martedì 8 novembre 2022

LA SCOPERTA DEL POSITRONE

Oggi ci soffermeremo nel dettaglio su un'importantissima scoperta nella storia della fisica moderna, ovvero quella del positrone, l'antiparticella dell'elettrone.
Partiremo con una breve premessa un po' tecnica, dopodiché prometto che la narrazione diventerà molto più fruibile anche per il lettore non avvezzo al formalismo matematico della meccanica quantistica e della relatività ristretta.
È ben noto che l'equazione fondamentale alla base della meccanica quantistica è l'equazione di Schrödinger (ne abbiamo parlato qui e qui)





qui scritta per particella libera (ossia in assenza di potenziale) e assumendo l'uso di unità naturali, cioè ponendo $\hbar = 1$.
Ovviamente più in generale possiamo scriverla come

$i \frac{\partial}{\partial t} | \psi (t) \rangle = H | \psi(t) \rangle$,

ove $H$ denota l'hamiltoniana di una particella libera non relativistica, ovvero

$H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}$.

Detto ciò, una domanda lecita sarebbe chiedersi come sia possibile estendere l'equazione di Schrödinger al caso di una particella relativistica.
Ciò che immediatamente si può fare è scrivere l'hamiltoniana grazie alla relazione di dispersione relativistica

$H = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}$,

dove abbiamo imposto, per via delle unità naturali, la velocità della luce $c = 1$ (non utilizzando le unità naturali la relazione sarebbe stata $H = \sqrt{c^2 \mathbf{p}^2 + c^4 m^2}$).
Se si andasse ad utilizzare questa nuova $H$ all'interno dell'equazione di Schrödinger si otterrebbe:






Trattasi di un'espressione problematica per essere una relazione relativistica dato che le derivate spaziali e temporali sono di ordine diverso e ciò non la rende invariante di Lorentz.
Per cercare di risolvere il problema, ossia cercare di rendere quantomeno uguale l'ordine delle derivate temporale e spaziale, possiamo provare ad applicare il termine $i \frac{\partial}{\partial t}$ a tutta l'equazione precedente, il che conduce all'espressione


 



Trattasi della cosiddetta equazione di Klein-Gordon (proposta da Oskar Klein e Walter Gordon nel 1926) per la funzione d'onda $\psi(\mathbf{x},t)$, equazione che risulta consistente con la relazione di dispersione relativistica se compiamo le seguenti identificazioni:





in cui ovviamente $H$ e $\mathbf{p}$ sono rispettivamente l'operatore hamiltoniano e l'operatore momento.
Un ultimo piccolo importante step da compiere è usare le seguenti relazioni





le quali ci permettono di scrivere l'equazione di Klein-Gordon nella sua forma covariante (per i pignoli, abbiamo assunto la convenzione "mostly minus" del tensore metrico $\eta^{\mu \nu}$ dello spazio-tempo di Minkowski):





L'equazione così scritta è invariante di Lorentz in modo esplicito, dato che $\psi(\mathbf{x},t)$ ed $m$ sono scalari, mentre $\partial_{\mu} \partial^{\mu} = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \equiv \partial^2 \equiv \Box$, cioè l'operatore dalembertiano, è uno scalare di Lorentz in quanto prodotto scalare di quadrivettori.
Detto ciò, l'equazione di Klein-Gordon continua ad avere dei problemi.
Innanzitutto $|\psi(\mathbf{x},t)|^2$, ovvero la densità di probabilità in meccanica quantistica, non è conservata (cioè non è indipendente dal tempo) giacché abbiamo ben 2 derivate temporali nell'equazione di Klein-Gordon.
L'equazione di Klein-Gordon non può oltretutto descrivere particelle aventi spin e presenta anche stati ad energia negativa come soluzioni, il che implicherebbe densità di probabilità negative, assolutamente non consistenti con l'interpretazione probabilistica tipica della meccanica quantistica non relativistica.
Insomma, sarebbe decisamente sbagliato considerare l'equazione di Klein-Gordon come un'equazione di Schrödinger relativistica; quella di Klein-Gordon è semplicemente un'equazione d'onda relativistica!
Tale problematica venne affrontata nientemeno che dal mitico Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984), il quale riuscì nell'impresa di pervenire, nel 1928, ad un'equazione, la famosa equazione di Dirac (di seguito scritta in forma covariante)

$(i\!\!\not\! \partial - m) \psi(\mathbf{x},t) = 0$,

che presenta derivata spaziale e temporale entrambe del 1° ordine.
Tale equazione è tuttavia valida per gli spinori, non per funzioni d'onda scalari e, in particolare, serve a descrivere le particelle con spin semi-intero chiamate fermioni (tra cui troviamo anche l'elettrone e il positrone).
Non entreremo nel dettaglio della spiegazione di tale equazione, che andrebbe ben al di là degli scopi di questo post (gli interessati possono trovare una spiegazione già in alcuni testi della bibliografia in fondo al post).
Prima però di capire come tutto questo si ricolleghi alla scoperta del positrone voglio sottolineare il fatto che negli ultimi anni sia uscita una certa moda che consiste nel tatuarsi sul corpo l'equazione di Dirac e denominarla come "formula dell'amore".
Il problema sta nel fatto che non solo la suddetta equazione non ha nulla a che vedere con l'amore (magari già il bizzarro concetto quantistico di entanglement avrebbe leggermente più senso in tal direzione), ma spesso viene pure scritta in modo totalmente sbagliato, cioè per esempio come segue.

 

 













In questo caso non solo è chiaramente sbagliato l'utilizzo del segno +, ma c'è pure un dettaglio non da poco che manca: la slash notation
Quella barretta che risulta inserita nella vera equazione di Dirac non è infatti messa lì a caso, come fosse una trollata da parte dei fisici per complicare la vita dei poveri mortali, ma ha un significato ben preciso che coinvolge le cosiddette matrici gamma
Insomma, se proprio volete tatuarvela, vi consiglio di tatuarvi quella giusta per non farvi prendere in giro da coloro (seppur pochi 😉) che conoscono davvero l'equazione di Dirac.
Tornando alle cose serie, vi starete giustamente chiedendo a cosa sia servita tutta questa piuttosto pesante premessa.
Essa è servita in primis per farvi capire come non sia banale considerare assieme la meccanica quantistica e la relatività speciale (non mettiamo poi nel calderone la relatività generale, la cui unificazione con la meccanica quantistica è un problema ancora apertissimo in fisica).
Infatti spesso quando si parla di meccanica quantistica + relatività speciale ci si riferisce ad una teoria nota come teoria quantistica dei campi o, in inglese, quantum field theory (abbreviata QFT).
Ecco, se pensate che la meccanica quantistica sia qualcosa di molto complesso, la QFT rappresenta un netto ulteriore step in complessità, oltre a costituire un vero e proprio framework per la fisica moderna ed essere la base teorica della fisica delle particelle.
La premessa è servita poi per farvi quantomeno comprendere perché, nella storia della fisica moderna, non è stata sufficiente l'introduzione dell'equazione di Klein-Gordon e fu necessario il geniale contributo di Dirac per poter compiere giganteschi passi avanti nel tentativo di fusione tra meccanica quantistica e relatività ristretta.
Il nocciolo della questione viene in particolare dal fatto che, così come l'equazione di Klein-Gordon, pure quella di Dirac ammette soluzioni con energie negative!
Ciò implicherebbe la non esistenza di uno stato fondamentale (ground state) del sistema, poiché le particelle tenderebbero sempre a preferire di dirigersi verso stati ad energia negativa.
Oltretutto, tenendo conto che l'equazione di Dirac descrive i fermioni, e i fermioni sono quelle particelle che debbono obbedire al noto principio di esclusione di Pauli (leggete qui), si potrebbe supporre (come fece Dirac) che tutti gli stati ad energia negativa siano occupati, ossia che sussista il cosiddetto "mare di Dirac" inaccessibile alle particelle con energia positiva a causa del principio di Pauli.
Ecco un'immagine illustrativa della situazione tratta dal testo Particle Physics di Martin e Shaw.


  
 

 














Sarebbe tuttavia chiaramente possibile eccitare (in qualche modo) una particella situata nel mare infinito di Dirac delle energie negative verso la regione delle energie positive, totalmente vuota.
Il risultato sarebbe avere una buca nel mare di Dirac, tecnicamente (nel linguaggio tipico della fisica dei semiconduttori) una lacuna (in inglese hole), come ben mostra la seguente immagine.

Fonte: https://oer.physics.manchester.ac.uk/NP/Notes/Notes/Notesse28.xht














Tale lacuna (il pallino bianco della figura) è sostanzialmente un'antiparticella, cioè, in parole povere, una particella che presenta la medesima massa (ed altre proprietà) della particella originaria ma carica elettrica opposta.
Quando una particella e un'antiparticella interagiscono avviene il fenomeno dell'annichilazione, che dà luogo a particelle più leggere con rilascio di energia.
L'antiparticella dell'elettrone $e^-$ è proprio il positrone $e^+$; le 2 particelle interagiscono nello specifico a bassa energia secondo questa relazione:
 



L'introduzione del concetto di antiparticella rimase un puro risultato teorico proprio sino alla scoperta sperimentale del positrone. Entriamo ora finalmente nei meandri dell'interessante storia inerente alla suddetta scoperta. 

sabato 8 ottobre 2022

L'EQUAZIONE DI LANE-EMDEN

Il presente post è dedicato a un'equazione rilevante in ambito astrofisico: l'equazione di Lane-Emden.
L'ispirazione nel voler approfondire tale tematica è venuta tempo fa leggendo su Twitter uno splendido thread di Nereide, alias la Prof.ssa Annarita Ruberto, che riguardava l'affascinante nebulosa oscura Barnard 68.
Infatti, nel thread (che potete leggere cliccando qui) ho trovato il riferimento ad un paper di ricerca astrofisica, di Burkert ed Alves, nella cui appendice si discute brevemente di una forma speciale della sopracitata equazione utile in quel contesto specifico.
Cerchiamo dunque di scoprire il più dolcemente possibile (maggiori dettagli possono essere reperiti nella bibliografia in fondo al post) l'interessante equazione di Lane-Emden.
Per cominciare dobbiamo fare alcune considerazioni di natura idrostatica.
Agli inizi del XX secolo il problema della struttura interna e dell'evoluzione futura del Sole costituiva un vasto ambito di ricerca.
Tuttavia, nonostante non fossero ben chiare le origini del "potere radiativo" della nostra stella (fondamentale fu il contributo, nel contesto della fusione nucleare, di Hans Bethe, nel 1939, con l'introduzione della famosa catena protone-protone), questo non impedì di risolvere equazioni inerenti alla sua struttura interna.
Infatti, il primo contributo in tal direzione giunse da parte dell'astronomo statunitense Jonathan Homer Lane (1819-1880).
Le sue ricerche (condensate nell'articolo "On the theoretical temperature of the Sun, under the hypothesis of a gaseous mass maintaining its volume by its internal heat, and depending on the laws of gases as known to terrestrial experiment", datato 1869) hanno infatti dimostrato le relazioni termodinamiche tra pressione, temperatura e densità del gas all'interno del Sole.
Il punto essenziale della questione risiede nel fatto che la configurazione statica di una sfera gassosa (come il Sole o una qualsivoglia generica stella), tenuta insieme dall'autogravità, deve soddisfare la condizione di equilibrio idrostatico:

$\nabla p = - \rho g$,

dove $p$ è la pressione (che ricordiamo essere una quantità scalare), $\rho$ è la densità, $g$ è l'accelerazione di gravità e $\nabla$ è, come sempre, l'operatore nabla che applicato a $p$ fornisce il gradiente di pressione $\nabla p$.
In pratica tale equazione ci dice che la pressione ad ogni punto nell'interno di una stella è sufficiente per bilanciare il peso degli strati sovrastanti. 
Tenendo ora conto della legge di gravitazione universale possiamo scrivere che

$g = G \frac{M_r}{r^2}$,

in cui $G$ è la costante di gravitazione universale ed $M_r$ è la massa contenuta entro la sfera avente raggio $r$.
Tale massa è in particolare fornita da:

$M_r = \int_0^r 4 \pi \, r^{'2} \rho(r') \,  \mathrm{d}r'$.

L'equilibrio meccanico di una stella può pertanto essere riassunto nelle seguenti 2 equazioni differenziali:

$\nabla p = - G \frac{\rho M_r}{r^2}$

$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4 \pi \, r^2 \rho$. 

Esse si possono condensare nell'unica equazione:

$\rho = - \frac{1}{4 \pi G r^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left ( \frac{r^2}{\rho} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} \right )$.

La suddetta equazione differenziale contiene entrambe le variabili fisiche $p$ e $\rho$, per tal ragione non è sufficiente a risolvere il problema del modello dell'interno di una stella.
Soltanto attraverso l'utilizzo di una relazione funzionale tra le 2 variabili, relazione per forza approssimata, si può ricavare una soluzione del problema.
Un tipico esempio di questo modo di procedere è proprio dato dalla soluzione di Lane-Emden, la quale si ottiene supponendo che l'equazione di stato barotropica (ovvero la relazione $p$-$\rho$) sia una relazione politropica del tipo

$p = K \, \rho^{1+ \frac{1}{n}}$,

ove $K$ è una costante di proporzionalità (dipendente dalla natura del fluido politropico), mentre $n $ denota il cosiddetto indice politropico.
Come spiegò il famoso fisico indiano (premio Nobel nel 1983) Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) nel suo brillante testo, datato 1939, Introduction to the Study of Stellar Structure, "Le trasformazioni politropiche furono inizialmente introdotte in termodinamica da G. Zeuner e sono state ampiamente utilizzate da Helmholtz e, in particolare, da Emden".
Un'interessante curiosità: l'astrofisico svizzero Jacob Robert Emden (1862-1940), tra i fondatori nel 1930 e redattore della rivista Zeitschrift fur Astrophysik, fu il marito di Klara Schwarzschild, sorella del celebre fisico tedesco Karl Schwarzschild (1873-1916), noto per i suoi fondamentali contributi inerenti alla relatività generale e, in particolare, per il concetto di raggio di Schwarzschild nello studio dei buchi neri.
Tornando al nocciolo della narrazione, dato che la trasformazione politropica (il suddetto termine tecnico venne utilizzato per la prima volta proprio da Emden nella sua opera Gaskugeln del 1907) deve essere in equilibrio idrostatico, ne consegue che la distribuzione di pressione e densità deve essere consistente con l'equazione dell'equilibrio idrostatico e con la legge di conservazione della massa.
Nel dettaglio, se riprendiamo la nostra equazione dell'equilibrio idrostatico (esplicitando $\nabla p$ come $\mathrm{d}p/\mathrm{d}r$)

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = - \rho g = - \rho G \frac{M_r}{r^2}$

e adesso dividiamo tutto per $\rho$, moltiplichiamo tutto per $r^2$ e consideriamo la derivata rispetto ad $r$ in entrambi i membri dell'equazione, otteniamo la seguente formula:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left ( \frac{r^2}{\rho} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} \right ) = - G \frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = - 4 \pi G r^2 \rho$.

Essa può essere riscritta come

$\frac{1}{r^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left ( \frac{r^2}{\rho} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} \right ) = - 4 \pi G \rho$.

Questa è l'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale!
Per convincersene, è sufficiente ricordare che

$g = \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d}r} = G \frac{M_r}{r^2}$,

ove $\Phi$ denota il potenziale gravitazionale, e far riferimento al fatto che

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = - \frac{G M_r}{r^2} \rho$.

Infatti, con pochi semplici passaggi si arriva alla celebre formula

$\nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho$,

ossia l'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale nell'usuale formalismo con il laplaciano del potenziale $\nabla^2 \Phi$.
Per capire l'origine storica e matematica del concetto di potenziale vi consiglio di leggere un post d'archivio cliccando qui
Se avete visionato il link appena fornito vi sarete resi conto come l'equazione di Poisson non sia altro che una generalizzazione dell'equazione di Laplace.
Vorrei aggiungere qui che l'equazione di Poisson, specialmente nell'ambito dell'elettrostatica, cioè $\nabla^2 \phi = - \frac{\rho}{\varepsilon}$ (ove $\phi$ è il potenziale elettrico, $\rho$ è la densità di carica ed $\varepsilon$ è la permittività elettrica), ha un'importanza cruciale.
Il suo ruolo è per esempio essenziale quando vogliamo studiare strutture formate da semiconduttori (alla base dei moderni dispositivi elettronici a stato solido), come la nota giunzione p-n (ma anche strutture più complesse), e arrivare a determinare il campo elettrico ed il potenziale elettrico ivi presente.

venerdì 10 giugno 2022

STEFAN BANACH: IL FONDATORE DELL'ANALISI FUNZIONALE

Il presente post è dedicato a ricordare uno straordinario matematico polacco, Stefan Banach (1892-1945), considerato non solo il padre della moderna analisi funzionale, ma anche uno dei matematici più influenti del XX secolo (nonostante fosse praticamente autodidatta!).
Ma partiamo dalle origini.

Stefan Banach nacque il 30 marzo 1892 al St. Lazarus General Hospital, presso Cracovia, da Stefan Greczek e Katarzyna Banach.
Il lettore attento avrà immediatamente notato che egli ereditò il nome dal padre ma il cognome dalla madre, madre che lo abbandonò appena dopo il battesimo, ovvero quando aveva solo 4 giorni di vita!
Il padre mantenne sempre il segreto sull'identità della madre, nonostante il desiderio del figlio di saperne di più.
Il bambino venne portato a Ostrowsko (piccolo villaggio situato circa 50 km al di sotto di Cracovia), paese di origine del padre, ed affidato, quantomeno per il primo periodo, alla nonna.
Tuttavia dopo pochi anni la nonna si ammalò e, di conseguenza, Greczek decise di affidare suo figlio a Franciszka Plowa, la quale viveva a Cracovia assieme a sua figlia Maria.
Interessante dettaglio sta nel fatto che il tutore di Maria fosse un intellettuale francese, Juliusz Mien, il quale percepì immediatamente il grande potenziale del giovane Banach e decise di istruirlo riguardo alla lingua francese, oltre a spingerlo probabilmente verso la matematica.
Banach frequentò la scuola primaria a Cracovia, dopodiché, all'età di 10 anni, ossia nel 1902, si iscrisse al IV Ginnasio.
Sebbene si trattasse di una scuola indirizzata fortemente verso un'educazione di tipo umanistico, il giovane ebbe la fortuna di avere come compagno di classe (e suo migliore amico) Witold Wiłkosz (1891-1941), anch'egli futuro matematico!
Durante le pause e nei dopo scuola i 2 ragazzi trascorrevano gran parte del tempo a divertirsi nel risolvere problemi matematici.
Tale scuola non si dimostrò però particolarmente stimolante al punto che Wiłkosz decise di abbandonarla nel 1906 per iscriversi ad un miglior Ginnasio; Banach invece resto lì ma si mantenne in stretto contatto con l'amico.
In ogni caso l'interesse del giovane studente era totalmente rivolto alla matematica; le altre discipline non lo interessavano affatto, al contrario di Wiłkosz che mostrava passione e talento anche per la fisica.
Banach superò l'esame finale di Ginnasio nel 1910, ma non con la lode, dato che i suoi voti erano man mano calati durante il suddetto percorso scolastico secondario.
Si potrebbe ora pensare che l'ovvia scelta nel proseguimento degli studi di Banach e di Wiłkosz fosse la matematica universitaria.
In realtà il corso degli eventi non fu così banale; infatti, i 2 amici, seppur appassionati di matematica, ritenevano che nulla di nuovo potesse essere scoperto in quel settore e dunque Banach si incamminò verso l'ingegneria (nello specifico alla Lemberg Technical University, nell'attuale Leopoli in Ucraina), mentre Wiłkosz verso le lingue orientali.
Probabilmente tale scelta controversa si dovette anche al fatto che non ci fu la presenza di particolari figure di supporto e di sprone nei confronti della loro vera passione, qualcuno magari in grado di renderli consci del fatto che, in verità, la matematica costituiva ancora un "mondo intero" da esplorare e rinnovare.
Al giorno d'oggi siamo infatti ancora pieni di rilevanti problemi irrisolti in matematica (come i noti "Problemi del millennio") e l'espansione della matematica in svariate branche, alcune totalmente nuove, ha fatto sì che ormai sia difficile parlare di persone che possano vantare una conoscenza a tutto tondo della matematica (l'ultimo matematico a cui spesso si attribuisce una "conoscenza matematica universale" fu Poincaré e talvolta anche von Neumann, due veri giganti della disciplina).
Con buona probabilità, dato che non poteva contare su un solido sostegno economico, Banach dovette mantenersi facendo del tutoraggio, cosa che gli comportò una grossa perdita di tempo, portandolo a laurearsi un po' in ritardo nel 1914.
Allo scoppio della Prima guerra mondiale, Banach venne esonerato dal servizio militare poiché era mancino e la sua vista non risultava molto buona.
Quando poi l'esercito russo occupò Leopoli, Banach si trasferì a Cracovia, ove rimase per tutto il periodo restante della guerra e ivi riuscì a frequentare anche delle lezioni di matematica alla Jagiellonian University.
Se per Einstein, come ben noto, il 1905 fu l'annus mirabilis, l'anno in cui la sua figura divenne leggendaria grazie a ben 4 straordinari articoli pubblicati sulla rivista Annalen der Physik, l'anno in cui la vita e la carriera di Banach svoltarono fu sicuramente il 1916, in particolare la primavera.
Quello che leggerete ora potrebbe sembrare un aneddoto di fantasia ma è ciò che accadde realmente.
Il grande matematico polacco Hugo Steinhaus (1887-1972) viveva proprio a Cracovia in quel periodo.
Una sera, camminando per le strade della città polacca, si ritrovò ad ascoltare per puro caso, al Planty Park, le parole "misura di Lebesgue".

Planty Park (immagine presa da Wikipedia)
















Incuriosito (visto che a quei tempi tale concetto risultava piuttosto nuovo ed originale), Steinhaus si avvicinò alla panchina del parco e si presentò a 2 giovani che discutevano di matematica: erano Banach e Otto Nikodym.
Il suddetto incontro fortuito portò alla creazione (il 2 aprile 1919) di un'importante società matematica, la Polish Mathematical Society.
Oltre a ciò, Steinhaus sottopose all'attenzione di Banach un problema a cui non riusciva a trovare una soluzione.
La mente geniale di Banach gli consentì di pervenire alla soluzione in una settimana! Il risultato finale di quel proficuo scambio culturale fu un articolo congiunto di Steinhaus e Banach intitolato Sur la convergence en moyenne de séries de Fourier (ovvero "Sulla convergenza in media della serie di Fourier"), sottoposto all'attenzione di Stanisław Zaremba per la pubblicazione (avvenuta nel 1918).
Anche per quanto concerneva l'aspetto sentimentale della sua vita Banach doveva molto a Steinhaus; infatti tramite il collega conobbe quella che sarebbe stata la sua futura moglie, ossia Łucja Braus, con cui convolò a nozze nel 1920.
La produzione di articoli matematici di Banach dal momento del sodalizio con l'altro grande matematico polacco crebbe in maniera assai celere.
Il suo appoggio gli consentì persino di ricevere un dottorato in matematica (ricordiamo infatti che Banach non era laureato in matematica bensì in ingegneria!).
La sua tesi di dottorato, accettata da quella che è l'attuale Università di Leopoli (fondata nel 1661 da Giovanni II Casimiro di Polonia) nel 1920 e pubblicata nel 1922, poneva le basi di una nuova branca della matematica: l'analisi funzionale.
Per correttezza è necessario specificare che ricerche in tal ambito vennero compiute anche qualche anno prima del fatidico contributo di Banach.
Infatti, già a partire dal 1906, il matematico statunitense E.H. Moore (1862-1932) tentò di dar luce ad una teoria astratta dei funzionali (abbiamo parlato di tal concetto un po' qui) e degli operatori lineari.
Altri contributi in tal direzione giunsero in particolare da Erhard Schmidt, Maurice Fréchet, Frigyes Riesz, Hans Hahn, Eduard Helly e Norbert Wiener.
Ma perché tra tutti questi nomi rilevanti spicca proprio quello di Banach, ritenuto ufficialmente il fondatore dell'analisi funzionale?
Innanzitutto Banach desiderava stabilire una generalizzazione delle equazioni integrali, nello specifico il suo obiettivo era costruire una teoria astratta in grado di fornire un'alternativa valida e migliore rispetto al calcolo delle variazioni.
Per pervenire a tal obiettivo Banach introdusse uno spazio dotato di una norma, ma che non fosse definita facendo riferimento al prodotto scalare.
Cerchiamo di capire un pochino meglio almeno gli aspetti basilari della questione.
Prendiamo un generico spazio lineare (cioè spazio vettoriale) $L$ di elementi $x, y, z, ...$
Possiamo chiamare norma (denotata mediante il tipico simbolo $\left \|  \right \|$) in $L$ un funzionale che soddisfa 4 condizioni essenziali:

1) $\left \| x \right \| \geq 0$;

2) $\left \| x \right \| = 0$ se e solo se $x = 0$;

3) omogeneità: $\left \| ax \right \| = |a| \cdot \left \| x \right \|  $, ove $a$ è uno scalare;

4) disuguaglianza triangolare: $\left \| x + y \right \| \leq \left \| x \right \| +  \left \| y \right \| $.

Naturalmente uno spazio lineare $L$ in cui è definita una norma viene anche detto spazio normato.
Ogni spazio normato può esser visto come uno spazio metrico (ne parlammo, tra le altre cose, qui) se definiamo la distanza come $\rho(x,y) = \left \| x - y \right \| $.
Per arrivare tuttavia alla definizione vera e propria di spazio di Banach, concetto a dir poco fondamentale nell'ambito dell'analisi funzionale, manca un piccolo tassello nel nostro puzzle: la completezza!
A tal proposito abbiamo bisogno di introdurre la nozione di successione di Cauchy (o successione fondamentale).
Dato un generico spazio metrico $R$, una successione $\left \{ x_n \right \}$ è detta di Cauchy se, $\forall \varepsilon > 0$, esiste un numero $N_{\varepsilon}$ tale che la distanza $\rho(x_{n'}, x_{n''}) < \varepsilon$   $\forall n' > N_{\varepsilon}$ e $\forall n'' > N_{\varepsilon}$.
Ora aggiungiamo che se ogni successione di Cauchy risulta convergente in $R$, allora questo spazio metrico è completo.
Giacché le proprietà degli spazi metrici si possono estendere anche agli spazi normati, la conclusione di questo importante discorso è che uno spazio di Banach non è altro che uno spazio normato completo!
Un'importantissima osservazione che possiamo compiere relativamente agli spazi di Banach sta nel fatto che uno spazio di Banach rappresenta un concetto più generale rispetto ad uno spazio di Hilbert (nozione su cui si poggia, tra le altre cose, in maniera massiva la meccanica quantistica), proprio perché abbiamo constatato che per definire una norma non abbiamo necessariamente bisogno di un prodotto scalare, cosa di cui invece abbiamo certamente bisogno quando parliamo di spazi di Hilbert.
In altri termini, ogni spazio di Hilbert è sicuramente uno spazio di Banach. Viceversa, uno spazio di Banach è anche uno spazio di Hilbert se, e solo se, la sua norma è indotta da un prodotto scalare!
Se considerassimo uno spazio di Banach che non sia anche di Hilbert esso perderebbe sostanzialmente il concetto essenziale di ortogonalità di 2 elementi.
A seguito di questo doveroso excursus, facciamo ora ritorno all'ultima parte della biografia di Banach.
La poderosa tesi inerente all'analisi funzionale venne discussa all'interno dei circoli accademici e rappresentò la spinta definitiva utile al matematico per venir nominato professore presso il Politecnico di Leopoli.
Allo stesso tempo, ottenne pure la la seconda Cattedra di Matematica dell'Università di Leopoli.
Il periodo di mezzo tra le 2 guerre mondiali fu estremamente impegnativo per Banach: oltre a continuare nella produzione continua di paper di ricerca, si dedicò alla scrittura di manuali scolastici di aritmetica, geometria ed algebra.
Nel 1929, assieme a Steinhaus, fondò una nuova rivista matematica, Studia Mathematica, dedicata principalmente alla ricerca nel campo dell'analisi funzionale ed argomenti affini.
Sempre in quel periodo Banach incominciò a produrre quella che è considerata la sua opera più famosa, la prima monografia concernente la teoria generale dello spazio lineare-metrico, intitolata Teoria operacji liniowych (pubblicata nel 1931).
L'opera venne tradotta l'anno dopo in francese, traduzione che contribuì a farle ottenere un più ampio riconoscimento da parte dei circoli accademici europei.
Essa costituì peraltro la prima di una corposa serie di monografie a cura di Banach e della sua cerchia di matematici, la cosiddetta "Scuola di Leopoli", i quali erano soliti riunirsi al Caffè Scozzese nel centro storico di Leopoli.
Vediamone la magnifica immagine tratta da Wikipedia.




















Purtroppo sappiamo bene che nel 1939 scoppiò la Seconda guerra mondiale e Leopoli finì sotto il controllo dell'Unione Sovietica per quasi 2 anni.
Intanto Banach divenne membro corrispondente dell'Accademia delle scienze dell'Ucraina e, in buoni rapporti con i matematici sovietici, si trovò costretto a promettere di imparare l'ucraino per poter mantenere la sua cattedra e continuare le sue attività accademiche.
Ma la situazione non restò così a lungo. Infatti, per via dell'Operazione Barbarossa, nel giugno 1941 i tedeschi conquistarono Leopoli e tutte le università vennero di conseguenza chiuse.
Banach fu arrestato con l'accusa di traffico di valuta tedesca ma rilasciato dopo poche settimane. Sopravvisse a un periodo in cui vennero assassinati accademici polacchi e il suo supervisore di dottorato Lomnicki morì nella tragica notte del 3 luglio 1941 quando si verificarono molti massacri.
Verso la fine del 1941 Banach lavorò (assieme a diversi colleghi e a suo figlio) come "alimentatore di pidocchi" nell'istituto tedesco che si occupava di malattie infettive (in particolare era in corso una ricerca sul tifo epidemico). Nutrire i pidocchi rappresentò sostanzialmente la sua vita durante il resto dell'occupazione nazista di Leopoli fino al luglio 1944.
Non appena le truppe sovietiche presero nuovamente possesso di Leopoli (nella cosiddetta "Offensiva Leopoli-Sandomierz"), Banach rinnovò i suoi contatti all'Università.
Tuttavia, poiché i sovietici stavano rimuovendo i polacchi dai territori annessi precedentemente della Polonia, Banach cominciò a prepararsi a lasciare la città e a stabilirsi a Cracovia, dove gli era stata promessa una cattedra all'Università Jagellonica. 
Fu anche considerato come candidato alla carica di ministro dell'Istruzione della Polonia. 
Nel gennaio 1945 gli fu però diagnosticato un cancro ai polmoni e gli venne concesso di rimanere a Leopoli. 
Banach esalò l'ultimo respiro il 31 agosto 1945, all'età di 53 anni. Al suo funerale, al cimitero di Lychakiv, parteciparono centinaia di persone.
Concludiamo ricordando che, oltre all'introduzione del fondamentale concetto di spazio di Banach e ai suoi lavori pionieristici nell'ambito dell'analisi funzionale, Banach diede anche importanti contributi alla teoria degli spazi vettoriali topologici, alla teoria della misura, alla teoria degli insiemi e alla teoria dei polinomi ortogonali, e il suo nome è associato anche alla cosiddetta algebra di Banach e al celebre paradosso di Banach-Tarski relativo alla decomposizione di una singola sfera in 2 sfere.

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Fonti essenziali:



- Storia del pensiero matematico (II. Dal Settecento a oggi) di Morris Kline

giovedì 10 marzo 2022

UN GIGANTE DELLA FISICA MATEMATICA MODERNA: LUDVIG FADDEEV

In questi giorni l'argomento al centro delle discussioni è ovviamente l'orrore della guerra in Ucraina, che si spera termini al più presto. 
Nel XXI secolo l'uomo dovrebbe aver imparato dal passato che le guerre portano solo morti, dolore e distruzioni specialmente a scapito delle persone più deboli, di coloro, persino tanti bambini, che si ritrovano da un giorno all'altro catapultati da una vita regolare (già di per sé con le sue problematiche) in uno scenario terrificante.
Va però anche detto che ci sono stati degli episodi agli onori delle cronache in cui si è preso tutto ciò come pretesto per denigrare la cultura russa in generale, che nulla ha a che vedere con quello che sta accadendo.















Non è disprezzando/censurando improvvisamente la musica di Tchaikovsky e Shostakovich, la letteratura di Dostoevskij e Tolstòj, l'arte di Kandinskij e Brjullov e così via che la guerra magicamente finirà e/o si diventerà persone umanamente migliori.
La cultura (nel senso più ampio del termine) non è mai un male, è l'assenza di cultura ad esserlo!
Questa breve premessa ci fornisce l'input per estendere il discorso anche al mondo scientifico.
A tal proposito, questo post sarà dedicato ad un'analisi biografica di un grandissimo fisico e matematico russo, Ludvig Dmitrievich Faddeev (1934-2017), il cui nome viene talvolta scritto anche come Ludwig Dmitriyevich.
Ludvig Dmitrievich Faddeev nacque il 23 marzo 1934 a Leningrado (l'attuale San Pietroburgo), in Russia, da Dmitrii Konstantinovich Faddeev (1907-1989) e Vera Nikolaevna Zamyatina, anche nota come Vera Fadeeva (1906-1983), entrambi famosi matematici.














Nello specifico, il padre era un celebre algebrista, professore all'Università di Leningrado e membro dell'Accademia russa delle scienze, la madre era conosciuta tra gli addetti ai lavori per i suoi lavori nel settore dell'algebra lineare numerica.
Ludvig trascorse i suoi primi anni di vita a Leningrado, ma ben presto dovette fuggire dalla città durante la Seconda guerra mondiale, quando la città venne assediata dagli eserciti tedeschi.
Nel settembre 1939, la Russia, alleata con la Germania (si legga a tal proposito, cliccando qui, circa il patto Molotov-Ribbentrop), invase la Polonia da est. Ciò ha avuto scarso effetto sulla vita a Leningrado, almeno per un po' di tempo. 
Nel giugno 1941, tuttavia, il corso della guerra mutò radicalmente per coloro che vivevano in Russia da quando la Germania invase il loro paese. Entro il mese successivo Hitler aveva in programma di conquistare sia Leningrado che Mosca. 
Mentre gli eserciti tedeschi avanzavano rapidamente verso Leningrado nell'agosto 1941, molte persone furono evacuate dalla città, inclusa la famiglia Faddeev. 
Per tutta la durata dell'assedio di Leningrado, la famiglia Faddeev visse a Kazan, che si trova a circa 800 km a est di Mosca e considerata al sicuro dall'invasione tedesca.
Per molto tempo non ci fu possibilità di tornare a Leningrado, che fu liberata dall'assedio solo nel gennaio 1944. 
Anche dopo la fine dell'assedio, l'accesso alla città devastata fu per molto tempo possibile solo con un permesso speciale. La famiglia Faddeev, insieme ad altri colleghi, ottenne tali permessi e Ludwig vi poté tornare con i suoi genitori.
Finito l'incubo della guerra, il giovane Faddeev dovette compiere un'ardua scelta tra perseguire una carriera nella musica oppure nel mondo accademico. 
I suoi genitori lo incoraggiarono ad intraprendere una carriera musicale poiché suonava il piano ad un livello tecnicamente molto elevato. Un tempo pensava infatti che avrebbe studiato musica al Conservatorio di Leningrado piuttosto che andare all'università. 
Terminò la scuola media n. 155 nel distretto Smolninskiy di Leningrado. 
Al liceo ebbe molti interessi diversi tra cui la modellazione radiofonica, lo sci di fondo e la fotografia. Una volta affermò di apprezzare l'algebra molto più della geometria e quando fu guidato su come risolvere i problemi trigonometrici con i metodi della geometria analitica si sentì eccitato.
Dopo il diploma di scuola superiore, ottenuto nel 1951, alla fine Faddeev scelse il percorso universitario e, in particolare, la facoltà di Fisica dell'Università statale di Leningrado.
Quando Faddeev incominciò i suoi studi universitari Joseph Stalin era Premier dell'Unione Sovietica e ben presto il giovane scienziato fu obbligato a comparire davanti al Comitato Comsomol (Gioventù Comunista) locale. Gli fu chiesto se gli piacesse leggere i romanzi di Knut Hamsun, uno scrittore norvegese che vinse il Premio Nobel per la letteratura nel 1920.
D'altronde Hamsun aveva sostenuto la Germania durante la Seconda guerra mondiale e i suoi romanzi, pertanto, erano considerati da Stalin inaccettabili.
Fortunatamente per Faddeev, Stalin morì (precisamente il 5 marzo 1953) poco tempo dopo l'evento e quindi la rognosa controversia non ebbe un seguito. 

mercoledì 2 febbraio 2022

1 LITRE OF TEARS: UNA SERIE CHE SCAVA NEL PROFONDO DI UNA MALATTIA TREMENDA

Continuiamo con la serie di post dedicati alle recensioni/analisi di grandi serie tv o anime.
Oggi parliamo di 1 Litre of Tears (il titolo originale è 1 Litre no namida), una serie giapponese (nello specifico un dorama) di 11 puntate andata in onda nel 2005 su Fuji TV e che potete trovare anche su YouTube con sottotitoli in inglese (riporto il video del primo episodio di seguito).
 

In verità sono stati realizzati anche altri adattamenti della medesima storia, ma qui ci riferiremo alla serie capolavoro appena menzionata.
Partiamo subito con una premessa. Se vi aspettate di guardare un'opera di intrattenimento leggero e da binge watching, 1 Litre of Tears è ciò che vi è di più distante dalle tipiche produzioni cinematografiche e televisive che vanno di moda.
Questo discorso lo avevamo già fatto nella recensione su Navillera (cliccate qui per leggerla).
In 1 Litre of Tears il discorso è portato agli estremi; l'intera opera non è mai caratterizzata da momenti banali, ogni singolo secondo della serie ha una sua importanza e un significato profondo. Alcune scene sono proprio toste da digerire e non perché siano banalmente spaventose come quelle di un film horror, ma perché riportano momenti di cruda e dura realtà, che purtroppo non è sempre costituita dal cliché dell'happy ending.
Anche il titolo non è un'esagerazione; le lacrime scorrono a fiumi sia all'interno della serie, ma sono con elevata probabilità tantissime anche le lacrime che la vicenda, la recitazione perfetta e le magnifiche musiche di accompagnamento vanno a suscitare nello spettatore sin dalla primissima puntata.
Attenzione però a non manifestare subito il pregiudizio che siccome sia una serie indubbiamente molto triste non valga la pena di essere guardata.
Il probabile pianto che suscita una vicenda del genere non è solo di tristezza di fronte a una storia così intensa da colpire nel profondo di chiunque possieda almeno un briciolo di sensibilità, ma è spesso un pianto di forte commozione di fronte all'incredibile forza di volontà e spirito dimostrati dalla protagonista.
Evidenziamo sin da ora che pur essendo un adattamento romanzato (diciamo una versione più "allegra" della ancora più cruda realtà dei fatti), la serie è basata su una storia vera narrata nell'omonimo diario di memorie di Aya Kitō (1962-1988) 1 Litre no namida, pubblicato nel 1986 e che è arrivato a vendere ben 18 milioni di copie in Giappone.
A seguito di questa doverosa premessa, andiamo finalmente a capire di cosa tratta nello specifico l'opera.
Trattasi della storia di una ragazza di 15 anni, Aya Ikeuchi (interpretata da Erika Sawajiri), cioè la versione romanzata di Aya Kitō, la quale improvvisamente viene colpita da una malattia terribile.
I primi segni della malattia iniziano a manifestarsi con strane perdite di equilibrio e relative cadute, che vengono in un primo momento ignorate dalla ragazza e scambiate per sintomi di forte stress.
Aya è una ragazza allegra, solare e molto portata per lo sport, in particolare per il basket.
Nessuno poteva immaginare che di lì a poco la sua vita sarebbe cambiata radicalmente, non permettendole di condurre la "normale" vita di una studentessa di scuola superiore.
La famiglia di Aya è composta, oltre che dalla stessa Aya, dal padre Mizuo, il quale gestisce un'attività di vendita di tofu, dalla madre Shioka, dal fratello più piccolo Hiroki e da 2 sorelle, Ako e Rika.




















Un giorno, dopo una brutta caduta che fa finire Aya in ospedale, la visita di un medico specializzato in neurologia, Hiroshi Mizuno, porta alla tragica scoperta: Aya è affetta da atassia spinocerebellare (abbreviata SCA).

Immagine tratta da Wikipedia




















È una malattia neurologica di origine genetica che si può manifestare in svariate tipologie differenti, ma purtroppo molte di queste sono a dir poco nefaste per l'individuo che le sviluppa.
È in particolare una malattia degenerativa, il che significa che progredisce nel tempo, portando alla manifestazione di sintomi sempre più gravi, sino a condurre alla morte.
La serie tv è esplicita sin dalla prima puntata sull'infernale percorso che Aya si troverà man mano ad affrontare per via della suddetta malattia.
Inizialmente, come detto, la patologia si manifesta con perdite improvvise nell'equilibrio, tuttavia man mano comporta una vera difficoltà nel camminare (costringendo alla fine all'utilizzo di una sedia a rotelle) e addirittura nel parlare.
Nelle fasi finali della malattia l'individuo si ritrova praticamente allettato, incapace di comunicare verbalmente e con alta possibilità di strozzarsi e soffocare persino mangiando!
Ma l'aspetto più triste di tutto questo è che non esiste alcuna cura per tale malattia, non esisteva ai tempi della produzione della serie e non esiste tuttora oggi.
Insomma la SCA si abbatte come un tornado nella vita di una 15enne fino a quel momento spensierata e che si avviava a conseguire le prime esperienze sentimentali e a cominciare a pensare a cosa avrebbe fatto una volta terminati gli studi scolastici.
Inizialmente solo la madre apprende che la figlia è malata, cercando disperatamente di consultare tutti i medici possibili alla ricerca di una cura per la figlia.
La risposta di qualunque esperto è sempre la stessa: la patologia è incurabile e c'è solo la minima speranza che in futuro la medicina riesca a fare progressi significativi.
Il consiglio che viene subito dato alla madre è di riferire ad Aya della sua condizione, in maniera tale che possa ottimizzare il tempo a lei rimanente prima che i sintomi diventino gravi ed implacabili.
La madre ed il padre decidono tuttavia di mantenere per un po' il segreto, ma questo diventa ben presto un "segreto di Pulcinella" poiché Aya non è una ragazza stupida e capisce dopo poco che c'è qualcosa che non va nel suo corpo.
Nel frattempo la giovane studentessa fa la sua conoscenza con un ragazzo singolare, apparentemente freddo e distaccato di nome Haruto Aso.
Questi aveva perso da poco tempo il fratello maggiore, il quale avrebbe potuto continuare la tradizione di famiglia di studiare medicina e poter aiutare le altre persone.
Nonostante il suo carattere glaciale, Haruto si trova ad aiutare in diverse situazioni iniziali Aya e sviluppa man mano un certo interesse per la stessa.
Haruto sarà una figura fondamentale nel tormentato percorso di vita di Aya, anche se è opportuno specificare che questo ragazzo è frutto di un puro artifizio letterario, giacché nella storia di vita reale, quella di Aya Kitō (le cui foto e citazioni vengono riportate nei titoli di coda di ogni puntata), non è presente alcun ragazzo ed Aya appare molto più sola di quanto non lo è nella serie tv.
Insomma il mondo reale è talvolta più duro e crudele delle storie di fantasia.


In ogni caso la serie fa riflettere perché lo spettatore può ad ogni passo tentare di immedesimarsi nella ragazza e nella sua famiglia e cercare di comprendere cosa si possa provare in una situazione del genere, quali scelte appaiono più sensate e si giunge alla fine a sviluppare una totale ammirazione per la forza mostrata da Aya, una forza commemorata anche nell'ultima toccante puntata con una scena che ricorda un'altrettanta commovente scena del film Schindler's List
L'analogia con il film capolavoro di Steven Spielberg datato 1993 non si limita secondo me a questo.
Schindler's List è la storia della durissima persecuzione subita dagli ebrei per via delle atrocità nei loro confronti pensate dai nazisti durante la Seconda guerra mondiale, ma è, allo stesso tempo, la storia di un uomo, Oskar Schindler (interpretato magistralmente da Liam Neeson) che, inizialmente interessato solo ai soldi e alla bella vita, arriva infine a rendersi conto, osservando gli orrori presenti nei campi di concentramento, dell'importanza della vita umana e a compiere un gesto che nessuno si aspetterebbe da qualcuno legato al filone nazista.
A proposito di Schindler's List, riporto di seguito la splendida esecuzione al sassofono da parte di Dave Koz del Main Theme.