Innanzitutto, cos'è precisamente un armonografo?
Trattasi di un'apparecchiatura che, attraverso dei pendoli, disegna singolari curve.
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Armonografo |
In una delle sue varianti, un pendolo muove una penna, mentre un altro sposta una superficie su cui è fissato un foglio di carta.
La combinazione degli effetti dei 2 pendoli produce un moto complesso (così come 2 note musicali danno vita insieme a un suono complesso), il quale, a causa dell'attrito, si riduce man mano degenerando in un singolo punto.
Il tratto che la penna lascia ad ogni oscillazione si trova molto vicino a quello tracciato nell'oscillazione precedente, tanto da conferire alla raffigurazione finale un aspetto ondulatorio simile a una ragnatela.
Variando il rapporto delle frequenze dei 2 pendoli e il loro sfasamento (angolo corrispondente alla differenza temporale tra il raggiungimento successivo di una stessa particolare fase, per esempio il massimo oppure il minimo, da parte di 2 oscillazioni) si possono generare curve di molteplici aspetti, più o meno complesse.
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Raffigurazione dello sfasamento tra 2 onde |
Fu Galileo Galilei, osservando l'oscillazione di una lampada nella cattedrale di Pisa, a comprendere che la frequenza di un pendolo dipende dalla sua lunghezza: più è lungo, minore è la frequenza.
Infatti, per piccole oscillazioni, la frequenza f di un pendolo semplice (costituito da un filo inestensibile di massa trascurabile e da una massa puntiforme fissata a una sua estremità) si può definire attraverso la formula
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2bWfHh3Clp68UtjgakX9GmJB9ug661GKhBqYWrrCauHbyonDniChk6Ayz293qIngaFTEEiMSgpopqZeM9lu4L706t4YNgRNH4WY8NMhCHkCJ3a5arqgeJEOufQKsBswB9lo9QFnRjZwHZ/s1600/CodeCogsEqn(546).gif)
dove g designa l'accelerazione di gravità sul pianeta Terra, mentre l la lunghezza del filo.
Di conseguenza, la frequenza può essere modificata a piacimento fissando il peso del pendolo a diverse altezze.
Ed ecco un magnifico video relativo all'armonografo in azione:
Nella versione più semplice, i tracciati realizzati dall'armonografo vengono catalogati come curve di Lissajous.
Le curve (o figure) di Lissajous, dette anche figure di Bowditch o curve del gioco di Alice, sono eleganti curve piane, costruite come composizione di 2 oscillazioni armoniche (abbiamo parlato di moto armonico nel post intitolato "Helmholtz e la dissonanza", che consiglio vivamente di rileggere a chi non ricordasse i dettagli di tale tipologia di moto) perpendicolari.
Esse presentano equazioni parametriche del tipo:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgGz6vPSdXp0P8P22D95WVV115Ns7xLkZU7F-HNcFRIQ4p6MhSxM727jjzL5e9SkZPNfRsZfCIQ9-qr-nbglHG_7prakxxuuuwJyRVHDYRpfN3nMejtdPTi2hD7kNv5-0z-m2KrDq24b1Dk/s1600/CodeCogsEqn(546).gif)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVhQT96JVOG1kIETfXtI6KkdhUNjB-G2683MAuC5l-w5XAk9D7Fy2DQXNyg4airEClyvDxAx5NpJCwWWkdcGwyc-rOhFjApr1NjQHepZBqxOxO3u8oBMWqlO9WX1qfNT8_CIRre-w3LdAT/s1600/CodeCogsEqn(546).gif)
Potevano anche essere scritte attraverso la sola funzione coseno oppure mediante il solo seno, dato che è possibile passare dal seno al coseno in modo molto semplice, giacché la sinusoide altro non è che una cosinusoide sfasata di un angolo di 90°.
La forma di una curva di Lissajous dipende appunto da vari parametri:
- A, B rappresentano le ampiezze di tali moti;
- ωx, ωy ne rappresentano le frequenze angolari;
- φx, φy ne rappresentano le fasi.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHeUM5R7zGzmfIOqfmgISyotkh2mCB-dvEF8VXWuX8ZDNdkev4sw6TsACG-bPQELOGN2neljTT8Tty4ZqiARMJmOE6ScRXo3fYlaXVbsYmJ4AToQMnX4sU55t9RHg8g23jotNUURFMiF9-/s1600/CodeCogsEqn(546).gif)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfGNo9g5tasOVGiN195-bwrvtMlVRCt15SnX8L-5gwiLf6GYxqKuVDMpkB39UZTnUrU2dLxzodu9hfrGeBdASZToJOdoVXDROOpfMfH9YuhUUe042YxGVyjTqMotBNLCmgtMCm056wjbGA/s1600/CodeCogsEqn(546).gif)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkPCDl8fLKncIqOVAAK8S4SsrME4849HcGVFKuIR5URvdVClmJgVQpLRDHSGA9MBKUz0YAw3In1U4BDjWqpbu09Q8DepLF98_tjYlaCGL-H0JIYng6BVy_3qa-9FqtRvfDvgfFZZKYpvy2/s1600/CodeCogsEqn(546).gif)
La curva si riduce poi a un segmento se, oltre ad avere ωx = ωy, si ha anche
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyo5ywMETLPt-d_oXcempiQC3duh5BC3h6XRdXyv1eho4vipS8WokiyG9UhgYfiPGCK2rdhCT930wIwrQqqvwE41xIhQcLFXjcg4_f01zj6DzthsJ2PXSiBy37sZItqXbhJo-4NaZdFuRH/s1600/a8dd39d134fb00fbd2a395b4f97894f4.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjX1tgGp9icMdVF04V5Hix3JIHSN_dkHtCIJJ6iQ39r9AW7KM8xVVFqDB83uFqibVXbD7pzeifiwRvklGvxdWmTKt8MRBVpmqG0Xz8uKYMo9xZgQ2jPp_fZ2PtxjQ-LOM8ZyqP_k7_QM231/s1600/CodeCogsEqn%2528546%2529.gif)
Un'altra semplice figura che è possibile ottenere è la parabola; ciò avviene quando
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgvQyMHwUZqbk25U1s-o_sfhXY6XCwwtm2hi5vKWIE4DkGj7Qrz3tBl0ZHhowcIuz_ACu-f0wrDm_DHmKklfvGwG8SJsk12_Hv_JPbc8ebBNxv7PMBbKlasdzTjlXdhcAOWNtj4GMT2OoZ/s1600/6caf7bf1b11fcc17b0dac38fb4a464be.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJFgBKPno5KhBFKfIoCBPn63Z9w4BWvX_O8s4IcJPsLBJTGy3PzO6X35glonQ6qQZd0FNgh7zomYxQvM3X95wYUn7crmWQ9pu-eNCa3oOCrbO3vuYI2YkvcN0PwpD1PXCp8JQ9jIWPBYj_/s1600/c5799ec77d958ed62a4486d12579de3e.png)
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Inoltre, una curva di Lissajous si chiude se e solo se il rapporto
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è un numero razionale.
L'animazione appena riportata mostra l'adattamento della curva a un progressivo incremento di 0,01 del suddetto rapporto (nell'animazione chiamato a/b), a partire da 0 fino a 1.
Le suddette curve furono oggetto di studi da parte dell'astronomo e matematico statunitense Nathaniel Bowditch (1773-1838) e, successivamente, vennero ampiamente studiate pure dal matematico francese Jules Antoine Lissajous (1822-1880).
Andiamo a scoprire un po' meglio questi 2 personaggi; in particolare, la biografia del primo è davvero molto interessante e merita di essere approfondita per bene.