Continuiamo il nostro viaggio nel mondo dell'analisi complessa, iniziato qui.
L'estensione del concetto di integrale ad un integrale nel piano complesso è praticamente immediata se si pensa alla classica definizione di integrale alla Riemann, ossia definito come un opportuno limite di una sommatoria.
Sia data una generica funzione (anche non olomorfa) continua f della variabile complessa z e sia data, nel piano z, una curva γ di equazione
con t parametro reale.
Consideriamo la porzione di curva compresa tra 2 punti A e B (eventualmente A ≡ B se la curva è chiusa) e dividiamo l'arco AB in un numero arbitrario n di parti, grazie a n - 1 punti di divisione
ponendo inoltre
All'interno di ciascun segmento di curva (di estremi zk - 1 e zk) fissiamo poi un nuovo punto (che denotiamo con ζk) e definiamo la somma
ove fk = f(ζk).
Se esiste il limite I di In, per n → ∞, in modo tale che per ogni k valga
e se tale limite è indipendente dal modo in cui sono stati scelti i punti zk e ζk, allora diremo che esso è l'integrale di contorno di f(z), fra A e B, lungo la curva γ e scriveremo:
Riprendiamo ora la nostra formula
e separiamo z ed f nelle loro parti reali ed immaginarie:
Abbiamo così:
Il limite |zk - zk - 1| → 0 che porta alla definizione di I implica, per ogni k:
Ergo, I si può esprimere tramite ordinari integrali di linea (sempre sottintesa la curva γ) nel campo reale, come
Abbiamo così, per definizione, che:
In tal maniera l'integrazione nel campo complesso viene formalmente ricondotta ad integrazioni nel campo reale.
martedì 8 maggio 2018
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