Nel XXI secolo l'uomo dovrebbe aver imparato dal passato che le guerre portano solo morti, dolore e distruzioni specialmente a scapito delle persone più deboli, di coloro, persino tanti bambini, che si ritrovano da un giorno all'altro catapultati da una vita regolare (già di per sé con le sue problematiche) in uno scenario terrificante.
Nel settembre 1939, la Russia, alleata con la Germania (si legga a tal proposito, cliccando qui, circa il patto Molotov-Ribbentrop), invase la Polonia da est. Ciò ha avuto scarso effetto sulla vita a Leningrado, almeno per un po' di tempo.
Insomma, lavorando su tali argomenti per nulla banali Faddeev pubblicò man mano una serie di paper scientifici redatti in lingua russa.
Nel dettaglio essi sono: Uniqueness of solution of the inverse scattering problem (1956), On expansion of arbitrary functions in eigenfunctions of the Schrödinger operator (1957), An expression for the trace of the difference between two singular differential operators of the Sturm-Liouville type (1957), On the relation between S-matrix and potential for the one-dimensional Schrödinger operator (1958), e On continuous spectrum perturbation theory (1958).
Quando divenne noto che egli aveva preparato un'esposizione esaustiva del problema dello scattering inverso per l'operatore radiale di Schrödinger, Faddeev ricevette un invito da Nikolai Nikolaevich Bogolyubov (1909-1992) a tenere una conferenza plenaria sull'argomento alla riunione inaugurale del Laboratorio di Fisica Teorica a Dubna, alla presenza di Israil Moiseevic Gelfand, Boris M Levitan, Mark Grigorievich Krein, Vladimir Aleksandrovich Marchenko e altre figure di spicco.
Una versione scritta della suddetta discussione, The inverse problem in the quantum theory of scattering, venne pubblicata (sempre in russo) nel 1959 e fornì la base della sua tesi di dottorato Properties of S-Matrix for the Scattering on a Local Potential del medesimo anno.
In questo fiorente periodo Faddeev sposò Anna Veselova, la figlia di Mikhail G Veselov (1906-1987), professore di fisica all'Università statale di Leningrado che lavorò a stretto contatto con Fock e E N Yustova.
Ludvig e Anna ebbero due figlie: Maria, che divenne una fisica teorica, ed Elena che divenne una matematica.
Qualche lettore non addetto ai lavori potrebbe pensare che improvvisamente l'autore di questo post sia impazzito, dato che fisica matematica e fantasmi sembrerebbero essere cose totalmente agli antipodi.
Attenzione però! Qui i fantasmi a cui alludiamo non sono le entità mistiche come quelle che vengono per esempio celebrate durante la festa di Halloween, sono bensì una nozione fondamentale nell'ambito della fisica teorica!
Va però anche detto che ci sono stati degli episodi agli onori delle cronache in cui si è preso tutto ciò come pretesto per denigrare la cultura russa in generale, che nulla ha a che vedere con quello che sta accadendo.
Non è disprezzando/censurando improvvisamente la musica di Tchaikovsky e Shostakovich, la letteratura di Dostoevskij e Tolstòj, l'arte di Kandinskij e Brjullov e così via che la guerra magicamente finirà e/o si diventerà persone umanamente migliori.
La cultura (nel senso più ampio del termine) non è mai un male, è l'assenza di cultura ad esserlo!
Questa breve premessa ci fornisce l'input per estendere il discorso anche al mondo scientifico.
A tal proposito, questo post sarà dedicato ad un'analisi biografica di un grandissimo fisico e matematico russo, Ludvig Dmitrievich Faddeev (1934-2017), il cui nome viene talvolta scritto anche come Ludwig Dmitriyevich.
Ludvig Dmitrievich Faddeev nacque il 23 marzo 1934 a Leningrado (l'attuale San Pietroburgo), in Russia, da Dmitrii Konstantinovich Faddeev (1907-1989) e Vera Nikolaevna Zamyatina, anche nota come Vera Fadeeva (1906-1983), entrambi famosi matematici.Nello specifico, il padre era un celebre algebrista, professore all'Università di Leningrado e membro dell'Accademia russa delle scienze, la madre era conosciuta tra gli addetti ai lavori per i suoi lavori nel settore dell'algebra lineare numerica.
Ludvig trascorse i suoi primi anni di vita a Leningrado, ma ben presto dovette fuggire dalla città durante la Seconda guerra mondiale, quando la città venne assediata dagli eserciti tedeschi.Nel settembre 1939, la Russia, alleata con la Germania (si legga a tal proposito, cliccando qui, circa il patto Molotov-Ribbentrop), invase la Polonia da est. Ciò ha avuto scarso effetto sulla vita a Leningrado, almeno per un po' di tempo.
Nel giugno 1941, tuttavia, il corso della guerra mutò radicalmente per coloro che vivevano in Russia da quando la Germania invase il loro paese. Entro il mese successivo Hitler aveva in programma di conquistare sia Leningrado che Mosca.
Mentre gli eserciti tedeschi avanzavano rapidamente verso Leningrado nell'agosto 1941, molte persone furono evacuate dalla città, inclusa la famiglia Faddeev.
Per tutta la durata dell'assedio di Leningrado, la famiglia Faddeev visse a Kazan, che si trova a circa 800 km a est di Mosca e considerata al sicuro dall'invasione tedesca.
Per molto tempo non ci fu possibilità di tornare a Leningrado, che fu liberata dall'assedio solo nel gennaio 1944. Anche dopo la fine dell'assedio, l'accesso alla città devastata fu per molto tempo possibile solo con un permesso speciale. La famiglia Faddeev, insieme ad altri colleghi, ottenne tali permessi e Ludwig vi poté tornare con i suoi genitori.
Finito l'incubo della guerra, il giovane Faddeev dovette compiere un'ardua scelta tra perseguire una carriera nella musica oppure nel mondo accademico. I suoi genitori lo incoraggiarono ad intraprendere una carriera musicale poiché suonava il piano ad un livello tecnicamente molto elevato. Un tempo pensava infatti che avrebbe studiato musica al Conservatorio di Leningrado piuttosto che andare all'università.
Terminò la scuola media n. 155 nel distretto Smolninskiy di Leningrado.
Al liceo ebbe molti interessi diversi tra cui la modellazione radiofonica, lo sci di fondo e la fotografia. Una volta affermò di apprezzare l'algebra molto più della geometria e quando fu guidato su come risolvere i problemi trigonometrici con i metodi della geometria analitica si sentì eccitato.
Dopo il diploma di scuola superiore, ottenuto nel 1951, alla fine Faddeev scelse il percorso universitario e, in particolare, la facoltà di Fisica dell'Università statale di Leningrado.
Quando Faddeev incominciò i suoi studi universitari Joseph Stalin era Premier dell'Unione Sovietica e ben presto il giovane scienziato fu obbligato a comparire davanti al Comitato Comsomol (Gioventù Comunista) locale. Gli fu chiesto se gli piacesse leggere i romanzi di Knut Hamsun, uno scrittore norvegese che vinse il Premio Nobel per la letteratura nel 1920.
D'altronde Hamsun aveva sostenuto la Germania durante la Seconda guerra mondiale e i suoi romanzi, pertanto, erano considerati da Stalin inaccettabili.Fortunatamente per Faddeev, Stalin morì (precisamente il 5 marzo 1953) poco tempo dopo l'evento e quindi la rognosa controversia non ebbe un seguito.
Durante i suoi anni universitari, gli accademici Vladimir Ivanovič Smirnov (1887-1974) e Vladimir Aleksandrovich Fock (1898-1974) si resero conto che ai fisici sarebbe stato opportuno insegnare la matematica in modo diverso dagli studenti del Dipartimento di Matematica e Meccanica.
Ciò portò alla creazione del Dipartimento di Fisica Matematica, che poteva vantare come insegnamenti argomenti didattici quali Analisi Matematica, Algebra Superiore, Teoria delle Probabilità ed Equazioni Differenziali.
Faddeev è stato una delle prime cinque persone a diplomarsi in questo corso nel 1956, essendo studente di Olga Alexandrovna Ladyzhenskaya (1922-2004) e di Fock.
In particolare, una volta asserì che Ladyzhenskaya, la quale presiedeva la cattedra di Fisica Matematica, fu la persona più importante per lui durante gli anni dell'università.
Faddeev frequentò nello specifico i corsi della Ladyzhenskaya inerenti alle variabili complesse, equazioni alle derivate parziali e teoria degli operatori.
La docente, oltretutto, organizzò seminari speciali e insegnò a Faddeev come lavorare in modo efficiente, invitandolo a non proseguire il suo percorso in matematica e fornendogli piena libertà, a differenza di molti accademici che invece erano soliti costringere i loro studenti a seguire il proprio filone di ricerca.
Naturalmente il percorso universitario diede a Faddeev anche solide basi di fisica teorica, con particolare riferimento all'elettrodinamica, alla meccanica statistica, alla meccanica quantistica, alla teoria della relatività e alla teoria quantistica dei campi.
Molto interessante è il fatto che dopo il terzo anno il giovane fisico si immerse nella lettura dell'opera Foundations of Quantum Mechanics (datata 1932) di Fock.
Il testo rappresentava una rarità bibliografica e venne ottenuto dalla madre di Faddeev proprio dalle mani dello stesso Fock.
Altro testo decisamente significativo nella sua formazione fu Mathematical aspects of the quantum theory of fields (pubblicato come libro nel 1953) di Kurt Otto Friedrichs (1901-1982).
La lettura del testo di Friedrichs consentì a Faddeev di diventare capace di lavorare in maniera indipendente nell'ambito della teoria dello scattering, cosa non di poco conto per un fisico di quei tempi.
La transizione da studente a studente laureato nel 1956 e il suo inserimento nel Leningrad Branch dello Steklov Mathematical Institute avvennero senza grossi problemi. Ladyzhenskaya continuò ad essere il suo consulente scientifico di riferimento.
Tuttavia, da quel momento in poi, il giovane fisico matematico volle occuparsi di problemi concreti legati alla teoria dello scattering per un'equazione di Schrödinger con potenziale decrescente all'infinito.
L'argomento era già stato sviluppato da nomi del calibro di Povzner, Friedrichs, Gel'fand e Levitan, ma Faddeev era interessato a fornire un contributo totalmente originale.
C'erano, nello specifico, 2 problemi che catturarono fortemente l'attenzione del fisico matematico:
1) La generalizzazione della teoria dello scattering al caso di un operatore di Schrödinger per molte particelle;
2) Il problema inverso per un operatore di Schrödinger tridimensionale con un potenziale sfericamente non simmetrico decrescente.
Nel dettaglio essi sono: Uniqueness of solution of the inverse scattering problem (1956), On expansion of arbitrary functions in eigenfunctions of the Schrödinger operator (1957), An expression for the trace of the difference between two singular differential operators of the Sturm-Liouville type (1957), On the relation between S-matrix and potential for the one-dimensional Schrödinger operator (1958), e On continuous spectrum perturbation theory (1958).
Quando divenne noto che egli aveva preparato un'esposizione esaustiva del problema dello scattering inverso per l'operatore radiale di Schrödinger, Faddeev ricevette un invito da Nikolai Nikolaevich Bogolyubov (1909-1992) a tenere una conferenza plenaria sull'argomento alla riunione inaugurale del Laboratorio di Fisica Teorica a Dubna, alla presenza di Israil Moiseevic Gelfand, Boris M Levitan, Mark Grigorievich Krein, Vladimir Aleksandrovich Marchenko e altre figure di spicco.
Una versione scritta della suddetta discussione, The inverse problem in the quantum theory of scattering, venne pubblicata (sempre in russo) nel 1959 e fornì la base della sua tesi di dottorato Properties of S-Matrix for the Scattering on a Local Potential del medesimo anno.
In questo fiorente periodo Faddeev sposò Anna Veselova, la figlia di Mikhail G Veselov (1906-1987), professore di fisica all'Università statale di Leningrado che lavorò a stretto contatto con Fock e E N Yustova.
Ludvig e Anna ebbero due figlie: Maria, che divenne una fisica teorica, ed Elena che divenne una matematica.
Assai significativo fu l'anno 1960: Faddeev pubblicò infatti, in un articolo (originariamente scritto in russo) intitolato Scattering theory for a three-particle system (cliccate qui per leggere il paper in lingua inglese) uno dei suoi risultati più famosi: le equazioni di Faddeev.
Trattasi di equazioni integrali lineari descriventi i possibili scambi/interazioni in un sistema quantistico composto da 3 particelle e che possono essere risolte in modo iterativo.
Le suddette equazioni necessitano come input un potenziale che va a descrivere l'interazione tra 2 particelle individuali; dopodiché è possibile introdurre un ulteriore termine nell'equazione che tenga conto del fatto che si sta studiando un sistema a 3 corpi.
In una notazione vettoriale abbreviata, una generica equazione di Faddeev si può scrivere nel modo seguente:
ove $G_i = V_i(E + \Delta - V_i)^{-1}$, $E$ denota l'energia del sistema, $\Delta$ è il laplaciano, $V_i$ sono i potenziali di interazione tra coppie di particelle, $X^0$ è una funzione vettoriale determinata dai dati iniziali dello scattering.
Se il problema di scattering è formulato in termini dell'equazione di Schrödinger con membro destro dato da $(E- \hat{H})\psi = f$, dove $\hat{H}$ è l'hamiltoniana di 3 particelle
allora si deve prendere $X_i^{0} - G_i f$ nella prima equazione qui fornita (cioè l'equazione di Faddeev).
La soluzione $\psi$ del problema di scattering può allora essere espressa in termini della soluzione $X$ dell'equazione di Faddeev grazie alla formula
L'equazione di Faddeev è ampiamente utilizzata nella fisica atomica e nucleare e nella fisica delle particelle elementari.
È stata per di più ottenuta una versione relativistica e persino una generalizzazione della stessa al caso di un sistema di $N$ particelle.
Un vantaggio rilevante dell'equazione di Faddeev rispetto all'equazione di Schrödinger risiede nel fatto che è possibile calcolarne la soluzione in modo efficace.
Tornando alla narrazione biografica, è necessario dire che, ad un certo punto, Faddeev decise di arrestare la sua ricerca nell'area che gli aveva dato tante soddisfazioni e provare a studiare qualcosa di differente.
In particolare, nel 1970, Vladimir Evgen'evich Zakharov introdusse Faddeev al metodo di diffusione inversa per risolvere equazioni di evoluzione non lineare nello spazio-tempo bidimensionale.
Lavorando insieme, i 2 brillanti studiosi riuscirono a pervenire all'interpretazione hamiltoniana e alla completa integrabilità dell'equazione di Korteweg-de Vries.
Successivamente, Faddeev e i suoi studenti si focalizzarono ulteriormente su tale problema e ricavarono lo svelamento della struttura algebrica dei modelli quantistici integrabili (l'equazione di Yang-Baxter) e la formulazione del Bethe ansatz algebrico.
Altro campo di ricerca stimolante fu quello della teoria quantistica dei solitoni, una teoria interamente costruita da lui stesso (si veda a tal proposito, per esempio, l'articolo Quantum theory of solitons di Faddeev-Korepin, pubblicato nel 1978), teoria la quale creò un approccio originale nella quantum field theory e diede la luce alla nozione di gruppo quantico grazie ai contributi di Drinfeld e Jimbo.
Per quanto riguarda la didattica, Faddeev tenne corsi di meccanica quantistica sin dagli anni '60, contribuendo a rendere l'Università di San Pietroburgo un polo di eccellenza per la matematica.
Inoltre, egli fu a capo del Dipartimento di San Pietroburgo dell'Istituto di Matematica Steklov, parte dell'Accademia Russa delle Scienze, negli anni 1976-2000.
Faddeev diventò anche il capo del Comitato nazionale russo dei matematici.
Dal 1992 è stato segretario-accademico del Dipartimento di Matematica dell'Accademia Russa delle Scienze.
Molti dei suoi studenti si trasferirono all'estero, ma Faddeev non poteva vedersi vivere in nessun altro paese. Fu così che decise di fondare l'Euler International Mathematical Institute a San Pietroburgo per facilitare la comunicazione tra i matematici russi e i loro colleghi internazionali e ne divenne direttore nel 1993.
Tuttavia, ha sempre ritenuto che mancassero sostanziali finanziamenti per l'ulteriore sviluppo di questo Istituto. Era anche deluso dal fatto che vi fosse una scarsa rappresentanza di accademici nell'amministrazione del presidente in Russia rispetto agli Stati Uniti. Ha sempre attivamente cercato di attirare l'attenzione del governo sullo sviluppo dell'Accademia delle scienze russa.
Di seguito una lista (tratta da Wikipedia) di alcuni importanti premi che vinse nel corso della sua carriera.
La vita di Ludvig Faddeev si è spenta il 26 febbraio 2017 a San Pietroburgo all'età di 82 anni.
Uno dei contributi più celebri di Fadeev che non abbiamo ancora menzionato riguarda i fantasmi.Qualche lettore non addetto ai lavori potrebbe pensare che improvvisamente l'autore di questo post sia impazzito, dato che fisica matematica e fantasmi sembrerebbero essere cose totalmente agli antipodi.
Attenzione però! Qui i fantasmi a cui alludiamo non sono le entità mistiche come quelle che vengono per esempio celebrate durante la festa di Halloween, sono bensì una nozione fondamentale nell'ambito della fisica teorica!
In teoria quantistica dei campi infatti i ghost sono stati non fisici in una teoria di gauge, particolarmente rilevanti per la coerenza della teoria delle perturbazioni nelle teorie di gauge non abeliane.
Illustrare nel dettaglio tali argomenti molto complessi, i quali richiedono notevoli prerequisiti di fisica teorica, va ben al di là dell'obiettivo divulgativo del presente post.
Alcuni di questi prerequisiti sono comunque forniti nella mia tesi di laurea riportata su questo blog un paio di mesi fa (cliccate qui).
L'aspetto che mi preme sottolineare per il lettore interessato è il fatto che i cosiddetti ghost di Faddeev-Popov (comparsi per la prima volta nell'articolo, datato 1967, Feynman diagrams for the Yang-Mills field, di Fadeev e Victor Popov) sono campi aggiuntivi che vengono introdotti in certe teorie di gauge in modo da consentire lo sviluppo di una teoria di campo quantistica coerente, pur in presenza delle simmetrie di gauge, considerando proprio l'approccio basato sui path integral della meccanica quantistica illustrato anche nella mia tesi.
Se infatti ricordate, una delle problematiche dell'approccio basato sui path integral è ciò che è talvolta chiamato overcounting, cioè il fatto di sommare su configurazioni fisicamente equivalenti, cosa che si vuole sempre evitare.
Quando non abbiamo a che fare con campi scalari o campi fermionici (più semplici da trattare) bensì con campi di gauge che vogliamo quantizzare nel formalismo degli integrali sui cammini, allora ciò che serve è la procedura di Faddeev-Popov.
In parole poverissime, in nostro soccorso giungono questi cosiddetti ghost di Faddeev-Popov con cui modificare l'azione e rompere la simmetria di gauge.
I dettagli formali di tale discorso potete naturalmente trovarli sui numerosi ottimi testi esistenti di quantum field theory, come i celebri An Introduction to Quantum Field Theory di Peskin-Schroeder e Quantum Field Theory di Srednicki.
Di seguito potete godervi un bel video (con sottofondo musicale dato da Deux Poèmes, Op. 32, No. 1 del grande compositore e pianista russo Alexander Scriabin) nel quale in pochi minuti lo stesso Faddeev racconta il retroscena dietro l'introduzione dei fantomatici ghost.
Forniamo ora un breve resoconto di quale fosse la visione di Faddeev della fisica matematica.
Egli credeva che lo scopo della fisica matematica fosse fare scoperte nella fisica fondamentale usando l'intuizione matematica. Vedeva in particolare la fisica matematica e la fisica teorica come concorrenti, sebbene riconoscesse che metodi diversi potevano essere utilizzati in entrambe le discipline.
Fadeev era inoltre convinto che la fisica risolvesse tutti i problemi teorici della chimica, "chiudendo" così quella scienza. Credeva che la matematica creerà la "teoria unificata del tutto" e anche la fisica "vicina", che può essere vista come un'opinione piuttosto radicale.
Credeva che più la fisica usa metodi matematici, più fondamentale diventa questa scienza. Ha anche affermato che c'è solo un problema irrisolto più importante in fisica: la descrizione microscopica della struttura della materia.
Ha asserito che la fisica sarà "finita" quando le teorie della gravitazione, della relatività e della meccanica quantistica saranno riunite in un'unica teoria solida. Ha detto che la fisica matematica è una scienza universale e che tutte le parti della matematica teorica, così come i metodi numerici e le applicazioni della teoria della probabilità, sono usati per trovare soluzioni ai suoi problemi.
Un'altra sua affermazione molto rilevante fu che la fisica può essere compresa appieno solo nel linguaggio matematico giacché la matematica ha un ruolo fondamentale nelle scienze: crea un linguaggio che fornisce risposte veritiere.
Infine riteneva la matematica "una scienza dell'infinito" perché può svilupparsi continuamente a differenza di qualsiasi altra scienza fondamentale che alla fine raggiungerà i suoi limiti.
Concludiamo il post in musica con l'epica esecuzione, live alla Carnegie Hall (New York), datata 25 aprile 1943, del Concerto per pianoforte e orchestra n.1, Op. 23 di Tchaikovsky eseguito da Vladimir Horowitz, accompagnato dalla NBC Symphony Orchestra diretta nientemeno che da Arturo Toscanini. ---------------------------------------------------------------------------------------
Fonti essenziali:
- 30 Years in Mathematical Physics (in Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics 1988, Issue 3) di L. D. Faddeev.
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