EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER IN FORMA OPERATORIALE E REGOLE DI COMMUTAZIONE

Qualche mese fa abbiamo fornito su questo blog una prima “semplice” introduzione all’equazione di Schrödinger, cioè all’equazione fondamentale della meccanica quantistica non relativistica (cliccate qui per leggere il post).
Cerchiamo ora di ampliare un po’ la nostra visione su tale singolare equazione (e non solo), andando a parlare brevemente di strumenti matematici a dir poco essenziali nell’ambito della fisica quantistica: gli operatori.
Nei termini più semplici possibili, possiamo pensare ad un operatore come ad una funzione speciale che va da uno spazio degli stati ad un altro spazio degli stati.
Come dice la denominazione stessa, lo spazio degli stati (detto anche spazio delle fasi) è lo spazio di un sistema (avente n gradi di libertà) i cui punti vanno a rappresentare in modo univoco tutti e soli i possibili stati del sistema stesso.
In particolare, quelle che noi in meccanica classica consideriamo le osservabili (energia, velocità, momento angolare, ecc.), in meccanica quantistica vanno considerate come operatori, non come semplici funzioni o numeri.
Per esempio, in meccanica classica, se dovessimo scrivere l’equazione che va a rappresentare l’energia totale 𝛜 di una singola particella, scriveremmo una formula del tipo:

 

dove p denota la quantità di moto (detta anche momento lineare o impulso), m la massa della particella e V(r) è l’energia potenziale; in meccanica quantistica, data questa formula, andremmo a compiere delle sostituzioni formali del tipo
Qui ∇ è il solito operatore nabla, che affiancato ad una funzione scalare ne fornisce il gradiente.
Abbiamo in pratica sostituito l’energia e il momento lineare con degli operatori; la scelta non è stata fatta a caso, ma è dettata dall’applicazione delle trasformate di Fourier tra lo spazio reale e lo spazio reciproco (ciò lo vedremo un po' meglio magari in un post futuro).
In meccanica quantistica, infatti, o si lavora nello spazio reale, cioè nello spazio delle coordinate, oppure si lavora nello spazio dei momenti. Sono 2 spazi che fondamentalmente non si parlano direttamente. Il "telefono" che consente una "comunicazione" tra i suddetti spazi sono proprio le trasformate di Fourier.
Per adesso ci stiamo riferendo allo spazio reale.
Possiamo allora definire altri operatori:
Va sottolineato che il momento lineare p è indipendente dalla posizione r e vive nel suo spazio reciproco, ma siccome ci stiamo riferendo allo spazio reale, la sua espressione viene “tradotta” nello spazio reale come -iℏ∇. L’operatore H è chiamato operatore hamiltoniano e riveste un ruolo cruciale nell’ambito della meccanica quantistica.
Tutto ciò permette di riscrivere l’equazione di Schrödinger generale come:

Si noti l’eleganza di questa formulazione operatoriale dell’equazione di Schrödinger rispetto a quella a cui eravamo pervenuti nel precedente post.
Spesso introdurre nuovi concetti come gli operatori (dunque complicare inizialmente le cose) serve poi a rendere maggiormente semplice ed elegante ciò che si sta studiando.

Gli operatori seguono delle regole di commutazione, cioè vanno applicati a delle funzioni.
Lo evidenzio sin da ora: le regole di commutazione sono la chiave per studiare dei concetti importanti in fisica quantistica.
Volete studiare per esempio l’oscillatore armonico? Servono le regole di commutazione. Volete studiare il momento angolare? Servono le regole di commutazione e così via.
La meccanica quantistica poggia fortemente su tali regole.
Tornando ai dettagli, l’ordine in cui si applicano gli operatori spesso non è indifferente: a volte può commutare, a volte no.
Infatti dati due operatori generici A e B, il prodotto di due operatori è, in generale, non commutativo, cioè si ha AB ≠ BA.
Si può nello specifico definire l’operatore AB - BA come commutatore. La notazione per indicare il commutatore è quella delle parentesi quadre di seguito illustrata:
[A, B] = AB - BA.

Se [A,B] = 0 si dice, ovviamente, che gli operatori A e B commutano.
Per completezza diciamo pure che esiste il cosiddetto anticommutatore, denotato nel seguente modo:

{A,B} = AB + BA

Se {A,B} = 0 si dice che gli operatori A e B anticommutano.
Questa era la doverosa premessa necessaria al fine di introdurre le regole di commutazione fondamentali in meccanica quantistica, da cui si costruiscono tutte le altre.
Le regole di commutazione fondamentali sono quelle che riguardano l’operatore posizione (o meglio, una delle sue componenti x, y oppure z) e l’operatore momento lineare p (o meglio, una delle sue componenti).
Per esempio si ha che:
o, in maniera più generale
dove quello strano simbolo di delta è la cosiddetta delta di Kronecker, definita come segue:
La regola di commutazione (scritta in rosso) prende il posto della parentesi di Poisson classica.
Ergo, da quanto visto sopra, si può asserire che posizione ed impulso non commutano; non sono cioè misurabili contemporaneamente con precisione arbitraria (principio di indeterminazione di Heisenberg).
ATTENZIONE: evidenziamo ancora che il commutatore è un operatore e un operatore ha senso solo quando viene applicato ad una funzione. La notazione appena scritta (in rosso) è solo utile per velocizzare i calcoli quando si ha una funzione a cui applicare il commutatore.
Il vero significato del commutatore è dunque racchiuso in espressioni come la seguente
Questo si può vedere esplicitamente facendo i calcoli. Infatti:

 

dove abbiamo fatto uso della regola di Leibniz per la derivata del prodotto di 2 funzioni.
Altri commutatori fondamentali sono:

I 3 commutatori scritti in rosso spesso vengono chiamati anche commutatori canonici.
Paul Dirac li ha definiti “condizioni quantistiche fondamentali”.
Storicamente fu Werner Heisenberg, nel 1925, a mostrare che la regola di combinazione per le righe di transizione atomiche nota a quell’epoca poteva essere meglio capita associando a quelle frequenze matrici di numeri, che obbediscono a opportune regole di moltiplicazione.
Poco dopo, Max Born e Pascual Jordan mostrarono che le regole di moltiplicazione di Heisenberg sono essenzialmente quelle dell’algebra delle matrici, e venne sviluppata una teoria basata sugli analoghi matriciali dei commutatori canonici, nota ora come meccanica delle matrici.
Non è un caso che la formula
sia incisa sulla pietra tombale di Born a Gottinga!

 

 

Giusto per completezza, diamo un elenco di altri commutatori utili, che si possono ricavare da quelli fondamentali:

  

Per ora ci fermiamo qui. Nel prossimo appuntamento con la meccanica quantistica andremo a scoprire i pacchetti d’onda e accenneremo alle funzioni d’onda di più particelle.