Per esempio, qui abbiamo dimostrato come 0,999999... = 1 sulla base della serie geometrica o, addirittura, qui ci siamo avventurati in un racconto immaginario ambientato in un bizzarro hotel con serie e integrali come protagonisti!
Riguardo le serie di funzioni di una variabile complessa, le definizioni e le considerazioni di carattere generale fatte nel caso delle serie di funzioni di una variabile reale vengono riprese e trasportate pari pari nel campo complesso, effettuando i necessari adeguamenti terminologici.
In tal modo, data una successione di funzioni, analitiche in una certa regione R del piano z
diremo che la serie
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUL-rCtcTi_w8qC527djuX_iN1nQ9FXFTkhoyftP8hnu3eyQotr4JQH9MbjhbrfwTCi4HdITxhHRn3S2RJwQiQr26QYZU5A9uFY_tnatQv6x_RT8w_n-PKTKZg-_noacV7861MnMbVMwt7/s1600/Schermata+2018-08-11+alle+20.19.31.png)
è convergente, per z appartenente ad un certo dominio D ⊂ R, ad una certa funzione f(z), se esiste il limite per n → ∞ della sua ridotta ennesima
e tal limite è uguale a f(z):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4FrKUbneOnrS48zLCTnsNF8j5GbDOh1FfiPOOP7bGQR2OrXz6xrW8OAEDJApe0jGEIsXxWVXbfMNJEB7AqtD0ezgklJ_3vGyYdMVIv8-EZLw5Fxh4_GlNfO3nMW44cVz2OLT7bdhXrN6s/s1600/Schermata+2018-08-11+alle+20.25.19.png)
Un ruolo importante è assunto dal concetto di serie uniformemente convergente (in un certo dominio).
La serie
viene chiamata uniformemente convergente (o equiconvergente o anche convergente in ugual grado) per z ∈ D se, dato un numero ε > 0 arbitrario (lo si immagini piccolissimo), è possibile trovare un indice n₀ tale che, per ogni n > n₀, valga
ove Rn(z) designa il cosiddetto resto ennesimo, dato dalla seguente formula:
Vale a tal proposito il seguente teorema di Weierstrass:
"Se fk(z), con k = 1, 2, ..., è una successione di funzioni analitiche e se la somma infinita
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaITWS0RXXT9NRR4SU4z-ftyGTxLV2q25u811JhEwSeC95Wr2won4TmhL3B2hyphenhyphenVyw0peW1jJa5wfh93vNotdHO_spp73v-MJbEGP5UbD6ywjBHOHskYtJbVfKolPe1Q1q29Qm3IjlvTL1q/s1600/Schermata+2018-08-11+alle+20.48.07.png)
converge uniformemente a f(z) in qualsiasi regione R' ⊂ R, allora f(z) risulta analitica in R e vale
"