INTRODUZIONE ALL'INTEGRAZIONE COMPLESSA

Continuiamo il nostro viaggio nel mondo dell'analisi complessa, iniziato qui.
L'estensione del concetto di integrale ad un integrale nel piano complesso è praticamente immediata se si pensa alla classica definizione di integrale alla Riemann, ossia definito come un opportuno limite di una sommatoria.

Sia data una generica funzione (anche non olomorfa) continua f della variabile complessa z e sia data, nel piano z, una curva γ di equazione

con t parametro reale.
Consideriamo la porzione di curva compresa tra 2 punti A e B (eventualmente A ≡ B se la curva è chiusa) e dividiamo l'arco AB in un numero arbitrario n di parti, grazie a n - 1 punti di divisione




ponendo inoltre

All'interno di ciascun segmento di curva (di estremi z_{k - 1} e z_k) fissiamo poi un nuovo punto (che denotiamo con ζ_k) e definiamo la somma

ove f_k = f(ζ_k).
Se esiste il limite I di I_n, per n → ∞, in modo tale che per ogni k valga




e se tale limite è indipendente dal modo in cui sono stati scelti i punti z_k e ζ_k, allora diremo che esso è l'integrale di contorno di f(z), fra A e B, lungo la curva γ e scriveremo:





Riprendiamo ora la nostra formula






e separiamo z ed f nelle loro parti reali ed immaginarie:

Abbiamo così:










Il limite |z_k - z_{k - 1}| → 0 che porta alla definizione di I implica, per ogni k:
 



Ergo, I si può esprimere tramite ordinari integrali di linea (sempre sottintesa la curva γ) nel campo reale, come

Abbiamo così, per definizione, che:

 



In tal maniera l'integrazione nel campo complesso viene formalmente ricondotta ad integrazioni nel campo reale.

PRIMI ELEMENTI DI ANALISI COMPLESSA: LE CONDIZIONI DI OLOMORFISMO DI CAUCHY-RIEMANN

In questo blog abbiamo già avuto modo di parlare di numeri complessi (in particolare qui) e abbiamo anche incontrato svariate volte gli strumenti fondamentali dell'analisi matematica nel campo dei numeri reali.
Ora è giunto il momento di fare un piccolo balzo in avanti, andando a scoprire gli strumenti basilari dell'analisi complessa.
Tralasceremo nella narrazione di questo articolo (e di quelli che seguiranno sull'argomento) molte dimostrazioni e tecnicismi esagerati; lo scopo primario qui è infatti di rendere accessibili e digeribili ad un lettore, con un minimo bagaglio di conoscenze dell'analisi matematica reale, le interessanti nozioni fondamentali dell'analisi complessa.
Diciamo innanzitutto che la parte dell'analisi matematica che si occupa dello studio delle funzioni di variabili complesse è generalmente chiamata teoria delle funzioni analitiche.
Premesso che una funzione è analitica nelle regioni dove essa è perfettamente definita (continua con tutte le sue derivate), la teoria delle funzioni analitiche è rivolta, in verità, specialmente allo studio dei punti (o delle regioni) di non analiticità delle funzioni stesse, essendo proprio tali punti, i cosiddetti punti singolari, quelli che determinano le caratteristiche fondamentali delle funzioni considerate.
Le uniche "funzioni" ovunque analitiche sono infatti banalmente costanti.
Una variabile complessa



vien detta funzione della variabile complessa

se esiste una corrispondenza prefissata fra i valori di z e quelli di w; se cioè ad ogni valore di z (fissato in modo qualsiasi in un certo insieme) corrispondono uno o più valori di w.
Nel primo caso la funzione sarà detta monodroma (o a un solo valore), nel secondo polidroma.
Ciò equivale a dire, in pratica, che le 2 funzioni u e v sono funzioni reali delle 2 variabili x e y.
Lo studio delle funzioni di una variabile complessa sembra quindi, a prima vista, potersi ricondurre a quello delle funzioni reali di 2 variabili reali.
In verità, le funzioni analitiche soddisfano a particolari condizioni restrittive che fan sì che queste godano di proprietà peculiari e possano essere studiate direttamente come funzioni di una variabile (complessa).
I concetti basilari della teoria delle funzioni di una variabile reale, come limite e continuità, risultano facilmente estendibili ad una generica funzione di variabile complessa

In tal modo, supposto che f(z) sia definita sui punti di un insieme E e che z₀ ∈ E sia un punto di accumulazione (limite) di E, diremo che f(z) tende ad un limite l per z → z₀ se, fissato un numero positivo ε arbitrario (piccolo quanto si vuole), è possibile trovare un numero positivo δ tale che:




con




Se una funzione f(z) è definita su un insieme continuo C di valori di z, essa risulta continua nel punto z₀ ∈ C se esiste ed è finito il limite di f(z) per z → z₀ e questo limite coincide con f(z₀).
Una sostanziale difficoltà si incontra invece quando si cerca di estendere alle funzioni di variabile complessa (in generale) il concetto di derivata.
La derivata di una funzione di variabile complessa non è infatti definita sempre in modo univoco.
Tuttavia le funzioni di maggiore rilevanza, ossia le funzioni analitiche, sono proprio quelle per cui la derivata è definita in maniera univoca.
Diciamo ora che f(z) è derivabile in senso complesso (o anche che f è olomorfa) in z₀ ∈ D, con D insieme di definizione di f(z), se esiste, finito, il limite del rapporto incrementale quando z → z₀.
Tale limite si indicherà con f'(z₀) e verrà detto derivata di f in z₀.
In simboli:

La definizione è apparentemente "innocua", ma, come anticipato, è molto più restrittiva di quanto possa sembrare a prima vista.
Essa richiede infatti che il limite del rapporto incrementale esista e sia lo stesso quale che sia il modo (la velocità, come grandezza vettoriale) con cui z tende a z₀.
Tutto ciò impone condizioni severe sulle derivate parziali delle funzioni u(x, y) e v(x, y).

20 GRANDI BRANI PER DIMENTICARE SANREMO!

É passata una settimana dalla chiusura del Festival di Sanremo 2018.
Questo post non vuole essere una critica al Festival in sé, ma più in generale alla musica contemporanea, specialmente quella italiana.
Una musica ormai dominata in gran parte da mere banalità, da cantanti senza un minimo di talento sia dal punto di vista puramente tecnico che nella capacità di scrittura/composizione.

Vengono osannate robe come "la scimmia nuda balla", "la vecchia che balla", "Gesù Cristo sono io!", "Andiamo a comandare", che forse rappresentano l'apice della bruttezza e della banalità che si possa raggiungere in quella che invece dovrebbe essere un'arte fatta di armonia, capace di suscitare grandi emozioni, quale è la Musica (la M maiuscola non è a caso).
Siamo in un'epoca dove una voce comunissima (e magari anche molto stonata!) viene designata a ruolo di pop star giusto perché l'aspetto fisico manda in follia un'orda di ragazzine in preda agli ormoni!
Siamo in un'epoca in cui il rap è sempre ai vertici delle classifiche discografiche, pur essendo un genere che per il buon 90% della sua rappresentazione non può essere considerato Musica.
Ora, sia chiaro, questa premessa non vuole denigrare tutta la musica che viene composta attualmente, perché qualcosa di buono viene naturalmente fatto, ma gran parte di ciò si deve ad artisti sconosciuti alla massa.
Proviamo dunque a stilare qui 20 canzoni (passate ma anche recenti) che provino a far comprendere cosa è una struttura musicale adeguata, supportata da un vero talento vocale e magari anche da un testo profondo.
Non inserirò brani di musica classica pura, perché il confronto con la musica attuale sarebbe a dir poco impietoso; giocheremo sul medesimo campo di un Festival di Sanremo, ovvero quello della musica moderna.

VON NEUMANN E BACH: ARCHITETTURA DEL COMPUTER ED ARTE DELLA FUGA

L'ungherese (poi naturalizzato statunitense) John von Neumann (1903-1957) è stato uno dei matematici più proficui del XX secolo, fornendo decisivi contributi in svariati campi della matematica, ma anche in fisica, in economia e in informatica.
Si dice infatti di lui che fu probabilmente l'ultimo dei matematici ad avere una visione completa di tutta la matematica.
Per farsi un'idea delle capacità mostruose della mente di von Neumann, basta leggere l'aneddoto di cui ho parlato qui.
Ma che c'entra von Neumann con Johann Sebastian Bach (1685-1750), il grandissimo compositore tedesco, noto anche ai non patiti di musica classica grazie alla celebre Aria sulla quarta corda, divenuta sigla del programma Superquark?



Il nonno di von Neumann era un grande appassionato di musica e ai tempi era una delle poche persone a possedere un grammofono.
Nelle famiglie borghesi dell'epoca si era soliti formare, nei limiti delle possibilità, piccole orchestre da camera familiari.
Il piccolo János (nome di von Neumann all'anagrafe) imparò a suonare il violino e, anche se alla fine abbandonò l'intento di una carriera da musicista per sviluppare le sue notevoli doti da matematico, non perse mai la sua passione per la musica.
Una delle opere musicali che suscitò maggiormente l'interesse di von Neumann fu appunto L'arte della fuga, un insieme di 14 fughe e 4 canoni che Bach compose al fine di esemplificare le tecniche del contrappunto.
Secondo la testimonianza del fratello Nicholas, L'arte della fuga di Bach fu la fonte di ispirazione che, anni dopo, fece pensare von Neumann alla possibilità che un computer non avesse un programma previo assegnato, spingendolo così verso la realizzazione dell'archittetura dei computer che porta il suo nome.
Ci proponiamo dunque di spiegare in modo semplice la storia e le basi dell'architettura di von Neumann e poi L'arte della fuga di Bach.
Nel luglio 1943 alla Moore School of Electrical Engineer dell'Università della Pennsylvania, situata a Philadelphia, si incominciò a costruire un computer che avrebbe segnato una vera e propria pietra miliare nella storia della computazione: l'ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer).
Si trattava di un progetto top secret, il cui nome in codice era PX.
L'ENIAC viene ritenuto da alcuni il primo vero computer della storia, anche se forse il primato andrebbe attribuito al Colossus, attivato verso la metà di febbraio del 1944 e progettato dal matematico Max Newmann, ispiratosi ai lavori del padre dell'informatica, Alan Turing, di cui abbiamo parlato approfonditamente qui.
L'ENIAC costò circa 8.000 dollari e venne finanziato dall'esercito.
Misurava 30 metri di lunghezza e pesava 32 tonnellate.
Funzionava grazie a 17.468 valvole a vuoto che dissipavano così tanto calore che la temperatura della stanza in cui la macchina lavorava spesso e volentieri si innalzava sino a 50 °C.
L'ENIAC era in grado di memorizzare soltanto 20 numeri, ma il suo difetto principale consisteva nel fatto che per cambiare un programma bisognava riconfigurare i suoi circuiti, operazione che poteva durare anche svariati giorni.
Un ulteriore grosso problema del suddetto computer era il fatto che il tempo in cui funzionava correttamente era assai inferiore al tempo in cui era guasto.
Nonostante tutte queste problematiche non di poco conto, l'ENIAC fu utilizzato per 10 anni, compiendo in quel lasso di tempo più calcoli matematici di quelli realizzati fino ad allora nella storia dell'umanità.
E von Neumann?
Il suo contatto con l'ENIAC fu del tutto casuale.
Il matematico statunitense Herman Heine Goldstine (1913-2004) si arruolò nell'esercito all'inizio della Seconda Guerra Mondiale.
Lavorò con il grado di tenente nel BRL, ovvero il laboratorio di ricerca balistica di Aberdeen, nel Maryland.
Da esperto nella preparazione di tavole da tiro si era reso conto dell'impellente necessità di rendere automatici i noiosi e lunghi calcoli attraverso un qualche tipo di calcolatore elettronico.
Non sorprende dunque che costui accettò di fare da intermediario tra la Moore School (a Philadelphia), incaricata della costruzione dell'ENIAC, e Aberdeen.
Nell'estate del 1944, Goldstine incontrò per caso von Neumann nell'atrio della stazione ferroviaria di Aberdeen.
Goldstine non lo conosceva di persona, tuttavia aveva partecipato a diverse sue conferenze e decise perciò di avvicinarlo.
Gli argomenti iniziali della conversazione furono di poca importanza, sino a quando Goldstine non si lasciò sfuggire che stava lavorando alla costruzione di un nuovo computer.
A questo punto l'atteggiamento di von Neumann mutò improvvisamente e, secondo quanto racconta lo stesso Goldstine, gli fece il terzo grado.
Dallo stile delle domande, Golstine capì che aveva di fronte un esperto in quel campo, così decise di invitare von Neumann al centro di ricerche di Moore per metterlo direttamente in contatto con gli ingegneri John Mauchly e Prosper Eckert, coloro che si stavano occupando della progettazione dell'ENIAC.
Di fronte al nuovo computer, von Neumann chiese a Eckert la struttura logica del sistema, una domanda chiave affinché gli ingegneri dell'ENIAC gli aprissero le porte a una collaborazione duratura.
Von Neumann ragionò sulla possibilità di progettare un insieme di istruzioni che fossero un riflesso fedele di tutti i passaggi che si facevano con carta e penna nella risoluzione di un problema e che, a sua volta, tale insieme di istruzioni potesse venir memorizzato nella memoria centrale.
Per consentire che questo insieme di dati potesse entrare in un computer, bisognava dotarlo di una nuova unità, differente da quella dedicata ai calcoli, di modo che da un lato si potessero far entrare indistintamente dati e programmi e dall'altro raccogliere i risultati.
Un'idea questa di von Neumann che anticipò il concetto a noi molto familiare di software.
Pertanto, nel 1945, nel Laboratorio Nazionale di Los Alamos si incominciò a lavorare al progetto di un nuovo computer che avesse dei programmi memorizzati.
L'architettura di von Neumann corrisponde nientemeno che al concetto di programma memorizzato.
Oggi esistono computer con programmi memorizzati, per esempio una calcolatrice tascabile con cui è possibile eseguire una serie di calcoli complessi, ma con cui non si può scrivere un testo.
In un pc, invece, se abbiamo bisogno di un determinato programma che ci consenta di scrivere testi, è sufficiente installarlo e lavorarci sopra.
Ma non è stato sempre così.
Abbiamo infatti già osservato come nei primi computer, ENIAC compreso, cambiare programma significava cambiare la struttura, e per farlo si doveva realizzare uno schizzo con carta e penna per poi cambiare il cablaggio della macchina.
Von Neumann eseguì numerose tipologie di rifacimento del cablaggio al fine di rendere più scorrevoli le operazioni dell'ENIAC, tuttavia era conscio che per quanto ottimizzasse il sistema, avrebbe avuto sempre dei seri limiti.
La geniale ideale di von Neumann fu che i dati del programma, i quali potevano essere espressi in bit come 0 e 1, fossero memorizzati nella memoria insieme agli altri dati.
Ciò permetteva di modificare gli indirizzi di memoria e pure gli stessi programmi durante la loro esecuzione.
Gran parte dei computer moderni si basa proprio sulla suddetta architettura.
5 sono i componenti fondamentali di questa architettura:

1) CPU (o unità di lavoro o processore centrale) a sua volta suddivisa in:

- unità operativa, che comprende l'unità aritmetico-logica (ALU);
- unità di controllo.

2) Memoria;
3) Unità di input:
4) Unità di output;
5) Bus di sistema (un canale che collega tutti i componenti tra loro).

Vediamo brevemente gli aspetti fondamentali di tali componenti, incominciando dalla memoria.

BOLTZMANN, LA DISTRIBUZIONE CANONICA E QUELLA DI MAXWELL-BOLTZMANN (2° ED ULTIMA PARTE)

Riprendiamo la trattazione come detto cercando di andare innanzitutto a fornire una definizione statistica della temperatura.
Consideriamo 2 grossi sistemi che scambiano energia l’uno con l’altro, ma non con qualcos’altro, ovvero 2 sistemi in contatto termico fra loro, ma termodinamicamente isolati dall’ambiente.
Indichiamo con E₁ l’energia del primo sistema e con E₂ quella del secondo sistema.
L’energia totale E = E₁ + E₂ si assume perciò costante, dato che i 2 sistemi non scambiano energia con nient’altro.
Dunque il valore di E₁ è sufficiente per determinare il macrostato del sistema congiunto.
Ciascuno dei sistemi può chiaramente presentare un numero (molto grande) di possibili microstati.









Assumiamo che il sistema n.1 può essere in qualsiasi degli Ω₁(E₁) microstati e il sistema n.2 può essere in qualsivoglia degli Ω₂(E₂) microstati.
Ergo, l’intero sistema può essere in uno degli Ω₁(E₁)Ω₂(E₂) microstati.
I sistemi sono in grado di scambiarsi energia reciprocamente e si assume che essi siano stati lasciati a contatto per un tempo sufficientemente lungo da consentire il raggiungimento dell’equilibrio termico.
Ciò implica che E₁ ed E₂ sono giunti a valori fissi.
L’intuizione cruciale che possiamo compiere è che un sistema tenderà ad assumere una configurazione macroscopica massimizzante il numero di microstati.
Questa idea si base sui seguenti presupposti:

1) ciascuno dei possibili microstati di un sistema è egualmente probabile nel verificarsi;
2) le dinamiche interne del sistema sono tali che i microstati del sistema cambiano ininterrottamente;
3) fornito sufficiente tempo, il sistema esplora tutti i possibili microstati e spende lo stesso tempo per ognuno di essi (ipotesi ergodica).

Tali assunzioni implicano che il sistema sarà molto probabilmente trovato in una configurazione rappresentata dal maggior numero di microstati.
Per un sistema ampio, la nostra indicazione “molto probabilmente” diviene “probabile in modo schiacciante”.
Quella che di primo acchito sembra una poco rilevante dichiarazione probabilistica (un po’ come le previsioni meteo di 5 giorni) diventa una predizione assolutamente affidabile a cui affidarsi.
Per il nostro problema dei 2 sistemi connessi la più probabile divisione dell’energia fra i 2 sistemi è quella che massimizza il prodotto Ω₁(E₁)Ω₂(E₂), perché questo corrisponderà al numero più elevato di microstati possibili.
Il nostro sistema è ampio, dunque ci son permessi gli strumenti dell’analisi matematica per studiarne le proprietà.
Possiamo perciò considerare il compiere cambiamenti infinitesimali all’energia di uno dei sistemi e osservare cosa ne consegue.
Dunque, possiamo massimizzare questa espressione relativamente a E₁ scrivendo





Sfruttando ora la famosa regola di Leibniz relativa al prodotto delle derivate


Si noti che nella seconda parte dell’uguaglianza si è anche moltiplicato e diviso per la quantità dE₂.
Siccome l’energia totale E = E₁ + E₂ è assunta costante, questo implica che


e perciò


Dunque possiamo riscrivere (avendo anche diviso tutta l’espressione per Ω₁Ω₂) l’equazione ricavata con la regola di Leibniz come


da cui (integrando):


La suddetta condizione definisce la suddivisione più probabile di energia tra i 2 sistemi, a patto che ad essi sia consentito lo scambio di energia, visto che massimizza il numero totale di microstati.
Questa ripartizione di energia è naturalmente spesso chiamata “essere alla medesima temperatura”; ergo identifichiamo d ln Ω/dE con la temperatura T (così che T₁ = T₂).
Definiamo perciò la temperatura T mediante la formula


ove k_B è la costante di Boltzmann, che vale 1,3807 × 10-23 JK^-1.
Scegliendo tale costante, T assume la sua tradizionale interpretazione e risulta misurata in kelvin.
Stiamo utilizzando la probabilità per descrivere i sistemi termodinamici e il nostro approccio consiste nell’immaginare di ripetere ancora ed ancora un esperimento per misurare una proprietà di un sistema, giacché non possiamo controllare le proprietà microscopiche (come descritte dai microstati del sistema).
Per dare una formulazione rigorosa a tutto ciò, Josiah Willard Gibbs introdusse nel 1878 il concetto di ensemble, cioè di insieme statistico.
Trattasi di un’idea teorica nella quale si considera di produrre un elevato numero di “fotocopie mentali” del sistema, ognuna delle quali rappresenta un possibile stato nel quale il sistema può essere.
In altre parole, un ensemble è un assemblaggio di tutti i possibili microstati del sistema (assieme alle sue repliche), compatibili con un dato stato macroscopico.
O ancora, equivalentemente, un ensemble è l'insieme di tutti i sistemi che si trovano nelle stesse condizioni macroscopiche del sistema dato.
Dunque, sotto circostanze ordinarie, possiamo aspettarci che il comportamento medio di un sistema qualsiasi in un ensemble sia identico al comportamento medio nel tempo del sistema considerato.
Su questi fondamenti si sviluppa la cosiddetta teoria degli ensembles.
Esistono 3 tipologie principali di ensemble di gran utilizzo in termodinamica statistica:

1) ensemble microcanonico: un insieme di sistemi in cui ognuno presenta il medesimo valore definito di energia e numero di particelle (sistemi isolati);
2) ensemble canonico: un ensemble di sistemi, ognuno dei quali può scambiare la sua energia con una grande sorgente di calore. Ciò fissa e definisce la temperatura del sistema;
3) ensemble gran canonico: un insieme di sistemi, ognuno dei quali può scambiare sia energia sia particelle con una grande sorgente di calore. Ciò rende fissa la temperatura del sistema e una quantità nota come potenziale chimico del sistema.

Consideriamo una coppia di sistemi che possono scambiare fra loro energia.
Questa volta supporremo uno dei 2 enorme e lo chiameremo serbatoio termico infinito (reservoir or heat bath in inglese).
Esso è così grande che anche sottraendo ad esso un mucchio di energia rimarrebbe sostanzialmente alla medesima temperatura.
In altri termini, il serbatoio termico infinito presenta una capacità termica infinita per cui qualsiasi sia il valore finito di calore scambiato (Q) non si ottiene praticamente alcuna variazione di temperatura (ΔT = 0).
La questione è assai simile a recarsi sulla spiaggia e levare un cucchiaino d’acqua al mare: il livello del mare non si abbasserebbe (in verità sì, ma di un fattore talmente minuscolo da essere irrilevante).
Il numero di modi di organizzare i quanti di energia del serbatoio sarebbe quindi colossale.
Al contrario, il secondo sistema viene considerato minuscolo e denotato semplicemente come “sistema”.
Assumeremo che per ogni energia permessa del sistema sussista solo un microstato e, pertanto, il sistema avrà sempre valore Ω pari a 1.
Poniamo fissa l’energia totale E del sistema + serbatoio.
A tal proposito, il sistema + serbatoio può essere considerato (nell’interezza) alla stregua di un ensemble microcanonico (che ha energia fissata), con ciascuno dei microstati dell’entità combinata egualmente probabile.
Si suppone che l’energia del serbatoio sia E - ϵ (anche se praticamente è equivalente ad E), mentre quella del sistema sia ϵ.
La situazione descritta di un sistema in contatto termico con un vasto serbatoio è di notevole importanza ed è nota come ensemble canonico.