LA SPAGHETTIFICAZIONE

Il 6 dicembre 2024 è uscita la versione early access del videogame Path of Exile 2 (abbreviato PoE2), il sequel di un famoso action RPG.

Si potrebbe a lungo parlare della relazione tra PoE e la matematica, dato che per esempio il gigantesco albero delle abilità (skill tree) presente sia nel gioco originale che nel suo sequel potrebbe essere analizzato dal punto di vista della teoria dei grafi, la cui origine risale ad un articolo scritto da Eulero nel lontano 1736. 

Skill tree in PoE2.

Ma in questo post non ci focalizzeremo su questo aspetto, ma su un preciso nodo di quel monumentale skill tree che ci connette direttamente anche alla fisica moderna! Di seguito l'immagine che lo descrive.

Trattasi di un nodo piuttosto potente ed utile, specialmente nelle build che si appoggiano su un altro nodo assai significativo chiamato "Chaos Inoculation". Quest'ultimo è un nodo che infatti consente di rendersi immune a qualsiasi fonte di danno di tipo chaos (rendendo quindi quel malus -13% alla resistenza al chaos di Spaghettification totalmente insignificante) a patto di portare la vita del personaggio ad un valore pari a 1, cosa decisamente fattibile se le difese del personaggio che si sta portando avanti vengono basate su altre meccaniche come l'energy shield oppure il mana.

Io stesso ho infatti inserito (tramite un procedimento detto "instilling") il nodo Spaghettification sull'amuleto del mio Gemling Legionnaire, amuleto che potete ammirare qui di seguito.

Ma cosa diavolo significa spaghettificazione in fisica?

Per capirlo abbiamo bisogno di riferirci alla famosa relatività generale di Einstein, una teoria datata 1915 e che descrive la gravità come curvatura dello spaziotempo (avevamo parlato un po' in dettaglio di spaziotempo qui). 

Le equazioni fondamentali della suddetta teoria sono le equazioni di campo di Einstein:

Esse mettono in relazione la geometria dello spaziotempo (1° membro della formula sopra riportata, in cui per semplicità abbiamo omesso la presenza della celebre costante cosmologica) e la distribuzione di materia-energia (2° membro dell'equazione).

Analizzare in modo dettagliato l'aspetto tecnico di tali equazioni (sottolineiamo che il plurale è d'obbligo, anche se la formula riportata è singola, perché in modo esplicito quella formula rappresenta un sistema di ben 10 equazioni differenziali alle derivate parziali) va ben oltre lo scopo divulgativo di questo post.

Ci basti qui sapere che sussistono 2 modi fondamentali per provare a risolvere tali complicate equazioni: 1) sfruttando specifiche simmetrie 2) facendo uso dell'analisi numerica (cioè usando approssimazioni).

La più semplice soluzione non banale che conosciamo è certamente la metrica pubblicata nel 1916 da Karl Schwarzschild, ossia in simboli:

Qui abbiamo assunto il caso specifico di simmetria sferica (immaginate per esempio la geometria al di fuori di una stella sferica) nel vuoto (ossia il 2° membro delle equazioni di campo di Einstein è 0).

La metrica di Schwarzschild è utile per descrivere buchi neri statici (cioè non rotanti, a differenza dei buchi neri di Kerr) che non posseggono una carica elettrica. Per gli scopi del post ci accontenteremo di considerare solo la "semplice" metrica di Schwarzschild, un modello matematico ideale, ma tenete ben presente che i reali buchi neri astrofisici sono decisamente non statici.  

Quando la coordinata radiale $r$ è uguale a $2GM/c^2$, ovvero al cosiddetto raggio di Schwarzschild (generalmente indicato con $r_s$), ciò che stiamo descrivendo è l'orizzonte degli eventi della situazione.

Attenzione: $r = r_s$ è una singolarità apparente, non una singolarità fisica (mentre $r = 0$ è davvero una singolarità fisica, dunque qui la curvatura diventa infinita).

La chiamiamo apparente (in inglese "coordinate singularity") perché tale singolarità è presente solo in specifici sistemi di coordinate (nel nostro caso quello di Schwarzschild).

Se infatti immaginiamo un raggio di luce che si avvicina al punto $r = r_s$ (si veda immagine qui sotto) nelle coordinate di Schwarzschild, sembrerebbe che esso non arrivi mai ad $r_s$, ma tutto ciò è solo una mera illusione!

Coni di luce nel sistema di coordinate di Schwarzschild.
Figura presa da https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.

 

La verità è che un raggio di luce non ha alcun problema nel raggiungere $r_s$, è semplicemente una questione di coordinate.

Difatti si potrebbero introdurre differenti sistemi di coordinate, come il sistema di Eddington-Finkelstein, ove la superficie $r = r_s$ risulta perfettamente regolare, ma globalmente rappresenta un punto di non ritorno giacché sappiamo che un orizzonte degli eventi è una struttura causale. 

Coni di luce nel sistema di coordinate di Eddington-Finkelstein.
Figura presa da https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019. 

Ora, dato che nulla (inclusa la luce) può fuggire dall'orizzonte degli eventi, non siamo in grado di vedere cosa c'è dentro!

In altre parole, stiamo definendo i buchi neri come regioni dello spaziotempo separate da $r = \infty$ (la cosiddetta regione asintotica) da un orizzonte degli eventi.

Se immaginiamo adesso di dirigerci vicino al centro di un buco nero, inizieremmo ad avvertire intense forze di marea.

Immagine tratta da https://it.wikipedia.org/wiki/Forza_di_marea.

Nello specifico, riceveremmo uno stiramento verticale bilanciato da una compressione orizzontale, che porta gli oggetti ad assumere forme lunghe e sottili come quella degli spaghetti! Questo è appunto il processo noto come spaghettificazione.

Immagine presa da https://en.wikipedia.org/wiki/Spaghettification#. 

Si noti che una diversa massa dei buchi neri presi in considerazione andrebbe a condizionare notevolmente tale fenomeno poiché questo parametro influenzerebbe il punto in cui le forze di marea diventano rilevanti.

Infine, segnaliamo che recentemente, nell'articolo https://arxiv.org/pdf/2404.09381, sono state condotte svariate interessanti simulazioni inerenti a questo fenomeno.

Concludiamo in musica con un iconico pezzo dei Soundgarden, datato 1994, intitolato Black Hole Sun.

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Il post che avete letto è una versione estesa del thread che ho pubblicato in inglese il 2 dicembre 2024 su Bluesky.