martedì 5 giugno 2018

LA RAPPRESENTAZIONE INTEGRALE DI CAUCHY

Eccoci giunti ad un nuovo appuntamento con l'analisi complessa.
Di seguito la lista delle "puntate" precedenti (al lettore non esperto è consigliabile recuperarle, se vuole seguire al meglio la narrazione che avrà qui luogo):

- puntata 0: "Viaggio nell'≪immaginario≫ mondo dei numeri complessi";
- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa".

Bene, diciamo ora che dal teorema di Cauchy è possibile far scaturire una formula integrale assai rilevante per lo sviluppo della teoria delle funzioni analitiche.
Sia f(z) una funzione analitica e regolare in una certa regione R semplicemente connessa.
Sia poi γR una curva chiusa, allora vale per f(z) la seguente rappresentazione






per ogni z interno a γ (in termini rigorosi, zγ), nota come rappresentazione integrale di Cauchy.

Come sempre, il cerchietto presente sul simbolo dell'integrale sta ad indicare che l'integrazione avviene su un percorso chiuso (nel nostro caso la curva γ), ove la sua posizione iniziale e la sua posizione finale coincidono.
Specifichiamo che per ogni z appartenente a R esterno a γ, il 2° membro della suddetta equazione è nullo per via del teorema di Cauchy.
Infatti, la funzione integranda 





è in tal caso una funzione di z' olomorfa in tutta la regione racchiusa da γ.
Ora, siccome f(z) è per ipotesi analitica (e quindi continua nei punti della curva γ), ne segue che la derivata di f(z) può essere ottenuta a partire proprio dalla rappresentazione integrale di Cauchy, compiendo una derivazione del 2° membro (sotto il segno di integrale).
Si ha cioè:






Iterando il procedimento (ovvero compiendo derivazioni successive) si ottiene la rappresentazione integrale di Cauchy per la derivata ennesima di una funzione analitica:





Si vede così che una funzione analitica è infinitamente derivabile e che le sue derivate sono anch'esse note, una volta noti i valori assunti dalla funzione nei punti del contorno γ.
Vediamo un paio di semplici esempi.
Si consideri






ove l'integrazione è in senso antiorario sul cerchio unitario C.
Il fattore






è analitico entro la regione racchiusa dal contorno, quindi trattasi di un caso di formula integrale di Cauchy, con






e z = 0.
Il risultato è immediato:






Vediamo un secondo esempio:






dove l'integrazione è sempre in senso antiorario sul cerchio unitario C.
Il denominatore si può facilmente scomporre come






ed è chiaro che la regione d'integrazione contenga 2 fattori singolari (ove il denominatore si annulla).
Con una certa manipolazione possiamo, però, fare in modo che si possa utilizzare la rappresentazione integrale di Cauchy.
Infatti






da cui integriamo i 2 termini in maniera individuale:






Ciascun integrale è un caso della formula di Cauchy con f(z') = 1 e per entrambi gli integrali il punto z = ± 1/2 risulta entro il contorno, ergo ciascuno vale 2πi, e la loro somma è zero.
In definitiva, I = 0.