LA MATEMATICA È UMANISTICA O SCIENTIFICA?

Il tema portante dell'ormai imminente Carnevale della Matematica n. 187, che sarà tenuto da Dioniso Dionisi (ovvero Flavio Ubaldini), è davvero interessante.

Trattasi infatti di una domanda: la matematica è umanistica o scientifica?

Provo dunque qui a delineare brevemente il mio punto di vista sulla questione.

Partiamo da un fatto certo; senza dubbio la matematica è legata in modo indissolubile alla scienza.

Gran parte della conoscenza scientifica è espressa e si è potuta sviluppare soltanto grazie all'ausilio del linguaggio matematico.

Galileo Galilei (1564-1642), il padre del metodo scientifico moderno, asseriva infatti ne Il Saggiatore:

«La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l’universo, ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto».

Senza poi lo strumento matematico del calcolo infinitesimale, portato in auge, nel XVII secolo, da Newton e Leibniz (ricordiamo che alcune premesse ad esso si ritrovano già ai tempi di Archimede), difficilmente si sarebbero potute avere le immense conquiste della fisica che ci hanno portato a conoscere la meccanica, la termodinamica, l'elettromagnetismo, la relatività ristretta e poi quella generale, la meccanica quantistica e la teoria quantistica dei campi, sino ai più recenti tentativi di trovare una teoria del tutto.

In un'edizione del Carnevale della Matematica, tenuta proprio qui sul blog Scienza e Musica (cliccate qui per vederla), abbiamo anche potuto constatare come la matematica sia molto vicina pure alla spiegazione della vita e alla medicina. 

Spostandoci sul piano della comunicazione della scienza, è anche vero che si può riuscire a svolgere buona divulgazione scientifica nei confronti del grande pubblico senza matematica (esistono per esempio svariati libri che raccontano concetti scientifici senza far uso di alcuna formula matematica), ma sono anche convinto che escluderla completamente laddove non richieda un tecnicismo di alto livello sia solo un ulteriore modo per alimentare la diffusa fobia della matematica e catalogarla immediatamente come "difficile", "per pochi eletti", quando in realtà non è così.

Spesso e volentieri infatti il linguaggio matematico ci permette di semplificare concetti che sarebbero complicati da esprimere a parole. 

Pensate alle profonde analisi che vengono compiute nei confronti delle poesie ermetiche (di autori come Salvatore Quasimodo e Giuseppe Ungaretti), spesso caratterizzate da un linguaggio conciso, puramente essenziale, ma pregno di significato.

Ecco, non di rado le formule matematiche fanno lo stesso.

Se per esempio scrivessi

$(i\!\!\not\! \partial - m) \psi(\mathbf{x},t) = 0$, 

al lettore non esperto questa formula avrebbe lo stesso impatto del leggere un testo in arabo o cinese, tuttavia dietro questo articolato formalismo matematico (ossia l'equazione di Dirac; per maggiori dettagli cliccate qui) si riesce ad esprimere velocemente un concetto profondissimo: l'esistenza dell'antimateria.

Senza la matematica ciò non sarebbe possibile. 

Anzi, andrebbe sottolineato che la conquista di un formalismo algebrico moderno, che evita l'uso di parole, e rende la matematica molto sintetica e comoda da usare (come siamo abituati oggi), ha richiesto secoli e secoli nel corso della storia.

Si dovette infatti aspettare l'opera Isagoge del matematico francese François Viète (1540-1603) per giungere ad una vera e propria algebra simbolica, che poi culminerà nella celebre La Géométrie (1637) di Cartesio.

Prima di allora, infatti, l'algebra si conduceva soltanto in modo retorico e geometrico, al massimo arrivando ad alternare una descrizione parlata con delle abbreviazioni.

Pensate per esempio che il procedimento risolutivo generale dell'equazione di terzo grado venne raccontato a Gerolamo Cardano (1501-1576) da Tartaglia (1499 circa-1557) sotto forma di poesia!

Immaginate dunque quanto fosse molto più difficile svolgere della matematica, anche quella oggi considerata elementare, per gli antichi, senza una notazione univoca, sintetica, maneggevole, che oggi spaventa gli studenti, ma che in realtà è una vera fortuna poter avere.

C'è anche un ulteriore aspetto che rende di fondamentale importanza la conquista di un formalismo matematico.

Il linguaggio matematico è infatti l'unico, assieme a quello musicale (che poi la musica è anche matematica!), ad essere diventato universale, che non fa pertanto discriminazione tra popoli, lingue, religioni, generi e tutte le diversità che troviamo nella società umana, a parte qualche rara eccezione di popolazioni indigene con un loro formalismo specifico.

È una forma culturale così potente che unisce sostanzialmente tutti. Non considerando poi che senza lo sviluppo matematico e scientifico ora non potreste leggere questo post comodamente sui vostri pc, tablet o smartphone.

Tirando le fila del discorso, insomma la matematica è sicuramente scientifica, potentissima ed universale!

ATTENZIONE: La conclusione appena fornita non esclude però necessariamente l'altra parte del nostro quesito iniziale. Sì, la matematica è, seppur molti non ci crederanno e forse storceranno il naso, anche umanistica!

Sussiste questa tendenza assai pericolosa di separare in maniera brusca la cultura scientifica e quella umanistica.

Nel corso degli anni in questo blog abbiamo tuttavia avuto modo di vedere (cliccate qui per un bell'esempio) come la matematica e la scienza facciano capolino nei più disparati ambiti del sapere e dell'arte (musica compresa ovviamente), sino ad arrivare addirittura al mondo dei manga e degli anime.

E, se ancora non ci credete a questa rapporto della matematica col mondo umanistico, nel 2011 Bruno D'Amore, grandissimo esperto di didattica della matematica, ha pubblicato un testo intitolato Dante e la matematica! 

Ed ancora, il De rerum natura, poema didascalico latino di Lucrezio, è stato analizzato, nel 2013, dal matematico Piergiorgio Odifreddi in Come stanno le cose. Il mio Lucrezio, la mia Venere, portando alla luce il fatto che molti concetti scientifici moderni siano stati anticipati nell'opera dell'autore latino del I secolo a.C.

Ed ancora, nel libro Vortici e vertigini, del 2019, Marco Fulvio Barozzi (sul web noto come Popinga), ha descritto la poesia scientifica dell'Inghilterra del XIX secolo.

Inoltre sono stati realizzati romanzi ispirati in modo significativo alla matematica. 

Citiamo a titolo di esempio il romanzo del 1998 di Denis Guedj Il teorema del pappagallo, un giallo a sfondo filosofico-scientifico che coinvolge grandi teoremi e personaggi della matematica da Pitagora sino all'ultimo teorema di Fermat. 

La lista di connessioni tra matematica e cultura umanistica potrebbe andare avanti a lungo. La matematica potrebbe celarsi pure lì dove non pensereste mai che sia presente. Anzi, è spesso interessante, divertente e didatticamente utile andare a scovare nuove connessioni.

TL;DR: La matematica è sicuramente scientifica ma è anche, che piaccia o no, umanistica!

Concludiamo segnalando un divertentissimo video che riguarda, tra le altre cose, una poesia d'amore per i numeri primi solitari.

GIFTED - IL DONO DEL TALENTO

Dopo Il teorema di Margherita (cliccate qui per la recensione), proseguiamo sul filone delle recensioni dei film con protagonista la matematica.

Oggi infatti parliamo di Gifted - Il dono del talento, un film del 2017 diretto da Marc Webb, con l'ormai ex Captain America, ovvero Chris Evans.

Di film sui bambini prodigio ne sono stati realizzati tanti, ma questo è sicuramente sopra la media per le tematiche trattate e le emozioni in grado di suscitare.

Portando al minimo gli spoiler, la trama è infatti incentrata attorno al talento e alla particolare condizione familiare di una bambina di 7 anni, Mary Adler, interpretata da Mckenna Grace, che si ritrova a passare i primi anni della propria esistenza con lo zio Frank (il già citato Chris Evans) a seguito del suicidio da parte di sua madre, ovvero la sorella di Frank. 

Il talento matematico di Mary è motivo di forte preoccupazione per lo zio, che vorrebbe farle vivere una vita il più possibile simile a quella tipica dei bambini della sua età nel tentativo di non portarla nelle stesse condizioni soffocanti a cui è stata sottoposta la sorella fino al momento del gesto estremo.

La madre della bambina infatti era una matematica di straordinario talento, concentrata nel tentativo per niente banale di trovare una risoluzione ad uno dei famosi 7 problemi del millennio!

Sappiamo bene (e ciò viene evidenziato pure nel film) che si tratta di una lista di problemi matematici di grande importanza ancora irrisolti, tranne uno, la congettura di Poincaré, dimostrata da Perel'man nel 2002.

A chi fosse in grado di risolverne uno viene assegnato un premio in denaro di 1 milione di dollari (che Perel'man rifiutò), ma ovviamente ciò che davvero si va a conquistare è la fama immortale all'interno della storia della matematica.

Nel film il talento di Mary non si limita alla solita classica bravura nel compiere per esempio moltiplicazioni, divisioni o estrazioni di radici quadrate di grandi cifre a mente, ma c'è proprio, sulle orme della madre, una comprensione profonda di quella che è la vera matematica a livelli avanzati, quella fatta di teoremi e dimostrazioni, che abbiamo potuto osservare anche ne Il teorema di Margherita.

E tutto gira nello specifico intorno ad uno dei problemi del millennio particolarmente legato anche alla fisica: l'esistenza e regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes.

Trattasi di equazioni alle derivate parziali fondamentali nell'ambito della meccanica dei fluidi, di cui però abbiamo una comprensione teorica assolutamente incompleta riguardo alle soluzioni.

Per esempio i matematici non sono mai riusciti sinora a dimostrare che, date delle condizioni iniziali generiche, esistano SEMPRE soluzioni lisce al sistema tridimensionale, appunto il sopracitato problema dell'esistenza e regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes.

Se volete saperne di più sulla difficoltà legata alla soluzione di tali equazioni, vi consiglio di guardare questo splendido video tratto dal canale YouTube Aleph 0:

Ora magari qualcuno si starà domandando perché dovrebbero essere in teoria dei matematici a tentare di risolvere il problema quando stiamo parlando di equazioni della fisica.

Beh, spesso certe equazioni della fisica, come ad esempio l'equazione di Laplace (o la più generale equazione di Poisson) e l'equazione del calore, non sono altro che prototipi di equazioni differenziali le cui proprietà possono poi essere studiate nel dettaglio da un punto di vista prettamente matematico.

Per esempio il matematico italiano Bruno Pini (1918-2007) fu il primo a dimostrare, nei primi anni '50, che le funzioni caloriche soddisfano delle formule di media, un bel salto in avanti rispetto a quanto fatto analogamente da Gauss, attorno al 1840, per le formule di media relative al più semplice laplaciano. 

Potete trovare qualche dettaglio tecnico sull'argomento cliccando qui e qui.

Tornando al film, al di là degli interessanti dettagli matematici presenti, una riflessione importante è quella che viene fornita riguardo alla vita condotta dalle persone troppo intelligenti (o meglio, particolarmente dotate in un certo ambito del sapere e delle attività umane, dato che la definizione di intelligenza è un concetto molto relativo, tant'è che Howard Gardner, nel 1983, propose di distinguere l'intelligenza in 7, poi diventate 9, manifestazioni essenziali).

Da una parte viene sottolineato il giusto tema della noia di fronte ai tradizionali programmi scolastici, dall'altro lato, tuttavia, anche le persone molto dotate restano in fin dei conti degli esseri umani, con le proprie emozioni, la loro voglia di avere dei momenti di svago (seppur la matematica per loro possa essere estremamente affascinante e coinvolgente) e di socialità, e magari anche la ricerca dell'amore.

Il film mostra oltretutto la questione dell'estrema pressione a cui certi genitori sottopongono i propri figli mossi da aspettative talvolta colossali e che possono recare dei danni psicologici non da poco.

Insomma Gifted, oltre ad affascinarci con la matematica ed emozionarci con alcune scene intense, ci porta a domandarci quale debba essere il giusto equilibrio nella formazione dei giovani che sia l'ambiente familiare sia quello scolastico dovrebbero adottare per far crescere persone allo stesso tempo capaci ma anche possibilmente serene.

Ovviamente questi interrogativi non sono banali e probabilmente non c'è una risposta univoca, ma già che ci si rifletta su costituisce un bel traguardo educativo per una pellicola cinematografica neanche troppo di nicchia.

Per tali motivazioni la visione di Gifted è consigliata non soltanto agli appassionati di matematica, ma anche a chi voglia semplicemente seguire una bella storia che porti a delle riflessioni profonde al termine del film.

Poiché abbiamo parlato di bambini prodigio, concludiamo in musica con un'esecuzione a dir poco incredibile del Piano Trio No. 1 Op. 49 di Felix Mendelssohn da parte di un trio di tredicenni coreani, il Rabbit Trio.

 

LA SPAGHETTIFICAZIONE

Il 6 dicembre 2024 è uscita la versione early access del videogame Path of Exile 2 (abbreviato PoE2), il sequel di un famoso action RPG.

Si potrebbe a lungo parlare della relazione tra PoE e la matematica, dato che per esempio il gigantesco albero delle abilità (skill tree) presente sia nel gioco originale che nel suo sequel potrebbe essere analizzato dal punto di vista della teoria dei grafi, la cui origine risale ad un articolo scritto da Eulero nel lontano 1736. 

Skill tree in PoE2.

Ma in questo post non ci focalizzeremo su questo aspetto, ma su un preciso nodo di quel monumentale skill tree che ci connette direttamente anche alla fisica moderna! Di seguito l'immagine che lo descrive.

Trattasi di un nodo piuttosto potente ed utile, specialmente nelle build che si appoggiano su un altro nodo assai significativo chiamato "Chaos Inoculation". Quest'ultimo è un nodo che infatti consente di rendersi immune a qualsiasi fonte di danno di tipo chaos (rendendo quindi quel malus -13% alla resistenza al chaos di Spaghettification totalmente insignificante) a patto di portare la vita del personaggio ad un valore pari a 1, cosa decisamente fattibile se le difese del personaggio che si sta portando avanti vengono basate su altre meccaniche come l'energy shield oppure il mana.

Io stesso ho infatti inserito (tramite un procedimento detto "instilling") il nodo Spaghettification sull'amuleto del mio Gemling Legionnaire, amuleto che potete ammirare qui di seguito.

Ma cosa diavolo significa spaghettificazione in fisica?

Per capirlo abbiamo bisogno di riferirci alla famosa relatività generale di Einstein, una teoria datata 1915 e che descrive la gravità come curvatura dello spaziotempo (avevamo parlato un po' in dettaglio di spaziotempo qui). 

Le equazioni fondamentali della suddetta teoria sono le equazioni di campo di Einstein:

Esse mettono in relazione la geometria dello spaziotempo (1° membro della formula sopra riportata, in cui per semplicità abbiamo omesso la presenza della celebre costante cosmologica) e la distribuzione di materia-energia (2° membro dell'equazione).

Analizzare in modo dettagliato l'aspetto tecnico di tali equazioni (sottolineiamo che il plurale è d'obbligo, anche se la formula riportata è singola, perché in modo esplicito quella formula rappresenta un sistema di ben 10 equazioni differenziali alle derivate parziali) va ben oltre lo scopo divulgativo di questo post.

Ci basti qui sapere che sussistono 2 modi fondamentali per provare a risolvere tali complicate equazioni: 1) sfruttando specifiche simmetrie 2) facendo uso dell'analisi numerica (cioè usando approssimazioni).

La più semplice soluzione non banale che conosciamo è certamente la metrica pubblicata nel 1916 da Karl Schwarzschild, ossia in simboli:

Qui abbiamo assunto il caso specifico di simmetria sferica (immaginate per esempio la geometria al di fuori di una stella sferica) nel vuoto (ossia il 2° membro delle equazioni di campo di Einstein è 0).

La metrica di Schwarzschild è utile per descrivere buchi neri statici (cioè non rotanti, a differenza dei buchi neri di Kerr) che non posseggono una carica elettrica. Per gli scopi del post ci accontenteremo di considerare solo la "semplice" metrica di Schwarzschild, un modello matematico ideale, ma tenete ben presente che i reali buchi neri astrofisici sono decisamente non statici.  

Quando la coordinata radiale $r$ è uguale a $2GM/c^2$, ovvero al cosiddetto raggio di Schwarzschild (generalmente indicato con $r_s$), ciò che stiamo descrivendo è l'orizzonte degli eventi della situazione.

Attenzione: $r = r_s$ è una singolarità apparente, non una singolarità fisica (mentre $r = 0$ è davvero una singolarità fisica, dunque qui la curvatura diventa infinita).

La chiamiamo apparente (in inglese "coordinate singularity") perché tale singolarità è presente solo in specifici sistemi di coordinate (nel nostro caso quello di Schwarzschild).

Se infatti immaginiamo un raggio di luce che si avvicina al punto $r = r_s$ (si veda immagine qui sotto) nelle coordinate di Schwarzschild, sembrerebbe che esso non arrivi mai ad $r_s$, ma tutto ciò è solo una mera illusione!

Coni di luce nel sistema di coordinate di Schwarzschild.
Figura presa da https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.

 

La verità è che un raggio di luce non ha alcun problema nel raggiungere $r_s$, è semplicemente una questione di coordinate.

Difatti si potrebbero introdurre differenti sistemi di coordinate, come il sistema di Eddington-Finkelstein, ove la superficie $r = r_s$ risulta perfettamente regolare, ma globalmente rappresenta un punto di non ritorno giacché sappiamo che un orizzonte degli eventi è una struttura causale. 

Coni di luce nel sistema di coordinate di Eddington-Finkelstein.
Figura presa da https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019. 

Ora, dato che nulla (inclusa la luce) può fuggire dall'orizzonte degli eventi, non siamo in grado di vedere cosa c'è dentro!

In altre parole, stiamo definendo i buchi neri come regioni dello spaziotempo separate da $r = \infty$ (la cosiddetta regione asintotica) da un orizzonte degli eventi.

Se immaginiamo adesso di dirigerci vicino al centro di un buco nero, inizieremmo ad avvertire intense forze di marea.

Immagine tratta da https://it.wikipedia.org/wiki/Forza_di_marea.

Nello specifico, riceveremmo uno stiramento verticale bilanciato da una compressione orizzontale, che porta gli oggetti ad assumere forme lunghe e sottili come quella degli spaghetti! Questo è appunto il processo noto come spaghettificazione.

Immagine presa da https://en.wikipedia.org/wiki/Spaghettification#. 

Si noti che una diversa massa dei buchi neri presi in considerazione andrebbe a condizionare notevolmente tale fenomeno poiché questo parametro influenzerebbe il punto in cui le forze di marea diventano rilevanti.

Infine, segnaliamo che recentemente, nell'articolo https://arxiv.org/pdf/2404.09381, sono state condotte svariate interessanti simulazioni inerenti a questo fenomeno.

Concludiamo in musica con un iconico pezzo dei Soundgarden, datato 1994, intitolato Black Hole Sun.

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Il post che avete letto è una versione estesa del thread che ho pubblicato in inglese il 2 dicembre 2024 su Bluesky.