IL FANTASTICO ZOO DELLA GEOMETRIA

Era una mattina d'estate, davvero afosa.
Il Sole risplendeva mostrando tutta la sua imponenza nel sereno cielo. Si trattava della giornata perfetta per la gita in uno zoo.
Bernardo era tutt'altro che contento di parteciparvi, d'altronde aveva già avuto occasione di girare per diversi zoo sin da piccolo e dunque riteneva non potesse esserci più nulla da scoprire e che potesse solleticare la sua curiosità.
"Ma come, non sei curioso di vedere le maestose tigri malesi?" gli domandò un compagno di classe, seduto affianco sull'autubus che li avrebbe condotti nel meraviglioso parco naturale.
"Già viste tante volte, vorrei osservare qualcosa di nuovo ed altrettanto emozionante" rispose celermente Bernardo.
L'orario di arrivo era previsto per le 10; nel mentre il ragazzo ascoltò un po' di musica classica, precisamente si dilettò col meraviglioso Concerto per pianoforte e orchestra n.3 di Rachmaninov.



Giunti allo zoo, l'esplorazione cominciò immediatamente tra elefanti, scimpanzé, leoni, zebre e chi più ne ha più ne metta.
La mente curiosa di Bernardo purtroppo non era abbastanza stimolata da renderlo molto felice, tuttavia, ad un tratto, qualcosa di bizzarro accadde.
Una voce risuonò all'interno del parco naturale: "Salve gentili visitatori; unicamente per oggi estrarremo tra voi un vincitore che potrà accedere alla nostra ala di massima segretezza! Per prenotarvi sarà sufficiente firmare un foglio che il nostro attento staff vi fornirà".
Bernardo non ci pensò neanche un secondo e appose la firma non appena ricevette il foglio.
Non si trattava di un banale documento di iscrizione; ai margini del foglio comparivano infatti strane figure geometriche.
Dopo solo mezz'ora furono raccolti tutti i fogli e si passò all'estrazione del vincitore. "UN MINUTO DI ATTENZIONE" echeggiò la solita voce dell'annunciatore. "IL VINCITORE È BERNARDO R.".
Urla ed applausi scrosciarono nei confronti del ragazzo.
"Prego, mi segua" affermò un membro dello staff dello zoo, il cui compito era condurre Bernardo nell'ala segreta.

Dovettero camminare a lungo prima di pervenire al luogo desiderato. Davanti a loro si trovarono un colossale cancello che poteva essere aperto soltanto sfruttando una sofisticata tecnologia di riconoscimento della retina, un po' come accade in certi film.

"ACCESSO CONSENTITO" esclamò una voce metallica. Il cancello si spalancò ed era stranamente tutto buio al di là di esso.
Bernardo attraversò quel paradossale buio pesto in una piena giornata d'estate, camminando a lungo senza vedere alcunché.
A un certo punto una flebile luce cominciò a diffondersi. Inizialmente, come l'uomo del mito della caverna di Platone, tale luce provocò un forte senso di fastidio agli occhi del giovane.
Non ci volle però molto affinché i suoi occhi si riabituassero ai raggi luminosi e cominciassero a scorgere qualcosa.
"BENVENUTO NEL FANTASTICO ZOO DELLA GEOMETRIA"; questa frase rimbombò improvvisamente dentro le orecchie di Bernardo.
"Zoo della geometria? Che diavolo significa?" si domandò il ragazzo mentre ancora cercava di recuperare totalmente l'uso della vista.
Uno strambo signore, con un largo cappello, che ricordava un po' il cappellaio matto di Alice nel Paese delle Meraviglie, si manifestò di fronte a Bernardo.

"Salve, io sono Mr. Darius Geometry, il signore delle forme! Tu, o fortunato vincitore, avrai accesso a qualcosa che soltanto una ristrettissima élite di meritevoli ha avuto il piacere di poter visitare. Ti farò infatti da guida nel fantastico zoo della geometria. In questo zoo non troverai animali, bensì straordinarie forme geometriche viventi, dalle più semplici possibili a quelle maggiormente articolate e, non lo dire a nessuno, un po' tronfie".
Bernardo era esterrefatto; nutriva infatti una profonda curiosità nei confronti della matematica e dunque non poteva chiedere di meglio.
"Nel nostro zoo, abbiamo infinite zone di esposizione, come infinite possono essere le dimensioni spaziali per uno spazio di Hilbert. Dato il tempo limitato della tua visita, ti mostrerò soltanto un piccolissimo assaggio di tale infinità, ma sono sicuro che sarà sufficiente per restare ammaliato.
Incominciamo dalla zona dedicata ai poligoni e alle semplici figure piane e poi solide della geometria euclidea".
Ecco dunque apparire un'orda di triangoli, rettangoli, rombi, quadrati, trapezi e altre figure geometriche elementari, tutte animate.
Ad un tratto una voce da bambino esclamò: "Ciao, io sono un cerchio. Sono modestamente la figura piana più bella ed importante. A me sono collegati concetti come il pi greco, le rotazioni, i moti angolari, oltre al fatto che sin dall'antichità il grande Aristostele riteneva noi circonferenze le uniche in grado di rappresentare degnamente il moto dei corpi celesti, oggetti perfetti ed incorruttibili, pervasi dal cosiddetto etere o quintessenza."

"Finitela di pavoneggiarvi!" intervenì un quadrato. "Noi quadrati non siamo da meno. Rappresentiamo il prototipo di poligoni regolari e se voi avete il pi greco, beh noi abbiamo la radice di 2 dalla nostra parte. Risulta sufficiente infatti considerare il nostro lato unitario per far uscire quel meraviglioso numero, che ha dato il via alla scoperta dei numeri irrazionali. Caro cerchio e il tuo idolo da strapazzo pi greco, voi non siete certo meglio di noi!".

"Basta, ma cos'è questo baccano? Sembrano le futili discussioni tra fazioni nel programma televisivo Ciao Darwin. Manca solo madre natura!" esclamò una profonda ma più lontana voce.

 

"Lascia perdere per favore questi poveri plebei, che litigano fra loro per inezie; osserva invece la maestosità di noi poliedri convessi regolari, detti solidi platonici. Noi siamo così superlativi che, a differenza dei poligoni regolari quali il triangolo equilatero, il quadrato, ecc., siamo soltanto 5 (come gli Avengers originali del 1963): tetraedro, esaedro (meglio noto come cubo), ottaedro, dodecaedro e icosaedro" proseguì un cubo.








"Avrei un paio di domande da rivolgervi: che significa il fatto che un poliedro è convesso e perché vi chiamano solidi platonici?" chiese, spinto dalla voglia di conoscenza, Bernardo. 
"Cercherò di essere conciso. Un poliedro si dice convesso se i piani di 2 qualsiasi delle sue facce lo lasciano nel medesimo semispazio. Inoltre, indicando con F il numero di facce, con v il numero dei vertici e con S il numero degli spigoli, per qualsiasi poliedro semplice vale sempre la famosa relazione di Eulero

La somma in questione viene chiamata, volendo essere pignoli, caratteristica di Eulero, dunque riassumendo un poliedro (che non presenti alcun buco, ossia risulti semplicemente connesso) ha sempre caratteristica pari a 2.
Per quanto concerne l'altra domanda, siamo stati denominati platonici per il fatto che il sommo Platone ci studiò nella sua opera intitolata Timeo. Una nostra particolarissima caratteristica è che ad ognuno di noi si può far corrispondere un secondo poliedro duale, le cui facce risultano tangenti alla sfera circoscritta al primo poliedro, nei suoi vertici"




















"Ecco, menomale che mi nominate, altrimenti vi avrei tagliato a pezzettini e dato in pasto ai leoni per la mancanza di rispetto! Io sono la sfera, la figura solida più nobile in assoluto. Se i solidi platonici possono essere considerati dei marchesi, io sono modestamente la regina della geometria solida!" asserì un'acuta voce femminile proveniente da una grossa sfera con sopra una luccicante corona dorata. "Io rappresento l'emblema della perfezione e sono persino più simmetrica dell'umile cerchio! Da qualunque punto di vista vengo osservata, sempre uguale resto! La mia bellezza è incommensurabile. Quando passo io, persino altre meravigliose figure geometriche restano incantate. Addirittura la natura stessa tende ad assumere la mia forma. Pensa ad esempio alle bolle di sapone. Perché quando si produce una forma con l'acqua saponata il risultato non è un semplice poliedro bensì una sfera? Semplice, io sono quella figura geometrica che, a parità di volume, esibisce la superficie minima, quella dunque più confacente ad un fenomeno naturale atto a minimizzare la superficie".

"Oltretutto anche gli oggetti dell'Universo e la Terra stessa tendono alla stupefacente forma sferica". terminò la regina sfera.
"Ecco, hai detto bene: "tendono". Sorella, lo sanno tutti che la Terra è un geoide, non una sfera perfetta! Lascia che ti presenti le sorellastre della regina, che pur non avendo magari la stessa regalità, non siamo da meno in quanto a fascino. Io sono la pseudosfera mentre quella qui a fianco è la sfera cornuta di Alexander. Le pseudosfere come me furono una scoperta del matematico italiano Eugenio Beltrami nel lontano 1868. Rappresentiamo una splendido esempio di superficie a curvatura negativa e dunque sfiliamo non nelle passerelle di Armani e Versace, bensì in quelle della geometria iperbolica. Ricordiamo per lo più la forma di 2 trombe incollate. "

"Cosa diavolo ci fate qui? Sapete bene che questa è l'ala dello zoo dedicata alla geometria elementare euclidea. Voi dovreste stare da tutt'altra parte" esclamò arrabbiato Mr. Geometry.
"Suvvia, signore, 5 minuti fuori dalle nostre stanze non uccidono nessuno! Keep calm! Abbiamo sentito un po' di baccano e siamo giunte qui per guardare costa stava succedendo".
"Va bene, per oggi chiuderò un occhio, ma non ci provate mai più. Lo zoo della geometria ha rigide regole ed è mio compito punire chi le trasgredisce. Non posso correre il rischio che si ricada in assurdi matematici. Che figura ci farei nei confronti di coloro che hanno dato la vita per lo sviluppo della geometria, da Pitagora ad Euclide, da Gauss a Riemann e chi più ne ha più ne metta? Ergo, sbrigatevi a concludere il vostro discorso e correte via, prima che passi alle maniere dure e crude".
"OK OK, ho capito, ho afferrato il concetto!" proclamò la pseudosfera, citando un vecchio film della Disney.



"Mi lasci almeno il tempo di presentare al giovincello mia sorella, sfera cornuta di Alexander. Oh naturalmente "cornuta" non è perché è stata tradita in una relazione amorosa con un certo Alexander (anche se...ma lasciamo perdere o qua ci fustigano se ci perdiamo in pettegolezzi di basso livello!). Alexander è il cognome di James Waddel, professore di matematica che scoprì nel 1924 la particolare figura, formata, come puoi ben vedere, da una successione di coppie di corna (intrecciate tra loro e con le estremità che tendono ad avvicinarsi man mano). Ah mia sorella sfera cornuta può deformarsi e assumere la forma di una sfera tradizionale, il tutto senza che si creino strappi e buchi." terminò così il discorso la pseudosfera.

"Wow" esclamò Bernardo.
"Qui abbiamo terminato. Ti prego per piacere di seguirmi lungo le scale elicoidali per accedere alla prossima area." affermò Mr. Geometry.
Bernardo e il signore della geometria si appropinquarono verso una grande struttura di scale a chiocciola, la quale li avrebbe condotti chissà dove.
Ogni gradino di quella scala, una volta poggiato sopra il piede, emetteva una nota musicale simile a quella prodotta da un'arpa.
Si trattava dunque, oltre che di una progettazione atta a collegare due zone differenti dello zoo, pure di uno strumento musicale di proporzioni mastodontiche!
 

"Eccoci nell'area della geometria avanzata. Ti mostro subito uno dei maggiori protagonisti: la superficie di Dini." disse Mr. Geometry a Bernardo.
"Oh buon giorno, so che hai conosciuto la pseudosfera. Ecco io sono infinite volte meglio di quella vecchia tromba ammuffita. Anch'io sono una superficie a curvatura negativa e sono il risultato della torsione di una pseudosfera. Pertanto sono molto più bella ed affascinante. Osserva come posso ruotare con la massima eleganza, altro che Carla Fracci!



















"Prendo il nome da Ulisse Dini, straordinario matematico italiano, maestro di un certo Luigi Bianchi, il quale scoprì che IO sono l'unico elicoide ad avere come linee di curvatura dei meridiani." dichiarò la superficie di Dini.
"Straordinario, penso di non aver mai visto nulla di simile" disse raggiante di felicità l'adolescente.
Lui e Mr. Geometry vagarono per qualche ora in quella vasta area dello zoo, incontrando le più disparate forme e superfici, dagli iperboloidi alla bottiglia di Klein.
L'ultima tappa venne simboleggiata da qualcosa di davvero incredibile: lo spazio o varietà di Calabi-Yau a 6 dimensioni reali.
"Salve, mortale, io sono colui che regna nel trono di spade di questo zoo della geometria. D'altronde il potere è il potere!"

"Quella che riesci a percepire con i tuoi miseri sensi umani è la mia proiezione nello spazio 3D" asserì la varietà di Calabi-Yau.

"In realtà sono una varietà 6-dimensionale. La mia denominazione deriva dal matematico Eugenio Calabi, che fu la prima mente umana in grado di immaginare la mia esistenza, e dal matematico Shing-Tung Yau, colui che dimostrò la congettura di Calabi. La mia forma perfetta ispira i moderni modelli fisici quali la teoria delle stringhe. Ma la mia fama va ben oltre il mondo della matematica e della fisica. Venne infatti realizzata una rappresentazione teatrale off-Broadway intitolata Calabi-Yau; un complesso musicale, i Dopplereffekt, ha inciso un album di musica elettronica dal titolo Lo spazio di Calabi-Yau; il pittore italiano Francesco Martin ha realizzato l'opera Monna Lisa in Calabi-Yau. Perfino Woody Allen una volta, all'interno di un racconto, inserirà una battuta: «"Con piacere", disse lei, con uno sguardo ammicante, avvolgendosi in uno spazio di Calabi-Yau.»"

Monna Lisa in Calabi-Yau

"In ogni caso la più semplice delle mie caratteristiche, che potresti essere in grado di comprendere anche tu, è la mia compattezza. Come puoi constatare infatti dalla mia proiezione 3D, io posso essere pensato come un foglio di carta appallottolato, con piegature su piegature, ma queste pieghe sono super accurate e rispondono a precise leggi. Uno spazio compatto come me non contiene regioni infinitamente lunghe o larghe, tuttavia il sistema di piegature che ti ho appena illustrato fa sì che il molto possa stare in davvero poco, alla stregua di una valigia preparata con cura certosina. Adesso ti devo proprio lasciare; ho una partita a carte multidimensionali contro un ipercubo. Quel pazzoide si è montato un po' la testa per il fatto che è stato rappresentato al cinema sotto la denominazione di tesseract. Vado a ricordargli chi comanda veramente qui!" terminò il bizzarro oggetto geometrico.

"Ding Dong, TEMPO SCADUTO! Il visitatore è pregato di abbandonare lo zoo e di far ritorno alla sua comune realtà. Ma prima deve risolvere in fretta un quesito o provvederemo a cancellare dalla sua memoria il ricordo di questo fantastico posto. Il quesito è il seguente: «Chi dell'integrale definito fu signore, di tensori e metriche si abbuffò e una nuova geometria fondò?»" squillò una voce poco rassicurante.
Per Bernardo la risposta era semplice, d'altronde il matematico in questione aveva il suo medesimo nome e lo conosceva assai bene: "Bernhard Riemann", affermò senza alcun dubbio il ragazzo.
"Rispostaaaaaa esatta!" urlò la voce, con un tono decisamente più festoso.
Il ritorno alla realtà si presentò, in un primo momento, come un grosso dispiacere per l'adolescente, tuttavia, ben presto, si accorse, studiando e ricercando, che tutto ciò che aveva visto (e pure di più) poteva ritrovarlo semplicemente dedicando la sua vita alla matematica e alla geometria.
D'altronde, come sosteneva Lewis Carroll:

«Non credo proprio che possa esistere nell’universo della scienza un campo più affascinante, più ricco di tesori nascosti e di deliziose sorprese, di quello della matematica».

NOTA DELL'AUTORE:

Quello che avete appena letto è un racconto fantastico inventato da me. Tuttavia, non ci si lasci ingannare dagli espedienti letterali, giacché tutta la parte relativa alla descrizione geometrica delle forme di questo fantomatico zoo è tratta da informazioni reali. Alcuni di tali argomenti sono stati trattati in modo approfondito in specifici post su questo blog. In questo caso ho cercato però di tenere il livello della narrazione alla portata davvero di chiunque, come un qualsivoglia racconto letterario.

Leonardo Petrillo