FOURIER E LA SUA SERIE

Oggi parleremo di un importante personaggio della Matematica francese, del quale andremo a scoprire, in particolare, il suo contributo fondamentale: ci stiamo riferendo a Fourier e alla sua serie.
Non è così raro sentir parlare di serie di Fourier: ad esempio, essa viene menzionata nei primi minuti del film Will Hunting con Matt Damon e Robin Williams, pellicola che ci fa scoprire la vita di un giovane genio matematico, il quale, per professione, prima che il suo talento venisse scoperto, faceva le pulizie al MIT (Massachussets Institute of Technology).





Adesso torniamo alle cose serie!
Innanzitutto, addentriamoci un po' nella vita di Fourier.
Jean Baptiste Joseph Fourier nacque il 21 marzo 1768 a Auxerre.

Figlio di un sarto, rimase orfano sin dalla tenera età di 8 anni.
Provvidenziale fu la raccomandazione al vescovo di Auxerre per mano di una caritatevole signora, la quale non poteva certo immaginare ciò che questo bambino dalle buone maniere e dall'aria seria sarebbe divenuto in futuro.
Sicché il vescovo mise il giovane al collegio militare locale, tenuto dai Benedettini, nel quale Fourier si fece presto notare.
Pensate che a soli 12 anni componeva sermoni che gli alti esponenti della Chiesa a Parigi declamavano come se fosse farina del loro sacco!
Un anno dopo, avvenne una trasformazione radicale: egli diventò irrequieto, violento, testardo; faceva, come si suol dire, il diavolo a quattro.
Tutto mutò non appena si insinuò il "germe" della Matematica, la quale costituì una specie di cura caratteriale per il ragazzo.
Intanto, i Benedettini convinsero il giovane a entrare nell'Ordine; egli quindi andò a fare il suo noviziato all'abbazia di San Benedetto.
Tuttavia, prima dei suoi voti, arrivò il 1789.
Il sogno nel cassetto di Fourier era sempre stato quello di divenire soldato; la scelta di intraprendere una vita improntata alla religione era stata, in un certo modo, costretta dal fatto che, all'epoca, il grado di ufficiale non veniva attribuito al figlio di un sarto.
La svolta fu appunto rappresentata dalla Rivoluzione Francese.
I suoi vecchi maestri di Auxerre si resero conto che Fourier non avrebbe mai potuto passare l'esistenza come monaco; essi lo richiamarono e ne fecero un professore di Matematica.
Ciò designò il primo piccolo passo verso una celebrità immortale.
Fourier era solito sostituire nell'insegnamento i suoi colleghi quando erano malati, insegnando generalmente meglio di loro la Fisica e persino la letteratura.
Nel dicembre 1789, Fourier, che aveva all'epoca 21 anni, si recò a Parigi per presentare all'accademia le sue ricerche inerenti alla soluzione delle equazioni numeriche, ricerche che oltrepassavano gli studi di Lagrange sull'argomento.
Poi ritornò ad Auxerre e abbracciò con entusiasmo la causa della Rivoluzione.
Tuttavia, nell'epoca del Terrore, ignorando i grossi pericoli che correva, decise di protestare contro i futili atti di brutalità e veemenza.
In un primo momento Fourier non si rese conto che la Rivoluzione portò alla rovina gli intellettuali, ma poi vide uomini colti gettati nelle carrette, altri che abbandonavano il paese e la scienza stessa obbligata a difendere la propria esistenza contro quel mare di barbarie.
In seguito arrivò Napoleone, il quale era ben conscio del fatto che l'ignoranza comportava solo il male del paese.
Ergo, per fermare l'emorragia, Napoleone ordinò ed incoraggiò la crescita di nuove scuole, ma sussisteva una carenza di insegnanti.
C'era bisogno di un corpo docente all'avanguardia, formato da 1500 professori; a questo fine fu fondata, nel 1794, la famosa École Normale, all'interno della quale, Fourier avrebbe occupato la cattedra di Matematica.
In questo periodo, Fourier portò alla luce il suo genio come insegnante.
Al Politecnico, egli cercava di abbellire e rendere piacevoli i suoi corsi di Matematica risalendo alle fonti storiche e spiegando complicate nozioni astratte mediante interessanti applicazioni [è curioso osservare che Fourier, nel XVIII secolo, adoperava ottime tecniche di insegnamento della Matematica, le quali, oggi, non vengono invece generalmente sfruttate, riducendo la Matematica e le scienze ad un mero nozionismo!].
Fourier stava mettendo tutto il suo impegno per formare al Politecnico dei futuri ingegneri e matematici, ma Napoleone, nel 1798, decise di condurlo con sé come membro della "Legione della cultura", il cui scopo era quello di civilizzare l'Egitto, e, riportando le parole del 1833 di François Arago, "stendere una mano pietosa ai popoli infelici, per liberarli dal giogo brutale sotto il quale gemono da secoli e farli godere senza ulteriori ritardi di tutti i benefici della civiltà europea".
Lo sbarco della flotta di Napoleone ad Alessandria si ebbe il 1° luglio 1798, ma il progetto del condottiero francese fallì miseramente, in quanto le popolazioni egiziane non si curavano minimamente di quel banchetto culturale che potevano offrirgli Fourier e colleghi (tra cui Gaspard Monge) nel cosiddetto Institut d'Egypte, fondato il 27 agosto 1798.
Nel 1801 Fourier fece ritorno in Francia e, il 2 gennaio 1802, venne nominato prefetto del dipartimento dell'Isère, con residenza a Grenoble.
Qui, a Grenoble, Fourier scrisse il suo capolavoro, trattasi della Théorie analytique de la chaleur (Teoria analitica del calore), un'opera cardine nella storia della fisica matematica.
Il suo primo saggio sulla conduzione del calore era stato sottoposto all'attenzione dell'Accademia già nel 1807, la quale, stupita in positivo da cotal lavoro, esortò Fourier a presentare, per il gran premio del 1812, un'altra memoria sul medesimo argomento.
Fourier vinse il premio, suscitando però aspre critiche, peraltro non ingiuste, da parte di Lagrange, Laplace e Legendre.
Infatti, i suddetti eminenti matematici, pur riconoscendo la novità e l'importanza del lavoro di Fourier, sostenevano che il suo ragionamento matematico risultava difettoso e non preciso.
Al contrario, Lord Kelvin, sebbene ci fossero delle imprecisioni, definì l'opera di Fourier sulla teoria analitica del calore un vero e proprio "grande poema matematico".
Nel 1822 Fourier pubblicò appunto la Théorie analytique de la chaleur, in cui riassunse i precedenti lavori concernenti il calore.
Come già accennato, l'opera di Fourier si focalizza soprattutto sul concetto di conduzione del calore e considera il calore stesso alla stregua di un fluido indistruttibile.
La propagazione del calore rappresenta il primo esempio di azione per contatto in contrapposizione alla nota azione a distanza newtoniana che si riscontra, per esempio, nella forza gravitazionale.
Fourier implementò appositi strumenti matematici per trattare tali azioni continue e mediate: le equazioni differenziali a derivate parziali.
Queste equazioni sono le stesse che reggono la teoria del potenziale newtoniano, caposaldo dell'azione a distanza, almeno per quanto concerne il caso stazionario in cui la temperatura nei vari punti di un corpo è indipendente dal tempo.
Ciò faceva presupporre l'esistenza di profonde analogie fra le 2 teorie.
Il già citato Lord Kelvin e James Clerk Maxwell furono fortemente influenzati dalle suddette equivalenze matematiche.
Illustriamo, con un po' di formalismo matematico, il fenomeno di conduzione, riportando una legge che prende la denominazione proprio da Fourier, il quale la formulò nel 1815:




ove:

• dS è un elemento di una superficie isoterma (cioè che ha la stessa temperatura in tutti i suoi punti);
• dT/dn è il modulo del gradiente (ricordiamo che il gradiente è un vettore!) di temperatura, perpendicolare a dS e diretto nel verso delle temperature crescenti. Per chiarimenti relativi al concetto di gradiente vi consiglio di recarvi all'articolo "Meccanica dei fluidi: bolle di sapone";
• dQ è il calore che passa attraverso dS nell'intervallo di tempo dt;
• k è una costante tipica del materiale (varia di sostanza in sostanza anche di diversi ordini di grandezza), chiamata conducibilità o conduttività termica. Viene misurata in J/m s K. La conducibilità termica permette di distinguere i materiali in buoni e cattivi conduttori termici. Giusto per fornire qualche esempio lampante, i metalli sono buoni conduttori di calore, mentre i gas sono cattivi conduttori. I liquidi occupano, al contrario, una posizione intermedia.

Sapete certamente che il calore tende a passare da un corpo più caldo a uno più freddo, al fine di dar luogo al cosiddetto equilibrio termico, ovvero la condizione in cui i 2 corpi hanno la medesima temperatura.
Il formalismo matematico rispecchia proprio tale concetto: infatti, il segno negativo presente nell'equazione riportata non è stato messo a caso!
Esso indica appunto che il flusso di calore avviene nel senso in cui la temperatura decresce, o, detto in termini rigorosi, nel verso opposto al gradiente di temperatura.
L'esistenza di un gradiente di temperatura in un corpo, cioè la mancanza di un equilibrio termico, fa capire che sussiste una trasmissione di calore attraverso il corpo, che segue proprio la legge di Fourier.
Per darvi un esempio concreto di applicazione della legge di Fourier (d'altronde, egli stesso, come riportato, amava, nelle sue lezioni, fornire concretezza a ciò che illustrava!), consideriamo una parete piana indefinita, posta fra 2 ambienti che hanno rispettivamente temperature costanti T1 e T2, con T1 maggiore di T2 (potreste comprendere meglio la situazione facendo magari riferimento ad un muro che separa 2 stanze della vostra casa).
Per illustrare ancor meglio la situazione, vi riporto la seguente immagine chiarificatrice:

Nella suddetta immagine:

- lo spessore della parete è indicato con s;
- l'elemento (o se vogliamo essere meno rigorosi ma più chiari, la porzione colorata di grigio) di parete possiede superficie dS (perpendicolare all'asse x), spessore dx e volume dS dx.

La massa dell'elemento di parete la chiamiamo dm.
Sfruttando però il concetto di densità ρ, possiamo riscrivere la massa come dm = ρ dV = ρ dS dx, dove dV = volume.
Tenendo come riferimento l'asse x delle ascisse, attraverso l'elemento dS viene ceduto alla massa dm il calore dQ1, mentre dm cede dQ2 attraverso un elemento di superficie dS, avente coordinata x + dx, ovvero x più uno spostamento infinitesimo dx.
Possiamo dunque scrivere le equazioni illustranti il fenomeno:

 

Possiamo riscrivere la seconda equazione applicando uno sviluppo in serie di Taylor troncato al primo termine:

Nel complessivo, l'elemento di massa dm riceve da sinistra il calore dQ1, mentre cede a destra il calore dQ2, per cui assorbe in maniera consonante a tale formula:

Tenendo presente che, ritornando sotto una prospettiva generale, il calore dQ può esser visto come:



cioè, in parole povere, il calore è pari al prodotto della massa dm per il calore specifico c per la variazione di temperatura dT, allora possiamo scrivere:

 
Manipolando un po' l'espressione, otteniamo infine:




Questa è l'equazione di Fourier relativa al caso unidimensionale (T = T(x, t)), cioè regola la variazione di temperatura, all'interno della parete, in funzione del tempo e della coordinata x.

In regime stazionario, ovvero quando la temperatura in ciascun punto della parete ha un valore costante nel tempo (il quale diventa quindi ininfluente), si ha:

Ne consegue che, in regime stazionario, la soluzione dell'equazione differenziale riportata deve avere la forma T = ax + b, ossia la temperatura deve essere una funzione lineare di x.
Imponendo T1 = b per x = 0 e T2 = a s + b per x = s, eseguiamo una serie di piccoli passaggi:

T = ax + b

T1 = b

T2 = a s + T1

a = (T2-T1)/s

In conclusione:




Derivando il tutto, ossia riferendoci al modulo del gradiente:





Questo significa che la temperatura diminuisce nella parete dal valore T1 a quello T2, con gradiente costante, o, in altri termini, in maniera lineare.
Se prendiamo una superficie finita S, allora attraverso di essa, in un intervallo di tempo t, passa dall'ambiente posto a sinistra della parete a quello a destra un calore che segue l'uguaglianza:




Facciamo un semplice esempio: se consideriamo una parete di mattoni (k = 0,63 J/m s K), spessa 10 cm e sottoposta a una differenza di temperatura ΔT = 20 °C, il calore che passa in un'ora è pari a Q = 4,2 ⋅ 10⁶ J.
Per completezza, riportiamo l'equazione di Fourier per il caso tridimensionale, cioè quello (sicuramente più generale) in cui la temperatura dipende oltre che dalla coordinata x, anche da y e da z:

Prima di passare alla descrizione del capisaldo matematico di Fourier, ovvero della sua serie trigonometrica, concludiamo la parte biografica, andando a scoprire brevemente gli ultimi anni della sua esistenza.

Egli fu nominato segretario permamente dell'accademia e iniziò a dormire un po' sugli allori!

Infatti, invece di continuare le sue ricerche scientifiche, si dilettava a intrattenere gli uditori parlando loro delle cose grandiose che "avrebbe" compiuto.
Nonostante ciò, la sua figura non è aspramente criticabile, dato che aveva già reso il suo nome immortale tramite i contributi significativi che aveva reso alla Matematica e alla Fisica.
D'altronde, a parziale giustificazione dell'atteggiamento di Fourier, si potrebbe citare ciò che il matematico inglese Godfrey Harold Hardy scrisse nel suo celebre saggio Apologia di un matematico (1940), ossia che "Nessun matematico può permettersi di dimenticare che la matematica, più di qualsiasi altra arte o di qualsiasi altra scienza, è un'attività per giovani".
Inoltre, le esperienze in Egitto avevano lasciato a Fourier una singolare abitudine che avvicinò il momento della sua fine.
Infatti, egli era strenuamente convinto che il caldo del deserto fosse la condizione ideale per mantenersi in salute!

Oltre che coprirsi di maglie e fasciarsi alla stregua di una mummia, viveva in camere surriscaldate che i suoi amici comparavano al Sahara e all'inferno riuniti!

D'altronde, cosa ci si può aspettare da uno che dedicò buona parte della sua vita allo studio del calore, se non la voglia smodata di calore (scusate la battuta!).
Fourier esalò l'ultimo respiro a causa di una malattia cardiaca (alcuni dicono per colpa di un aneurisma) il 16 maggio 1830, all'età di 63 anni.
Bene, è finalmente giunto il momento di passare alla trattazione circa la serie di Fourier.
Prima di addentrarci nei dettagli tecnici, riporto la splendida descrizione di Ian Stewart nel libro "Domare l'infinito" concernente Fourier e la sua serie:

"Prima che Fourier comparisse sulla scena, i matematici erano abbastanza contenti di sapere che cos'era una funzione. Era un tipo di procedimento, f, che prendeva un numero, x, e produceva un altro numero, f(x). I numeri x che permettono di avere una funzione sensata dipendono dalle caratteristiche di f. Se f(x) = 1/x, per esempio, allora x deve essere diverso da 0. Se f(x) = √x, e lavoriamo con i numeri reali, allora x deve essere positivo. Pressati però a dare una definizione, i matematici tendevano a essere un po' vaghi. Le loro difficoltà derivavano dall'essere alle prese con molte caratteristiche diverse del concetto di funzione: non soltanto che cos'è una regola che associa un numero x a un altro numero f(x), ma quali proprietà quella regola possiede, come continuità, differenziabilità, capacità di essere rappresentata da un certo tipo di formula e così via. In particolare, erano incerti sul come trattare le funzioni discontinue, come:

      

Questa funzione salta all'improvviso da 0 a 1 quando x attraversa lo 0. C'era la diffusa convinzione che il salto derivasse in maniera ovvia dalla duplice definizione della formula: da f(x) = 0 a f(x) = 1. Allo stesso tempo si pensava che soltanto in questi casi si avesse un salto; che ogni formula definita in maniera unica evitasse tali salti, e che una piccola variazione in x determinasse sempre una piccola variazione in f(x). Un'altra fonte di difficoltà veniva dalle funzioni complesse, per le quali funzioni naturali come la radice quadrata assumono 2 valori, e i logaritmi hanno un numero infinito di valori. Chiaramente il logaritmo deve essere una funzione, ma quando i valori sono in numero infinito, qual è la regola per ottenere f(z) da z? Sembrava esistesse un numero infinito di regole diverse, tutte ugualmente valide. Per risolvere queste difficoltà concettuali, i matematici dovevano osservarle bene da vicino per capire quanto la situazione reale fosse confusa. E fu Fourier che davvero li irritò, con la sua fantastica idea di scrivere ogni funzione come una serie infinita di seni e coseni, sviluppata in occasione delle sue ricerche sul flusso di calore. L'intuizione fisica di Fourier gli suggerì che il suo metodo doveva essere davvero molto originale. In termini sperimentali, possiamo immaginare di mantenere una barra di metallo a 0 gradi per metà della sua lunghezza e a 10, 50 gradi o qualunque altro valore per l'altra metà. La fisica non sembra turbarsi per le funzioni discontinue, con formule che variano improvvisamente. La fisica, ad ogni modo, non lavora con le formule. Siamo noi che usiamo le formule per modellare la realtà fisica, ma si tratta soltanto di una tecnica, è il modo in cui ci piace pensare. Naturalmente la temperatura non sarà tanto precisa nel punto d'incontro delle 2 regioni, ma i modelli matematici sono sempre approssimazioni della realtà fisica. Il metodo di Fourier delle serie trigonometriche, applicato a una funzione discontinua di questo tipo, sembra fornire risultati assolutamente sensati. Le barre di acciaio di fatto distribuivano la temperatura proprio come descriveva la loro equazione di calore, risolta usando serie trigonometriche. Nella sua Théorie analytique de la chaleur Fourier chiariva la sua posizione: "In generale, la funzione f(x) rappresenta una successione di valori o ordinate ognuna delle quali è arbitraria. Pensiamo che queste ordinate non siano soggette a una legge comune. Si succedono una dopo l'altra in una maniera qualsiasi". Parole sante; purtroppo la sua testimonianza in loro difesa non equivaleva a una dimostrazione matematica...Se Fourier aveva ragione, allora la sua serie di fatto derivava una legge comune per le funzioni discontinue. La funzione precedente, con valori 0 e 1, ha una parente periodica, l'onda quadra.

E l'onda quadra ha un'unica serie di Fourier, piuttosto bella, che funziona altrettanto bene nelle regioni in cui la funzione vale 0 e nelle regioni in cui la funzione vale 1. Di conseguenza, una funzione che sembra essere rappresentata da 2 leggi diverse può essere riscritta in termini di un'unica legge."        

Passiamo a definire la serie di Fourier in modo rigoroso, sfruttando un formalismo matematico un tantino elevato ma non troppo difficile.
Innanzitutto definiamo una serie trigonometrica generica come una serie che si presenta in questo modo:

Non è altro che una somma infinita di termini trigonometrici accompagnati dai coefficienti a e b (corredati da appositi pedici numerici crescenti).
Possiamo dunque riscrivere il tutto in maniera maggiormente sintetica sfruttando il simbolo di sommatoria ∑:

Se la suddetta serie converge, ossia tende a un numero finito, allora la somma delineata è una funzione periodica f(x) di periodo 2π poiché sen nx e cos nx sono funzioni periodiche aventi periodo 2π.
Vale dunque la seguente relazione:




Ora il problema interessante consiste nel trovare, data una certa funzione periodica f(x) di periodo 2π, una serie trigonometrica che converga proprio verso f(x).
Come procediamo?
In primis, supponiamo che la nostra funzione periodica f(x) possa essere espressa mediante una serie trigonometrica convergente verso f(x) nell'intervallo (-π, π), ossia, in altre parole, che essa equivalga alla seguente sommatoria:

Supponiamo inoltre che l'integrale della funzione del primo membro di questa equazione sia uguale alla somma degli integrali dei termini della serie presente nel secondo membro.
Ciò accadrà, ad esempio, se si suppone che la serie numerica costituita dai coefficienti della serie trigonometrica fornita converga assolutamente, ovvero che converga la serie numerica positiva:

Ne consegue che la serie

 


 
risulta maggiorabile.
Che diavolo significa?
Una serie si dice maggiorabile se ciascun suo termine non è maggiore, in valore assoluto, del corrispondente termine di una serie numerica convergente a termini positivi.
Facciamo un esempio; consideriamo la serie:




Essa è sicuramente maggiorabile su tutto l'asse x, in quanto, per ogni valore di x risulta soddisfatta la seguente relazione:

D'altronde, la serie




è certamente convergente!
Peraltro, tale serie è stata alla base di un famoso enigma dell'analisi matematica, noto come problema di Basilea, proposto per la prima volta da Pietro Mengoli nel 1644.
Il problema consisteva proprio nel trovare il numero a cui convergeva la serie appena riportata.
Il problema rimase irrisolto finché una brillante mente matematica, ossia quella del grande Eulero, lo risolse nel 1735, quando aveva solo 28 anni.
Eulero dimostrò che la somma esatta è pari a:





Manco a farlo apposta, tale serie è un caso particolare della cosiddetta funzione zeta di Riemann (alla base della famosissima ipotesi di Riemann inerente alla distribuzione dei numeri primi), la quale è così definita:






Noterete infatti che, laddove s = 2, tale funzione si trasforma esattamente nella serie risolta da Eulero.
Dopo questo breve excursus sulle serie maggiorabili, con riferimenti verso Eulero e Riemann, torniamo al nostro Fourier, che altrimenti potrebbe prendersela male!
Eravano rimasti in sospeso con la serie formata dai valori assoluti dei coefficienti della serie trigonometrica, asserendo che essa è maggiorabile.
Possiamo allora aggiungere che, di conseguenza, essa può essere integrata termine a termine da -π a π.
Possiamo sfruttare questo fatto per andare a calcolarci il coefficiente a0.
Integriamo pertanto i 2 membri dell'equazione





da -π a π:





Calcoliamo separatamente ciascuno dei 3 integrali definiti del secondo membro.

INTEGRALE N.1

INTEGRALE N.2

Ora, per risolvere tale integrale, possiamo sfruttare il metodo di sostituzione.
Poniamo nx = t.
Da ciò consegue che x = t/n.
Deriviamo tale espressione rispetto alla t, ottenendo x' = 1/n.
Come dobbiamo procedere adesso?
Dobbiamo sostituire, nell'argomento dell'integrale, il termine nx con t ed anche il differenziale dx con il prodotto x' dt (per delucidazioni in merito al metodo di sostituzione, recarsi all'articolo "Integrali definiti e derivate parziali: storia, proprietà e applicazioni in Fisica"):

INTEGRALE N.3

Anche per questo integrale si può utilizzare il metodo di sostituzione e il risultato sarà, anche qui, 0.
Alla fine, calcolati questi 3 integrali, rimane l'espressione:





Da questa espressione possiamo facilmente ricavarci a0:





Per calcolare gli ulteriori coefficienti della serie, dobbiamo elencare alcuni integrali utili.

Se n e k sono numeri interi, e se n ≠ k, sussistono le seguenti uguaglianze:

Laddove n = k, si ha invece:

Tenuto presente ciò, possiamo quindi calcolarci i coefficienti ak e bk della serie

Per rinvenire ak, considerato k ≠ 0, moltiplichiamo i 2 membri dell'equazione precedente per il termine cos kx:

La serie del secondo membro dell'equazione ottenuta risulta maggiorabile, in quanto i suoi termini non superano, in valore assoluto, i termini della serie positiva convergente

Ergo, la serie trigonometrica può essere integrata termine a termine su ogni segmento.
Procediamo dunque con l'integrazione da -π a π:




Ora, tenendo presente quegli integrali, già calcolati, forniti, possiamo constatare che tutti gli integrali del secondo membro di tale uguaglianza si annullano, eccetto quello avente il coefficiente ak.
Se notate bene, quando n = k, allora:

Possiamo quindi scrivere che:

Da questa espressione possiamo ricavare facilmente il coefficiente ak:

Per ottenere invece bk, moltiplichiamo i 2 membri dell'equazione

per sen kx ed integriamo il tutto sempre da -π a π:

Con una semplice manipolazione, abbiamo che:

Dopo questa vera e propria carrellata di passaggi matematici, arriviamo al nocciolo della questione.
I coefficienti che abbiamo calcolato vengono denominati coefficienti di Fourier e la serie trigonometrica con questi coefficienti si dice appunto serie di Fourier della funzione f(x).
Finalmente, abbiamo definito realmente cosa sia la serie di Fourier.
In conclusione, direi di fare un esempio di sviluppo in serie di Fourier di una certa funzione.
A tal proposito, consideriamo la funzione periodica f(x) di periodo 2π, definita così:




Ecco il grafico di tale funzione:

Questa funzione è monotona a tratti e limitata.
Che significa monotona a tratti?
Una funzione f(x) si dice monotona a tratti nell'intervallo [a, b], se si può suddividere tale intervallo con un numero finito di punti x1, x2,..., xn-1 in sottointervalli (a, x1), (x1, x2)...,(xn-1, b) in modo tale che la funzione risulti monotona in ciascun sottointervallo, ovvero sempre crescente, o decrescente.
Sulle funzioni di cotale tipologia è possibile applicare senza problemi lo sviluppo in serie di Fourier.
Ritornando dunque alla nostra funzione periodica f(x) = x, possiamo andare a calcolarci i coefficienti di Fourier mediante le formule che ci siamo ricavati.
Cominciamo da a0:





Per quanto concerne ak, bisogna sfruttare l'integrazione per parti:




Procediamo con bk:


 


Avendo i 3 coefficienti di Fourier, possiamo scrivere la serie di Fourier:

La suddetta uguaglianza è valida in tutti i punti, tranne che in quelli di discontinuità!

Concludo la trattazione riportando una citazione del fisico britannico Sir James Jeans (1877-1946) su Fourier:

"Il teorema di Fourier ci dice che ogni curva, a prescindere dalla sua natura o dal modo in cui è stata originariamente ottenuta, può essere riprodotta con esattezza, sovrapponendo un numero sufficiente di curve armoniche semplici. In poche parole, ogni curva può essere costruita accumulando delle onde."