MERAVIGLIE MATEMATICHE: LO SPAZIOTEMPO DI MINKOWSKI

La matematica è spesso fonte di stupore e meraviglia.
Pochi mesi fa abbiamo per esempio osservato (cliccate qui) come singolari forme geometriche quali le pseudosfere possano ispirare spettacolari costruzioni artistiche.
In questo post analizzeremo (nel modo più semplice possibile, ma comunque rigoroso) una meraviglia matematica meno appariscente, ma sicuramente dotata di grande fascino: lo spaziotempo di Minkowski.
I concetti di spazio e tempo sono sempre stati al centro di riflessioni filosofiche e scientifiche.
Se ricordate, ne parlammo un po' nel post intitolato "Spazio e Tempo: Le "forme a priori" della conoscenza".
Abbiamo anche avuto modo di ospitare, proprio qui su Scienza e Musica, un Carnevale della Fisica dedicato allo spazio (cliccate qui) e un Carnevale della Letteratura dedicato al tempo (cliccate qui).
Per introdurre lo spaziotempo per bene dobbiamo compiere una piccola premessa.
Sapete bene che nel 1905 Albert Einstein diede alla luce la sua teoria della relatività ristretta (o speciale).
Qualcuno ricorderà anche che la base matematica della suddetta teoria è fondata sulle cosiddette trasformazioni di Lorentz (chi non ricordasse bene può leggere qui).
Ricordiamo poi che la relatività ristretta assume 2 postulati fondamentali:

1) l'invarianza di forma delle leggi fisiche in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
2) la luce si propaga (nel vuoto) a velocità costante (denotata con c), indipendentemente da quale sia lo stato di moto della sorgente o dell'osservatore.

Le conseguenze fondamentali di tutto ciò sono 3:

1) la relatività della simultaneità;
2) la contrazione delle lunghezze;
3) la dilatazione dei tempi.

Rinfreschiamo brevemente cosa significano tali concetti.
Quando parliamo normalmente di eventi simultanei, pensiamo chiaramente ad eventi che accadono nello stesso istante temporale.
Ciò è palesemente corretto nell'ambito della fisica classica newtoniana.
Il problema sorge quando si considerano velocità abbastanza vicine a quella della luce.
Supponiamo infatti ci sia un osservatore S, fermo, inerziale, che stia osservando due eventi simultanei:






Adesso però supponiamo ci sia un osservatore S' (sempre inerziale) in movimento rispetto ad S lungo l'asse x con velocità costante V.
Per quest'ultimo, sulla base delle trasformazioni di Lorentz, le coordinate dei 2 eventi saranno:
Primo evento













Secondo evento













ove γ è naturalmente il fattore (o termine) di Lorentz, esprimibile esplicitamente attraverso la relazione:

Avrete notato che per l'osservatore S' tra i 2 eventi risulterà una differenza temporale pari a:





Ecco perché si parla di relatività della simultaneità: eventi simultanei per un osservatore (inerziale) non lo sono per un altro!
La simultaneità è dunque relativa per i sistemi di riferimento inerziali.
Se consideriamo il caso in cui V sia davvero molto piccola comparata alla velocità della luce c, avremmo che:







e pertanto ritroveremmo la simultaneità della fisica classica.
Se andassimo invece a considerare la velocità V davvero vicinissima a quella della luce, l'intervallo temporale misurato da S' tenderebbe ad infinito.
È inoltre palese che gli eventi risultano simultanei per entrambi gli osservatori anche nella teoria della relatività quando x₁ = x₂.
L'altra conseguenza fondamentale della relatività ristretta è la contrazione delle lunghezze (o contrazione di Lorentz-Fitzgerald): il risultato della misura della lunghezza L di un corpo da parte di un osservatore mobile S (con velocità V) è inferiore alla lunghezza L₀ che S' misura nel sistema di riferimento a riposo del corpo considerato.




















La formula alla base del fenomeno è:





Una roba abbastanza simile accade per quanto concerne il tempo: la dilatazione dei tempi.
In particolare, la misura della separazione temporale (t₂' - t₁') tra 2 eventi da parte di un osservatore mobile fornisce intervalli di tempo più lunghi rispetto ad un osservatore solidale con l'orologio.
La legge matematica che sta alla base del fenomeno è:




La prima diretta evidenza sperimentale della dilatazione dei tempi si è manifestata con gli esperimenti di rilevazione dei muoni prodotti nella fasce esterne dell'atmosfera terrestre, ad opera dei raggi cosmici.
I muoni sono particelle elementari che fanno parte, assieme all'elettrone, al tauone e al neutrino, della famiglia di particelle chiamata dei leptoni.
Inoltre sono particelle dotate di spin semintero (di spin abbiamo parlato un po' qui), dunque sono classificate come fermioni.
La loro peculiarità più interessante in tal contesto è data però dal fatto che sono particelle altamente instabili, che decadono dando vita ad altre particelle, con un tempo di dimezzamento di circa




tempo questo misurato nel sistema di riferimento a riposo dei muoni.
Nel 1941 un rilevatore posto sul monte Washington, nel New Hampshire, a circa 1850 metri rispetto al livello del mare, misurò un flusso di circa 570 muoni all'ora.
Gli scienziati inizialmente pensarono che posizionando il rilevatore ad altitudini inferiori si sarebbe dovuto riscontrare un flusso meno intenso.
Si stimava che a livello del mare si sarebbe dovuto riscontrare un flusso di circa 35 muoni all'ora.
ATTENZIONE: se ne osservarono ben 400 di muoni all'ora!
Perchè tale enorme disparità rispetto a quanto si pensava? Come potevano essere sopravvisuti così tanti muoni in un viaggio decisamente lungo se confrontato alla loro vita media?
La risposta sta nel fatto che nel sistema di riferimento dei muoni il tempo trascorso è assai minore a quello misurato da un osservatore solidale con la Terra.
Abbiamo dunque osservato brevemente le conseguenze fondamentali della teoria della relatività ristretta.
Addentriamoci ora nel nocciolo della questione: lo spaziotempo.

Con la teoria della relatività i concetti di spazio e tempo non vengono più considerati come entità indipendenti, ma come una cosa unica, chiamata appunto spaziotempo.
Lo spaziotempo non è definibile come uno spazio metrico euclideo.
Chiariamo un attimo i concetti di spazio metrico e spazio euclideo.
Uno spazio metrico è sostanzialmente uno spazio nel quale è possibile definire una funzione "distanza tra i punti".
Nello specifico, uno spazio metrico è una coppia (X, ρ) composta da un certo insieme (spazio) X di elementi (punti) e da una funzione (reale non negativa) distanza ρ(x,y), detta anche metrica, definita ∀x,y ∈ X e soddisfacente i seguenti assiomi:

1) ρ(x,y) > 0, con x ≠ y;

2) ρ(x,y) = 0 se e solo se x = y;

3) assioma di simmetria: ρ(x,y) = ρ(y,x);

4) disuguaglianza triangolare: ρ(x,y) ≤ ρ(x,z) + ρ(z,y).

Il più semplice spazio metrico è proprio lo spazio euclideo 3D.
"Euclideo" significa che in tale spazio valgono i postulati della geometria euclidea (e, in particolare, il V postulato).
Nello spazio euclideo tridimensionale ogni punto è individuato dal vettore posizione, che in base alle sue componenti cartesiane può essere scritto come segue:

 




Ciò che contraddistingue uno spazio metrico euclideo è la definizione di distanza (associata ad uno spostamento infinitesimo) fornita dal teorema di Pitagora:




sulla base delle componenti del vettore spostamento infinitesimo






Risulta possibile esprimere la distanza al quadrato ds² anche come prodotto tra matrici:

ove il primo termine denota la trasposta del vettore posizione.
Come visto, uno spazio metrico richiede la definizione del concetto di distanza tra punti.
Il modo in cui essa viene calcolata identifica qualitativamente lo spazio metrico prescelto, mediante l'introduzione di una matrice chiamata "della metrica" o "tensore metrico".
Infatti, nel caso dello spazio euclideo con fissato sistema di riferimento cartesiano, si ha che:

dove







è il tensore metrico.
Specifichiamo che al cambiare del sistema di riferimento pure G cambierà forma.
Abbiamo prima asserito che lo spaziotempo non è uno spazio metrico euclideo, ma esiste un modo di definirlo come spazio metrico?
Una soluzione consiste nel verificare se esistano espressioni delle coordinate che risultino invarianti per le trasformazioni di Lorentz.
In effetti una grandezza che assuma lo stesso valore per tutti gli osservatori inerziali esiste ed è chiamata quadrintervallo o invariante di Lorentz s².
Essa si esprime generalmente con la seguente relazione:

Dunque, anche se, come abbiamo visto, diversi osservatori inerziali non concordano su misure di lunghezza, intervalli temporali o eventi simultanei, tutti gli osservatori concorderanno sempre sul valore di s².
Va specificato che un quadrintervallo può assumere qualsivoglia valore reale.
È possibile classificare gli intervalli di Lorentz in 3 categorie:

• s² > 0: intervallo tipo-tempo;
• s² < 0: intervallo tipo-spazio;
• s² = 0: intervallo tipo-luce.

Mentre per il tipo-luce e il tipo-tempo, tali quadrintervalli possono essere in relazione causa-effetto tra loro, lo stesso non si può dire dell'intervallo tipo-spazio.
Si possono compiere alcune considerazioni sulla natura di questi intervalli.
Se assumiamo di avere ad esempio un quadrintervallo di tipo-spazio, non è possibile avere un osservatore che misura due eventi nella medesima posizione.
Supponendo infatti che due eventi accadano nella medesima posizione, il quadrintervallo si ridurrebbe a



che è una quantità sempre positiva, in contraddizione con la definizione di quadrintervallo tipo-spazio come s² < 0.
Ecco dunque perché in tale tipologia di intervallo non è possibile avere una relazione causale tra i 2 eventi.
Se supponiamo invece di avere a che fare con un quadrintervallo di tipo-tempo, si riscontra che non può esistere un osservatore che misuri 2 eventi simultanei.
Assumendo infatti che i 2 eventi accadano nel medesimo istante




allora il quadrintervallo diventerebbe

una quantità chiaramente negativa, in contraddizione con la definizione di quadrintervallo tipo-tempo.
Un intervallo tipo-luce rappresenta invece 2 eventi collegati da un segnale luminoso.
In tal caso l'espressione del quadrintervallo è la medesima di un fronte d'onda sferico di luce collegante i 2 punti.
A questo punto possiamo dire che il concetto di quadrintervallo va a definire uno spazio metrico non euclideo.
Per capire meglio, consideriamo uno spazio euclideo 4D avente coordinate (x₁, x₂,x₃,x₄).
La sua metrica sarà definita dalla forma quadratica (distanza)




non negativa.
Il quadrintervallo, come abbiamo già detto, può assumere invece qualsiasi valore reale.
Si introducono in particolare le coordinate:


 









che rappresentano le componenti del cosiddetto quadrivettore posizione della particella nello spaziotempo, quadrivettore che denotiamo come segue:





Esso presenta modulo pari a:




Possiamo a questo punto definire lo spaziotempo di Minkowski (spesso denotato con M) come un modello di spaziotempo in cui l'intervallo tra 2 eventi nello spaziotempo è fornito dal quadrintervallo.
In particolare, nello spaziotempo di Minkowski i punti-evento simultanei (cioè quelli allo stesso tempo t) generano uno strato tridimensionale, mentre i punti-evento aventi medesima posizione spaziale danno luogo a una fibra unidimensionale.
Se vogliamo essere più rigorosi, lo spazio-tempo di Minkowski si configura come uno spazio pseudo-euclideo 1+3, avente la metrica della parte spaziale euclidea.
Infatti la distanza tra 2 eventi simultanei resta:




Detto in altre parole, lo spaziotempo di Minkowski è quello spaziotempo in cui la metrica della sua parte spaziale è euclidea, mentre lo spaziotempo nel suo complesso appare pseudo-euclideo.
Affermare che la metrica spaziale risulta euclidea equivale a dire che i raggi di luce viaggiano lungo linee rette.
Ma come lo visualizziamo questo particolare spaziotempo?
Per osservarlo graficamente, consideriamo il semplice caso di uno spaziotempo di Minkowski 1+1, ovvero avente una coordinata spaziale x ed una coordinata temporale ct.
Una rappresentazione completa della propagazione della luce nei 2 versi di percorrenza dell'asse x va a fornire il cosiddetto cono di luce dell'osservatore considerato.
La seguente immagine ben illustra tale modello:

Specifichiamo qualche dettaglio.
Vediamo innanzitutto che O rappresenta l'origine del cono di luce (che è un doppio cono).
Osserviamo poi che i vettori di tipo tempo che escono da O possono essere di 2 tipi:

1) temporali futuri, con componente t positiva;
2) temporali passati, con componente t negativa.

Il moto di un oggetto puntiforme viene descritto come una curva, chiamata linea di universo, con coordinata temporale sempre crescente.
Sappiamo bene che la teoria della relatività impone il limite della velocità della luce c come velocità massima; ciò implica, in termini geometrici, che la tangente alla linea di universo in ogni punto è sempre un vettore tempo futuro (o, nel caso limite, nullo futuro, se il corpo viaggia alla velocità c).
Una bella rappresentazione tridimensionale del suddetto modello la fornisce Wikipedia:

Chiaramente il modello di spaziotempo di Minkowski è risultato perfettamente adeguato alla teoria della relatività ristretta.
Esso non è tuttavia utilizzabile se si amplia il discorso all'Universo nel suo complesso e dunque alla teoria della relatività generale.
Sappiamo bene che con quest'ultima Einstein ha espresso il concetto di gravità come curvatura dello spazio-tempo e uno spazio curvo non può essere descritto da modelli euclidei/pseudo-euclidei; servono le geometrie non euclidee.
In particolare, in tale contesto, lo spaziotempo di Minkowski assume il ruolo di "versione puntuale" o "piatta", a cui si ci può riferire per approssimare lo spaziotempo curvo nell'intorno di un evento.
Oltretutto, come asserito prima, in una metrica spaziale euclidea i raggi di luce viaggiano lungo linee rette, ma la relatività generale prevede che anche la luce venga curvata!
La prima evidenza sperimentale della teoria generale della relatività venne mostrata dall'astronomo inglese Sir Arthur Eddington (1882-1944) durante l'eclissi solare totale del 29 maggio 1919.
Eddington verificò che i raggi di luce si curvano appunto in presenza di grandi masse come quella del Sole.
Naturalmente è possibile esprimere la metrica di Minkowski con i più sofisticati strumenti del calcolo tensoriale, ma ciò esula dagli obiettivi divulgativi del post in questione.
Chi desideri approfondire i dettagli tecnici può consultare per esempio i testi Relatività di Vincenzo Barone e Manuale di Relatività Ristretta di Maurizio Gasperini, senza contare l'innumerevole letteratura in inglese concernente tali argomenti.
In tutto questo parlare dello spazio-tempo di Minkowski non abbiamo chiarito un punto: chi era Minkowski?
Hermann Minkowski nacque il 22 giugno 1864 ad Aleksotas, nell'Impero Russo (adesso città della Lituania).
Era figlio di Lewin Boruch Minkowski, un uomo d'affari, e di Rachel Taubmann, entrambi di origine ebraica.
Uno dei fratelli di Hermann, Oskar (1858-1931), fu un medico che fornì importanti contributi allo studio del diabete e fu peraltro padre dell'astrofisico Rudolph Minkowski (1895-1976).
Per fuggire dalle persecuzioni anti-ebraiche attive nella Russia di quel periodo, la famiglia Minkowski si trasferì a Königsberg, in Germania, nel 1872.
Hermann mostrò il suo precoce talento matematico sin da quando studiava al Ginnasio di  Königsberg.
Già in quel periodo, infatti, era in grado di leggere le opere di Dedekind, Dirichlet e Gauss.
Minkowski proseguì gli studi all'Università di Königsberg a partire dall'aprile del 1880, con alcuni semestri trascorsi all'Università di Berlino.
A Königsberg conobbe nientemeno che David Hilbert, anch'egli semplice matricola in quel periodo, ed anche Adolf Hurwitz, con i quali strinse una profonda amicizia.
Ancora studente, nel 1883 Minkowski ricevette il Premio della Matematica dell'Académie des Sciences francese per la sua teoria delle forme quadratiche.
Nel 1885 si laureò con una tesi riguardante sempre le forme quadratiche.
Nel 1887 accettò il ruolo di professore all'Università di Bonn, ove insegnò sino al 1894.
Dal 1894 al 1896 impartì lezioni all'Università di Königsberg, dopodiché si spostò a Zurigo.
Tra i suoi studenti al Politecnico di Zurigo ci fu un certo Albert Einstein.
Nel 1897 Minkowski sposò Auguste Adler a Strasburgo e la coppia ebbe 2 figlie: Lily nel 1898 e Ruth nel 1902.
L'anno in cui nacque Ruth fu anche quello del trasferimento della famiglia a Gottinga, ove Minkowski rimase sino alla sua morte avvenuta, per una rottura dell'appendice, il 12 gennaio 1909.
Proprio a Gottinga, il matematico aprì i suoi interessi alla fisica matematica, partecipando anche ad un seminario nel 1905 sulla teoria dell'elettrone e informandosi sugli ultimi sviluppi nell'ambito dell'elettrodinamica.
Entro il 1907 Minkowski comprese che i lavori compiuti da Lorentz e da Einstein potevano essere compresi in modo migliore in uno spazio non euclideo, lo spazio-tempo di Minkowski appunto!
Morris Kline si pronunciò nel seguente modo nei confronti del lavoro di Minkowski:

"A key point of the paper is the difference in approach to physical problems taken by mathematical physicists as opposed to theoretical physicists. In a paper published in 1908 Minkowski reformulated Einstein's 1905 paper by introducing the four-dimensional (space-time) non-Euclidean geometry, a step which Einstein did not think much of at the time. But more important is the attitude or philosophy that Minkowski, Hilbert - with whom Minkowski worked for a few years - Felix Klein and Hermann Weyl pursued, namely, that purely mathematical considerations, including harmony and elegance of ideas, should dominate in embracing new physical facts. Mathematics so to speak was to be master and physical theory could be made to bow to the master. Put otherwise, theoretical physics was a subdomain of mathematical physics, which in turn was a subdiscipline of pure mathematics. In this view Minkowski followed Poincaré whose philosophy was that mathematical physics, as opposed to theoretical physics, can furnish new physical principles. This philosophy would seem to be a carry-over (modified of course) from the Eighteenth Century view that the world is designed mathematically and hence that the world must obey principles and laws which mathematicians uncover, such as the principle of least action of Maupertuis, Lagrange and Hamilton. Einstein was a theoretical physicist and for him mathematics must be suited to the physics."

Mia libera traduzione:

["Un punto fondamentale dell'articolo risiede nella differenza nell'approccio ai problemi fisici da parte dei fisici matematici in contrapposizione all'approccio dei fisici teorici. In un articolo pubblicato nel 1908, Minkowski riformulò il lavoro di Einstein del 1905 introducendo una geometria non euclidea 4-dimensionale (lo spazio-tempo), qualcosa su cui Einstein non pose molta attenzione in quel periodo. Tuttavia maggiormente importante è l'attitudine o la filosofia che Minkoswki, Hilbert, con cui Minkowski lavorò per alcuni anni, Felix Klein e Hermann Weyl perseguirono, ossia che le considerazioni puramente matematiche, inclusa l'armonia e l'eleganza delle idee, dovrebbero dominare nell'abbracciare nuovi fatti/scoperte fisiche. La matematica dovrebbe rappresentare, in questo senso, il padrone e la teoria fisica dovrebbe inchinarsi nei confronti del padrone. In altri termini, la fisica teorica era un sottodominio della fisica matematica, la quale a sua volta era una sottodisciplina della matematica pura. Nella suddetta visione Minkowski seguì le orme di Poincaré, il quale riteneva che la fisica matematica, al contrario della fisica teorica, poteva fornire nuovi principi fisici. Tale modello filosofico sembrerebbe derivato (con le dovute modifiche) dalla visione risalente al XVIII secolo del mondo progettato matematicamente. Dunque, secondo tale visione il mondo deve obbedire ai principi e alle leggi che i matematici svelano, come per esempio il principio di minima azione di Maupertuis, Lagrange ed Hamilton. Einstein era un fisico teorico e nella propria concezione la matematica doveva semplicemente adattarsi alla fisica."]

Abbiamo già detto che Minkowski e Hilbert furono ottimi amici.
Una curiosità sta nel fatto che fu proprio Minkowski a suggerire al geniale amico quale tematica portare nella sua famosa conferenza di Parigi dell'8 agosto 1900: la lista dei 23 problemi fondamentali irrisolti della matematica.
In una lettera di Minkowski ad Hilbert datata 5 gennaio 1900 si legge infatti: 

"What would have the greatest impact would be an attempt to give a preview of the future, i.e. a sketch of the problems with which future mathematicians should occupy themselves. In this way you could perhaps make sure that people would talk about your lecture for decades in the future."

Mia libera traduzione:

["Ciò che avrebbe il maggiore impatto sarebbe un tentativo di fornire un'anteprima del futuro, ossia uno schema dei problemi con i quali i futuri matematici dovrebbero confrontarsi. In questo modo potresti, probabilmente, assicurarti che le persone parleranno del tuo intervento per decenni nel futuro."]

Vorrei concludere il post con un interessantissimo passo tratto dal testo Einstein, la sua vita, il suo universo di Walter Isaacson, in cui viene delineato il singolare rapporto instauratosi tra Einstein e il maestro Minkowski:

"C'è un'unione di spazio e tempo, che possiamo chiamare spaziotempo, la cui misura rimane invariante in tutti i riferimenti inerziali. Del pari, ci sono cose come la velocità della luce che rimangono invarianti. In effetti, Einstein considerò per qualche tempo la possibilitò di chiamare la sua creazione «teoria dell'invarianza», ma il nome non prese mai piede. Max Planck usò il termine Relativtheorie nel 1906, e nel 1907 Einstein, in una lettera all'amico Paul Ehrenfest, la chiamava ormai Relativitätstheorie...Ma c'è una relazione [tra le misure di spazio e di tempo] che rimane invariante, qualunque sia il nostro sistema di riferimento. Un metodo più complesso per renderci conto di ciò è quello introdotto da Hermann Minkowski, l'ex insegnante di matematica di Einstein al Politecnico di Zurigo. Nel riflettere sull'opera di Einstein, a Minkowski sfuggì l'espressione di meraviglia mista a indulgenza che ogni studente poco apprezzato vorrebbe sentire dal suo professore.
«Fu un'enorme sorpresa, perché quand'era studente Einstein era un fannullone» disse Minkowski al fisico Max Born. «Non si preoccupava mai minimamente della matematica.». Minkowski decise di conferire una struttura matematica formale alla teoria. La sua impostazione era la stessa suggerita dal viaggiatore nel tempo nella prima pagina del grande romanzo di Herbert George Wells La macchina del tempo, pubblicato nel 1895: «Vi sono in realtà quattro dimensioni: tre sono quelle che chiamiamo i tre piani dello spazio; la quarta è il tempo». Il professore convertì tutti gli eventi in coordinate matematiche in quattro dimensioni, con il tempo come quarta dimensione. Ciò permetteva che si verificassero trasformazioni, ma le relazioni matematiche tra gli eventi rimanevano invarianti. Minkowski presentò con una certa solennità la sua nuova impostazione matematica in una conferenza del 1908: «Le concezioni dello spazio e del tempo che intendo presentarvi hanno le loro radici nella fisica sperimentale, e qui sta la loro forza» disse. «Sono concezioni drastiche: d'ora innanzi lo spazio in sé e il tempo in sé sono condannati a dissolversi in nulla più che ombre, e solo una specie di congiunzione dei due conserverà una realtà indipendente.». Einstein, che non era ancora innamorato della matematica, liquidò il lavoro di Minkowski come «erudizione superflua» e celiò: «Da quando i matematici si sono impadroniti della teoria della relatività, io stesso non ci capisco più nulla». Ma in realtà finì per ammirare l'opera di Minkowski e le dedicò un paragrafo del suo libro divulgativo del 1916 sulla relatività. Che splendida collaborazione avrebbe potuto essere la loro! Ma alla fine del 1908 Minkowski fu ricoverato in ospedale, colpito da una peritonite che gli fu fatale. La leggenda vuole che sospirasse: «Che peccato che io debba morire proprio nel periodo che vedrà gli sviluppi della relatività»."
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Fonte essenziale per la biografia di Minkowski: https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Minkowski.html