venerdì 14 gennaio 2022

CARNEVALE DELLA MATEMATICA #156: MATEMATICA DELLA VITA E VITA NELLA MATEMATICA


"La vita non si misura attraverso il numero di respiri che facciamo, ma attraverso i momenti che ci lasciano senza respiro." Maya Angelou





Benvenuti alla 156ª edizione del Carnevale della Matematica, la quarta che ha l'onore di ospitare il blog Scienza e Musica!
Tale edizione ha nome in codice (come ormai ben noto dovuto a Popinga) "canta il merlo, canta allegro" e cellula melodica (grazie a Dioniso Dionisi, cioè Flavio Ubaldini) seguente. 

La tematica selezionata come filo conduttore del presente evento è, come tradizione, ricchissima di spunti di riflessione: "Matematica della vita e vita nella matematica"
Prima di aprire la passerella ai vari interessanti contributi inviati dai carnevalisti per questa edizione, immancabile è un'introduzione dedicata al tema dell'edizione.
Come avevo già segnalato nella 1ª call for papers, il tema si presta ad una doppia lettura.
Da una parte abbiamo la matematica della vita e quindi inerente agli esseri viventi in generale, essere umano compreso. 
È un tema che apre spiragli verso l'attualità, dato che anche la matematica ha avuto e sta avendo un ruolo di analisi ed aiuto relativamente alla pandemia da Covid19 che sta creando grossi disagi (e purtroppo pure molti morti) sin dall'inizio del 2020 (si veda a tal proposito, ad esempio, l'articolo, pubblicato su Infectious Disease Modelling, Volume 6, 2021, di Gumel, Iboi, Ngonghala ed Elbasha cliccando qui). 

Illustrazione di Eunice Dhivya
















Dall'altra parte abbiamo la vita nella matematica, cioè, in generale, la nostra personale esperienza (e tempo trascorso) con la matematica o quella di coloro che in passato e nel presente hanno dedicato/dedicano la loro esistenza a contribuire allo sviluppo (più o meno grande) di tale meravigliosa disciplina. È pertanto un tema assai variegato e dalle mille sfaccettature, come avrete modo di scoprire nella sezione ad esso dedicata del Carnevale.
In questa introduzione ci focalizzeremo sulla prima grossa tematica, dato che si presta molto meglio ad essere analizzata in tal contesto, mentre lasceremo la seconda unicamente alla libera interpretazione (e anche alle esperienze e contributi personali) dei partecipanti.
Non c'è forse modo migliore di incominciare che riportare un estratto dalla Prefazione del libro (datato 2010) La matematica della vita del professore emerito di matematica all'Università di Warwick (e grande divulgatore scientifico) Ian Stewart:

"Nel vasto campo della matematica, la teoria e le applicazioni pratiche si sono storicamente sviluppate in parallelo, dal momento in cui i primi uomini hanno inciso tacche su pezzi di ossa per registrare il succedersi delle fasi della Luna fino alle recenti indagini sul bosone di Higgs condotte con il Large Hadron Collider. I calcoli di Isaac Newton ci hanno fornito precise informazioni sugli spazi dell'universo e le forze che vi interagiscono, e durante gli ultimi tre secoli i suoi successori hanno scoperto e imparato a trattare tutti i fenomeni della fisica, utilizzando gli strumenti della matematica: il calore (nella disciplina detta termodinamica), la luce (nell'ottica), il suono (nell'acustica), la meccanica dei fluidi e, più tardi, la relatività e la meccanica quantistica. Il pensiero matematico è diventato il paradigma (cioè l'insieme degli strumenti d'indagine e di argomentazione descrittiva) essenziale delle scienze fisiche. 
Fino a tempi relativamente recenti, per le scienze della vita la situazione era diversa. In questo settore la matematica era, nel migliore dei casi, una sorta di servo tuttofare: aveva, come si dice, un ruolo ancillare. Veniva utilizzata per eseguire calcoli di tipo tradizionale e per valutare l'attendibilità degli schemi statistici rilevabili nei dati sperimentali ottenuti. La matematica non forniva contributi importanti per formulare nuove ipotesi teoriche o semplicemente per concorrere alla comprensione dei fenomeni. Non era fonte d'ispirazione per grandi teorie o grandi esperimenti. In effetti, per un lungo periodo della storia della scienza la matematica avrebbe potuto semplicemente non esistere. Oggi la situazione sta cambiando. Recenti scoperte nel campo della biologia hanno dato il via alla formulazione di una quantità di importanti problemi, ed è improbabile che molti di questi possano essere risolti senza massicci contributi forniti dalla matematica. La varietà delle ipotesi matematiche oggi utilizzate nelle scienze della vita è enorme e le richieste che vengono dai vari settori della biologia stimolano lo sviluppo di procedure di calcolo e analisi del tutto nuove, specificamente adatte a descrivere i processi degli esseri viventi. I matematici e i biologi del nostro tempo lavorano insieme su alcuni temi, estremamente complessi, che la specie umana non aveva mai affrontato in precedenza: tra questi la natura e l'origine del fenomeno vita.
La biologia è destinata a diventare il grande territorio di frontiera per la matematica del XXI secolo."

È proprio così, la matematica si sta man mano prefigurando come linguaggio della scienza a 360°, mantenendo però contemporaneamente e chiaramente anche l'aspetto di disciplina a se stante, la cosiddetta matematica pura, in cui la ricerca non è puntata esplicitamente a trovare nuove applicazioni "concrete", bensì alla curiosità matematica in sé, che spinse e continua a spingere generazioni di matematici a "poggiarsi sulle spalle dei giganti" del passato e ampliare la nostra visione globale della matematica.
Recentemente, il 5 ottobre 2021, uno dei premi Nobel assegnati per la Fisica è andato ad un grande fisico teorico italiano, il Prof. Giorgio Parisi dell'Università "La Sapienza" di Roma, per i suoi studi inerenti ai sistemi complessi.
Tra i rilevanti sistemi complessi studiati da Parisi risultano anche le incredibili coreografie effettuate dagli storni nel cielo. Di seguito uno splendido video illustrativo con sottofondo musicale fornito dal meraviglioso Canone di Pachelbel.

Questo tipo di problemi viene affrontato, tra le altre cose, grazie alla meccanica statistica.




















Tornando seri, il lettore non addetto ai lavori potrebbe chiedersi cos'è nello specifico la meccanica statistica e perché ha avuto un ruolo rilevante negli studi compiuti da Parisi.
Per cercare di rispondere a tali interrogativi, partiamo dal fatto che anche coloro che hanno avuto esperienze scolastiche minime di fisica avranno magari nei loro ricordi i problemi che vanno ad analizzare un singolo corpo (il famoso punto materiale) o comunque situazioni in cui compare un numero relativamente basso di oggetti e vincoli.
Pure coloro più appassionati e/o coraggiosi che approcciano per la prima volta la meccanica quantistica (abbreviata MQ) in modo serio (per "serio" intendo con tutto il formalismo matematico associato e non solo raccontata come favoletta o romanzo in cui il gatto di Schrödinger è praticamente sempre protagonista!), in verità, si trovano ad affrontare quella che è una versione semplificata della MQ, ovvero la MQ degli stati puri.
La MQ degli stati puri va benissimo come base di partenza per svariati aspetti della fisica, ma se si volesse per esempio capire un po' nel dettaglio il singolare fenomeno dell'entanglement quantistico, allora questa non sarebbe sufficiente e infatti occorre introdurre il concetto di matrice o operatore densità, il quale si fonda a sua volta sul fatto che lo stato di un sistema fisico in MQ non è in generale totalmente determinato.
Potremmo conoscere alcune caratteristiche di quel sistema, ma è impossibile descrivere tutte le sue proprietà.
In termini tecnici, ciò che noi sicuramente conosciamo (a meno che il sistema non sia uno stato puro, il quale è completamente noto) è che il sistema si trova in uno stato appartenente ad un certo ensemble statistico $\left \{ | \psi_1 \rangle, | \psi_2 \rangle, ..., | \psi_l \rangle  \right \}$, con probabilità $\left \{p_1, p_2, ..., p_l  \right \}$, e che si verifichi l'ovvia condizione $\sum_{i = 1}^{l} p_i = 1$. 
Si parla nello specifico, in tal caso, di miscela statistica di stati $| \psi_k \rangle$ con peso $p_k$.
Tornando ad un livello di narrazione alla portata di chiunque e generalizzando il discorso, come ben riassume Wikipedia, "la meccanica statistica è la branca della fisica che utilizza la statistica e la teoria della probabilità per lo studio del comportamento meccanico e termodinamico di sistemi composti da un gran numero di particelle".
Nel caso vogliate approfondire, abbiamo incominciato, qui su Scienza e Musica, ad introdurre i primissimi elementi fondamentali della meccanica statistica qui, qui e qui.
Riporto ora un breve stralcio dall'ultimo libro dello stesso Giorgio Parisi, In un volo di storni, ove viene illustrata in sintesi la sua ricerca (compiuta assieme al suo team) a cavallo tra la fisica e la biologia:

"Anche se studiare il comportamento degli storni è ovviamente materia da biologo, lo studio quantitativo dei movimenti tridimensionali degli individui richiede un'analisi che può essere fatta solo da fisici. L'analisi contemporanea di migliaia di uccelli su centinaia di foto per ricostruire le traiettorie dei singoli esemplari nello spazio e nel tempo è un'attività tipica del nostro mestiere. Le tecniche adatte a queste analisi hanno molto in comune con quelle che abbiamo sviluppato per risolvere i problemi di fisica statistica o per analizzare quantità massicce di dati sperimentali. 
Dopo quasi due anni di lavoro eravamo gli unici al mondo a possedere le immagini tridimensionali di gruppi di storni...Quando guardiamo gli stormi a occhio nudo da terra, una delle caratteristiche più impressionanti è vedere come la loro forma cambi molto velocemente; è difficile descriverlo a qualcuno che non l'abbia mai visto: in cielo si muovono oggetti di forma variegata che all'improvviso diventano più piccoli, più schiacciati, poi si riallargano, cambiano, diventano quasi invisibili, poi più scuri. C'è un'enorme variazione nella loro forma e nella loro densità.
Molte simulazioni del volo, in cui si cercava di riprodurre al computer questo comportamento, partivano da stormi che erano sostanzialmente di forma sferica. Le prime foto tridimensionali ci hanno mostrato però che uno stormo assomiglia piuttosto a un disco. Proprio per questo motivo vediamo la forma variare rapidamente: un oggetto a forma di disco, a seconda della direzione da cui è osservato, può diventare molto grande e tondo se visto di piatto o decisamente più stretto se visto di taglio. L'enorme e velocissima variazione di forma e densità risulta quindi essere l'effetto tridimensionale del cambiamento dell'orientazione dello stormo rispetto a noi (spiegazione che era stata avanzata da Nicola Cabibbo prima di fare l'esperimento, ma senza i dati osservativi non potevamo dimostrare che l'intuizione era corretta). Siamo stati invece estremamente sorpresi nello scoprire che la densità al bordo rispetto alla densità al centro è maggiore di quasi il 30%." 

Questo piccolo assaggio dell'imponente lavoro dello straordinario fisico teorico italiano mostra pertanto come sia possibile andare a implementare nuovi standard, derivati dalla fisica (e quindi con alla base un massiccio uso di matematica), per indagare problemi estremamente complicati in ambito biologico e che con la sola biologia non sarebbero risolvibili.
Restiamo nell'ambito della ricerca italiana, segnalando pure il poderoso lavoro, pubblicato il 28 luglio 2021 sulla rivista Cerebral Cortex, effettuato dal noto neuroscienziato Prof. Giorgio Vallortigara (e colleghi) circa il senso del numero (o "numerosità") riscontrato in un'area del cervello dei pesci zebra: cliccate qui per leggere l'articolo di ricerca.
Riporto di seguito la mia traduzione libera dell'abstract:

"Abbiamo trovato una regione del pallio del pesce zebra che mostra un'attivazione selettiva al cambiamento nella numerosità degli stimoli visivi. I pesci zebra erano abituati ad insiemi di piccoli punti che cambiavano in dimensione, posizione e densità individuali, mantenendo al contempo la loro numerosità e la superficie complessiva. Durante i test di disabituazione, il pesce zebra ha affrontato un cambiamento nel numero (con la stessa superficie complessiva), nella forma (con la stessa superficie e numero complessivi), o nella dimensione (con la stessa forma e numero) dei punti, mentre, in un gruppo di controllo, il pesce zebra ha affrontato i medesimi stimoli incontrati durante l'assuefazione. La modulazione dell'espressione dei geni immediati precoci c-fos ed egr-1 e l'ibridazione in situ hanno rivelato un'attivazione selettiva della parte caudale della divisione dorso-centrale del pallio del pesce zebra al variare della numerosità. Tali risultati supportano l'esistenza di un meccanismo evolutivamente conservato per la grandezza approssimativa e forniscono un modo per comprendere i suoi correlati molecolari sottostanti." 

Immagine tratta dal paper di G. Vallortigara




















Compiendo un viaggio nel passato, è interessante notare come il geniale Galileo Galilei (1564-1642) abbia cercato di comprendere come fosse possibile l'esistenza di animali di grossa stazza, tra cui le balene.
A tal proposito riporto un significativo frammento tratto dal saggio Sorella Scimmia, Fratello Verme del ben conosciuto matematico, logico e divulgatore scientifico Prof. Piergiorgio Odifreddi

"Galileo le tira [le balene] doverosamente in ballo nella discussione dei Discorsi, notando che “sono grandi quanto dieci elefanti, eppure si sostengono”, e propone la seguente soluzione

Un animale gigante con la stessa struttura ossea di uno minore potrebbe esistere e muoversi allo stesso modo, o addirittura più agevolmente, se si diminuisse in maniera inversamente proporzionale il peso delle sue ossa e della sua carne. E questo è il trucco che la Natura ha usato nella creazione dei pesci, nei quali le ossa e la carne non sono soltanto molto leggere, ma non hanno alcun peso...
Il fatto che i pesci possano mantenersi immobili in immersione è una prova evidente che il loro peso uguaglia la spinta dell'acqua. Se dunque in essi ci sono parti più pesanti dell'acqua, allora ce ne devono essere altre meno pesanti, così da poter mantenere l'equilibrio. Se le ossa fossero più pesanti, la carne sarebbe più leggera, e si opporrebbe al peso delle ossa. Negli animali acquatici accadrebbe allora l'opposto che negli animali terrestri: in questi sono le ossa a sostenere il peso di sé stesse e della carne, e in quelli sarebbe la carne a sostenere il peso di sé stessa e delle ossa.

In ogni caso, lo scheletro delle balene è molto diverso da quello degli animali terrestri...Uno scheletro umano vestito assomiglia molto a un uomo, ma uno scheletro di balena rivestito non assomiglia affatto a una balena. Quest'osservazione di Melville [in Moby Dick] era puramente qualitativa, come d'altronde lo erano quelle di Galileo, ma tra l'uno e l'altro Leonhard Euler effettuò un'analisi quantitativa in tre storici articoli: La forza delle colonne (1759), L'altezza delle colonne sottoposte al proprio peso (1778) e I carichi che una colonna può sopportare (1780), nel primo dei quali stabilì una famosa formula per calcolare il carico critico che porta una colonna a inflettersi, con il rischio di spezzarsi e collassare."

Un'illustrazione di Moby Dick
























Nello specifico, la formula di Eulero a cui si fa riferimento è la seguente (ne riportiamo il caso più generale):





ove:
  • $P$ denota il carico critico che non deve essere superato affinché non subentri la flessione laterale;
  • $E$ è il modulo di elasticità;
  • $J$ indica il momento quadratico assiale minimo della sezione del solido;
  • $l$ rappresenta la lunghezza libera di inflessione dipendente dai vincoli. 

Restando nel mondo degli animali, molto celebre è l'associazione tra i conigli e la matematica.
Come ho accennato in un post relativo alla sezione aurea (cliccate qui), sussiste un famoso problema che mette in relazione la riproduzione dei conigli con la successione di Fibonacci.

Illustrazione dei "conigli di Fibonacci"

 


    


  


      






Tuttavia la presenza della successione di Fibonacci nel mondo degli esseri viventi va ben oltre l'esempio dei simpatici "divoratori di carote".
  

Anche le piante presentano eccezionali esempi di manifestazione spontanea di questa "magica" sequenza numerica.
A tal proposito vi segnalo un brillante contributo didattico della Prof.ssa Annarita Ruberto (nota su Twitter con lo pseudonimo di Nereide), che non solo può vantare una laurea magistrale in fisica e un numero impressionante di esperienze e ricerche originali in campo didattico (tra cui la collaborazione con la rivista Scuola e Didattica), ma pure svariati talenti in ambito artistico, letterario e della cultura in generale. 
L'articolo in questione sul blog Scientificando (cliccate qui per leggerlo) va ad illustrare un'attività laboratoriale per studenti di scuola media volta a verificare che la disposizione delle foglie sul fusto di una pianta (la cosiddetta fillotassi) non è lasciata al caso, ma conduce proprio alla successione di Fibonacci.  
Questo a dimostrazione che non è necessario far riferimento unicamente alla fantascienza per poter rimanere stupiti di fronte ad un fenomeno: la natura già mostra eventi straordinari e sbalorditivi di per sé. Con il giusto approccio didattico, si può sempre mostrare che la matematica e la scienza sono tutt'altro che discipline aride e noiose!
Come ulteriore intermezzo musicale, ascoltiamo l'esecuzione, da parte del pianista David Macdonald (anche noto come aSongScout), di un brano composto, a partire dalla sequenza di Fibonacci, assegnando numeri alla scala di Mi maggiore. 

Abbiamo compiuto una panoramica di vari interessanti collegamenti tra la matematica e la vita.
Una domanda che potrebbe sorgere spontanea è se la matematica possa avere un ruolo rilevante anche nello studio del corpo umano e in medicina (al di là dell'attuale questione pandemia).
La risposta è affermativa. Poniamo la nostra attenzione sul cuore
Alcuni dei problemi di ricerca di maggior rilevanza nell'ambito della cardiologia matematica hanno a che fare con la propagazione di onde elettriche nel tessuto cardiaco; si parla a tal proposito di elettrofisiologia.
Lo studio quantitativo dell'elettrofisiologia ha una storia decisamente affascinante, ricca di trionfi ma anche di tragedie.
Per esempio, il fisiologo inglese George Ralph Mines (1886-1914) sembrerebbe essere morto prematuramente a causa di esperimenti di stimolazione elettrica compiuti sul proprio stesso corpo.
Quasi mezzo secolo dopo la scomparsa di Mines, i fisiologi britannici Alan Hodgkin (1914-1998) ed Andrew Huxley (1917-2012) introdussero un modello di propagazione elettrica nell'assone gigante di calamaro.
È incredibile pensare come i due scienziati siano riusciti a sviluppare un modello matematico così sofisticato senza poter contare sull'ausilio dei moderni computer.
Il poderoso lavoro svolto valse loro il premio Nobel per la Fisiologia nel 1963.
Il concetto fondamentale alla base della suddetta ricerca è quello di potenziale d'azione, evento di breve durata in cui l'energia di una cellula si innalza rapidamente per poi decrescere, seguendo una traiettoria coerente.
Riporto da Wikipedia un'ottima immagine in cui, nella parte in alto (denotata con A), viene fornita una rappresentazione schematica del potenziale d'azione mentre, nella parte B, vediamo la registrazione effettiva di un potenziale d'azione in un neurone piramidale della corteccia dell'ippocampo di ratto.






 
 

















Tornando al caso specifico del cuore, l'idea fondamentale per uno studio di carattere matematico è quella di modellizzare la membrana cellulare cardiaca alla stregua di un circuito elettrico RC.
La membrana agisce sia come condensatore (giacché supporta un differenziale di carica) sia come resistore variabile (poiché può aprire e chiudere i canali ionici per regolare il flusso di corrente verso l'interno e verso l'esterno).
Sia $C_m$ la capacità elettrica di una membrana cellulare cardiaca e $v$ la tensione attraverso la membrana; la corrente capacitiva $C_m \frac{\mathrm{d}v}{dt}$ deve dunque bilanciare la corrente ionica totale $I_{\mathrm{ion}}$.
Deve pertanto valere l'equazione




Il ruolo della ricerca matematica è quello di cercare di determinare una forma specifica di $I_{\mathrm{ion}}$ al fine di pervenire ad un modello realistico, che poggi le sue fondamenta naturalmente sull'originale formalismo di Hodgkin-Huxley, e che si manifesta sotto forma di sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Si può citare, a titolo di esempio, la riduzione FitzHugh-Nagumo (descritta nell'articolo del 1961 di R. FitzHugh Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane) del modello di Hodgkin-Huxley, che consiste nel sistema di 2 variabili







ove $\epsilon, A, \alpha, \beta $ sono parametri positivi e, in particolare, $0 < \alpha < 1$.
Per maggiori dettagli si legga (cliccando qui) l'articolo Taking Math to Heart: Mathematical Challenges in Cardiac Electrophysiology (datato aprile 2011) di John W. Cain.
Di seguito un video illustrativo molto carino che fornisce altri collegamenti tra matematica e medicina.

Naturalmente il tema portante del Carnevale potrebbe teoricamente estendersi anche a possibile vita al di fuori della Terra.
A tal proposito, famosissima è l'equazione (con ben 7 variabili) formulata nel 1961 dall'astrofisico Frank Drake, la quale va a fornire una stima del numero $N$ di civiltà extraterrestri intelligenti che potrebbero abitare la nostra galassia:



dove:
  • $R^*$ è il tasso medio annuo di formazione stellare nella Via Lattea;
  • $f_p$ è la frazione di stelle che possiedono pianeti;
  • $n_e$ è il numero medio di pianeti per sistema planetario che possiedono le condizione adatte ad ospitare forme di vita;
  • $f_l$ è la frazione dei pianeti $n_e$ su cui si è effettivamente sviluppata la vita;
  • $f_i$ è la frazione dei pianeti $f_l$ su cui si sono evoluti esseri intelligenti;
  • $f_c$ è la frazione di civiltà extraterrestri in grado di comunicare;
  • $L$ è la stima della durata di tali civiltà evolute.



Vorrei concludere questa introduzione al tema "Matematica della vita" segnalandovi innanzitutto un articolo recentissimo (cliccate qui), scritto da Carrie Arnold su Quanta Magazine ed intitolato Evolution ‘Landscapes’ Predict What's Next for COVID Virus, e poi una breve panoramica degli articoli che ho avuto modo di scrivere in passato su altre interessanti sfaccettature della suddetta tematica:
  • "Il principio antropico", in cui, tra le altre cose, viene descritta la relazione tra il principio antropico debole e il teorema di Bayes inerente al calcolo delle probabilità;
  • "La fisica e le rane: Luigi Galvani", in cui, oltre a venir tracciata una biografia dello scienziato italiano, si analizza la celebre disputa Galvani-Volta circa l'elettricità animale, la quale ha avuto un risultato piuttosto sorprendente;
  • "Il gioco della vita", in cui si parla di un noto automa cellulare sviluppato dal matematico inglese John Horton Conway (1937-2020).

Questo non sarebbe un vero Carnevale della Matematica se non introducessimo come si deve il numero dell'edizione: il 156.
Trattasi naturalmente di un numero pari e composto, avente 12 divisori, cioè 1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78, 156.
Dato che la somma dei divisori (escluso il numero stesso) è $236 > 156$, ciò implica che si tratta di un numero abbondante.
Oltre a questo, 156 è:
  • un numero oblungo, cioè della forma $n(n+1)$; 
  • un numero semiperfetto, giacché pari alla somma di alcuni (o tutti) i suoi divisori;
  • un numero dodecagonale, ovvero, se raffigurato graficamente, può essere disposto per generare un poligono regolare;
  • un numero di Harshad (ossia un intero positivo divisibile per la somma delle proprie cifre in una data base) nel sistema di numerazione decimale;
  • un numero rifattorizzabile, poiché risulta divisibile per il numero dei suoi divisori;
  • la somma di sei numeri primi consecutivi: 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 = 156;
  • un numero palindromo nel sistema posizionale a base 5;
  • un numero pratico;
  • un numero congruente, ovvero rappresenta l'area di un triangolo rettangolo avente per lati tre numeri razionali.
Pure in contesti al di fuori della matematica abbiamo ovviamente la presenza del numero 156:
  • 156 Xanthippe è un asteroide della fascia principale del Sistema Solare;
  • 156P/Russell-LINEAR è una cometa periodica del Sistema Solare;























  • 156 è il numero atomico di un elemento chimico temporaneamente denominato Unpenthexium;
  • Cosmos 156 è un satellite artificiale russo;
  • Convoy HX 156 era il 156° della serie numerata di convogli HX della Seconda Guerra Mondiale di navi mercantili da Halifax (Nuova Scozia) a Liverpool;
  • Napoleon-Marsch op. 156 è una marcia composta da Johann Strauss (figlio) ed eseguita per la prima volta il 12 ottobre 1854 al Casinò Schwenders di Vienna.
  • Toujours ou jamais, Op. 156 è un'opera del 1880 di Emile Waldteufel. Qui ascoltiamo il Waltz eseguito dalla Slovak State Philharmonic Orchestra & Alfred Walter.

  • Duo per violino ed arpa, Op. 156 è una composizione del 1898 di Nicolai von Wilm. Qui ascoltiamo la splendida interpretazione di Yehudi Menuhin (violino) e Nicanor Zabaleta (arpa).   


  • Cyprès et lauriers per organo e orchestra Op. 156 è stato scritto da Camille Saint-Saëns, nel 1919, per celebrare la vittoria degli Alleati nella Prima guerra mondiale. Qui ascoltiamo la versione di Matthias Eisenberg (organo) e dell'Orchestre du Capitole de Toulouse diretta da Michel Plasson.

  • Quintette "Primavera", Op.156 è una composizione di Charles Koechlin datata 1936, che ascoltiamo nell'interpretazione del Centre National de Musique de Chambre d'Aquitaine.

  • String quartet K. 156 è una composizione di Mozart datata (probabilmente) 1772. Ascoltiamo l'esecuzione del Quartetto Italiano risalente al 1959. 
  • Cantata BWV 156, celebre composizione di Johann Sebastian Bach del 1729. Qui ascoltiamo L'arioso (Adagio in G) tratto da essa e nella particolare interpretazione alla chitarra da parte di Steve Erquiaga.

Direi che, dopo tali piaceri musicali legati al numero 156, possiamo concludere la parte introduttiva della kermesse, che spero sia stata di vostro gradimento e abbia stimolato la vostra curiosità.
È giunto il momento di entrare nel vivo del Carnevale e osservare la sfilata di interessantissimi contributi pervenuti dagli svariati partecipanti, che troverete sempre sottolineati e colorati in verde chiaro per rimandare ai link.
Avremo ben 3 sezioni distinte di contributi (in alcuni casi noterete che alcuni contributi avrebbero potuto benissimo posizionarsi in più sezioni simultaneamente). Nel mezzo delle stesse troverete anche svariate canzoni (più o meno famose) che hanno a che fare in qualche modo con "la vita". Fornirò una breve presentazione solo dei brani musicali inaugurali delle sezioni per non appesantire troppo la narrazione e rischiare di distrarre dai contributi dei partecipanti.
Bando alle ciance! The best is yet to come!


MATEMATICA DELLA VITA

Il brano d'apertura di buon auspicio per questa sezione è la famosissima ed incredibile Who Wants to Live Forever dei Queen, datata 1986. Non c'è bisogno di aggiungere altro!
 

Entriamo ufficialmente nel vivo del Carnevale con l'allegra banda dei MaddMaths! capitanati da Roberto Natalini. Per questa sezione del Carnevale ci vengono proposti ben 3 contributi:

1) "I nodi dell'intelligenza artificiale". Trattasi di un post di Silvia De Toffoli che ci spiega come all'inizio di novembre sia uscito su Nature un articolo ove si annuncia un nuovo traguardo per l'intelligenza artificiale: un team di matematici ed informatici di DeepMind sarebbe infatti riuscito a usare delle tecniche di machine learning per arrivare a nuove scoperte in teoria dei nodi e in teoria delle rappresentazioni. Riporto un frammento dello stuzzicante contributo:

"DeepMind ha già ottenuto risultati sorprendenti con l’uso dell’intelligenza artificiale non solo nel dominio dei giochi ma anche in quello della biologia. Nel 2015 AlphaGo è stato il primo programma in grado di vincere contro un campione di Go e nel 2017 è stato lanciato AlphaZero, un programma che ha imparato a giocare “da solo”, senza analizzare un data set di partite già giocate. AlphaZero ha battuto campioni mondiali di Go, shogi e scacchi. Risultati strabilianti. In biologia, verso la fine del 2020 AlphaFold è stato in grado di predire con un’accuratezza senza precedenti la struttura tridimensionale che le proteine ottengono attraverso il loro ripiegamento – quello di predire il ripiegamento delle proteine è un problema importantissimo in biologia e il risultato del team di DeepMind rappresenta una rivoluzione in campo medico e biologico.
Ma la matematica è un caso a parte. Non è una scienza empirica come la biologia, e non ha uno scopo così ben definito come il Go o gli scacchi. Certo, vogliamo dimostrare nuovi risultati, scoprire nuovi teoremi, ma non tutte le possibili proposizioni matematiche sono egualmente interessanti o profonde. La matematica è ostica all’intelligenza artificiale. La notizia di questa nuova applicazione ha quindi subito generato una miriade di reazioni e suscitato ottimismo per il futuro."

2) "Distorsione della disponibilità e false credenze". Trattasi di un articolo facente parte della rubrica "La lente matematica" di Marco Menale. Viene compiuta una riflessione sull'incidenza, ancora troppo attuale, delle false credenze a cui va incontro la società umana, tematica analizzata da un punto di vista matematico facendo ricorso alla nozione di distorsione della disponibilità. Nel post si legge infatti che:

"La distorsione della disponibilità (availability bias, dall’inglese) è uno dei bias da cui siamo affetti. Lo psicologo e Nobel israeliano Daniel Kahneman ed un altro israeliano Amos Tversky sono i primi a studiarne gli effetti. Tra gli anni ’60 e ’70 descrivono le modalità con cui si presentono i pregiudizi in situazioni di incertezza. Nel lavoro “Subjective probability: a judgment of representativness” dimostrano che i giudizi delle persone tengono a basarsi su semplificazioni euristiche. Infatti, le persone si affidano al numero di esperienze piuttosto che a deduzioni razionali. Più vedo e sento di un fenomeno, maggiore è la probabilità che vi associo. Le influenze vanno dalla medicina alla sociologia, passando per giurisprudenza ed economia."


3) "Istat e piramidi demografiche". È un altro post di Marco Menale in cui vengono commentati i dati ISTAT 2020 inerenti alla popolazione residente in Italia. Di seguito l'incipit del post:

"L’Istat ha pubblicato i dati sul censimento della popolazione e dinamica demografica 2020. Al 31 dicembre 2020 l’Italia conta 59.236.213 residenti con un calo dello 0,7% rispetto al 2019. Stiamo parlando di 405.275 unità in meno. Ma il calo è di 362.507 se consideriamo il saldo totale, ossia l’insieme di saldo naturale e migratorio. Tra i residenti gli stranieri sono 5.171.894 e 6 su 10 vivono stabilmente al nord. La riduzione della popolazione riguarda tutte le regioni, con maggiore impatto al sud. Ma fanno eccezione le province autonome di Bolzano e Trento. Questo calo demografico è confermato dalla piramide demografica."


Passiamo ad un altro partecipante. Si chiama Roberto Natalini. Attenzione non è un omonimo di quello a capo dei MaddMaths!, né si è scisso come un organismo unicellulare o un personaggio di un anime. Semplicemente ci presenta una chicca non proveniente da MaddMaths!, bensì dal sito GiovedìScienza, e denominata "Come smontare e rimontare un organo". Nello specifico, trattasi di un incontro, datato 2 dicembre 2021 (potete trovare il video integrale al link prima riportato) e moderato da Alberto Agliotti, sul suddetto tema avente come relatori lo stesso Roberto Natalini e Luca Businaro. Vi rendo subito visibile la sintesi degli argomenti affrontati:

"Capire cosa accade nel nostro corpo durante una malattia, oppure quando si assume un farmaco, è un problema di straordinaria complessità, che implica osservare, misurare e descrivere processi che vanno dal livello molecolare a quello dell’intero organismo. Non potendo misurare direttamente questi fenomeni nel corpo umano, ci si avvale di modelli: questi possono essere singole cellule coltivate in contenitori di plastica, o animali come i topi o lo zebrafish (pesce zebra), o anche programmi di simulazione al computer che descrivono come sono strutturate e come reagiscono determinate proteine e come avvengono specifici processi cellulari.
Recentemente abbiamo cominciato a costruire alcuni modelli di organi e delle loro connessioni su un chip, per cercare di renderli più verosimili. Nel contempo, oltre a questi organ-on-a-chip si stanno anche elaborando nuovi modelli matematici che fanno da ponte tra queste realtà semplificate e gli organi veri e propri. In questo incontro esploreremo un percorso che ci porta dalla realtà naturale ai vari livelli di semplificazione modellistica che cercano di simularla."

 
Marco Fulvio Barozzi (il Popinga menzionato all'inizio della kermesse) ci segnala un corposo contributo decisamente a tema denominato "George Price e la matematica della selezione naturale". Infatti, "portando una nuova prospettiva alla disciplina, Price scoprì un approccio completamente nuovo alla genetica delle popolazioni e la base per una teoria generale della selezione: l'equazione di Price. Essa è utilizzata in diverse aree chiave della teoria dell'evoluzione e sta iniziando a chiarire questioni difficili in altre discipline". Eccovi un altro significativo frammento del post che amplia la visione sull'equazione di Price, un vero e proprio teorema matematico in ambito biologico:

"Una visione alternativa dell'evoluzione sociale suggerisce che la selezione che opera per favorire un gruppo sociale rispetto a un altro può contrastare la selezione che opera all'interno dei gruppi sociali, così che i comportamenti che danno agli individui uno svantaggio rispetto alle loro parti sociali possono evolvere attraverso la selezione di gruppo. Tali idee erano piuttosto confuse fino a quando Price, e più tardi Hamilton, mostrarono che l'equazione di Price può essere espansa per comprendere più livelli di selezione che agiscono simultaneamente. Ciò consente di definire e separare esplicitamente la selezione ai vari livelli e fornisce la base formale della teoria della selezione di gruppo. È importante sottolineare che consente la quantificazione di queste forze separate e fornisce previsioni precise su quando sarà favorito il comportamento vantaggioso per il gruppo. Si scopre che queste previsioni sono sempre coerenti con la regola di Hamilton. Inoltre, poiché la selezione parentale e la teoria della selezione di gruppo sono entrambe basate sulla stessa equazione di Price, è facile dimostrare che i due approcci sono matematicamente equivalenti, e sono semplicemente modi alternativi di suddividere la selezione totale operando sul carattere sociale. Indipendentemente dall'approccio adottato, ci si aspetta che i singoli organismi massimizzino la loro idoneità inclusiva, sebbene questo risultato segua più facilmente da un'analisi di selezione parentale, poiché rende più esplicito l'elemento chiave della relazione."


Il fondatore del Carnevale della Matematica, Maurizio Codogno, o più semplicemente .mau., ci propone da Il Post un contributo, nello specifico una pillola, denominato "Il potere delle immagini". Si parla di grafici di ricoveri ospedalieri e morti dovuti al Covid e di scale logaritmiche. Come si suol dire, un'immagine, a volte, vale più di mille parole.


 












"La vita è preziosa solo perché ha una fine. Voi mortali non sapete quanto siete fortunati." Questa è una frase tratta dal romanzo, datato 2011, Eroi dell'Olimpo: il figlio di Nettuno dello scrittore statunitense Rick Riordan. Si può essere d'accordo o meno con tale affermazione, ma non c'è dubbio che, almeno nella realtà, non sussiste vita senza la morte. Ecco allora che arriva Dioniso (non il dio del vino e dell'estasi, ma il carnevalista citato all'inizio della kermesse per la cellula melodica) a parlarci dei "Dati sulla mortalità in Italia 2012-2020".

   
   
VITA NELLA MATEMATICA

L'aria inaugurale per questa sezione è Je Veux Vivre (nella versione della divina Maria Callas), tratta dall'opera in 5 atti del 1867 di Charles Gounod intitolata Romeo e Giulietta.

Davide Passaro, del blog collettivo Math is in the air, ci propone un resoconto degli articoli più letti del 2021 del suddetto blog, il quale ha come finalità quella di provare a raccontare la matematica applicata. Ho ritenuto opportuno inserire ciò in tale sezione, dato che 1 anno di blogging riguardante la matematica rappresenta comunque un significativo frammento di vita degli autori del blog speso con il fine di informare e portare cultura matematica verso i lettori più o meno esperti. All'interno di questo contributo ramificato in svariati contributi troverete oltretutto dei post che rientrano pienamente nella tematica "Vita nella matematica", ma anche uno, inerente all'"ascolto" dei dati medici tra matematica ed informatica, che potrebbe rientrare benissimo nella sezione precedente. Insomma non vi resta che tuffarvi in questo bell'"oceano" di matematica applicata!

Ritorna il grande gruppo dei MaddMaths!. I contributi che ho ritenuto a tema in questa sezione ammontano alla bellezza di 8:

1) "I 10 post più letti su MaddMaths! nel 2021 (e altre notizie più o meno amene)". Trattasi di un post, di Roberto Natalini, similare, in quanto a struttura, a quello prima segnalato da Davide Passaro. Tra le notizie che troverete vi è anche il fatto che si possa spiegare della matematica di livello avanzato persino su Pornhub e, a quanto pare, con successo! 















2) "Oroscopo 2022 per Matematici e creature simili". C'è tanta gente patita (ahimè) per l'astrologia, una delle pseudoscienze più diffuse e ridicole per il secolo in cui ci troviamo, ove questo insieme di credenze è stato ormai soppiantato (almeno dal punto di vista intellettuale e scientifico) da discipline serie come l'astronomia e l'astrofisica. Ciò che ci propone però Raffaella Mulas su MaddMaths! non è il tradizionale oroscopo, frutto della fantasia dei ciarlatani della tv e dei giornali. È un oroscopo piacevole, storico e scientifico, nel senso che a ciascuno dei tradizionali 12 segni zodiacali viene associato un grande scienziato e/o matematico nato sotto tale segno e ne viene tracciato un brevissimo resoconto dell'attività scientifica e/o riportate citazioni significative come gesto di buon auspicio. 

3) "Lettera (accorata) alla Ministra dell'Università e al Ministro dell'Istruzione sulla formazione insegnanti". In questo post, Pietro Di Martino, didattico della matematica, rivolge un appello ai ministri Messa e Bianchi sulla necessità di fornire un percorso adeguato di formazione agli insegnanti di scuola secondaria, che da troppi anni è assente nel nostro paese. È stata anche attivata una petizione (trovate il riferimento all'interno del post stesso) per sostenere tale appello. Questo contributo risulta in tema perché se c'è un capitolo fondamentale nella vita di ciascun individuo è la formazione e la scuola è un punto cardine della stessa, che avrebbe bisogno di una maggiore attenzione da parte dello Stato. Riporto un breve stralcio della profonda lettera:

"È curioso come nel dibattito pubblico ci si lamenti sempre più frequentemente della scarsa preparazione degli studenti, preoccupandosi delle conseguenze socio-economiche e culturali di tale scarsa preparazione e tipicamente attribuendo la responsabilità principale di questa situazione agli insegnanti. Da una parte, dunque, si svilisce la funzione fondamentale e la professionalità del corpo insegnante, dall’altra si richiedono sempre più competenze in ambiti diversificati e si attribuiscono sempre più responsabilità agli insegnanti, senza che sia previsto alcun percorso specifico di formazione iniziale alla professione. Siamo attualmente l’unico Paese in Europa senza un serio (e sottolineo serio) percorso di formazione pre-immissione in ruolo per gli insegnanti di scuola secondaria (per l’infanzia e la primaria è necessaria un’apposita laurea magistrale a ciclo unico…)."

4) "Il tempo della formazione: Lettera (poco colta) agli adolescenti di oggi". È un'altra lettera, sempre redatta da Pietro Di Martino e riguardante la tematica della formazione, indirizzata questa volta ai giovani studenti e studentesse. 



  










5) "24 ore con un matematico - recensione". Trattasi della recensione, scritta da Nico Schiavone, del libro, edito da Piemme Edizioni (Gruppo Mondadori), 24 ore con un matematico di Giovanni Sebastiani. Riporto una breve anticipazione del contributo che fa immediatamente capire perché questo risulta perfettamente a tema con la presente sezione del Carnevale:

"Il libro 24 ore con un matematico è stato un ottimo compagno di viaggio, avendolo letto durante due voli aerei, e prova a rispondere a entrambe queste domande. Nel corso della lettura, accompagniamo ora per ora l’autore, Giovanni Sebastiani, ricercatore dell’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Consiglio Nazionale delle Ricerche, nel corso di una sua giornata. Prendendo spunto da ciò che accade intorno a lui, egli ci mostra con semplicità e chiarezza la quotidianità della matematica nella nostra vita di tutti i giorni, da una TAC in ospedale ai pagamenti bancari, dall’algoritmo di ricerca di Google ai broccoli romani nel banco ortofrutticolo. Personalmente, ho trovato davvero interessante il problema del commesso viaggiatore, e come sorprendentemente a risolverlo siano state le formiche! Come anche il cane matematico (sì, c’è un vero articolo scientifico che si interroga se i cani conoscano la matematica), capace di ottimizzare il percorso per riportare indietro la palla lanciatagli. A riprova del fatto che la matematica ci circonda davvero costantemente, nelle attività umane così come in natura. Basta osservare bene, e a tale scopo l’autore riesce a guidarci con disinvoltura in questo viaggio, mostrandoci dove soffermarci a posare gli occhi."

6) "Letture matematiche: Nel paese degli algoritmi di Aurélie Jean". In questo consiglio di lettura, pubblicato da Marco Menale, ci viene presentato sinteticamente un interessante testo riguardante gli algoritmi. Inoltre, viene tracciata una mirata ricostruzione delle ricerche dell'autrice Aurélie Jean, che propongo anche di seguito:

"Aurélie Jean è una scienziata francese che si occupa di modelli matematici. In particolare studia i metodi numerici e gli algoritmi che permettono di descrivere diversi fenomeni. Studia dapprima in Francia presso l’Università Pierre-et-Marie-Curie, per poi completare gli studi magistrali a Paris-Saclay. Scrive la tesi di dottorato presso l’École nationale supérieure des mines de Paris in cui si occupa di degli elastomeri carichi per cui le proprietà meccaniche sono legati alla disposizioni delle particelle e degli aggregati di nero di carbonio. In seguito si trasferisce al Massachusets Institute of Techology. Dalla medicina passa a occuparsi economia e finanza. Infine la carriera imprenditoriale. Fond start-up come DPEEX, per l’applicazione dell’intelligenza artificiale alle terapie relative ai tumori al seno."

7) "Letture matematiche: I numeri uno, Ian Stewart". Di nuovo Marco Menale ci presenta un intrigante libro, del già citato (nell'introduzione al Carnevale) Ian Stewart, il quale "racconta le vite di venticinque tra matematiche e matematici che hanno dato importanti contributi nei più svariati settori". Naturalmente, come lo stesso Stewart sottolinea, il numero di matematici rilevanti all'interno della storia della matematica sono assai di più e dunque la lista è stata arrestata ad un certo punto sostanzialmente per limiti di spazio.

8) "Archimede 4/2021". In questo post di Roberto Natalini ci viene ricordato che è andato in stampa il numero 4/2021 della rivista, "per gli insegnanti e i cultori di matematiche pure e applicate", Archimede. Nelle pagine rese disponibili gratuitamente al link prima riportato appaiono anche articoli di storia e personaggi della matematica, come quello (di Ruggero Pagnan) relativo alla geometria elementare di Alfred Tarski e quello (di Paolo Alessandrini) incentrato sul rapporto tra Gianni Rodari e la matematica. 

 

Fa la sua comparsa anche in questa sezione Maurizio Codogno che, dal blog Notiziole di .mau., ci regala una recensione del libro di Bruno D'Amore e Martha Isabel Fandiño Pinilla intitolato La nonna di Pitagora. Nella prima parte del libro vengono presentate brillanti fantasie come immaginare che la dimostrazione del celebre teorema di Pitagora sia dovuta nientemeno che a sua nonna, mentre nella seconda parte vengono ricostruite le biografie reali, rigorose, dei matematici menzionati nel testo.

       Alison Harcourt (Foto da ABC News: Lauren Day).
















 

La prossima partecipante è Annalisa Santi, dal blog Matetango. Ci viene proposto un corposo e originalissimo contributo, intitolato "Le Corbusier e la matematica", incentrato a tutto tondo sulla figura di uno straordinario architetto (senza laurea, se non ad honorem), urbanista, pittore e designer svizzero, appunto Le Corbusier (1887-1965). Ho deciso di inserire tale post in questa sezione dato che si parla della vita e delle opere di un grandissimo artista, fortemente influenzate dalla matematica. Preciso che il post sarebbe stato adeguato anche nella sezione precedente del Carnevale, giacché ci sono svariati riferimenti alle proporzioni del corpo umano e persino ai numeri di Fibonacci. Annalisa presenta in questo modo il suo contributo:  

"Il tema di questo Carnevale, "Matematica della vita e vita nella matematica", mi ha ricordato una frase di Le Corbusier che sottolineava come la matematica avesse in fondo permeato tutta la sua vita. 
Perché la matematica in effetti ha condizionato tutto il suo lavoro e nonostante il suo rapporto con lei non fosse dei migliori, almeno sotto l'aspetto formale, furono proprio i rapporti proporzionali e la geometria a dare alle sue creazioni l'armonia, la sobrietà e l'eleganza che le contraddistinguono.
Soprattutto ricordando il Modulor, scala dimensionale strutturata su due scelte fondamentali, la prima di tipo matematico e la seconda di tipo antropomorfo, che Albert Einstein definì "una scala di proporzioni che rende difficile l'errore e facile il suo contrario."

D'altronde, come sottolinea la carnevalista nel suo articolo:

"Il Modulor comunque si inserisce all'interno della lunga tradizione che parte da Vitruvio, arriva all'uomo vitruviano di Leonardo da Vinci, ai lavori di Leon Battista Alberti e di tutti quei trattatisti che studiavano le proporzioni geometriche e matematiche del corpo umano per applicarle all’architettura con lo scopo di migliorare la bellezza e la funzionalità degli edifici.
Anche se, facendo una comparazione attraverso le proporzioni tra l'architettura e il corpo umano, Le Corbusier evidenzia la sua discendenza dalla Grecia classica e dagli artisti del Rinascimento, per quanto riguarda l'immagine architettonica cancellò con un deciso segno rosso, tracciato nel 1930, le espressioni del passato ricordando, oggettivamente, che queste erano "vivants et magnifiques à leur origine, ici ne sont plus che des cadavres"."
























 

È ora il turno di un altro noto gruppo di matematti, i Rudi Matematici, che ci regalano 2 vivaci contributi per questa sezione:

1) "Calendario Rudi Mathematici 2022". Trattasi di un post di presentazione del 23° Calendario di Rudi Mathematici, una tradizione della loro produzione matematica che dunque va avanti sin dall'anno 2000. 
Ecco un piccolo assaggio del post in questione:

"E allora eccovi un breve “manuale per l’uso”: il Calendario è formato da tredici fogli, uno per mese più una copertina. La copertina contiene alcune vignette di spirito matematico trovate in rete (sono in inglese, ma ci sembra un peccato tradurle e, davvero, quasi nessuna ne ha davvero bisogno…) e un’equazione di terzo grado. Nei primi calendari la presenza dell’equazione spaventava un po’, perché molti si chiedevano a cosa servisse: in breve però quasi tutti realizzavano che sulla copertina dei calendari ordinari di solito campeggiano le quattro cifre dell’anno calendarizzato, e rapidamente giungevano alla giusta conclusione: di sicuro l’equazione di copertina aveva come soluzione l’anno in questione. E va bene: però, diamine… vi siete chiesti perché proprio un’equazione di terzo grado? E le altre due soluzioni, le avete trovate? E avete capito perché sono proprio quelle due? E perché solo tre soluzioni in tutto, e non quattro o cinque?"

2) "Il più bello di tutti". È inutile negarlo, la bellezza è una tematica spesso legata al mondo della matematica. Un certo signore che si chiamava Paul Dirac una volta scrisse persino che "le leggi della fisica devono essere dotate di bellezza matematica". I simpatici Rudi si spingono persino oltre cercando di condurre il lettore verso "il più bello di tutti". Cosa diavolo sarà mai? Per scoprirlo viene affrontato un viaggio nel mondo della geometria politopica e dei suoi grandi protagonisti, viaggio che inizia con Teeteto, passando anche per Klein, Fricke, Hamilton, sino ad arrivare a Coxeter e Sullivan. Eccovi un piccolo stralcio dal post:

"Dovreste ricordarvi che i solidi regolari sono delle rappresentazioni di alcuni gruppi di simmetria, e il nostro icosaedro ne ha tre: con riferimento alla nostra “palla” (quella in alto della figura), se fate passare l’asse di rotazione per uno dei punti nei quali si incontrano due triangoli neri e due triangoli grigi e date mezzo giro avete il primo; il secondo lo ottenete facendo passare l’asse per uno dei punti dove si incontrano tre triangoli neri e tre triangoli bianchi (il centro delle facce dell’icosaedro, se avete letto le note) e date un terzo di giro; infine, se fate passare l’asse per un punto dove si incontrano cinque triangoli neri e cinque bianchi e date un quinto di giro, ottenete l’ultimo. Evidentemente, se fate due operazioni del primo tipo, o tre del secondo, o cinque del terzo, tornate alla posizione iniziale."



Un'altra presenza costante nei Carnevali è quella dell'eclettico Gianluigi Filippelli, che dal suo blog DropSea ci fa pervenire innanzitutto 2 contributi facenti parte della serie "Le grandi domande della vita":
  • "Le grandi domande della vita: Allineamenti". Post pubblicato subito dopo la diretta osservativa sull'allineamento tra Giove e Saturno di fine 2021. Esso raccoglie alcune domande spuntate nella chat della diretta, due di queste a tema gravitazione. In particolare, la prima domanda riguarda il possibile incontro tra un buco nero e una pulsar, mentre la seconda domanda è incentrata sui calcoli gravitazionali necessari per determinare gli allineamenti a cui si fa riferimento sopra.
















  • "Le grandi domande della vita: Quantisticamente". In questo post vengono raccolte un paio di risposte fornite da Gianluigi a stuzzicanti quesiti inerenti alla meccanica quantistica. La prima riguarda il "legame" della MQ con la fisica classica, l'altra è invece incentrata su una nozione decisamente non banale da affrontare in modo divulgativo, ossia quella di spin. Viene richiamato a tal proposito il noto esperimento di Stern-Gerlach e il concetto di simmetria. Vi riporto un breve assaggio del post:
"Per capire cosa sia lo spin, utilizzerò un concetto tecnico che spero non sia eccessivamente complesso: la simmetria. Le simmetrie sono operazioni matematiche che trasformano, ad esempio, le figure geometriche di un dato spazio in altre figure geometriche. Un esempio semplice di simmetria ce lo abbiamo ogni mattina quando ci guardiamo allo specchio: i lati sinistro e destro della nostra faccia sono, all'incirca, identici e dunque simmetrici rispetto al naso, che è il nostro asse di simmetria. In fisica lo studio delle simmetrie è particolarmente importante, perché dal punto di vista matematico studiare le proprietà di simmetria di un sistema (ovvero ciò che non viene e ciò che viene modificato dalla trasformazione di simmetria) risulta più semplice rispetto ai calcoli veri e propri. Questo perché molte proprietà fisiche sono associate a particolari trasformazioni di simmetria, e lo spin è una di queste."

























Non è finita qui, perché Gianluigi ci delizia con una perla proveniente dal mondo dei fumetti: 
  • "Topolino #3449: Capodanno intorno al mondo". Trattasi della recensione dell'ultimo numero di Topolino del 2021, il quale si apre con la seconda storia del sommario, dedicata ai fusi orari e alla linea di cambiamento di data. Viene nel mezzo dunque ricostruita anche un po' di storia del concetto di fuso orario. Eccovi una minuta anticipazione di quanto vi aspetta nella lettura:
"La necessità di introdurre i fusi orari arrivò con la diffusione delle ferrovie. Fino all'Ottocento, infatti, l'ora era locale, nel senso che ogni città adottava una scansione oraria legata al mezzogiorno locale. Non c'era una grande necessità di modificare tale consuetudine: gli spostamenti, a piedi o a cavallo o in carrozza, erano sufficientemente lunghi da rendere ininfluente la differenza di ora tra un luogo e l'altro. L'arrivo del treno ridusse i tempi di spostamento in maniera significativa, rendendo quindi necessaria l'introduzione di un orario coordinato tra le varie località.I primi fusi orari vennero introdotti nel 1858 da Quirico Filopanti, pseudonimo dell'astronomo italiano Giuseppe Barilli, e nel 1879 da Sandford Fleming, ingegnere capo delle ferrovie canadesi."













 

Il sottoscritto, Leonardo Petrillo, prende umilmente parte a questa sezione del Carnevale proponendo, dal blog Scienza e Musica, un post (cliccate qui per leggerlo) in cui, oltre a rendere disponibile la propria tesi di laurea intitolata Computation of the scalar propagator in a constant electromagnetic field using Feynman path integrals, ne fornisce una presentazione su più livelli per i lettori interessati. La tesi risulta doppiamente in tema giacché, oltre a rappresentare un importante momento nella mia vita legato alla fisica e alla matematica, presenta anche svariati riferimenti di carattere storico relativi al concetto di integrale sui cammini e al worldline formalism. Riporto di seguito una piccola parte del post:

"Nel Capitolo 1 ho cercato, in primis, di introdurre quello che è il concetto protagonista della tesi, cioè il propagatore, partendo dalla sua strettissima relazione con la funzione di Green.
Ho poi ricollegato il tutto con la nozione di path integral, fornendo anche riferimenti storici, che avevo già accennato nel post prima linkato.
Dopodiché ho proposto una derivazione del concetto di path integral che si basa sostanzialmente sulla formula di Baker-Campbell-Haussdorff (inerente agli esponenziali degli operatori) e sulla formula di Trotter.
Alla fine del Capitolo 1 è stato analizzato un caso relativamente semplice, ma decisamente istruttivo, che è quello della particella libera non relativistica.
Nel Capitolo 2 sono partito dall'illustrare brevemente cosa si intenda per worldline formalism e, subito dopo, ho cercato di estendere quanto visto nel Capitolo 1 al caso relativistico.
Per far questo sono stati introdotti concetti assai rilevanti come quello di einbein e di gauge fixing.
Il Capitolo 3 è stato sicuramente quello più impegnativo dal punto di vista della realizzazione e probabilmente lo è anche dal punto di vista di un lettore esterno.
Se l'inizio è pressoché accessibile a chi possieda soltanto un buon bagaglio di fisica classica di livello universitario, dato che vengono richiamati concetti dell'elettrodinamica classica visti da una prospettiva un po' particolare, il salto verso l'elettrodinamica quantistica (abbreviata QED) richiede un formalismo più avanzato.
Si introducono infatti rotazioni di Wick, cambiamenti di variabile, condizioni al contorno particolari, la scelta del gauge di Fock-Schwinger e si arrivano a introdurre svariate funzioni di Green worldline "bosoniche".
Tutto questo solamente per affrontare il caso basilare del calcolo del propagatore scalare in campo elettromagnetico costante."

Per i curiosi, la foto inserita raffigura la mia torta di laurea con sopra scritta (con gli inevitabili limiti tecnici del contesto) la formula basilare del propagatore espresso in termini di path integral. 
Mi preme inoltre segnalare che tanti post d'archivio presenti su questo blog (riguardanti svariati personaggi della storia della matematica) avrebbero potuto rientrare in questa sezione, così come tanti presenti nei blog dei vari partecipanti. Invito dunque il lettore particolarmente incuriosito dalla storia della matematica e della scienza in generale a navigare in tali blog al di là dei contenuti racchiusi in questo Carnevale; troverete perle di divulgazione e molte curiosità non banali.
 


EXTRA MOENIA

Immancabili in un Carnevale della Matematica sono quei contributi che non rientrano nel tema dell'edizione, quelli che qui su Scienza e Musica siamo soliti denotare come "extra moenia".
Stiano tranquilli i partecipanti collocati in questa sezione, non vi sarà alcuna punizione come finire nel Death Note di Light Yagami (anche noto come Kira) o venire divorati vivi dai giganti di Shingeki no kyojin o dover resistere in survival games come quelli presenti in Squid Game e Alice in Borderland.

Qui non facciamo stupide discriminazioni solo perché non ci si è adeguati alla "normalità" (concetto che abbiamo analizzato qui recentemente) del restare in tema, ma anzi il bello del Carnevale sta proprio nella libertà di poter partecipare parlando di qualsiasi argomento si voglia, con l'unico vincolo che abbia a che fare in qualche modo con la matematica.
La canzone che fa da apripista per la presente sezione è Io Che Non Vivo Senza Te, composta da Pino Donaggio (che la presentò al Festival di Sanremo del 1965) con testo di Vito Pallavicini. Ne ascoltiamo qui la fantastica versione eseguita in duetto da Chiara Civello e Gilberto Gil.  

Roberto Zanasi (o, se volete, zar), autore del blog Gli studenti di oggi, porta avanti la splendida serie di post (naturalmente elaborati sotto forma del suo marchio di fabbrica, ovvero un dialogo a 2) dedicata ad analizzare gli aspetti matematico-scientifici che possiamo riscontrare all'interno della Divina Commedia del sommo Dante Alighieri. Se nella "prima puntata" aveva parlato tra le altre cose di astrologia e precessione degli equinozi, nel post che ci viene proposto ora, intitolato "Inferno, canto II", riesce a cogliere ben 3 interessanti riferimenti di natura scientifica (girasoli, Luna e numero 3). Riporto un breve estratto dal contributo:

“La virtù di Beatrice è così grande che permette alla intera specie umana di elevarsi, di staccarsi dalle cose mondane e di avvicinarsi alle cose spirituali. Nell'universo di Dante la terra si trova al centro, e intorno a essa si trovano le sfere celesti, i cerchi. La prima, quella di raggio minore di tutte, è quella della Luna. Beatrice è così ricca di virtù che riesce a elevare tutta l'umanità al di sopra delle cose materiali, fino al cielo della Luna.”


Una volta Einstein, in una lettera al figlio Eduard, scrisse "La vita è come una bicicletta. Si deve avanzare per non perdere l'equilibrio." A tal proposito fa nuovamente capolino il blog di matematica applicata Math is in the air. In questa sezione ritroviamo un articolo di Enrico Degiuli intitolato non a caso "La fisica della bicicletta: i rapporti". Trattasi di un'analisi che va a farci capire alcune questioni fisiche legate alla bicicletta, come la forza trasmessa ad una ruota, la distanza percorsa ad ogni pedalata e le mountain bike con una sola corona. Insomma la fisica (e di conseguenza pure la matematica) è sempre dietro l'angolo anche quando vengono praticati degli sport. 



 

Spesso si dice che non c'è due senza tre. Beh, Maurizio Codogno fa en plein riuscendo ad inserirsi in tutte e 3 le sezioni del presente Carnevale. Neanche a farlo apposta, i suoi contributi fuori tema provengono da 3 "luoghi informatici" differenti.
Incominciamo con il contributo proveniente da Il post:
  • "Problemini per Natale 2021", i primi due creazioni originali di .mau., i restanti tratti da Puzzling StackExchange. Ci vengono naturalmente fornite anche le risposte ai suddetti quesiti. Riporto qui il testo del primo problemino, che fa anche da buon augurio per l'anno nuovo appena incominciato.  
"2022 in ordine.
Scrivete le cifre 2, 0, 2, 2 in quest'ordine, e aggiungete operatori matematici a piacere per ottenere i numeri da 0 a 9. Operatori permessi: le quattro operazioni, le parentesi per indicare la precedenza, l'elevazione a potenza, il fattoriale, la concatenazione di cifre (come 202), i numeri con il punto decimale (come 0.2 oppure semplicemente .2) e i numeri periodici (come 0.(2) = 2/9." 

Entriamo ora nei meandri degli Archivi di .mau., ove ci viene segnalato:
  • "I numeri nella Bibbia". Trattasi di un testo preparato da Codogno per un concorso dedicato alle scuole, indetto da biblia.org, sulla Bibbia. Viene dunque compiuta una breve panoramica dei numeri fondamentali presenti nel sacro testo e dei loro significati. Ne riporto un piccolo assaggio: 
"Cominciamo con il numero sette, che è il primo ad apparire nella Bibbia come termine di un processo di conteggio (Gn 2,2-3). Questo numero è immediatamente associabile alla settimana, cioè al più breve periodo di tempo superiore al giorno. Un mese lunare dura infatti poco più di 28 giorni; dimezzando due volte questa durata otteniamo appunto una settimana. Il 7 contiene dunque in sé il concetto di ciclo: il fratello che pecca sette volte in un giorno e si pente sette volte (Lc 17,3-4) indica appunto il dovere morale di continuare a perdonare. Ma sette sono anche i sigilli aperti dall’Agnello nell’Apocalisse, e il 7 appare praticamente sempre in quest’ultimo libro. Affine al 7 è il quattordici, che troviamo per esempio in Mt 1,1-17 nel numero di generazioni da Abramo a David, da David alla deportazione in Babilonia e da questa a Cristo. Il Nuovo Testamento continua a dare al 7 questo significato; viene però anche letto come la somma 3+4, che come vedremo nel seguito rappresentano rispettivamente Dio e il mondo: ecco dunque come il numero 7 è visto come l’opera di Dio nel mondo. Lo si vede per esempio anche nella definizione del canone cattolico: le Lettere sono divise in tre gruppi di sette (quelle paoline principali, quelle di altri apostoli, e quelle paoline “ecumeniche”, compresa la lettera agli Ebrei che venne probabilmente attribuita a Paolo per completare anche quel ciclo. Il numero otto, essendo quello successivo al 7, è l’indice di un nuovo inizio. (Ecco tra l’altro perché i battisteri hanno forma ottagonale!) Per esempio, bisogna circoncidere i figli maschi l’ottavo giorno dopo la nascita; il tempio della visione di Ezechiele (Ez 40) contiene molti riferimenti al numero 8; l’ultima apparizione di Gesù risorto nel vangelo di Giovanni (Gv 19:26) arriva otto giorni dopo la risurrezione."

Infine, dalle Notiziole di .mau. perviene la seguente carrellata di piccole gemme matematiche:














  • "Quizzino della domenica: Alla caccia dell'angolo". Protagonisti sono un triangolo isoscele e un angolo da determinare.
  • "Quizzino della domenica: Ordinatevi!". Cosa potrà mai succedere con un gruppo di prigionieri e dei cappelli rossi e blu? Lo scoprirete risolvendo l'enigma proposto da .mau.   
  • "Matematica: se la conosci NON la eviti". È la recensione di una riedizione digitale di un testo, di Riccardo Bersani ed Ennio Peres, un po' datato (l'originale è del 1998) ma comunque valido ed interessante.
  • "Viva la matematica". Recensione di un libro di François Sauvageot, probabilmente rivolto ad un pubblico di persone già particolarmente interessate alla matematica.
  • "Trasformazioni geometriche: le isometrie". Recensione di un bel testo scolastico, del 1972, di Isaac M. Jaglom facente parte della collana "Matematica moderna" della Zanichelli e inerente alla spiegazione (perfettamente adeguata anche per i tempi odierni) delle isometrie.
  • "Numeri razionali e numeri irrazionali". Un'altra recensione di un testo edito dalla Zanichelli e datato 1966 di Ivan Niven. Un libro che se da una parte pecca per un approccio un po' antico, dall'altro presenta degli elementi di pregio dal punto di vista didattico.
  • "I grafi e le loro applicazioni". Ancora una recensione di un testo vecchio della Zanichelli scritto da Øystein Ore e concernente la teoria dei grafi illustrata con un approccio molto pratico.
  • "Teoria degli insiemi e analisi". Recensione di un testo facente parte della collana "Lineamenti propedeutici della matematica", sempre della Zanichelli, e scritto da Alberta De Flora. La conclusione di .mau. è che si tratta di un testo didatticamente non brillante per il pubblico a cui dovrebbe essere rivolto. 
  • "Algebra". Una recensione di un libro godibile sull'algebra (di livello liceale) del già citato Bruno D'Amore, anch'esso facente parte della collana "Lineamenti propedeutici della matematica" della Zanichelli. 




















Anche i MaddMaths! riescono a fare en plein con contributi in tutti le sezioni del Carnevale. Fuori tema, ma non per questo meno interessante, è infatti il post "Che ramo scegliere?" di Marco Corazza (presentato da Nicola Parolini), il quale "racconta come gli Alberi Decisionali, uno dei più utilizzati strumenti di classificazione dell’ambito del Machine Learning, stiano ampliando i campi applicativi in cui vengono adottati, arrivando a fornire indicazioni su come orientare i propri investimenti azionari". In particolare, "Gli Alberi Decisionali sono uno di questi metodi intelligenti per la classificazione. Sempre in termini qualitativi, un Albero Decisionale è uno strumento che, applicando tecniche di Apprendimento Automatico ad un insieme iniziale di dati provenienti dagli oggetti che si vogliono classificare, è in grado di effettuare autonomamente una classificazione di questi stessi oggetti". Continuate la lettura su MaddMaths!.
























Fa di nuovo capolino Gianluigi Filippelli con ben 4 contributi:

1) "I paralipomeni di Alice: soluzioni labirintiche". Il post presenta le soluzioni a due labirinti proposti nel Rompicapo di Alice dedicato ai generatori di labirinti. Il Rompicapo in questione, per chi volesse recuperarlo, è linkato nel testo del breve post.
















2) "La regina degli scacchi". Trattasi della recensione di una celebre serie tv prodotta da Netflix, interpretata da Anya Taylor-Joy ed incentrata chiaramente sul noto gioco degli scacchi. Come leggiamo in un passo della recensione:

"Questi sono un gioco antico e dalle origini leggendarie, nel senso che si perdono così lontano nel tempo che abbiamo in mano solo una leggenda (in effetti non è esattamente così, ma lasciatemelo scrivere!).Di fatto le sue origini risalgono al VII secolo, in India, in un vecchio gioco da tavolo, ed ha una evidente ispirazione bellica. Una delle ere più note e fondamentali per gli scacchi è quella così detta romantica, tra il 1700 e il 1873."

Mi permetto di aggiungere una curiosità musicale. Eravate a conoscenza del fatto che Anya Taylor-Joy è anche una brava cantante? Di seguito la sua recente interpretazione di Downtown, canzone originariamente eseguita da Petula Clark nel 1964 e legata in qualche modo alla tematica della vita.

3) "Matematica rock". Questo è un post che non è prettamente a tema col Carnevale, ma in un certo senso è a tema nel contesto di questo blog dato che protagonista è la musica, oltre che la matematica. Trattasi di una breve presentazione del bel libro, incentrato appunto sul rapporto tra matematica e musica rock, scritto da una vecchia conoscenza dei Carnevali, ovvero Paolo Alessandrini. 


 

















4) "La gravità con geogebra". In questa pillola di divulgazione scientifica, Gianluigi mostra un paio di calcoli e una proposta per "vedere" con GeoGebra come varia la funzione che descrive la gravità di un corpo celeste in funzione della distanza dal centro del corpo.




















 

Concludiamo la sfilata dei contributi con coloro che precedentemente sono riusciti nell'impresa di mostrarci "il più bello di tutti". Ci stiamo riferendo ovviamente ai mitici Rudi Matematici, che arricchiscono tale sezione con 3 prelibatezze matematiche:

1) "Nyout". È un post che fa parte della serie “Zugzwang!”, ovvero quella rubrica che si incarica di esporre dei giochi da tavolo con qualche valenza matematica. In particolare il suddetto gioco ha provenienza coreana. State tranquilli, non è un gioco di Squid Game, ergo non rischierete la vita aprendo il link fornitoci dal trio di matematici. Riporto un breve frammento dal post:

"In realtà, il gioco è piuttosto variabile: il numero dei giocatori, per cominciare, non è fissato: possono essere due, tre o quattro, e nel caso siate quattro si gioca a coppie (come al solito, uno di fronte all’altro).
La scacchiera è già un problema del suo, nel senso che dovete riuscire a dividere la circonferenza in venti parti: supponiamo non solo ci siate riusciti, ma siate anche riusciti a tracciare i raggi di due caselle, ottenendo lo sconquasso indicato in figura. Se non vi piacciono i colori, liberissimi di cambiarli, e il freccione serve solo a ricordarvi che si gira in senso antiorario.
La casella rossa è diversa in quanto si tratta dell’uscita; quella verde, vicina all’uscita, è (abbastanza logicamente) l’entrata."

2) "Il problema del tesoro sepolto". Fa parte di una serie di post che ripropone problemi comparsi in vecchi classici della matematica ricreativa. Nel caso specifico, l’autore di questo è Dudeney. Di seguito l'incipit del post:

"Il buon Dudeney, questa volta, porta i nostri armchair detective in Australia, almeno nel racconto di un tizio di nome Dawkins, introdotto al Club da un non meglio identificato membro al solo scopo di illustrare un problema dopo cena.
Ora, la fiducia reciproca tra i membri del club doveva essere notevole: arriva un vostro amico, vi dice che un suo amico ha un problema e voi offrite la cena? Tra l’altro, ci pare che le cene nei club inglesi non fossero esattamente economiche, anche se ben al di sopra degli standard nazionali dell’epoca (aka “Il peggior ristorante a ovest di Greenwich” [Vista in un ristorante dalle parti di Beckton. Il che è tutto dire]).
Comunque, il Dawkins-amico-di-non-si-sa-chi arriva dall’Australia, e già qui abbiamo occasione di alzare un sopracciglio verso il nostro traduttore: infatti, Dudeney usa, come sinonimo dell’Australia, il noto down under (virgolettato: pare che con le virgolette si possa sorvolare sul politicamente corretto), mentre il traduttore opta per un decisamente più neutro “laggiù”."

3) "Il problema di Dicembre (640) - Cannibali natalizi". Il quesito che trovate nel post brilla per l’incongruità del titolo rispetto al problema stesso. Né il Natale né il cannibalismo entrano nel testo del problema, che invece è molto ecologico poiché richiede di generare un miliardo di triangoli acutangoli piantando un congruo numero di alberi. Si tratta dell’esposizione, soluzione e discussione (quanto mai accesa, in questa occasione) del problema presentato nella rubrica di “Le Scienze” tenuta proprio dai Rudi. Vi fornisco qui una breve anticipazione:

"Ebbene, sarà il periodo complicato dell'anno, che tra feste e pandemia ci costringe a inauditi equilibrismi tra allegrie e preoccupazioni; o sarà forse che, volenti o nolenti, una "fine d'anno" è pur sempre una fine e, quando si arriva alla conclusione di qualcosa, mente e corpo si trovano d'accordo nel pretendere un minimo di compassione e diritto al riposo. O forse è addirittura colpa del disegno e dell'ambientazione di questo problema dicembrino, che mostra i nostri tre eroi di carta con l'aria tutt'altro che pimpante e proattiva: sia quel che sia, ciò che è indubbio è che il problema proposto su "Le Scienze" di questo mese non ha riscosso davvero un gran numero di soluzioni."













Come nota finale, i Rudi Matematici ci tengono a segnalare che il numero di Gennaio di RM, ovvero RM276, non è ancora pronto, ma uscirà prima o poi.  

 
Ed eccoci dunque ai "titoli di coda" di questo Carnevale.
Come sempre, è stato un grande piacere per me poter ospitare questo appassionante evento.
Un allestimento del genere richiede un po' di tempo, ma ne vale la pena!
Mi auguro di essere stato all'altezza di un evento del genere e di una tematica così delicata quanto attuale.
Spero sia stata di vostro gradimento la scelta del tema, che vi siate lasciati affascinare dalle curiosità che la matematica ci può offrire anche in contesti in cui non ci aspetteremmo di trovarla così facilmente. Spero che abbiate gradito il sottofondo musicale tipico dei Carnevali ospitati su questo blog.
Naturalmente i miei più grandi ringraziamenti vanno come sempre al gruppo di Carnevalisti, i quali ci hanno deliziato con contributi matematici di variegato genere, e si sono anche mostrati particolarmente propensi a fornire sfaccettature inedite della tematica "Matematica della vita e vita nella matematica".
Un ultimo doveroso ringraziamento va ad ogni singolo lettore che si fermerà a leggere, attirato da chissà quale curiosità che il meraviglioso mondo matematico è in grado di regalarci.
Riporto un elenco sinottico dei partecipanti:

Silvia De Toffoli
Marco Menale
Roberto Natalini
Marco Fulvio Barozzi (Popinga)
Maurizio Codogno
Flavio Ubaldini (Dioniso)
Davide Passaro
Raffaella Mulas
Pietro Di Martino
Nico Schiavone 
Annalisa Santi
Rudi Matematici
Gianluigi Filippelli
Roberto Zanasi
Enrico Degiuli
Marco Corazza
Leonardo Petrillo

Di seguito i numeri dell'edizione: 17 partecipanti, 47 contributi.
Concludo innanzitutto ricordandovi che l'edizione di febbraio del Carnevale sarà ospitata, come ormai tradizione consolidata, dai Rudi Matematici
Vi saluto in musica con un ultimo intenso brano scritto da Luc Plamondon e Riccardo Cocciante per il musical Notre-Dame de Paris: Live (For The One I Love).
Originariamente interpretato in lingua francese da Noa col titolo Vivre, ascoltiamo la versione inglese, risalente al 1999, di Céline Dion, un inno alla vita e all'amore in senso romantico, che però in questo contesto ci possiamo permettere di estendere anche alla passione dimostrata da tutti i partecipanti e lettori per la matematica.
 
 

2 commenti:

  1. Col cavolo che i Rudi Mathematici ospiteranno il prossimo Carnevale della Matematica. Sarebbe come scendere in campo a fare due palleggi dopo che si è esibito Maradona. Ah! Non siamo mica matti, noi...

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    1. Caro Piotr, le tue parole da una parte mi emozionano profondamente, dall'altra sono sicurissimo che i Rudi saranno all'altezza di mantenere altissimo l'onore di questo straordinario evento che è da sempre il Carnevale della Matematica! E vi ringrazio ancora per aver arricchito l'edizione n.156 con la vostra presenza.

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