venerdì 17 agosto 2018

LE SERIE NEL CAMPO COMPLESSO: SERIE DI TAYLOR E SERIE DI LAURENT

Di serie abbiamo già parlato in diverse occasioni in questo blog.
Per esempio, qui abbiamo dimostrato come 0,999999... = 1 sulla base della serie geometrica o, addirittura, qui ci siamo avventurati in un racconto immaginario ambientato in un bizzarro hotel con serie e integrali come protagonisti!
Riguardo le serie di funzioni di una variabile complessa, le definizioni e le considerazioni di carattere generale fatte nel caso delle serie di funzioni di una variabile reale vengono riprese e trasportate pari pari nel campo complesso, effettuando i necessari adeguamenti terminologici.
In tal modo, data una successione di funzioni, analitiche in una certa regione R del piano z





diremo che la serie






è convergente, per z appartenente ad un certo dominio DR, ad una certa funzione f(z), se esiste il limite per n → ∞ della sua ridotta ennesima






e tal limite è uguale a f(z):





Un ruolo importante è assunto dal concetto di serie uniformemente convergente (in un certo dominio).
La serie






viene chiamata uniformemente convergente (o equiconvergente o anche convergente in ugual grado) per zD se, dato un numero ε > 0 arbitrario (lo si immagini piccolissimo), è possibile trovare un indice n₀ tale che, per ogni n > n₀, valga





ove Rn(z) designa il cosiddetto resto ennesimo, dato dalla seguente formula:






Vale a tal proposito il seguente teorema di Weierstrass:

"Se fk(z), con k = 1, 2, ..., è una successione di funzioni analitiche e se la somma infinita






converge uniformemente a f(z) in qualsiasi regione R'R, allora f(z) risulta analitica in R e vale



"




Nel campo complesso le serie di potenze (come la serie geometrica) giocano poi un ruolo assai rilevante!
Data la serie di potenze della variabile complessa z






la sua regione di convergenza è sempre un cerchio il cui raggio si dice raggio di convergenza della serie.
All'interno del cerchio di convergenza la serie converge sempre uniformemente (e assolutamente) e rappresenta qui pertanto una funzione analitica.
Specifichiamo che data una generica serie





si dice che essa è assolutamente convergente se la serie dei moduli ad essa associata 




è convergente.
Ritornando alla nostra serie di potenze di variabile complessa, per z esterno al cerchio di convergenza una serie di potenze risulta sempre divergente.
Se z appartiene alla frontiera del cerchio di convergenza, la serie può convergere o non convergere, a seconda dei casi (o dei punti considerati).
Ecco una bella immagine che rappresenta un caso generico di punto interno, esterno e di frontiera, per chi non ricordasse bene la differenza:











Il teorema di Weierstrass visto poco fa, applicato al caso specifico di una serie di potenze, assicura che questa è, in ogni punto z interno al cerchio di convergenza, derivabile termine a termine un numero n arbitrario di volte, dando come risultato una serie di potenze (uniformemente e assolutamente convergente), la quale converge ad una funzione analitica che è la derivata ennesima della funzione somma dell'originaria serie di potenze.
Il raggio di convergenza della serie






viene poi determinato grazie al teorema di Cauchy-Hadamard:

"Il raggio di convergenza ρ della serie di potenze coincide con l'inverso del massimo limite della successione avente come termine generico la radice kappesima del modulo del kappesimo coefficiente ak".

In simboli ciò si esprime come:





Ovviamente, se tale limite risulta nullo, il raggio di convergenza è infinito, mentre, se il limite risulta finito, la serie ha raggio di convergenza nullo (converge solo nel punto z = 0, dove si riduce alla costante a₀).
Corollario al teorema è la formula:






ammesso naturalmente che il suddetto limite esista.
Usando tale formula si vede subito, per esempio, che la serie






ha raggio di convergenza pari a 1.
Inoltre, la serie






converge per qualsiasi z finito perché per essa risulta ρ = ∞, mentre la serie






non converge mai, avendo raggio di convergenza nullo.
Dal teorema di Cauchy-Hadamard (o dal suo corollario) segue poi che la serie ottenuta derivando termine a termine una serie di potenze ha lo stesso raggio di convergenza della serie originaria.
Diciamo ora che una funzione f(z) che sia olomorfa in un intorno di un punto z = z₀ può essere lì sviluppata in serie di potenze di z - z₀, ossia rappresentata come:






essendo i coefficienti dello sviluppo forniti da:





ove γ è un'arbitraria curva chiusa circondante il punto z₀ e tutta contenuta nella regione di analiticità di f(z).
Ricordando la rappresentazione integrale di Cauchy, i coefficienti ak possono equivalentemente esser definiti come:






e quindi la formula in rosso di prima non è altro che una generalizzazione al campo complesso del ben noto sviluppo in serie di Taylor, valido, per una funzione di variabile reale, nell'intorno di un suo punto di continuità!
Ovviamente, la serie di Taylor di f(z) converge (uniformemente e assolutamente) alla funzione f(z) stessa soltanto all'interno del cerchio di convergenza, il cui raggio è fornito dalla distanza del punto z₀ dal più vicino punto singolare di f(z).
Per esempio, la serie






converge all'interno del cerchio |z| = 1.
In particolare, si ha che nell'intorno di un punto regolare z = z₀ una funzione analitica f(z) è sempre sviluppabile in una serie di potenze, che è uniformemente e assolutamente convergente all'interno di un cerchio avente per centro il punto z₀ e per raggio la distanza di z₀ dal più vicino punto singolare di f(z).
Ma vale pure l'affermazione complementare: se una funzione f(z) è sviluppabile in serie di potenze nell'intorno del punto z = z₀, allora essa è analitica all'interno del cerchio di convergenza della serie, come stabilito dal teorema di Weierstrass.
Esiste perciò una completa equivalenza fra il concetto di olomorfismo di una funzione nell'intorno di un punto e quello di sviluppabilità in serie di potenze nel medesimo intorno.
Di seguito un elenco degli sviluppi di Taylor delle funzioni fondamentali:
























Tutti questi sviluppi sono validi per |z| < ∞, tranne l'ultimo, che risulta valido per |z| < 1.
In svariate applicazioni risulta necessario espandere una funzione f(z) attorno a punti o nelle vicinanze di cui la funzione non è analitica.
La serie di Taylor non è applicabile nei suddetti casi.
Serve appunto un nuovo tipo di serie, noto come serie di Laurent, che prende il nome dal matematico francese Pierre Alphonse Laurent (1813-1854), il quale la rese pubblica nel 1843.
Per introdurre la serie di Laurent, consideriamo un punto z = z che sia un punto singolare di una funzione f(z), la quale sia ovunque olomorfa in un dominio C delimitato da 2 circonferenze concentriche γ₁ e γ₂, con centro nel punto z₀ e aventi raggi rispettivamente R₁ e R₂, come mostra la seguente figura:




La funzione f(z) è ancora rappresentabile con una serie di potenze di z - z₀, in un opportuno intorno di ogni punto zC.
Tuttavia la serie contiene in tal caso sia potenze positive che potenze negative!
In simboli si ha che, sotto le ipotesi fatte, la funzione f(z) è rappresentata come:

essendo i coefficienti dk dati da una formula perfettamente analoga a quella che fornisce i coefficienti di uno sviluppo in serie di Taylor:

ove γ è una qualsiasi curva chiusa, circondante il punto z = z₀ e tutta contenuta nella regione di olomorfismo di f(z).
Lo sviluppo fornito è appunto lo sviluppo in serie di Laurent di una funzione analitica f(z) nell'intorno di un suo punto singolare z = z.
Ponendo ora

possiamo riscrivere lo sviluppo in serie di Laurent di f(z) nella forma:

L'insieme dei termini con potenze negative di z - z₀, rappresentato dalla prima sommatoria a 2° membro, viene spesso indicato come la parte principale dello sviluppo.
Le espressioni dei coefficienti ak delle potenze positive e dei coefficienti bk delle potenze negative possono poi compendiarsi in un'unica formula, ponendo

essendo i dk dati da:

Si noti che se il punto z = z₀ fosse anch'esso un punto di analiticità di f(z), lo sviluppo di Laurent continuerebbe formalmente a valere, ma effettivamente si ridurrebbe a quello di Taylor, poiché in tal caso tutti i coefficienti delle potenze negative di z - z₀, dati da

sarebbero identicamente nulli, quali integrali lungo una curva chiusa di una funzione sempre analitica all'interno di essa.
Tra i coefficienti dello sviluppo di Laurent di una funzione, una particolare importanza riveste nelle applicazioni il coefficiente della potenza

denominato residuo della funzione nel punto z₀.
Questo, moltiplicato per 2πi, fornisce il valore dell'integrale della funzione lungo una curva chiusa qualsiasi, che sia contenuta nel dominio di analiticità della funzione e non contenga al suo interno altre singolarità oltre al punto z:

Approfondiremo meglio la questione residui in un futuro appuntamento.
Per ora ci fermiamo qui; la prossima volta vedremo bene cosa sono gli zeri e le varie tipologie di singolarità!
Concludiamo con un doveroso piccolo omaggio ad Aretha Franklin, scomparsa ieri 16 agosto 2018, costituito da un bellissimo brano da lei cantato, nel 1977, tratto dal musical A Chorus Line e intitolato "What I Did For Love":


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Elenco delle puntate precedenti:

- puntata 1: "Primi elementi di analisi complessa: le condizioni di olomorfismo di Cauchy-Riemann";
- puntata 2: "Introduzione all'integrazione complessa";

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