DE L'HÔPITAL E IL QUESITO DELL'ESAME DI STATO!

Giusto per divertirci un po' con la matematica, andiamo a risolvere il quesito n.1 del compito di matematica PNI (ovvero quello per i licei scientifici sperimentali) dell'esame di maturità, di stamattina.
Il quesito chiede di risolvere il seguente limite:

Se procediamo andando a sostituire alla x lo 0 ricadiamo in una forma indeterminata del tipo 0/0.
Provate!
Quando ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata significa che non possiamo calcolare il limite direttamente ma dobbiamo compiere alcune manipolazioni o sfruttare alcune regole.
In tal caso ci conviene utilizzare il cosiddetto Teorema di de l'Hôpital.
Scopriamo l'enunciato: siano f(x) e g(x) 2 funzioni derivabili nell'intervallo [a, b], escluso il punto c, e tali che:

 

se la derivata di g(x) è diversa da 0, ossia g'(x) ≠ 0  ∀x ∈ [a, b], escluso c, e se esiste il limite:

allora esiste pure il limite per x → c del rapporto f(x)/g(x) e i 2 limiti coincidono.

Ergo:

Questo teorema è molto utile appunto per il calcolo delle forme indeterminate 0/0.
Dunque, dobbiamo derivare le funzioni presenti al numeratore e al denominatore della funzione complessiva




Cominciamo dal numeratore!
Dobbiamo applicare la nota regola della catena per calcolare la derivata di una funzione composta.
Dobbiamo usare la suddetta regola per le 2 parti del numeratore.

A = 3x           A' = 3

B = 2^A        B' = 2^A ln 2

(2^3x)' = 3 x 2^A ln 2 = 3 x 2^3x ln 2.

Abbiamo sfruttato anche il fatto che la derivata di una funzione del tipo a^x = a^x ln a, dove ln a indica il logaritmo naturale di a.
Stessa cosa dobbiamo fare per 3^4x:

A = 4x          A' = 4

B = 3^A       B' = 3^A ln 3

(3^4x)' = 4 x 3^A ln 3 = 4 x 3^4x ln 3.

Quindi, in complessivo, la derivata del numeratore è:




La derivata del denominatore è invece banale:



Ora, andiamo dunque a fare, seguendo il Teorema di de l'Hôpital, il limite del rapporto tra le derivate:




In analisi matematica, un numero diviso 0 fornisce infinito.
In questo specifico caso, il risultato è -∞, poiché al numeratore si ha una quantità negativa (3 ln 2 - 4 ln 3) e al denominatore uno 0 (da destra), ossia positivo.
Per concludere, qualche piccola curiosità su Guillaume François Antoine, marchese de l'Hôpital (1661-1704).
L'Hôpital nacque in una ricca famiglia.
Il padre, Anne-Alexandre, era un "pezzo grosso" dell'epoca; infatti, tra le altre cose, fu generale dell'esercito del Re.
Se, da piccolo, il piccolo Guillaume intraprese una carriera militare, in seguito dovette abbandonarla a causa di rilevanti problemi alla vista.
Ergo, il suo interesse si spostò verso la Matematica.
Nei primi anni '90 del XVII secolo, de l'Hôpital ingaggiò Johann Bernoulli (per approfondimenti sui Bernoulli, recatevi all'articolo "Una famiglia di matematici: i Bernoulli") affinché gli insegnasse il calcolo infinitesimale.
Il marchese si mostrò così interessato all'argomento che lo imparò in breve tempo e che riassunse in un manuale intitolato Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, datato 1696.  
Il suddetto rappresenta il primo manuale di calcolo infinitesimale d'Europa!
Rouse Bell scrive a proposito del libro di de l'Hôpital:

"Il merito di aver redatto il primo trattato che spiega i principi e l'uso del metodo va tutto a de l'Hôpital...Questo lavoro ebbe ampia circolazione; rese la notazione differenziale di uso comune in Francia e contribuì a diffonderla in Europa."

Sappiamo che de l'Hôpital, dal 1694, pagò Bernoulli ben 300 franchi all'anno per raccontargli delle sue scoperte, descritte poi nel suo testo.
Nel 1704, a seguito del decesso di de l'Hôpital, Bernoulli raccontò dell'accordo, asserendo che molti dei risultati nell'Analyse des infiniment petits erano opera sua!