venerdì 29 gennaio 2021

L'ECLISSI TRA SCIENZA E CULTURA VARIA

Se c’è un fenomeno particolarmente suggestivo che ha come protagonista il nostro satellite naturale, la Luna, è sicuramente l’eclissi (o eclisse).  


Abbiamo già avuto modo di approfondire un po’ sul moto della Luna nel post “La Luna, Keplero e i draghi”, che consiglio di rileggere (cliccando qui) come premessa a quanto segue ora.
Cominceremo il nostro viaggio dagli aspetti scientifici, andando a scoprire un po’ in dettaglio come si originano le eclissi, dopodiché amplieremo la nostra prospettiva alla cultura in generale, andando a capire come il fenomeno dell’eclissi abbia avuto rilevanti influenze in ambito letterario, cinematografico, artistico, musicale e persino nel mondo dei manga/anime.
Incominciamo con delle semplici definizioni, che dovreste già ben conoscere, ma è bene ricordare.
Una eclisse di Luna si verifica quando la Terra si trova tra la Luna e il Sole.
Una eclisse di Sole si verifica invece quando è la Luna a frapporsi tra la Terra e il Sole.
Una domanda interessante è la seguente: perché le eclissi sono dei fenomeni abbastanza rari?
Per rispondere, ricordiamo che il Sole, durante l’anno, descrive sulla sfera celeste un cerchio massimo denominato eclittica, nome derivante dal fatto che la Luna viene a trovarsi su tal cerchio durante le eclissi.
Beh se adesso supponessimo per un attimo che l’orbita della Luna si trovi perfettamente sul piano dell’eclittica, allora avremmo un’eclissi lunare ad ogni plenilunio ed un’eclissi solare ad ogni novilunio.
Sarebbe suggestivo no?
La natura non funziona in generale come noi vorremmo e l’orbita della Luna risulta inclinata di 5°9’ sul piano dell’orbita terrestre.
Ciò implica che le eclissi si manifestano soltanto quando la Luna alle sigizie, e naturalmente pure il Sole, si trovano in vicinanza dei nodi.


Con la trigonometria sferica si potrebbe dimostrare che per il verificarsi di un’eclisse lunare, anche parziale, è necessario che la distanza Sole-nodo (denotiamola con ∆λ) sia in generale minore di circa 9°,9’, mentre per un’eclisse totale la suddetta distanza deve essere inferiore (4°,6).
Per il verificarsi di un’eclissi solare serve invece che, in generale, ∆λ < 15°,5.
Ne consegue che le eclissi di Sole sono più frequenti di quelle lunari. Ce ne sono infatti almeno 2 ogni anno e, in casi eccezionali, possono arrivare anche a 5, mentre in un anno si possono verificare da 0 a 3 eclissi lunari.
ATTENZIONE: qui si sta parlando di eclissi nel significato più generale della parola; è chiaro che se considerassimo soltanto le eclissi totali di Sole, quelli sì sono eventi di straordinaria rarità, tanto che possono trascorrere secoli prima di poterne apprezzare un’altra dallo stesso luogo. Già un’eclissi parziale di Sole richiede in media 2,5 anni per poterla osservare in un certo luogo.
Per eclisse solare totale intendiamo quel fenomeno per cui la Luna riesce a sovrapporsi perfettamente al disco del Sole che osserviamo in cielo, cosa che può avvenire perché dovete pensare che è vero che il nostro satellite naturale è molto più piccolo del Sole, ma allo stesso tempo c’è un’immensa distanza che separa tali corpi celesti e dunque, anche se molto raramente, tale “magia” può accadere.  
L’ultima eclissi totale solare visibile dall’Italia si ebbe il 15 febbraio 1961. Di seguito un filmato d'epoca meraviglioso che illustra la suddetta eclissi vista dalla spiaggia di Roseto degli Abruzzi, il tutto accompagnato dallo stupendo Tema di Limelight, composizione colonna sonora dell'omonimo film del 1952 di Charlie Chaplin, composta da Chaplin stesso, qui interpretata dalla Mantovani Orchestra. Nella parte finale del filmato vengono riportati alcuni dettagli dell'evento, con accompagnamento musicale fornito dal Pas De Deux (Atto 1 n.5), tratto dal balletto Giselle di Adam, suonato dalla Filarmonica di Vienna sotto la direzione nientemeno che di Herbert von Karajan. Insomma un video letteralmente da pelle d'oca!
Un’eclisse totale di Sole può durare al massimo 7,5 minuti nelle regioni equatoriali, mentre la durata delle eclissi parziali può superare anche le 3 ore.
Facendo ritorno ad una trattazione generale, dato che il Sole impiega circa 6 mesi per andare da un nodo all’altro, le eclissi risultano distribuite in 2 gruppi, cioè nelle cosiddette stagioni delle eclissi, distanti 6 mesi l’una dall’altra.
Il tempo che impiega il Sole per passare allo stesso nodo è chiamato anno delle eclissi.
Siccome il nodo anticipa di 19°,35 in un anno, a causa del fenomeno della retrogradazione dei nodi, il Sole impiega 19 o 18 giorni meno dell’anno solare per passare 2 volte al medesimo nodo.
La media è di 18,63 giorni.
Ergo l’anno delle eclissi è formato da 365,25 - 18,63 = 346,62 giorni.
Ne consegue che il passaggio del Sole da un nodo all’altro avviene ogni 346,62/2 = 173,31 giorni, ovvero ogni circa 6 mesi, come già detto.
In ogni caso, sin dall’antichità era possibile prevedere tali fenomeni, per esempio in Cina e ovviamente nell’antica Grecia.
Il meccanismo delle eclissi fu infatti compreso da svariati filosofi greci, tra cui Anassagora, Filolao ed Empedocle, dalla metà del V secolo a.C.
Nel secolo seguente, Aristotele considerò l’eclissi come una prova del fatto che la Terra fosse sferica.
Egli infatti scrisse, nel 350 a.C. nel trattato cosmologico in 4 libri intitolato De caelo, cioè “Sul cielo”, quanto segue:

“È la forma della superficie della Terra che, essendo sferica, determina la forma di questa linea.” (De caelo, II, 14)

A seguito di questa introduzione di carattere generale, analizziamo un po’ meglio le eclissi solari e quelle lunari.

domenica 10 gennaio 2021

EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER IN FORMA OPERATORIALE E REGOLE DI COMMUTAZIONE

Qualche mese fa abbiamo fornito su questo blog una prima “semplice” introduzione all’equazione di Schrödinger, cioè all’equazione fondamentale della meccanica quantistica non relativistica (cliccate qui per leggere il post).
Cerchiamo ora di ampliare un po’ la nostra visione su tale singolare equazione (e non solo), andando a parlare brevemente di strumenti matematici a dir poco essenziali nell’ambito della fisica quantistica: gli operatori.
Nei termini più semplici possibili, possiamo pensare ad un operatore come ad una funzione speciale che va da uno spazio degli stati ad un altro spazio degli stati.
Come dice la denominazione stessa, lo spazio degli stati (detto anche spazio delle fasi) è lo spazio di un sistema (avente n gradi di libertà) i cui punti vanno a rappresentare in modo univoco tutti e soli i possibili stati del sistema stesso.
In particolare, quelle che noi in meccanica classica consideriamo le osservabili (energia, velocità, momento angolare, ecc.), in meccanica quantistica vanno considerate come operatori, non come semplici funzioni o numeri.
Per esempio, in meccanica classica, se dovessimo scrivere l’equazione che va a rappresentare l’energia totale 𝛜 di una singola particella, scriveremmo una formula del tipo:

 

dove p denota la quantità di moto (detta anche momento lineare o impulso), m la massa della particella e V(r) è l’energia potenziale; in meccanica quantistica, data questa formula, andremmo a compiere delle sostituzioni formali del tipo
Qui ∇ è il solito operatore nabla, che affiancato ad una funzione scalare ne fornisce il gradiente.
Abbiamo in pratica sostituito l’energia e il momento lineare con degli operatori; la scelta non è stata fatta a caso, ma è dettata dall’applicazione delle trasformate di Fourier tra lo spazio reale e lo spazio reciproco (ciò lo vedremo un po' meglio magari in un post futuro).
In meccanica quantistica, infatti, o si lavora nello spazio reale, cioè nello spazio delle coordinate, oppure si lavora nello spazio dei momenti. Sono 2 spazi che fondamentalmente non si parlano direttamente. Il "telefono" che consente una "comunicazione" tra i suddetti spazi sono proprio le trasformate di Fourier.
Per adesso ci stiamo riferendo allo spazio reale.
Possiamo allora definire altri operatori:
Va sottolineato che il momento lineare p è indipendente dalla posizione r e vive nel suo spazio reciproco, ma siccome ci stiamo riferendo allo spazio reale, la sua espressione viene “tradotta” nello spazio reale come -iℏ∇. L’operatore H è chiamato operatore hamiltoniano e riveste un ruolo cruciale nell’ambito della meccanica quantistica.
Tutto ciò permette di riscrivere l’equazione di Schrödinger generale come:

Si noti l’eleganza di questa formulazione operatoriale dell’equazione di Schrödinger rispetto a quella a cui eravamo pervenuti nel precedente post.
Spesso introdurre nuovi concetti come gli operatori (dunque complicare inizialmente le cose) serve poi a rendere maggiormente semplice ed elegante ciò che si sta studiando.