martedì 15 gennaio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: LÀ CI DAREM LA MANO (MOZART)/DOMINGO-MARTÍNEZ

Bentornati nella nostra rubrica musicale.














Stasera segnaliamo una famosissima aria tratta dal Don Giovanni, K. 527, opera lirica in 2 atti di Mozart: "Là ci darem la mano".
La suddetta opera è stata composta nel 1787 e rappresenta una delle 3 opere (le altre sono Così fan tutte e Le nozze di Figaro) in italiano realizzate dal grandissimo Wolfgang Amadeus Mozart.
Ascoltiamo dunque il duetto sulla famosa aria interpretato dal celebre tenore spagnolo Plácido Domingo, assieme alla bravissima soprano portoricana Ana María Martínez.
Tale splendido duetto è stato realizzato, in particolare, per la serie televisiva Mozart in the Jungle, consigliatissima agli appassionati di musica classica.
Buon ascolto!



Alla prossima!

lunedì 14 gennaio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: NON, JE NE REGRETTE RIEN/EDITH PIAF

Ben ritrovati all'appuntamento musicale di Scienza e Musica.




















Stasera ascoltiamo la mitica Edith Piaf (1915-1963) interpretare l'intenso brano "Non, Je Ne Regrette Rien".
Trattasi di una canzone scritta nel 1956 da Charles Dumont, con testo di Michel Vaucaire.
La celebre versione della Piaf fu registrata invece nel 1960.
Non mi resta che augurarvi buon ascolto!



Alla prossima!

domenica 13 gennaio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: TOTAL ECLIPSE OF THE HEART/BONNIE TYLER

Rieccoci nella nostra rubrica musicale, dopo una breve pausa per dar spazio al post di carattere matematico.




















Ripartiamo da una famosissima ballata stile rock, datata 1983, ossia "Total Eclipse of the Heart", interpretata dalla cantante gallese Bonnie Tyler.
Nel 2006 la rete televisiva statunitense VH1 ha inserito la suddetta canzone alla posizione n.56 della classifica delle "100 più grandi canzoni degli anni '80".
Ne sono state eseguite diverse cover nel corso degli anni, tra cui quella della cantante italiana L'Aura, nel 2010, intitolata "Eclissi del Cuore".
Oggi ascoltiamo tuttavia l'inimitabile versione originale (completa)!



Alla prossima!

venerdì 11 gennaio 2019

ANALISI COMPLESSA: RESIDUI

Continuiamo la nostra serie di post relativi all'analisi complessa.
Prima di cominciare, vediamo l'elenco delle puntate precedenti:

- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa";

Bene, iniziamo subito ricordando che il residuo di una funzione analitica f(z), in un suo punto singolare isolato z = z₀, è il valore dell'integrale di f(z), esteso ad una curva γ contenente il punto z = z₀ (ma non altre singolarità di f(z)) e tutta contenuta nella regione di olomorfismo di f(z), moltiplicato per il fattore 1/2πi.
Tutte queste astruse parolone si traducono semplicemente in simboli come segue:

Esso coincide peraltro con il coefficiente d-1 della potenza (z - z₀)-1 nello sviluppo in serie di Laurent di f(z), valido nell'intorno del punto z = z₀.
Osserviamo che la più semplice funzione che possegga singolarità al finito, cioè f(z) = 1/z, ha, nel suo unico polo situato in z = 0, residuo pari a 1, come si vede immediatamente dal fatto che tale funzione coincide col proprio sviluppo di Laurent e in accordo con la formula

che moltiplicata per 1/2πi porta appunto al risultato 1.
Per chi se lo stesse chiedendo, la formula di prima si ricava semplicemente compiendo la sostituzione z = ei𝜑 nell'integrale iniziale.
Naturalmente sarebbe possibile definire il residuo di una funzione pure in un punto di regolarità, tuttavia esso risulterebbe banalmente nullo, come stabilito dal teorema di Cauchy e sarebbe dunque irrilevante.
Viceversa, la considerazione del residuo di una funzione in un punto singolare è di estrema importanza ed utilità.
Si potrebbe asserire che il valore del residuo di una funzione in un punto singolare determina, in un certo senso, l'importanza di tale singolarità!
Consideriamo ora una funzione f(z), olomorfa in una regione R, tranne che in un certo numero di singolarità isolate.
Sussiste un teorema che consiste in un'affermazione praticamente auto evidente, ma allo stesso tempo importantissima.

Esso prende il nome di teorema dei residui e afferma quanto segue:

"L'integrale esteso ad una curva chiusa γR, semplicemente connessa e non passante per alcuna singolarità di f(z), è uguale alla somma dei residui di f(z) nei punti singolari interni a γ, moltiplicata per il fattore 2πi".

In altre parole, il teorema dei residui ci dice che, se z₁, z₂,..., zn sono i punti singolari di f(z) che cadono all'interno del contorno γ, allora vale l'identità:

Sul suddetto teorema si basa la possibilità di valutare un grandissimo numero di integrali definiti, i quali sarebbero praticamente impossibili da risolvere con i metodi elementari del calcolo integrale.
La valutazione del residuo di una funzione in una singolarità di tipo polare è sostanzialmente immediata.
Se infatti il punto z = z₀ è un polo di ordine n di una funzione f(z), allora, nell'intorno di tale punto, f(z) si può considerare rappresentabile nel seguente modo

 
ove g(z) è una funzione regolare non nulla in z = z₀.
Dalla definizione di residuo si ha allora:

Ricordando ora la rappresentazione integrale di Cauchy per la derivata kappesima di una funzione analitica g(z), ossia

la formula descrivente il residuo si può riscrivere come

 e pertanto, riutilizzando l'espressione

 per esprimere g(z) in termini di f(z), si ha in definitiva:

Questo risultato consente quindi la valutazione dei residui, relativi a singolarità polari, tramite semplici operazioni di derivazione e di limite.
Nel caso in cui il punto z₀ sia un polo semplice di f(z), l'ultima formula si riduce poi alla semplice relazione:

Abbiamo già detto che il residuo di f(z), in un suo punto singolare isolato z = z₀, coincide pure con il coefficiente d-1 della potenza (z - z₀)-1 nello sviluppo di Laurent di f(z), valido nell'intorno del punto z = z₀, ossia in simboli

Una volta noto lo sviluppo in serie di Laurent di una funzione, valido nell'intorno di un suo punto singolare isolato, la conoscenza del suo residuo in tale punto è perciò immediata.
Va sottolineato che mentre la formula in rosso fornisce il valore dei residui solamente per singolarità di tipo polare, quella in verde appena riportata può essere sfruttata pure nel caso in cui z = z₀ sia una singolarità essenziale isolata.

giovedì 10 gennaio 2019

ONE GOOD PIECE OF MUSIC EVERY DAY: DANCING IN THE DARK/ARTIE SHAW

Ben ritrovati nella nostra rubrica musicale.
Stasera ascoltiamo il brano (originariamente del 1931) "Dancing in the Dark", dovuto ad Arthur Schwartz, con testo di Howard Dietz.



















La versione che segnaliamo è tra le più celebri e belle, ovvero quella del clarinettista Artie Shaw (con la propria Orchestra) ed è datata 1941.
Gli anni '40 del XX secolo possono considerarsi la "Golden Era" del jazz e, in particolare, delle big bands, tra cui anche quella dello stesso Shaw.
Buon ascolto!



Alla prossima!