LA RISONANZA

Perché un bicchiere può rompersi sotto l'effetto di un'onda sonora? Come fanno i suoni prodotti dalle corde di un violino ad essere amplificati?
Alla base di questi singolari fenomeni c'è un concetto chiamato risonanza.
In fisica si definisce risonanza la tendenza di un sistema vibrante ad oscillare più marcatamente a determinate frequenze rispetto che ad altre.
Per capire un po' meglio cosa sia la risonanza, dobbiamo compiere un excursus sugli oscillatori armonici smorzati e forzati.
Si definisce oscillatore armonico smorzato un sistema vibrante costituito da una massa m, soggetto all'azione di una forza elastica e a quella di una forza viscosa (appunto una forza che smorza il moto).

Oscillatore armonico smorzato

Sappiamo (recarsi qui per i dettagli) che se andiamo a considerare un moto armonico semplice, ossia senza alcun tipo di smorzamento, la legge oraria del moto sarebbe di questo tipo:



Con A indicante l'ampiezza del moto, ω la pulsazione e α lo sfasamento.
Ricordiamo che (t), in tal frangente, non va ad indicare una moltiplicazione per il tempo t, bensì specifica una dipendenza della posizione s dal tempo t.
Ora se provassimo a derivare tale legge rispetto al tempo, otterremmo una velocità pari a:



Nessuno ci vieta di derivare ancora una volta, ottenendo pertanto un'accelerazione pari a:



Possiamo notare un particolare: nel secondo membro dell'equazione compare l'espressione che definisce la posizione s della massa in moto armonico semplice.
Ergo, potremmo riscriverla come:



o ancora meglio, conducendo tutti i termini al primo membro:



Questa è l'equazione differenziale del 2° ordine, lineare, a coefficienti costanti ed omogenea (ossia con termine noto pari a 0) che descrive il moto armonico semplice.
Che eleganza, che semplicità!
Nell'ottobre del 1956, mentre era in visita presso l'Università di Mosca, Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984), uno dei massimi protagonisti nello sviluppo della teoria dei quanti, venne invitato dall'amico e collega Dmitri Ivanenko a riassumere in una singola frase la propria idea della fisica.
Dirac si recò allora alla lavagna e vi scrisse una frase memorabile, al punto che Ivanenko chiamò un operaio, incaricandolo di asportare il frammento di lavagna e di sigillarlo!
Su quel pezzo di ardesia vi era (e vi è ancora) riportato il credo scientifico di una delle menti più geniali del XX secolo:
"LE LEGGI DELLA FISICA DEVONO ESSERE DOTATE DI BELLEZZA MATEMATICA".

Fonte dell'immagine

Dopo questa breve ma molto interessante parentesi, aggiungiamo a quanto detto che scopriremo che la legge dell'oscillatore smorzato è molto simile a quella dell'oscillatore armonico semplice.

Come noto, la 2° legge della dinamica di Newton ci dice che una forza è esprimibile come il prodotto di massa per accelerazione: F = ma.
Nel caso di un oscillatore armonico smorzato, tale legge si può scrivere in questo modo:



In pratica abbiamo massa per accelerazione eguali alla somma algebrica di una forza elastica, con costante elastica (positiva) k, e di una forza viscosa, con costante positiva b.

Molla sottosmorzata

Riconducendo tutto a un unico membro, si ottiene:



la quale può essere riscritta come




Introducendo poi il coefficiente di smorzamento h e la pulsazione propria ω, definiti rispettivamente in questo modo:









e sostituendo queste espressioni nell'equazione differenziale del moto, otteniamo:



Anche questa è un'equazione differenziale del 2° ordine, lineare, a coefficienti costanti ed omogenea.
Come si può facilmente constatare, differisce da quella del moto armonico semplice per il solo termine



che appunto rappresenta lo smorzamento, il quale nel moto armonico semplice non c'è!
Essendo un'equazione differenziale lineare, se in qualche modo riusciamo a determinare 2 soluzioni indipendenti, s₁(t) ed s₂(t), ogni altra soluzione potrà essere scritta nella forma:



ove C₁ e C₂ designano delle costanti il cui valore dipende dalle condizioni iniziali.
In analisi matematica, questo problema di partire da un'equazione differenziale sotto certe condizioni iniziali e determinare la soluzione viene chiamato rigorosamente problema di Cauchy.
Proviamo, nel nostro caso, a cercare soluzioni della forma



con z numero reale o complesso, per cui abbiamo come derivate rispetto al tempo:





Andiamo a sostituire queste espressioni nella nostra equazione differenziale del moto smorzato:



ossia:



Questa viene detta equazione caratteristica dell'equazione differenziale.
Ciò che in sostanza abbiamo provato è che la nostra soluzione di prova

verifica esattamente l'equazione differenziale del moto se e solo se



Le soluzioni (reali o complesse) di questa equazione caratteristica sono facilmente determinabili (mediante la formula di risoluzione delle equazioni di 2° grado):






Si ha quindi che le 2 funzioni



ed



sono effettivamente 2 soluzioni indipendenti della legge del moto (quelle che appunto volevano determinare).
Siamo pertanto giunti alla soluzione generale:



le cui caratteristiche varieranno a seconda di come variano i parametri h e ω, come illustra in modo sublime il seguente video:



Per analizzare tuttavia il fenomeno di risonanza, dobbiamo considerare il caso in cui l'oscillatore smorzato sia soggetto pure a un termine forzante di tipo armonico, cioè a una funzione armonica Q(t) di periodo




descritta dall'equazione



dove q è l'ampiezza del termine forzante (maggiore di 0), Ω (maggiore di 0) è la sua pulsazione e α lo sfasamento.
In questo caso l'equazione differenziale diviene così:




Trattasi ancora di un'equazione differenziale del 2° ordine, lineare, a coefficienti costanti, però non è omogenea, bensì completa!
Quando si ha a che fare con un'equazione completa, la soluzione generale si può scrivere nel modo seguente:



dove s₀(t) è la soluzione generale dell'equazione omogenea associata, mentre s*(t) è una soluzione particolare dell'equazione completa.
È possibile tuttavia notare un particolare assai significativo: la soluzione generale dell'equazione omogenea (cioè quella osservata in precedenza) tende a decrescere esponenzialmente.
In sostanza, dopo un certo intervallo di tempo (detto transitorio), abbiamo che la soluzione generale dell'equazione completa viene fornita dalla sola soluzione particolare!
In simboli:



Bisognerà allora ricercare una soluzione particolare del tipo:



dove p e φ vanno determinati sostituendo tale soluzione nell'equazione completa.
Essendo un calcolo molto lungo e articolato, tralasceremo i vari passaggi e passeremo direttamente a osservare come possono essere descritte queste 2 grandezze.
Per quanto riguarda l'ampiezza p dell'oscillazione forzata risultante, si trova che essa è esprimibile come:

Poniamo inoltre per semplicità:

Questa espressione viene chiamata fattore di amplificazione e vedremo che sarà un'uguaglianza fondamentale ai fini della comprensione del fenomeno di risonanza.
Per quanto concerne invece l'angolo φ, poniamo



Questo "ritardo di fase" θ viene determinato dall'uguaglianza:




La cosa più interessante da notare in queste espressioni è che quando l'oscillatore armonico smorzato viene anche forzato da un termine armonico, l'ampiezza p della sua risposta non è direttamente proporzionale solo all'ampiezza q del termine forzante.
Essa dipende infatti anche da altri parametri, ossia dalla pulsazione naturale ω dell'oscillatore, dalla pulsazione Ω della forzante e dalla costante di smorzamento h.
Il bello però accade quando h è molto piccola.
Infatti, andando ad osservare il fattore di amplificazione A(Ω²), si può notare che se h diventa davvero piccola, il secondo termine al denominatore diviene anch'esso molto piccolo.
Ne derivano diversi casi:

• se ω e Ω sono molto diversi, allora a prevalere al denominatore è il primo termine e l'ampiezza delle oscillazioni forzate sarà piccola;
• se ω è molto vicina a Ω, entrambi i termini al denominatore saranno piccoli e, conseguentemente, l'ampiezza sarà molto grande.

In pratica, facendo variare le 2 pulsazioni ω e Ω possono verificarsi cambiamenti anche molto rilevanti dell'ampiezza del moto.
Se l'oscillatore fosse lasciato a se stesso, esso vibrerebbe alla sua frequenza naturale ω o a una leggermente inferiore, in presenza di smorzamento.
Se invece tentiamo di forzarlo a vibrare alla frequenza Ω, allora per valori di Ω prossimi a ω, l'oscillatore risponderà davvero bene.
Nel caso in cui Ω dovesse essere molto diverso da ω, l'oscillatore potrebbe non rispondere affatto!
Il suddetto fenomeno, ovvero la capacità dell'oscillatore di una risposta molto grande alle frequenze prossime alla sua frequenza naturale è appunto denominato risonanza.
Spingendoci un po' più nel dettaglio, tenendo fisse le costanti h e ω caratteristiche del sistema vibrante, oltre all'intensità massima q della forzante addizionale, e facendo variare la pulsazione Ω della forzante, il fattore di amplificazione ne risentirà.
Nello specifico, A(Ω²) ammetterà un unico massimo raggiunto, se h è piccola, per |Ω| vicino a |ω|.
Riprendiamo l'equazione descrivente il fattore di amplificazione

e poniamo:







Dividiamo per ω⁴ all'interno della radice (questo implica una moltiplicazione per ω² nel primo membro dell'equazione):

ossia:

La quantità presente nel secondo membro la indichiamo per semplicità come f(x) e dunque abbiamo:




Derivando rispetto a x la funzione f(x), determiniamo i suoi punti di stazionarietà, ovvero i punti in cui la derivata prima si annulla.
Per derivare tale espressione, è sufficiente ricordare la regola di derivazione del rapporto di 2 funzioni derivabili:

Dunque basta innanzitutto elevare il denominatore al quadrato e poi svolgere la differenza (al numeratore) tra la derivata della prima funzione per la seconda invariata e la derivata della seconda funzione per la prima lasciata invariata.
Si trova (sfruttando anche la famosa regola della catena) che la derivata è eguale a:





Siccome questa quantità deve essere annullata, alla fine l'espressione fondamentale è fornita dal solo numeratore.
La funzione ammette quindi punti di stazionarietà quando:



da cui:




Questo qui è in particolare un punto di massimo relativo per la funzione f(x).
Come facciamo a saperlo?
Dovremmo osservare la derivata seconda della funzione f(x). Tuttavia, per semplicità, possiamo sfruttare il radicando al denominatore di f(x) per il nostro obiettivo.
Notiamo che la derivata del radicando è esattamente l'opposto del numeratore di f '(x).
Deriviamo quindi un'altra volta il radicando



ottenendo come derivata seconda il valore 2 (che è maggiore di 0).
Come ben illustra questa immagine




















quando si annulla la derivata prima di una funzione trovando un punto stazionario e la derivata seconda risulta maggiore di 0, allora il punto stazionario che stiamo studiando è un minimo!
Siccome lo studio del radicando ci restituisce un minimo, ne consegue che la nostra funzione f(x) deve presentare un massimo relativo!
Andiamo ora a sostituire




all'interno dell'espressione




Ne consegue:




Ergo, il fattore di amplificazione ammette un unico punto di massimo per



Quando poi h risulta molto piccolo, il punto di massimo relativo si ha in corrispondenza di



cioè proprio quando la frequenza del termine forzante è davvero prossima alla frequenza naturale del sistema vibrante e come dicevamo, l'ampiezza dell'oscillazione forzata risultante sarà molto grande!

Ecco allora perché un bicchiere può rompersi se sottoposto a un suono la cui frequenza si avvicina molto a quella naturale del bicchiere stesso, come magnificamente illustrato nel video che segue:



Il fenomeno di risonanza dà il meglio di sé in ambito musicale, come spiega Andrea Frova nel suo libro La fisica sotto il naso:

"Il meccanismo descritto [la risonanza] è alla base della sonorità degli strumenti musicali. In essi il sistema stimolante può essere una corda e il sistema stimolato è la cassa acustica. L'aria smossa dalla corda vibrante sarebbe insufficiente a generare onde di pressione di apprezzabile intensità, capaci di far vibrare il nostro timpano. Se però la vibrazione viene trasmessa alla cassa per accoppiamento via ponticello, l'estesa superficie della tavola armonica mobilita masse d'aria assai maggiori, producendo un suono più forte. Occorre naturalmente che, tra le molteplici frequenze di risonanza della cassa, non manchi quella di vibrazione della corda: la cassa di un violino è appunto disegnata in modo da garantire la risonanza su un'estesa gamma di frequenze.

L'energia acustica rimbalza avanti e indietro tra cassa armonica e corde, cosicché l'eccitazione impressa su una data corda può trasferirsi su ogni altra capace di oscillare alla stessa frequenza. Esempio: se si diteggia la corda di re di una chitarra in modo da suonare un sol, si vede entrare in oscillazione anche la corda libera adiacente, intonata appunto sul sol."

La risonanza gioca un ruolo chiave anche in altri contesti come la ricezione di segnali radiofonici da parte dei circuiti RLC delle radio portatili o in disastri come il crollo del ponte d'Angers, in Francia, avvenuto il 16 aprile 1850.
Nella suddetta occasione, passò sul ponte un carico mobile costituito da un gruppo di 487 soldati, che marciavano al passo cadenzato.
I colpi dei piedi sul ponte lo fecero vibrare in modo tale da amplificarne le oscillazioni spontanee e causarne il crollo!
Anche durante alcuni terremoti fa capolino il fenomeno di risonanza.
Il terremoto di Loma Prieta del 1989, nella Baia di San Francisco, di magnitudo 6.9, fece crollare un tratto di autostrada sopraelevata.
In quel tragico evento le onde sismiche avevano una frequenza di circa 1,4 Hz e sono entrate in risonanza con le oscillazioni della carreggiata, generando delle vibrazioni della strada con ampiezza sempre maggiore e conseguente crollo.
Persino i bambini piccoli e i ragazzini, pur non sapendolo, sperimentano il fenomeno di risonanza.
Per spingere il bambino su un'altalena (anch'essa dotata di una propria frequenza di oscillazione naturale), infatti, una mamma deve imprimere delle spinte anche piccole, ma sempre sincronizzate con il movimento dell'altalena. Ogni spinta va ad incrementare l'ampiezza dell'oscillazione.

Come ciliegina sulla torta, un simpatico video inerente alla risonanza: