DIRICHLET E IL PRINCIPIO DELLA PICCIONAIA

Il tema portante del prossimo Carnevale della Matematica, l’edizione n.150, che sarà ospitata da Paolo Alessandrini sul blog Mr. Palomar, è “animali”.
Abbiamo già avuto modo di vedere, qui su Scienza e Musica, alcuni collegamenti del mondo animale con la matematica, come per esempio i famosi conigli di Fibonacci (cliccate qui), e sul Tamburo Riparato avevo parlato di “cavallucci marini in geometria”, ovvero degli spidron (cliccate qui).
Oggi parleremo di piccioni e, in particolare, del cosiddetto principio della piccionaia.
Prima di scoprire cosa diavolo sia tal principio, vorrei introdurre l’importante personaggio matematico che, nel 1834, si occupò di questo singolare concetto: Dirichlet.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet nacque il 13 febbraio 1805 a Düren, in Germania, un luogo tranquillo sulle rive del fiume Ruhr, ove il padre dirigeva l’ufficio postale.

La sua famiglia paterna proveniva in particolare dal villaggio di Richelle, presso Liegi, in Belgio, da cui derivò il cognome "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelle" = "il ragazzo di Richelle”).
Quando la famiglia cominciò a crescere di numero divenne infatti necessario distinguere alcune generazioni di Dirichlet dalle altre.
Si incominciarono ad usare appellativi come il sopracitato per indicare i nuovi membri e distinguerli dal nonno, il vecchio Dirichlet.
Nonostante al momento della nascita di Peter Gustav esistesse ancora il vecchio Sacro Romano Impero Germanico, la città di Düren risultava occupata dal 1794 dalle truppe rivoluzionarie francesi, che l’avevano convertita in una delle principali città francesi della zona, sino alla loro espulsione definitiva nel 1814.
Dopo la vittoria degli alleati, durante il Congresso di Vienna (1814-1815), venne stabilito che Düren, come il resto del territorio di lingua tedesca ubicato sulla sponda sinistra del Reno, fosse ceduta al regno di Prussia.
In tal modo gli abitanti di questa città (e quindi anche la famiglia Dirichlet) e di altre importanti città vicine, come Bonn e Colonia, smisero di essere francesi e diventarono prussiani.
La famiglia di Johann Peter Gustav era colta e abbastanza benestante, aspetto che consentì al giovane di avere accesso, anche se con qualche sacrificio, ad una formazione di certo non alla portata di tutti in quell’epoca.
La scuola primaria prussiana si mostrò insufficiente per le necessità del bambino, che venne iscritto dai genitori ad una scuola privata ove potette ricevere una certa istruzione anche in latino, che risultava fondamentale come preparazione per la scuola secondaria, il Gymnasium.
Tuttavia il suo rapporto con la lingua latina, all’epoca la lingua fondamentale per le pubblicazioni scientifiche, non era (e non sarà mai) dei migliori e ciò rappresentò la sua più grande debolezza in ambito scientifico. Se il latino gli risultava noioso, lo stesso non si poteva dire della matematica, per la quale Dirichlet sviluppò ben presto una grandissima passione.
Nemmeno 12enne spendeva già le mance ricevute nell’acquisto di testi di matematica.
Questo comportamento risultava così poco diffuso tra i ragazzi della sua età da risultare strano e ritenuto quasi nocivo da qualcuno, al punto che alcune persone tentarono di spiegargli che si trattava di acquisti assurdi e al di fuori della sua portata, in quanto non avrebbe potuto mai comprendere quei libri e sarebbe stato meglio conservare il denaro per altre spese.
Il caparbio bambino rispose che avrebbe letto i libri sino a quando non sarebbe stato capace di comprenderli.
Di fronte ai buoni risultati che Dirichlet otteneva nei suoi studi e al potenziale mostrato dalle sue capacità, i genitori decisero, nel 1817, di iscriverlo al Beethoven Gymnasium di Bonn.
I Dirichlet si trasferirono per un breve periodo col figlio a Bonn, dove contattarono un conoscente di famiglia, il teologo e filosofo Peter Joseph Elvenich (1796-1886), allora un brillante studente di filosofia e lingue antiche, cattolico come loro, al quale affidarono la supervisione del loro figlio minore.
Una volta risolte le questioni di vitto e alloggio, i genitori fecero ritorno alla loro casa, lasciando che il figlio si incamminasse per la sua strada da solo.
È vero, Bonn si trova a poche decine di chilometri da Düren, ma dovete tuttavia pensare al fatto che a quei tempi non vi erano treni che collegassero le 2 città e dunque l’impatto psicologico della separazione dai genitori per un bambino di 12 anni fu enorme in un contesto simile.
Nonostante tutto, il soggiorno a Bonn fu davvero piacevole e proficuo. In tale ambiente il ragazzo poté sviluppare, oltre alla propria cultura, una personalità gentile ed educata, che gli consentì di legare facilmente con le altre persone e guadagnarsi rapidamente il loro favore.
Nel 1820 Dirichlet entrò nel Gymnasium gesuita della vicina città di Colonia, dove coltivò i suoi interessi per la matematica e per la storia, con particolare riferimento al periodo della Rivoluzione Francese.
A Colonia ebbe inoltre la fortuna di incontrare Georg Simon Ohm (1789-1854), all’epoca professore al Gymnasium, ma che sarebbe diventato celebre per le leggi che portano il suo nome inerenti alla corrente elettrica.

Grazie alla spinta intellettuale di Ohm e al suo talento, Dirichlet, nonostante la sua giovane età, arrivò a conseguire un bagaglio di conoscenze matematiche incredibilmente ampio.

Rimase un solo anno nel Gymnasium di Colonia, dopo il quale ottenne il suo diploma e smise di frequentare le lezioni.
Di ritorno a casa a Düren, i genitori cercarono di convincerlo affinché i suoi studi si indirizzassero verso il diritto, studi che gli avrebbero garantito una professione redditizia e una elevata posizione sociale, a differenza della matematica, che lo avrebbe condotto con maggiore probabilità ad attraversare difficoltà economiche e a non avere un lavoro stabile.
Dirichlet comprendeva bene il punto di vista dei suoi genitori, ma non riusciva a separarsi dalla matematica.
Acconsentì dunque di incominciare gli studi di diritto, ma lasciò intendere loro che l’avvocatura sarebbe stata solo un mezzo per guadagnarsi il suo sostentamento e che avrebbe in ogni caso continuato anche i suoi studi di natura matematica.
Va messo in evidenza che studiare matematica in Germania in quel periodo non era affatto semplice.
L’unico matematico tedesco di fama mondiale era il mitico Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ma nel 1807 costui aveva accettato il posto di professore di astronomia nell’Osservatorio di Gottinga, ove rimase tutta la sua vita, dedicandosi fondamentalmente a studi di astronomia, geodesia e matematica applicata.
Per di più a Gauss non piaceva insegnare; in questa fase della sua vita riteneva che il livello dei suoi alunni fosse eccessivamente basso, pensiero critico che non faceva nulla per nascondere.
In Francia l’ambiente matematico risultava di livello assai superiore: all’Università di Parigi tenevano corsi alcuni tra i migliori matematici di sempre: Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy, solo per citarne qualcuno.
Non a caso Parigi era considerata la capitale mondiale della matematica in quel periodo.
Alla fine i genitori di Dirichlet si convinsero a supportare pienamente la passione per la matematica del figlio, ma la Prussia non poteva appunto offrire le condizioni ottimali che servivano al giovane.
Presero pertanto la decisione di mandarlo a Parigi; nel maggio 1822 il matematico si trasferì nella Ville Lumière e portò avanti i suoi studi nel Collège de France e nella Facoltà delle Scienze, ove ebbe la possibilità di assistere alle conferenze di personalità del calibro di Sylvestre-François Lacroix, Jean-Baptiste Biot, Jean Nicolas Pierre Hachette e Louis-Benjamin Francoeur.

Non si conoscono troppi dettagli sul soggiorno di Dirichlet a Parigi, ma è ben noto che oltre ad assistere alle lezioni e a prepararsi sulle materie ordinarie, si focalizzò in uno studio sistematico della famosa opera Disquisitiones arithmeticae (pubblicata nel 1801) di Gauss, grazie alla copia che sua madre gli aveva fatto recapitare a Parigi nel novembre del 1822.

Questo testo rappresentava per Dirichlet quasi un’ossessione, tanto che si dice lo tenesse permanentemente sulla sua scrivania.

Addirittura, secondo il geologo tedesco Wolfgang Sartorius von Waltershausen (1809-1876), Dirichlet portava con sé la sua copia delle Disquisitiones arithmeticae in tutti i suoi viaggi, così come i sacerdoti portavano con loro il libro di preghiere!
Ironia (o forse no!) della sorte è che lui stesso sarebbe diventato il vero successore di Gauss, anche se inizialmente non si poteva immaginare un successo di tal portata.
Infaticabile, Dirichlet lesse e rilesse il libro svariate volte durante la sua vita, sino a quando non riuscì ad assimilarlo totalmente, apprezzandone ogni minima sfumatura, un po’ come una persona “normale” è sovente fare con il proprio libro/film/serie preferita, con la differenza che qui si tratta di un’opera matematica di altissimo livello.
Mettiamola così, Dirichlet arrivò a conoscere quest’opera di Gauss meglio di casa sua!
Scherzi a parte, finalmente nell’estate del 1823 gli venne offerta un’opportunità di lavoro che gli avrebbe permesso di smettere di dipendere dall’appoggio economico dei genitori.
Infatti il noto generale francese Maximilien Sébastien Foy (1775-1825), eroe delle Guerre Napoleoniche, stava cercando un professore in grado di impartire lezioni di lingua e letteratura tedesca ai suoi figli.
Dirichlet fu raccomandato alla famiglia Foy da un amico comune, conoscente dei suoi genitori e vecchio compagno d’armi del generale.
Il nuovo incarico implicava un carico di lavoro piuttosto modesto, che gli liberò del tempo utile da dedicare agli studi.
Dirichlet si sentì presto a suo agio nell’ambiente accademico parigino e cominciò a collaborare con alcuni dei suoi professori.
La sua prima vera opera di natura accademica fu una traduzione in francese di un articolo inerente all’idrodinamica scritto da Johann Albert Eytelwein (1764-1849), un ingegnere specializzato in idraulica, oltre che professore universitario a Berlino.
Anche se si trattava di un’impresa meno rilevante rispetto a pubblicare un proprio lavoro originale, Dirichlet si sentì molto orgoglioso di tale traduzione e questa rappresentò il primo piccolo ma importante passo che lo trasformerà man mano in un gigante della matematica.

PERCHÉ ESSERE FIERI DELLA MATEMATICA?

Il tema del prossimo Carnevale della Matematica, che si svolgerà sul sito MaddMaths! con la solita attenta supervisione di Roberto Natalini, è “l’orgoglio matematico” o, se volete, in inglese, “Mathematics pride”.

 

 

 

 

 

 

 

 

Viene richiesto in sostanza perché essere fieri di occuparsi di matematica, di averla studiata, letta o addirittura sognata ed immaginata.
Vi racconterò in breve perché io mi ritengo fiero della matematica.
Sin da bambino ho sempre adorato il mondo dei numeri; mi divertivo a fare operazioni più complesse di quelle che generalmente vengono studiate a scuola.
Alle scuole medie tendevo ad andare avanti sugli esercizi di matematica, facendone molti più di quelli assegnati in classe, dato che quelli troppo semplici mi annoiavano.
Una parte della passione la devo anche al mio prozio, che era un insegnante di matematica bravissimo e con la battuta sempre pronta.
Quelle volte in cui ci veniva a trovare a casa ne approfittavo per ricevere lezioni da lui e spingermi avanti con la conoscenza matematica.
Mi introdusse le equazioni (di primo grado) ben prima che le affrontassi ufficialmente nell’ultimo anno di scuola media e rimasi affascinato da questo argomento.
Ormai la matematica non era più soltanto numeri e semplice geometria, ma si presentava come un linguaggio vero e proprio.
Al liceo scientifico tutto ciò si è reso ancora più evidente. La passione crebbe così tanto che arrivai a studiarmi i rudimenti di argomenti avanzati come la trigonometria, i limiti, le derivate e gli integrali ben prima del regolare tempo scolastico. Iniziai a capire che la matematica, oltre a possedere una bellezza intrinseca, è anche quel linguaggio che ci permette di descrivere ciò che ci circonda.
Nutrivo già una forte passione per i fenomeni naturali terrestri e l’astronomia, ma capì presto che la matematica e la fisica (il cui linguaggio è la matematica stessa) consentivano di indagare sui fenomeni più affascinanti dell’Universo, tra cui ciò che accade nel mondo degli atomi e delle particelle sino a oggetti misteriosi come i buchi neri.
Una delle peculiarità più incredibili della matematica è dunque quella di essere allo stesso tempo un linguaggio di pura astrazione, in cui possiamo fare persino riferimento, per esempio, ad un numero imprecisato n di dimensioni (mentre fisicamente quelle che concretamente avvertiamo sono 3 spaziali ed una temporale), ed un linguaggio concreto, mediante il quale la scienza evolve.
Questa dualità tra astratto e concreto si manifesta anche in quelle che forse sono l’emblema della matematica avanzata stessa: le dimostrazioni.
Le dimostrazioni sono spesso un processo di pura astrazione coadiuvate dal ragionamento deduttivo.
Pensate per esempio che per dimostrare il famoso ultimo teorema di Fermat, su cui per secoli brillanti menti matematiche hanno dibattuto senza arrivare ad un risultato definitivo, il britannico Andrew Wiles dovette far riferimento a robe complicatissime come geometria algebrica, teoria di Galois, teoria delle curve ellittiche e delle forme modulari.
Insomma costui sfruttò tutte queste nozioni per molti astruse al fine di dimostrare (nel 1994) un’affermazione apparentemente elementare come

 

se n > 2.
D’altro canto la solidità di una dimostrazione sta nel fatto che quando un enunciato matematico viene dimostrato la validità di questo rimane per sempre!
Questo è in un certo senso l’aspetto concreto delle dimostrazioni: ci consentono di apprezzare a pieno il lavoro svolto dai matematici anche centinaia e migliaia di anni fa.
Basti pensare che gran parte della comune geometria che viene studiata nella scuola dell’obbligo altro non è che la geometria illustrata e dimostrata da Euclide nella sua monumentale opera Elementi del 300 a.C. circa.
In altre parole, la geometria euclidea è ancora oggi, nel 2021, validissima. È chiaro che nel corso del tempo abbiamo assistito ad una sua evoluzione, come la geometria analitica cartesiana, e ad una sua estensione, nel senso che si è provato che possano esistere delle geometrie non euclidee, ma ciò non toglie che l’opera di Euclide sia ancora un caposaldo nel contesto appropriato.
Per chi fosse interessato, nel post “Di Elementi e ponti degli asini” (cliccate qui per leggerlo) abbiamo analizzato un po’ tale aspetto, fornendo anche la dimostrazione della proposizione n.5 del libro I degli Elementi.  
Molto spesso è facile sentire che esista nelle persone una certa avversione nei confronti della matematica, considerata arida, difficile, persino inutile e non è raro trovare qualcuno che si fa addirittura vanto di non sapere nulla di matematica!
Talvolta si dice pure che ogni formula matematica presente in un libro di divulgazione scientifica ne riduca drasticamente il numero di potenziali lettori.
Preciso qui che nessuno nega che, ad un certo livello, la matematica non abbia un suo grado di complessità elevato e che magari non sia per tutti (d’altronde esistono persino diversi problemi irrisolti talmente intricati la cui risoluzione porterebbe ad un premio di 1 milione di dollari oltre che alla fama eterna), però trovo che partire dal pregiudizio che la matematica, in generale, sia difficile sia un atteggiamento sbagliato.
Proseguendo infatti nei miei studi mi sono sempre più accorto che sebbene il formalismo matematico diventasse man mano più complicato, in realtà tutto questo, in certi contesti, comporta una semplificazione di ciò che si sta facendo.
Si pensi per esempio alla notazione bra-ket di Dirac. Inizialmente può sembrare strana, bizzarra, ci si potrebbe chiedere per quale ragione si debba conoscere.
Tuttavia non appena si inizia a studiare seriamente la meccanica quantistica e ad applicare più concretamente la suddetta notazione, si può constatare la sua grande semplicità ed eleganza.
Molto spesso capita d'altronde che strumenti matematici a primo impatto complicati rendano poi le cose molto più semplici da studiare e da capire.
Altro aspetto essenziale per cui sono fiero della matematica è la sua universalità e la sua trascendenza dai pregiudizi sociali e culturali.
La matematica (insieme alla musica, che poi sostanzialmente anch’essa è matematica!) è infatti l’unico linguaggio che può accomunare senza alcun tipo di problema di traduzione una persona che vive in Italia con una che vive negli Stati Uniti con una che vive in Giappone e così via.
La matematica è poi al tempo stesso qualcosa di estremamente razionale ed artistico.

BANANA FISH: DRAMMA E MATEMATICA!

Solitamente sul blog Scienza e Musica l’argomento centrale di un post è di carattere scientifico-matematico o musicale o entrambe le cose.
Oggi però ci concentriamo sul mondo degli anime/manga e in particolare sull’opera intitolata Banana Fish. Quella che segue è una sorta di recensione/analisi, ma alla fine si parlerà anche di qualche riferimento matematico.
Di primo acchito il nome sembra richiamare qualcosa di divertente e ambiguo; ecco, qualche spezzone a parte, l’opera è tutt’altro che una commedia!
Banana Fish nasce come manga, classificato abbastanza impropriamente come shōjo (ovvero come una storia rivolta principalmente ad un pubblico femminile) per opera del fumettista giapponese Akimi Yoshida, che lo pubblicò dal 1985 sino al 1994.
L’opera è stata citata da Frederik L. Schodt nel suo libro Dreamland Japan come "uno dei pochi manga shōjo che un uomo può leggere senza vergognarsi”.
Nel 2018 è stato finalmente mandato in onda l’anime omonimo, formato da 24 episodi, basato sulle vicende del manga.

Proviamo qui a sfatare un pregiudizio: i cartoni animati non sono sempre e solo per i bambini o gli adolescenti.
Certamente ognuno di noi ricorda opere meravigliose adatte a tutta la famiglia, come per esempio i classici Disney.
Una buona parte degli anime giapponesi, però, è costituita da opere molto dure, dense di tematiche complesse persino più di gran parte della filmografia e delle serie tv che vanno normalmente in onda.
Vengono trattate tematiche per niente banali come bullismo, depressione, suicidio, terrore, violenze, razzismo, omofobia, pedofilia, sete di potere, disabilità, utilizzo improprio della scienza, significato della vita e della morte e così via.
Alcuni di questi manga/anime scavano così a fondo che la crudezza delle immagini è quasi secondaria rispetto alla profondità dei temi analizzati.
Banana Fish è tra le opere che meglio riassume tutto ciò.
Questo non significa che durante la visione o lettura dell’opera non ci siano, come detto, momenti più leggeri, di comicità tipicamente giapponese, che spezzano un po’ il dramma (o che non esistano anime/manga con tematiche più frivole), ma l’attenzione alla fine si concentra tutta sul dramma stesso.
D’altronde dai drammi spesso nascono capolavori: si pensi per esempio all’atto III dell’opera lirica Tosca di Giacomo Puccini (1858-1924) dove viene intonata la struggente aria E lucevan le stelle, che si conclude con l’emblematica sequenza di parole:

E muoio disperato!
E non ho amato mai tanto la vita!
Tanto la vita!

Ma di cosa parla nello specifico Banana Fish?
Evitando di fornire grossi spoiler e basandomi sull’anime (che è quello che ho visto personalmente), la storia si concentra sulle vicende di un 17enne, Ash Lynx, beniamino di un boss mafioso molto importante nella città di New York, Dino Golzine.
Il vero incipit della storia però non avviene a New York, bensì in Vietnam, ove 12 anni prima del filone principale della vicenda un soldato americano impazzisce improvvisamente, tanto da uccidere alcuni suoi compagni d’armi. Il suddetto soldato è il fratello maggiore di Ash, Griffin Callenreese.
Facendo ritorno al presente, Ash è sempre seriamente intenzionato a scoprire cosa sia davvero successo al fratello, in particolare dopo che per strada un uomo gli è morto dinanzi agli occhi pronunciando come ultime parole l’emblematica dicitura “Banana Fish” e consegnandogli un piccolo flacone con all’interno una polvere bianca.
Questo flacone è il casus belli della storia iniziale: Dino Golzine è infatti intenzionato a recuperarlo a tutti i costi, persino se ciò dovesse significare mettersi contro il suo "prediletto" Ash.
Nel frattempo arriva a New York un giornalista giapponese, Ibe Shunichi, assieme al suo giovane assistente 19enne Okumura Eiji. I 2 giapponesi sono seriamente intenzionati ad intervistare Ash al fine di realizzare un reportage sulle gang giovanili.
Tuttavia, ad un certo punto irrompe nel locale dove si stava realizzando l’intervista una banda di manigoldi commissionata da Golzine.
Nella confusione, Eiji viene rapito assieme a Skip, amico di Ash. Quest'ultimo si lancia subito all’inseguimento della banda e da quel momento in poi incomincia una serie di vicende da mozzare il fiato.
Questa è la premessa dell’intrigante vicenda. Sarebbe però riduttivo affermare che si tratti soltanto di una storia di mafia, sparatorie ed inseguimenti.
Il vero nocciolo della questione risiede nella vita che il giovane Ash si trova purtroppo ad intraprendere, non da quel momento, ma da quando era appena un bambino innocente.
Il piccolo Ash è vittima di continue violenze sessuali da parte di uomini (anche per via della sua grande bellezza), tra cui il boss Golzine, che lo tratta come fosse un giocattolo con cui divertirsi e non un essere umano! In una scena molto pesante Ash afferma di essere “il gabinetto” di Golzine! Come se questo non bastasse, non solo il giovane subisce violenze inimmaginabili, ma questi atti di violenza vengono persino registrati!
Insomma le sofferenze del piccolo Ash ricordano quelle di Gatsu, il protagonista del manga/anime Berserk, di cui abbiamo parlato un po' nel post L’eclissi tra scienza e cultura varia (cliccate qui per leggerlo). In particolar modo nel manga Berserk (infatti nell'anime del 1997 questo dettaglio è solamente intuibile) viene data la rappresentazione di questi atti immondi nei confronti del piccolo Gatsu e da quel momento in poi Gatsu, così come Ash, avrà alcuni momenti di reazione di immensa rabbia qualora qualcuno lo provi anche solo a toccare con un dito. Di seguito la parte più "soft" della terribile scena dal manga Berserk.

I parallelismi tra Banana Fish e Berserk non finiscono qui: se ricordate ho raccontato come l’evento dell’eclissi in Berserk fosse la rappresentazione dell’orrore puro, al di là dell’elemento fantasy ivi presente.
Bene, in un episodio compreso tra le prime 10 puntate di Banana Fish (rimango vago così da non spoilerare troppo) si assiste ad una lunga scena che è equiparabile a quella dell’eclissi, anzi forse è pure più agghiacciante!
L’impatto emotivo di quella scena è dilaniante e ciò che la rende forse ancora più straziante è il fatto che l’elemento che porta a tutto ciò è un frutto della ricerca scientifica (non posso dire di più) adoperato per scopi politici-militari, un po’ come (nella realtà) la bomba atomica e il gas iprite (arma supervisionata dal chimico tedesco Fritz Haber durante la Prima Guerra Mondiale; se volete approfondire circa la figura di Haber potete leggere, cliccando qui, l'ottimo post di Popinga). 

MECCANICA QUANTISTICA: PACCHETTI D'ONDA E FUNZIONI D'ONDA DI PIÙ PARTICELLE

Continuiamo il nostro viaggio inerente ai rudimenti essenziali della meccanica quantistica.
Prima di far ciò, l’elenco delle puntate precedenti:

- puntata 1: “L’equazione di Schrödinger: una “semplice” introduzione”;
- puntata 2: “Equazione di Schrödinger in forma operatoriale e regole di commutazione”.

Per introdurre l’equazione di Schrödinger ci siamo riferiti a delle onde piane in una singola dimensione spaziale del tipo  
Dal punto di vista matematico le onde piane sono ottime (con il piccolo difetto di essere normalizzabili solo alla delta di Dirac, ma non preoccupiamoci troppo di questo dettaglio per ora).
Il problema si presenta dal punto di vista fisico: l’onda piana infatti è un’entità totalmente delocalizzata nello spazio!
Che diavolo significa?
Significa semplicemente che tali onde si estendono in modo infinito nello spazio.
Vediamo questa bella animazione sulla propagazione di un’onda piana presa da Wikipedia:

Dunque se si cerca qualcosa che abbia un maggiore significato fisico, cioè un’entità localizzata nello spazio, l’onda piana non è sicuramente lo strumento adeguato.
La soluzione a tale problema si trova nel concetto di pacchetto d’onda.
Sostanzialmente quello che si va a fare è considerare un pacchetto d’onda che abbia appunto un’estensione finita Δx e una durata finita Δt. Guardiamo a tal proposito un’altra animazione presa da Wikipedia:

Avete quindi potuto osservare come il pacchetto sia ben localizzato tra 2 estremi.
Senza ancora immettere i dettagli relativi alla meccanica quantistica, diciamo che il numero di oscillazioni (cicli) N contenute nel nostro pacchetto è fornito dalle seguenti relazioni:

ove λ è la lunghezza d’onda e T il periodo. In particolare, possiamo esprimere il vettore d’onda (in questo caso potremmo chiamarlo più propriamente numero d’onda) k e la pulsazione ω del pacchetto come:

Se ammettiamo che N non sia un numero fissato, ma presenti invece una certa indeterminazione (assumiamo per semplicità che sia ΔN = 1), allora avremmo le seguenti indeterminazioni:

Ricordando poi che
dove ν (lettera greca "ni") denota la frequenza, allora con semplici passaggi algebrici si constata che:
Quello che si può concludere è che l’onda piana ha i parametri fondamentali k, ω, ν fissati, mentre il pacchetto (come si nota dalle “relazioni di indeterminazione” appena scritte) risulta caratterizzato da una banda (range) di frequenze e numeri d’onda nell’intorno di k e ν.
Nell’ambito quantistico quale funzione può essere usata per definire un pacchetto d’onda?
Beh è sufficiente considerare una combinazione lineare continua di onde piane (che abbiamo già avuto modo di introdurre in un post precedente):
Naturalmente il fatto di considerare combinazioni lineari di onde piane non è l’unico modo di ottenere dei pacchetti; esistono per esempio i pacchetti d’onda gaussiani.
Per i nostri scopi accontentiamoci però del pacchetto definito dalla formula precedente.
Vi starete forse chiedendo: ma come è possibile che combinando varie onde piane (che abbiamo detto essere entità delocalizzate) si possa ottenere un’entità limitata nello spazio come il pacchetto?

THIS IS SINGING!

Come è ormai tradizione quando si avvicina il Festival di Sanremo, prendiamo qui spunto per provare a mostrare, al di là della naturale soggettività di opinione quando si ascolta la musica, cos’è il bel canto.

Non va mai dimenticato che la musica ha uno strettissimo legame con la fisica, anzi diciamo che la musica stessa è fisica che diventa arte e che quindi ha una svariata gamma di parametri oggettivi valutabili.
Purtroppo va constatato che l’andamento generale della musica negli ultimi decenni è sempre più tendente verso una pura banalizzazione delle melodie, per non parlare dei testi, in generale sempre meno di impatto e meno densi di poesia.
Questo non vuol dire che tutto ciò che accada a un festival musicale moderno come Sanremo sia da buttare, tuttavia è davvero molto poco ciò che potrebbe rientrare in ciò che un ascoltatore con un minimo di cultura musicale seria definirebbe "musica".
Per esempio, tra le cose molto positive, lo scorso anno (2020) la straordinaria Tosca ha portato in gara un intensissimo e poetico brano intitolato Ho amato tutto e, allo stesso tempo, abbiamo avuto il grande jazzista italiano Raphael Gualazzi in una bella rivisitazione di E se domani in duetto con la splendida voce di Simona Molinari.
Il problema è che queste esibizioni sono ormai come gocce di acqua pura in un oceano melmoso, fatto di gente che arriva ai massimi picchi di popolarità con poco o addirittura nullo talento, abuso di strumenti di manipolazione audio come l’autotune, melodie inconsistenti, testi che non comunicano nulla.
Per fortuna nel mondo ci sono diverse eccezioni a tale tendenza, artisti (dotati di immenso talento) che ancora provano a dare una speranza alla musica moderna, ma ci sono tanti che percorrono questa strada e vengono quasi totalmente ignorati a scapito del trend commerciale malsano.
Con questa premessa, proviamo qui a fare un esperimento.
Il Festival di Sanremo vedrà 26 canzoni in gara; bene, propongo qui una sorta di “gara ideale” che fornisca un’idea generale di cosa sia il canto nella sua massima espressione e in vari generi musicali, tra passato e presente, che aiuti a sviluppare una visione più consapevole e critica di ciò che si ascolta quotidianamente.
Ecco dunque una playlist con una selezione di 26 brani:

https://www.youtube.com/playlist?list=PLfvrJ-L5fmU3mq6i62VS9M0U8WS8a1eNJ

Ma veniamo ad una breve presentazione dei brani.

1) You’re Not From Here - Lara Fabian. Il brano è tratto dall’album Lara Fabian, datato 2000, un album che contiene alcuni dei brani più significativi della carriera della straordinaria cantautrice italo-belga, tra cui il famoso Adagio (di cui parleremo tra poco). You’re Not From Here è un’incredibile ballad, che trova il suo apice nella frase “And I fly”, in cui la voce immensa della Fabian fa letteralmente volare l’ascoltatore con la musica.

2) Too Much Love Will Kill You - Queen. I Queen e il band leader Freddie Mercury (1946-1991) non hanno bisogno di presentazioni.
La storia intorno alla suddetta canzone è interessante. Il brano è stato infatti originariamente pubblicato dal chitarrista, compositore (e astrofisico) dei Queen Brian May nel 1992, tuttavia il pezzo era già stato scritto sin dal 1988. Pochi anni dopo la morte di Mercury i Queen decisero di lavorare su un album postumo, in cui inserirono pure Too Much Love Will Kill You facendo uso della traccia vocale di Mercury, registrata tra il 1988 e il 1989. Tale versione venne pubblicata come singolo il 26 febbraio 1996 e costituisce uno dei brani più intensi della prodigiosa discografia della band.

3) The Lady is A Tramp - Ella Fitzgerald. La Fitzgerald (1917-1996) è stata una delle più grandi dive dell’epoca d’oro del jazz. Regina dello “scat vocal”, ossia di particolari e complicatissimi virtuosismi tipici della musica jazz, vinse ben 14 Grammy Awards. La ascoltiamo qui in una frizzante ed entusiasmante versione del brano, del 1937, The Lady is A Tramp, facente parte del musical Babes in Arms dei noti Richard Rodgers e Lorenz Hart e diventato un vero e proprio standard del jazz.

4) I’m a Fool to Want You - Billie Holiday. Un’altra tra le mitiche dive dell’epoca d’oro del jazz è proprio Billie Holiday (1915-1959), spesso soprannominata Lady Day. Anche se non dotata dell’estensione vocale della Fitzgerald, la Holiday seppe assicurarsi il suo posto nella storia della musica grazie ad un timbro caratteristico e ad una capacità interpretativa unica. Un esempio lampante di tale capacità lo troviamo proprio nel brano I’m a Fool to Want You, un brano del 1951 scritto nientemeno che da Frank Sinatra (testo) insieme a Jack Wolf e Joel Herron.
La versione della Holiday che ascolterete è quella tratta dall’album Lady in Satin (1958), penultimo album registrato dalla cantante. L’interpretazione fornita dalla Holiday rende il brano una perla speciale da ascoltare e riascoltare.

5) Only One Road - Céline Dion. Passiamo ora a quella che è forse la voce più straordinaria dell’epoca moderna della musica (per epoca moderna intendo il periodo che va dal 1990 ad oggi, periodo in cui man mano la musica popolare ha iniziato il suo percorso involutivo).
Le capacità di belting sostenuto e di emettere note perfettamente risonanti della Dion sono di primissimo livello. Oltre a questo, l’aspetto forse più straordinario della sua voce (specialmente nel suo periodo migliore, anche se è sempre riuscita a preservare ottimamente il proprio straordinario strumento) è il fatto di poter passare in un attimo dall’essere dolce come il miele a graffiante e incisiva come una lama tagliente. Ciò l’ha resa adatta ad approcciarsi con successo ad una moltitudine di generi musicali diversi assolutamente incredibile, dal pop al rock, dal jazz alla dance, oltre che ad accompagnare altri straordinari artisti in duetti memorabili. Ascoltiamo qui il brano Only One Road, tratto dall’album The Colour of My Love (1993), una tra le canzoni che più mette in evidenza le abilità appena menzionate della Dion.

6) Fa Che Non Sia Mai - Eramo & Passavanti. Anche la musica italiana è ricca di perle memorabili. Qui abbiamo una bellissima canzone (scritta da A. De Angelis e Bungaro) di un duo di talenti che parteciparono con questa alla selezioni per Sanremo Giovani del 1997: la cantante Barbara Eramo e il pianista Claudio Passavanti. La voce della Eramo è qualcosa di sublime e di un livello difficilmente riscontrabile nelle produzioni musicali italiane odierne. Il brano venne registrato ed inserito nell’album Oro e Ruggine (1998) del duo.

7) Across Endless Dimension - Dimash Qudaibergen. Passiamo ora ad un brano del 2020 composto dal regista e compositore italiano, Piergiuseppe Zaia, per la colonna sonora del film Creators - The Past.  La voce è quella di colui che è senza dubbio la migliore voce maschile in circolazione al mondo, un “alieno” dotato di oltre 6 ottave di estensione vocale e in grado di spaziare agevolmente tra i vari registri della voce umana: il giovane kazako Dimash Qudaibergen. Anche Dimash, come la Dion, è in grado di dosare come vuole la sua voce e passare da suoni soavi e paradisiaci sino a note pungenti e stratosferiche, come il “Touch the sky” intonato alla fine della suddetta canzone.

8) I’ve Got You Under My Skin - Frank Sinatra & Bono. Passiamo dalla migliore voce maschile della musica odierna a colui che non per caso venne soprannominato “The Voice”: il mitico Frank Sinatra (1915-1998). Sinatra è forse la figura che più di tutte è riuscito a fare da connubio tra la musica jazz pura (egli iniziò la sua carriera come cantante nella nota orchestra del trombonista Tommy Dorsey) e la canzone popolare. Negli ultimi anni della sua vita, precisamente nel periodo 1993-1994, Sinatra pubblicò un paio di album di memorabili duetti, Duets e Duets II, tra cui troviamo proprio quello con leader della band rock irlandese U2, Bono. Il brano è un altro dei cosiddetti jazz standard, scritto nel 1936 nientemeno che da Cole Porter per il musical Born to Dance. Ottenne una candidatura come miglior canzone agli Oscar nel 1937, ma non vinse il premio perché questo fu assegnato ad un altro capolavoro, ossia The Way You Look Tonight, che fu  peraltro un altro cavallo di battaglia di Sinatra.

9) Impossible (Orchestral Version) - Nothing But Thieves. I Nothing But Thieves sono un gruppo alternative rock britannico formatosi nel 2012. La voce principale, Conor Mason, è davvero tra le migliori del panorama odierno del genere. Quello che andiamo ad ascoltare è uno dei brani più noti della band, Impossible, ma in una versione orchestrale che mette ancora più in luce le abilità canore ed interpretative di Mason.

10) I’m Not A Warrior - Sonnet Son. Canzone intensissima interpretata da una voce a dir poco magistrale, quella della sudcoreana Son Seung-yeon, più nota come Sonnet Son, vincitrice della prima edizione (2013) di The Voice of Korea. Sia ben presente che questo non è un brano di K-pop, o meglio, non lo è secondo l’accezione popolare che viene data a quel termine. I’m Not A Warrior è un pezzo serio di musica, scritto da Aleena Gibson, Molly Sanden e Walter Afanasieff (già autore di memorabili canzoni per artisti del calibro di Mariah Carey, Celine Dion, Patti LaBelle, Michael Bolton e così via) che merita un’attenzione particolare.
11) Adagio - Shirley Bassey. Come ho anticipato prima, nella playlist è presente anche l’incredibile canzone Adagio, basata sul classico Adagio di Giazotto (spesso attribuito erroneamente ad Albinoni). La versione originale, come già detto, si deve a Lara Fabian (e chi non l’avesse mai ascoltata corri ad ascoltarla). Qui però volevo fare una segnalazione più particolare e davvero suggestiva. L’immensa Shirley Bassey (nota ai più per le sue interpretazioni di brani colonna sonora dei film della serie 007 come Goldfinger, ma anche per la partecipazione al festival di Sanremo 1968 con la canzone La vita) ha registrato nel 2020 il suo ultimo album, I Owe It All To You, all’età di 83 anni.  La voce della Bassey è una di quelle perle rare che, nonostante il passare del tempo, è rimasta potente e incisiva ed è in grado di regalare ancora grandissime emozioni. Se l’Adagio nella versione della Fabian è l’emblema della perfezione tecnica del canto, la Bassey riesce a compensare magistralmente con un’interpretazione differente accompagnata da un ottimo arrangiamento, che rendono entrambe le versioni di tali straordinarie artiste degne di lode.

12) El Perdòn - Diana Navarro. A proposito di brani intensi, El Perdòn, contenuto nell’album Resiliencia (2016) della talentuosa cantante spagnola Diana Navarro, ci fa sperimentare un’esperienza sensoriale fantasmagorica. Il controllo del volume che la Navarro riesce ad ottenere in tale pezzo è a dir poco sensazionale.

13) It Had to Be You - Barbra Streisand & Michael Bublé. L’aspetto straordinario della musica è quello di poter trasmettere un’infinità di sensazioni emotive che spaziano dal dolore puro, intenso alla gioia e allegria più sincere. L’interpretazione fornita dalla Streisand e Bublé del brano It Had To Be You, scritto nel 1924 da Isham Jones con testo di Gus Kahn, appartiene a quest’ultima categoria. Barbra Streisand è una leggenda vivente. Attrice superba, cantante dal controllo vocale tra i migliori di sempre, tanto che si ha l’impressione che non faccia il minimo sforzo per emettere le complesse note che va ad emettere. Bublé è una delle migliori voci maschili della musica odierna, che ha preso in eredità la strada aperta dai grandi crooner del passato come il già citato Frank Sinatra, Bing Crosby, Dean Martin, Perry Como e così via.

14) The Story - Brandi Carlile. Brano del 2007 tratto dall'omonimo album dell'ottima cantante folk rock statunitense Brandi Carlile. Anche qui è riscontrabile una prodigiosa abilità nella modulazione della voce, che parte soave all’inizio del brano e muta improvvisamente in un’emissione graffiante e pungente, adatta allo sviluppo narrativo del brano. The Story è sicuramente tra i brani di musica pop rock più significativi del XXI secolo.

15) Rise Up - Morissette Amon. Rise Up è un meraviglioso brano originariamente interpretato dalla brava cantante statunitense Andra Day nel 2015. Qui però siamo di fronte ad uno di quei casi in cui un’artista di livello persino superiore riesce quasi ad oscurare una versione originale già di alta caratura! Ci stiamo riferendo alla giovane filippina Morissette Amon. L’interpretazione della Amon, dotata di una capacità tecnica assolutamente fuori dal comune, è qualcosa di sublime, tanto che spesso nei commenti alle sue esibizioni si parla di “eargasm”, termine usato nel linguaggio popolare per indicare una sensazione euforica provocata dalla musica.  

16) Lately - Stevie Wonder. Lately è una ballata soul scritta ed interpretata dalla leggenda vivente Stevie Wonder e pubblicata nel 1980 nell’album Hotter than July. Il critico Jason Elias scrisse a riguardo di tale brano, per via della sua proverbiale intensità emotiva: "it's enough to make a listener fall prey to an old-fashioned cry”. Direi che non c’è da aggiungere altro!

17) If I Could - Regina Belle. Trattasi di un brano scritto da Ken Hirsch, Marti Sharron e Ronald Miller e pubblicato nell’album Passion (1993) della cantautrice statunitense Regina Belle. Questo brano mette perfettamente in luce le abilità canore ed interpretative di altissimo livello della Belle, celebre anche per il suo duetto con Peabo Bryson in A Whole New World, brano portante del film Disney Aladin del 1992. If I Could venne coverizzata successivamente anche da grandi nomi come Barbra Streisand, Céline Dion e Michael Bolton.

18) Everything Must Change - Sarah Vaughan. La Vaughan (1924-1990), assieme alla Fitzgerald e alla Holiday, costituisce quella che si potrebbe definire la sacra trinità delle dive della musica jazz. Spesso soprannominata Sassy, ma pure Sailor e “La divina”, era dotata di una voce da contralto assolutamente stupefacente e di un controllo vocale che faceva gara a quello della Streisand. Qui ascoltiamo la sua interpretazione (Live at Rosy’s) della canzone Everything Must Change, scritta da Benard Ighner nel 1974. Vi aspettano quasi 7 minuti di pura delizia per le orecchie.