è rinvenuta nella tesi, e sul collegamento con il fenomeno dello scattering Thomson (di cui abbiamo parlato in modo classico poco tempo fa proprio sul nostro blog; cliccate qui).
Questo è dunque ciò che potete aspettarvi a grandi linee nei capitoli che compongono il mio lavoro.
Posso fare però di più per il lettore particolarmente interessato, esperto e/o coraggioso.
Innanzitutto condivido la presentazione completa preparata per la discussione della suddetta tesi nell'esame di laurea.

Andrò ora a spiegare ciascuna slide singolarmente (un po' come se stessi risostenendo il mio esame di laurea), in modo che il lettore possa ricostruire meglio il filo logico che lega la tesi, con maggiori dettagli rispetto alla descrizione molto sommaria e informale che ho svolto poco fa.

martedì 4 gennaio 2022

CARNEVALE DELLA MATEMATICA N.156 - 2ª CALL FOR PAPERS

Buon 2022 ai lettori del blog Scienza e Musica!
Questa è la seconda chiamata per chi abbia desiderio di partecipare alla prossima edizione del Carnevale della Matematica, la n. 156, che verrà pubblicata proprio su questo blog il 14 gennaio.















Ricordo che il tema portante dell'edizione sarà "Matematica della vita e vita nella matematica", ma naturalmente si è liberi di non seguirlo.
Inviate i vostri contributi (entro le 23:59 del 12 gennaio) all'indirizzo mail

leonardo92.universo@gmail.com

Per maggiori informazioni si faccia riferimento alla prima call for papers.
A presto con il Carnevale della Matematica!

giovedì 16 dicembre 2021

CARNEVALE DELLA MATEMATICA N.156 - 1ª CALL FOR PAPERS

È con grande piacere che vi annuncio ufficialmente che il Carnevale della Matematica n.156 verrà ospitato, il 14 gennaio, proprio qui su Scienza e Musica!!!
Avremo dunque l'onore di inaugurare il ciclo di Carnevali del 2022.















Prima di introdurvi il tema dell'edizione di gennaio, voglio ricordarvi di visionare, per chi non l'avesse già fatto, l'edizione n.155 ottimamente condotta da Roberto Zanasi, sul blog Gli studenti di oggi, con tema "scacchi" (cliccate qui).
Come ormai tradizione per i Carnevali ospitati su Scienza e Musica, la scelta della tematica ricade su un tema ampio e che riesca dunque a racchiudere al suo interno numerose sfumature, che i nostri carnevalisti potranno affrontare o decidere di non affrontare, andando fuori tema!
Il tema del Carnevale n.156 sarà: "Matematica della vita e vita nella matematica".
Ho deciso dunque di proporvi un tema da affrontare da 2 punti di vista tra loro speculari.
Da una parte abbiamo la matematica della vita, quindi di tutti gli esseri viventi, compresi gli esseri umani, un tema che oltretutto è pure di una certa attualità, dato il ruolo che analisi matematiche hanno svolto e continuano a svolgere in questo particolare periodo di pandemia da Covid19.
Se però guardiamo l'altro lato della medaglia, è possibile parlare pure del concetto di vita dedicata alla matematica, che potrebbe essere quella di uno o più grandi matematici del passato, ma anche la propria personale esperienza con l'affascinante disciplina che è la matematica.
Questi sono soltanto alcuni minimi spunti di riflessione; lascio agli interessati il compito di trovare le sfaccettature del tema che più gradiscono analizzare.
Naturalmente, come ogni Carnevale scientifico che si rispetti, sottolineo nuovamente che sono ben accolti anche tutti i contributi palesemente fuori tema; l'importante è che si parli di qualcosa attinente alla matematica in maniera più o meno diretta.
Come si partecipa?
È molto semplice, inviate i vostri contributi (di norma al Carnevale partecipano quelli scritti sui blog, ma in passato abbiamo accettato anche altre tipologie di contributo di carattere matematico/scientifico) entro il 12 gennaio (avete ufficialmente tempo fino alle 23:59 di tale giorno) al seguente indirizzo mail:

leonardo92.universo@gmail.com

In alternativa, chi è iscritto al gruppo Google del Carnevale della Matematica può segnalare i propri contributi anche lì.
Sia ben chiaro che al Carnevale della Matematica può partecipare chiunque, dal semplice appassionato all'esperto.
Appuntamento al 14 gennaio per una vera e propria full immersion sulle possibili sfumature del rapporto tra vita e matematica.
Non mancheranno buona musica e momenti divertenti, come in un vero Carnevale.
Resto in attesa dei vostri contributi!
Per maggiori informazioni sull'evento Carnevale della Matematica potete guardare qui.

Leonardo Petrillo